Riešiť výraz 8. Kompetentná transformácia racionálnych výrazov. Ochrana osobných údajov

Algebraický výraz, v ktorého zápise spolu s akciami sčítania, odčítania a násobenia používa aj delenie doslovnými výrazmi, sa nazýva zlomkový algebraický výraz. Takými sú napríklad výrazy

Algebraickou frakciou nazývame algebraický výraz, ktorý má formu kvocientu z rozdelenia dvoch celých algebraických výrazov (napríklad monomiálov alebo polynómov). Takými sú napríklad výrazy

Tretina výrazov).

Identické transformácie zlomkových algebraických výrazov majú z väčšej časti svoj účel reprezentovať ich vo forme algebraická frakcia... Na nájdenie spoločného menovateľa používame faktorizáciu menovateľov zlomkov - výrazov, aby sme našli ich najmenej spoločný násobok. Keď sú algebraické zlomky zrušené, môže byť narušená striktná identita výrazov: je potrebné vylúčiť hodnoty veličín, pri ktorých faktor, ktorým sa ruší, zaniká.

Uveďme príklady identických transformácií zlomkových algebraických výrazov.

Príklad 1. Zjednodušte výraz

Všetky podmienky je možné zúžiť na spoločný menovateľ(je vhodné zmeniť znamienko v menovateli posledného výrazu a znamienko pred ním):

Náš výraz je rovný jednej pre všetky hodnoty okrem týchto hodnôt, je nedefinovaný a zníženie zlomku je nezákonné).

Príklad 2. Predstavte výraz vo forme algebraickej frakcie

Riešenie. Výraz možno považovať za spoločného menovateľa. Postupne nachádzame:

Cvičenia

1. Nájdite hodnoty algebraických výrazov pre zadané hodnoty parametrov:

2. Faktorizujte.

Na začiatku hodiny si zopakujeme základné vlastnosti odmocniny, a potom sa pozrime na niekoľko záludných príkladov, ako zjednodušiť výrazy obsahujúce odmocniny.

Téma:Funkcia... Vlastnosti odmocnina

Lekcia:Viac prevodu a zjednodušenia komplexné výrazy s koreňmi

1. Opakovanie vlastností odmocnin

V krátkosti zopakujme teóriu a pripomeňme si hlavné vlastnosti odmocnin.

Vlastnosti odmocnin:

1. preto;

3. ;

4. .

2. Príklady na zjednodušenie výrazov s koreňmi

Prejdeme k príkladom použitia týchto vlastností.

Príklad 1. Zjednodušte výraz .

Riešenie. Pre jednoduchosť musí byť číslo 120 rozšírené na hlavné faktory:

Štvorec súčtu otvoríme podľa zodpovedajúceho vzorca:

Príklad 2. Zjednodušte výraz .

Riešenie. Zoberme si, že tento výraz nemá zmysel pre všetky možné hodnoty premennej, pretože tento výraz obsahuje odmocniny a zlomky, čo vedie k „zúženiu“ rozsahu prípustných hodnôt. ODZ: ().

Prenesme výraz v zátvorkách k spoločnému menovateľovi a zapíšme čitateľa posledného zlomku ako rozdiel štvorcov:

Odpoveď. o.

Príklad 3. Zjednodušte výraz .

Riešenie. Je vidieť, že druhá zátvorka čitateľa má nepohodlnú formu a je potrebné ho zjednodušiť, skúsme to faktorizovať na faktory pomocou metódy zoskupovania.

Aby sme mohli vylúčiť spoločný faktor, zjednodušili sme korene ich faktorizovaním. Výsledný výraz nahraďte pôvodným zlomkom:

Po znížení zlomku použijeme vzorec pre rozdiel štvorcov.

3. Príklad zbavenia sa iracionality

Príklad 4. Zbavte sa iracionality (koreňov) v menovateli: a); b).

Riešenie. a) Aby sa zbavila iracionality v menovateli, používa sa štandardná metóda vynásobenia čitateľa a menovateľa zlomku multiplikátorom konjugovaným so menovateľom (rovnaký výraz, ale s opačným znamienkom). To sa vykoná na doplnenie menovateľa zlomku k rozdielu štvorcov, čo vám umožní zbaviť sa koreňov v menovateli. Vykonajme túto techniku ​​v našom prípade:

b) vykonávať podobné akcie:

4. Príklad na dôkaz a výber úplného štvorca v komplexnom radikáli

Príklad 5. Dokážte rovnosť .

