பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறை. பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

பிரிக்கப்பட்ட மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: (1). இந்த சமன்பாட்டில், ஒரு சொல் x ஐ மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, மற்றொன்று y ஐப் பொறுத்தது. இந்த சமன்பாட்டு வார்த்தையை கால அடிப்படையில் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:
அதன் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு.

உதாரணமாகசமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்:
.

தீர்வு: இந்த சமன்பாடு பிரிக்கப்பட்ட மாறி வேறுபட்ட சமன்பாடு ஆகும். அதனால் தான்
அல்லது
நாங்கள் குறிக்கிறோம்
... பிறகு
- வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு.

பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது (2). சமன்பாடு (2) காலத்தால் பிரிப்பதன் மூலம் சமன்பாடு (1) க்கு எளிதாக குறைக்கலாம்
... நாங்கள் பெறுகிறோம்:

- பொது ஒருங்கிணைப்பு.

உதாரணமாக:சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் .

தீர்வு: சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை மாற்றவும்: சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் நாம் பிரிக்கிறோம்


வெளிப்பாடுதான் தீர்வு:
அந்த.

ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள். பெர்னொல்லியின் சமன்பாடுகள். முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

படிவத்தின் சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஒரேவிதமான, என்றால்
மற்றும்
- ஒரே வரிசையின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகள் (அளவீடுகள்). செயல்பாடு
அதன் ஒவ்வொரு வாதங்களையும் தன்னிச்சையான காரணியால் பெருக்கினால் முதல் வரிசையின் (அளவீடு) ஒரேவிதமான செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. முழு செயல்பாடும் பெருக்கப்படுகிறது , அதாவது
=
.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை வடிவத்திற்கு குறைக்கலாம்
... மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துதல்
(
புதிய செயல்பாட்டைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது .

முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது நேரியல்என எழுத முடிந்தால்
.

பெர்னோலி முறை

சமன்பாடு தீர்வு
மற்ற இரண்டு செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பாக தேடப்படுகிறது, அதாவது. மாற்று பயன்படுத்தி
(
).

உதாரணமாக:சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கவும்
.

நாங்கள் நம்புகிறோம்
... பின்னர், அதாவது. ... முதலில், நாம் சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்
=0:


.

இப்போது நாம் சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்
அந்த.


... எனவே, இந்த சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு
அந்த.

ஜே. பெர்னொல்லியின் சமன்பாடு

படிவத்தின் சமன்பாடு, எங்கே
அழைக்கப்பட்டார் பெர்னோலி சமன்பாடு. இந்த சமன்பாடு Bernoulli முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது.

நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

ஒரே மாதிரியான இரண்டாம் வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு என்பது படிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும் (1) , எங்கே மற்றும் நிலையான

படிவத்தில் சமன்பாட்டின் (1) குறிப்பிட்ட தீர்வுகளை நாங்கள் தேடுகிறோம்
, எங்கே க்கு- சில எண். இந்த செயல்பாட்டை இரண்டு முறை வேறுபடுத்துதல் மற்றும் வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவது
சமன்பாட்டில் (1), நாம் பெறுகிறோம், அதாவது, அல்லது
(2) (
).

சமன்பாடு 2 வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பண்பு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பண்பு சமன்பாட்டை (2) தீர்க்கும்போது, ​​மூன்று வழக்குகள் சாத்தியமாகும்.

வழக்கு 1.வேர்கள் மற்றும் சமன்பாடுகள் (2) உண்மையானவை மற்றும் வேறுபட்டவை:

மற்றும்

.

வழக்கு 2.வேர்கள் மற்றும் சமன்பாடுகள் (2) உண்மையானவை மற்றும் சமம்:
... இந்த வழக்கில், Eq இன் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் (1) செயல்பாடுகளாகும்
மற்றும்
... இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (1) படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது
.

வழக்கு 3.வேர்கள் மற்றும் சமன்பாடுகள் (2) சிக்கலானவை:
,
... இந்த வழக்கில், Eq இன் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் (1) செயல்பாடுகளாகும்
மற்றும்
... இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (1) படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது

உதாரணமாக.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
.

தீர்வு:பண்பு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:
... பிறகு
... இந்த சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு
.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரம். நிபந்தனை எக்ஸ்ட்ரம்.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரம்

வரையறை.புள்ளி எம் (x ஓ , மணிக்கு ஓ ) என்று அழைக்கப்படுகிறதுஅதிகபட்ச புள்ளி (குறைந்தபட்சம்) செயல்பாடுz= எஃப்(எக்ஸ்எம்
(
)

அத்தி. 1 புள்ளி ஏ
- ஒரு குறைந்தபட்ச புள்ளி மற்றும் ஒரு புள்ளி உள்ளது வி
- அதிகபட்ச புள்ளி.

