Ako predstavuje desatinné číslo ako bežné. Prevod obyčajného zlomku na desatinné miesto a naopak, pravidlá, príklady. Prevod desatinných zlomkov na zlomky

V tomto článku budeme analyzovať ako prevod bežných zlomkov na desatinné zlomkya tiež zvážiť opačný proces - prevod desatinných zlomkov na zlomky. Tu vyslovíme pravidlá pre inverziu zlomkov a poskytneme podrobné riešenia typických príkladov.

Navigácia po stránke.

Prevod zlomkov na desatinné miesta

Označíme postupnosť, v ktorej sa budeme zaoberať prevod bežných zlomkov na desatinné zlomky.

Najprv sa pozrieme na to, ako reprezentovať bežné zlomky s menovateľmi 10, 100, 1 000, ... ako desatinné zlomky. Je to spôsobené tým, že desatinné zlomky sú v podstate kompaktnou formou zápisu bežných zlomkov s menovateľmi 10, 100, ....

Potom pôjdeme ďalej a ukážeme si, ako sa dá každý obyčajný zlomok (nielen s menovateľmi 10, 100, ...) zapísať ako desatinný zlomok. Pri tejto konverzii zlomkov vznikajú konečné desatinné zlomky aj nekonečné periodické desatinné zlomky.

Teraz o všetkom v poriadku.

Prevod bežných zlomkov s menovateľmi 10, 100, ... na desatinné zlomky

Niektoré bežné bežné zlomky potrebujú pred konverziou na desatinné zlomky „predbežnú prípravu“. To platí pre bežné zlomky, ktorých počet číslic v čitateli je menší ako počet núl v menovateli. Napríklad bežná frakcia 2/100 musí byť najskôr pripravená na prevod na desatinnú časť a frakcia 9/10 nepotrebuje prípravu.

„Predbežnou prípravou“ bežných obyčajných zlomkov na preklad do desatinných zlomkov je pridanie takého počtu núl vľavo v čitateľovi, aby sa celkový počet číslic v nich rovnal počtu núl v menovateli. Napríklad po pridaní núl bude vyzerať zlomok.

Po príprave správneho spoločného zlomku ho môžete začať prevádzať na desatinný zlomok.

Dajme pravidlo prepočtu pravidelného zlomku s menovateľom 10, alebo 100 alebo 1 000, ... na desatinné miesto... Skladá sa z troch krokov:

• napíš 0;
• za ním vložíme desatinnú čiarku;
• číslo si zapíšeme z čitateľa (spolu s pridanými nulami, ak sme ich pridali).

Pri riešení príkladov zvážme použitie tohto pravidla.

Príklad.

Pravidelný zlomok 37/100 preveďte na desatinné miesto.

Rozhodnutie.

Menovateľ obsahuje číslo 100, ktoré obsahuje dve nuly. Čitateľ obsahuje číslo 37, sú v ňom dve číslice, preto tento zlomok nie je potrebné pripravovať na prevod na desatinný zlomok.

Teraz zapíšeme 0, vložíme desatinnú čiarku a z čitateľa zapíšeme číslo 37 a dostaneme desatinný zlomok 0,37.

Odpoveď:

0,37 .

Aby sme upevnili schopnosti prekladať bežné bežné zlomky s čitateľmi 10, 100, ... na desatinné zlomky, analyzujeme riešenie iného príkladu.

Príklad.

Napíšte správny zlomok 107/10 000 000 ako desatinný zlomok.

Rozhodnutie.

Počet číslic v čitateli je 3 a počet núl v menovateli je 7, preto je potrebné pripraviť tento bežný zlomok na prevod na desatinné miesto. Musíme v čitateľovi pridať doľava 7-3 \u003d 4 nuly, aby sa celkový počet číslic tam rovnal počtu núl v menovateli. Dostávame.

Zostáva zostaviť požadovaný desatinný zlomok. Za týmto účelom najskôr napíšeme 0, za druhé dáme čiarku a po tretie zapíšeme číslo z čitateľa spolu s nulami 0000107, vo výsledku máme desatinný zlomok 0,0000107.

Odpoveď:

0,0000107 .

Nepravidelné zlomky nepotrebujú pri prepočte na desatinné miesta prípravu. Mali by ste dodržiavať nasledujúce pravidlá prepočtu nepravidelných bežných zlomkov s menovateľmi 10, 100, ... na desatinné zlomky:

• zapíšte si číslo z čitateľa;
• oddelíme desatinnú čiarku toľkými číslicami vpravo, koľko je núl v menovateli pôvodného zlomku.

Poďme analyzovať uplatnenie tohto pravidla pri riešení príkladu.

Príklad.

Prepočítajte nepravidelný spoločný zlomok 56 888 038 009/100 000 na desatinný zlomok.

Rozhodnutie.

Najskôr si zapíšeme číslo z čitateľa 56888038009 a po druhé oddelíme desatinnú čiarku 5 číslic vpravo, pretože v menovateli pôvodného zlomku je 5 núl. Vo výsledku máme desatinný zlomok 568 880 38009.

Odpoveď:

568 880,38009 .

Ak chcete previesť zmiešané číslo na desatinný zlomok, ktorého menovateľom je zlomkový diel číslo 10, alebo 100 alebo 1 000, ..., môžete zmiešané číslo previesť na nesprávny spoločný zlomok, potom môžete výsledný zlomok previesť na desatinný zlomok. Môžete však použiť nasledujúce pravidlo pre prevod zmiešaných čísel s menovateľom zlomkovej časti 10, alebo 100 alebo 1 000, ... na desatinné zlomky:

• ak je to potrebné, vykonáme „predbežnú prípravu“ zlomkovej časti pôvodného zmiešaného čísla a do čitateľa pridáme požadovaný počet núl doľava;
• zapíšeme celú časť pôvodného zmiešaného čísla;
• dať desatinnú čiarku;
• napíš číslo z čitateľa spolu s pridanými nulami.

