Žiadne racionálne číslo nie je platné. Prvky matematickej logiky. Zápisy v jazyku predikátovej algebry

Úloha 2.1

Ak je P (x) unárny predikát definovaný v množine M, vyjadrite nasledovné symbolické výroky slovami:

Úloha 2.2

Čo sa stane s predĺžením predikátu A (x), ktorý je definovaný ako nerovnosť x * x<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:

Úloha 2.3

Nech R (x) je „x-skutočné číslo“,

Q (x) je „x -racionálne číslo“. Pomocou týchto symbolov si zapíšte vzorec:

1. všetky racionálne čísla sú skutočné

2. žiadne racionálne číslo je skutočné

3. niektoré racionálne čísla sú skutočné

4. niektoré racionálne čísla nie sú platné

Úloha 2.4

Boli zavedené nasledujúce predikáty:

J (x) - "x je sudca",

L (x) - „x je právnik“,

S (x) - „x je darebák“,

Q (x) - "x je starý muž",

V (x) - "x - veselý",

P (x) - "x - politik",

C (x) - „x je členom parlamentu“,

W (x) - "x - žena",

U (x) - „x je žena v domácnosti“,

A (x, y) - "x obdivuje y",

j - Jones.

Nájdite zhodu medzi slovným popisom a vzorcami:

Všetci sudcovia sú právnici

Niektorí právnici sú podvodníci

Žiadny sudca nie je gauner

Niektorí sudcovia sú starí, ale veselí

Sudca Jones nie je ani starý, ani veselý

Nie všetci právnici sú sudcovia

Niektorí právnici, ktorí sú politikmi, členmi parlamentu

Žiaden poslanec nie je hore

Všetci starí členovia parlamentu sú právnici

Niektoré ženy sú právničky aj členky parlamentu

Žiadna žena nie je politička ani žena v domácnosti

Niektoré právničky sú tiež ženy v domácnosti

Všetky ženy sú právničky, obdivujte niektoré sudkyne

Niektorí právnici obdivujú iba sudcov

Niektorí právnici obdivujú ženy

Niektorí gauneri neobdivujú ani jedného právnika

Sudca Jones neobdivuje nijakého gaunera

Existujú aj právnici aj gauneri, ktorí obdivujú sudcu Jonesa

Iba sudcovia obdivujú sudcov

a. $ x $ y (L (x) / \\ S (y) / \\ A (x, j) / \\ A (y, j) / \\ J (j))

b. „x (J (x) ®“ y (A (x, y) ®J (y)))

c. „x (C (x) ® ù“ (x))

d. "x (C (x) / \\ Q (x) ®L (x))

e. $ x (Š (x) / \\ L (x) / \\ C (x))

f. $ x (Š (x) / \\ L (x) / \\ U (x))

g. „x (W (x) ® ù (P (x) / \\ U (x)))

h. "x (W (x) / \\ L (x) ® $ y (J (y) / \\ A (x, y)))

j. "x (J (x) ®L (x))

k. $ x (L (x) / \\ $ y (W (y) / \\ A (x, y)))

l. $ x (L (x) / \\ S (x))

m. $ x (S (x) / \\ "y (L (y) / \\ ù A (x, y)))

n. „x (J (x) ® ù S (x))

o. "x (J (j) / \\ ù A (j, x) / \\ S (x))

p. $ x (J (x) / \\ Q (x) / \\ "(x))

q. $ x (L (x) / \\ $ y (W (y) / \\ A (x, y)))

r. J (i) / \\ ù Q (j) / \\ ù "(j)

s. ù "x (L (x) ®J (x))

t. $ x (L (x) / \\ P (x) / \\ C (x))

Úloha 2.5

Preložiť nasledujúce frázy do jazyka vzorcov:

ak je ktorékoľvek číslo deliteľné ľubovoľným číslom, potom je párne

pre každé reálne číslo x existuje také, že pre každé k, ak je súčet k a 1 menší ako y, potom je súčet x a 2 menší ako 4

existuje párne číslo, ktoré je deliteľné ľubovoľným číslom, ak je akékoľvek, prvočíslo

najväčší spoločný deliteľ a a b je deliteľný akýmkoľvek spoločným deliteľom

aby mohlo byť akékoľvek číslo prvočíslo, je potrebné, aby ho nebolo možné deliť žiadnym nepárnym číslom

pre každé reálne číslo existuje väčšie reálne číslo

existujú skutočné čísla x, y, k také, že súčet čísel x a y je väčší ako súčin čísel x a k.

ak je súčin konečného počtu faktorov 0, potom aspoň jeden z faktorov je 0

Úloha 2.6

Boli zavedené nasledujúce predikáty:

P (x) - „x je prvočíslo“

E (x) - „x je párne číslo“

O (x) - „x je nepárne číslo“

D (x, y) - "y je deliteľné x"

Preložiť vzorce do ruštiny:

3. "x (D (2, x) ®E (x))

4. $ x (E (x) / \\ D (x, 6))

5. "x (ù E (x) ® ù D (2, x))

6. "x (E (x) / \\" y (D (x, y) ®E (y)))

7. "x (P (x) ® $ y (E (y) / \\ D (x, y)))

8. "x (O (x) ® * y (P (y) ® ù D (x, y)))

Úloha 2.7

Preukázať nasledujúce rovnocennosti:

1. \u003d $ x (A (x) ®B (x)) ¬® "x (A (x) ® $ x B (x))

2. \u003d $ x (A (x) ¬®B (x)) ¬® "x (A (x) \\ / B (x)) ® $ x (A (x) / \\ B (x))

Úloha 2.8

Dokážte nasledujúce tautológie:

1. \u003d "x A (x) ® $ x A (x)

2. \u003d ù "x A (x) ¬® $ x ù A (x)

3. \u003d $ x A (x) ¬® ù "x ù A (x)

Úloha 2.9

Získajte predikátové výrazy v správnom normálnom tvare:

1. "x ((" y F (x, y) / \\ "y G (x, y, z)) \\ /" y $ z H (x, y, z))

2. $ x (ù ($ y P (x, y) ® $ z Q (z) ®R (x)))

Úloha 2.10

Uveďte výraz do spojivkovej normálnej formy:

"x (P (x) ® (" y (P (y) ®P (f (x, y)))) / \\

/ \\ ù ("" y (Q (x, y) ®P (y))))

Problém 2.11

Zostavte pravdivostné tabuľky pre nasledujúce vzorce (predikáty sú definované na množine dvoch prvkov):

1. "x (P (x) ®Q) \\ / (Q / \\ P (y))

2. "x (S (x) ®L) ¬® $ x (S (x) ®L)

3. "x $ y ((B (x) / \\ D (y)) \\ / (B (x) ®C))

4. "x P (x) ¨S) / \\ (P (y) \\ / S)

5. ($ x D (x) / \\ A) ¨ ($ x E (x) \\ / A)

6. ("x A (x) ®Q) \\ / (Q® $ x A (x))

7. (A (y) \\ / Q) ¨ ($ x A (x) / \\ Q)

Úloha 2.12

Dané: D \u003d (a, b), P (a, a) \u003d u, P (a, b) \u003d l, P (b, a) \u003d l, P (b, b) \u003d a Určte pravdivostné hodnoty vzorcov:

1. „x $ y P (x, y)

2. $ x "y P \u200b\u200b(x, y)

3. „x“ y (P (x, y) ®P (y, x))

4. „x“ y P (x, y)

5. $ y ù P (a, y)

7. "x $ y (P (x, y) / \\ P (y, x))

8. $ x "y (P (x, y) ®P (y, x)) \\ / P (x, y)

Úloha 2.13

Skontrolujte konzistenciu týchto dôvodov:

Každý študent je čestný. John nie je čestný. John teda nie je študent.

Svätého Františka miluje každý, kto niekoho miluje. Každý niekoho miluje. Preto všetci milujú svätého Františka.

Žiadne zviera nie je nesmrteľné. Mačky sú zvieratá. To znamená, že niektoré mačky nie sú nesmrteľné.

Iba vtáky majú perie. Žiadny cicavec nie je vták. Preto sú všetky cicavce bez peria.

Všetci politici sú herci. Niektorí z aktérov sú pokrytci. To znamená, že niektorí politici sú pokrytci.

Blázon by toho bol schopný. Nie som toho schopný. Nie som teda hlupák.

Ak niekto dokáže vyriešiť tento problém, potom by to mohol urobiť nejaký matematik. Saša je matematik, ale nemôže. Preto problém nie je riešiteľný.

Tento problém môže vyriešiť každý matematik, ak ho niekto dokáže vyriešiť. Saša je matematik, ale nevie vyriešiť. Preto je problém neriešiteľný.

Každý, kto dokáže vyriešiť tento problém, je matematik. Saša to nemôže vyriešiť. Saša preto nie je matematik.

Každý, kto dokáže vyriešiť tento problém, je matematik. Žiadny matematik nemôže vyriešiť tento problém. Preto je nerozpustný.

Ak akékoľvek číslo ležiace striktne medzi 1 a 101 rozdeľuje 101, potom prvočíslo menšie ako 11 rozdeľuje 101. Žiadne prvočíslo menšie ako 11 nerozdeľuje 101. Takže žiadne číslo medzi 1 a 101 nerozdeľuje 101 ...

Ak je každý predok predka daného jednotlivca zároveň predkom toho istého jednotlivca a žiaden jednotlivec nie je predkom seba samého, potom musí existovať niekto, kto nemá predkov.

Pre každú osobu existuje osoba, ktorá je od nej staršia. Ak - x je potomkom y, potom x nie je staršie ako y. Všetci ľudia sú potomkami Adama. Preto Adam nie je človek.

Pre každú množinu x existuje množina y taká, že mohutnosť y je väčšia ako mohutnosť x. Ak je x zahrnuté v y, potom mohutnosť x nie je väčšia ako mohutnosť y. Akákoľvek množina je zahrnutá do V. Preto V nie je množina.

Všetky plazy majú 4 nohy alebo ich nemajú vôbec. Žaba má 4 nohy. Takže je to plaz.

Študent, ktorý úspešne absolvuje seminár včas, dostane štipendium. Petrov nedostáva štipendium. Nie je preto študentom.

Všetky vtáky kladú vajcia. Žiadny krokodíl nie je vták. Krokodíly preto nekladú vajcia.

Učiteľ je rád, ak všetci jeho študenti úspešne zvládnu skúšku na prvý pokus. Na prvý pokus nikto nedokáže prejsť logikou. Učiteľ logiky je preto vždy nešťastný.

Každý študent piateho ročníka dostane diplom, ak zložil všetky skúšky. Nie všetci dostali diplom. Znamená to, že niekto nezložil všetky skúšky.

Žiadny človek nemá rád hmyz. Pavúky nie sú hmyz. Niekto ich teda miluje.

Všetci učitelia kreslenia sú muži. Všetky hodiny v nižších ročníkoch učia ženy. V nižších ročníkoch sa preto kresba neučí.

Každý, kto vyštudoval strednú školu, vie po anglicky. Nikto z rodiny Muellerovcov nevie anglicky. Ľudia bez stredoškolského vzdelania nie sú prijatí na vysokú školu. V dôsledku toho nikto z Müllerovcov nechodí na vysokú školu.

Všetky čerpacie stanice sú nákladovo efektívne. Všetky miesta prijatia jedál sú nerentabilné. Podnik nemôže byť súčasne ziskový aj nerentabilný. Žiadna čerpacia stanica preto neprijíma fľaše.

Každý, kto je pri zmysloch, rozumie matematike. Nikto z Tomových synov nerozumie matematike. Blázni nemôžu hlasovať. V dôsledku toho žiadny z Tomových synov nemôže hlasovať.

Každý kaderník v N holí všetkých tých a len tých, ktorí sa neholia sami. Preto v N. nie je jediný kaderník.

Každý športovec je silný. Každý, kto je silný a inteligentný, dosiahne v živote úspech. Peter je športovec. Peter je bystrý. Preto bude v živote úspešný.

Úloha 2.14

Zrekonštruujte zmeškané priestory alebo záver tak, aby bolo logické nasledujúce zdôvodnenie:

Iba odvážni sú hodní lásky. V láske má šťastie. Nie je odvážny.

Dospelí mali vstup povolený iba s deťmi. Pustili ma dnu. To znamená, že som buď dieťa, alebo som prišiel s dieťaťom.

Úloha 2.15

Nasledujúce tvrdenia sú pravdivé:

znalosť dátovej štruktúry je nevyhnutná na zlepšenie disciplíny mysle;

iba programátorské skúsenosti môžu vytvoriť disciplinovanú myseľ;

aby bolo možné napísať prekladač, musí byť schopný analyzovať úlohy;

nedisciplinovaná myseľ nemôže analyzovať úlohy;

za skúseného programátora možno považovať každého, kto písal štruktúrované programy.

Je možné z týchto predpokladov určiť platnosť nasledujúcich tvrdení:

6. Skúsenosti s písaním štruktúrovaných programov sú potrebné na to, aby bolo možné napísať prekladač;

7. znalosť dátových štruktúr je súčasťou skúseností s programovaním;

8. analýza úloh nie je možná pre tých, ktorí ignorujú dátové štruktúry;

9. Ostrieľaný programátor, ktorý písal štruktúrované programy, je schopný analyzovať problémy a má disciplinovanú myseľ, je programátor, ktorý dokáže napísať kompilátor.

Úloha 2.16

Napíš predpoklady vo forme vzorcov a použi všetky známe metódy na preukázanie správnosti záverov.

Balíky: 1. Drak je šťastný, ak všetky jeho deti môžu lietať;

2. zelený drak môže lietať;

3. Drak je zelený, ak je aspoň jeden z jeho rodičov zelený, inak je žiarivo ružový.

Závery: 1. Zelení draci sú šťastní.

2. Bezdetní draci sú šťastní (môžete tu potrebovať zjavné zmeškané priestory).

3. Čo by mal žiarivo ružový drak urobiť, aby bol šťastný?

Úloha 2.17

Používanie symbolov zavedených pre predikáty a aritmetické znaky (napríklad „+“ a „<"), перевести на язык формул:

1. Ak je súčin konečného počtu faktorov nulový, potom je aspoň jeden z faktorov nulový (Px znamená „x je súčin konečného počtu faktorov“ a Fxy - „x je jeden z faktorov y“).

2. Najväčší spoločný deliteľ čísel a a b je deliteľný niektorým z ich spoločných deliteľov (Fxy znamená „x je jedným z deliteľov čísla y“ a Gxyz - „z je najväčší spoločný deliteľ čísel x a y“).

3. Pre akékoľvek reálne číslo x existuje väčšie reálne číslo y (Rx).

4. Existujú skutočné čísla x, y, z také, že súčet čísel x a y je väčší ako súčin čísel x a z.

5. Pre každé reálne číslo x existuje také, že pre každé z, ak je súčet z a 1 menší ako y, potom je súčet x a 2 menší ako 4.

Úloha 2.18

Nech A0, A1, ..., An, ... je postupnosť reálnych čísel. Použite obmedzené kvantifikátory na symbolizáciu:

1. Tvrdenie, že a je limitom tejto postupnosti; 2. Tvrdenie, že táto postupnosť má svoj limit; 3. Tvrdenie, že táto postupnosť je Cauchyova postupnosť (to znamená, že ak je daná hodnota ε\u003e 0, potom existuje kladné číslo k také, že n, m\u003e k znamená úAn - Amú< e).

