இது ஒரு வரையறுப்பிலிருந்து பின்வருவதில்லை f (x) திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு வளைவு y = f (x), நேர் கோடுகள் x = a, x = b மற்றும் abcissa அச்சு y = 0 (படம் 4.1).

செயல்பாடு - f (x) நேர்மறை அல்லாதது என்றால், உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு
தொடர்புடைய வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பிற்கு சமம், இது மைனஸ் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது (படம் 4.7).

படம் 4.7 - நேர்மறை அல்லாத செயல்பாட்டிற்கான ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்

ஒரு தன்னிச்சையான தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கு f (x), உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு
f (x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் கீழ் மற்றும் அப்ஸிஸ்ஸா அச்சுக்கு மேலே உள்ள வளைவு ட்ரெப்சியங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் அப்சிஸ்ஸா (படம் 4.8).

படம் 4.8 - ஒரு தன்னிச்சையான தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கான ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள் f (x) (பிளஸ் அடையாளம் சேர்க்கப்படும் பகுதியை குறிக்கிறது, மற்றும் கழித்தல் பகுதி குறைகிறது).

வளைந்த வடிவங்களின் பகுதிகளை நடைமுறையில் கணக்கிடும் போது, ​​பின்வரும் சூத்திரம் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது:
, அங்கு S என்பது வளைவு y = f 1 (x) மற்றும் y = f 2 (x) ஆகிய பிரிவுகளில் [a, b] மற்றும் f 1 (x) மற்றும் f 2 (x ) இந்த பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் f 1 (x) ≥ f 2 (x) (படம் 4.9, 4.10 ஐப் பார்க்கவும்).

வழித்தோன்றலின் பொருளாதாரப் பொருளைப் படிக்கும்போது, ​​வழித்தோன்றல் சில பொருளாதாரப் பொருள் அல்லது செயல்முறையின் மாற்ற விகிதமாக அல்லது மற்றொரு ஆய்வு செய்யப்பட்ட காரணியுடன் தொடர்புடையது என்று கண்டறியப்பட்டது. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பொருளாதார அர்த்தத்தை நிறுவுவதற்கு, இந்த வேகத்தை நேரத்தின் செயல்பாடு அல்லது பிற காரணியாகக் கருதுவது அவசியம். பின்னர், ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பு ஆன்டிடெரிவேடிவ் மாற்றமாக இருப்பதால், பொருளியலில் அது ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் (அல்லது மற்றொரு காரணியில் ஒரு குறிப்பிட்ட மாற்றத்துடன்) இந்த பொருளின் (செயல்முறை) மாற்றத்தை மதிப்பிடுகிறது.

உதாரணமாக, q = q (t) செயல்பாடு உழைப்பு உற்பத்தித்திறனை நேரத்தின் செயல்பாடு என்று விவரித்தால், இந்த செயல்பாட்டின் ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு
t 0 முதல் t 1 வரையிலான காலப்பகுதிக்கான பொருட்களின் அளவைக் குறிக்கிறது.

உறுதியான ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்முன்னர் கருதப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு முறைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை (நாங்கள் ஆதாரங்களை மேற்கொள்ள மாட்டோம்).

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிக்க, சூத்திரத்தின் அடிப்படையில் மாறி மாற்ற முறையைப் பயன்படுத்தினோம்: கருதப்பட்ட இடைவெளியில். ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கு, மாறி மாற்ற சூத்திரம் வடிவம் பெறுகிறது
, எங்கே
மற்றும் அனைவருக்கும்.

உதாரணம் 1... கண்டுபிடி

T = 2 –x 2 ஐ விடுங்கள். பின்னர் dt = -2xdx மற்றும் xdx = - ½dt.

X = 0 t = 2 - 0 2 = 2. x = 1t = 2 - 1 2 = 1. க்கு பிறகு

உதாரணம் 2... கண்டுபிடி

உதாரணம் 3... கண்டுபிடி

உறுதியான ஒருங்கிணைப்பிற்கான பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம் படிவத்தை எடுக்கும்:
, எங்கே
.

உதாரணம் 1... கண்டுபிடி

U = ln (1 + x), dv = dx. பிறகு

உதாரணம் 2... கண்டுபிடி

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி பிளானர் புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுதல்

உதாரணம் 1.ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும், வரிகளால் வரையறுக்கப்பட்டது y = x 2 - 2 மற்றும் y = x.

Y = x 2 - 2 செயல்பாட்டின் வரைபடம் x = 0, y = -2; அப்சிஸ்ஸா அச்சு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது
... Y = x செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு நேர் கோடு, எதிர்மறை அல்லாத ஒருங்கிணைந்த காலாண்டின் இரு பிரிவு.

இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும் பரபோலா y = x 2 - 2 மற்றும் நேர் கோடு y = x இன் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்:

x 2 - x - 2 = 0

x = 2; y = 2 அல்லது x = -1; y = -1

இவ்வாறு, அதன் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய உருவம் படம் 4.9 இல் குறிப்பிடப்படலாம்.

படம் 4.9 - y = x 2 - 2 மற்றும் y = x ஆகிய வரிகளால் வரையப்பட்ட உருவம்

பிரிவில் [-1, 2] x ≥ x 2 - 2.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்
, f 1 (x) = x அமைத்தல்; f 2 (x) = x 2 - 2; a = -1; b = 2.

உதாரணம் 2. Y = 4 - x 2 மற்றும் y = x 2 - 2x வரிகளால் வரையப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

Y = 4 - x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடம் x = 0, y = 4 இல் அதிகபட்ச புள்ளியுடன் ஒரு பரபோலா ஆகும்; அப்சிஸ்ஸா அச்சு 2 மற்றும் -2 புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. Y = x 2 - 2x செயல்பாட்டின் வரைபடம் 2x- 2 = 0, x = 1; y = -1; அப்சிஸ்ஸா அச்சு 0 மற்றும் 2 புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.

வளைவுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்:

4 - x 2 = x 2 - 2x

2x 2 - 2x - 4 = 0

x 2 - x - 2 = 0

x = 2; y = 0 அல்லது x = -1; y = 3

இவ்வாறு, அதன் பகுதி கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டிய உருவம் படம் 4.10 இல் குறிப்பிடப்படலாம்.

படம் 4.10 - y = 4 - x 2 மற்றும் y = x 2 - 2x வரிகளால் வரையப்பட்ட உருவம்

பிரிவில் [-1, 2] 4 - x 2 ≥ x 2 - 2x.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்
, f 1 (x) = 4 - - x 2; f 2 (x) = x 2 - 2x; a = -1; b = 2.

உதாரணம் 3.எதிர்மறை அல்லாத ஒருங்கிணைந்த காலாண்டில் y = 1 / x; y = x 2 மற்றும் y = 4 ஆகிய வரிகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

Y = 1 / x செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு ஹைப்பர்போலா ஆகும், நேர்மறை x க்கு அது குவிந்த கீழ்நோக்கி உள்ளது; ஒருங்கிணைந்த அச்சுகள் அறிகுறியற்றவை. எதிர்மறை அல்லாத ஒருங்கிணைந்த காலாண்டில் y = x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடம் என்பது தோற்றத்தில் குறைந்தபட்ச புள்ளியுடன் ஒரு பரபோலாவின் கிளை ஆகும். இந்த வரைபடங்கள் 1 / x = x 2; x 3 = 1; x = 1; y = 1.

நேர் கோடு y = 4, y = 1 / x செயல்பாட்டின் வரைபடம் x = 1/4 மற்றும் x = 2 (அல்லது -2) இல் y = x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடம்.

இவ்வாறு, அதன் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய உருவம் படம் 4.11 இல் குறிப்பிடப்படலாம்.