Zoberme si príklad, pri riešení ktorého vykonáme všetky potrebné kroky, aby sme zmiešané číslo predstavovali ako desatinný zlomok.

Príklad.

Zmiešané číslo preveďte na desatinné miesto.

Rozhodnutie.

V menovateli zlomkovej časti sú 4 nuly, v čitateľovi číslo 17, pozostávajúce z 2 číslic, preto musíme v čitateli pridať dve nuly vľavo, aby sa tam počet číslic rovnal počtu núl v menovateli. Ak to urobíte, čitateľ bude 0017.

Teraz si zapíšeme celú časť pôvodného čísla, teda číslo 23, dáme desatinnú čiarku, po ktorej zapíšeme číslo z čitateľa spolu s pridanými nulami, teda 0017, a dostaneme požadovaný desatinný zlomok 23.0017.

Poďme stručne napísať celé riešenie: .

Nepochybne bolo možné najskôr predstaviť zmiešané číslo ako nepravidelný zlomok a potom ho previesť na desatinný zlomok. S týmto prístupom vyzerá riešenie takto :.

Odpoveď:

23,0017 .

Prevod bežných zlomkov na konečné a nekonečné periodické desatinné miesta

Nielen bežné zlomky s menovateľmi 10, 100, ..., ale bežné zlomky s inými menovateľmi je možné previesť na desatinný zlomok. Teraz prídeme na to, ako sa to deje.

V niektorých prípadoch sa pôvodný spoločný zlomok ľahko zníži na jedného z menovateľov 10, alebo 100 alebo 1 000, ... (pozri redukciu spoločného zlomku na nového menovateľa), potom nie je ťažké predstaviť výsledný zlomok ako desatinný zlomok. Napríklad je zrejmé, že zlomok 2/5 možno znížiť na zlomok s menovateľom 10, preto je potrebné vynásobiť čitateľa a menovateľa 2, čím sa získa zlomok 4/10, ktorý sa podľa pravidiel diskutovaných v predchádzajúcom odseku dá ľahko previesť na desatinný zlomok 0, 4.

V iných prípadoch musíte použiť iný spôsob prevodu obyčajného zlomku na desatinné miesto, na ktorý sa teraz obrátime.

Na prevod obyčajného zlomku na desatinný zlomok sa čitateľ zlomku vydelí menovateľom, čitateľ sa predtým nahradí rovnakým desatinným zlomkom s ľubovoľným počtom núl za desatinnou čiarkou (hovorili sme o tom v časti rovné a nerovnaké desatinné zlomky). V tomto prípade sa delenie vykonáva rovnakým spôsobom ako delenie stĺpcom prirodzených čísel a do kvocientu sa vloží desatinná čiarka, keď sa skončí delenie celočíselnej časti dividendy. To všetko bude zrejmé z riešení príkladov uvedených nižšie.

Príklad.

Bežný zlomok 621/4 preveďte na desatinné miesto.

Rozhodnutie.

Číslo v čitateli 621 reprezentujeme ako desatinný zlomok, pričom k nemu pripočítame desatinnú čiarku a niekoľko núl. Na začiatok pridáme 2 číslice 0, neskôr, ak je to potrebné, môžeme kedykoľvek pridať ďalšie nuly. Takže máme 621,00.

Teraz urobme delenie stĺpcov 621 000 číslom 4. Prvé tri kroky sa nelíšia od vydelenia prirodzených čísel stĺpcom, po ktorom dôjdeme k nasledujúcemu obrázku:

Takže sme sa dostali k desatinnej čiarke v dividende a zvyšok je nenulový. V tomto prípade vložíme desatinnú čiarku do kvocientu a pokračujeme v delení stĺpcom, pričom nedávame pozor na čiarky:

Týmto sa delenie dokončí a vo výsledku sme dostali desatinný zlomok 155,25, ktorý zodpovedá pôvodnému obyčajnému zlomku.

Odpoveď:

155,25 .

Ak chcete konsolidovať materiál, zvážte riešenie ešte jedného príkladu.

Príklad.

Bežný zlomok 21/800 preveďte na desatinné miesto.

Rozhodnutie.

Ak chcete previesť tento spoločný zlomok na desatinné miesto, vydelíme ho stĺpcom desatinného zlomku 21 000 ... číslom 800. Po prvom kroku budeme musieť do desatinnej čiarky vložiť desatinnú čiarku a potom pokračovať v delení:

Nakoniec sme dostali zvyšok 0, keď je dokončený prevod bežného zlomku 21/400 na desatinný zlomok a dostali sme sa k desatinnému zlomku 0,02625.

Odpoveď:

0,02625 .

Môže sa stať, že pri vydelení čitateľa menovateľom obyčajného zlomku nezískame zvyšok 0. V týchto prípadoch je možné v delení pokračovať tak dlho, ako je potrebné. Avšak od určitého kroku sa zvyšky periodicky opakujú a opakujú sa aj čísla v kvociente. To znamená, že pôvodný zlomok sa prevedie na nekonečný periodický desatinný zlomok. Ukážme si to na príklade.

Príklad.

Zlomok 19/44 si zapíšte ako desatinný zlomok.

Rozhodnutie.

Ak chcete previesť obyčajný zlomok na desatinné miesto, vykonáme rozdelenie stĺpcov:

Už je zrejmé, že počas delenia sa zvyšky 8 a 36 začali opakovať, zatiaľ čo v kvociente sa opakujú čísla 1 a 8. Teda pôvodný obyčajný zlomok 19/44 sa prevedie na periodický desatinný zlomok 0,43181818 ... \u003d 0,43 (18).

