காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு அதன் முக்கிய பண்புகள். ஒருங்கிணைப்புகளின் எளிய பண்புகள். சுய சோதனை கேள்விகள்

இந்த கட்டுரையில், முக்கிய பண்புகளை பட்டியலிடுவோம் உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு... இந்த பண்புகளில் பெரும்பாலானவை ரீமான் மற்றும் டார்பாக்ஸின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கருத்துகளின் அடிப்படையில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வரையறை பெரும்பாலும் முதல் ஐந்து பண்புகளைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது, எனவே தேவைப்படும் போது அவற்றைக் குறிப்பிடுவோம். ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் மீதமுள்ள பண்புகள் முக்கியமாக பல்வேறு வெளிப்பாடுகளை மதிப்பீடு செய்யப் பயன்படுகின்றன.

செல்வதற்கு முன் உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள், b ஐ தாண்டாது என்பதை ஒப்புக்கொள்வோம்.

X = a இல் வரையறுக்கப்பட்ட y = f (x) செயல்பாட்டிற்கு, சமத்துவம் உண்மை.

அதாவது, ஒருங்கிணைந்த இணைந்த வரம்புகளுடன் ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். இந்த சொத்து ரைமன் இன்டெக்ரலின் வரையறையின் விளைவாகும், ஏனெனில் இந்த வழக்கில் இடைவெளியின் எந்தப் பகிர்வுக்கும் ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைந்த தொகையும் மற்றும் புள்ளிகளின் எந்தத் தேர்வும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், எனவே, ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பு பூஜ்ஜியமாகும்.

ஒரு பிரிவில் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டிற்கு, .

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இடங்களில் ஒருங்கிணைப்பின் மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகளை மாற்றும்போது, ​​திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு எதிர்மாறாக மாறுகிறது. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் இந்த சொத்து ரீமான் ஒருங்கிணைந்த கருத்திலிருந்தும் பின்பற்றப்படுகிறது, ஒரு பிரிவின் பிரிவின் எண்ணை மட்டுமே x = b என்ற புள்ளியில் இருந்து தொடங்க வேண்டும்.

செயல்பாடுகளுக்கு y = f (x) மற்றும் y = g (x) இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது.

ஆதாரம்

செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த தொகையை நாங்கள் எழுதுகிறோம் ஒரு பிரிவின் கொடுக்கப்பட்ட பிரிவு மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் தேர்வுக்கு:

பிரிவின் கொடுக்கப்பட்ட பகிர்வுக்கு முறையே y = f (x) மற்றும் y = g (x) செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைந்த தொகை.

மணிக்கு வரம்பை கடந்து ரீமான் ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையின்படி, அது நிரூபிக்கப்பட்ட சொத்தின் உறுதிப்பாட்டிற்கு சமம்.

நிலையான காரணி ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திற்கு வெளியே எடுக்கப்படலாம். அதாவது, y = f (x) இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய ஒரு செயல்பாடு மற்றும் தன்னிச்சையான எண் k, சமத்துவம் .

ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் இந்த சொத்துக்கான ஆதாரம் முந்தையதைப் போன்றது:


செயல்பாடு y = f (x) இடைவெளி X இல் ஒருங்கிணைக்கப்படட்டும், மற்றும் பின்னர் .

இந்த சொத்து இருவருக்கும், அல்லது அல்லது இரண்டுக்கும் பொருந்தும்.

உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் முந்தைய பண்புகளைப் பயன்படுத்தி ஆதாரம் மேற்கொள்ளப்படலாம்.

ஒரு பிரிவில் ஒரு செயல்பாடு ஒருங்கிணைக்கப்பட்டால், அது எந்த உள் பிரிவிலும் ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது.

ஆதாரம் டார்பக்ஸ் தொகைகளின் சொத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது: பிரிவின் தற்போதைய பகிர்வுக்கு நீங்கள் புதிய புள்ளிகளைச் சேர்த்தால், குறைந்த தர்பாக்ஸ் தொகை குறையாது, மேல் தொகை அதிகரிக்காது.

Y = f (x) செயல்பாடு இடைவெளியில் மற்றும் வாதத்தின் எந்த மதிப்புக்கும் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டால், பிறகு .

இந்த சொத்து ரீமான் இன்டெக்ரலின் வரையறை மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது: ஒரு இடைவெளி மற்றும் புள்ளிகளின் எந்தப் பிரிவின் புள்ளிகளுக்கும் எந்த ஒரு ஒருங்கிணைந்த தொகையும் எதிர்மறையாக இருக்காது (நேர்மறை அல்ல).

விளைவு

Y = f (x) மற்றும் y = g (x) இடைவெளியில் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளுக்கு, பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் உள்ளன:


இந்த அறிக்கையின் அர்த்தம் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் ஒருங்கிணைப்பு ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது. பின்வரும் பண்புகளை நிரூபிக்க இந்த இணைப்பை நாங்கள் பயன்படுத்துவோம்.

Y = f (x) செயல்பாடு இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கப்படட்டும், பின்னர் சமத்துவமின்மை .