படம் 4.11 - y = 1 / x வரிகளால் வரையப்பட்ட உருவம்; y = x 2 மற்றும் y = 4 எதிர்மறை அல்லாத ஒருங்கிணைந்த காலாண்டில்

ABC உருவத்தின் கோரப்பட்ட பகுதி ABHE செவ்வகத்தின் பரப்பளவுக்கும் 4 * (2 - ¼) = 7 க்கும், மற்றும் இரண்டு வளைவு ட்ரெப்சாய்டுகள் ACFE மற்றும் CBHF ஆகிய பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். ACFE பகுதியை கணக்கிடுவோம்:

CBHF இன் பரப்பளவை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

.

எனவே, தேவையான பகுதி 7 - (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43.28 (அலகு 2).

ஒரு வடிவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்- இது பகுதியின் கோட்பாட்டில் மிகவும் கடினமான பிரச்சினைகளில் ஒன்றாகும். பள்ளி வடிவவியலில், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முக்கோணம், ரோம்பஸ், செவ்வகம், ட்ரேப்சாய்டு, வட்டம் போன்ற அடிப்படை வடிவியல் வடிவங்களின் பகுதிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அவர்கள் கற்பிக்கிறார்கள். எவ்வாறாயினும், அதிகமான பகுதிகளின் கணக்கீட்டை நாம் அடிக்கடி சமாளிக்க வேண்டும் சிக்கலான புள்ளிவிவரங்கள்... இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது தான் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது.

வரையறை.

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டு y = f (x), y = 0, x = a மற்றும் x = b ஆகிய வரிகளால் வரையறுக்கப்பட்ட சில உருவம் G என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் f (x) செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக [பிரிவில்; b] மற்றும் அதன் அடையாளத்தை மாற்றாது (வரைபடம். 1).ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியை S (G) என்று குறிப்பிடலாம்.

F (x) செயல்பாட்டிற்கான திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு ʃ а b f (x) dx, இது இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது மற்றும் எதிர்மறை அல்லாதது [а; b], மற்றும் அது தொடர்புடைய வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதி.

அதாவது, y = f (x), y = 0, x = a மற்றும் x = b ஆகிய வரிகளால் வரையறுக்கப்பட்ட G இன் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க, உறுதியான ஒருங்கிணைந்த ʃ abf (x) ஐக் கணக்கிடுவது அவசியம் dx

இதனால், S (G) = ʃ a b f (x) dx.

Y = f (x) செயல்பாடு நேர்மறையாக இல்லாவிட்டால் [a; b], பின்னர் ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியை சூத்திரம் மூலம் காணலாம் S (G) = -ʃ a b f (x) dx.

உதாரணம் 1.

Y = x 3 வரிகளால் வரையப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்; y = 1; x = 2.

தீர்வு

குறிப்பிடப்பட்ட கோடுகள் ஏபிசி உருவத்தை உருவாக்குகின்றன, இது குஞ்சு பொரிப்பதன் மூலம் காட்டப்படுகிறது அரிசி. 2

விரும்பிய பகுதி DACE வளைந்த ட்ரெப்சாய்டு மற்றும் DABE சதுரத்தின் பகுதிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

S = ʃ மற்றும் b f (x) dx = S (b) - S (a) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

(y = x 3,
(y = 1

இவ்வாறு, எங்களிடம் x 1 = 1 - கீழ் வரம்பு மற்றும் x = 2 - மேல் வரம்பு.

எனவே, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4/4 | 1 2 - 1 = (16 - 1) / 4 - 1 = 11/4 (சதுர அலகுகள்)

பதில்: 11/4 சதுர. அலகுகள்

உதாரணம் 2.

Y = √x வரிகளால் வரையப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்; y = 2; x = 9.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ABC உருவத்தை உருவாக்குகின்றன, இது மேலே இருந்து செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது

y \ u003d √x, மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு கீழே y \ u003d 2. இதன் விளைவாக உருவம் ஷேடிங் மூலம் காட்டப்படும் அரிசி. 3.

தேவையான பகுதி S = ʃ a b (--x - 2). ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்: b = 9, a ஐக் கண்டுபிடிக்க, நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கிறோம்:

(y = √x,
(y = 2

இவ்வாறு, எங்களிடம் x = 4 = a - இது குறைந்த வரம்பு.

எனவே, S = ∫ 4 9 (√x - 2) dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x | 4 9 - 2x | 4 9 = (18 - 16/3) - (18 - 8) = 2 2/3 (சதுர அலகுகள்).

பதில்: S = 2 2/3 சதுர. அலகுகள்

உதாரணம் 3.

Y = x 3 - 4x வரிகளால் வரையப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்; y = 0; x ≥ 0.

தீர்வு

X = 0. x க்கு y = x 3 - 4x என்ற செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்.

y ’= 3x 2 - 4, y’ = 0 x = ± 2 / √3 ≈ 1.1 ஆகியவை முக்கியமான புள்ளிகள்.

எண் அச்சில் முக்கியமான புள்ளிகளை நாம் சித்தரித்து, வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை ஏற்பாடு செய்தால், செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திலிருந்து 2 / √3 ஆக குறைந்து 2 / √3 முதல் பிளஸ் முடிவிலி வரை அதிகரிக்கிறது. பின்னர் x = 2 / √3 என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளி, செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு min = -16 / (3√3) ≈ -3.

வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் வரையறுப்போம்:

x = 0 என்றால், y = 0, அதாவது A (0; 0) என்பது Oy அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளி;

y = 0 என்றால், x 3 - 4x = 0 அல்லது x (x 2 - 4) = 0, அல்லது x (x - 2) (x + 2) = 0, எங்கிருந்து x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (x ≥ 0 முதல் பொருந்தாது).

புள்ளிகள் A (0; 0) மற்றும் B (2; 0) ஆகியவை ஆக்ஸ் அச்சுடன் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள்.

குறிப்பிடப்பட்ட கோடுகள் ஒரு OAB வடிவத்தை உருவாக்குகின்றன, இது குஞ்சு பொரிப்பதன் மூலம் காட்டப்படுகிறது அரிசி. 4.

Y = x 3 - 4x செயல்பாட்டிலிருந்து (0; 2) எதிர்மறை பொருள், பிறகு

எஸ் = | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx |.

எங்களிடம் உள்ளது: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx = (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 = -4, எங்கிருந்து S = 4 சதுர. அலகுகள்

பதில்: S = 4 சதுர. அலகுகள்

உதாரணம் 4.

பரபோலா y = 2x 2 - 2x + 1, நேர் கோடுகள் x = 0, y = 0 மற்றும் இந்த பரபோலாவின் தொடுதல் ஆகியவற்றால் வரையப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவை abcissa x 0 = 2 உடன் கண்டுபிடிக்கவும்.

தீர்வு

முதலில், தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை பரபோலா y = 2x 2 - 2x + 1 என்ற புள்ளியில் abcissa x₀ = 2 உடன் உருவாக்குகிறோம்.

வழித்தோன்றல் y ’= 4x - 2 என்பதால், x 0 = 2 இல் நமக்கு k = y’ (2) = 6 கிடைக்கும்.

தொடும் புள்ளியின் ஆர்டினேட் கண்டுபிடிக்கவும்: y 0 = 2 2 2 - 2 2 + 1 = 5.

எனவே, தொடு சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: y - 5 = 6 (x - 2) அல்லது y = 6x - 7.

வரிகளால் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவத்தை வரையலாம்:

y = 2x 2 - 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x - 7.

G y = 2x 2 - 2x + 1 - பரபோலா. ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் வெட்டும் புள்ளிகள்: A (0; 1) - Oy அச்சுடன்; ஆக்ஸ் அச்சுடன் - குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் இல்லை, ஏனென்றால் 2x 2 - 2x + 1 = 0 சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை (டி< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, அதாவது, பரபோலா புள்ளி B யின் உச்சியில் B (1/2; 1/2) ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன.

எனவே, நீங்கள் எந்த பகுதியை தீர்மானிக்க விரும்புகிறீர்கள் என்று உருவம் காட்டப்படுகிறது அரிசி. 5

எங்களிடம் உள்ளது: S О A В D = S OABC - S ADBC.

நிபந்தனையிலிருந்து புள்ளி D இன் ஆயங்களை கண்டுபிடிக்கவும்:

6x - 7 = 0, அதாவது. x = 7/6, எனவே DC = 2 - 7/6 = 5/6.

முக்கோண DBC யின் பரப்பளவு S ADBC ​​= 1/2 DC BC சூத்திரத்தால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இதனால்,

எஸ் ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 சதுர. அலகுகள்

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) dx = (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 = 10/3 (சதுர அலகுகள்)

இறுதியாக, நாம் பெறுகிறோம்: S О A В D = S OABC - S ADBC ​​= 10/3 - 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (சதுர அலகுகள்).

பதில்: S = 1 1/4 சதுர. அலகுகள்

நாங்கள் எடுத்துக்காட்டுகளை பகுப்பாய்வு செய்தோம் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கண்டறிதல் கொடுக்கப்பட்ட வரிகள் ... இத்தகைய சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, நீங்கள் விமானத்தில் கோடுகளையும் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களையும் உருவாக்க வேண்டும், கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அந்த பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், இது சில ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான திறன்கள் மற்றும் திறன்களைக் குறிக்கிறது.

தளம், பொருளின் முழு அல்லது பகுதியளவு நகலெடுப்புடன், மூலத்துடன் இணைப்பு தேவை.

உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு. ஒரு வடிவத்தின் பரப்பளவை எப்படி கணக்கிடுவது

நாம் இப்போது ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் பயன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த பாடத்தில் நாம் ஒரு பொதுவான மற்றும் மிகவும் பொதுவான பணியை பகுப்பாய்வு செய்வோம். ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவது எப்படி... இறுதியாக, உயர் கணிதத்தில் அர்த்தத்தைத் தேடுபவர்கள் - அவர்கள் அதைக் கண்டுபிடிக்கட்டும். உனக்கு ஒருபோதும் தெரிந்துருக்காது. அடிப்படை செயல்பாடுகளுடன் புறநகர் பகுதியை வாழ்க்கையில் நெருக்கமாக கொண்டு வர வேண்டும் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பை பயன்படுத்தி அதன் பகுதியை கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

பொருள் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற, நீங்கள் கண்டிப்பாக:

1) புரிந்து கொள்ளுங்கள் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகுறைந்தபட்சம் சராசரி அளவில். எனவே, டம்மீஸ் முதலில் தங்களை பாடத்துடன் பழக்கப்படுத்திக்கொள்ள வேண்டும் இல்லை.

2) நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பை கணக்கிடவும் முடியும். சூடாக நிறுவவும் நட்பு உறவுகள்திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளுடன் நீங்கள் பக்கத்தில் முடியும் உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

உண்மையில், ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க, காலவரையற்ற மற்றும் உறுதியான ஒருங்கிணைப்பைப் பற்றி ஒருவருக்கு இவ்வளவு அறிவு தேவையில்லை. "ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்" என்ற பணி எப்போதும் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதை உள்ளடக்கியதுஎனவே, உங்கள் அறிவு மற்றும் வரைதல் திறன்கள் மிகவும் அழுத்தமான பிரச்சினையாக இருக்கும். இது சம்பந்தமாக, அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களின் நினைவகத்தை புதுப்பிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும், மேலும், குறைந்தபட்சம், ஒரு நேர்கோட்டை, ஒரு பரபோலா மற்றும் ஒரு ஹைபர்போலாவை உருவாக்க முடியும். இதைப் பயன்படுத்தி (பலருக்குத் தேவை) இதைச் செய்யலாம் முறையான பொருள்மற்றும் வரைபடங்களின் வடிவியல் மாற்றங்கள் பற்றிய கட்டுரைகள்.

உண்மையில், பள்ளியிலிருந்து ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி அந்த பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலை அனைவரும் அறிந்திருக்கிறார்கள், நாங்கள் அதை விட முன்னேற மாட்டோம் பள்ளி பாடத்திட்டம்... இந்த கட்டுரை இல்லாமலிருக்கலாம், ஆனால் உண்மை என்னவென்றால், 100 -ல் 99 வழக்குகளில் பிரச்சனை ஏற்படுகிறது, ஒரு மாணவர் வெறுக்கப்பட்ட கோபுரத்தால் ஆர்வத்துடன் உயர் கணித பாடத்தில் தேர்ச்சி பெறும்போது.

இந்த பட்டறையின் பொருட்கள் எளிமையாகவும், விரிவாகவும் மற்றும் குறைந்தபட்ச கோட்பாட்டுடனும் வழங்கப்படுகின்றன.

ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுஒரு அச்சு, நேர் கோடுகள் மற்றும் ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடம் வரையப்பட்ட தட்டையான உருவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது இந்த இடைவெளியில் அடையாளத்தை மாற்றாது. இந்த உருவம் இருக்கட்டும் குறையாமல்அப்சிசா அச்சு:

பிறகு ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு எண்ணியல் ரீதியாக உறுதியான ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்... எந்தவொரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பும் (உள்ளது) மிகச்சிறந்த வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது. பாடத்தில் உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு ஒரு எண் என்று நான் சொன்னேன். இப்போது மற்றொரு பயனுள்ள உண்மையைச் சொல்ல வேண்டிய நேரம் வந்துவிட்டது. வடிவவியலின் பார்வையில், உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு AREA ஆகும்.

அது, ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு (அது இருந்தால்) வடிவியல் ரீதியாக சில உருவத்தின் பகுதிக்கு ஒத்திருக்கிறது... உதாரணமாக, ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பைக் கருதுங்கள். ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் மேலே அமைந்துள்ள விமானத்தில் ஒரு வளைவை அமைக்கிறது (விரும்புபவர்கள் வரைதல் செய்யலாம்), மேலும் உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு தொடர்புடைய வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதிக்கு எண் சமமாக இருக்கும்.

உதாரணம் 1

இது வேலையின் ஒரு பொதுவான சூத்திரமாகும். முதல் மற்றும் மிக முக்கியமான தருணம்தீர்வுகள் - வரைதல் கட்டிடம்... மேலும், வரைதல் கட்டப்பட வேண்டும் உரிமை.

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும் போது, ​​நான் பின்வரும் ஆர்டரை பரிந்துரைக்கிறேன்: முதலில்அனைத்து வரிகளையும் (ஏதேனும் இருந்தால்) உருவாக்குவது நல்லது பிறகு- பரபோலாஸ், ஹைபர்போலாஸ், பிற செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள். செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவது மிகவும் லாபகரமானது புள்ளியாக, பாயிண்ட்-பை-பாயிண்ட் கட்டுமானத்தின் நுட்பத்தைக் காணலாம் குறிப்பு பொருள் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள்... எங்கள் பாடம் தொடர்பாக நீங்கள் மிகவும் பயனுள்ள விஷயங்களையும் அங்கே காணலாம் - எப்படி ஒரு பரபோலாவை விரைவாக உருவாக்குவது.