Dôkaz. Použime definíciu druhej odmocniny, z ktorej vyplýva, že druhá mocnina správneho výrazu sa musí rovnať radikálnemu výrazu:

... Otvorme zátvorky podľa vzorca na druhú mocninu súčtu:

, získal správnu rovnosť.

Osvedčené.

Príklad 6. Zjednodušte výraz.

Riešenie. Tento výraz sa zvyčajne nazýva komplexný radikál (koreň pod koreňom). V tomto prípade musíte hádať, aby ste z radikálneho výrazu vybrali celý štvorec. Z tohto dôvodu poznamenávame, že z týchto dvoch výrazov je kandidát na úlohu zdvojnásobeného produktu vo vzorci pre druhú mocninu rozdielu (rozdiel, pretože existuje mínus). Napíšeme to vo forme takéhoto produktu :, potom 1 predstiera, že hrá úlohu jedného z výrazov celého štvorca, a 1 ako úlohu druhého.

Nahraďme tento výraz pod koreňom.

Budete potrebovať

• - koncept monomie polynómu;
• - skrátené vzorce násobenia;
• - akcie so zlomkami;
• - základné trigonometrické identity.

Inštrukcie

Ak výraz obsahuje monomény s, nájdite pre ne súčet koeficientov a vynásobte ich rovnakým faktorom. Ak napríklad existuje výraz 2 a-4 a + 5 a + a = (2-4 + 5 + 1) ∙ a = 4 ∙ a.

V prípade, že je výraz prirodzeným zlomkom, vyberte spoločný faktor z čitateľa a menovateľa a zlomok ním zrušte. Ak napríklad chcete zrušiť zlomok (3 a²-6 ab + 3 b²) / (6 ∙ a²-6 ∙ b²), odstráňte z čitateľa a menovateľa v čitateľovi spoločné činitele, bude to 3, v menovateľ 6. Získajte výraz (3 (a²-2 a b + b²)) / (6 ∙ (a²-b²)). Zredukujte čitateľa a menovateľa o 3 a na zostávajúce výrazy aplikujte skrátené multiplikačné vzorce. Pre čitateľa je to druhá mocnina rozdielu a pre menovateľa je to rozdiel štvorcov. Získajte výraz (a-b) ² / (2 ∙ (a + b) ∙ (a-b)) znížením na všeobecný faktor a-b, získajte výraz (a-b) / (2 ∙ (a + b)), ktorý je oveľa jednoduchšie vypočítať so špecifickými hodnotami premenných.

Ak majú monomény rovnaké činitele, potom pri ich sčítaní skontrolujte, či sú stupne rovnaké, inak nie je možné podobné znížiť. Napríklad, ak existuje výraz 2 ∙ m² + 6 m³-m²-4 m³ + 7, potom pri kombinácii podobných získate m² + 2 m³ + 7.

Pri zjednodušovaní trigonometrických identít ich transformujte pomocou vzorcov. Základná goniometrická identita sin² (x) + cos² (x) = 1, sin (x) / cos (x) = tg (x), 1 / tg (x) = ctg (x), vzorce pre súčet a rozdiel argumentov , dvojitý, trojitý argument a ďalšie. Napríklad (sin (2 ∙ x) - cos (x)) / ctg (x). Napíšte vzorec pre dvojitý argument a kotangens ako pomer kosínusu k sínusu. Získajte (2 ∙ sin (x) cos (x) - cos (x)) sin (x) / cos (x). Vypočítajte spoločný faktor cos (x) a zrušte cos (x) (2 ∙ sin (x) - 1) sin (x) / cos (x) = (2 ∙ sin (x) - 1) sin ( X).

Podobné videá

Zdroje:

• vzorec na zjednodušenie výrazu

Stručnosť, ako sa hovorí, je sestrou talentu. Každý chce predviesť svoj talent, ale jeho sestra je komplikovaná vec. Geniálne myšlienky sú z nejakého dôvodu odeté do zložitých viet s mnohými príslovkovými výrazmi. Je však na vás, aby ste svoje návrhy zjednodušili a urobili ich zrozumiteľnými a prístupnými pre všetkých.