அவசியம்எக்ஸ்ட்ரம் நிலை பெர்மாட்டின் தேற்றத்தின் பல பரிமாண ஒப்புமை ஆகும்.

தேற்றம்.விஷயத்தை விடுங்கள்
- வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளியாகும்z= எஃப்(எக்ஸ், y). பின்னர் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்
மற்றும்
vஇந்த புள்ளி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

செயல்பாட்டின் உச்சத்திற்கு தேவையான நிபந்தனைகள் திருப்தி அளிக்கும் புள்ளிகள் z= எஃப்(எக்ஸ், y),அந்த. பகுதி வழித்தோன்றல்கள் z" எக்ஸ் மற்றும் z" ஒய் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அழைக்கப்படுகின்றன முக்கியமானஅல்லது நிலையான.

பூஜ்ஜியத்திற்கான பகுதி வழித்தோன்றல்களின் சமத்துவம் பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சத்திற்கு தேவையான ஆனால் போதுமான நிலையை மட்டுமே வெளிப்படுத்துகிறது.

அத்தி. என்று அழைக்கப்படுவதை சித்தரிக்கிறது சேணம் புள்ளி M (x ஓ , மணிக்கு ஓ ). பகுதி வழித்தோன்றல்கள்
மற்றும்
பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், ஆனால், வெளிப்படையாக, புள்ளியில் எக்ஸ்ட்ரம் இல்லை எம் (x ஓ , மணிக்கு ஓ ) இல்லை.

இத்தகைய சேணம் புள்ளிகள் ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளின் ஊடுருவல் புள்ளிகளின் இரு பரிமாண ஒப்புமைகளாகும். சவாலானது அவர்களை தீவிர புள்ளிகளிலிருந்து பிரிப்பது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் போதுமானதீவிர நிலை.

தேற்றம் (இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சத்திற்கு போதுமான நிபந்தனை).செயல்படட்டும்z= எஃப்(எக்ஸ், y): a) முக்கியமான புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் வரையறுக்கப்பட்டது (x ஓ , மணிக்கு ஓ ), இதில்
= 0 மற்றும்
=0 ;

b) இந்த இடத்தில் தொடர்ச்சியான இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது
;

;
பிறகு, ∆ = AC- B என்றால் 2 >0, பின்னர் புள்ளியில் (x ஓ , மணிக்கு ஓ ) செயல்பாடுz= எஃப்(எக்ஸ், y) ஒரு எக்ஸ்ட்ரம் உள்ளது, மற்றும் என்றால்ஏ<0 - அதிகபட்சம் என்றால் A> 0 - குறைந்தபட்ச ∆ = AC- B வழக்கில் 2 <0, функция z= எஃப்(எக்ஸ், y) தீவிரம் இல்லை. ∆ = ஏசி- பி என்றால் 2 = 0, பின்னர் ஒரு எக்ஸ்ட்ரம் இருப்பது பற்றிய கேள்வி திறந்தே இருக்கும்.

ஒரு தீவிரத்திற்கான இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் விசாரணைபின்வருவனவற்றைச் செய்ய பரிந்துரைக்கப்படுகிறது திட்டம்:

ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும் z" எக்ஸ் மற்றும் z" ஒய் .

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் z" எக்ஸ் =0, z" ஒய் =0 மற்றும் செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.

இரண்டாவது வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிந்து, ஒவ்வொரு முக்கியமான புள்ளியிலும் அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிட்டு, போதுமான நிபந்தனையைப் பயன்படுத்தி, எக்ஸ்ட்ராமா இருப்பது பற்றி ஒரு முடிவை எடுக்கவும்.

செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை (தீவிர மதிப்புகள்) கண்டுபிடிக்கவும்.

உதாரணமாக.ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும்

தீர்வு 1. பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்

2. சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகள் காணப்படுகின்றன:

நான்கு தீர்வுகள் (1; 1), (1; -1), (-1; 1) மற்றும் (-1; -1).

3. இரண்டாவது வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

;
;
, ஒவ்வொரு முக்கிய புள்ளியிலும் அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிட்டு, அதில் போதுமான எக்ஸ்ட்ரம் நிலை நிறைவைச் சரிபார்க்கிறோம்.

உதாரணமாக, புள்ளியில் (1; 1) ஏ= z"(1; 1) = -1; B = 0; சி = -1. ஏனெனில் ∆ =ஏசி-பி 2 = (-1) 2 -0 = 1> 0 மற்றும் A = -1<0, பின்னர் புள்ளி (1; 1) அதிகபட்ச புள்ளியாகும்.

அதுபோல, (-1; -1) என்பது குறைந்தபட்சப் புள்ளியாகவும், (1; -1) மற்றும் (-1; 1) புள்ளிகளாகவும் அமைந்துள்ளோம். ∆ =ஏசி-பி 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. செயல்பாடு அதிகபட்சம் z max = z (l; 1) = 2, z min = z (-l; -1) = -2,

நிபந்தனை எக்ஸ்ட்ரம். லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை.

பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளுக்கு குறிப்பிட்ட ஒரு சிக்கலைக் கருதுங்கள், அதன் உச்சநிலை வரையறையின் முழு களத்திலும் தேடப்படாமல், ஒரு குறிப்பிட்ட நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு தொகுப்பில்.

செயல்பாடு z = ஆகட்டும் எஃப்(எக்ஸ், ஒய்), வாதங்கள் என். எஸ்மற்றும் மணிக்குஇது நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது g(x, y)= உடன்,அழைக்கப்பட்டார் கட்டுப்பாடு சமன்பாடு.

வரையறை.புள்ளி
ஒரு புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறதுநிபந்தனை அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்), இந்த புள்ளியின் சுற்றுப்புறம் இருந்தால், இந்த சுற்றுப்புறத்திலிருந்து அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் (x, y) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும்g (எக்ஸ், ஒய்) = С, சமத்துவமின்மை

(
).

அத்தி. நிபந்தனை அதிகபட்சத்தின் புள்ளி காட்டப்பட்டுள்ளது
. வெளிப்படையாக, இது z = செயல்பாட்டின் நிபந்தனையற்ற தீவிரத்தின் ஒரு புள்ளி அல்ல எஃப்(எக்ஸ், ஒய்) (படத்தில், இதுதான் புள்ளி
).

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறிவதற்கான எளிய வழி, ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதில் சிக்கலைக் குறைப்பதாகும். கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டை வைத்துக்கொள்வோம் g (எக்ஸ், ஒய்) = உடன்மாறிகள் ஒன்றோடு தொடர்புடையதை தீர்க்க முடிந்தது, எடுத்துக்காட்டாக, எக்ஸ்பிரஸ் மணிக்குமுழுவதும் என். எஸ்:
. இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடாக மாற்றினால், நமக்கு z = கிடைக்கும் எஃப்(எக்ஸ், ஒய்) =
, அந்த. ஒரு மாறியின் செயல்பாடு. அதன் எக்ஸ்ட்ரம் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சமாக இருக்கும் z = எஃப்(எக்ஸ், ஒய்).

உதாரணமாக. என். எஸ் 2 + ஒய் 2 நிபந்தனையின் பேரில் 3x + 2y = 11.

தீர்வு 3x + 2y = 11 என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து y என்ற மாறி x ன் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவோம், அதன் விளைவாக மாற்றுவோம்
செயல்பாடு z இல். நாங்கள் பெறுகிறோம் z= எக்ஸ் 2 +2
அல்லது z =
. இந்த செயல்பாடு ஒரு தனித்துவமான குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது = 3. தொடர்புடைய செயல்பாட்டு மதிப்பு
இவ்வாறு, (3; 1) ஒரு நிபந்தனை எக்ஸ்ட்ரம் (குறைந்தபட்ச) புள்ளி.

கருதப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், கட்டுப்பாடு சமன்பாடு g(எக்ஸ், y) = சிநேரியல் மாறியது, எனவே மாறிகள் ஒன்றைப் பொறுத்து இது எளிதில் தீர்க்கப்பட்டது. இருப்பினும், மிகவும் சிக்கலான சந்தர்ப்பங்களில், இதைச் செய்ய முடியாது.

ஒரு நிபந்தனை எக்ஸ்ட்ரம் கண்டுபிடிக்க, பொது வழக்கில், ஒருவர் பயன்படுத்துகிறார் லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை.

மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

இந்த அம்சம் அழைக்கப்படுகிறது லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு,ஒரு - லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி.பின்வரும் தேற்றம் உண்மை.