Odpoveď:

0,43(18) .

Na konci tohto odseku zistíme, ktoré bežné zlomky je možné previesť na konečné desatinné zlomky a ktoré - iba na periodické.

Predpokladajme, že máme pred sebou neredukovateľný bežný zlomok (ak je zlomok zrušiteľný, potom najskôr vykonáme redukciu zlomku) a musíme zistiť, na ktorý desatinný zlomok je možné ho previesť - konečný alebo periodický.

Je zrejmé, že ak sa dá obyčajný zlomok zredukovať na jedného z menovateľov 10, 100, 1 000, ..., potom sa výsledný zlomok dá ľahko previesť na konečný desatinný zlomok podľa pravidiel diskutovaných v predchádzajúcom odseku. Ale menovateľom 10, 100, 1 000 atď. nie sú uvedené všetky bežné zlomky. Takéto menovatele možno znížiť iba na zlomky, ktorých menovateľom je najmenej jedno z čísel 10, 100, ... A aké čísla môžu byť deliteľmi 10, 100, ...? Čísla 10, 100, ... nám umožnia odpovedať na túto otázku a sú tieto: 10 \u003d 2 · 5, 100 \u003d 2 · 2,5 · 5, 1 000 \u003d 2 · 2 · 2,5 · 5 · 5, .... Z toho vyplýva, že deliteľmi sú 10, 100, 1 000 atď. môžu existovať iba čísla, ktorých prvočíselné rozdelenie obsahuje iba čísla 2 a (alebo) 5.

Teraz môžeme urobiť všeobecný záver o prepočte bežných zlomkov na desatinné zlomky:

• ak v expanzii menovateľa na prvočíselné faktory existujú iba čísla 2 a (alebo) 5, potom sa tento zlomok môže previesť na konečný desatinný zlomok;
• ak sú v expanzii menovateľa okrem dvojky a päťky aj ďalšie prvočísla, potom sa tento zlomok prevedie na nekonečný desatinný periodický zlomok.

Príklad.

Bez prepočtu bežných zlomkov na desatinné miesta mi povedzte, ktoré zo zlomkov 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 možno previesť na konečnú desatinnú časť a ktoré - iba na periodické.

Rozhodnutie.

Primárna faktorizácia menovateľa 47/20 je 20 \u003d 2 · 2,5 ·. V tejto expanzii sú iba dvojky a päťky, takže tento zlomok je možné znížiť na jedného z menovateľov 10, 100, 1 000, ... (v tomto príklade na menovateľa 100), preto ho možno previesť na konečnú desatinnú časť.

Primárna faktorizácia menovateľa 7/12 je 12 \u003d 2 · 2,3. Pretože obsahuje prvočíslo 3 iné ako 2 a 5, nemôže byť tento zlomok vyjadrený ako konečný desatinný zlomok, ale môže byť prevedený na periodický desatinný zlomok.

Zlomok 21/56 je kontraktilný, po kontrakcii má formu 3/8. Faktorizácia menovateľa na prvočíselné faktory obsahuje tri faktory rovné 2, preto obyčajný zlomok 3/8, a teda zlomok 21/56, ktorý sa mu rovná, možno previesť na konečný desatinný zlomok.

Napokon, expanzia menovateľa zlomku 31/17 je sama o sebe, preto tento zlomok nemožno previesť na konečný desatinný zlomok, ale možno ho previesť na nekonečný periodický zlomok.

Odpoveď:

47/20 a 21/56 možno previesť na konečné desatinné miesto a 7/12 a 31/17 možno previesť iba na periodické.

Zlomky sa nekonvertujú na nekonečné neperiodické desatinné miesta

Informácie v predchádzajúcom odseku vyvolávajú otázku: „Dá sa získať nekonečný neperiodický zlomok po vydelení čitateľa zlomku menovateľom?“

Odpoveď je nie. Pri preklade obyčajného zlomku môžete získať buď konečný desatinný zlomok, alebo nekonečný periodický desatinný zlomok. Vysvetlíme si, prečo je to tak.

Z vety o deliteľnosti so zvyškom je zrejmé, že zvyšok je vždy menší ako deliteľ, to znamená, že ak nejaké celé číslo vydelíme celým číslom q, potom môže byť zvyšok iba jedným z čísel 0, 1, 2,…, q - 1. Z toho vyplýva, že po dokončení rozdelenia celočíselnej časti čitateľa obyčajného zlomku menovateľom q na stĺpec, a to v najviac q krokoch, nastane jedna z nasledujúcich dvoch situácií:

• alebo dostaneme zvyšok 0, toto delenie sa skončí a dostaneme poslednú desatinnú časť;
• alebo dostaneme zvyšok, ktorý sa už objavil predtým, po ktorom sa zvyšky začnú opakovať ako v predchádzajúcom príklade (keďže keď sa rovnaké čísla vydelia q, získajú sa rovnaké zvyšky, čo vyplýva z už spomínanej vety o deliteľnosti), takže sa získa nekonečný periodický desatinný zlomok.

Nemôžu existovať žiadne ďalšie možnosti, preto pri prevode obyčajného zlomku na desatinný zlomok nie je možné získať nekonečný neperiodický desatinný zlomok.

Z úvah uvedených v tomto odseku tiež vyplýva, že dĺžka obdobia desatinného zlomku je vždy menšia ako hodnota menovateľa zodpovedajúceho obyčajného zlomku.