Inštrukcie

Aby ste to adresátovi (či už poslucháčovi alebo čitateľovi) uľahčili, skúste nahradiť časti a príslovkové obraty krátke podraďovacie vety, najmä ak je uvedených výrazov v jednej vete príliš veľa. "Mačka, ktorá sa vrátila domov, len zjedla myš, hlasno vrčala, hladila majiteľa a snažila sa mu pozrieť do očí v nádeji, že bude prosiť o ryby prinesené z obchodu" - nepôjde. Rozdeľte takúto štruktúru na niekoľko častí, urobte si čas a nesnažte sa povedať všetko jednou vetou, ste šťastní.

Ak ste vymysleli brilantné tvrdenie, ale ukázalo sa, že je to príliš doložky(obzvlášť pri jednej), je lepšie výpoveď rozdeliť na niekoľko samostatných viet alebo nejaký prvok vynechať. „Rozhodli sme sa, že povie Maríne Vasilyevnej, že Katya povie Vityovi, že ...“ - môžete pokračovať ďalej a ďalej. Zastavte sa včas a zapamätajte si, kto to bude čítať alebo počúvať.

Nástrahy však nespočívajú len vo vetnej štruktúre. Dávajte pozor na slovnú zásobu. Cudzie slová, dlhé pojmy, slová, z ktorých sa čerpalo fikcia 19. storočie - to všetko len skomplikuje vnímanie. Je potrebné, aby ste si sami ujasnili, pre ktoré publikum text skladáte: technici, samozrejme, porozumejú komplexným pojmom aj konkrétnym slovám; ale ak ponúkate rovnaké slová učiteľovi literatúry, je nepravdepodobné, že by vám porozumel.

Talent je skvelá vec. Ak ste talentovaní (a neexistujú ľudia bez schopností), otvára sa pred vami mnoho ciest. Ale talent nie je zložitosť, ale jednoduchosť, napodiv. Nech je to jednoduché a váš talent bude pochopený a prístupný každému.

Podobné videá

Naučiť sa zjednodušovať výrazy v matematike je jednoducho nevyhnutné na správne a rýchle riešenie problémov, rôznych rovníc. Zjednodušenie výrazu znamená menej krokov, čo uľahčuje výpočty a šetrí čas.

Inštrukcie

Naučte sa počítať stupne s. Keď sa mocniny vynásobia, získajú sa čísla, ktorých základ je rovnaký a exponenty sa sčítajú b ^ m + b ^ n = b ^ (m + n). Pri delení stupňov s rovnakými základmi sa získa stupeň čísla, ktorého základňa zostáva rovnaká, a exponenty stupňov sa odpočítajú a exponent deliteľa b ^ m sa odpočíta od exponentu dividendy : b ^ n = b ^ (mn). Keď sa mocnina zvýši na mocninu, získa sa sila čísla, ktorého základ zostane rovnaký a exponenty sa vynásobia (b ^ m) ^ n = b ^ (mn) Pri zvýšení na mocninu každý faktor je povýšený na túto moc. (Abc) ^ m = a ^ m * b ^ m * c ^ m

Faktorové polynómy, t.j. myslite na ne ako na produkt viacerých faktorov - polynómov a monomiálov. Vyúčtujte spoločný faktor. Naučte sa základné skrátené vzorce násobenia: rozdiel štvorcov, štvorec súčet, štvorec rozdielu, súčet kociek, rozdiel kociek, kocka súčtu a rozdiel. Napríklad m ^ 8 + 2 * m ^ 4 * n ^ 4 + n ^ 8 = (m ^ 4) ^ 2 + 2 * m ^ 4 * n ^ 4 + (n ^ 4) ^ 2. Práve tieto vzorce sú zásadné pre zjednodušenie výrazov. Použite metódu výberu úplného štvorca v trojčlene tvaru ax ^ 2 + bx + c.

Zmenšujte zlomky tak často, ako je to možné. Napríklad (2 * a ^ 2 * b) / (a ​​^ 2 * b * c) = 2 / (a ​​* c). Nezabudnite však, že zrušiť je možné iba faktory. Ak sa čitateľ a menovateľ algebraického zlomku vynásobí rovnakým nenulovým číslom, hodnota zlomku sa nezmení. Existujú dva spôsoby, ako transformovať racionálne výrazy: reťazec a akcia. Druhá metóda je výhodnejšia, pretože je jednoduchšie kontrolovať výsledky medziproduktov.