இந்த பிரச்சனையில், தீர்வு இப்படி இருக்கலாம்.
ஒரு வரைபடத்தை வரையலாம் (சமன்பாடு அச்சை வரையறுக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க):

நான் ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டைப் பெற மாட்டேன், இங்கே நாம் எந்தப் பகுதியைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பது தெளிவாகிறது. தீர்வு இப்படி தொடர்கிறது:

பிரிவில், செயல்பாட்டின் வரைபடம் அமைந்துள்ளது அச்சுக்கு மேலேஎனவே,

பதில்:

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கும் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கும் யார் சிரமப்படுகிறார்கள் , விரிவுரையைப் பார்க்கவும் உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

பணி முடிந்தபின், ப்ளூபிரிண்ட் மற்றும் பதில் உண்மையானதா என மதிப்பிடுவது எப்போதும் உதவியாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், "கண்ணால்" வரைபடத்தில் உள்ள கலங்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணுகிறோம் - சரி, சுமார் 9 தட்டச்சு செய்யப்படும், அது உண்மை போல் தெரிகிறது. 20 சதுர அலகுகள், பதில் கிடைத்தால், தெளிவாக, எங்காவது தவறு நடந்துவிட்டது என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது - கேள்விக்குரிய எண்ணிக்கை வெளிப்படையாக 20 கலங்களுக்கு பொருந்தாது, அதிகபட்சம் பத்து. பதில் எதிர்மறையாக இருந்தால், பணியும் தவறாக தீர்க்கப்பட்டது.

உதாரணம் 2

கோடுகள் மற்றும் ஒரு அச்சால் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்

நீங்களே செய்ய வேண்டிய தீர்வுக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. முழுமையான தீர்வுபாடத்தின் முடிவில் பதில்.

வளைந்த ட்ரெப்சாய்ட் அமைந்திருந்தால் என்ன செய்வது அச்சின் கீழ்?

உதாரணம் 3

கோடுகள் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த அச்சுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு: வரைபடத்தை செயல்படுத்துவோம்:

வளைந்த ட்ரெப்சாய்ட் அமைந்திருந்தால் அச்சின் கீழ்(அல்லது குறைந்தது உயர்ந்தது அல்லகொடுக்கப்பட்ட அச்சு), பின்னர் அதன் பகுதியை சூத்திரத்தால் காணலாம்:
இந்த வழக்கில்:

கவனம்! இரண்டு வகையான பணிகள் குழப்பமடையக்கூடாது:

1) எந்த வடிவியல் அர்த்தமும் இல்லாமல் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்கும்படி கேட்டால், அது எதிர்மறையாக இருக்கலாம்.

2) ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்கச் சொன்னால், அந்தப் பகுதி எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்! அதனால்தான் இப்போது கருதப்படும் சூத்திரத்தில் மைனஸ் தோன்றுகிறது.

நடைமுறையில், பெரும்பாலும் இந்த எண்ணிக்கை மேல் மற்றும் கீழ் அரை விமானங்களில் அமைந்துள்ளது, எனவே, எளிமையான பள்ளி சிக்கல்களிலிருந்து, நாம் மிகவும் அர்த்தமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு செல்கிறோம்.

உதாரணம் 4

கோடுகளால் வரையப்பட்ட ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: முதலில் நீங்கள் வரைபடத்தை முடிக்க வேண்டும். பொதுவாக, ஒரு பகுதியில் உள்ள சிக்கல்களில் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளிகளில் நாங்கள் மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளோம். பரபோலா மற்றும் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். இதை இரண்டு வழிகளில் செய்யலாம். முதல் வழி பகுப்பாய்வு. சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

எனவே, ஒருங்கிணைப்பின் குறைந்த வரம்பு, ஒருங்கிணைப்பின் மேல் வரம்பு.
முடிந்தால், இந்த முறையைப் பயன்படுத்தாமல் இருப்பது நல்லது..

புள்ளிகள் மூலம் கோடுகளை உருவாக்குவது மிகவும் லாபகரமானது மற்றும் விரைவானது, அதே நேரத்தில் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் தெளிவாகத் தெரியும், "அவர்களால்". பல்வேறு விளக்கப்படங்களுக்கான புள்ளி-க்கு-புள்ளி சதித்திட்டத்தின் நுட்பம் உதவியில் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது. அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள்... ஆயினும்கூட, வரம்புகளைக் கண்டறியும் பகுப்பாய்வு முறை இன்னும் சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, வரைபடம் போதுமான அளவு பெரியதாக இருந்தால், அல்லது துல்லியமான கட்டுமானம் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை வெளிப்படுத்தவில்லை (அவை பின்னமாகவோ அல்லது பகுத்தறிவற்றதாகவோ இருக்கலாம்). அத்தகைய உதாரணத்தையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

நாங்கள் எங்கள் பிரச்சினைக்குத் திரும்புகிறோம்: முதலில் ஒரு நேர்கோட்டை உருவாக்குவது மிகவும் பகுத்தறிவு மற்றும் பின்னர் ஒரு பரபோலா. வரைபடத்தை செயல்படுத்துவோம்:

ஒரு புள்ளி கட்டுமானத்தின் விஷயத்தில், ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் பெரும்பாலும் ஒரு "ஆட்டோமேட்டனால்" கண்டுபிடிக்கப்படுகின்றன என்பதை நான் மீண்டும் சொல்கிறேன்.

இப்போது வேலை செய்யும் சூத்திரம்: ஒரு பிரிவில் சில தொடர்ச்சியான செயல்பாடு இருந்தால் அதிகமாக அல்லது சமமாகசில தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின், பின்னர் உருவத்தின் பரப்பளவு, இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் நேர் கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, சூத்திரத்தின் மூலம் காணலாம்:

அந்த உருவம் எங்குள்ளது என்பதை இங்கே நீங்கள் இனி சிந்திக்க வேண்டியதில்லை - அச்சுக்கு மேலே அல்லது அச்சுக்கு கீழே, மற்றும் தோராயமாக, எந்த அட்டவணை மேலே உள்ளது என்பது முக்கியம்(மற்றொரு வரைபடத்துடன் தொடர்புடையது), மற்றும் கீழே எது.

பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், பிரிவில் பரபோலா நேர்கோட்டுக்கு மேலே அமைந்துள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, எனவே அதைக் கழிக்க வேண்டியது அவசியம்

தீர்வின் நிறைவு இதுபோல் தோன்றலாம்:

தேவையான உருவம் மேலே ஒரு பரபோலா மற்றும் கீழே ஒரு நேர்கோட்டுடன் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது.
பிரிவில், தொடர்புடைய சூத்திரத்தின்படி:

பதில்:

உண்மையில், கீழ் அரை விமானத்தில் ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதிக்கான பள்ளி சூத்திரம் (எளிய உதாரணம் எண் 3 ஐப் பார்க்கவும்) சூத்திரத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு ... அச்சு சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடம் அமைந்துள்ளது உயர்ந்தது அல்லஅச்சு, பின்னர்

இப்போது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான சில உதாரணங்கள்

உதாரணம் 5

உதாரணம் 6

கோடுகளால் வரையப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி பகுதியை கணக்கிடுவதற்கான சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​ஒரு வேடிக்கையான சம்பவம் சில நேரங்களில் நடக்கும். வரைதல் சரியாக செய்யப்பட்டது, கணக்கீடுகள் சரியானவை, ஆனால் கவனக்குறைவாக ... தவறான உருவத்தின் பகுதி கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, உங்கள் தாழ்மையான வேலைக்காரன் இப்படி பல முறை திருகிவிட்டான். இங்கே ஒரு நிஜ வாழ்க்கை வழக்கு:

உதாரணம் 7

வரிகளால் வரையப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள் ,,,.

தீர்வு: முதலில், வரைபடத்தை இயக்கலாம்:

... ஒரு மோசமான படம் வெளிவந்தது, ஆனால் எல்லாம் தெளிவாகத் தெரிகிறது.

நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய உருவம் நீல நிறத்தில் உள்ளது(நிபந்தனையை கவனமாகப் பாருங்கள் - எண்ணிக்கை என்ன வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது!). ஆனால் நடைமுறையில், கவனக்குறைவு காரணமாக, ஒரு "கோளாறு" அடிக்கடி எழுகிறது, அந்த உருவத்தின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இது பச்சை நிறத்தில் நிழலாடுகிறது!

இந்த எடுத்துக்காட்டு பயனுள்ளதாக இருக்கும், இது இரண்டு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுகிறது. உண்மையில்:

1) ஒரு வரி வரைபடம் வரைபடத்திற்கு மேலே உள்ள பிரிவில் அமைந்துள்ளது;

2) ஹைபர்போலா வரைபடம் அச்சுக்கு மேலே உள்ள பிரிவில் அமைந்துள்ளது.

பகுதிகள் சேர்க்கப்படலாம் (மற்றும் சேர்க்கப்பட வேண்டும்) என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது, எனவே:

பதில்:

இன்னும் ஒரு அர்த்தமுள்ள பணிக்கு செல்வோம்.

உதாரணம் 8

கோடுகளால் வரையப்பட்ட வடிவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்,
சமன்பாடுகளை "பள்ளி" வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தி, ஒரு புள்ளி-க்கு-புள்ளி வரைபடத்தை இயக்கலாம்:

எங்கள் மேல் வரம்பு "நல்லது" என்பதை வரைபடத்திலிருந்து காணலாம்:.
ஆனால் குறைந்த வரம்பு என்ன? இது ஒரு முழு எண் அல்ல என்பது தெளிவு, ஆனால் எது? இருக்கலாம் ? ஆனால் வரைதல் சரியான துல்லியத்துடன் செய்யப்பட்டது என்பதற்கான உத்தரவாதம் எங்கே, அது அதுவாக இருக்கலாம். அல்லது வேர். வரைபடத்தை நாம் தவறாக திட்டமிட்டால் என்ன செய்வது?

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் கூடுதல் நேரத்தை செலவிட வேண்டும் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை பகுப்பாய்வு ரீதியாக செம்மைப்படுத்த வேண்டும்.

கோடு மற்றும் பரபோலாவின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.
இதைச் செய்ய, நாம் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம்:


,

உண்மையில்,.

மேலும் தீர்வு அற்பமானது, முக்கிய விஷயம் மாற்று மற்றும் அறிகுறிகளில் குழப்பமடையக்கூடாது, இங்கே கணக்கீடுகள் எளிமையானவை அல்ல.

பிரிவில் தொடர்புடைய சூத்திரத்தின்படி:

பதில்:

பாடத்தின் முடிவில், நாம் இன்னும் இரண்டு கடினமான பணிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணம் 9

கோடுகளால் வரையப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்,

தீர்வு: இந்த உருவத்தை வரைபடத்தில் சித்தரிப்போம்.

அடடா, நான் அட்டவணையில் கையெழுத்திட மறந்துவிட்டேன், ஆனால் படத்தை மீண்டும் செய்ய, மன்னிக்கவும், ஹாட்ஸ் அல்ல. வரையவில்லை, சுருக்கமாக, இன்று நாள் =)

ஒரு புள்ளி-க்கு-புள்ளி கட்டுமானத்திற்கு, நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் தோற்றம்சைனூசாய்டுகள் (மற்றும் பொதுவாக தெரிந்து கொள்வது பயனுள்ளது அனைத்து அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள்), அதே போல் சில சைன் மதிப்புகள், அவற்றைக் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை... பல வழக்குகளில் (இது போல), ஒரு வரைபட வரைபடத்தை உருவாக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது, அதில் வரைபடங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் கொள்கையளவில் சரியாக காட்டப்பட வேண்டும்.

ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளில் எந்தப் பிரச்சினையும் இல்லை, அவை நிபந்தனையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றுகின்றன: - "x" பூஜ்ஜியத்திலிருந்து "pi" க்கு மாறுகிறது. நாங்கள் மேலும் ஒரு முடிவை எடுக்கிறோம்:

பிரிவில், செயல்பாட்டின் வரைபடம் அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ளது, எனவே:

வர்க்கம்: 11

பாடம் வழங்கல்

மீண்டும் முன்னோக்கி

கவனம்! ஸ்லைடு முன்னோட்டங்கள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் அனைத்து விளக்கக்காட்சி விருப்பங்களையும் குறிக்காது. இந்த வேலையில் நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், தயவுசெய்து முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:பகுதிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுங்கள் தட்டையான புள்ளிவிவரங்கள்ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துதல்; திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி தட்டையான உருவங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடும் திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்; ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் வரலாற்றில் இருந்து மீண்டும் அறியப்பட்ட மற்றும் புதிய தகவலைப் புகாரளிக்கவும்; தேர்வு தயாரிப்பு; கவனம், பேச்சு வளர்ச்சியின் வேலைகளைத் தொடரவும் தருக்க சிந்தனை, பதிவில் துல்லியம்; கிராஃபிக் கலாச்சாரத்தை மேம்படுத்துதல்; வளர்ச்சிப் பணிகளைத் தொடருங்கள் படைப்பாற்றல்மாணவர்கள்; கணிதப் படிப்பில் ஆர்வத்தை அதிகரிக்க;

உபகரணங்கள்:மல்டிமீடியா ப்ரொஜெக்டர், திரை, தலைப்பில் விளக்கக்காட்சி, பவர் பாயிண்ட் சூழலில் உருவாக்கப்பட்டது.

வகுப்புகளின் போது

I. நிறுவன தருணம், தலைப்பின் தொடர்பு மற்றும் பாடத்தின் நோக்கம்.

II. வீட்டுப்பாடம் சோதனை.

கூடுதல் சரிபார்க்கிறது வீட்டு பாடம்(ஆசிரியர் முன்பு தயாரிக்கப்பட்ட வரைபடத்தில் தீர்வைக் காட்டுகிறார், உடன் தீர்வு பின் பக்கம்பலகைகள்):

Y = 1+ 3cos (x / 2), x = -π / 2, x = 3π / 2, y = 0 செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்

III அடிப்படை அறிவைப் புதுப்பித்தல்.

1. வாய்வழி வேலை(ஸ்லைடுகள் 3-4)

1. புள்ளிவிவரங்களில் காட்டப்பட்டுள்ள புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தவும்:
2. ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுங்கள்:

2. கொஞ்சம் வரலாறு. (ஸ்லைடுகள் 5-9)

"ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் வரலாற்றிலிருந்து" என்ற தலைப்பில் மாணவர்களின் கணினித் திட்டத்தின் துண்டு.

1 மாணவர்

ஒருங்கிணைந்த- கணிதத்தின் மிக முக்கியமான கருத்துக்களில் ஒன்று, இது ஒருபுறம், அவற்றின் வழித்தோன்றல்களால் செயல்பாடுகளைக் கண்டறிய வேண்டும், மறுபுறம், பகுதிகள், தொகுதிகள், வளைவுகளின் நீளம், சக்திகளின் வேலை ஆகியவற்றை அளவிடுவது. ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில், முதலியன

ஒருங்கிணைந்த வார்த்தை வந்தது ஜே. பெர்னோலி(1690) இது லத்தீன் மொழியிலிருந்து வருகிறது முழு எண், மீட்க, மீட்க என மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது.

ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் பற்றி உங்களுக்குத் தெரிந்த பிற சொற்கள் பின்னர் தோன்றின. இப்போது பயன்படுத்தப்பட்ட பெயர் ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுமுந்தையதை மாற்றியது "பழமையான செயல்பாடு"ஜோசப் லூயிஸ் அறிமுகப்படுத்தினார் லாக்ரேஞ்ச்(1797) லத்தீன் வார்த்தை ப்ரிமிடிவஸ்"ஆரம்ப" என மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது.

ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் சிக்கல்களின் தோற்றம் பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளைக் கண்டுபிடிப்பதோடு தொடர்புடையது. இது போன்ற பல சிக்கல்கள் கணிதவியலாளர்களால் தீர்க்கப்பட்டுள்ளன பண்டைய கிரீஸ்... ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான முதல் அறியப்பட்ட முறை யூடாக்ஸஸ் சோர்வு முறை ( பற்றிகிமு 370 கிமு), பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சித்தவர், அந்த பகுதி அல்லது தொகுதி ஏற்கனவே அறியப்பட்ட எண்ணற்ற பகுதிகளாகப் பிரித்தார். இந்த முறை ஆர்க்கிமிடிஸால் எடுக்கப்பட்டது மற்றும் உருவாக்கப்பட்டது, மேலும் பரபோலாஸ் பகுதிகள் மற்றும் ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்பட்டது.

இருப்பினும், ஆர்க்கிமிடிஸ் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கருத்துகளின் பொதுவான உள்ளடக்கத்தை அடையாளம் காணவில்லை, மேலும் இன்னும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸிற்கான வழிமுறையை உருவாக்கவில்லை.

ஆர்க்கிமிடிஸின் படைப்புகள், முதன்முதலில் 1544 இல் எழுதப்பட்டன, ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் வளர்ச்சிக்கான மிக முக்கியமான தொடக்க புள்ளிகளில் ஒன்று.

2 மாணவர்

ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் கருத்து நேரடியாக ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸுடன் தொடர்புடையது - ஒருங்கிணைப்புகளின் ஆய்வு, அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் கணக்கீட்டு முறைகள் ஆகியவற்றைக் கையாளும் கணிதத்தின் ஒரு கிளை.

ஒருங்கிணைப்பு கருத்துக்கு நெருக்கமாகவும் துல்லியமாகவும் வந்தது ஐசக் நியூட்டன்... அவரே முதன்முதலில் வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸை உருவாக்கினார் மற்றும் அதை "ஃப்ளக்ஷியன்ஸ் முறை ..." (1670-1671, publ. 1736) என்று அழைத்தார். மாறிகள் நியூட்டன் அழைத்தார் சரளமாக(தற்போதைய மதிப்புகள், இருந்து lat... ஃப்ளூ - ஓட்டம்). நியூட்டன் சரளமாக மாறும் விகிதம் ஃப்ளூக்ஸியா, மற்றும் ஃப்ளக்யூஷன்களைக் கணக்கிடுவதற்கு தேவையான சரளத்தில் உள்ள எல்லையற்ற மாற்றங்கள் " தருணங்கள்"(லீப்னிஸ் அவற்றை வேறுபாடுகள் என்று அழைத்தார்.) எனவே, நியூட்டன் ஃப்ளக்ஸியன்ஸ் (வழித்தோன்றல்) மற்றும் சரளமாக (ஆன்டிடெரிவேடிவ்ஸ் அல்லது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்) கருத்துக்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இது உடனடியாக பல்வேறு வகையான கணித மற்றும் உடல் ரீதியான பிரச்சினைகளை தீர்க்க முடிந்தது.

அதே நேரத்தில் நியூட்டனுடன், மற்றொரு சிறந்த விஞ்ஞானி இதே போன்ற யோசனைகளுக்கு வந்தார் - கோட்ஃபிரைட் வில்ஹெல்ம் லீப்னிஸ்.

தத்துவ மற்றும் கணித கேள்விகளைப் பிரதிபலிக்கும் லீப்னிஸ், கணிதமானது அறிவியலில் உண்மையைத் தேடுவதற்கும் கண்டுபிடிப்பதற்கும் மிகவும் நம்பகமான வழிமுறையாக மாறும் என்று உறுதியாக நம்பினார். ஒருங்கிணைந்த அடையாளம் (∫) 17 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் லீப்னிஸால் முதன்முதலில் பயன்படுத்தப்பட்டது. இந்த சின்னம் S என்ற எழுத்தில் இருந்து உருவானது - lat என்ற வார்த்தையின் சுருக்கம். தொகை(தொகை).

நியூட்டன் மற்றும் லீப்னிஸ் ஒரு சாதாரண உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்துக்கு இரண்டு விளக்கங்களை உருவாக்கினர்.

நியூட்டன் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பை தொடர்புடைய மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு என்று விளக்கினார் ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு:

,
எங்கே F` (x) = f (x).

லீப்னிஸைப் பொறுத்தவரை, உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு என்பது எல்லையற்ற வேறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

நியூட்டன் மற்றும் லீப்னிஸ் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக கண்டுபிடித்த சூத்திரம் அழைக்கப்பட்டது நியூட்டன் - லீப்னிஸ் ஃபார்முலா.

எனவே, ஒரு ஒருங்கிணைந்த கருத்து பிரபல விஞ்ஞானிகளின் பெயர்களுடன் தொடர்புடையது: நியூட்டன், லீப்னிஸ், பெர்னொலி, நவீன கணித பகுப்பாய்விற்கு அடித்தளமிட்டார்.

IV. புதிய பொருளின் விளக்கம்.

ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுகளின் பகுதிகளை மட்டுமல்லாமல், மிகவும் சிக்கலான வகையின் விமான புள்ளிவிவரங்களையும் நீங்கள் கணக்கிடலாம்.

உருவம் இருக்கட்டும் பிநேரடியாக மட்டுமே என். எஸ் = ஒரு, எக்ஸ் = bமற்றும் செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்) மற்றும் ஒய் = g(எக்ஸ்), மற்றும் பிரிவில் [ ஒரு;bசமத்துவமின்மை g(எக்ஸ்)எஃப்(எக்ஸ்).

ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட, நாம் பின்வருமாறு பகுத்தறிவோம். உருவத்தின் இணையான பரிமாற்றத்தைச் செய்யவும் பிஅன்று மீஅலகுகள் வரை அதனால் எண்ணிக்கை பிஇல் அமைந்துள்ளது ஒருங்கிணைந்த விமானம்அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு மேலே.

இப்போது அது மேலே மற்றும் கீழ் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்)+மீமற்றும்

ஒய் = g(எக்ஸ்)+மீ, மற்றும் இரண்டு செயல்பாடுகளும் இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானவை மற்றும் எதிர்மறையானவை அல்ல [ ஒரு;b].

இதன் விளைவாக வரும் எண்ணிக்கை குறிக்கப்படும் ஏ பி சி டி... புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளுக்கு இடையிலான வித்தியாசமாக அதன் பரப்பளவைக் காணலாம்:

S ABCD = S aDCb - S aABb = =
=

இவ்வாறு, உருவம் S இன் பகுதி நேர் கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என். எஸ் = ஒரு, எக்ஸ் = bமற்றும் செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்) மற்றும் ஒய் = g(எக்ஸ்பிரிவில் தொடர்ந்து [ ஒரு;b] மற்றும் அது அனைவருக்கும் என். எஸ்பிரிவில் இருந்து [ ஒரு;bசமத்துவமின்மை g(எக்ஸ்)எஃப்(எக்ஸ்), சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

உதாரணமாக.(ஸ்லைடு 11) கோடுகளால் வரையப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள் ஒய் = எக்ஸ், ஒய் = 5 – எக்ஸ், எக்ஸ் = 1, எக்ஸ் = 2.

ஆறு வரைபடங்களில் ஒன்றிற்கு பொருந்தும் வடிவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கு இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும். (ஸ்லைடு 14)

பணி 3.(ஸ்லைடு 15) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியை கணக்கிடுங்கள் ஒய் = 0,5x 2+ 2, ஒரு அப்ஸிஸ்ஸாவுடன் ஒரு புள்ளியில் இந்த வரைபடத்திற்கு தொடுதல் என். எஸ்= -2 மற்றும் நேராக என். எஸ் = 0.

1. செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் ஒய் = 0,5x 2அப்சிஸ்சாவுடன் புள்ளியில் + 2 என். எஸ் = -2:

ஒய் = எஃப்(x 0) + எஃப்"(x 0)(x - x 0)
எஃப்(-2) = 0,5∙(-2) 2 + 2 = 4
எஃப்"(எக்ஸ்) = (0,5x 2 + 2)"= எக்ஸ்
எஃப்"(-2) = -2
ஒய் = 4 – 2(எக்ஸ் + 2)
ஒய் = -2எக்ஸ்

2. செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்.

3. உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் ஏபிசி.

Vi சுருக்கமாக.

• தட்டையான உருவங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்;
• திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி தட்டையான உருவங்களின் பகுதிகளுக்கான சூத்திரங்களை எழுதுதல்;
• செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை மீண்டும் செய்தல் மற்றும் மாடுலஸுடன் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது;
• மாணவர்களை தரம் பிரித்தல்.

Vii. வீட்டு பாடம்.

1. ப. 4 பக். 228-230;
2. எண் 1025 (c, d), எண் 1037 (c, d), எண் 1038 (c, d)

பாடநூல்: A. G. Mordkovich "இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம் 10-11"

5. எல்லையற்ற அளவு (வரையறை). எல்லையற்ற அளவுகளின் பண்புகள் (அவற்றில் ஒன்றை நிரூபிக்கவும்)

6. எல்லையற்ற பெரிய அளவுகள் (வரையறை). எண்ணற்ற அளவுகளுடன் எண்ணற்ற பெரிய அளவுகளின் உறவு

7. இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு, எண் இ. இயற்கை மடக்கை கருத்து

8. ஒரு புள்ளியில் மற்றும் இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி. ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் செயல்பாடுகளின் பண்புகள். முறிவு புள்ளிகள்

தலைப்பு 3: வழித்தோன்றல்

9. வழித்தோன்றல் மற்றும் அதன் வடிவியல் பொருள். ஒரு குறிப்பிட்ட இடத்தில் ஒரு விமான வளைவுக்கு ஒரு தொடுகோட்டின் சமன்பாடு

10. ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளின் வேறுபாடு. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாடு மற்றும் தொடர்ச்சிக்கு இடையிலான உறவு (தேற்றத்தை நிரூபிக்கவும்)

11. ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான அடிப்படை விதிகள் (நிரூபிக்க விதிகளில் ஒன்று)

12. அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களுக்கான சூத்திரங்கள் (சூத்திரங்களில் ஒன்றைக் கழிக்கவும்). ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

தலைப்பு 4. வழிமுறை பயன்பாடுகள்

13. ரோல் மற்றும் லாக்ரேஞ்சின் தேற்றம் (ஆதாரம் இல்லாமல்). இந்த கோட்பாடுகளின் வடிவியல் விளக்கம்

L'Hôpital விதி

14. ஒரு செயல்பாட்டின் ஏகபோகத்தன்மைக்கு போதுமான அளவுகோல் (அவற்றில் ஒன்று நிரூபிக்கப்பட உள்ளது)

15. ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை தீர்மானித்தல். ஒரு தீவிரத்திற்கு தேவையான அளவுகோல் (நிரூபிக்க)

16. ஒரு எக்ஸ்ட்ரம் இருப்பதற்கான போதுமான அளவுகோல் (தேற்றங்களில் ஒன்றை நிரூபிக்கவும்)

17. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் அறிகுறியின் கருத்து. கிடைமட்ட, சாய் மற்றும் செங்குத்து அறிகுறிகள்

18. செயல்பாடுகளின் ஆய்வு மற்றும் அவற்றின் வரைபடங்களின் கட்டுமானத்தின் பொதுவான திட்டம்

தலைப்பு 5. வேறுபட்ட செயல்பாடு

19. செயல்பாடு வேறுபாடு மற்றும் அதன் வடிவியல் பொருள். முதல் வரிசை வேறுபாட்டின் படிவ மாறுபாடு

தலைப்பு 6. பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள்

36. பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள். பகுதி வழித்தோன்றல்கள் (வரையறை). பல மாறிகள் மற்றும் அதன் தேவையான நிலைமைகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரம்

37. அனுபவ சூத்திரங்களின் கருத்து மற்றும் குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறை. ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டின் அளவுருக்கள் தேர்வு (சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் வழித்தோன்றல்)

தலைப்பு 7. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு

20. ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் கருத்து. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் பண்புகள் (பண்புகளில் ஒன்று நிரூபிக்க வேண்டும்)

ஆதாரம்

21. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு மாறியை மாற்றும் முறை மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பை கணக்கிடுவதில் அதன் பயன்பாட்டின் அம்சங்கள்

22. காலவரையற்ற மற்றும் உறுதியான ஒருங்கிணைப்புகளின் நிகழ்வுகளுக்கு பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு முறை (சூத்திரத்தைப் பெறுங்கள்)

தலைப்பு 8. வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு

23. ஒருங்கிணைந்த தொகையின் வரம்பாக உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு. உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள்

உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள்

24. மாறக்கூடிய உச்ச வரம்பைப் பொறுத்தவரை ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் பற்றிய தேற்றம். நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்

25. ஒருங்கிணைந்த எல்லையற்ற வரம்புகளுடன் தவறான ஒருங்கிணைப்புகள். பாய்சனின் ஒருங்கிணைப்பு (ஆதாரம் இல்லை)

26. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி விமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் கணக்கீடு

தலைப்பு 9. வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

27. வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் கருத்து. பொதுவான மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வு. கோச்சி பிரச்சனை. மக்கள்தொகை செயல்முறையின் கணித மாதிரியை உருவாக்குவதில் சிக்கல்

28. முதல் வரிசையின் எளிமையான வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (பிரித்தெடுக்கப்பட்ட, பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் மூலம் தீர்க்கப்படும்) மற்றும் அவற்றின் தீர்வு

29. 1 வது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான மற்றும் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுகள்

தலைப்பு 10. எண் தொடர்

30. எண் தொடரின் தீர்மானம். எண் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு. ஒன்றிணைக்கும் தொடரின் பண்புகள்

31. தொடரின் ஒருங்கிணைப்புக்கு தேவையான அளவுகோல் (நிரூபிக்க). ஹார்மோனிக் தொடர் மற்றும் அதன் வேறுபாடு (நிரூபிக்கவும்)

32. ஒப்பிடுவதற்கான அறிகுறிகள் மற்றும் நேர்மறைத் தொடருக்கான அடையாளம்

33. டி'அலம்பெர்ட்டின் நேர்மறைத் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளம்

34. மாற்று வரிசைகள். மாற்றுத் தொடரின் ஒருங்கிணைப்புக்கான லீப்னிஸ் சோதனை

35. மாற்று வரிசைகள். தொடரின் முழுமையான மற்றும் நிபந்தனை ஒருங்கிணைப்பு

26. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி விமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் கணக்கீடு

வரையறை 1.வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுஎதிர்மறை அல்லாத செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் உருவாக்கப்பட்டது எஃப்ஒரு பிரிவில் ஒரு பகுதியால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவம் உள்ளது
அப்சிசா அச்சு, கோடு பிரிவுகள்
,
மற்றும் செயல்பாடு வரைபடம்
அன்று
.

1. நாங்கள் பிரிவை பிரிக்கிறோம்
பகுதி கோடு பிரிவுகளைக் குறிக்கிறது.

2. ஒவ்வொரு பிரிவிலும்
(எங்கே கே=1,2,...,என்) ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் .

3. அடிப்படைப் பிரிவுகளுடன் செவ்வகங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுங்கள்
அப்சிஸ்ஸா அச்சுகள் மற்றும் உயரங்கள் நீளங்களைக் கொண்டுள்ளன
... பின்னர் இந்த செவ்வகங்களால் உருவாக்கப்பட்ட படி உருவத்தின் பரப்பளவு
.

பகுதி பகுதிகளின் சிறிய நீளங்கள், கொடுக்கப்பட்ட வளைவு ட்ரெப்சாய்டுக்கு நெருக்கமாக இருக்கும் படி உருவம். எனவே, பின்வரும் வரையறை கொடுப்பது இயற்கையானது.

வரையறை 2.ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதி,எதிர்மறை அல்லாத செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் உருவாக்கப்பட்டது எஃப்பிரிவில்
, எல்லை என்றால் விலகினார் புள்ளிவிவரங்கள் பகுதிகளில் (அனைத்து பகுதி பிரிவுகளில் நீளம் 0 முனைகின்றன என) என்றழைக்கப்படும்:

1) இந்த வரம்பு உள்ளது மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது;

2) பிரிவை பிரிக்கும் முறையை சார்ந்து இல்லை
பகுதி பிரிவுகளாக;

3) புள்ளிகளின் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல
.

தேற்றம் 1.செயல்பாடு என்றால்
பிரிவில் தொடர்ச்சியான மற்றும் எதிர்மறை அல்ல
, பின்னர் வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுஎஃப்,வரைபடம் உருவாக்கிய செயல்பாடுஎஃப்அன்று
, ஒரு பகுதியைக் கொண்டுள்ளது, இது சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது
.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் தட்டையான புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் மிகவும் சிக்கலான வகைகளைக் கணக்கிடலாம்.

என்றால் எஃப்மற்றும் g- பிரிவில் தொடர்ச்சியான மற்றும் எதிர்மறை அல்ல
செயல்பாடுகள் மற்றும் அனைவருக்கும் எக்ஸ்பிரிவில் இருந்து
சமத்துவமின்மை உள்ளது
, பின்னர் உருவத்தின் பகுதி எஃப்நேர் கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்டது
,
மற்றும் செயல்பாட்டு வரைபடங்கள்
,
, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது
.

கருத்துசெயல்பாடுகளின் எதிர்மறை அல்லாத நிலையை நாம் கைவிட்டால் எஃப்மற்றும் gகடைசி சூத்திரம் உண்மையாகவே உள்ளது.

தலைப்பு 9. வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

27. வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் கருத்து. பொதுவான மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வு. கோச்சி பிரச்சனை. மக்கள்தொகை செயல்முறையின் கணித மாதிரியை உருவாக்குவதில் சிக்கல்

கோட்பாடு வகைக்கெழு சமன்பாடுகள் 17 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் இயக்கவியல் மற்றும் பிற இயற்கை அறிவியல் துறைகளின் தேவைகளின் செல்வாக்கின் கீழ் எழுந்தது, அடிப்படையில் ஒரே நேரத்தில் ஒருங்கிணைந்த மற்றும் வேறுபட்ட கால்குலஸ்.

வரையறை 1.என்-ஆணைவடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்
- தெரியாத செயல்பாடு.

வரையறை 2.செயல்பாடு
இடைவெளியில் உள்ள வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது நான்இந்த செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களை மாற்றினால், வேறுபட்ட சமன்பாடு ஒரு அடையாளமாக மாறும்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்அவரது அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

வரையறை 3.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வின் வரைபடம் அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைந்த வளைவுவகையீட்டு சமன்பாடு.

வரையறை 4.சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு 1-ஆணைபடிவத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
.

வரையறை 5.படிவத்தின் சமன்பாடு
அழைக்கப்பட்டார் வகையீட்டு சமன்பாடு 1-ஆணை,வழித்தோன்றல் தொடர்பாக அனுமதிக்கப்பட்டது.

ஒரு விதியாக, எந்த வித்தியாசமான சமன்பாடும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. அனைத்து முடிவுகளின் மொத்தத்தில் ஒன்றை தனிமைப்படுத்த, கூடுதல் நிபந்தனைகள் விதிக்கப்பட வேண்டும்.

வரையறை 6.படிவத்தின் நிலை
முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தீர்வு மீது திணிக்கப்பட்டது ஆரம்ப நிலை, அல்லது கோச்சி நிலை.

வடிவியல் ரீதியாக, இதன் பொருள் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைந்த வளைவு புள்ளி வழியாக செல்கிறது
.

வரையறை 7.பொது முடிவு மூலம் 1 வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு
ஒரு தட்டையான பகுதியில் டிசெயல்பாடுகளின் ஒரு அளவுரு குடும்பம் என்று அழைக்கப்படுகிறது
நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்தும்:

1) எந்த
செயல்பாடு
சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு;

2) ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும்
அத்தகைய அளவுரு மதிப்பு உள்ளது
தொடர்புடைய செயல்பாடு என்று
ஆரம்ப நிலைமையை திருப்திப்படுத்தும் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு
.

வரையறை 8.அளவுருவின் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்புக்கான பொதுவான தீர்விலிருந்து பெறப்பட்ட தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது தனிப்பட்ட முடிவால்வகையீட்டு சமன்பாடு.

வரையறை 9.ஒரு சிறப்பு தீர்வுவேறுபட்ட சமன்பாடு என்பது அளவுருவின் எந்த மதிப்பிற்கும் பொதுவான தீர்விலிருந்து பெற முடியாத எந்தவொரு தீர்வும் ஆகும்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மிகவும் கடினமான பணியாகும், பொதுவாக, சமன்பாட்டின் அதிக வரிசை, சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் வழிகளைக் குறிப்பிடுவது மிகவும் கடினம். முதல் வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு கூட, ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முறைகளைக் குறிப்பிடுவது குறைந்த எண்ணிக்கையிலான சிறப்பு நிகழ்வுகளில் மட்டுமே சாத்தியமாகும். மேலும், இந்த சந்தர்ப்பங்களில், விரும்பிய தீர்வு எப்போதும் ஒரு அடிப்படை செயல்பாடு அல்ல.

O. காச்சியால் முதலில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் முக்கிய பிரச்சனைகளில் ஒன்று, கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறிவதாகும்.

உதாரணமாக, வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு எப்போதும் ஒரு தீர்வு இருக்கிறதா?
ஆரம்ப நிலை திருப்தி
, அது மட்டும் இருக்குமா? பொதுவாக, பதில் இல்லை. உண்மையில், சமன்பாடு
, வலது புறம் முழு விமானத்திலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது, தீர்வுகள் உள்ளன ஒய்= 0 மற்றும் ஒய்=(எக்ஸ்+சி) 3 ,சிஆர் ... எனவே, ஓ அச்சின் எந்தப் புள்ளியின் மூலமும் என். எஸ்இரண்டு ஒருங்கிணைந்த வளைவுகள் வழியாக செல்கிறது.

எனவே, செயல்பாடு சில தேவைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். பின்வரும் கோட்பாடு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவத்திற்கான போதுமான நிபந்தனைகளுக்கான விருப்பங்களில் ஒன்றாகும்.
ஆரம்ப நிலை திருப்தி
.