Prevod desatinných zlomkov na zlomky

Teraz poďme na to, ako previesť desatinný zlomok na obyčajný. Začnime konverziou koncových desatinných zlomkov na zlomky. Potom zvážte metódu invertovania nekonečných periodických desatinných zlomkov. Na záver si povedzme o nemožnosti prevodu nekonečných neperiodických desatinných zlomkov na bežné zlomky.

Prevod konečných desatinných miest na zlomky

Je celkom ľahké získať obyčajný zlomok, ktorý sa píše ako konečný desatinný zlomok. Pravidlo na prevod konečných desatinných miest na zlomky pozostáva z troch krokov:

• najskôr napíšete daný desatinný zlomok do čitateľa, ktorý predtým zahodil desatinnú čiarku a všetky nuly vľavo, ak existujú;
• po druhé, napíšeme jednotku do menovateľa a pridáme k nej toľko núl, koľko číslic je za desatinnou čiarkou v pôvodnom desatinnom zlomku;
• po tretie, ak je to potrebné, znížte výslednú frakciu.

Zvážme riešenia príkladov.

Príklad.

Konvertujte desatinné miesto 3,025 na zlomok.

Rozhodnutie.

Ak odstránime desatinnú čiarku v pôvodnom desatinnom zlomku, dostaneme číslo 3 025. Naľavo nie sú žiadne nuly, ktoré by sme vyhodili. Takže do čitateľa požadovanej frakcie napíšte 3 025.

Do menovateľa si zapíšeme číslo 1 a napravo k nemu pridáme 3 nuly, pretože v pôvodnom desatinnom zlomku za desatinnou čiarkou sú 3 číslice.

Dostali sme teda spoločný zlomok 3 025/1000. Túto frakciu je možné zrušiť do 25, rozumieme .

Odpoveď:

.

Príklad.

Skonvertujte desatinný zlomok 0,0017 na spoločný zlomok.

Rozhodnutie.

Bez desatinnej čiarky vyzerá pôvodný desatinný zlomok ako 00017, pričom naľavo odložíme nuly, dostaneme číslo 17, ktoré je čitateľom požadovaného zlomku.

Do menovateľa napíšeme jednotku so štyrmi nulami, pretože v pôvodnom desatinnom zlomku za desatinnou čiarkou sú 4 číslice.

Vo výsledku máme obyčajný zlomok 17/10 000. Táto frakcia je neredukovateľná a prevod desatinnej časti na bežnú je úplný.

Odpoveď:

.

Keď sa celočíselná časť pôvodného konečného desatinného zlomku líši od nuly, potom ho možno okamžite previesť na zmiešané číslo a obísť tak obyčajný zlomok. Dajme pravidlo pre prevod konečného desatinného čísla na zmiešané číslo:

• číslo s desatinnou čiarkou musí byť zapísané ako celočíselná časť požadovaného zmiešaného čísla;
• do čitateľa zlomkovej časti musíte napísať číslo získané zo zlomkovej časti pôvodného desatinného zlomku po tom, čo do neho vložíte všetky nuly zľava;
• v menovateli zlomkovej časti musíte napísať číslo 1, ku ktorému vpravo pridajte toľko núl, koľko je číslic v pôvodnom desatinnom zlomku za desatinnou čiarkou;
• ak je to potrebné, znížte zlomkovú časť výsledného zmiešaného čísla.

Uvažujme o príklade prevodu desatinného čísla na zmiešané číslo.

Príklad.

Zašlite desatinné číslo 152,06005 ako zmiešané číslo

Desatinný zlomok je zlomok, v ktorom je menovateľom prirodzená mocnina 10. Napríklad je to zlomok Tento zlomok je možné zapísať v tejto podobe: napíšte číslice čitateľa do reťazca a toľko ich oddeľte čiarkou vpravo, pretože v menovateli sú nuly, a to :

V takomto zázname tvoria čísla naľavo od čiarky celú časť a čísla napravo od čiarky zlomkovú časť daného desatinného zlomku.

Nech p / q je akékoľvek kladné racionálne číslo... Z aritmetiky je dobre známy proces delenia, ktorý umožňuje, aby bolo číslo predstavované ako desatinný zlomok. Podstata procesu delenia je v tom, že najskôr nájdeme najväčší celočíselný počet prípadov, keď je q obsiahnuté v p; ak p je násobok q, potom sa tu proces delenia končí. V opačnom prípade sa objaví zvyšok. Ďalej zistia, koľko desatín q je obsiahnutých v tomto zvyšku, a v tomto kroku môže proces skončiť alebo sa objaví nový zvyšok. V druhom prípade zistia, koľko stotín q je v ňom obsiahnutých, atď.

Ak menovateľ q nemá žiadne iné prvočíselné delitele ako 2 alebo 5, potom po konečnom počte krokov bude zvyšok nulový, proces delenia sa ukončí a daný zlomok sa prevedie na konečný desatinný zlomok. V tomto prípade môžete v skutočnosti kedykoľvek zvoliť celé číslo, ktoré po vynásobení čitateľa a menovateľa daného zlomku získa rovnaký zlomok, v ktorom bude menovateľ predstavovať prirodzenú mocninu desiatich. Taký je napríklad zlomok

ktoré môžu byť znázornené takto:

Bez týchto transformácií však čitateľ získa vydelením čitateľa menovateľom rovnaký výsledok:

Ak má menovateľ neredukovateľnej frakcie aspoň jedného hlavného deliteľa iného ako 2 alebo 5, potom sa proces delenia q nikdy neskončí (žiadny z nasledujúcich zvyškov nezmizne).

Po vykonaní rozdelenia nachádzame

Na zaznamenanie výsledku získaného v tomto príklade sú v zátvorkách uvedené periodicky sa opakujúce číslice 0 a 6 a napísané:

V tomto príklade a v ďalších podobných prípadoch akcia rozdelenia neprináša konečný výsledok ako desatinné miesto. Je možné zovšeobecniť koncept desatinného zlomku, napriek tomu povedať, že kvocient 965/132 je reprezentovaný nekonečným periodickým zlomkom. Opakujúce sa čísla 06 sa nazývajú perióda tohto zlomku a ich počet, rovný v našom príklade, je dĺžkou periódy.

Aby sme pochopili dôvod fenoménu periodicity zlomku, analyzujme napríklad proces delenia číslom 7. Ak rozdelenie nie je úplne vykonané, objaví sa zvyšok, ktorý môže mať iba jednu z nasledujúcich hodnôt: 1, 2, 3, 4, 5, 6. A na každej z nasledujúcich krokov bude mať zvyšok opäť jednu z týchto šiestich hodnôt. Preto sa najneskôr v siedmom kroku nevyhnutne stretneme s jednou z hodnôt zvyšku, ktoré sa už objavili predtým.Od tohto okamihu získa proces delenia periodický charakter. Zvyšné hodnoty aj podiely sa budú pravidelne opakovať. Toto odôvodnenie je uplatniteľné na ktoréhokoľvek iného deliteľa.

Akýkoľvek obyčajný zlomok je teda reprezentovaný konečným alebo nekonečným periodickým desatinným zlomkom. Je pozoruhodné, že naopak, každý periodický desatinný zlomok môže byť reprezentovaný ako obyčajný zlomok. Ukážme si, ako sa táto akcia vykonáva. V takom prípade sa použije vzorec pre súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti (oddiel 92).

možno chápať nasledovne:

tu tvoria výrazy na pravej strane, počínajúc od druhého, nekonečný geometrický postup s menovateľom a prvým výrazom

Pomocou vzorca (92.2):

Je zrejmé, že ten istý proces umožní, aby bola akákoľvek daná nekonečná periodická frakcia zastúpená vo forme obyčajnej frakcie (a ako je zrejmé, presne tej, z ktorej sa v procese delenia získa táto nekonečná periodická frakcia). Existuje však jedna výnimka. Zvážte zlomok

a použiť na ňu proces premeny na obyčajnú frakciu:

Dospeli sme k číslu 1/2, ktoré predstavuje konečná desatinná čiarka

Podobný výsledok sa získa vždy, keď má perióda daného nekonečného zlomku tvar (9). Preto identifikujeme také dvojice čísel, ako napríklad

Niekedy je tiež užitočné povoliť zápisy formulára

predstavujúci formálne konečné desatinné zlomky ako nekonečné s bodkou (0).

Všetko, čo sa hovorilo o prepočte obyčajného zlomku na desatinný periodický zlomok a naopak, sa týka pozitívnych racionálnych čísel. V prípade záporného čísla môžete urobiť dve veci.

1) Vezmite kladné číslo oproti danému zápornému číslu, preveďte ho na desatinný zlomok a potom pred neho vložte znamienko mínus. Napríklad za - 5/3 dostaneme

2) Toto záporné racionálne číslo je vyjadrené ako súčet jeho celočíselnej časti (zápornej) a jej zlomkovej časti (nezápornej) a potom prevedie iba túto zlomkovú časť čísla na desatinný zlomok. Napríklad:

Na zápis čísel uvádzaných ako súčet ich záporných celých častí a konečných alebo nekonečných desatinných častí sa použije nasledujúce označenie (umelá forma zápisu záporných čísel):

Tu je znamienko mínus umiestnené nie pred celým zlomkom, ale nad jeho celočíselnou časťou, aby sa zdôraznilo, že iba celočíselná časť je záporná a zlomková časť za čiarkou je kladná.

Tento zápis vytvára jednotnosť v zápise kladných a záporných desatinných zlomkov a bude sa v budúcnosti používať v teórii desatinných logaritmov (s. 28). Pre prax čitateľovi odporúčame skontrolovať v príkladoch prechod z jedného záznamu na druhý:

Teraz môžeme formulovať konečný záver: akékoľvek racionálne číslo môže byť reprezentované nekonečným desatinným periodickým zlomkom a naopak, akýkoľvek takýto zlomok definuje racionálne číslo. Konečný desatinný zlomok tiež umožňuje dve formy zápisu vo forme nekonečného desatinného zlomku: s bodkou (0) a s bodkou (9).

Ak chcete racionálne číslo m / n zapísať ako desatinný zlomok, musíte čitateľa vydeliť menovateľom. V tomto prípade je kvocient napísaný v konečnom alebo nekonečnom desatinnom zlomku.

Zadajte dané číslo ako desatinný zlomok.

Rozhodnutie. Vydeľte v stĺpci čitateľa každej frakcie jej menovateľom: a) delíme 6 na 25; b) rozdeliť 2 na 3; o) vydelíme 1 číslom 2 a výsledný zlomok potom priradíme jednému - celej časti tohto zmiešaného čísla.

Neredukovateľné bežné zlomky, ktorých menovatele neobsahujú iné primárne faktory, okrem 2 a 5 , sú napísané v konečných desatinných zlomkoch.

AT príklad 1 kedy a) menovateľ 25 \u003d 5,5; kedy o) menovateľ je 2, takže sme dostali konečné desatinné miesta 0,24 a 1,5. Kedy b) menovateľ je 3, takže výsledok nemožno zapísať ako konečný desatinný zlomok.

Je možné bez rozdelenia do stĺpca previesť na desatinný zlomok taký obyčajný zlomok, ktorého menovateľ neobsahuje iné faktory ako 2 a 5? Poďme na to! Aký zlomok sa nazýva desatinné číslo a píše sa bez zlomkovej čiarky? Odpoveď: zlomok s menovateľom 10; 100; 1000 atď. A každé z týchto čísel je produktom rovný počet „dvojiek“ a „päťok“. V skutočnosti: 10 \u003d 2,5; 100 \u003d 2 5 2 5; 1000 \u003d 2 5 2 5 2 5 atď.

Menovateľa neredukovateľnej spoločnej frakcie bude preto potrebné reprezentovať ako produkt „dvojky“ a „päťky“ a potom vynásobiť 2 a (alebo) 5, aby sa „dvojky“ a „päťky“ stali rovnocennými. Potom bude menovateľ zlomku 10 alebo 100 alebo 1000 atď. Aby sa hodnota zlomku nezmenila, vynásobíme čitateľ zlomku rovnakým číslom, ktorým bol menovateľ vynásobený.

Nasledujúce zlomky uvádzajte ako desatinné miesto:

Rozhodnutie. Každá z týchto frakcií je neredukovateľná. Rozdeľme menovateľa každej frakcie na hlavné faktory.

20 \u003d 2 2 5. Záver: chýba jedna „päťka“.

8 \u003d 2 2 2. Záver: chýbajú tri „päťky“.

25 \u003d 5 5. Záver: chýbajú dve „dvojky“.

Komentovať. V praxi často nepoužívajú faktorizáciu menovateľa, ale kladú si jednoducho otázku: koľko by sa mal menovateľ vynásobiť, aby výsledkom bola jednotka s nulami (10 alebo 100 alebo 1000 atď.). A potom sa čitateľ vynásobí rovnakým číslom.

Takže v prípade a) (príklad 2) z čísla 20 môžete získať 100 vynásobením číslom 5, preto číslom 5 musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa.

Kedy b)(príklad 2) z čísla 8 nebude fungovať číslo 100, ale číslo 1000 sa vynásobí číslom 125. Čitateľ (3) aj menovateľ (8) zlomku sa vynásobia číslom 125.

Kedy o) (príklad 2) z 25 získate 100, ak vynásobíte číslom 4. To znamená, že čitateľ 8 musí byť vynásobený 4.

Volá sa nekonečný desatinný zlomok, v ktorom sa vždy opakuje jedna alebo viac číslic v rovnakom poradí periodickydesatinný zlomok. Zbierka opakujúcich sa čísel sa nazýva perióda tohto zlomku. Kvôli stručnosti sa perióda zlomku zaznamená raz, pričom sa uzavrie do zátvoriek.

Kedy b) (príklad 1) opakujúca sa číslica je jedna a rovná sa 6. Preto bude náš výsledok 0,66 ... napísaný takto: 0, (6). Čítajte: nula bodov, šesť za bodku.

Ak je medzi čiarkou a prvou bodkou jedna alebo viac neopakujúcich sa číslic, potom sa takýto periodický zlomok nazýva zmiešaný periodický zlomok.

Neredukovateľná obyčajná frakcia, ktorej menovateľ je spolu s ostatnými multiplikátor obsahuje faktor 2 alebo 5 , sa stáva zmiešané periodická frakcia.

Čísla si zapisujte ako desatinný zlomok.

Už v základná škola študenti čelia zlomkom. A potom sa objavia v každej téme. Na akcie s týmito číslami nemôžete zabudnúť. Preto potrebujete poznať všetky informácie o bežných a desatinných zlomkoch. Tieto koncepty sú jednoduché, hlavnou vecou je porozumieť všetkému v poriadku.

Na čo slúžia zlomky?

Svet okolo nás sa skladá z celých objektov. O akcie teda nie je núdza. ale každodenný život neustále tlačí ľudí k práci s časťami predmetov a vecí.

Napríklad čokoláda má niekoľko plátkov. Zvážte situáciu, keď je jej dlaždica tvorená dvanástimi obdĺžnikmi. Ak ho rozdelíte na dve, získate 6 častí. Rozdelí sa dobre na tri. Ale päť nebude môcť dať celý rad čokoládových klinov.

Mimochodom, tieto plátky sú už zlomky. A ich ďalšie delenie vedie k vzniku zložitejších čísel.

Čo je zlomok?

Je to číslo zložené z častí jednej. Navonok to vyzerá ako dve čísla oddelené vodorovnou alebo šikmou čiarou. Táto vlastnosť sa nazýva zlomková. Číslo napísané hore (vľavo) sa nazýva čitateľ. Spodná časť (vpravo) je menovateľ.

V skutočnosti sa zlomková čiara ukazuje ako znak rozdelenia. To znamená, že čitateľ sa dá nazvať deliteľným a menovateľ sa dá nazvať deliteľom.

Aké sú frakcie?

V matematike existujú iba dva typy: obyčajné a desatinné zlomky. Školáci sa s prvou oboznamujú na základnej škole, nazývajú ich jednoducho „zlomky“. Druhý spozná v 5. ročníku. Potom sa tieto mená objavia.

Obyčajné zlomky sú všetky tie, ktoré sa zapisujú ako dve čísla oddelené čiarkou. Napríklad 4/7. Desatinné číslo je číslo, v ktorom má zlomková časť pozičný zápis a je od seba oddelená čiarkou. Napríklad 4.7. Študenti musia mať jasno v tom, že dva uvedené príklady sú úplne odlišné čísla.

Každý zlomok je možné zapísať ako desatinné miesto. Toto tvrdenie je takmer vždy pravdivé v opačnom smere. Existujú pravidlá, ktoré umožňujú zápis desatinného zlomku s obyčajným zlomkom.

Aký je poddruh týchto druhov frakcií?

Je lepšie začať v chronologickom poradí, keď sa študujú. Frakcie sú na prvom mieste. Medzi nimi možno rozlíšiť 5 poddruhov.

Správne. Jeho čitateľ je vždy menší ako menovateľ.