Vo výrazoch je často potrebné extrahovať korene. Dokonca aj korene sú extrahované iba z nezáporných výrazov alebo čísel. Nepárne korene sú odvodené z akéhokoľvek výrazu.

Zdroje:

• zjednodušenie výrazov moci

„Výraz“ v matematike sa zvyčajne nazýva súbor aritmetických a algebraických operácií s číslami a hodnotami premenných. Analogicky s formátom na zápis čísel sa takáto množina nazýva „zlomková“ v prípade, ak obsahuje operáciu delenia. Na zlomkové výrazy, ako aj na čísla vo formáte bežná frakcia, uplatňujú sa zjednodušujúce operácie.

Inštrukcie

Začnite tým, že nájdete spoločný faktor pre čitateľa a - ten je rovnaký pre číselné pomery a pre tie, ktoré obsahujú neznáme premenné. Ak je napríklad čitateľ 45 * X a menovateľ je 18 * Y, potom bude najväčší spoločný faktor 9. Po dokončení tohto kroku môže byť čitateľ zapísaný ako 9 * 5 * X a menovateľ ako 9 * 2. * Y.

Ak výrazy v čitateľovi a menovateli obsahujú kombináciu základných matematických operácií (delenie, sčítanie a odčítanie), musíte najskôr vylúčiť spoločný faktor pre každý z nich samostatne a potom z týchto čísel izolovať najväčší spoločný faktor. Napríklad pre výraz 45 * X + 180 v čitateľovi by mal byť faktor 45 vyňatý zo zátvoriek: 45 * X + 180 = 45 * (X + 4). A výraz 18 + 54 * Y v menovateli musí byť zmenšený na tvar 18 * (1 + 3 * Y). Potom, ako v predchádzajúcom kroku, nájdite najväčšieho spoločného deliteľa faktorov mimo zátvoriek: 45 * X + 180/18 + 54 * Y = 45 * (X + 4) / 18 * (1 + 3 * Y) = 9 * 5 * (X + 4) / 9 * 2 * (1 + 3 * Y). V tomto prípade sa tiež rovná deväť.

Znížte spoločný faktor zistený v predchádzajúcich krokoch pre výrazy v čitateľovi a menovateli zlomku. V príklade z prvého kroku je možné celú operáciu zjednodušenia napísať nasledovne: 45 * X / 18 * Y = 9 * 5 * X / 9 * 2 * Y = 5 * X / 2 * Y.

Na zjednodušenie nemusí byť spoločným faktorom, ktorý má byť zrušený, číslo, môže to byť aj výraz obsahujúci premennú. Ak je napríklad čitateľ zlomku (4 * X + X * Y + 12 + 3 * Y) a menovateľ je (X * Y + 3 * Y - 7 * X - 21), potom je najväčší spoločný faktorom bude výraz X + 3, ktorý by sa mal skrátiť, aby sa výraz zjednodušil: (4 * X + X * Y + 12 + 3 * Y) / (X * Y + 3 * Y - 7 * X - 21) = (X + 3) * (4 + Y) / (X + 3) * (Y-7) = (4 + Y) / (Y-7).

§ 1 Pojem zjednodušenia doslovného vyjadrenia

V tejto lekcii sa zoznámime s pojmom „podobné výrazy“ a pomocou príkladov sa naučíme, ako vykonať redukciu týchto výrazov, čím sa zjednodušia doslovné výrazy.

Poďme objasniť význam pojmu „zjednodušenie“. Zjednodušenie je odvodené od zjednodušenia. Zjednodušiť znamená zjednodušiť a zjednodušiť. Zjednodušiť doslovný výraz je preto skrátiť ho s minimálnym počtom krokov.

Uvažujme výraz 9x + 4x. Je to doslovný výraz, ktorý je súčtom. Podmienky sú tu prezentované ako výrobky s číslom a písmenom. Numerický faktor týchto pojmov sa nazýva koeficient. V tomto vyjadrení budú koeficienty čísla 9 a 4. Všimnite si, že faktor reprezentovaný písmenom je v oboch termínoch tohto súčtu rovnaký.

Pripomeňme si distribučný zákon násobenia:

Ak chcete vynásobiť súčet číslom, môžete každý výraz vynásobiť týmto číslom a pridať výsledné produkty.

V. všeobecný pohľad zapísané nasledovne: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Tento zákon je splnený v oboch smeroch ac + bc = (a + b) ∙ с

Aplikujme to na náš doslovný výraz: súčet súčinov 9x a 4x sa rovná súčinu, pričom prvý faktor sa rovná súčtu 9 a 4, druhý faktor je x.

9 + 4 = 13, ukazuje sa 13x.

9x + 4x = (9 + 4) x = 13x.

Namiesto troch akcií zostáva vo výraze jedna akcia - násobenie. To znamená, že sme doslovný výraz zjednodušili, t.j. zjednodušilo to.

§ 2 Redukcia podobných výrazov

Pojmy 9x a 4x sa líšia iba svojimi koeficientmi - tieto pojmy sa nazývajú podobné. Listová časť pre tieto výrazy je rovnaká. K takýmto výrazom patria aj čísla a rovnaké výrazy.

Napríklad vo výraze 9a + 12 - 15 budú podobné výrazy čísla 12 a -15 a v súčte súčinu 12 a 6a číslo 14 a súčinu 12 a 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), rovnaké podmienky predstavujú produkt 12 a 6a.

Je dôležité si uvedomiť, že výrazy, ktoré majú rovnaké koeficienty, ale písmenné faktory sú odlišné, nie sú podobné, aj keď je niekedy užitočné použiť na ne distribučný zákon násobenia, napríklad súčet súčinov 5x a 5y. sa rovná súčinu čísla 5 a súčtu x a y

5x + 5y = 5 (x + y).

Zjednodušme výraz -9a + 15a - 4 + 10.

Podobné výrazy v tomto prípade sú výrazy -9a a 15a, pretože sa líšia iba svojimi koeficientmi. Ich koeficient písmen je rovnaký, výrazy -4 a 10 sú tiež podobné, pretože ide o čísla. Pridávame podobné výrazy:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Získame: 6a + 6.

Zjednodušením výrazu sme našli súčty podobných pojmov, v matematike sa to nazýva redukcia podobných výrazov.

Ak je redukcia takýchto výrazov náročná, môžete im vymyslieť slová a pridať predmety.

Zoberme si napríklad výraz:

Pre každé písmeno vezmeme svoj vlastný predmet: b-jablko, c-hrušku, potom dostaneme: 2 jablká mínus 5 hrušiek plus 8 hrušiek.

Môžeme odpočítať hrušky od jabĺk? Samozrejme, že nie. Ale môžeme pridať 8 hrušiek do mínus 5 hrušiek.

Tu sú podobné pojmy -5 hrušiek + 8 hrušiek. Pre tieto výrazy je písmenová časť rovnaká, preto pri uvádzaní týchto výrazov stačí sčítať koeficienty a k výsledku prirátať písmenovú časť:

(-5 + 8) hrušky - získate 3 hrušky.

Ak sa vrátime k doslovnému výrazu, máme -5 s + 8s = 3s. Po prinesení podobných výrazov teda dostaneme výraz 2b + 3c.

V tejto lekcii ste sa teda zoznámili s pojmom „podobné výrazy“ a naučili ste sa, ako zjednodušiť doslovné výrazy prinášaním podobných výrazov.

Zoznam použitej literatúry:

1. Matematika. 6. ročník: plány hodín k učebnici od I. I. Zubareva, A.G. Mordkovich // zostavil L.A. Topilin. Mnemosyne 2009.
2. Matematika. Ročník 6: učebnica pre študentov vzdelávacie inštitúcie... I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosina, 2013.
3. Matematika. Ročník 6: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov a ďalší / upravil G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Ruská akadémia vied, Ruská akadémia vzdelávania. M.: „Vzdelávanie“, 2010.
4. Matematika. Stupeň 6: učebnica pre inštitúcie všeobecného vzdelávania / N. Ya. Vilenkin a V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. - M .: Mnemosina, 2013.
5. Matematika. 6. ročník: učebnica / G.K. Muravin, O. V. Muravina. - M.: Drop, 2014.

Použité obrázky: