Fermatova posledná veta ešte nebola dokázaná. Fermatova posledná veta: dôkaz Wilesa a Perelmana, vzorce, pravidlá výpočtu a úplný dôkaz vety Veta bez dôkazu

Že Andrew Wiles v roku 2016 dostane Ábelovu cenu za dôkaz domnienky Taniyama-Shimura o semistabilných eliptických krivkách a za dôkaz Fermatovej vety vyplývajúcej z tejto hypotézy. Prémia je v súčasnosti 6 miliónov NOK ​​alebo približne 50 miliónov RUB. Podľa Wilesa bola cena pre neho „úplným prekvapením“.

Fermatova veta, osvedčená pred viac ako 20 rokmi, stále púta pozornosť matematikov. Čiastočne je to kvôli jeho formulácii, ktorá je zrozumiteľná aj pre školáka: dokázať, že pre prirodzené n> 2 neexistujú trojice nenulových celých čísel také, že a n + b n = c n. Pierre Fermat napísal tento výraz na okraj Diophantovej aritmetiky s nádherným titulkom „Našiel som skutočne nádherný dôkaz tohto [tohto vyhlásenia], ale okraje knihy sú pre neho príliš úzke“. Na rozdiel od väčšiny matematických príbehov je tento skutočný.

Odovzdanie ceny je skvelou príležitosťou pripomenúť si desať zábavných príbehov súvisiacich s Fermatovou vetou.

1.

Predtým, ako Andrew Wiles dokázal Fermatovu vetu, bolo správnejšie nazvať to hypotézou, teda Fermatovou domnienkou. Ide o to, že veta je podľa definície už osvedčeným tvrdením. Z nejakého dôvodu sa však takéto meno na toto vyhlásenie prilepilo.

2.

Ak do Fermatovej vety dáme n = 2, potom má taká rovnica nekonečne veľa riešení. Tieto riešenia sa nazývajú „Pytagorove trojčatá“. Toto meno dostali, pretože zodpovedajú pravouhlým trojuholníkom, ktorých strany sú vyjadrené práve takými množinami čísel. Pythagorove triplety môžete generovať pomocou týchto troch vzorcov (m 2 - n 2, 2 milióny, m 2 + n 2). Do týchto vzorcov je potrebné nahradiť rôzne hodnoty m a n a výsledkom budú trojnásobky, ktoré potrebujeme. Hlavnou vecou je tu však zaistiť, aby získané čísla boli väčšie ako nula - dĺžky nie je možné vyjadriť zápornými číslami.

Mimochodom, je ľahké vidieť, že ak sú všetky čísla v Pytagorovej trojke vynásobené nejakým nenulovým číslom, získate novú Pytagorovu trojku. Preto je rozumné študovať trojky, v ktorých tri čísla v súhrne nemajú spoločného deliteľa. Schéma, ktorú sme popísali, nám umožňuje získať všetky takéto triplety - to už nie je jednoduchý výsledok.

3.

1. marca na stretnutí Parížskej akadémie vied v roku 1847 dvaja matematici - Gabriel Lame a Augustin Cauchy - oznámili, že sú na pokraji dokázania pozoruhodnej vety. Vydali sa na preteky zverejnením dôkazov. Väčšina akademikov fandila Lameovi, pretože Cauchy bol samoľúby, netolerantný náboženský fanatik (a samozrejme, absolútne geniálny matematik v kombinácii). Zápas však nebol predurčený na koniec - prostredníctvom svojho priateľa Josepha Liouvilla povedal nemecký matematik Ernst Kummer akademikom, že v dôkazoch Cauchyho a Lameho bola rovnaká chyba.

V škole je dokázané, že faktorizácia čísla na hlavné faktory je jedinečná. Obaja matematici verili, že ak sa pozriete na rozklad celých čísel už v komplexnom prípade, potom táto vlastnosť - jedinečnosť - zostane zachovaná. Nie je to však tak.

Je pozoruhodné, že ak vezmeme do úvahy iba m + i n, potom je rozklad jedinečný. Takéto čísla sa nazývajú gaussovské. Ale pre prácu Lame a Cauchy bola potrebná faktorizácia v cyklotomických poliach. Sú to napríklad čísla, v ktorých m a n sú racionálne a i spĺňa vlastnosť i ^ k = 1.

4.

Fermatova veta pre n = 3 má jasný geometrický význam. Predstavme si, že máme veľa malých kociek. Predpokladajme, že sme z nich zozbierali dve veľké kocky. V tomto prípade budú strany samozrejme celé čísla. Je možné nájsť dve také veľké kocky, že ich rozobratím na malé kocky a z nich by sme mohli zostaviť jednu veľkú kocku? Fermatova veta hovorí, že to nikdy nemôžete urobiť. Je zábavné, že ak sa na tri kocky opýtate rovnakú otázku, odpoveď je áno. Existujú napríklad štyri čísla, ktoré objavil úžasný matematik Srinivas Ramanujan:

3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3

5.

V histórii Fermatovej vety poznamenal Leonard Euler. V skutočnosti sa mu nepodarilo dokázať tvrdenie (alebo sa dokonca priblížiť k dôkazu), ale sformuloval hypotézu, že rovnica

x 4 + y 4 + z 4 = u 4

nemá celočíselné riešenie. Všetky pokusy o okamžité riešenie takejto rovnice boli neúspešné. Až v roku 1988 našiel Harvardov Naum Elkies protipriklad. Vyzerá to takto:

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .

Tento vzorec sa zvyčajne pamätá v kontexte numerického experimentu. V matematike to spravidla vyzerá takto: existuje nejaký vzorec. Matematik tento vzorec kontroluje v jednoduchých prípadoch, overuje pravdu a formuluje nejakú hypotézu. Potom (aj keď častejšie niektorí z jeho postgraduálnych študentov alebo študentov) napíše program, aby dostatočne skontroloval, či je vzorec správny veľké počty ktoré sa nedajú spočítať rukami (hovoríme o jednom takom experimente s prvočíslami). To samozrejme nie je dôkaz, ale je to vynikajúci dôvod na vyslovenie hypotézy. Všetky tieto konštrukcie sú založené na rozumnom predpoklade, že ak existuje protiklad k nejakému rozumnému vzorcu, potom ho dostatočne rýchlo nájdeme.

Eulerova hypotéza pripomína, že život je oveľa pestrejší ako naše predstavy: prvý protipriklad môže byť ľubovoľne veľký.

6.

V skutočnosti sa Andrew Wiles samozrejme nepokúšal dokázať Fermatovu vetu - riešil ťažší problém nazývaný domnienka Taniyama -Shimura. V matematike existujú dve pozoruhodné triedy predmetov. Prvá sa nazýva modulárne formy a je v podstate funkciou v Lobachevskom priestore. Tieto funkcie sa nemenia pohybmi práve tejto roviny. Druhá sa nazýva „eliptické krivky a sú to krivky dané rovnicou tretieho stupňa v komplexnej rovine“. Oba objekty sú v teórii čísel veľmi obľúbené.

V 50. rokoch minulého storočia sa v knižnici Tokijskej univerzity stretli dvaja talentovaní matematici Yutaka Taniyama a Goro Shimura. V tej dobe na univerzite nebola žiadna špeciálna matematika: po vojne sa jednoducho nestihla spamätať. Výsledkom bolo, že vedci študovali pomocou starých učebníc a na seminároch analyzovali problémy, ktoré boli v Európe a USA považované za vyriešené a neboli zvlášť relevantné. Boli to Taniyama a Shimura, ktorí zistili, že existuje určitá zhoda medzi modulárnymi formami a eliptickými funkciami.

Svoju hypotézu testovali na niektorých jednoduchých triedach kriviek. Ukázalo sa, že to funguje. Predpokladali teda, že toto spojenie tu vždy je. Takto sa objavila hypotéza Taniyama-Shimura a o tri roky neskôr Taniyama spáchal samovraždu. V roku 1984 nemecký matematik Gerhard Frey ukázal, že ak je Fermatova veta nesprávna, potom sú domnienky Taniyama-Shimura nesprávne. Z toho vyplývalo, že ten, kto dokázal túto domnienku, by dokázal aj vetu. Presne to urobil - pravda nie je celkom in všeobecný pohľad- Wiles.

7.

Wiles strávil osem rokov dokazovaním hypotézy. A pri kontrole v nej recenzenti našli chybu, ktorá „zabila“ väčšinu dôkazov, pričom znehodnotila všetky tie roky práce. Jeden z recenzentov menom Richard Taylor sa podujal opraviť túto dieru pomocou Wilesa. Kým pracovali, objavila sa správa, že Elkies, ten, kto našiel protiklad k Eulerovej domnienke, našiel protipriklad k Fermatovej vete (neskôr sa ukázalo, že išlo o aprílový žart). Wiles dostal depresiu a nechcel pokračovať - ​​diera v dôkazoch sa nijako nezatvárala. Taylor presvedčil Wilesa, aby bojoval ďalší mesiac.

Stal sa zázrak a do konca leta urobili matematici prelom - takto prišli modulárne eliptické krivky Andrewa Wilesa a veta o Veľkom Fermate (pdf) a prstencové teoretické vlastnosti niektorých Hecke Algebras Richarda Taylora a Andrewa Wilesa sa narodili. Toto už bol ten správny dôkaz. Bola uverejnená v roku 1995.

8.

Matematik Paul Wolfskel zomrel v Darmstadte v roku 1908. Po sebe zanechal závet, v ktorom dal matematickej komunite 99 rokov, aby našla dôkaz o veľkej Fermatovej vete. Autor dôkazu mal dostať 100 tisíc známok (autor protipříkladu by, mimochodom, nič nedostal). Podľa populárnej legendy láska podnietila Wolfskehla k tomu, aby urobil takýto darček matematikom. Takto popisuje legendu Simon Singh vo svojej knihe Fermatova posledná veta:

Príbeh začína unesením Wolfskehla krásna žena, ktorého identita nebola nikdy identifikovaná. Na Wolfskelovu ľútosť ho záhadná žena odmietla. Upadol do takého hlbokého zúfalstva, že sa rozhodol spáchať samovraždu. Wolfskel bol vášnivý muž, ale nie impulzívny, a preto začal svoju smrť prepracovávať do každého detailu. Stanovil dátum svojej samovraždy a rozhodol sa streliť si hlavu do prvého úderu hodín presne o polnoci. Počas zostávajúcich dní sa Wolfskel rozhodol dať do poriadku svoje záležitosti, ktoré išlo skvele, a posledný deň spísal závet a napísal listy blízkym priateľom a príbuzným.

Wolfskel pracoval tak tvrdo, že pred polnocou dokončil všetky svoje záležitosti a aby nejako vyplnil zvyšné hodiny, vybral sa do knižnice, kde si začal prezerať matematické časopisy. Čoskoro narazil na klasický článok Kummera, v ktorom vysvetlil, prečo Cauchy a Lame neuspeli. Kummerova práca bola jednou z najvýznamnejších matematických publikácií svojej doby a bola dokonalým čítaním pre matematika, ktorý plánoval spáchať samovraždu. Wolfskel opatrne, rad za radom, nasledoval Kummerove výpočty. Wolfskel si nečakane myslel, že objavil priepasť: autor urobil určitý predpoklad a tento krok vo svojom odôvodnení nezdôvodnil. Wolfskel premýšľal, či skutočne našiel vážnu medzeru, alebo je Kummerov predpoklad platný. Ak sa nájde medzera, existuje šanca, že Fermatovu poslednú vetu je možné dokázať oveľa jednoduchšie, ako si mnohí mysleli.

Wolfskel si sadol za stôl, starostlivo analyzoval „chybnú“ časť Kummerových úvah a začal načrtávať mini dôkaz, ktorý by mal buď podporiť Kummerovu prácu, alebo demonštrovať omyl jeho predpokladu a v dôsledku toho vyvrátiť všetky jeho argumenty. . Za úsvitu Wolfskel dokončil svoje výpočty. Zlou správou (matematicky) bolo, že Kummerov dôkaz bol uzdravený a Fermatova posledná veta bola stále nedostupná. Ale bola tu dobrá správa: čas určený na samovraždu uplynul a Wolfskel bol taký hrdý, že sa mu podarilo nájsť a vyplniť medzeru v diele veľkého Ernesta Kummera, že jeho zúfalstvo a smútok boli rozptýlené samy. Matematika oživila jeho smäd po živote.

Existuje však aj alternatívna verzia. Podľa nej sa Wolfskel matematiky (a vlastne aj Fermatovej vety) chopil kvôli progresívnej skleróze multiplex, ktorá mu bránila v tom, čo miloval - byť lekárom. A peniaze nechal matematikom, aby neopustil svoju manželku, ktorú do konca života jednoducho nenávidel.

9.

Pokusy dokázať Fermatovu vetu elementárnymi metódami viedli k vzniku celej triedy čudní ľudia nazývaní „fermatisti“. Zaoberali sa výrobou obrovského množstva dôkazov a vôbec nezúfali, keď v týchto dôkazoch našli chybu.

Na Fakulte mechaniky a matematiky Moskovskej štátnej univerzity bola legendárna postava menom Dobretsov. Zbieral certifikáty z rôznych oddelení a pomocou nich prenikol na oddelenie mechaniky a matematiky. To sa uskutočnilo výlučne s cieľom nájsť obeť. Nejakým spôsobom narazil na mladého absolventa (budúci akademik Novikov). Vo svojej naivite začal starostlivo študovať stoh papierov, ktoré mu Dobretsov skĺzol so slovami, hovorí sa, tu je dôkaz. Po ďalšom „tu je chyba ...“ Dobretsov vzal hromadu a napchal si ju do kufríka. Z druhého kufríka (áno, prešiel s dvoma aktovkami po oddelení mechaniky a matematiky) vytiahol druhú hromadu, povzdychol si a povedal: „Nuž, pozrime sa na možnosť 7 B“.

Mimochodom, väčšina takýchto dôkazov začína frázou „Prenesme jeden z výrazov na pravú stranu rovnosti a rozdeľme ju na faktory“.

10.

Príbeh o vete nebude úplný bez nádherného filmu „Matematik a diabol“.

Pozmeňovací návrh

Časť 7 tohto článku pôvodne uvádzala, že Naum Elkies našiel protipriklad Fermatovej vety, ktorá sa neskôr ukázala ako nesprávna. Nie je to pravda: nahlásiť protipriklad bol aprílový žart. Ospravedlňujeme sa za nepresnosť.

Andrej Konyaev

Súdiac podľa popularity dotazu „Fermatova veta - krátky dôkaz “, tento matematický problém skutočne zaujíma mnohých. Túto vetu prvýkrát uviedol Pierre de Fermat v roku 1637 na okraji kópie aritmetiky, kde tvrdil, že má riešenie, ktoré je príliš veľké na to, aby sa zmestilo na okraj.

Prvý úspešný dôkaz bol publikovaný v roku 1995 - bol to úplný dôkaz Fermatovej vety Andrewa Wilesa. Bol opísaný ako „ohromujúci pokrok“ a viedol Wiles k získaniu Ábelovej ceny v roku 2016. Pomerne stručne opísaný dôkaz Fermatovej vety tiež dokázal veľa z teórie o modularite a otvoril nové prístupy k mnohým ďalším problémom a efektívnym metódam na zrušenie modularity. Tieto úspechy posunuli matematiku o 100 rokov dopredu. Dôkaz Fermatovej malej vety dnes nie je ničím výnimočným.

Nevyriešený problém podnietil rozvoj teórie algebraických čísel v 19. storočí a hľadanie dôkazu o vete o modularite v 20. storočí. Toto je jedna z najpozoruhodnejších viet v histórii matematiky a až do úplného dôkazu Fermatovej vety delením bola v Guinnessovej knihe rekordov ako „najťažší matematický problém“, ktorého jednou z vlastností je, že je má najväčší počet neúspešných dôkazov.

Historický odkaz

Pytagorova rovnica x 2 + y 2 = z 2 má nekonečný počet kladných celočíselných riešení pre x, y a z. Tieto riešenia sú známe ako Pytagorova trojica. Asi v roku 1637 napísal Fermat na okraji knihy, že viac všeobecná rovnica a n + b n = c n nemá žiadne riešenia v prirodzené čísla ak n je celé číslo väčšie ako 2. Hoci sám Fermat tvrdil, že má na svoj problém riešenie, nezanechal žiadne podrobnosti o jeho dôkaze. Prvotným dôkazom Fermatovej vety, ktorý uviedol jej tvorca, bol skôr jeho vychvaľujúci vynález. Kniha veľkého francúzskeho matematika bola objavená 30 rokov po jeho smrti. Táto rovnica, nazývaná Fermatova posledná veta, zostala v matematike nevyriešená tri a pol storočia.

Veta sa nakoniec stala jedným z najpozoruhodnejších nevyriešených problémov v matematike. Pokusy dokázať to spôsobili významný rozvoj teórie čísel a v priebehu času sa posledná Fermatova veta stala známou ako nevyriešený problém v matematike.

Stručná história dôkazov

Ak n = 4, čo dokázal samotný Fermat, stačí na dokázanie vety pre indexy n, ktoré sú prvočíslami. V nasledujúcich dvoch storočiach (1637-1839) sa tento predpoklad potvrdil iba pre prvočísla 3, 5 a 7, aj keď Sophie Germain aktualizovala a ukázala prístup, ktorý bol relevantný pre celú triedu prvočísel. V polovici 19. storočia to Ernst Kummer rozšíril a dokázal vetu pre všetky pravidelné prvočísla, následkom čoho boli nepravidelné prvočísla analyzované jednotlivo. Na základe Kummerovej práce a pomocou sofistikovanej počítačovej vedy dokázali ďalší matematici rozšíriť riešenie vety s cieľom pokryť všetky hlavné ukazovatele na štyri milióny, ale dôkaz pre všetky exponenty stále nebol k dispozícii (čo znamená, že matematici zvyčajne zvažovali riešenie vety nemožné, extrémne ťažké alebo nedosiahnuteľné moderné znalosti).

Práca Shimura a Taniyama

V roku 1955 mali japonskí matematici Goro Shimura a Yutaka Taniyama podozrenie, že existuje spojitosť medzi eliptickými krivkami a modulárnymi tvarmi, dvoma úplne odlišnými oblasťami matematiky. V tej dobe známy ako Taniyama-Shimura-Weilov domnienka a (nakoniec) ako veta o modularite, existoval sám osebe, bez zjavného spojenia s poslednou Fermatovou vetou. Samo osebe bolo všeobecne považované za dôležitú matematickú vetu, ale považovalo sa (ako Fermatova veta) za nemožné dokázať. Súčasne bol dôkaz veľkej Fermatovej vety (metódou delenia a použitím zložitých matematických vzorcov) vykonaný až o pol storočia neskôr.

V roku 1984 si Gerhard Frey všimol očividnú súvislosť medzi týmito dvoma predtým nesúvisiacimi a nevyriešenými problémami. Úplné potvrdenie, že tieto dve vety spolu úzko súvisia, publikoval v roku 1986 Ken Ribet, ktorý na základe čiastočného dôkazu Jean-Pierra Serreho dokázal, že až na jednu časť je známa ako „epsilonská domnienka“. Jednoducho povedané, tieto práce Freya, Serra a Ribeho ukázali, že ak by sa dala dokázať veta o modularite, aspoň pre triedu eliptických kriviek, ktorá sa dá rozdeliť, potom by sa skôr alebo neskôr objavil aj dôkaz poslednej Fermatovej vety. Akékoľvek riešenie, ktoré by mohlo byť v rozpore s poslednou Fermatovou vetou, môže byť tiež v rozpore s vetou o modularite. Ak by sa teda veta o modularite ukázala ako pravdivá, potom podľa definície nemôže existovať riešenie, ktoré by bolo v rozpore s poslednou Fermatovou vetou, čo znamená, že by sa čoskoro muselo dokázať.

Napriek tomu, že obe vety boli pre matematiku zložitými problémami, ktoré sa považovali za neriešiteľné, práca týchto dvoch Japoncov bola prvou hypotézou o tom, ako možno pokračovať a dokázať Fermatovu poslednú vetu pre všetky čísla, nielen pre niekoľko. Dôležitá pre vedcov, ktorí si vybrali tému výskumu, bola skutočnosť, že na rozdiel od poslednej Fermatovej vety bola veta o modularite hlavnou aktívnou oblasťou výskumu, pre ktorú bol vyvinutý dôkaz, a nielen historickou zvláštnosťou, takže čas strávený na jeho práca by sa dala ospravedlniť z odborného hľadiska. Všeobecný názor však bol, že riešenie hypotézy Taniyama-Shimura sa ukázalo ako nevhodné.

Fermatova posledná veta: Wilesov dôkaz

Keď sa anglický matematik Andrew Wiles dozvedel, že Ribet dokázal správnosť Freyovej teórie, ktorý sa už od detstva zaujímal o poslednú Fermatovu vetu a mal skúsenosti s eliptickými krivkami a susednými doménami, rozhodol sa pokúsiť sa dokázať domnienku Taniyama-Shimura ako spôsob, ako dokázať Fermatovu poslednú vetu. V roku 1993, šesť rokov po oznámení svojho cieľa, počas tajnej práce na probléme riešenia vety dokázal Wyles dokázať súvisiace dohady, ktoré by mu zase pomohli dokázať Fermatovu poslednú vetu. Wilesov dokument mal obrovskú veľkosť a rozsah.

Chyba bola odhalená v jednej časti jeho pôvodného článku počas partnerského hodnotenia a vyžadovala ďalší rok spolupráce s Richardom Taylorom na spoločnom vyriešení vety. Výsledkom bolo, že Wilesov konečný dôkaz Fermatovej vety na seba nenechal dlho čakať. V roku 1995 bol publikovaný v oveľa menšom rozsahu ako predchádzajúca Wilesova matematická práca, čím jasne ukázal, že sa vo svojich predchádzajúcich záveroch o možnosti dokázania vety nemýlil. Wilesov úspech bol široko šírený v populárnej tlači a propagovaný v knihách a televíznych programoch. Zvyšok domnienky Taniyama-Shimura-Weil, ktorá bola teraz dokázaná a známa ako veta o modularite, následne dokázali ďalší matematici, ktorí v rokoch 1996 až 2001 vychádzali z Wilesovej práce. Za svoj úspech bol Wiles ocenený a získal množstvo ocenení vrátane Abelovej ceny za rok 2016.

Wilesov dôkaz Fermatovej poslednej vety je špeciálnym prípadom riešenia vety o modularite pre eliptické krivky. Napriek tomu je to najslávnejší prípad takej rozsiahlej matematickej operácie. Spolu s riešením Ribeho vety získal britský matematik aj dôkaz o poslednej Fermatovej vete. Fermatova posledná veta a veta o modularite bola modernými matematikmi takmer všeobecne považovaná za nedokázateľnú, ale Andrew Wiles dokázal všetko. vedecký svetže aj učenci môžu byť klamaní.

Wiles prvýkrát oznámil svoj objav v stredu 23. júna 1993 na prednáške v Cambridge s názvom „Modulárne tvary, eliptické krivky a reprezentácie Galois“. V septembri 1993 sa však zistilo, že jeho výpočty obsahujú chybu. O rok neskôr, 19. septembra 1994, v tom, čo by nazval „najviac“ dôležitý bod svojho pracovného života, “narazil Wiles na odhalenie, ktoré mu umožnilo opraviť riešenie problému do tej miery, že by mohlo uspokojiť matematickú komunitu.

Charakteristika práce

Dôkaz Fermatovej vety Andrewa Wilesa používa mnoho metód z algebraickej geometrie a teórie čísel a má mnoho dôsledkov v týchto oblastiach matematiky. Používa tiež štandardné konštrukcie modernej algebraickej geometrie, ako napríklad kategóriu schém a Iwasawovu teóriu, ako aj ďalšie metódy 20. storočia, ktoré Pierre Fermat nemal k dispozícii.

Dva dôkazy majú 129 strán a sú napísané počas siedmich rokov. John Coates označil tento objav za jeden z najväčších výdobytkov teórie čísel a John Conway ho označil za hlavný matematický výdobytok 20. storočia. Wiles, aby dokázal poslednú Fermatovu vetu dokázaním vety o modularite v konkrétnom prípade semistabilných eliptických kriviek, vyvinul účinné metódy na zvýšenie modularity a objavil nové prístupy k mnohým ďalším problémom. Za vyriešenie poslednej Fermatovej vety bol pasovaný za rytiera a získal ďalšie ocenenia. Keď sa dozvedelo, že Wiles získal Abelovu cenu, Nórska akadémia vied opísala jeho úspech ako „nádherný a primitívny dôkaz poslednej Fermatovej vety“.

Ako to bolo

Jeden z ľudí, ktorí analyzovali Wilesov pôvodný rukopis s riešením vety, bol Nick Katz. Počas svojho preskúmania položil Britovi sériu objasňujúcich otázok, ktoré viedli Wilesa k priznaniu, že jeho práca očividne obsahuje medzeru. V jednej kritickej časti dôkazu sa stala chyba, ktorá poskytla odhad pre poradie konkrétnej skupiny: Eulerov systém používaný na rozšírenie metódy Kolyvagin a Flach bol neúplný. Táto chyba však nerobila jeho prácu zbytočnou - každá časť Wilesovej práce bola sama osebe veľmi významná a inovatívna, rovnako ako mnohé z vývojov a metód, ktoré vytvoril počas svojej práce, ktoré ovplyvnili iba jednu časť rukopis. Toto pôvodné dielo, publikované v roku 1993, však v skutočnosti nemalo dôkaz o Fermatovej poslednej vete.

Wiles strávil takmer rok pokusom o vyriešenie vety - najskôr sám a potom v spolupráci so svojim bývalým študentom Richardom Taylorom, ale všetko sa zdalo márne. Do konca roku 1993 kolovali zvesti o tom, že Wilesov dôkaz sa nepodarilo overiť, ale ako závažné zlyhanie nebolo, nebolo známe. Matematici začali na Wilesa tlačiť, aby odhalil detaily jeho práce, či už bola dokončená alebo nie, aby širšia komunita matematikov mohla skúmať a používať všetko, čo dokázal. Namiesto toho, aby Wiles svoju chybu rýchlo napravil, v dôkaze Fermatovej poslednej vety objavil iba ďalšie komplexné aspekty a nakoniec si uvedomil, aké je to ťažké.

Wiles uvádza, že ráno 19. septembra 1994 bol na pokraji vzdania sa a vzdania sa a takmer rezignoval na svoje zlyhanie. Bol pripravený publikovať svoje nedokončené dielo, aby naň mohli ostatní stavať a zistiť, kde sa mýlil. Anglický matematik sa rozhodol dať si poslednú šancu a naposledy analyzoval vetu, aby sa pokúsil porozumieť hlavným dôvodom, prečo jeho prístup nefungoval, keď si zrazu uvedomil, že prístup Kolyvagin-Flak nebude fungovať, kým nezahrnie Iwasawova teória tým, že fungovala.

6. októbra Wiles požiadal troch kolegov (vrátane Faltinsa), aby ho prehodnotili Nová práca a 24. októbra 1994 predložil dva rukopisy - „Modulárne eliptické krivky a Fermatova posledná veta“ a „Teoretické vlastnosti prsteňa niektorých Hecke -algebier“, z ktorých druhý Wiles napísal spoločne s Taylorom a dokázal, že určité podmienky potrebné na odôvodnenie revidovaného kroku v hlavnom článku.

Tieto dva články boli overené a nakoniec publikované ako fulltextové vydanie v Annals of Mathematics z mája 1995. Andrewove nové výpočty boli široko analyzované a nakoniec akceptované vedeckou komunitou. V týchto prácach bola stanovená veta o modularite pre semistabilné eliptické krivky - posledný krok k dôkazu poslednej Fermatovej vety, 358 rokov po jej vytvorení.

História veľkého problému

Riešenie tejto vety je už mnoho storočí považované za najväčší problém v matematike. V rokoch 1816 a 1850 ponúkla Francúzska akadémia vied cenu za všeobecný dôkaz poslednej Fermatovej vety. V roku 1857 udelila Akadémia 3000 frankov a Zlatá medaila Kummerovi za výskum ideálnych čísel, hoci o cenu nepožiadal. Ďalšiu cenu mu ponúkla v roku 1883 bruselská akadémia.

Wolfskelova cena

V roku 1908 odkázal nemecký priemyselník a amatérsky matematik Paul Wolfskel Akadémii vied v Göttingene 100 000 zlatých mariek (v tom čase veľká suma), aby sa stala cenou za úplný dôkaz Fermatovej vety. 27. júna 1908 Akadémia zverejnila deväť pravidiel udeľovania cien. Tieto pravidlá okrem iného vyžadovali uverejnenie dôkazu v recenzovanom časopise. Cena mala byť udelená iba dva roky po zverejnení. Súťaž mala vypršať 13. septembra 2007 - asi storočie po jej začiatku. 27. júna 1997 dostal Wiles Wolfshelovu prémiu, potom ďalších 50 000 dolárov. V marci 2016 dostal od nórskej vlády 600 000 eur v rámci Abelovej ceny za „ohromujúci dôkaz poslednej Fermatovej vety pomocou hypotézy modularity pre polostabilné eliptické krivky, ktorá otvára novú éru teórie čísel“. Pre pokorného Angličana to bol svetový triumf.

Pred Wilesovým dôkazom bola Fermatova veta, ako už bolo spomenuté, považovaná po stáročia za absolútne neriešiteľnú. Wolfskemu výboru boli v rôznych časoch predložené tisíce nesprávnych dôkazov, čo predstavuje približne 3 metre korešpondencie. V prvom roku existencie ceny (1907-1908) bolo predložených 621 žiadostí o vyriešenie vety, aj keď do 70. rokov 20. storočia sa ich počet znížil na približne 3-4 žiadosti mesačne. Podľa F. Schlichtinga, Wolfschelovho recenzenta, väčšina dôkazov vychádzala zo základných metód vyučovaných v školách a často boli prezentované ako „ľudia s technickým vzdelaním, ale neúspešnou kariérou“. Podľa historika matematiky Howarda Avesa vytvorila posledná Fermatova veta akýsi rekord - toto je veta, ktorá získala najväčší počet falošných dôkazov.

Farmárske vavríny putovali k Japoncom

Ako už bolo spomenuté, okolo roku 1955 objavili japonskí matematici Goro Shimura a Yutaka Taniyama možné spojenie medzi dvoma zdanlivo úplne odlišnými odvetviami matematiky - eliptickými krivkami a modulárnymi tvarmi. Výsledná veta o modularite (v tej dobe známa ako Taniyama-Shimura dohad) uvádza, že každá eliptická krivka je modulárna, čo znamená, že môže byť spojená s jedinečným modulárnym tvarom.

Teória bola pôvodne odmietnutá ako nepravdepodobná alebo vysoko špekulatívna, ale vzala sa vážnejšie, keď teoretik čísel André Weil našiel dôkazy na podporu japonských záverov. Výsledkom bolo, že hypotéza sa často nazývala hypotéza Taniyama-Shimura-Weil. Stala sa súčasťou programu Langlands, čo je zoznam dôležitých hypotéz, ktoré je potrebné v budúcnosti dokázať.

Aj po serióznom skúmaní bola hypotéza modernými matematikmi uznaná ako extrémne ťažká alebo možno nedostupná na dôkaz. Teraz táto veta čaká na svojho Andrewa Wilesa, ktorý by mohol svojim riešením prekvapiť celý svet.

Fermatova veta: dôkaz Perelmana

Napriek populárnemu mýtu nemá ruský matematik Grigory Perelman, napriek všetkej svojej genialite, nič spoločné s Fermatovou vetou. Čo však nijako neuberá na jeho mnohých službách vedeckej komunite.

Grigory Perelman. Refusenik

Vasilij Maximov

V auguste 2006 boli oznámené mená najlepších matematikov planéty, ktorí získali najprestížnejšiu Fieldsovu medailu - akýsi analóg Nobelovej ceny, o ktorú boli matematici z rozmaru Alfreda Nobela zbavení. Fieldsova medaila - okrem čestného odznaku je laureátom udelený aj šek na pätnásťtisíc kanadských dolárov - udeľuje Medzinárodný kongres matematikov každé štyri roky. Bol založený kanadským vedcom Johnom Charlesom Fieldsom a bol prvýkrát ocenený v roku 1936. Fieldsovu medailu od roku 1950 udeľuje španielsky kráľ pravidelne osobne za prínos v rozvoji matematickej vedy. Laureátmi ceny môžu byť od jedného do štyroch vedcov do štyridsať rokov. Cenu si už prevzalo 44 matematikov, z toho osem sú Rusi.

Grigory Perelman. Henri Poincaré.

V roku 2006 boli laureátmi Francúz Wendelin Werner, Austrálčan Terence Tao a dvaja Rusi - Andrei Okunkov, ktorý pracuje v USA, a Grigory Perelman, vedec z Petrohradu. Na poslednú chvíľu sa však ukázalo, že Perelman odmietol toto prestížne ocenenie - ako organizátori oznámili, „zo zásadných dôvodov“.

Takýto extravagantný čin ruského matematika nebol pre ľudí, ktorí ho poznali, žiadnym prekvapením. Nie je to prvýkrát, čo odmietol matematické ceny, pričom svoje rozhodnutie vysvetľuje tým, že nemá rád slávnostné udalosti a nadmerný humbuk okolo svojho mena. Pred desiatimi rokmi, v roku 1996, Perelman odmietol cenu Európskeho matematického kongresu, pričom uviedol skutočnosť, že nedokončil prácu na vedeckom probléme nominovanom na cenu, a nebolo to naposledy. Ruský matematik ako keby si dal za životný cieľ ohromiť ľudí, ísť proti verejnej mienke a vedeckej komunite.

Grigory Yakovlevich Perelman sa narodil 13. júna 1966 v Leningrade. S mladé roky mal rád presné vedy, skvele vyštudoval 239 stredná škola s hĺbkovým štúdiom matematiky vyhral množstvo matematických olympiád: napríklad v roku 1982 sa ako súčasť tímu sovietskych školákov zúčastnil medzinárodnej matematickej olympiády, ktorá sa konala v Budapešti. Perelman bez skúšok bol zapísaný na Fakultu mechaniky a matematiky Leningradskej univerzity, kde vynikajúco študoval a pokračoval vo víťazstve v matematických súťažiach na všetkých úrovniach. Po absolvovaní univerzity s vyznamenaním vstúpil na postgraduálnu školu v petrohradskej pobočke Steklovského matematického ústavu. Jeho vedeckým poradcom bol známy matematik akademik Aleksandrov. Po obhájení dizertačnej práce zostal Grigory Perelman na ústave, v laboratóriu geometrie a topológie. Jeho práca na teórii Aleksandrovských priestorov je známa; dokázal nájsť dôkazy pre množstvo dôležitých hypotéz. Napriek početným ponukám popredných západných univerzít Perelman uprednostňuje prácu v Rusku.

Jeho najhlasnejším úspechom bolo riešenie slávnej Poincaréovej hypotézy z roku 2002, publikovanej v roku 1904, v roku 2002, ktorá odvtedy zostala neoverená. Perelman na tom pracoval osem rokov. Poincaréova hypotéza bola považovaná za jednu z najväčších matematických záhad a jej riešenie je najdôležitejším úspechom v matematickej vede: okamžite pokročí v skúmaní problémov fyzických a matematických základov vesmíru. Najvýraznejšie mysle planéty predpovedali jej riešenie až po niekoľkých desaťročiach a Clayov matematický ústav v Cambridgi v štáte Massachusetts zaradil Poincarého problém medzi sedem najzaujímavejších nevyriešených matematických problémov tisícročia, pričom každému z nich bola prisľúbená miliónová cena. (Problémy s cenou tisícročia) ...

Dohad (niekedy nazývaný aj problém) francúzskeho matematika Henriho Poincarého (1854–1912) je formulovaný nasledovne: každý uzavretý jednoducho spojený trojrozmerný priestor je homeomorfný k trojrozmernej sfére. Na objasnenie použite ilustračný príklad: ak zabalíte jablko gumičkou, potom v zásade potiahnutím pásky môžete jablko stlačiť do bodky. Ak zabalíte bagetu rovnakou páskou, nemôžete ju stlačiť do bodu bez toho, aby ste roztrhli šišku alebo gumu. V tejto súvislosti sa jablko nazýva figúrka „jednotlivo prepojená“, zatiaľ čo šiška nie je jednoducho spojená. Pred takmer storočím Poincaré zistil, že dvojrozmerná sféra je jednoducho spojená, a naznačil, že trojrozmerná sféra je tiež jednoducho prepojená. Najlepší matematici sveta nedokázali túto hypotézu dokázať.

Aby sa Perelman kvalifikoval na cenu Clay Institute, stačilo publikovať jeho riešenie v jednom z vedeckých časopisov a ak do dvoch rokov nikto nemôže nájsť chybu vo svojich výpočtoch, bude riešenie považované za správne. Perelman sa však od začiatku odchyľoval od pravidiel a svoje rozhodnutie zverejnil na stránke predtlačí Vedeckého laboratória Los Alamos. Možno sa obával, že sa do jeho výpočtov vkradla chyba - podobný príbeh sa už stal v matematike. V roku 1994 navrhol anglický matematik Andrew Wiles riešenie slávnej Fermatovej vety a o niekoľko mesiacov neskôr sa ukázalo, že sa do jeho výpočtov vkradla chyba (aj keď neskôr bola opravená a senzácia stále prebiehala). Stále neexistuje žiadna oficiálna publikácia dôkazu Poincaréovej hypotézy - existuje však autoritatívny názor na najlepších matematikov planéty, ktorý potvrdzuje správnosť Perelmanových výpočtov.

Fieldsova medaila bola udelená Grigorymu Perelmanovi práve za vyriešenie problému Poincaré. Ruský vedec ale cenu odmietol, čo si nepochybne zaslúži. "Gregory mi povedal, že sa cíti izolovaný od medzinárodnej matematickej komunity, mimo tejto komunity, a preto nechce prevziať cenu," povedal na tlačovej konferencii v Madride prezident Svetovej únie matematikov (HCM), Angličan John Ball.

Hovorí sa, že Grigory Perelman úplne opustí vedu: pred šiestimi mesiacmi opustil svoj rodný matematický ústav Steklov a hovoria, že už nebude robiť matematiku. Ruský vedec sa možno domnieva, že keď dokázal slávnu hypotézu, urobil pre vedu všetko, čo mohol. Mimochodom, kto by sa zaviazal diskutovať o myšlienkovom prúde takého geniálneho vedca a mimoriadneho človeka? .. Perelman odmieta akékoľvek komentáre a pre The Daily Telegraph povedal: „Nič, čo môžem povedať, nie je ani v najmenšom verejnom záujme.“ Vedúce vedecké publikácie však boli vo svojich hodnoteniach jednomyseľné, keď uviedli, že „Grigory Perelman po vyriešení Poincarého vety stál na rovnakej úrovni ako najväčší géniov minulosti a súčasnosti“.

Mesačný literárny publicistický časopis a vydavateľstvo.

Závistlivci tvrdia, že francúzsky matematik Pierre Fermat zapísal svoje meno do histórie iba jednou frázou. Na okraj rukopisu s formuláciou slávnej vety z roku 1637 poznamenal: „Našiel som úžasné riešenie, ale nie je tu dostatok miesta na jeho vloženie.“ Potom sa začali úžasné matematické preteky, do ktorých sa spolu s vynikajúcimi vedcami pripojila armáda amatérov.

V čom je zákernosť Fermatovho problému? Na prvý pohľad to môže pochopiť aj školák.

Vychádza zo známej Pytagorovej vety: správny trojuholníkštvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh: x 2 + y 2 = z 2. Fermat tvrdil, že rovnica pre akékoľvek mocniny väčšie ako dve nemá riešenie v celých číslach.

Zdá sa to jednoduché. Natiahnite ruku a tu je odpoveď. Niet divu, že akadémie rozdielne krajiny, vedeckých inštitúcií, dokonca aj novinové kancelárie boli zaplavené desiatkami tisíc dôkazov. Ich počet je bezprecedentný, na druhom mieste za projektmi „strojov na večný pohyb“. Ale ak seriózna veda už dlho neberie do úvahy tieto bláznivé nápady, potom práca „farmárov“ poctivo a so záujmom študuje. A, bohužiaľ, nachádza chyby. Hovorí sa, že za viac ako tri storočia sa vytvoril celý matematický cintorín riešení vety.

Niet divu, že hovoria: lakeť je blízko, a nebudete hrýzť. Roky, desaťročia, storočia plynuli a Fermatova úloha pôsobila čoraz prekvapivejšie a lákavejšie. Zdalo sa, že je to nenáročné a ukázalo sa, že je to príliš náročné na rýchly postup budovania svalov. Človek už rozdelil atóm, dosiahol gén, vstúpil na Mesiac, ale Fermatovi to nebolo dané a naďalej lákal potomkov na falošné nádeje.

Pokusy prekonať vedecký vrchol však neboli márne. Prvý krok urobil veľký Euler, ktorý dokázal vetu pre štvrtý stupeň, potom pre tretí. V. neskorý XIX storočia Nemec Ernst Kummer priniesol počet stupňov na sto. Nakoniec, vyzbrojení počítačmi, vedci zvýšili tento údaj na 100 tisíc. Ale Fermat hovoril o akýchkoľvek stupňoch. Toto bol celý problém.

Vedcov táto úloha samozrejme potrápila nie kvôli záujmu o šport. Slávny matematik David Hilbert povedal, že veta je príkladom toho, ako zdanlivo nepodstatný problém môže mať obrovský vplyv na vedu. Pri práci na nej vedci objavili úplne nové matematické horizonty, napríklad boli položené základy teórie čísel, algebry a teórie funkcií.

Napriek tomu bola Veľká veta v roku 1995 utlmená. Jeho riešenie predstavil Američan z Princetonskej univerzity Andrew Wiles a je oficiálne uznané vedeckou komunitou. Dal viac ako sedem rokov svojho života, aby našiel dôkaz. Podľa vedcov táto vynikajúca práca spojila práce mnohých matematikov a obnovila stratené spojenia medzi jej rôznymi časťami.

Summit sa teda vzal a veda dostala odpoveď, - povedal korešpondentovi RG vedecký tajomník katedry matematiky. Ruská akadémia Vedy, doktor technických vied Jurij Višnyakov. - Veta je dokázaná, aj keď nie najjednoduchším spôsobom, na ktorej trval samotný Fermat. A teraz tí, ktorí si želajú, si môžu vytlačiť svoje verzie.

Rodina „farmárov“ sa však Wilesov dôkaz vôbec nechystá prijať. Nie, nevyvracajú rozhodnutie Američana, pretože je veľmi zložité, a preto zrozumiteľné iba pre úzky okruh špecialistov. Ale neprejde týždeň, aby sa na internete neobjavilo nové odhalenie ďalšieho nadšenca, „ktorý konečne ukončí dlhodobý epos“.

Mimochodom, práve včera jeden z najstarších „farmárov“ u nás Vsevolod Yarosh telefonoval do redakcie RG: matematik akademik Arnold so žiadosťou o uverejnenie tejto záležitosti vo vedeckom časopise. Teraz čakám na odpoveď. V tejto záležitosti si dopisujem s Francúzskou akadémiou vied. “

A práve teraz, ako sa uvádza v mnohých médiách, s miernou gráciou odhalil veľké tajomstvo matematici ", ďalší nadšenec - bývalý generálny dizajnér PO„ Polet "z Omska, doktor technických vied Alexander Ilyin. Riešenie sa ukázalo byť také jednoduché a krátke, že sa zmestilo na malú časť priestoru novín jedného z centrálne publikácie.

Redakčná rada „RG“ sa obrátila na vedúceho matematického ústavu v krajine. Steklov Ruská akadémia vied so žiadosťou o vyhodnotenie tohto riešenia. Vedci boli kategorickí: nemôžete sa vyjadriť k novinovej publikácii. Ale po dlhom presviedčaní a vzhľadom na zvýšený záujem o slávny problém súhlasili. V ďalšom zverejnenom dôkaze bolo podľa nich urobených niekoľko zásadných chýb. Mimochodom, všimnúť si ich mohol dokonca aj študent matematickej fakulty.

A napriek tomu chceli redaktori získať informácie z prvej ruky. Ilyin navyše musel včera na Akadémii letectva a letectva predložiť svoj dôkaz. Ukázalo sa však, že o takejto akadémii vie len málo ľudí, dokonca aj medzi odborníkmi. A keď sa mu napriek tomu s najväčšími ťažkosťami podarilo nájsť telefón vedeckého tajomníka tejto organizácie, potom, ako sa ukázalo, ani netušil, že práve s nimi historická udalosť... Jedným slovom, korešpondentovi „RG“ sa nepodarilo stať sa svedkom svetovej senzácie.