Napíšte negáciu každého zo vzorcov.

Úloha 2.19

Vytvorte závery, ktoré zodpovedajú nasledujúcemu zdôvodneniu:

Žiadny republikán ani demokrat nie je socialista. Norman Thomas je socialista. Preto nie je republikán.

Každé racionálne číslo je skutočné číslo. Existuje racionálne číslo. Preto existuje reálne číslo.

Žiadny prvák nemá rád druhákov. Všetci v Duscombe sú druháci. V dôsledku toho žiaden nováčik nemiluje nikoho žijúceho v Duscombe.

Niektorí prváci milujú všetkých druhákov. Žiadny nováčik nemá rád predposledného žiaka. Žiadny druhák teda nie je študentom predposledného ročníka.

Niektorí ľudia majú radi Elvisa. Niektorí ľudia nemajú radi nikoho, kto má rád Elvisa. Niektoré preto nemilujú všetci.

Žiadny drogový díler nie je drogovo závislý. Niektorí drogovo závislí boli stíhaní. Niektorí zo stíhaných osôb preto nie sú dílermi drog.

Všetci prváci sa stretávajú so všetkými druhákmi. Žiadny nováčik nestretne žiadneho študenta z predposledného ročníka. Sú druháci. Žiadny druhák teda nie je študentom predposledného ročníka.

Všetky racionálne čísla sú skutočné čísla. Niektoré racionálne čísla sú celé čísla. V dôsledku toho sú niektoré reálne čísla celé čísla.

16. Čo z toho je tvrdenie:

a) železo je ťažšie ako olovo;

b) kaša - vynikajúce jedlo;

c) matematika je zaujímavý predmet;

d) dnes je nepriaznivé počasie.

17. Ktorá z nasledujúcich viet je nepravdivá:

a) železo je ťažšie ako olovo;

b) kyslík - plyn;

c) informatika je zaujímavý predmet;

d) železo je ľahšie ako olovo.

18. Ktorým z vyššie uvedených výrokov je negácia výroku: „Všetky prvočísla sú nepárne“:

a) „Existuje párne prvočíslo“;

b) „Existuje nepárne prvočíslo“;

c) „Všetky prvočísla sú párne“;

d) „Všetky nepárne čísla sú prvočísla“?

19. Ktorej logickej operácii zodpovedá nasledujúca tabuľka pravdy:

a) spojka;

b) disjunkcie;

c) dôsledky;

d) rovnocennosť.

20. Ktorej logickej operácii zodpovedá nasledujúca tabuľka pravdy:

a) rovnocennosť;

b) spojka;

c) dôsledky;

d) disjunkcie.

21. Nech A označuje výrok „Tento trojuholník je rovnoramenný“ a nech

B - príslovie „Tento trojuholník je rovnostranný.“ Uveďte pravdivé príslovie:

22. Ak existuje množina príkazov A 1, A 2, ... A n, ktorá premieňa vzorec algebry príkazov F (X 1, X 2, ..., X n) na pravdivý výrok, potom sa tento vzorec nazýva:

a) uskutočniteľné;

b) tautológia;

c) rozpor;

d) vyvrátiteľné.

23. Tautológia je vzorec výrokovej algebry F (X 1, X 2, ..., X n):

a) ktorý sa zmení na pravdivý výrok pre všetky súbory premenných;

b) pre ktoré existuje množina výrokov, ktoré menia vzorec na pravdivý výrok;

c) ktoré sa zmení na nepravdivé tvrdenie pre všetky súbory premenných;

d) pre ktoré existuje množina výrokov, ktoré menia vzorec na nepravdivý výrok.

24. Ktorý zo vzorcov je vyvrátiteľný:

25. Ktorý zo vzorcov je uskutočniteľný:

26. Ktorému výroku zodpovedá výrok: „Pre akékoľvek číslo existuje také číslo, že“:

27. Ktoré vyjadrenie zodpovedá tvrdeniu:

a) „Existujú čísla a také;

b) „Rovnosť je spravodlivá pre všetkých;

c) „Existuje číslo také, že pre všetky čísla“;

d) „Pre každé číslo existuje číslo také, že“.

28. Ktoré z tvrdení je nepravdivé:

29. Uveďte množinu pravdy predikátu “ x násobok 3 "definovaný v množine M \u003d (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9):

a) TP \u003d (3, 6, 9);

c) TP \u003d (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

d) TP \u003d (3, 6, 9, 12).

30. Uveďte množinu pravdy predikátu “ x násobok 3 "definovaný cez množinu M \u003d (3, 6, 9, 12):

a) TP \u003d (3, 6, 9, 12); b) TP \u003d (3, 6, 9);

c) TP \u003d (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); d) TP \u003d Æ.

31. Uveďte pravdivostnú množinu predikátu " x 2 + x + 6 \u003d 0"Nastaviť nad množinu reálnych čísel:

a) TP \u003d Æ; b) TP \u003d (1, 6); c) TP \u003d (- 2, 3); d) TP \u003d (- 3, 2).

32. Uveďte pravdivostnú množinu predikátu:

33. Uveďte pravdivostnú množinu predikátu:

38. Uvádzame tieto unárne predikáty:

Q (x): « x - racionálne číslo “;

R (x): « x - Reálne číslo ".

Potom možno predikát považovať za preklad do jazyka predikátovej algebry nasledujúceho výrazu:

a) niektoré racionálne čísla sú skutočné;

b) niektoré racionálne čísla nie sú skutočné;

c) racionálne číslo nie je skutočné;

d) všetky racionálne čísla sú skutočné.

10 - Matematická logika a) xy → x ∨ x (y ∨ z); a) * xy ∨ xz; j) (x | y) → (x | z); b) x ~ y; l) (x ∨ y) (x ∨ z) ∨ xy; c) * xy; m) (x ∨ y) x ∨ z; d) xyz; e) x (y∨z) → (xy∨z); n) (x ↓ y) ~ (x ⊕ y); o) (x ~ y) ~ (x ~ z); g) (x ⊕ y → c) ↓ c; n) (x ~ y) ⊕ (x ~ z); h) * x → (y → x); p) (x ∨ y) (x ∨ z) (x ∨ w). 17. Získajte SDNF a potom choďte na SKNF: b) * (x → y) → (y → x); 18. * Nech je zadaná funkcia f (komplexný výrok) z troch argumentov (elementárne výroky) x, y, z a f (x, y, z) \u003d x. Zostavte SDNF pre danú funkciu. 19. Získajte SKNF a potom choďte na SDNF: d) * (x | y) xy; 20. Získajte MDNF pre vzorce: a) * ((x ⊕ y) ~ z) → x; b) * ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y); c) * (x ⊕ y) → z ∨ y; d) * ((A → B) ~ (C ~ D)) B → A → (C ~ D); e) * (A ∨ B ∨ C ∨ D) (A ∨ B ∨ C ∨ D); f) * x ∨ yz ∨ xz; g) * (x → y) → z ∨ x; h) * xy ∨ xy ∨ xz; 22. * Z kontaktov x, y, z vytvorte obvod tak, že sa uzavrie, len ak sú ktorékoľvek dva z troch kontaktov x, y, z zatvorené. 24. * Zjednodušte schémy na obr. 1, aab. a) b) Obr. 1 - 11 - Matematická logika 25. * Píšte v predikátnom jazyku: a) všetci študenti študujú; b) niektorí študenti sú vynikajúci študenti; c) pre ľubovoľné číslo nájdete väčšie číslo; d) x + y \u003d z; e) každý objekt má vlastnosť A; f) niečo má vlastnosť A; g) žiadny objekt nemá vlastnosť A; h) niečo nemá vlastnosť A; i) každé racionálne číslo je skutočné číslo; j) niektoré reálne čísla sú racionálne; k) žiadne racionálne číslo nie je skutočné; l) niektoré racionálne čísla nie sú skutočné. 26. * Skúste vysvetliť, prečo sa pri cvičeniach 25a a 25i použila implikácia a v 25b a 25k sa použila spojka. 27. * Napíšte v predikatívnom jazyku: a) deti mladšie ako 16 rokov (D (x)) a robot (R (x)) majú zakázaný vstup (B (x)); b) všetky deti do 16 rokov (D (x)) a robot (R (x)) musia získať osvedčenie (C (x)). 28. * Napíšte v jazyku predikátov: a) akékoľvek N deliteľné 12 je deliteľné 2, 4 a 6; b) každý študent absolvoval najmenej jednu laboratórnu prácu; c) jedna priamka prechádza dvoma rôznymi bodmi. 29. Napíšte v predikátnom jazyku: e) * každý študent (C (x)) - športovec (S (x)) má medzi filmovými hercami (K (y)) nejaký idol (y) (B (x, y)) ; f) * ak sú niektoré sálové počítače (B (x)) prepojené (C (x, y)) s iným sálovým počítačom (B (y)), potom neexistuje žiadny minipočítač (M (x)), ktorý by mal rozhranie (S (x)); tridsať. * Za akých podmienok: a) ∀x P (x) ≡ ∃x P (x); b) ∃x P (x) ≡ O, a ∀x P (x) ≡ 1; 33. * Toto je teraz klasický príklad ilustrujúci ďalšie zložitosti spojené s popretím: je známe, že veta „Súčasný francúzsky kráľ je plešatý“ nie je pravdivá. Ako to napísať v jazyku predikátov. RIEŠENIA A ODPOVEDE. - 12 - Matematická logika 1a. Vyberajme elementárne výroky služobne: A - študent je vynikajúci študent; B - študent sa venuje sociálnej práci; C - študent porušuje pravidlá; D - študent dostane štipendium. Potom bude mať symbolická forma zložitého príkazu tvar A ⋅B⋅C → D. 1b. Symbolický zápis môže byť nasledovný: П⋅З → С⋅Р → P. () 3. V logike výrokov by sa mali považovať za správne výroky typu „Nie je pravda, že Peťa išiel na vysokú školu“, pretože výroky nie sú deliteľné. 8. A ∨ B ≡ A → B ≡ (A → B) → B, A & B ≡ A → B. 11.a ABC BC A BC ∨ ABC ∨ ABC alebo to isté, ale v jednoduchšej forme AB ∨ AC ∨ BC. 11b. А В ∨ ВС ∨ АС. 13a. xy z. 13c. Vzorec je už v DNF. Prečo? 14a. (x ∨ z) (y ∨ z). 14b. Vzorec je už v CNF. Prečo? 15a. xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ xyz. 15b. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz. 15d. xy ∨ x y ∨ xy ∨ x y (≡ 1). 16a. () () () xy ∨ xy ≡ xy ∨ x (xy ∨ z) ≠ x ∨ xx ∨ y (x ∨ z) (y ∨ z) ≡ (x ∨ y ∨ zz) (x ∨ z ∨ yy) ( y ∨ z ∨ xx) ≡ (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z). 16c. (x ∨ y) (x ∨ z) (x ∨ y). 16h. SKNF absentuje, pretože je to tautológia. - 13 - Matematická logika 17b. Toto je tautológia, takže na ňu neexistuje SKNF. 18.xyz ∨ xy z ∨ x yz ∨ x yz. 19 g. Toto je rozpor, takže pre to neexistuje SKNF. 20a. (((x ⊕ y) ~ z) → x ≡ (x ⊕ y) z ∨ (x ⊕ y) z ∨ x ≡ () (x ⊕ y) z ⋅ (x ⊕ y) z ∨ x ≡ (x ⊕ y ∨ z) x ⊕ y ∨ z ∨ x ≡ (xy ∨ xy ∨ z) (xy ∨ xy ∨ z) ∨ x ≡ xyz ∨ x yz ∨ xy z ∨ xyz ∨ x yz ∨ xy z - SDNF x ∨ yz ∨ yz - SKDNF a MDNF. 20b. (((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y) ≡ (xy ⊕ xz) ∨ yz ≡ xyxz ∨ xy xz ∨ yz ≡ () () xyz ∨ x ∨ yx ∨ z ∨ yz ≡ xyz ∨ x ∨ yz ∨ yz ≡ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ x yz - SDNF x ∨ y ∨ z - MDNF. 20c. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x yz - SDNF xy ∨ x y ∨ yz - MDNF. 20 g. A BCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ A BCD - SKNF A B ∨ CD ∨ CD - MDNF. 20d. A∨C∨ D. 20s. x∨z. 20 g. x∨z. 20h. xy ∨ x y ∨ xz alebo xy ∨ x y ∨ yz. 21c. xy ∨ xz. 21g. 1. 22. Pozri obr. 2. - 14 - Matematická logika Obr. 2 23a. Pozri obr. 3. a) b) Obr. 3 23. Zjednodušené diagramy budú mať formu znázornenú na obr. 4.a) b) Obr. 4 25a. ∀x (C (x) → Y (x)), kde C (x) je „x je študent“ a Y (x) je „x je študent“. 25b. ∃x (C (x) a O (x)). 25c. Dvojitý predikát napíšeme ako obyčajný vzťah: ∀х ∃y (x< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает следующие решения: а) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , что равносильно ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ; б) ошибкой была бы запись ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , так как D(x) & R(x) – пусто. Правильным решением будет ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) . 28a. ∀x (А(х) → Д(х) & Ч(х) & Ш(х)). 28б. ∀x ∃y B(x,y) . 28в. ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) . 29д. ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) . 29е. ∃x Б(х) & ∀y (C(x,y) → Б(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) . 30а. Когда х определён на предметной области из одного элемента. 30б. Когда предметная область пуста (но здесь можно и возразить). 31. Отрицаниями будут предложения в и г. Ответ можно получить фор- мально, если для предиката ∀х ∃y B(x,y) взять отрицание и совершить равносильное преобразования: ¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y) 32. Само исходное предложение на языке предикатов запишется как: ∃x K(x) & ∀x (K(x)→Л(х)) . В литературе обычно не обсуждается вариант «огульного» отрицания, т.е. ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→Л(х)) , поскольку здесь следовало уточнить, что всё таки отрицается: факт лысости короля или факт существования короля во Франции. В связи с этим предлагается два варианта отрицания: - 16 - Математическая логика ∃х К(х) & ∀x (K(x) → ¬ Л(х)) ; ¬ ∃х К(х) & ∀x (K(x) → Л(х)) . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Клини С. Математическая логика. – М. : Мир, 1973, с. 11 – 126. 2. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М. : Просве- щение, 1968, с. 71 – 93, 108 – 132. 3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М. : МГУ, 1982, с. 1 – 95. 4. Гильберг Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. – М. : Наука, т. 1, с. 23 – 45, 74 – 141. 5. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М. : Наука, 1973, с 36 – 65, 123 – 135. 6. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М. : Наука, 1972.

Tento článok je venovaný štúdiu témy „Racionálne čísla“. Ďalej sú uvedené definície racionálnych čísel, sú uvedené príklady a ako zistiť, či je číslo racionálne alebo nie.

Racionálne čísla. Definície

Pred definíciou racionálnych čísel si pripomeňme, aké ďalšie množiny čísel sú a ako navzájom súvisia.

Prirodzené čísla spolu s ich protikladom a číslom nula tvoria množinu celých čísel. Zber celých zlomkových čísel zase tvorí množinu racionálnych čísel.

Definícia 1. Racionálne čísla

Racionálne čísla sú čísla, ktoré je možné vyjadriť ako kladný zlomok a b, záporný zlomok a b alebo nula.