Nesprávne. Jeho čitateľ je väčší alebo rovnaký ako menovateľ.

Zmluvné / neredukovateľné. Môže to byť správne aj nesprávne. Dôležité je, či má čitateľ so menovateľom spoločné faktory. Ak existujú, potom by mali rozdeliť obe časti zlomku, to znamená znížiť ho.

Zmiešané. Celé číslo je priradené k svojej obvyklej správnej (nesprávnej) zlomkovej časti. Navyše vždy stojí vľavo.

Zložený. Je tvorený z dvoch frakcií navzájom oddelených. To znamená, že sú v ňom naraz tri zlomkové čiary.

Desatinné zlomky majú iba dva poddruhy:

konečná, tj. tá, v ktorej je zlomková časť obmedzená (má koniec);

nekonečno - číslo, ktorého číslice za desatinnou čiarkou nekončia (je ich možné písať nekonečne).

Ako previesť desatinné miesto na zlomok?

Ak je toto konečné číslo, potom sa použije asociácia založená na pravidle - ako počujem, tak aj píšem. To znamená, že si ho musíte správne prečítať a zapísať, ale bez čiarky, ale so zlomkom.

Ako pomôcka pre požadovaný menovateľ si musíte uvedomiť, že vždy ide o jednu a niekoľko núl. Posledné menované je potrebné napísať až desať číslic do zlomkovej časti príslušného čísla.

Ako previesť desatinné zlomky na obyčajné zlomky, ak ich celočíselná časť chýba, teda rovná sa nule? Napríklad 0,9 alebo 0,05. Po použití zadaného pravidla sa ukáže, že musíte napísať nulové celé čísla. Ale nie je to naznačené. Zostáva zapisovať iba zlomkové časti. Prvé číslo bude mať menovateľ 10, druhé - 100. To znamená, že uvedené príklady budú mať čísla: 9/10, 5/100. Navyše sa ukazuje, že posledne menovanú možno znížiť o 5. Výsledok pre ňu musí byť preto napísaný 1/20.

Ako urobiť obyčajný zlomok z desatinného miesta, ak je jeho celočíselná časť nenulová? Napríklad 5,23 alebo 13,00108. V oboch príkladoch sa načíta celočíselná časť a zapíše sa jej hodnota. V prvom prípade je to - 5, v druhom - 13. Potom musíte prejsť na zlomkovú časť. Rovnakú operáciu majú vykonať aj oni. Prvé číslo má 23/100, druhé - 108/100000. Druhá hodnota musí byť opäť znížená. Odpoveďou sú nasledujúce zmiešané zlomky: 5 23/100 a 13 27/25000.

Ako previesť nekonečné desatinné miesto na zlomok?

Ak to nie je periodické, takáto operácia zlyhá. Táto skutočnosť je spôsobená skutočnosťou, že každá desatinná časť je vždy preložená do konečnej alebo periodickej tabuľky.

Jediná vec, ktorú môžete urobiť s takým zlomkom, je zaokrúhliť ho. Ale potom bude desatinné miesto približne rovnaké ako nekonečno. Už sa dá zmeniť na obyčajný. Ale opačný proces: prevod na desatinné číslo - nikdy nedá počiatočnú hodnotu. To znamená, že nekonečné neperiodické zlomky nemožno previesť na bežné. Toto si treba pamätať.

Ako napísať nekonečný periodický zlomok ako obyčajný zlomok?

V týchto číslach sa vždy za desatinnou čiarkou objaví jedna alebo viac číslic, ktoré sa opakujú. Volajú sa obdobie. Napríklad 0,3 (3). Tu "3" v období. Sú klasifikované ako racionálne, pretože sa dajú transformovať na zlomky.

Tí, ktorí sa stretli s periodickými zlomkami, vedia, že môžu byť čisté alebo zmiešané. V prvom prípade začína obdobie okamžite od čiarky. V druhej začína zlomková časť ľubovoľnými číslami a potom sa začína opakovanie.

Pravidlo, podľa ktorého musíte napísať nekonečné desatinné miesto ako obyčajný zlomok, sa bude pre uvedené dva typy čísel líšiť. Je celkom ľahké zapísať si čisté periodické zlomky s obyčajnými. Rovnako ako v prípade posledných, je potrebné ich previesť: zapíšte bodku do čitateľa a menovateľom bude číslo 9, ktoré sa bude opakovať toľkokrát, koľko bodka obsahuje.

Napríklad 0, (5). Číslo nemá celočíselnú časť, takže musíte okamžite začať od zlomkovej časti. Do čitateľa napíš 5 a do menovateľa jednu. To znamená, že odpoveďou bude zlomok 5/9.

Pravidlo, ako napísať spoločný desatinný periodický zlomok, ktorý je zmiešaný.

Pozrite sa na dĺžku obdobia. Toľko 9 bude mať menovateľa.

Napíšte menovateľa: najskôr deviatky, potom nuly.

Aby ste určili čitateľ, musíte si zapísať rozdiel dvoch čísel. Všetky číslice za desatinnou čiarkou spolu s bodkou sa znížia. Odčítané - je bez bodky.

Napríklad 0,5 (8) - zapíšte si periodický desatinný zlomok ako obyčajný. Zlomková časť pred bodkou obsahuje jednu číslicu. Takže nula bude jedna. V období je tiež iba jedno číslo - 8. To znamená, že je iba jedno deväť. To znamená, že do menovateľa musíte napísať 90.

Ak chcete zistiť čitateľa od 58, odčítajte 5. Ukázalo sa, že 53. Napríklad odpoveď bude musieť napísať 53/90.

Ako sa bežné zlomky prevádzajú na desatinné miesta?

