Téma 1 Algebraické zlomky aritmetické operácie. Problémy sčítania a odčítania zlomkov. Definícia a príklady algebraických zlomkov

Táto lekcia pojednáva o pojme algebraickej frakcie. Človek sa stretáva so zlomkami v tom najjednoduchšom životných situácií: keď je potrebné rozdeliť predmet na niekoľko častí, napríklad nakrájajte koláč rovnomerne na desať ľudí. Očividne každý dostane kúsok koláča. V tomto prípade stojíme pred pojmom numerický zlomok, ale situácia je možná, keď je objekt rozdelený na neznámy počet častí, napríklad x. V tomto prípade vzniká koncept zlomkového výrazu. S celočíselnými výrazmi (neobsahujúcimi delenie na výrazy s premennými) a ich vlastnosťami ste sa už stretli v 7. ročníku. Ďalej sa budeme zaoberať konceptom racionálneho zlomku a prípustnými hodnotami premenných.

Téma:Algebraické zlomky... Aritmetické operácie algebraických zlomkov

Lekcia:Základné pojmy

1. Definícia a príklady algebraických zlomkov

Racionálne výrazy sa delia na celé a zlomkové výrazy.

Definícia. Racionálny zlomok- zlomkové vyjadrenie tvaru, kde sú polynómy. - čitateľ menovateľ.

Príklady racionálne výrazy: - zlomkové výrazy; - celé výrazy. V prvom výraze napríklad funguje ako čitateľ a menovateľ.

Význam algebraická frakcia ako každý algebraický výraz, závisí od číselnej hodnoty tých premenných, ktoré sú v ňom zahrnuté. Konkrétne v prvom prípade hodnota zlomku závisí od hodnôt premenných a v druhom iba od hodnoty premennej.

2. Výpočet hodnoty algebraického zlomku a dvoch základných úloh na zlomku

Zvážte prvý typický problém: výpočet hodnoty racionálna frakcia o rôzne významy v ňom zahrnuté premenné.

Príklad 1. Vypočítajte hodnotu zlomku v a), b), c)

Riešenie. Nahraďte hodnoty premenných na uvedený zlomok: a), b), c) - neexistuje (pretože nemôžete deliť nulou).

Odpoveď: 3; 1; neexistuje.

Ako vidíte, pre ľubovoľný zlomok existujú dva typické problémy: 1) výpočet zlomku, 2) nájdenie platné a neplatné hodnoty abecedné premenné.

Definícia. Platné hodnoty premenných- hodnoty premenných, pre ktoré má výraz zmysel. Volá sa množina všetkých prípustných hodnôt premenných ODZ alebo doména.

3. Prípustné (ODZ) a neplatné hodnoty premenných v zlomkoch s jednou premennou

Hodnota doslovných premenných môže byť neplatná, ak je menovateľ zlomku týchto hodnôt nula. Vo všetkých ostatných prípadoch sú hodnoty premenných platné, pretože zlomok je možné vypočítať.

Príklad 2. Určte, pri ktorých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie. Aby mal tento výraz zmysel, je potrebné a dostatočné, aby menovateľ zlomku nebol rovný nule. Neplatné budú teda iba tie hodnoty premennej, pre ktoré je menovateľ rovný nule. Menovateľ zlomku, vyriešme teda lineárnu rovnicu:

Preto keď hodnota premennej, zlomok nedáva zmysel.

Riešenie príkladu implikuje pravidlo na hľadanie neplatných hodnôt premenných - menovateľ zlomku sa rovná nule a nachádzajú sa korene zodpovedajúcej rovnice.

Pozrime sa na niekoľko podobných príkladov.

Príklad 3. Určte, pri ktorých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie. ...

Príklad 4. Určte, pri ktorých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Existujú aj iné formulácie tohto problému - nájsť doména alebo rozsah platných hodnôt výrazu (ODZ)... To znamená - nájsť všetky platné hodnoty premenných. V našom prípade sú to všetky hodnoty okrem. Je vhodné znázorniť definičnú oblasť na číselnej osi.

Aby sme to urobili, vytlačíme naň bod, ako je znázornené na obrázku:

Preto doména zlomku budú všetky čísla okrem 3.

Príklad 5. Určte, pri ktorých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Výsledné riešenie nakreslíme na číselnú os:

4. Grafické znázornenie oblasti prípustných (ODV) a neplatných hodnôt premenných vo zlomkoch

Príklad 6. Určte, pri ktorých hodnotách premenných zlomok nedáva zmysel.

Riešenie .. Získali sme rovnosť dvoch premenných, uvedieme číselné príklady: alebo atď.

Toto riešenie zakreslite do karteziánskeho súradnicového systému:

Ryža. 3. Funkčný graf.

Súradnice akéhokoľvek bodu na tomto grafe nie sú zahrnuté v rozsahu prijateľných hodnôt zlomku.

5. Prípad typu „delenie nulou“

V uvažovaných príkladoch sme narazili na situáciu, kedy došlo k deleniu nulou. Teraz zvážte prípad, keď dôjde k zaujímavejšej situácii rozdelenia typov.

Príklad 7. Určte, pri ktorých hodnotách premenných zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Ukazuje sa, že zlomok nemá zmysel pre. Možno však tvrdiť, že to tak nie je, pretože: .

Môže sa zdať, že ak je konečný výraz rovný 8 at, potom je možné vypočítať aj pôvodný výraz, a preto má zmysel v. Ak ho však dosadíme do pôvodného výrazu, dostaneme - nedáva to zmysel.

Aby sme tento príklad pochopili podrobnejšie, vyriešme nasledujúci problém: pri akých hodnotách sa zadaný zlomok rovná nule?

(zlomok je nula, keď je jeho čitateľ nula) ... Je ale potrebné vyriešiť pôvodnú rovnicu zlomkom, a pri tom nedáva zmysel, pretože pri tejto hodnote premennej je menovateľ nulový. Táto rovnica má preto iba jeden koreň.

6. Pravidlo pre nájdenie DLD

Môžeme teda formulovať presné pravidlo na nájdenie rozsahu prípustných hodnôt zlomku: nájsť ODZzlomky je potrebné a postačujúce na to, aby sa jej menovateľ rovnal nule a našli sa korene výslednej rovnice.

Pozreli sme sa na dve hlavné úlohy: výpočet hodnoty zlomku pre uvedené hodnoty premenných a nájdenie rozsahu prijateľných hodnôt zlomku.

Uvažujme teraz o niekoľkých ďalších problémoch, ktoré môžu nastať pri práci so zlomkami.

7. Rôzne ciele a závery

Príklad 8. Dokážte, že pre všetky hodnoty premennej je zlomok.

Dôkaz. Čitateľ je kladné číslo. ... V dôsledku toho sú čitateľ aj menovateľ kladnými číslami, a preto je zlomok tiež kladným číslom.

Osvedčené.

Príklad 9. Je známe, že nájsť.

Riešenie. Podiel rozdeľte na výraz. Máme právo znížiť o, berúc do úvahy, aká je neprijateľná hodnota premennej pre tento zlomok.

V tejto lekcii sme sa zaoberali základnými pojmami spojenými so zlomkami. V ďalšej lekcii sa pozrieme na základná vlastnosť zlomku.

Bibliografia

1. Bashmakov M. I. Algebra ročník 8. - M.: Education, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. a kol. Algebra 8. - 5. vydanie. - M.: Vzdelávanie, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra ročník 8. Výučba pre vzdelávacie inštitúcie... - M.: Education, 2006.

1. Festival pedagogických myšlienok.

2. Stará škola.

3. Internetový portál lib2.podelise. ru.

Domáca úloha

1. č. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G.V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. a kol. Algebra 8. - 5. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2010.

2. Napíšte racionálny zlomok, ktorého doménou je: a) množina, b) množina, c) celá číselná os.

3. Dokážte, že pre všetky prípustné hodnoty premennej nie je hodnota zlomku záporná.

4. Nájdite rozsah výrazu. Tip: zvážte dva prípady oddelene: keď je menovateľ dolného zlomku nula a keď je menovateľ pôvodného zlomku nula.

Téma 1. Algebraické zlomky. Aritmetické operácie algebraických zlomkov. (18 hodín)

Sekcia matematiky. Prostredníctvom linky.

• 
  Čísla a výpočty
• 
  Výrazy a transformácie

• 
  Algebraická frakcia.
• 
  Redukcia zlomkov.
• 
  Akcie s algebraickými zlomkami.

• 
  

Program	^ Počet hodín	Ovládanie značky
U-1. Kombinovaná lekcia"Základné pojmy"	1		Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 1 "Číselné výrazy"
U-2. Lekcia-prednáška „Hlavná vlastnosť algebraickej frakcie. Redukcia zlomkov“	1		Demo materiál „Základná vlastnosť algebraickej frakcie“
U-3. Konsolidácia lekcie naučeného	1	Slovné počítanie Samostatná práca 1.1 "Hlavná vlastnosť zlomku." Redukcia zlomkov “	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 2 „Redukcia algebraických zlomkov“
U 4. Kombinovaná lekcia „Sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom“	1
U-5. Riešenie lekcieúlohy	1		CD Matematika 5-11 Cvičenia „Racionálne čísla“.
TY 6. Kombinovaná lekcia „Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôzni menovatelia "	1		Ukážka „Sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov“
U-7. Lekcia - riešenie problémov	1	Slovné počítanie	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 3 „Sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov“
U-8. Lekcia - samostatná práca	1	Samostatná práca 1.2 „Sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov“
U-9. Lekcia - riešenie problémov	1
U-10. Lekcia - test	1	Test №1
U-11. Kombinovaná lekcia „Násobenie a delenie algebraických zlomkov. Zvyšovanie algebraických zlomkov na moc“	1
U-12. Lekcia - riešenie problémov	2	Samostatná práca 1.3 „Násobenie a delenie zlomkov“
U-13. Kombinovaná lekcia „Konvertujte racionálne výrazy“	1	Slovné počítanie	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 4 „Násobenie a delenie algebraických zlomkov“
U-14. Lekcia - riešenie problémov	1
U-15. Lekcia - samostatná práca	1	Samostatná práca 1.4 „Transformácia racionálnych výrazov“
U-16. Lekcia-workshop „Prvé nápady na riešenie racionálnych rovníc“	1		CD Matematika 5-11 Virtuálne laboratórium „Funkčný graf“.
U-17. Lekcia - riešenie problémov	1	Test 1 „Algebraické zlomky“
U-18. Lekcia - testovacie práce.	1	Skúšobné práce č

• 
  Vedieť redukovať algebraické zlomky.
• 
  

• 
  Vedieť vykonávať základné operácie s algebraickými zlomkami.
• 
  Vedieť vykonávať kombinované cvičenia pre akcie s algebraickými zlomkami.

Téma 2. Kvadratická funkcia... Funkcia ... (18 hodín)

 Funkcia

Povinný minimálny obsah vzdelávacia oblasť matematika

Program. Monitorovanie jeho implementácie

Program	Množstvo v hodinu	Ovládanie značky	Počítačová podpora lekciu
U-1. Kombinovaná lekcia „Funkcia , jeho vlastnosti a rozvrh “	1
	1	Slovné počítanie	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 5 „Funkcia“ Ukážkový materiál „Parabola. Aplikácia vo vede a technike “
U-3. Lekcia na riešenie problémov	1	Samostatná práca 2.1 „Funkcia y = kx 2 »
U 4. Lekcia-prednáška „Funkcia a jej rozvrh“	1		Ukážkový materiál „Funkcia, jej vlastnosti a rozvrh“
^ U-5. Lekcia na riešenie problémov	3	Slovné počítanie Samostatná práca 2.2 "Funkcia"	Úlohy na ústne počítanie. Ex.6 „Inverzná proporcionalita“
U-6,7. Lekcie-workshopy „Ako zostaviť graf funkcie »	2	Praktická práca
U-8,9. Lekcie-workshopy „Ako zostaviť graf funkcie ak je známy graf funkcie »	2		CD „Matematika 5-11 ročníkov“. Virtuálne laboratórium „Grafy funkcií“
^ U-10. Lekcia - test	1	Skúšobné práce č. 3
U-11 Lekcia-workshop „Ako zostaviť graf funkcie ak je známy graf funkcie »	1		CD „Matematika 5-11 ročníkov“. Virtuálne laboratórium „Grafy funkcií“
U-12 Lekcia-workshop „Ako zostaviť graf funkcie ak je známy graf funkcie »	1	Samostatná práca 2.3 "Grafy funkcií"	CD „Matematika 5-11 ročníkov“. Virtuálne laboratórium „Grafy funkcií“
U-13. Kombinovaná lekcia „Funkcia , jeho vlastnosti a rozvrh “	1		Ukážkový materiál „Vlastnosti kvadratickej funkcie“
U-14. Konsolidácia lekcie z toho, čo sa naučilo.	1	Slovné počítanie	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 7 „Kvadratická funkcia“
U-15. Lekcia na riešenie problémov	1	Slovné počítanie Samostatná práca 2.4 „Vlastnosti a graf kvadratickej funkcie“	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 8 „Vlastnosti kvadratickej funkcie“
U-16. Test lekcie	1	Test 2 "Kvadratická funkcia"
^ U-17. Praktická lekcia „Grafické riešenie kvadratických rovníc“	1		Ukážkový materiál „Grafické riešenie kvadratických rovníc“
U-18. Lekcia - test	1	Testovacie práce č. 4

Požiadavky na matematické školenie

Úroveň povinného školenia študenta

Úroveň možného školenia študenta

Téma 3 Funkcia ... Vlastnosti odmocniny (11 hodín)

Sekcia matematiky. Prostredníctvom linky

• 
  Čísla a výpočty
• 
  Výrazy a transformácie
• 
  Funkcie

Povinný minimálny obsah vzdelávacej oblasti matematiky

 Druhá odmocnina čísla. Aritmetická druhá odmocnina.

 Pojem iracionálneho čísla. Iracionalita čísla.

 Skutočné čísla.

 Vlastnosti odmocniny a ich aplikácia vo výpočtoch.

 Funkcia.

Program. Monitorovanie jeho implementácie

Program	Počet hodín	Ovládanie značky	Počítačová podpora hodiny
^ U-1. Lekcia-prednáška „Pojem odmocniny nezáporného čísla“	1		Demo materiál „Pojem odmocniny“
U-2. Lekcia - riešenie problémov	1	Nezávislá práca 3.1 „Aritmetická odmocnina“
U-3. Kombinovaná lekcia „Funkcia , jeho vlastnosti a rozvrh “	1		Demo materiál „Funkcia, jej vlastnosti a graf“
^ U 4. Lekcia - riešenie problémov	1	Slovné počítanie	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 9 „Aritmetická odmocnina“
^ U-5. Kombinovaná lekcia „Vlastnosti druhej odmocniny“	1		Ukážka „Použitie aritmetických vlastností odmocniny“
^ Lekcia U -6 - riešenie problémov	1	Slovné počítanie Samostatná práca 3.2 „Vlastnosti aritmetickej odmocniny“	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 10 „Druhá odmocnina výrobku a zlomok“
^ U-7,8. Praktické lekcie „Konvertovanie výrazov obsahujúcich operáciu s druhou odmocninou“.	2	Praktická práca
^ U-9. Lekcia - riešenie problémov	1	Slovné počítanie Samostatná práca 3.3 „Aplikácia vlastností aritmetického štvorcového koreňa“	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 11 „Druhá odmocnina mocniny“
U-10. Lekcia - riešenie problémov	1	Test 3 "Odmocniny"
U-11. Lekcia - testovacie práce.	1	Skúšobné práce č. 5

^ Požiadavky na matematické školenie

Úroveň povinného školenia študenta

 Nájdite koreňové významy v jednoduchých prípadoch.

 Poznať definíciu a vlastnosti funkcie , byť schopný zostaviť jej rozvrh.

 Vedieť použiť vlastnosti aritmetických odmocnin na výpočet hodnôt a najjednoduchších prevodov numerických výrazov obsahujúcich odmocniny.

Úroveň možného školenia študenta

 Poznať pojem aritmetickej odmocniny.

 Vedieť pri transformácii výrazov aplikovať vlastnosti aritmetickej druhej odmocniny.

 Vedieť využiť vlastnosti funkcie pri riešení praktických úloh.

 Mať predstavu o iracionálnych a skutočných číslach.

^ Téma 4 Kvadratické rovnice (21 hodín)

Sekcia matematiky. Prostredníctvom linky

 Rovnice a nerovnosti

Povinný minimálny obsah vzdelávacej oblasti matematiky

• Kvadratická rovnica: vzorec pre korene kvadratickej rovnice.

 Riešenie racionálnych rovníc.

 Riešenie slovných úloh pomocou kvadratických a zlomkových racionálnych rovníc.

Program. Monitorovanie jeho implementácie

Program	Počet hodín	Ovládanie značky	Počítačová podpora lekciu
^ U-1. Lekcia-štúdium nového materiálu „Základné pojmy“.	1		Ukážkový materiál „Kvadratické rovnice“
U-2. Konsolidácia lekcie naučeného.	1	Slovné počítanie	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 12 „Kvadratická rovnica a jej korene“
U-3. Kombinovaná lekcia „Vzorce pre korene kvadratickej rovnice“.	1	Samostatná práca 4.1 „Kvadratická rovnica a jej korene“
U-4,5. Lekcie na riešenie problémov	2	Slovné počítanie	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 11 „Riešenie kvadratických rovníc“
TY 6. Lekcia - samostatná práca	1	Samostatná práca 4.2 „Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca“
U-7. Kombinovaná lekcia „Racionálne rovnice“	1	Praktická práca
U-8,9. Lekcie na riešenie problémov	2	Samostatná práca 4.3 „Racionálne rovnice“
U-10.11. Praktické lekcie „Racionálne rovnice ako matematické modely skutočných situácií“.	2
U-12. Lekcia na riešenie problémov	1
U-13. Lekcia - samostatná práca	1	Samostatná práca 4.4 „Riešenie problémov pomocou kvadratických rovníc“
U-14. Kombinovaná lekcia „Ďalší vzorec pre korene kvadratickej rovnice“.	1
U-15. Lekcia - riešenie problémov	1
U-16. Kombinovaná lekcia „Vieta veta“.	1		Ukážkový materiál „Vietova veta“
U-17. Lekcia - riešenie problémov	1	Slovné počítanie	Úlohy na ústne počítanie. Cvičenie 14 „Vietova veta“
U-18. Kombinovaná lekcia „Iracionálne rovnice“	1
U-19. Lekcia - riešenie problémov	1
U-20. Lekcia na riešenie problémov	1	Test 4 "Kvadratické rovnice"	CD Matematika 5-11. Virtuálne laboratórium „Grafy rovníc a nerovností“
U-21. Lekcia - testovacie práce.	1	Skúšobné práce č. 6

^ Požiadavky na školenie z matematiky

Úroveň povinného školenia študenta

 Byť schopný riešiť kvadratické rovnice, jednoduché racionálne a iracionálne rovnice.

 Vedieť riešiť jednoduché slovné úlohy pomocou rovníc.

Úroveň možného školenia študenta

• 
  Pochopte, že rovnice sú matematickým aparátom na riešenie rôznych problémov z matematiky, príbuzných oblastí znalostí, praxe.
• 
  Vedieť riešiť kvadratické rovnice, racionálne a iracionálne rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické.
• 
  Vedieť pri riešení problémov aplikovať kvadratické rovnice a racionálne rovnice.

V tejto lekcii budeme naďalej zvažovať najjednoduchšie operácie s algebraickými zlomkami - ich sčítanie a odčítanie. Dnes sa zameriame na skúmanie príkladov, v ktorých najdôležitejšou súčasťou riešenia bude faktorizácia menovateľa všetkými spôsobmi, ktoré poznáme: s odstránením spoločného faktora, metódy zoskupovania, výberu úplného štvorca, pomocou skrátených multiplikačných vzorcov. V priebehu hodiny sa bude uvažovať o niekoľkých dosť ťažkých problémoch so zlomkami.

Téma:Algebraické zlomky. Aritmetické operácie algebraických zlomkov

Lekcia:Problémy sčítania a odčítania

V lekcii zvážime a zovšeobecníme všetky prípady sčítania a odčítania zlomkov: s rovnakými a rôznymi menovateľmi. V. všeobecný pohľad vyriešime problémy formulára:

Už sme videli, že pri sčítaní alebo odčítaní algebraických zlomkov je jednou z najdôležitejších operácií faktorizácia menovateľov. Podobný postup sa vykonáva v prípade bežných frakcií. Pripomeňme si ešte raz, ako je potrebné pracovať bežné zlomky.

Príklad 1. Vypočítajte.

Riešenie. Ako predtým použijeme hlavnú aritmetickú vetu, že akékoľvek číslo je možné rozložiť na hlavné faktory: .

Určme najmenší spoločný násobok menovateľov: - toto bude spoločný menovateľ zlomkov a na základe neho určíme ďalšie faktory pre každú zo zlomkov: pre prvý zlomok , pre druhú frakciu , pre tretiu frakciu.

Odpoveď..

V tomto prípade sme na faktorovanie čísel použili základnú vetu o aritmetike. Ďalej, keď polynómy hrajú úlohu menovateľov, budú musieť byť faktorizované týmito nám známymi metódami: odstránenie spoločného faktora, metóda zoskupovania, výber úplného štvorca, použitie skrátených multiplikačných vzorcov.

Príklad 2. Sčítajte a odčítajte zlomky .

Riešenie. Menovatele všetkých troch zlomkov sú komplexné výrazy, ktoré treba faktorizovať, potom pre ne nájdite najnižšieho spoločného menovateľa a pre každú zo zlomkov uveďte ďalšie faktory. Vykonajme všetky tieto kroky oddelene a potom výsledky dosadíme do pôvodného výrazu.

V prvom menovateli vyberieme spoločný faktor: - po vybratí spoločného faktora si môžete všimnúť, že výraz v zátvorkách je zložený podľa vzorca na druhú mocninu súčtu.

V druhom menovateli vyberieme spoločný faktor: - po odstránení spoločného činiteľa použijeme vzorec pre rozdiel štvorcov.

V treťom menovateli vyberáme spoločný faktor :.

Po faktorizácii tretieho menovateľa môžete vidieť, že v druhom menovateli môžete vybrať faktor pre pohodlnejšie vyhľadávanie najmenších spoločný menovateľ zlomky, urobíme to umiestnením mínusu mimo zátvorky, v druhej zátvorke sme zmenili miesta výrazov pre pohodlnejší zápis.

Definujme najnižšieho spoločného menovateľa zlomkov ako výraz, ktorý je delený všetkými menovateľmi súčasne, bude sa rovnať :.

Uvádzame ďalšie faktory: pre prvý zlomok , pre druhú frakciu - mínus vybratý v menovateli sa neberie do úvahy, pretože ho zapíšeme do celého zlomku pre tretí zlomok .

Teraz vykonajme akcie so zlomkami, pričom nezabudneme zmeniť znamienko pred druhým zlomkom:

V poslednej fáze riešenia sme zadali podobné výrazy a zapísali sme ich v zostupnom poradí podľa mocnín premennej.

Odpoveď..

V uvedenom príklade sme opäť, ako v predchádzajúcich lekciách, predviedli algoritmus na sčítanie / odčítanie zlomkov, ktorý je nasledujúci: faktor menovateľov zlomkov, nájdenie najnižšieho spoločného menovateľa, ďalšie faktory, vykonanie postupu sčítania / odčítania a , ak je to možné, zjednodušte výraz a vystrihnite. Tento algoritmus použijeme v budúcnosti. Teraz sa pozrime na jednoduchšie príklady.

Príklad 3. Odčítajte zlomky .

Riešenie. V tomto prípade je dôležité vidieť možnosť zmenšenia prvého zlomku, než ho uvediete do spoločného menovateľa s druhým zlomkom. Za týmto účelom sa faktorizuje čitateľ a menovateľ prvého zlomku.

Čitateľ: - v prvej akcii bola časť výrazu rozšírená pomocou vzorca na rozdiel štvorcov a v druhej bol odstránený spoločný faktor.

Menovateľ: - v prvej akcii bola časť výrazu rozšírená podľa vzorca na druhú mocninu rozdielu a v druhej bol odstránený spoločný faktor. Výsledný čitateľ a menovateľ nahraďte pôvodným výrazom a prvý zlomok zrušte spoločným faktorom:

Odpoveď:.

Príklad 4. Vykonajte akcie .

Riešenie. V tomto prípade, rovnako ako v predchádzajúcom, je dôležité všimnúť si a implementovať zníženie zlomku pred vykonaním akcií. Rozoberme čitateľa a menovateľa.

Téma:

Lekcia: Konvertovanie racionálnych výrazov

1. Racionálne vyjadrenie a spôsob jeho zjednodušenia

Pripomeňme si najskôr definíciu racionálneho výrazu.

Definícia. Racionálne vyjadrovanie- algebraický výraz, ktorý neobsahuje korene a zahŕňa iba akcie sčítania, odčítania, násobenia a delenia (zvýšenie sily).

Pod pojmom „transformovať racionálny výraz“ rozumieme predovšetkým jeho zjednodušenie. A to sa vykonáva v poradí akcií, ktoré sú nám známe: najskôr akcie v zátvorkách, potom súčin čísel(umocnenie), rozdelenie čísel a potom akcie sčítania / odčítania.

2. Zjednodušenie racionálnych výrazov súčtom / rozdielom zlomkov

Hlavným cieľom dnešnej hodiny bude získať skúsenosti s riešením zložitejších problémov na zjednodušenie racionálnych výrazov.

Príklad 1.

Riešenie. Najprv sa môže zdať, že uvedené zlomky je možné zrušiť, pretože výrazy v čitateľoch zlomkov sú veľmi podobné vzorcom pre dokonalé štvorce ich zodpovedajúcich menovateľov. V tomto prípade je dôležité neponáhľať sa, ale samostatne skontrolovať, či je to tak.

Poďme skontrolovať čitateľa prvého zlomku :. Teraz je čitateľ druhý :.

Ako vidíte, naše očakávania neboli splnené a výrazy v čitateľoch nie sú dokonalé štvorce, pretože nemajú zdvojnásobenie produktu. Takéto výrazy, ak si pripomenieme priebeh 7. ročníka, sa nazývajú neúplné štvorce. V takýchto prípadoch by ste mali byť veľmi opatrní, pretože zamieňať vzorec úplného štvorca s neúplným je veľmi častou chybou a takéto príklady testujú pozornosť študenta.

Keďže zrušenie nie je možné, pridajme zlomky. Menovatele nemajú spoločné faktory, takže sa jednoducho vynásobia, aby sa získal najnižší spoločný menovateľ, a dodatočným faktorom pre každý zlomok je menovateľ druhého zlomku.

Ďalej môžete samozrejme otvoriť zátvorky a zadať podobné výrazy, v tomto prípade sa však môžete zaobísť bez menšej námahy a všimnúť si v čitateľovi, že prvý výraz je vzorcom súčtu kociek a druhý je rozdielom kociek. Pre jednoduchosť si pripomeňme tieto vzorce vo všeobecnej forme:

V našom prípade sa výrazy v čitateľovi zrútia takto:

, druhý výraz je rovnaký. Máme:

Odpoveď..

Príklad 2. Zjednodušte racionálne vyjadrovanie .

Riešenie. Tento príklad je podobný predchádzajúcemu, ale tu môžete okamžite vidieť, že v čitateľoch zlomkov sú neúplné štvorce, takže zníženie o počiatočná fáza nie je možné riešenie. Podobne ako v predchádzajúcom prípade pridajte zlomky:

Tu, podobne ako vyššie uvedenú metódu, sme si všimli a sklopili výrazy podľa vzorcov pre súčet a rozdiel kociek.

Odpoveď..

Príklad 3. Zjednodušte racionálne vyjadrovanie.

Riešenie. Môžete si všimnúť, že menovateľ druhého zlomku je faktorizovaný podľa vzorca pre súčet kociek. Ako už vieme, faktoring menovateľov je užitočný pri ďalšom hľadaní najnižšieho spoločného menovateľa zlomkov.

Uvádzame najnižšieho spoločného menovateľa zlomkov, je to: https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif "alt =" (! LANG: http: //d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content / konspekt_image / 23332 /.png" width="624" height="70">.!}

Odpoveď.

3. Zjednodušenie racionálnych výrazov komplexnými „viacpodlažnými“ zlomkami

Uvažujme o komplexnejšom príklade s „viacúrovňovými“ zlomkami.

Príklad 4. Dokážte identitu https://pandia.ru/text/80/351/images/image019_25.gif "alt =" (! LANG: http: //d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23335/25bd4e84df065d130e03bd.ngp1738" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

Osvedčené.

V nasledujúcej lekcii sa bližšie pozrieme na komplexnejšie príklady transformácie racionálnych výrazov.

Téma: Algebraické zlomky. Aritmetické operácie algebraických zlomkov

Lekcia: Konvertovanie komplexnejších racionálnych výrazov

1. Príklad na preukázanie identity pomocou transformácií racionálnych výrazov

V tejto lekcii sa pozrieme na prevod komplexnejších racionálnych výrazov. Prvý príklad bude venovaný dôkazu totožnosti.

Príklad 1

Dokážte totožnosť :.

Dôkaz:

V prvom rade je pri transformácii racionálnych výrazov potrebné určiť poradie akcií. Pripomeňme, že najskôr sa vykonávajú akcie v zátvorkách, potom násobenie a delenie a potom sčítanie a odčítanie. V tomto prípade bude preto poradie akcií nasledovné: najskôr vykonáme akciu v prvých zátvorkách, potom v druhých zátvorkách, potom rozdelíme získané výsledky a potom do výsledného výrazu pridáme zlomok. V dôsledku týchto akcií a zjednodušenia by ste mali dostať výraz.

№ p / p	Prvky obsahu	Byť schopný riešiť problematické úlohy a situácie	S-9
26	Stupeň s exponentom záporného celého čísla	Stupeň s prirodzeným exponentom, exponent s negatívnym exponentom, násobenie, delenie a zvyšovanie na mocninu čísla	Mať predstava stupňa s prirodzeným exponentom, stupňa s negatívnym exponentom, násobenia, delenia a zvyšovania na mocninu čísla Byť schopný: - zjednodušiť výrazy pomocou záporných definícií exponentov a vlastností stupňov; - zostaviť text vedeckého štýlu	S-10
29	Test číslo 2 „Transformácia racionálnych výrazov“		Byť schopný vyberte si sami racionálnym spôsobom transformácie racionálnych výrazov, dokazovanie identít, riešenie racionálnych rovníc spôsobom zbavenia sa menovateľov, vytváranie matematického modelu reálnej situácie	K.R. # 2

Testovacie otázky

• 
  Sformulujte hlavnú vlastnosť zlomku.
• 
  Formulovať
  1. 
     Algoritmus na nájdenie dodatočného faktora k algebraickej frakcii.
  2. 
     Pravidlá sčítania a odčítania pre algebraické zlomky s rovnakým menovateľom.
  3. 
     Algoritmus na nájdenie spoločného menovateľa niekoľkých zlomkov
  4. 
     Pravidlo sčítania (odčítania) algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi.
  5. 
     Pravidlo násobenia pre algebraické zlomky
  6. 
     Pravidlo delenia pre algebraické zlomky.
  7. 
     Pravidlo pre zvýšenie algebraickej frakcie na mocninu.