Môžeme teda nechať niekoľko vlastností racionálnych čísel:

1. Akékoľvek prirodzené číslo je racionálne číslo. Je zrejmé, že každé prirodzené číslo n možno reprezentovať ako zlomok 1 n.
2. Akékoľvek celé číslo vrátane čísla 0 je racionálne číslo. Akékoľvek kladné celé číslo a záporné celé číslo možno v skutočnosti ľahko predstaviť ako kladný alebo záporný obyčajný zlomok. Napríklad 15 \u003d 15 1, - 352 \u003d - 352 1.
3. Akýkoľvek kladný alebo záporný spoločný zlomok a b je racionálne číslo. Vyplýva to priamo z vyššie uvedenej definície.
4. Akékoľvek zmiešané číslo je racionálne. Koniec koncov, zmiešané číslo možno predstaviť ako obyčajnú nesprávnu zlomok.
5. Akýkoľvek konečný alebo pravidelný desatinný zlomok možno reprezentovať ako obyčajný zlomok. Preto je každá periodická alebo konečná desatinná zlomok racionálne číslo.
6. Nekonečné a neperiodické desatinné miesta nie sú racionálne čísla. Nemôžu byť zastúpené vo forme bežných zlomkov.

Uveďme príklady racionálnych čísel. Čísla 5, 105, 358, 1100055 sú prirodzené, kladné a celé čísla. Ide teda o racionálne čísla. Čísla - 2, - 358, - 936 sú celé záporné čísla a podľa definície sú tiež racionálne. Bežné zlomky 3 5, 8 7, - 35 8 sú tiež príkladmi racionálnych čísel.

Vyššie uvedená definícia racionálnych čísel môže byť formulovaná stručnejšie. Ešte raz si odpovieme na otázku, čo je to racionálne číslo.

Definícia 2. Racionálne čísla

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno reprezentovať ako zlomok ± z n, kde z je celé číslo a n je prirodzené číslo.

Je možné preukázať, že táto definícia je ekvivalentná predchádzajúcej definícii racionálnych čísel. Za týmto účelom nezabudnite, že stĺpec zlomku je ekvivalentný so znamienkom delenia. Ak vezmeme do úvahy pravidlá a vlastnosti rozdelenia celých čísel, dajú sa zapísať tieto spravodlivé nerovnosti:

0 n \u003d 0 ÷ n \u003d 0; - m n \u003d (- m) ÷ n \u003d - m n.

Môžeme teda napísať:

z n \u003d z n, n p a z\u003e 0 0, n p a z \u003d 0 - z n, n p a z< 0

Tento záznam je v skutočnosti dôkazom. Uveďme príklady racionálnych čísel na základe druhej definície. Zvážte čísla - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 a - 1 3 5. Všetky tieto čísla sú racionálne, pretože je možné ich zapísať ako zlomok s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10 000, 8 5.

Toto je ďalší ekvivalentný formulár na definíciu racionálnych čísel.

Definícia 3. Racionálne čísla

Racionálne číslo je číslo, ktoré je možné zapísať ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Táto definícia vyplýva priamo z úplne prvej definície tohto článku.

Poďme zhrnúť a formulovať súhrn k tejto položke:

1. Kladné a záporné zlomkové a celé čísla tvoria množinu racionálnych čísel.
2. Každé racionálne číslo možno reprezentovať ako obyčajný zlomok, ktorého čitateľom je celé číslo a menovateľom je prirodzené číslo.
3. Každé racionálne číslo možno tiež reprezentovať ako desatinný zlomok: konečný alebo nekonečný periodický.

Ktoré číslo je racionálne?

Ako sme už zistili, každé prirodzené číslo, celé číslo, správny a nesprávny obyčajný zlomok, periodický a konečný desatinný zlomok sú racionálne čísla. Na základe týchto znalostí môžete ľahko určiť, či je číslo racionálne.

V praxi sa však často musíte zaoberať nie číslami, ale číselnými výrazmi, ktoré obsahujú korene, stupne a logaritmy. V niektorých prípadoch je odpoveď na otázku „je číslo racionálne?“ nie je ani zďaleka zrejmé. Zvážme metódy odpovede na túto otázku.

Ak je číslo určené ako výraz obsahujúci iba racionálne čísla a aritmetické operácie medzi nimi, potom je výsledkom výrazu racionálne číslo.

Napríklad hodnota výrazu 2 · 3 1 8 - 0,25 0, (3) je racionálne číslo a rovná sa 18.

Zjednodušenie zložitého číselného výrazu vám teda umožní určiť, či je ním dané číslo racionálne.

Teraz sa poďme zaoberať koreňovým znakom.

Ukazuje sa, že číslo m n, dané ako koreň stupňa n čísla m, je racionálne, iba ak m je n-tá mocnina nejakého prirodzeného čísla.

Zoberme si príklad. Číslo 2 nie je racionálne. Zatiaľ čo 9, 81 sú racionálne čísla. 9 a 81 sú celé druhé mocniny čísel 3 a 9, v uvedenom poradí. Čísla 199, 28, 15 1 nie sú racionálne čísla, pretože čísla pod koreňovým znamienkom nie sú dokonalými štvorcami akýchkoľvek prirodzených čísel.

Teraz si vezmime komplikovanejší prípad. Je 243 5 racionálnych? Ak zvýšite 3 na piatu silu, získate 243, takže pôvodný výraz možno prepísať takto: 243 5 \u003d 3 5 5 \u003d 3. Preto je toto číslo racionálne. Zoberme si číslo 121 5. Toto číslo je iracionálne, pretože neexistuje prirodzené číslo, zvýšenie na piatu mocninu dá 121.

Aby sme zistili, či logaritmus nejakého čísla a až b je racionálne číslo, je potrebné použiť metódu rozporom. Napríklad zistite, či je číslo log 2 5 racionálne. Predpokladajme, že dané číslo je racionálne. Ak je to tak, potom ho možno zapísať ako obyčajný zlomok log 2 5 \u003d m n Podľa vlastností logaritmu a vlastností stupňa platia nasledujúce rovnosti:

5 \u003d 2 log 2 5 \u003d 2 m n 5 n \u003d 2 m

Je zrejmé, že posledná rovnosť je nemožná, pretože na ľavej a pravej strane sú nepárne a párne čísla. Preto tento predpoklad nie je pravdivý a číslo log 2 5 nie je racionálne číslo.

Stojí za zmienku, že pri určovaní racionality a iracionality čísel by sa nemalo robiť náhle rozhodnutia. Napríklad produkt iracionálnych čísel nie je vždy iracionálne číslo. Názorný príklad: 2 2 \u003d 2.

Existujú aj iracionálne čísla, ich zvýšenie na iracionálnu moc dáva racionálne číslo. V mocninách tvaru 2 log 2 3 sú báza a exponent iracionálne čísla. Samotné číslo je však racionálne: 2 log 2 3 \u003d 3.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Praktické úlohy pre časť 3

Pojem predikát a operácie s nimi.

3.1. Ktoré z nasledujúcich výrazov sú predikáty:

a) " xje deliteľné 5 "( x Î N);

b) „Rieka x ústi do Bajkalského jazera “( x preteká mnohými menami všetkých druhov riek);

o) “ x2 + 2 X + 4 "( xÎ R) ;

d) "( x + o)2 = x2 + 2 Xr + r2 "( x, rÎ R);

e) " x mať brata o» ( x, r veľa ľudí prebehne);

f) " xa o» ( x, o prebehlo veľa všetkých študentov tejto skupiny);

g) " xa o ležať na opačných stranách z» ( x, o prejsť sústavou všetkých bodov a z - všetky riadky jednej roviny);

h) "ctg 45 ° \u003d 1";

a) " x kolmý o» ( x, o prebehnite cez množinu všetkých riadkov tej istej roviny).

3.2. Pre každý z nasledujúcich príkazov nájdite predikát (jedno alebo viacnásobné), ktorý sa zmení na daný príkaz, keď sú predmetové premenné nahradené príslušnými hodnotami z príslušných polí:

a) „3 + 4 \u003d 7“;

b) „Viera a nádej sú sestry“;

c) „Dnes je utorok“;

d) „Mesto Saratov leží na brehu rieky Volhy;

e) „hriech 30 ° \u003d 1/2“;

f) „- veľký ruský básnik“;

g) „32 + 42 \u003d 52;

h) „Rieka Indigirka sa vlieva do Bajkalského jazera“;

Po zostavení takéhoto predikátu sa pokúste buď presne naznačiť jeho oblasť pravdy, alebo ju nejako načrtnúť.

Rozhodnutie. i) Môžete určiť tri predikáty, z ktorých každý sa zmení na daný výrok s príslušnou substitúciou. Prvý predikát je jednoduchý:

"Https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" width \u003d "181" height \u003d "48"\u003e. Po nahradení sa zmení na daný výrok. Výsledný výrok je pravdivý. Zadaná hodnota nevyčerpá množinu pravdivosť zostaveného predikátu. Ako je ľahké zistiť, táto sada je nasledovná: ... Druhý predikát je tiež jednoduchý: „“ (rÎ R)... Po nahradení sa zmení na dané vyhlásenie y \u003d 1. Je zrejmé, že táto hodnota vyčerpáva pravdivostnú množinu tohto predikátu..png "width \u003d" 240 "height \u003d" 48 "\u003e. Po nahradení sa zmení na daný výrok, o\u003d 1. Jej doménou pravdy je množina usporiadaných párov, ktorých zbierka je graficky znázornená ako nekonečná rodina kriviek nazývaných tangensoidy.

3.3. Prečítajte si nasledujúce výroky a určite, ktoré z nich sú pravdivé a ktoré sú nepravdivé, za predpokladu, že všetky premenné prechádzajú mnohými reálnymi číslami:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png "width \u003d" 135 "height \u003d" 21 src \u003d "\u003e

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png "width \u003d" 136 "height \u003d" 21 src \u003d "\u003e

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png "width \u003d" 232 "height \u003d" 24 src \u003d "\u003e

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png "width \u003d" 204 "height \u003d" 24 src \u003d "\u003e

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png "width \u003d" 201 "height \u003d" 24 src \u003d "\u003e

k) https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png "width \u003d" 101 height \u003d 21 "height \u003d" 21 "\u003e" vo vzťahu k premennej xktorá prechádza množinou R. Hovorí sa, že vo výraze prijímajúcom premennú o je viazaný a premenná x zadarmo. Namiesto premennej o už nemôžeme nič nahradiť, zatiaľ čo namiesto x reálne čísla je možné nahradiť, vo výsledku sa jeden predikát zmení na výroky. Napríklad výrok „ „Dá sa čítať takto:„ Existuje skutočné číslo o, také, že x) ($ y) ( x+ o\u003d 7) „je pravda. Dá sa čítať nasledovne: „Pre každé reálne číslo existuje také reálne číslo, ktorého súčet s prvým sa rovná 7“. Vo výraze „(“ x) ($ y) ( x+ o\u003d 7) ”neexistujú žiadne voľné premenné. Obe premenné xa osú pod znakmi kvantifikátorov, a preto spolu súvisia. Samotný výraz už nie je predikátom, je to výrok, pravdivý, ako sme zistili. Ak však chceme, potom pri vývoji konceptu predikátu môžeme predpokladať, že výrok je predikátom na 0 miestach, teda predikátom bez premenných. Musíme si však uvedomiť, že kvantitatívny prechod od unárneho predikátu k predikátu na 0 miestach vedie ku kvalitatívnemu skoku, takže predikát na 0 miestach je objekt kvalitatívne odlišný od predikátu na jednom mieste, hoci je ním konvenčne subsumovaný pod pojmom „predikát“.

b) Výrok „($ y) („ x)(x+ o\u003d 7) "sa dá čítať asi takto:" Existuje také skutočné číslo, ktoré po pridaní k ľubovoľnému reálnemu číslu sčíta až 7 ". Nie je ťažké vidieť, že toto tvrdenie je nepravdivé. Zvážte skutočne predikát jedného miesta "(" x)(x+ o\u003d 7) „vzhľadom na premennú y,aplikácia, ktorej výsledkom je existujúci kvantifikátor v danom výroku Je zrejmé, že bez ohľadu na to, aké skutočné číslo je nahradené predmetnou premennou y,napr. „(“ x)(x+ 4 \u003d 7) ”, predikát sa zmení na nepravdivé tvrdenie. (Príslovie „(“ x)(x+ 4 \u003d 7) „je nepravdivé, pretože unárny predikát“ ( x+ 4 \u003d 7) “sa zmení na nepravdivé tvrdenie, napríklad keď nahradíte namiesto premennej xčíslo 5.) Preto vyhlásenie „($ y) (“ x)(x+ o\u003d 7) ", vyplývajúce z unárneho predikátu" (" x)(x+ o\u003d 7) "pomocou operácie prevzatia existenčného kvantifikátora pomocou y,nepravdivé.

i) Toto tvrdenie možno čítať takto: „Akékoľvek reálne číslo sa rovná sebe samému, len ak je väčšie ako 1 alebo menšie ako 2.“ Aby sme zistili, či je tento výrok pravdivý alebo nepravdivý, pokúsime sa hľadať také reálne číslo x0,ktorý by otočil unárny predikát

do nepravdivej výpovede. Pokiaľ sa nám podarí nájsť také číslo, potom je daný výrok, ktorý sa z tohto predikátu získa „zavesením“ (teda pomocou operácie prevzatia) kvantifikátora všeobecnosti, nepravdivý. Ak prídeme k rozporu, za predpokladu, že čo je x0existuje, potom je toto tvrdenie pravdivé.

Je zrejmé, že predikát „ x \u003d x"Pri nahradení sa zmení na pravdivé tvrdenie xakékoľvek skutočné číslo, to znamená, že je identicky pravdivé. Otázka znie: je možné určiť skutočné číslo, ktoré by transformovalo predikát " „Do nepravdivej výpovede? Nie, pretože nech už vezmeme akékoľvek reálne číslo, je buď väčšie ako 1, alebo menšie ako 2 (alebo obe väčšie ako 1 a menšie ako 2 súčasne, čo v našom prípade nie je vôbec zakázané). Predikát „ »Je rovnako pravdivý. Potom predikát

A to znamená toto tvrdenie

je pravda definíciou operácie prevzatia komunitného kvantifikátora.

3.4. Nech P (x) a Q (x) sú unárne predikáty definované na množine M tak, že príkaz https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png "width \u003d" 63 height \u003d 23 "height \u003d" 23 "\u003e je nepravdivé.

3.5. Určte, či je jeden z predikátov uvedených na množine reálnych čísel dôsledkom druhého:

a) «| x |< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;

b) „x4 \u003d 16“, „x2 \u003d - 2“;

c) „x - 1\u003e 0", "(x - 2) (x + 5) \u003d 0";

d) „sin x \u003d 3", "x2 + 5 \u003d 0";

e) „x2 + 5x - 6\u003e 0“, „x + 1 \u003d 1 + x“;

f) "x2 £ 0", "x \u003d sin p";

g) "x3 - 2x2 - 5h + 6 \u003d 0", "| x - 2 | \u003d 1 ".

Rozhodnutie. g) Druhý predikát sa zmení na pravdivý výrok iba s dvoma substitúciami: x \u003d 1 a x \u003d 3. Je ľahké skontrolovať, či tieto substitúcie premenia aj prvý predikát na pravdivý výrok (sú koreňmi danej kubickej rovnice). Prvý predikát je preto dôsledkom druhého.

3.6. Zadajte množinu M hodnôt predmetnej premennej tak, aby v tejto množine bol druhý predikát dôsledkom prvého:

a) " x násobok 3 "," x párne “;

b) " x 2 \u003d 1 "," x -1 \u003d 0 ";

o) “ x zvláštny "," x- štvorec prirodzeného čísla “;

d) " x - kosoštvorec "," x - rovnobežník ";

e) " x - rovnobežník "," x - kosoštvorec “;

f) " x - ruský vedec "," x - matematik “;

g) " x - námestie "," x - rovnobežník ".

Rozhodnutie. g) Pretože každý štvorec je rovnobežník, potom množinu všetkých štvoruholníkov môžeme brať ako množinu, na ktorej je druhý predikát dôsledkom prvého.

3.7. Dokážte, že spojka identicky pravdivého predikátu s akýmkoľvek iným predikátom závislým od tých istých premenných je rovnocenná s druhou.

3.8. Dokážte, že implikácia dvoch predikátov, v závislosti od rovnakých premenných, s identicky nesprávnym dôsledkom, je ekvivalentná vyvráteniu ich premisy.

ZÁZNAMY V JAZYKU ALGEBRY PREDIKÁTOV

a Analýza uvažovania pomocou predikátovej algebry

Príklad 1... Čo znamená výrok „Riadky a a b nie sú paralelné“?

Na odhalenie významu vzorca Ø (a || b) je potrebné nájsť negáciu vzorca $ a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b \u003d Æ Ú a \u003d b). Máme Ø (a || b) \u003d Ø ($ a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b \u003d Æ Ú a \u003d b)) \u003d Ø $ a (a Ì a & b Ì a) Ú Ø (a Ç b \u003d Æ Ú a \u003d b)) \u003d Ø $ a (a Ì a & b Ì a) Ú a Ç b ¹ Æ & a ¹ b.

Ale vzorec Ø $ a (a Ì a & b Ì a), čo v ruštine znamená „Neexistuje rovina obsahujúca obe priamky a a b“, vyjadruje pomer kríženia čiar a vzorec a Ç b ¹ Æ & a ¹ b, preložený do ruštiny vetou „Čiary a a b majú spoločné body, ale nezhodujú sa,“ vyjadruje vzťah priesečníka priamok.

Nerovnobežnosť priamych línií teda znamená ich priesečník alebo kríženie. Príklad 2... Zapíšte si do jazyka predikátovej algebry takzvané „aristotelovské kategorické úsudky“, ktoré sa často používajú pri zdôvodňovaní: „Všetky S podstatou R"," Niektorí S podstatou R"," Žiadne Snie zmysel R"," Niektorí S nie zmysel R».

Záznam je uvedený v tabuľke. 1.1. Prvý stĺpec tejto tabuľky označuje typ rozsudku, ktorý vzniká pri kategorizácii kategorických rozsudkov podľa komplexného kritéria, berúc do úvahy množstvo (všeobecné a konkrétne úsudky), vyjadrené vo formulácii kvantifikátorom slovami „všetky“, „niektoré“ a kvalita (kladné a záporné úsudky), ktoré prenášané zväzkami „podstata“, „nie podstata“, „je“.

Druhý stĺpec poskytuje štandardnú slovnú formuláciu rozsudkov v tradičnej logike a piaty - ich zaznamenávanie v jazyku predikátovej algebry, zatiaľ čo S (x) treba chápať ako „x má vlastnosť S"a P (x) ako "x má túto vlastnosť R».

Štvrtý stĺpec zobrazuje vzťah medzi objemami Vs a VР pojmov S a Rak sú rozsudky chápané v najvšeobecnejšej podobe, ak poskytujú komplexné informácie iba o predmete. Napríklad z rozsudku „Všetci S podstatou R»Je zrejmé, že hovoríme o všetkých S, rozsah predikátu nie je definovaný: hovoríme o všetkých objektoch s vlastnosťou P, alebo len niekoľko; iba ak S podstatou P, alebo sú aj iné objekty R... Niekedy táto neistota ohľadne rozsahu predikátu R odstraňuje kontext, niekedy nie je potrebné toto vylúčenie. Na zdôraznenie pomeru objemu VР k objemu Vs použite konkrétnejšiu formuláciu „Všetko S a nielen S podstatou R„alebo všetko S a len oni sú R„. Druhá formulácia sa nazýva druhové potvrdzujúci rozsudok. Na prvý výrok odpovedá Vennov diagram, ktorý je znázornený na obr. 1, a, druhý, na obr. 1, b. S tým bolo povedané, rozsudok „Niektorí S podstatou R„Všeobecne sa chápe ako„ Niektoré S a nielen oni sú R», Čo zodpovedá diagramu na obr. 2, a, ale môže to znamenať aj „Niektoré S a len oni sú S"(Obr. 2, b). Rozsudok „Všetko S nie zmysel R», Všeobecne chápané, zodpovedá schéme na obr. 3, a. Rovnaký úsudok v rozlišovacej forme „Všetci S a len nie sú R”Odpovedá schéma na obr. 3, b. Táto formulácia je v súlade s opisom vzťahu medzi protichodné pojmy , teda tých, ktorých objemy nepretínajú a nevyčerpávajú objem všeobecnejšieho generického konceptu. Napokon rozsudok „Niektorí S nejedia R»Spravidla zodpovedá diagramu na obr. 4, a, a vo formulári zvýraznenia „Niektoré S a len nie sú R»- schéma na obr. 4, b. Tabuľka 3.1

Typ rozsudku	Písanie tradičnou logikou slovných formulácií	Zápis v jazyku predikátovej algebry	Vzťah medzi objemami Vs a VR
Všeobecne kladné	Všetky S podstatou P		Obr
Súkromné \u200b\u200bpotvrdenie	Niektoré S podstatou R		Obrázok: 2
Spravidla negatívne	Žiadne Snie zmysel R
Často negatívne	Niektoré S nie zmysel R		Obr

Príklad 3... Analyzujte úvahu „Všetci ľudia sú smrteľní; Sokrates je muž; preto je Sokrates smrteľný. ““ Prvým predpokladom odôvodnenia je všeobecne kladný rozsudok (pozri príklad 2). Uveďme notáciu: H (x): x - osoba; C (x): x - smrteľník; c - Sokrates.

Štruktúra odôvodnenia:

„x (H (x) ÞC (x)), H (s) ├ C (s). (3.1)

Nasledujúci (3.1) nechajte zlyhať. Potom v nejakej doméne Musí existovať množina (a, li (x), lj (x)) pre (c, H (x), C (x)), za ktorých budú splnené nasledujúce podmienky:

"x (li (x) Þ lj (x)) \u003d И; li (a) \u003d И; lj (a) \u003d L.

Ale potom implikácia li (a) Þ lj (a) má hodnotu A, a preto je podľa definície všeobecného kvantifikátora „x (li (x) Þ lj (x)) \u003d A, čo je v rozpore s prvou podmienkou. Preto je záver 2.8 pravdivý, a pôvodné odôvodnenie je správne.

Príklad 4... Analyzujte dôvody: „Akýkoľvek hokejový tím, ktorý môže poraziť CSKA, je prvoligovým tímom. Žiadny prvoligový tím neporazí CSKA. Takže CSKA je neporaziteľný. ““

O označeních: P (x): tím x môže poraziť CSKA; B (x): tím x z hlavnej ligy.

Štruktúra odôvodnenia:

„x (P (x) Þ B (x)),“ x (B (x) Þ ØP (x)) ├ Ø $ xP (x).

To, či je získaný dôsledok správny, zisťujeme pomocou metódy ekvivalentných transformácií. Dôsledkom b) zovšeobecnenia Propozície 1.10 transformujeme vzorec „x (P (x) Þ B (x)) &„ x (B (x) Þ tP (x)) Þ t $ xP (x).

Máme: „x (P (x) Þ B (x)) &“ x (B (x) Þ ØP (x)) Þ Ø $ xP (x) \u003d „x ((P (x) Þ B (x) ) & (B (x) Þ ØP (x))) Þ Ø $ xP (x) \u003d Ø ("x ((ØP (x) Ú B (x)) & (ØB (x) Ú ØP (x)) ) & $ xP (x)) \u003d

\u003d Ø ("x (ØP (x) Ú (B (x) & ØB (x)))) & $ xP (x) \u003d ØL \u003d I.

V týchto ekvivalentných formáciách bola dvakrát použitá spojková vlastnosť A & ØA \u003d A a disjunkčná vlastnosť A Ú A \u003d A.

Pôvodný vzorec je teda všeobecne platný, čo znamená, že odôvodnenie je správne.

Príklad 5... Analyzujte zdôvodnenie: „Ak by niektorý tím dokázal poraziť CSKA, potom by to mohol urobiť nejaký prvoligový tím. Dynamo (Minsk) je prvoligový tím a nemôže poraziť CSKA. To znamená, že CSKA je neporaziteľný. ““

Legenda: P (x): tím x môže poraziť CSKA; B (x): Major league team x; e - Dynamo (Minsk).

Štruktúra odôvodnenia:

"xP ( x) Þ $ x(V ( x) & P ( x)), B (d) & ØP (d) ├ Ø $ xP ( x). (3.2)

Komentovať. Pri formulovaní odôvodnenia je potrebné mať na pamäti, že v prirodzenom jazyku sa široko používajú synonymné výrazy, aby sa zabránilo častému opakovaniu tých istých slov alebo fráz. Je zrejmé, že pri preklade musia byť vyjadrené rovnakým vzorcom. V našom príklade sú také synonymá príkazom predikátov x môže poraziť tím CSKA a tím x môže vyhrať CSKA “a obidva vyjadruje vzorec P ( x).

Nasledujúci bod (3.2) je nesprávny. Na preukázanie toho stačí uviesť aspoň jednu interpretáciu vzorcov vyjadrujúcich premisy a záver, v ktorom premisa bude mať hodnotu And, a záver - hodnotu L. Napríklad takáto interpretácia je nasledujúca: D \u003d (1, 2, 3, 4) ... V tejto interpretácii máme po výpočtoch

I Þ I, I & ØL ├ ØI, alebo I, I ├ L.

Takže v tomto výklade majú obidva premisy význam I a záver má význam L. To znamená, že nasledujúci bod (3.2) je nesprávny a argumentácia je nesprávna.

3.9. Po zavedení vhodných unárnych predikátov na zodpovedajúcich doménach preložte nasledujúce výroky do jazyka predikátovej algebry:

a) Všetky racionálne čísla sú skutočné.

b) Žiadne racionálne číslo nie je skutočné.

c) Niektoré racionálne čísla sú skutočné.

d) Niektoré racionálne čísla nie sú skutočné.

Rozhodnutie. Uvádzame nasledujúce unárne predikáty

Q (x): « x- racionálne číslo “;

R (x): « x- Reálne číslo ".

Potom bude preklad vyššie uvedených príkazov do jazyka predikátovej algebry nasledovný:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png "width \u003d" 144 "height \u003d" 21 src \u003d "\u003e

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png "width \u003d" 137 "height \u003d" 21 src \u003d "\u003e

3.10. Zadajte unárne predikáty do zodpovedajúcich oblastí a použite ich na napísanie nasledujúcich príkazov vo forme vzorcov predikátovej algebry:

a) Akékoľvek prirodzené číslo deliteľné 12 je deliteľné 2, 4 a 6.

b) Obyvatelia Švajčiarska nevyhnutne hovoria buď francúzsky, taliansky alebo nemecky.

c) Funkcia, ktorá je spojitá na segmente, si zachováva svoje znamienko alebo nadobúda nulovú hodnotu.

d) Niektoré hady sú jedovaté.

e) Všetci psi majú dobrý čuch.

3.11. V nasledujúcich príkladoch urobte to isté ako v predchádzajúcom probléme, nemusíte sa obmedzovať iba na unárne predikáty:

a) Ak a je koreň polynómu v jednej premennej so skutočnými koeficientmi, potom aj koreň tohto polynómu.

b) Medzi ľubovoľnými dvoma rôznymi bodmi na priamke je najmenej jeden bod, ktorý sa s nimi nezhoduje.

c) Jedna priamka prechádza dvoma rôznymi bodmi.

d) Každý študent absolvoval najmenej jednu laboratórnu prácu.

e) Ak je súčin prirodzených čísel deliteľný prvočíslom, potom je možné deliť aspoň jeden z faktorov.

f) Jedna rovina prechádza cez tri body, ktoré neležia na jednej priamke.

g) Najväčší spoločný deliteľ čísel a a b deliteľný akýmkoľvek spoločným deliteľom.

h) Pre každé reálne číslo x existuje taký očo pre všetkých zak súčet za o 1 menej o, potom suma x a 2 je menej ako 4.

a) x - Prvočíslo.

j) Každé párne číslo väčšie ako štyri je súčtom dvoch prvočísel (Goldbachova domnienka).

3.12. Nasledujúce príkazy napíšte v jazyku predikátovej algebry:

a) Existuje presne jeden xtaké, že P (x).

b) Existujú najmenej dve rôzne xtaké, že P (x).

c) Nie sú viac ako dvaja xtaké, že P (x).

d) Existujú presne dve rôzne xtaké, že P (x).

3.13. Čo sa dá povedať o množine M, ak pre akýkoľvek predikát B (x) je tvrdenie pravdive na mnozine M?

3.14. Nechaj sa P (x) znamená „ x - Prvočíslo", E (x) znamená „ x - párne číslo", Oh (x) - « x je nepárne číslo ", D ( x,r) - « x rozdeľuje o„alebo“ o deleno x„. Preložiť nasledujúce symbolické notácie v jazyku predikátovej algebry do ruštiny, vzhľadom na to, že premenné x a o prebehnite cez veľa prirodzených čísel:

a) P (7) ;

b) E (2) & P (2) ;

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png "width \u003d" 136 "height \u003d" 21 src \u003d "\u003e;

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png "width \u003d" 237 "height \u003d" 23 src \u003d "\u003e;

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png "width \u003d" 248 "height \u003d" 23 src \u003d "\u003e;

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png "width \u003d" 109 "height \u003d" 21 src \u003d "\u003e. png" width \u003d "127" height \u003d "23"\u003e. png "width \u003d" 108 "height \u003d" 23 "\u003e ├?

Overenie správnosti postupnosti je možné vykonať pomocou Vennových diagramov, ak sú premisy a závery unárne predikáty v závislosti od jednej premennej. Pre kategorické úsudky, ktoré sú predpokladom a závermi v našom príklade, vzťah medzi objemami konceptov S a R sú opísané v príklade 2. Použijeme tento popis.

Metóda Vennovho diagramu pre prípad s jedným predpokladom je nasledovná. Schémami zobrazujeme všetky možné prípady vzťahov medzi objemami konceptov S a Rzodpovedajúce parcele.

Ak sa na každej zo získaných schém ukáže, že záver je pravdivý, potom je nasledujúci postup správny. Ak je záver aspoň v jednom z diagramov nesprávny, potom je nesprávny nasledujúci..

(a) Pretože predpokladom je negatívny návrh, diagramy zobrazené na obr. päť.

V žiadnom z týchto diagramov nie je rozsudok https://pandia.ru/text/78/081/images/image030_13.png "width \u003d" 108 "height \u003d" 23 "\u003e čiastočne potvrdzujúci, potom sú možné diagramy znázornené na obr. .6.