தேற்றம்.புள்ளி என்றால்
செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சத்தின் புள்ளிz = எஃப்(எக்ஸ், ஒய்) நிபந்தனைg (எக்ஸ், ஒய்) = С, பின்னர் ஒரு மதிப்பு உள்ளது அத்தகைய புள்ளி
செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளியாகும்எல்{ எக்ஸ், ஒய், ).

இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் நிபந்தனை எக்ஸ்ட்ரம் கண்டுபிடிக்க z = எஃப்(x, y)நிபந்தனையின் பேரில் g(எக்ஸ், ஒய்) = சிநீங்கள் கணினிக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்

அத்தி. லாக்ரேஞ்ச் நிலைமைகளின் வடிவியல் பொருள் காட்டப்பட்டுள்ளது. வரி g(x, y)= சி கோடு, நிலை வரி g(எக்ஸ், ஒய்) = கே செயல்பாடு z = எஃப்(எக்ஸ், ஒய்) திட

படம் அதை பின்பற்றுகிறது நிபந்தனை உச்சத்தின் புள்ளியில், செயல்பாட்டின் நிலை வரி z = எஃப்(எக்ஸ், ஒய்) கோட்டைத் தொடுகிறதுg(எக்ஸ், ஒய்) = சி.

உதாரணமாக. Z = செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைக் கண்டறியவும் என். எஸ் 2 + ஒய் 2 நிபந்தனையின் பேரில் 3x + 2y = 11 Lagrange பெருக்கி முறையைப் பயன்படுத்துதல்.

தீர்வு நாங்கள் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறோம் எல்= x 2 + 2y 2 +

அதன் பகுதி வழித்தோன்றல்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

அதன் ஒரே தீர்வு (x = 3, y = 1, =-2). எனவே, புள்ளி (3; 1) மட்டுமே ஒரு நிபந்தனை உச்ச புள்ளியாக இருக்க முடியும். இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டை சரிபார்க்க எளிதானது z= எஃப்(எக்ஸ், ஒய்) குறைந்தபட்ச நிபந்தனை உள்ளது.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் ஒரு முறை கருதப்படுகிறது. பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் விரிவான தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

வரையறை

நாம் (எக்ஸ்), கே (எக்ஸ்)- மாறி x இன் செயல்பாடுகள்;
ப (y), ஆர் (y)- மாறி y இன் செயல்பாடுகள்.

பிரிக்கக்கூடிய வேறுபட்ட சமன்பாடு என்பது படிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் முறை

சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(நான்).
வேறுபாடுகளின் அடிப்படையில் வழித்தோன்றல் y ஐ வெளிப்படுத்துவோம்.
;
.
Dx ஆல் பெருக்கவும்.
(ii)
சமன்பாட்டை s ஆல் வகுக்கவும் (x) ஆர் (ஒய்)... கள் என்றால் இதைச் செய்யலாம் (x) r (y). 0... களுக்கு (x) r (y). 0எங்களிடம் உள்ளது
.
ஒருங்கிணைத்தல், நாற்புறங்களால் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுகிறோம்
(iii).

நாம் s ஆல் வகுக்கப்பட்டதால் (x) ஆர் (ஒய்), பிறகு நாம் s க்கான சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைப் பெற்றோம் (x) ≠ 0மற்றும் ஆர் (y) ≠ 0... அடுத்து, நீங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும்
ஆர் (y) = 0.
இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருந்தால், அவை சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளாகும் (i). சமன்பாடு ஆர் (y) = 0... n வேர்கள் a i, r (a i) = 0, நான் = 1, 2, ..., என்... பின்னர் மாறிலிகள் y = a i சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் (i). இந்த தீர்வுகளில் சில ஏற்கனவே பொது ஒருங்கிணைப்பில் (iii) இருக்கலாம்.

அசல் சமன்பாடு படிவத்தில் (ii) கொடுக்கப்பட்டால், சமன்பாட்டையும் தீர்க்க வேண்டும்
கள் (x) = 0.
அதன் வேர்கள் b j, s (b j) = 0, ஜே = 1, 2, ..., மீ... தீர்வுகளைக் கொடுங்கள் x = b j.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

வேறுபாடுகளின் அடிப்படையில் வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்துவோம்:


Dx ஆல் பெருக்கவும், வகுக்கவும். Y ≠ 0 க்கு எங்களிடம் உள்ளது:

நாங்கள் ஒருங்கிணைக்கிறோம்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுகிறோம்.



மாற்றாக, நாம் சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுகிறோம்
.

இப்போது வழக்கைக் கருதுங்கள், y = 0 .
வெளிப்படையாக, y = 0 அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு. இது பொது ஒருங்கிணைப்பில் சேர்க்கப்படவில்லை.
எனவே இறுதி முடிவுக்கு அதை சேர்ப்போம்.

; y = 0 .

குறிப்புகள்:
என்.எம். குந்தர், ஆர்.ஓ. குஸ்மின், உயர் கணிதத்தில் சிக்கல்களின் தொகுப்பு, "லான்", 2003.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகளாகக் குறைக்கப்படக்கூடிய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறை கருதப்படுகிறது. வேறுபடுத்தக்கூடிய சமன்பாட்டின் விரிவான தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு, இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

பிரச்சினையின் உருவாக்கம்

வேறுபட்ட சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்
(நான்) ,
f என்பது ஒரு செயல்பாடு, a, b, c மாறிலிகள், b ≠ 0 .
இந்த சமன்பாடு பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

தீர்வு முறை

நாங்கள் மாற்றீடு செய்கிறோம்:
u = கோடாரி + மூலம் + சி
இங்கு y என்பது x என்ற மாறியின் செயல்பாடாகும். எனவே, u என்பது x என்ற மாறியின் செயல்பாடாகும்.
X ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துங்கள்
u ′ = (கோடாரி + மூலம் + சி) ′ = a + ஆல் ′
மாற்று (நான்)
u ′ = a + by ′ = a + b f (ax + by + c) = a + b f (u)
அல்லது:
(ii)
மாறிகள் பிரித்தல். Dx ஆல் பெருக்கி a + b f ஆல் வகுக்கவும் (u)... A + b f என்றால் (u) ≠ 0, பிறகு

ஒருங்கிணைத்தல், அசல் சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பை நாங்கள் பெறுகிறோம் (நான்)நாற்புறங்களில்:
(iii) .

முடிவில், வழக்கைக் கருதுங்கள்
(iv) a + b f (u) = 0.
இந்த சமன்பாட்டில் n வேர்கள் u = r i, a + b f என்று வைத்துக்கொள்வோம் (r i) = 0, நான் = 1, 2, ... என்... U = r i செயல்பாடு நிலையானது என்பதால், x உடன் அதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். எனவே, u = r i என்பது சமன்பாட்டிற்கான ஒரு தீர்வாகும் (ii).
எனினும், சமன்பாடு (ii)அசல் சமன்பாட்டுடன் பொருந்தவில்லை (நான்)மேலும், அனைத்து தீர்வுகளும் u = r i மாறிகள் x மற்றும் y அடிப்படையில் சமன்படுத்தப்படவில்லை (நான்).

எனவே, அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பொது ஒருங்கிணைப்பாகும் (iii)மற்றும் சமன்பாட்டின் சில வேர்கள் (iv).

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டைக் குறைக்கும் ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
(1)

நாங்கள் மாற்றீடு செய்கிறோம்:
u = x - y
X ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்தி மாற்றங்களைச் செய்யுங்கள்:
;

Dx ஆல் பெருக்கவும், u ஆல் வகுக்கவும் 2 .

நீங்கள் ≠ 0 என்றால், பிறகு நமக்கு கிடைக்கும்:

நாங்கள் ஒருங்கிணைக்கிறோம்:

ஒருங்கிணைந்த அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பை கணக்கிடுகிறோம்

பிறகு
;
, அல்லது

பொதுவான முடிவு:
.

இப்போது வழக்கைக் கவனியுங்கள் u = 0 , அல்லது u = x - y = 0 , அல்லது
y = x
Y Since = என்பதால் (x) ′ = 1, பின்னர் y = x என்பது அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும் (1) .

;
.

குறிப்புகள்:
என்.எம். குந்தர், ஆர்.ஓ. குஸ்மின், உயர் கணிதத்தில் சிக்கல்களின் தொகுப்பு, "லான்", 2003.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகளுடன் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1) வேறுபட்ட சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கவும்: (1 + x²) dy-2xydx = 0.

இந்த சமன்பாடு படிவத்தில் எழுதப்பட்ட பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடு ஆகும்

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் dy உடன், dx உடன் காலத்தை விட்டு விடுகிறோம் - அதை வலது பக்கத்திற்கு மாற்றுவோம்:

(1 + x²) dy = 2xydx

நாம் மாறிகள் பிரிக்கிறோம், அதாவது, இடது பக்கத்தில் நாம் dy மற்றும் வலது பக்கத்தில் y உள்ள அனைத்தையும் மட்டும் விட்டுவிடுகிறோம் dx மற்றும் x. இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் (1 + x²) மற்றும் y ஆல் வகுக்கிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைக்கிறோம்:

இடதுபுறத்தில் ஒரு அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது. வலது புறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பைக் காணலாம், எடுத்துக்காட்டாக, t = 1 + x² ஐ மாற்றுவதன் மூலம்

dt = (1 + x²) ’dx = 2xdx.

ஆற்றலைச் செயல்படுத்தக்கூடிய உதாரணங்களில், அதாவது மடக்கை நீக்க, C அல்ல lnC ஐ எடுத்துக்கொள்வது வசதியானது. இதைத்தான் நாங்கள் செய்வோம்: ln│y│ = ln│t│ + ln│C│. மடக்கைகளின் தொகை உற்பத்தியின் மடக்கைக்கு சமமாக இருப்பதால், பின்னர் ln│y│ = ln│Сt│, எங்கிருந்து y = Ct. நாங்கள் தலைகீழ் மாற்றத்தை செய்கிறோம், பொது தீர்வைப் பெறுகிறோம்: y = C (1 + x²).

அவை 1 + x² மற்றும் y ஆல் வகுக்கப்படுகின்றன, அவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை. ஆனால் 1 + x² என்பது எந்த x க்கும் பூஜ்யம் அல்ல. Y = 0 இல் y = 0, இதனால், வேர்கள் இழப்பு ஏற்படவில்லை.

பதில்: y = C (1 + x²).

2) சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

மாறிகள் பிரிக்கப்படலாம்.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் dx ஆல் பெருக்கி வகுக்கிறோம்

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இப்போது நாம் ஒருங்கிணைக்கிறோம்

இடதுபுறத்தில் ஒரு அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது. வலதுபுறத்தில் -நாங்கள் 4 -x² = t ஐ மாற்றுகிறோம், பின்னர் dt = (4 -x²) ’dx = -2xdx. நாங்கள் பெறுகிறோம்

C க்கு பதிலாக 1/2 ln│C│ ஐ எடுத்துக் கொண்டால், பதிலை இன்னும் சுருக்கமாக எழுதலாம்:

இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் பெருக்கி, மடக்கை சொத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்:

நாங்கள் பிரித்தோம்

அவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானவை அல்ல: y² + 1 - எதிர்மறை அல்லாத எண்களின் தொகை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, மற்றும் தீவிர வெளிப்பாடு நிபந்தனையின் அர்த்தத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை. இதன் பொருள் வேர்கள் இழக்கப்படவில்லை.

3) a) சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும் (xy² + y²) dx + (x²-x²y) dy = 0.

b) ஆரம்ப நிலைக்கு திருப்தி அளிக்கும் இந்த சமன்பாட்டின் பகுதி ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும் y (e) = 1.

a) சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை மாற்றுகிறோம்: y² (x + 1) dx + x² (1-y) dy = 0, பின்னர்

y² (x + 1) dx = -x² (1 -y) dy. X அல்லது y பூஜ்ஜியமல்ல என்று வழங்கப்பட்டால் x sidesy² ஆல் இரு பக்கங்களையும் பிரிக்கவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

நாங்கள் சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கிறோம்:

மடக்கைகளுக்கிடையிலான வேறுபாடு விகிதத்தின் மடக்கைக்கு சமமாக இருப்பதால், எங்களிடம் உள்ளது:

இது சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு. தீர்க்கும் செயல்பாட்டில், தயாரிப்பு x²y² பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்ற நிபந்தனையை நாங்கள் அமைக்கிறோம், இது x மற்றும் y பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த நிலையில் x = 0 மற்றும் y = 0 ஐ மாற்றுதல்: (0.0² + 0²) dx + (0²-0²0) dy = 0 சரியான சமத்துவத்தை 0 = 0 பெறுகிறோம். எனவே, x = 0 மற்றும் y = 0 ஆகியவை இந்த சமன்பாட்டின் தீர்வுகள். ஆனால் அவை எந்த C க்கும் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பில் சேர்க்கப்படவில்லை (பூஜ்ஜியங்கள் மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் மற்றும் பின்னத்தின் வகுப்பில் இருக்க முடியாது), எனவே இந்த தீர்வுகள் பொது ஒருங்கிணைப்புக்கு கூடுதலாக எழுதப்பட வேண்டும்.

b) y (e) = 1 என்பதால், x = e, y = 1 ஐ இதன் விளைவாக வரும் தீர்வில் மாற்றியமைத்து C:

சுய சோதனைக்கான உதாரணங்கள்: