Graf funkcie je odmocninou štvorcového trojuholníka. Ako sa dá postaviť parabola? Čo je to parabola? Ako sa riešia kvadratické rovnice? Úlohy na analýzu grafu kvadratickej funkcie

Štvorcový trojčlenný graf

2019-04-19

Štvorcový trojuholník

Celú racionálnu funkciu druhého stupňa nazývame štvorcovou trojuholníkom:

$ y \u003d sekera ^ 2 + bx + c $, (1)

kde $ a \\ neq 0 $. Dokážme, že graf štvorcového trojuholníka je parabola získaná paralelnými posunmi (v smeroch súradnicových osí) od paraboly $ y \u003d ax ^ 2 $. Za týmto účelom prinášame výraz (1) pomocou jednoduchých identických transformácií do formy

$ y \u003d a (x + \\ alpha) ^ 2 + \\ beta $. (2)

Zodpovedajúce transformácie napísané nižšie sú známe ako „štvorcový výber“:

$ y \u003d x ^ 2 + bx + c \u003d a \\ doľava (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x \\ doprava) + c \u003d a \\ doľava (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) \\ vpravo) - \\ frac (b ^ 2) (4a) + c \u003d a \\ vľavo (x + \\ frac (b) (2a) \\ vpravo) ^ 2 - \\ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a) $. (2 ")

Priniesli sme štvorcový trojuholník do formy (2); kde

$ \\ alpha \u003d \\ frac (b) (2a), \\ beta \u003d - \\ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a) $

(tieto výrazy by si nemali pamätať, je vhodnejšie zakaždým vykonať transformáciu trojčlenu (1) do formy (2) priamo).

Teraz vidíte, že graf trojčlenu (1) je parabola rovnajúca sa parabole $ y \u003d ax ^ 2 $ a získaná posunutím paraboly $ y \u003d ax ^ 2 $ v smeroch súradnicových osí o $ \\ alpha $ a $ \\ beta $ (berúc do úvahy znamienko $ \\ alpha $ a $ \\ beta $). Vrchol tejto paraboly je umiestnený v bode $ (- \\ alpha, \\ beta) $, jeho osou je priamka $ x \u003d - \\ alpha $. Pre $ a\u003e 0 $ je vrchol najnižší bod paraboly, pre $ a
Poďme teraz vykonať prieskum štvorcového trojuholníka, t. J. Zistíme jeho vlastnosti v závislosti od číselné hodnoty koeficienty $ a, b, c $ vo vyjadrení (1).

Označme v rovnosti (2 ") hodnotu $ b ^ 2-4ac $ pomocou $ d $:

$ y \u003d a \\ doľava (x + \\ frac (b) (2a) \\ doprava) ^ 2 - \\ frac (d) (4a) $; (4)

$ d \u003d b ^ 2 - 4ac $ sa nazýva diskriminátor štvorcovej trojčlenky. Vlastnosti trojčlenky (1) (a umiestnenie jeho grafu) sú určené znakmi diskriminačného $ d $ a vedúceho koeficientu $ a $.

1) $ a\u003e 0, d 0 $; od $ a\u003e 0 $ sa graf nachádza nad hornými $ O ^ (\\ prime) $; leží v hornej polrovine ($ y\u003e 0 $ - obr. a.).

2) $ a
3) $ a\u003e 0, d\u003e 0 $. Vrchol $ O ^ (\\ prime) $ leží pod osou $ Ox $, parabola pretína os $ Ox $ v dvoch bodoch $ x_1, x_2 $ (obr. C.).

4) $ a 0 $. Vrchol $ O ^ (\\ prime) $ leží nad osou $ Ox $, parabola opäť pretína os $ Ox $ v dvoch bodoch $ x_1, x_2 $ (obr. D).

5) $ a\u003e 0, d \u003d 0 $. Vrchol leží na samotnej osi $ Ox $ $, parabola sa nachádza v hornej polorovine (obr. E).

6) $ a
Závery. Ak $ d 0 $) alebo nižšie (za $ a
Ak $ d\u003e 0 $, potom sa funkcia strieda (graf je čiastočne pod, čiastočne nad osou $ Ox $). Štvorcový trojuholník s $ d\u003e 0 $ má dva korene (nuly) $ x_1, x_2 $. Pre $ a\u003e 0 $ je záporný v intervale medzi koreňmi (obr. C) a kladný mimo tohto intervalu. Za $ a

Definícia

Parabola nazval graf kvadratickej funkcie $ y \u003d ax ^ (2) + bx + c $, kde $ a \\ neq 0 $.

Graf funkcie $ y \u003d x ^ 2 $.

Pre schematické zostavenie grafu funkcie $ y \u003d x ^ 2 $ nájdeme niekoľko bodov, ktoré vyhovujú tejto rovnosti. Pre pohodlie si zapíšeme súradnice týchto bodov do tabuľky:

Graf funkcie $ y \u003d ax ^ 2 $.

Ak je koeficient $ a\u003e 0 $, potom sa graf $ y \u003d ax ^ 2 $ získa z grafu $ y \u003d x ^ 2 $ buď vertikálnym natiahnutím (pre $ a\u003e 1 $), alebo kompresiou do osi $ x $ (pre $ 0< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

Ak $ a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

Graf kvadratickej funkcie.

Ak chcete vykresliť graf funkcie $ y \u003d ax ^ 2 + bx + c $, musíte vybrať celý štvorec zo štvorcového trojuholníka $ ax ^ 2 + bx + c $, to znamená reprezentovať ho ako $ a (x - x_0) ^ 2 + y_0 $ ... Graf funkcie $ y \u003d a (x - x_0) ^ 2 + y_0 $ sa získa z príslušného grafu $ y \u003d ax ^ 2 $, posunutého o $ x_0 $ pozdĺž osi $ x $ a o $ y_0 $ pozdĺž osi $ y $. Vo výsledku sa bod $ (0; 0) $ presunie do bodu $ (x_0; y_0) $.

Definícia

Pinnacleparabola $ y \u003d a (x - x_0) ^ 2 + y_0 $ sa nazýva bod so súradnicami $ (x_0; y_0) $.

Zostrojte parabolu $ y \u003d 2x ^ 2 - 4x - 6 $. Ak vyberieme celý štvorec, dostaneme $ y \u003d 2 (x - 1) ^ 2 - 8 $.

Vo výsledku sme dostali parabolu s vrcholom v bode $ (1; -8) $.

Graf kvadratickej funkcie $ y \u003d ax ^ 2 + bx + c $ pretína os $ y $ v bode $ (0; c) $ a os $ x $ v bodoch $ (x_ (1,2); 0) $, kde $ x_ (1,2) $ - korene kvadratickej rovnice $ ax ^ 2 + bx + c \u003d 0 $ (navyše, ak rovnica nemá korene, potom príslušná parabola nepretína os x x $).

Napríklad parabola $ y \u003d 2x ^ 2 - 4x - 6 $ pretína osi v bodoch $ (0; -6) $, $ (- 1; 0) $ a $ (3; 0) $.

Definované vzorcom $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ $ (a \\ ne 0). $ Čísla $ a, b $ a $ c $ sú koeficienty štvorcovej trojčlenky, zvyčajne sa nazývajú: a je najvyššia, b - druhý alebo priemerný koeficient, c - voľný termín. Funkcia tvaru y \u003d ax 2 + bx + c sa nazýva kvadratická funkcia.

Všetky tieto paraboly majú v počiatku vrchol; pre a\u003e 0 je to najnižší bod grafu (najmenšia hodnota funkcie) a pre a< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Ako vidíte, pre a\u003e 0 je parabola nasmerovaná nahor, pre a< 0 - вниз.

Existuje jednoduchá a pohodlná grafická metóda, ktorá umožňuje zostaviť ľubovoľný počet bodov paraboly y \u003d ax 2 bez výpočtov, ak poznáte bod paraboly iný ako vrchol. Bod M (x 0, y 0) nech leží na parabole y \u003d os 2 (obr. 2). Ak chceme vytvoriť n ďalších bodov medzi bodmi O a M, potom rozdelíme segment ON na vodorovnej osi na n + 1 rovnakých častí a v bodoch rozdelenia nakreslíme kolmo na os Ox. Segment NM rozdelíme na rovnaký počet rovnakých častí a body rozdelenia spojíme lúčmi s počiatkom. Hľadané body paraboly ležia na priesečníku kolmíc a lúčov s rovnakými číslami (na obr. 2 je počet deliacich bodov 9).

Graf funkcie y \u003d os 2 + bx + c sa líši od grafu y \u003d os 2 iba svojou polohou a je možné ho získať jednoduchým pohybom krivky vo výkrese. Vyplýva to zo znázornenia štvorcového trojuholníka vo forme

odkiaľ je ľahké dospieť k záveru, že graf funkcie y \u003d os 2 + bx + c je parabola y \u003d os 2, ktorej vrchol je presunutý do bodu

a jeho os symetrie zostala rovnobežná s osou Oy (obr. 3). Všetky jeho základné vlastnosti ľahko vyplývajú zo získaného výrazu pre štvorcový trojčlen. Výraz D \u003d b 2 - 4ac sa nazýva diskriminačný kvadratickej trojčlennej osi 2 + bx + c a diskriminačný súvislej kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c \u003d 0. Znak diskriminátora určuje, či graf kvadratickej trojkombinácie pretína os úsečky alebo leží na jednej strane od nej. Totiž, ak D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a > 0, potom parabola leží nad osou Ox, a ak a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D > 0, graf kvadratickej trojčlenky pretína os úsečky v dvoch bodoch x 1 a x 2, ktoré sú koreňmi kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c \u003d 0 a sú si príslušné

Pre D \u003d 0 sa parabola dotýka osi Ox v bode

Vlastnosti štvorcovej trojčlenky sú základom riešenia štvorcových nerovností. Vysvetlíme to na príklade. Nech je potrebné nájsť všetky riešenia nerovnosti 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D > 0, potom zodpovedajúca kvadratická rovnica 3x 2 - 2x - 1 \u003d 0 má dva rôzne korene, sú určené vzorcami uvedenými skôr:

x 1 \u003d -1/3 a x 2 \u003d 1.

V uvažovanej štvorhrannej trojčlenke, a \u003d 3\u003e 0, čo znamená, že vetvy jej grafu smerujú nahor a hodnoty štvorcovej trojčlenky sú záporné iba v intervale medzi koreňmi. Podmienku teda spĺňajú všetky riešenia nerovnosti

−1/3 < x < 1.

Rôzne nerovnosti možno znížiť na kvadratické nerovnosti s rovnakými substitúciami, ktoré znižujú rôzne rovnice na kvadratické.

Námestie trojročné sa nazýva polynóm 2. stupňa, teda vyjadrenie tvaru sekera 2 + bx + c , Kde a ≠ 0, b, c - (zvyčajne uvedené) reálne čísla, nazývané jeho koeficienty, x - premenná.

Poznámka: koeficient a môže byť akékoľvek reálne číslo iné ako nula. Skutočne, ak a \u003d 0, teda sekera 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = 0 + bx + c = bx + c. V takom prípade vo výraze nezostane žiadny štvorec, takže ho nemožno spočítať námestie trojmesačný. Takéto výrazy sú však dvojčlenné ako napríklad 3 x 2 − 2x alebo x 2 + 5 možno považovať za štvorcové trojčlenky, ak ich doplníme chýbajúcimi monomiálmi s nulovými koeficientmi: 3x 2 − 2x = 3x 2 − 2x + 0 a x 2 + 5 = x 2 + 0x + 5.

Ak je úlohou určiť hodnoty premennej xpri ktorej štvorcový trojuholník nadobúda nulové hodnoty, t.j. sekera 2 + bx + c = 0, potom máme kvadratická rovnica.

Ak existujú platné korene x 1 a x 2 nejakej kvadratickej rovnice, potom prisl trinomiál je možné rozložiť na lineárne faktory: sekera 2 + bx + c = a(x − x 1)(x − x 2)

Komentár: Ak sa štvorcový trojuholník uvažuje na množine komplexných čísel C, ktoré ste možno ešte neštudovali, potom sa dá vždy rozložiť na lineárne faktory.

Ak existuje iná úloha, určite všetky hodnoty, ktoré môže mať výsledok výpočtu štvorcovej trojčlenky pre rôzne hodnoty premennej x, t.j. definovať r z výrazu r = sekera 2 + bx + c, potom máme do činenia s kvadratická funkcia.

Čím kvadratické korene sú nuly kvadratickej funkcie .

Štvorcový trojčlen môže byť tiež znázornený ako

Toto znázornenie je užitočné na vykreslenie a štúdium vlastností kvadratickej funkcie skutočnej premennej.

Kvadratická funkcia je funkcia definovaná vzorcom r = f(x), Kde f(x) je štvorcový trojuholník. Tých. vzorcom formulára

r = sekera 2 + bx + c,

Kde a ≠ 0, b, c - akékoľvek reálne čísla. Alebo transformovaný vzorec ako

.

Grafom kvadratickej funkcie je parabola, ktorej vrchol je v bode .

Poznámka: Nie je tu napísané, že by sa graf kvadratickej funkcie nazýval parabola. Tu sa hovorí, že grafom funkcie je parabola. Je to preto, že matematici takúto krivku objavili a nazvali ju parabolou skôr (z gréckeho παραβολή - porovnanie, porovnanie, podobnosť), ešte pred fázou podrobného štúdia vlastností a grafu kvadratickej funkcie.

Parabola - priesečná čiara priameho kruhového kužeľa rovinou, ktorá neprechádza vrcholom kužeľa a je rovnobežná s jednou z generácií tohto kužeľa.

Parabola má ešte jednu zaujímavú vlastnosť, ktorá sa tiež používa ako jej definícia.

Parabola je množina bodov v rovine, ktorej vzdialenosť od určitého bodu v rovine, ktorá sa nazýva ohnisko paraboly, sa rovná vzdialenosti od určitej priamky, ktorá sa nazýva directrix paraboly.

Načrtnite graf kvadratická funkcia môže charakteristickými bodmi .
Napríklad pre funkciu y \u003d x 2 brať body

Ak ich spojíme ručne, postavíme pravú polovicu paraboly. Ľavá je získaná symetrickým odrazom okolo osi y.

Na stavbu načrtnite graf kvadratickej funkcie všeobecný pohľad ako charakteristické body je vhodné vziať súradnice jeho vrcholu, nuly funkcie (korene rovnice), ak existujú, priesečník s osou súradnice (pre x = 0, y \u003d c) a bod, ktorý je k nej symetrický vzhľadom na os paraboly (- b / a; c).

Ale v každom prípade, bodmi sa dá zostrojiť iba skica grafu kvadratickej funkcie, t.j. približný graf. To postaviť parabolu presne, musíte použiť jeho vlastnosti: focus a adresáre.
Vybavte sa papierom, pravítkom, štvorcom, dvoma gombíkmi a silnou niťou. Jedno tlačidlo prilepte približne do stredu hárku papiera - v mieste, na ktoré bude zameraná parabola. Druhé tlačidlo pripevnite k vrcholu menšieho rohu štvorca. Na základniach gombíkov upevnite vlákno tak, aby sa jeho dĺžka medzi gombíkmi rovnala veľkej nohe štvorca. Nakreslite priamku, ktorá neprechádza ohniskom budúcej paraboly - riaditeľky paraboly. Pripojte pravítko k directrix a štvorec k pravítku, ako je to znázornené. Posuňte štvorec pozdĺž pravítka a súčasne stlačte ceruzku proti papieru a proti štvorcu. Uistite sa, že je niť napnutá.

Zmerajte vzdialenosť medzi ohniskom a directrixom (pripomínam, že vzdialenosť medzi bodom a priamkou je určená kolmicou). Toto je ústredný parameter paraboly p... V súradnicovom systéme znázornenom na pravom obrázku je rovnica našej paraboly: y \u003d x 2/ 2p... Na mierke môjho nákresu som dostal graf funkcie r = 0,15x 2.

Komentár: na zostavenie danej paraboly v danom rozsahu je potrebné urobiť to isté, ale v inom poradí. Musíte začať s osami súradníc. Potom nakreslite riaditeľku a určte polohu zaostrenia paraboly. A až potom postavte nástroj zo štvorca a pravítka. Napríklad postaviť parabolu na kockovanom papieri, ktorého rovnica je o = x 2, musíte zaostriť na vzdialenosť 0,5 bunky od directrix.

Funkčné vlastnosti o = x 2

1. Rozsah funkcie je celý číselný rad: D(f) = R = (−∞; ∞).
2. Rozsah funkcií je kladná polpriamka: E(f) = }