Najjednoduchšou možnosťou sa ukáže byť číslo, ktorého menovateľ je 10, 100 atď. Potom je menovateľ jednoducho zahodený a medzi zlomok a celých častí vloží sa čiarka.

Existujú situácie, kedy sa menovateľ ľahko zmení na 10, 100 atď. Napríklad čísla 5, 20, 25. Stačí ich vynásobiť 2, 5, respektíve 4. Násobiť sa má iba menovateľ, ale rovnako aj čitateľ rovnakým číslom.

Pre všetky ostatné prípady sa hodí jednoduché pravidlo: vydelíme čitateľa menovateľom. V takom prípade môžete získať dve možnosti odpovedí: konečnú alebo pravidelnú desatinnú čiarku.

Zlomkové akcie

Sčítanie a odčítanie

Študenti ich spoznávajú skôr ako ostatní. Navyše, najskôr majú zlomky rovnakých menovateľov, a potom sú rôzne. V takomto pláne je možné zhrnúť všeobecné pravidlá.

Nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov.

Zapíšte si ďalšie faktory ku všetkým bežným zlomkom.

Vynásobte čitateľov a menovateľov faktormi, ktoré sú pre ne definované.

Sčítajte (odčítajte) čitateľa zlomkov a nechajte spoločného menovateľa nezmenený.

Ak je čitateľ redukovaného čísla menší ako odpočítaný, musíte zistiť, či máme zmiešané číslo alebo regulárny zlomok.

V prvom prípade musí byť celá časť obsadená jedným. Pridajte menovateľa do čitateľa zlomku. A potom urobte odpočet.

V druhej je potrebné uplatniť pravidlo odčítania väčšieho od menšieho počtu. To znamená, že odčítame modul znižovania od modulu odpočítaného a do odpovede dáme znamienko „-“.

Pozorne sledujte výsledok sčítania (odčítania). Ak získate nesprávny zlomok, potom sa predpokladá, že vyberiete celú časť. To znamená, že vydelíte čitateľa menovateľom.

Násobenie a delenie

Na ich splnenie nie je potrebné frakciu redukovať na spoločný menovateľ... To uľahčuje sledovanie. Stále však musia dodržiavať pravidlá.

Pri vynásobení bežných zlomkov musíte brať do úvahy čísla v čitateľoch a menovateľoch. Ak má ktorýkoľvek čitateľ a menovateľ spoločný faktor, môže byť zrušený.

Vynásobte čitateľov.

Vynásobte menovatele.

Ak získate zrušiteľný zlomok, potom sa má opäť zjednodušiť.

Pri delení musíte najskôr nahradiť delenie na násobenie a deliteľ (druhý zlomok) na recipročný (zameniť čitateľa a menovateľa).

Potom postupujte ako pri násobení (počnúc bodom 1).

V úlohách, kde je potrebné znásobiť (vydeliť) celé číslo, sa má toto druhé napísať ako nesprávny zlomok. To znamená, že s menovateľom 1. Potom postupujte, ako je opísané vyššie.



Desatinné činy

Sčítanie a odčítanie

Desatinné číslo môžete samozrejme kedykoľvek zmeniť na zlomok. A konať podľa už popísaného plánu. Niekedy je však pohodlnejšie konať bez tohto prekladu. Potom budú pravidlá ich sčítania a odčítania úplne rovnaké.

Vyrovnajte počet číslic vo zlomkovej časti čísla, to znamená za desatinnou čiarkou. Pridajte k tomu chýbajúci počet núl.

Píšte zlomky tak, aby bola čiarka pod čiarkou.

Sčítajte (odčítajte) ako prirodzené čísla.

Odstráňte čiarku.

Násobenie a delenie

Je dôležité, aby ste sem nemuseli pridávať nuly. Frakcie sa majú ponechať tak, ako sú uvedené v príklade. A potom choďte podľa plánu.

Aby ste sa množili, musíte napísať zlomky pod seba, nedávajte pozor na čiarky.

Vynásobte ako prirodzené čísla.

Do odpovede vložte čiarku, ktorá od pravého konca odpovede počíta toľko číslic, koľko je vo zlomkových častiach oboch faktorov.

Ak chcete rozdeliť, musíte najskôr transformovať deliteľa: urobiť to prirodzené číslo... To znamená, vynásobte ho 10, 100 atď., V závislosti od toho, koľko číslic je vo zlomkovej časti deliteľa.

Vynásobte dividendu rovnakým číslom.

Desatinné miesto vydelíme prirodzeným číslom.

V okamihu, keď sa rozdelenie celej časti skončí, vložte do odpovede čiarku.



Čo ak jeden príklad obsahuje oba typy zlomkov?

Áno, v matematike často existujú príklady, v ktorých musíte vykonať akcie s obyčajnými a desatinnými zlomkami. Pri takýchto úlohách sú možné dve riešenia. Musíte si objektívne odvážiť čísla a zvoliť to najlepšie.

Prvý spôsob: reprezentovať bežné desatinné číslo

Je vhodný, keď delenie alebo preklad vedie k konečným zlomkom. Ak aspoň jedno číslo dáva periodickú časť, potom je táto technika zakázaná. Preto aj keď neradi pracujete s obyčajnými zlomkami, budete ich musieť spočítať.

Druhý spôsob: desatinné zlomky si zapisujte obyčajnými

Táto technika sa ukáže ako vhodná, ak sú v časti za desatinnou čiarkou 1 - 2 číslice. Ak ich je viac, môže sa ukázať veľmi veľký spoločný zlomok a desatinné zápisy vám umožnia úlohu spočítať rýchlejšie a ľahšie. Preto musíte vždy triezvo vyhodnotiť úlohu a zvoliť najjednoduchšiu metódu riešenia.