ஆதாரம்

அது வெளிப்படையானது ... முந்தைய சொத்தில், சமத்துவமின்மையை கால அடிப்படையில் ஒருங்கிணைக்க முடியும் என்பதை நாங்கள் கண்டறிந்தோம், எனவே, அது உண்மைதான் ... இந்த இரட்டை சமத்துவமின்மையை இவ்வாறு எழுதலாம் .

Y = f (x) மற்றும் y = g (x) செயல்பாடுகளை ஒரு இடைவெளியில் மற்றும் வாதத்தின் எந்த மதிப்புக்கும் ஒருங்கிணைக்கட்டும் , எங்கே மற்றும் .

ஆதாரம் ஒத்திருக்கிறது. M மற்றும் M மிகச் சிறியவை என்பதால் மிகப்பெரிய மதிப்புசெயல்பாடு y = f (x) இடைவெளியில், பிறகு ... இரட்டை சமத்துவமின்மையை y = g (x) அல்லாத செயல்பாட்டால் பெருக்குவது பின்வரும் இரட்டை சமத்துவமின்மைக்கு வழிவகுக்கிறது. அதை ஒரு பிரிவில் ஒருங்கிணைத்து, நிரூபிக்கப்படும் உறுதிப்பாட்டை நாங்கள் அடைகிறோம்.

ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு

உண்மை 1. ஒருங்கிணைப்பு என்பது வேறுபாட்டிற்கு ஒரு செயல் தலைகீழ் ஆகும், அதாவது, இந்த செயல்பாட்டின் அறியப்பட்ட வழித்தோன்றலில் இருந்து ஒரு செயல்பாட்டை மீட்டமைத்தல். இதனால் செயல்பாடு மீட்கப்பட்டது எஃப்(எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது ஆன்டிடெரிவேடிவ்செயல்பாட்டிற்கு எஃப்(எக்ஸ்).

வரையறை 1. செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ் எஃப்(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் எக்ஸ்அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் என்றால் எக்ஸ்இந்த இடைவெளியில் இருந்து, சமத்துவம் எஃப் "(எக்ஸ்)=எஃப்(எக்ஸ்), அதாவது, இந்த செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) என்பதிலிருந்து பெறப்பட்டது ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்). .

உதாரணமாக, செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) = பாவம் எக்ஸ் செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ் ஆகும் எஃப்(எக்ஸ்) = cos எக்ஸ் முழு எண் வரியிலும், x இன் எந்த மதிப்பிற்கும் (பாவம் எக்ஸ்) "(cos எக்ஸ்) .

வரையறை 2. ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு எஃப்(எக்ஸ்) அதன் அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பாகும்... இந்த வழக்கில், பதிவு பயன்படுத்தப்படுகிறது

∫

எஃப்(எக்ஸ்)dx

,

அடையாளம் எங்கே ∫ ஒருங்கிணைந்த அடையாளம், செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது எஃப்(எக்ஸ்) ஒருங்கிணைப்பு, மற்றும் எஃப்(எக்ஸ்)dx - ஒரு ஒருங்கிணைப்பு.

அப்படியென்றால் எஃப்(எக்ஸ்) இது ஒருவித ஆன்டிடெரிவேடிவ் ஆகும் எஃப்(எக்ஸ்) , பிறகு

∫

எஃப்(எக்ஸ்)dx = எஃப்(எக்ஸ்) +சி

எங்கே சி - ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி (மாறிலி).

ஒரு செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பாகப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் ஒப்புமை பொருத்தமானது. ஒரு கதவு இருக்கட்டும் (பாரம்பரிய மர கதவு). அதன் செயல்பாடு "கதவாக இரு". மற்றும் கதவு எதனால் ஆனது? மரத்தால் ஆனது. இதன் பொருள் "ஒரு கதவாக இருப்பது", அதாவது அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, "மரம் + சி" என்பதன் செயல்பாடு ஆகும். உதாரணமாக, ஒரு மர இனம். ஒரு கதவு சில கருவிகளைக் கொண்டு மரத்தால் ஆனது போல, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஒரு ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டிலிருந்து "தயாரிக்கப்பட்டது" வழித்தோன்றலைப் படிப்பதன் மூலம் நாம் கற்றுக்கொண்ட சூத்திரம் .

பின்னர் பொதுவான பொருட்களின் செயல்பாட்டு அட்டவணை மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஆன்டிடெரிவேடிவ்ஸ் ("ஒரு கதவாக இருக்க" - "ஒரு மரமாக", "ஒரு கரண்டியாக" - "உலோகமாக", முதலியன) அடிப்படை அட்டவணையைப் போன்றது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள், கீழே கொடுக்கப்படும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை பொதுவான செயல்பாடுகளை பட்டியலிடுகிறது, இந்த செயல்பாடுகள் "செய்யப்பட்ட" ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அறிகுறியுடன். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல்களின் ஒரு பகுதியாக, இத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகள் வழங்கப்படுகின்றன, சிறப்பு பரிசீலனைகள் இல்லாமல், நேரடியாக ஒருங்கிணைக்கப்படலாம், அதாவது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணைப்படி. மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களில், ஒருங்கிணைப்பு முதலில் மாற்றப்பட வேண்டும், இதனால் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் பயன்படுத்தப்படலாம்.

உண்மை 2. ஒரு செயல்பாட்டை ஆன்டிடெரிவேடிவ் என மீட்டமைக்கும் போது, ​​நாம் ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி (மாறிலி) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும் சிமற்றும் 1 முதல் முடிவிலி வரையிலான பல்வேறு மாறிலிகளைக் கொண்ட ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் பட்டியலை எழுதாமல் இருக்க, நீங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியைக் கொண்ட ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பை எழுத வேண்டும். சிஉதாரணமாக இது போன்றது: 5 எக்ஸ்³ + С. எனவே, ஆன்டிடெரிவேட்டிவின் வெளிப்பாட்டில் ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி (மாறிலி) சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் ஆன்டிடெரிவேடிவ் ஒரு செயல்பாடாக இருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 5 எக்ஸ்³ + 4 அல்லது 5 எக்ஸ்³ + 3 மற்றும் வேறுபாடு 4 அல்லது 3, அல்லது வேறு எந்த மாறிலி மறைந்துவிடும்.

ஒருங்கிணைப்பு பிரச்சனையை முன்வைப்போம்: இந்த செயல்பாட்டிற்கு எஃப்(எக்ஸ்) அத்தகைய செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்), யாருடைய வழித்தோன்றல்சமமாக உள்ளது எஃப்(எக்ஸ்).

உதாரணம் 1.ஒரு செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்

தீர்வு இந்த செயல்பாட்டிற்கு, ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு ஆகும்

செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது எஃப்(எக்ஸ்) வழித்தோன்றல் என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) க்கு சமம் எஃப்(எக்ஸ்), அல்லது, ஒரே விஷயம், வேறுபாடு எஃப்(எக்ஸ்) க்கு சமம் எஃப்(எக்ஸ்) dx, அதாவது

(2)

எனவே, ஒரு செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாட்டிற்கான ஒரு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும். இருப்பினும், இது ஒரே தடுப்பு மருந்து அல்ல. அவை செயல்பாடுகளாகவும் செயல்படுகின்றன

எங்கே உடன்ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி. வேறுபாடு மூலம் இதை சரிபார்க்க முடியும்.

இவ்வாறு, ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு ஆன்டிடெரிவேடிவ் இருந்தால், அதற்காக எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன, அவை ஒரு நிலையான காலத்தால் வேறுபடுகின்றன. ஒரு செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களும் மேலே உள்ள படிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன. இது பின்வரும் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

தேற்றம் (உண்மையின் முறையான அறிக்கை 2).என்றால் எஃப்(எக்ஸ்செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேடிவ் ஆகும் எஃப்(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் என். எஸ், பின்னர் வேறு எந்த ஆன்டிடெரிவேடிவ் எஃப்(எக்ஸ்) அதே இடைவெளியில் குறிப்பிடலாம் எஃப்(எக்ஸ்) + சி, எங்கே உடன்ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி.

அடுத்த எடுத்துக்காட்டில், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளுக்குப் பிறகு பிரிவு 3 இல் வழங்கப்படும் ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையை நாங்கள் ஏற்கனவே குறிப்பிடுகிறோம். முழு அட்டவணையைப் படிப்பதற்கு முன்பு இதைச் செய்கிறோம், இதனால் மேலே உள்ளவற்றின் சாராம்சம் தெளிவாக உள்ளது. அட்டவணை மற்றும் பண்புகளுக்குப் பிறகு, அவற்றை முழுமையாக ஒருங்கிணைப்பில் பயன்படுத்துவோம்.

உதாரணம் 2.ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்புகளைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு இந்த செயல்பாடுகள் "உருவாக்கப்பட்ட" ஆண்டிடிரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பை நாங்கள் காண்கிறோம். ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரங்களைக் குறிப்பிடும்போது, ​​இப்போதைக்கு, அத்தகைய சூத்திரங்கள் உள்ளன என்பதை ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள், மேலும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் முழு அட்டவணையையும் இன்னும் கொஞ்சம் படிப்போம்.

1) ஒருங்கிணைப்பு அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தை (7) பயன்படுத்துதல் என்= 3, நாங்கள் பெறுகிறோம்

2) க்கான ஒருங்கிணைந்த அட்டவணையில் (10) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல் என்= 1/3, எங்களிடம் உள்ளது

3) என்பதால்

பின்னர் சூத்திரம் (7) மூலம் என்= -1/4 கண்டுபிடிக்க

ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடு அல்ல எஃப், மற்றும் வேறுபாடு மூலம் அதன் தயாரிப்பு dx... ஆன்டிடெரிவேடிவிற்காக எந்த மாறி தேடப்படுகிறது என்பதைக் குறிக்க இது முதன்மையாக செய்யப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு,

, ;

இங்கே இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் ஒருங்கிணைப்பு சமமாக இருக்கும், ஆனால் கருதப்படும் நிகழ்வுகளில் அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் வேறுபட்டதாக மாறும். முதல் வழக்கில், இந்த செயல்பாடு மாறி செயல்பாடாக கருதப்படுகிறது எக்ஸ், மற்றும் இரண்டாவது - ஒரு செயல்பாடாக z .

ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிக்கும் செயல்முறை இந்த செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்

ஒரு வளைவைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் y = F (x)அதன் ஒவ்வொரு புள்ளிகளிலும் தொடுகோட்டின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுதல் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம் f (x)இந்த புள்ளியின் அப்சிஸ்ஸா.

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருளின் படி, வளைவின் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் தொடுகோட்டின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுதல் y = F (x)வழித்தோன்றலின் மதிப்புக்கு சமம் எஃப் "(x)... எனவே, அத்தகைய செயல்பாட்டை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் எஃப் (x), எதற்காக F "(x) = f (x)... பணியில் தேவையான செயல்பாடு எஃப் (x)இன் ஆன்டிடெரிவேடிவ் ஆகும் f (x)... பிரச்சனையின் நிலை திருப்தி அடைவது ஒரு வளைவால் அல்ல, ஆனால் வளைவுகளின் குடும்பத்தால். y = F (x)இந்த வளைவுகளில் ஒன்றாகும், மேலும் வேறு எந்த வளைவையும் அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பு மூலம் பெறலாம் ஐயோ.

இன் ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை அழைக்கலாம் f (x)ஒருங்கிணைந்த வளைவு. என்றால் F "(x) = f (x), பின்னர் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = F (x)ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு உள்ளது.

உண்மை 3. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு அனைத்து ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் குடும்பத்தால் வடிவியல் ரீதியாக குறிப்பிடப்படுகிறது கீழே உள்ள படத்தில் உள்ளது போல. தோற்றத்திலிருந்து ஒவ்வொரு வளைவின் தூரமும் ஒருங்கிணைப்பின் தன்னிச்சையான மாறிலி (மாறிலி) தீர்மானிக்கப்படுகிறது சி.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த பண்புகள்

உண்மை 4. தேற்றம் 1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம், அதன் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்.

உண்மை 5. தேற்றம் 2. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு எஃப்(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கு சமம் எஃப்(எக்ஸ்ஒரு நிலையான கால வரை , அதாவது

(3)

1 மற்றும் 2 தேற்றங்கள் வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு என்பது பரஸ்பர செயல்பாடுகள் என்பதைக் காட்டுகின்றன.

உண்மை 6. தேற்றம் 3. ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள நிலையான காரணி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம் , அதாவது

செயல்படட்டும் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்) பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது [ ஒரு, b ], ஒரு < b... பின்வரும் செயல்பாடுகளைச் செய்வோம்:

1) நாங்கள் பிரிகிறோம் [ ஒரு, b] புள்ளிகள் ஒரு = எக்ஸ் 0 < எக்ஸ் 1 < ... < எக்ஸ் நான்- 1 < எக்ஸ் நான் < ... < எக்ஸ் என் = b அன்று என்பகுதி வரி பிரிவுகள் [ எக்ஸ் 0 , எக்ஸ் 1 ], [எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 ], ..., [எக்ஸ் நான்- 1 , எக்ஸ் நான் ], ..., [எக்ஸ் என்- 1 , எக்ஸ் என் ];

2) ஒவ்வொரு பகுதி பிரிவுகளிலும் [ எக்ஸ் நான்- 1 , எக்ஸ் நான் ], நான் = 1, 2, ... என், ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பை கணக்கிடுங்கள்: எஃப்(z i ) ;

3) படைப்புகளைக் கண்டறியவும் எஃப்(z i ) · Δ எக்ஸ் நான் , பகுதி பிரிவின் நீளம் எங்கே [ எக்ஸ் நான்- 1 , எக்ஸ் நான் ], நான் = 1, 2, ... என்;

4) இசையமை ஒருங்கிணைந்த தொகைசெயல்பாடுகள் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்பிரிவில் [ ஒரு, b ]:

உடன் வடிவியல் புள்ளிபார்க்க, இந்த தொகை rect என்பது செவ்வகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும், இதன் அடிப்படை பகுதிகள் [ எக்ஸ் 0 , எக்ஸ் 1 ], [எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 ], ..., [எக்ஸ் நான்- 1 , எக்ஸ் நான் ], ..., [எக்ஸ் என்- 1 , எக்ஸ் என் ], மற்றும் உயரங்கள் உள்ளன எஃப்(z 1 ) , எஃப்(z 2 ), ..., எஃப்(z என்முறையே (படம் 1). மூலம் குறிப்பிடுவோம் λ மிகப்பெரிய பகுதி பிரிவின் நீளம்:

5) ஒருங்கிணைந்த தொகையின் வரம்பைக் கண்டறியவும் λ → 0.

வரையறை.ஒருங்கிணைந்த தொகைக்கு (1) வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பு இருந்தால், அது பிரிவைப் பிரிப்பதற்கான முறையைப் பொறுத்தது அல்ல [ ஒரு, b] பகுதி பிரிவுகளுக்கு அல்லது புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதிலிருந்து z iஅவற்றில், இந்த வரம்பு அழைக்கப்படுகிறது உறுதியான ஒருங்கிணைப்புசெயல்பாட்டிலிருந்து ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்பிரிவில் [ ஒரு, b] மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது

இதனால்,

இந்த வழக்கில், செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைக்கக்கூடியஅன்று [ ஒரு, b]. எண்கள் ஒருமற்றும் bமுறையே, ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகள், எஃப்(எக்ஸ்) ஒருங்கிணைப்பு, எஃப்(எக்ஸ் ) dx- ஒருங்கிணைப்பு, எக்ஸ்- ஒருங்கிணைப்பின் மாறுபாடு; பிரிவு [ ஒரு, b] ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 1.செயல்பாடு என்றால் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்பிரிவில் தொடர்ந்து உள்ளது [ ஒரு, b], பின்னர் அது இந்த பிரிவில் ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது.

ஒருங்கிணைப்பின் அதே வரம்புகளுடன் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

என்றால் ஒரு > b, பின்னர், வரையறைப்படி, நாங்கள் வைக்கிறோம்

2. ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்

பிரிவில் விடுங்கள் [ ஒரு, bதொடர்ச்சியான எதிர்மறையான செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது ஒய் = எஃப்(எக்ஸ் ) . வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுசெயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் மேலே இருந்து வரையப்பட்ட உருவம் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்), கீழே இருந்து - ஆக்ஸ் அச்சு மூலம், இடது மற்றும் வலது - நேர் கோடுகளால் x = aமற்றும் x = ஆ(படம் 2).

எதிர்மறை அல்லாத செயல்பாட்டின் உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்ஒரு வடிவியல் கண்ணோட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் மேலே இருந்து வரையப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதிக்கு சமம் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்), இடது மற்றும் வலது - வரி பிரிவுகளால் x = aமற்றும் x = ஆகீழே, ஆக்ஸ் அச்சின் ஒரு பகுதியால்.

3. ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்

1. உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு ஒருங்கிணைப்பின் மாறுபாட்டின் பெயரைப் பொறுத்தது அல்ல:

2. ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திற்கு வெளியே ஒரு நிலையான காரணி எடுக்கப்படலாம்:

3. இரண்டு செயல்பாடுகளின் இயற்கணிதத் தொகையின் ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு இந்த செயல்பாடுகளின் உறுதியான ஒருங்கிணைப்புகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்:

4. செயல்பாடு என்றால் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்) ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது [ ஒரு, b] மற்றும் ஒரு < b < c, பிறகு

5. (சராசரி மதிப்பு தேற்றம்)... செயல்பாடு என்றால் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்பிரிவில் தொடர்ந்து உள்ளது [ ஒரு, b], பின்னர் இந்த பிரிவில் ஒரு புள்ளி உள்ளது

4. நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்

தேற்றம் 2.செயல்பாடு என்றால் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்பிரிவில் தொடர்ந்து உள்ளது [ ஒரு, b] மற்றும் எஃப்(எக்ஸ்) இந்த பிரிவில் அதன் எதிலாக்கிகள் உள்ளனவா, பின்வரும் சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்:

இது அழைக்கப்படுகிறது நியூட்டன் - லீப்னிஸ் சூத்திரத்தால்.வேறுபாடு எஃப்(b) - எஃப்(ஒரு) பின்வருமாறு எழுதுவது வழக்கம்:

அந்த பாத்திரம் இரட்டை வைல்ட் கார்ட் கேரக்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எனவே, சூத்திரத்தை (2) இவ்வாறு எழுதலாம்:

உதாரணம் 1.ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு ஒருங்கிணைப்புக்கு எஃப்(எக்ஸ் ) = எக்ஸ் 2 தன்னிச்சையான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் வடிவம் உள்ளது

நியூட்டன்-லீப்னிஸ் ஃபார்முலாவில் எந்த ஆன்டிடெரிவேடிவையும் பயன்படுத்த முடியும் என்பதால், ஒருங்கிணைந்ததை கணக்கிடுவதற்கு எளிய வடிவத்தைக் கொண்ட ஆன்டிடெரிவேடிவ் எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

5. ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பில் மாறியின் மாற்றம்

தேற்றம் 3.செயல்படட்டும் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்பிரிவில் தொடர்ந்து உள்ளது [ ஒரு, b]. என்றால்:

1) செயல்பாடு எக்ஸ் = φ ( டி) மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் φ "( டி) தொடர்ந்து உள்ளன;

2) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு எக்ஸ் = φ ( டி) என்பதற்கான பிரிவு [ ஒரு, b ];

3) φ ( ஒரு) = ஒரு, φ ( b) = b, பின்னர் சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்

இது அழைக்கப்படுகிறது திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பில் மாறி மாற்ற சூத்திரம் மூலம் .

இந்த விஷயத்தில், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைப் போலல்லாமல் அவசியமில்லைஒருங்கிணைப்பின் அசல் மாறுபாட்டிற்குத் திரும்புதல் - ஒருங்கிணைப்புக்கான புதிய வரம்புகளைக் கண்டறிவது போதுமானது this மற்றும் β டிசமன்பாடு φ ( டி) = ஒருமற்றும் φ ( டி) = b).

பதிலாக பதிலாக எக்ஸ் = φ ( டி) நீங்கள் மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தலாம் டி = g(எக்ஸ்) இந்த வழக்கில், மாறியைப் பொறுத்து ஒருங்கிணைப்பின் புதிய வரம்புகளைக் கண்டறிதல் டிஎளிமைப்படுத்தப்பட்டது: α = g(ஒரு) , β = g(b) .

உதாரணம் 2... ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு சூத்திரத்தின் மூலம் ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம். சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் சதுரமாக்கி, நமக்கு 1 + கிடைக்கும் x = டி 2 , எங்கே x = டி 2 - 1, dx = (டி 2 - 1)"டிடி= 2tdt... ஒருங்கிணைப்பின் புதிய வரம்புகளை நாங்கள் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, பழைய வரம்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம் x = 3 மற்றும் x = 8. எங்கிருந்து கிடைக்கும் :, எங்கிருந்து டி= 2 மற்றும் α = 2; , எங்கே டி= 3 மற்றும் β = 3. எனவே,

உதாரணம் 3.கணக்கிடு

தீர்வு இருக்கட்டும் u= ln எக்ஸ், பிறகு , v = எக்ஸ்... சூத்திரத்தின்படி (4)

முக்கிய ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரங்கள் வழித்தோன்றல்களுக்கான சூத்திரங்களை தலைகீழாகப் பெறுவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன, எனவே, பரிசீலனையில் உள்ள தலைப்பைப் படிக்கத் தொடங்குவதற்கு முன், ஒருவர் முக்கிய செயல்பாடுகளில் 1 வேறுபாடு சூத்திரங்களை மீண்டும் செய்ய வேண்டும் (அதாவது டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை நினைவுபடுத்தவும்).

ஆன்டிடெரிவேடிவ், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வரையறை மற்றும் வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் செயல்பாடுகளை ஒப்பிட்டுப் பழகுவது, மாணவர்கள் ஒருங்கிணைப்பின் செயல்பாடு பன்முகத்தன்மை கொண்டது என்பதில் கவனம் செலுத்த வேண்டும். பரிசீலனையில் உள்ள பிரிவில் எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ் தொகுப்பை வழங்குகிறது. இருப்பினும், உண்மையில், ஒரே ஒரு ஆன்டிடெரிவேட்டிவைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் தீர்க்கப்படுகிறது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களும் ஒரு நிலையான மதிப்பால் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன

எங்கே சி- தன்னிச்சையான மதிப்பு 2.

சுய பரிசோதனைக்கான கேள்விகள்.

ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வரையறையைக் கொடுங்கள்.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு என்று என்ன அழைக்கப்படுகிறது?

ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடு என்ன?

ஒருங்கிணைப்பு என்றால் என்ன?

ஆன்டிடெரிவேடிவ்ஸ் குடும்பத்தின் வடிவியல் அர்த்தத்தைக் குறிக்கவும்.

6. குடும்பத்தில், புள்ளி வழியாக வளைவைக் கண்டறியவும்

2. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள்.

எளிய இன்டெக்ரால்களின் அட்டவணை

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பின்வரும் பண்புகளை மாணவர்கள் இங்கு கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்.

சொத்து 1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் 3 செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம் (வரையறைப்படி)

சொத்து 2. ஒருங்கிணைப்பின் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்

அந்த. ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திற்கு முன்னால் வேறுபாட்டின் அடையாளம் இருந்தால், அவர்கள் ஒருவருக்கொருவர் ரத்து செய்கிறார்கள்.

சொத்து 3. ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளம் வேறுபாட்டின் அடையாளத்திற்கு முன்னால் இருந்தால், அவை ஒருவருக்கொருவர் ரத்து செய்யப்படுகின்றன, மேலும் செயல்பாட்டில் தன்னிச்சையான நிலையான மதிப்பு சேர்க்கப்படும்

சொத்து 4. ஒரே செயல்பாட்டின் இரண்டு ஆன்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஒரு நிலையான மதிப்பு.

சொத்து 5. நிலையான காரணி ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து எடுக்கப்படலாம்

எங்கே ஏஒரு நிலையான எண்.

மூலம், சொத்து 2 கணக்கில் எடுத்து சமத்துவத்தின் (2.4) இரு பக்கங்களையும் வேறுபடுத்துவதன் மூலம் இந்த சொத்து எளிதில் நிரூபிக்கப்படலாம்.

சொத்து 6. ஒரு செயல்பாட்டின் கூட்டு (வேறுபாடு) இன் ஒருங்கிணைப்பு இந்த செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டு (வேறுபாடு) க்கு சமம் (அவை தனித்தனியாக இருந்தால்)

இந்த சொத்து வேறுபாடு மூலம் எளிதில் நிரூபிக்கப்படுகிறது.

சொத்தின் இயற்கை பொதுமைப்படுத்தல் 6

. (2.6)

எளிமையான வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் இருந்து நேரடியாக வேறுபாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான ஒரு செயலாக ஒருங்கிணைப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, எளிய ஒருங்கிணைப்புகளின் பின்வரும் அட்டவணையைப் பெறலாம்.

எளிமையான காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை

1., எங்கே, (2.7)

2., எங்கே, (2.8)

4., எங்கே ,, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

எளிமையான காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் சூத்திரங்கள் (2.7) - (2.16) இதயத்தால் கற்றுக்கொள்ளப்பட வேண்டும். அவற்றை அறிவது அவசியம், ஆனால் எப்படி ஒருங்கிணைப்பது என்பதை அறிய போதுமானதாக இல்லை. ஒருங்கிணைப்பில் நிலையான திறன்கள் போதுமான அளவு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் மட்டுமே அடையப்படுகின்றன (பொதுவாக பல்வேறு வகைகளின் சுமார் 150-200 உதாரணங்கள்).

மேற்கூறிய அட்டவணையில் இருந்து ஒருங்கிணைந்தவற்றை (2.7) - (2.16) என மாற்றுவதன் மூலம் எளிமைப்படுத்தும் எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன.

உதாரணமாக 1.

.

இந்த கட்டுரை ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகளை விவரிக்கிறது. அவை ரீமான் மற்றும் டார்பக்ஸ் ஒருங்கிணைப்பின் கருத்தைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன. உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு 5 பண்புகளுக்கு நன்றி. மீதமுள்ளவை பல்வேறு வெளிப்பாடுகளை மதிப்பீடு செய்யப் பயன்படுகின்றன.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகளுக்குச் செல்வதற்கு முன், b ஐ விட அதிகமாக இல்லை என்பதை உறுதி செய்ய வேண்டும்.

ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்

வரையறை 1

X = a இல் வரையறுக்கப்பட்ட y = f (x) செயல்பாடு, செல்லுபடியாகும் சமத்துவத்தை ஒத்திருக்கிறது ∫ a a (x) d x = 0.

ஆதாரம் 1

எனவே ஒருங்கிணைந்த வரம்புகள் கொண்ட ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். இது ரீமான் ஒருங்கிணைப்பின் விளைவாகும், ஏனென்றால் இடைவெளியில் எந்தப் பகிர்வுக்கும் ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைந்த தொகை σ [a; a] மற்றும் புள்ளிகளின் தேர்வு zero i பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், ஏனென்றால் x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2 ,. ... ... , n, அதாவது ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் வரம்பு பூஜ்ஜியமாகும்.

வரையறை 2

பிரிவில் ஒருங்கிணைந்த ஒரு செயல்பாட்டிற்கு [a; b], நிபந்தனை ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x திருப்தி அளிக்கிறது.

ஆதாரம் 2

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒருங்கிணைப்பின் மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகள் இடங்களில் மாற்றப்பட்டால், ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு எதிர் மதிப்பை மாற்றும். இந்த சொத்து ரீமான் ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து எடுக்கப்பட்டது. இருப்பினும், பிரிவின் பிரிவின் எண் x = b என்ற புள்ளியிலிருந்து வருகிறது.

வரையறை 3

B a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட y = f (x) மற்றும் y = g (x) வகை ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது [a; b]

ஆதாரம் 3

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளுடன் y i: σ = ∑ i = 1 nf ζ i ± g ζ i xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (ζ i) xi - xi - 1 ± ∑ i = 1 ng ζ i xi - xi - 1 = σ f ± σ g

σ f மற்றும் σ g என்பது பிரிவின் பகிர்வுக்கான y = f (x) மற்றும் y = g (x) செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைந்த தொகை ஆகும். To = m a x i = 1, 2, என்ற எல்லைக்கு சென்ற பிறகு. ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 நாம் அந்த லிம் obtain → 0 σ = லிம் λ → 0 σ f ± σ g = லிம் λ → 0 σ g ± m → 0 σ g.

ரீமானின் வரையறையிலிருந்து, இந்த வெளிப்பாடு சமமானது.

வரையறை 4

ஒரு உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திற்கு அப்பால் ஒரு நிலையான காரணியைச் செயல்படுத்துதல். இடைவெளியில் இருந்து ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு [a; b] k இன் தன்னிச்சையான மதிப்பு form a b k · f (x) d x = k · b a b f (x) d x வடிவத்தின் சரியான சமத்துவமின்மையைக் கொண்டுள்ளது.

ஆதாரம் 4

உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் சொத்துக்கான ஆதாரம் முந்தையதைப் போன்றது:

σ = ∑ i = 1 nk f ζ i (xi - xi - 1) = = k ∑ i = 1 nf ζ i (xi - xi - 1) = k σ f ⇒ லிம் λ → 0 σ = லிம் λ → 0 ( k σ f) = k லிம் λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk f (x) dx = k ∫ abf (x) dx

வரையறை 5

Y = f (x) படிவத்தின் செயல்பாடு ஒரு இடைவெளியில் x, x, b ∈ x உடன் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டால், that abf (x) dx = ∫ acf (x) dx + ∫ cbf (x) d எக்ஸ்.

ஆதாரம் 5

C ca க்கு சொத்து உண்மையாகக் கருதப்படுகிறது; b, c ≤ a மற்றும் c ≥ b க்கு. ஆதாரம் முந்தைய பண்புகளைப் போன்றது.

வரையறை 6

செயல்பாட்டில் பிரிவில் இருந்து ஒருங்கிணைக்கும் திறன் இருக்கும் போது [a; b], பின்னர் அது எந்த உள் பிரிவு c க்கும் செய்யக்கூடியது; d ∈ a; b

ஆதாரம் 6

ஆதாரம் தர்பாக்ஸ் சொத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது: ஒரு பிரிவின் தற்போதைய பகிர்வுக்கு நாம் புள்ளிகளைச் சேர்த்தால், குறைந்த தர்பாக்ஸ் தொகை குறையாது, மேல் ஒன்று அதிகரிக்காது.

வரையறை 7

செயல்பாடு ஒருங்கிணைக்கப்படும் போது [a; b] x ∈ a இன் எந்த மதிப்பிற்கும் f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0; b, பிறகு நாம் அதைப் பெறுவோம் ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0.

Riemann இன்டெக்ரலின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி சொத்து நிரூபிக்கப்படலாம்: பிரிவின் எந்தப் பிரிவின் புள்ளிகள் மற்றும் புள்ளிகள் choice i க்கான எந்த ஒருங்கிணைந்த தொகையும் f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 என்ற நிபந்தனையுடன், நாங்கள் அல்லாததைப் பெறுகிறோம் எதிர்மறை.

ஆதாரம் 7

Y = f (x) மற்றும் y = g (x) செயல்பாடுகள் இடைவெளியில் ஒருங்கிணைந்தால் [a; b], பின்னர் பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் உண்மையாகக் கருதப்படுகின்றன:

∫ a b f (x) d x ≤ b a b g (x) d x, if மற்றும் f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, if மற்றும் f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; b

அறிக்கைக்கு நன்றி, ஒருங்கிணைப்பு ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது என்பதை நாங்கள் அறிவோம். இந்த இணையானது மற்ற பண்புகளை நிரூபிக்க பயன்படும்.

வரையறை 8

பிரிவில் இருந்து ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு y = f (x) உடன் [a; b] படிவத்தின் சரியான சமத்துவமின்மை ∫ a b f (x) d x ≤ b a b f (x) d x.

ஆதாரம் 8

எங்களிடம் உள்ளது - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). முந்தைய சொத்தில் இருந்து, சமத்துவமின்மையை சொற்களால் ஒருங்கிணைக்க முடியும் என்பதையும், அது வடிவத்தின் சமத்துவமின்மையை ஒத்துள்ளது - ∫ a b f (x) d x ∫ a b f (x) d x ∫ a b f (x) d x. இந்த இரட்டை சமத்துவமின்மையை மற்றொரு வடிவத்தில் எழுதலாம்: ∫ a b f (x) d x ≤ b a b f (x) d x.

வரையறை 9

Y = f (x) மற்றும் y = g (x) செயல்பாடுகள் பிரிவில் இருந்து ஒருங்கிணைக்கப்படும் போது [a; b] g க்கு (x) any 0 எந்த x ∈ a க்கும்; b, m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x, அங்கு m = m i n x ∈ a; b f (x) மற்றும் M = m a x x ∈ a; b f (x).

ஆதாரம் 9

ஆதாரம் இதே வழியில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. M மற்றும் m செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்பு y = f (x) பிரிவில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது [a; b], பிறகு m ≤ f (x) ≤ M. Y = g (x) என்ற செயல்பாட்டின் மூலம் இரட்டை சமத்துவமின்மையை பெருக்க வேண்டியது அவசியம், இது m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) வடிவத்தின் இரட்டை சமத்துவமின்மையின் மதிப்பை வழங்கும். பிரிவில் அதை ஒருங்கிணைப்பது அவசியம் [a; b], பின்னர் நிரூபிக்கப்பட வேண்டும் என்று வலியுறுத்துகிறோம்.

முடிவு: G (x) = 1 க்கு, ஏற்றத்தாழ்வு வடிவம் m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a).

முதல் சராசரி மதிப்பு சூத்திரம்

வரையறை 10

Y = f (x) க்கு, பிரிவில் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது [a; b] m = m i n x ∈ a உடன்; b f (x) மற்றும் M = m a x x ∈ a; b f (x) எண் μ ∈ m உள்ளது; M, இது பொருந்தும் ∫ a b f (x) d x = μ b - a.

முடிவு: செயல்பாடு y = f (x) பிரிவில் இருந்து தொடர்ச்சியாக இருக்கும்போது [a; b], பின்னர் c ∈ a என்ற எண் உள்ளது; b, இது சமத்துவத்தை பூர்த்தி செய்கிறது ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

பொது வடிவத்தில் முதல் சராசரி மதிப்பு சூத்திரம்

வரையறை 11

செயல்பாடுகள் y = f (x) மற்றும் y = g (x) பிரிவில் இருந்து ஒருங்கிணைக்கப்படும் போது [a; b] m = m i n x ∈ a உடன்; b f (x) மற்றும் M = m a x x ∈ a; x ∈ a இன் எந்த மதிப்புக்கும் b f (x), மற்றும் g (x)> 0; b எனவே எங்களிடம் ஒரு எண் have ∈ m உள்ளது; எம், இது சமத்துவத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது

இரண்டாவது சராசரி மதிப்பு சூத்திரம்

வரையறை 12

செயல்பாடு y = f (x) பிரிவில் இருந்து ஒருங்கிணைக்கப்படும்போது [a; b], மற்றும் y = g (x) என்பது ஏகபோகம், பின்னர் c ∈ a என்ற எண் உள்ளது; b, படிவத்தின் செல்லுபடியாகும் சமத்துவத்தை நாம் பெறுகிறோம்

உரையில் பிழை இருப்பதை நீங்கள் கண்டால், அதைத் தேர்ந்தெடுத்து Ctrl + Enter ஐ அழுத்தவும்