Všeobecná rovnica druhého rádu. Všeobecná rovnica kriviek druhého rádu. Rovnica priamky pozdĺž bodu a normálneho vektora

Krivka druhého rádu - lokus bodov v rovine, obdĺžnikové súradnice

ktoré vyhovujú rovnici v tvare:

v ktorom aspoň jeden z koeficientov a 11, a 12, a 22 nie je nula.

Invarianty kriviek druhého rádu.

Tvar krivky závisí od 4 nižšie uvedených invariantov:

Invarianty rotácie a prekladu súradnicového systému:

Invariantné pri rotácii súradnicového systému ( polo invariantný):

Ak chcete študovať krivky druhého rádu, zvážte produkt A * C.

Všeobecné rovnica krivky druhého rádu vyzerá takto:

Sekera 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0

Ak A * C\u003e 0 eliptický typ ... Akékoľvek eliptické

rovnica je rovnica buď obyčajnej elipsy, alebo zdegenerovanej elipsy (bod), alebo imaginárnej

elipsa (v tomto prípade rovnica nedefinuje jediný geometrický obraz v rovine);

Ak A * C< 0 , potom má rovnica tvar rovnice hyperbolický typ ... Akákoľvek hyperbolická

rovnica vyjadruje buď jednoduchú hyperbolu, alebo zdegenerovanú hyperbolu (dve pretínajúce sa čiary);

Ak A * C \u003d 0, potom nebude druhý riadok objednávky centrálny. Rovnice tohto typu sa nazývajú

rovnice parabolický typ a vyjadrené v rovine buď jednoduchá parabola, alebo 2 rovnobežky

(buď zhodné) priame čiary, alebo nevyjadrujú v rovine žiadny geometrický obraz;

Ak A * C ≠ 0, bude krivka druhého rádu

Tento článok nadväzuje na tému rovnice priamky v rovine: zvážte takú formu rovnice, ako je všeobecná rovnica priamky. Definujme vetu a poskytneme jej dôkaz; Poďme zistiť, čo je to neúplná všeobecná rovnica priamky a ako urobiť prechody od všeobecnej rovnice k iným typom rovníc priamky. Celú teóriu spojíme s ilustráciami a riešením praktických problémov.

Nech je v rovine uvedený obdĺžnikový súradnicový systém O x y.

Veta 1

Akákoľvek rovnica prvého stupňa, ktorá má tvar A x + B y + C \u003d 0, kde A, B, C sú niektoré reálne čísla (A a B sa nerovnajú súčasne nule) definuje priamku v obdĺžnikovom súradnicovom systéme v rovine. Akákoľvek priamka v obdĺžnikovom súradnicovom systéme v rovine je zase určená rovnicou, ktorá má pre určitú množinu hodnôt A, B, C tvar A x + B y + C \u003d 0.

Dôkazy

táto veta sa skladá z dvoch bodov, každý z nich dokážeme.

1. Dokážme, že rovnica A x + B y + C \u003d 0 definuje priamku v rovine.

Nech existuje nejaký bod М 0 (x 0, y 0), ktorého súradnice zodpovedajú rovnici A x + B y + C \u003d 0. Teda: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Odčítaním od ľavej a pravej strany rovníc A x + B y + C \u003d 0 od ľavej a pravej strany rovnice A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 získame novú rovnicu tvaru A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Je to ekvivalent k A x + B y + C \u003d 0.

Výsledná rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 je nevyhnutnou a dostatočnou podmienkou pre vektory n → \u003d (A, B) a M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) ). Sada bodov M (x, y) teda definuje priamku v obdĺžnikovom súradnicovom systéme kolmom na smer vektora n → \u003d (A, B). Môžeme predpokladať, že to tak nie je, ale potom by vektory n → \u003d (A, B) a M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) neboli kolmé a rovnosť A (x - x 0 ) + B (y - y 0) \u003d 0 by nebola pravda.

Preto rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definuje nejakú priamku v obdĺžnikovom súradnicovom systéme v rovine, a teda ekvivalentná rovnica A x + B y + C \u003d 0 definuje tú istú priamku. Takto sme dokázali prvú časť vety.

1. Dajme dôkaz, že každú priamku v obdĺžnikovom súradnicovom systéme v rovine možno definovať rovnicou prvého stupňa A x + B y + C \u003d 0.

Nastavíme priamku a v obdĺžnikovom súradnicovom systéme na rovinu; bod M 0 (x 0, y 0), cez ktorý prechádza táto priamka, ako aj normálový vektor tejto priamky n → \u003d (A, B).

Nech je tu aj nejaký bod M (x, y) - plávajúca desatinná čiara priamky. V tomto prípade sú vektory n → \u003d (A, B) a M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) navzájom kolmé a ich skalárny súčin je nulový:

n →, M 0 M → \u003d A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0

Prepíšte rovnicu A x + B y - A x 0 - B y 0 \u003d 0, definujte C: C \u003d - A x 0 - B y 0 a nakoniec dostaneme rovnicu A x + B y + C \u003d 0.

Dokázali sme teda druhú časť vety a dokázali sme celú vetu ako celok.

Definícia 1

Rovnica tvaru A x + B y + C \u003d 0 - toto všeobecná rovnica priamky na rovine v obdĺžnikovom súradnicovom systéme O x y.

Na základe dokázanej vety môžeme konštatovať, že priamka a jej všeobecná rovnica uvedená v rovine v pevnom obdĺžnikovom súradnicovom systéme sú neoddeliteľne spojené. Inými slovami, počiatočná priamka zodpovedá svojej všeobecnej rovnici; všeobecná rovnica priamky zodpovedá danej priamke.

Z dôkazu vety tiež vyplýva, že koeficienty A a B pre premenné x a y sú súradnice normálového vektora priamky, ktorá je daná všeobecnou rovnicou priamky A x + B y + C \u003d 0.

Zvážte konkrétny príklad všeobecnej rovnice priamky.

Nech je uvedená rovnica 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, ktorá zodpovedá priamke v danom obdĺžnikovom súradnicovom systéme. Normálový vektor tejto priamky je vektor n → \u003d (2, 3). Na výkrese nakreslite danú priamku.

Môžete tiež povedať toto: priamka, ktorú vidíme na výkrese, je určená všeobecnou rovnicou 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, pretože súradnice všetkých bodov danej priamky zodpovedajú tejto rovnici.

Rovnicu λ · A x + λ · B y + λ · C \u003d 0 môžeme získať vynásobením oboch strán všeobecnej rovnice čiary nenulovým číslom λ. Výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej rovnici, preto bude popisovať rovnakú priamku v rovine.

Definícia 2

Vyplňte všeobecnú rovnicu priamky - taká všeobecná rovnica priamky A x + B y + C \u003d 0, v ktorej sú čísla A, B, C nenulové. Inak je rovnica neúplné.

Pozrime sa na všetky variácie neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

1. Keď A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, všeobecná rovnica sa stane B y + C \u003d 0. Takáto neúplná všeobecná rovnica definuje v obdĺžnikovom súradnicovom systéme O x y priamku, ktorá je rovnobežná s osou O x, pretože pre každú skutočnú hodnotu x bude mať premenná y hodnotu - C B. Inými slovami, všeobecná rovnica priamky A x + B y + C \u003d 0, keď A \u003d 0, B ≠ 0, určuje lokus bodov (x, y), ktorých súradnice sa rovnajú rovnakému počtu - C B.
2. Ak A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, všeobecná rovnica má tvar y \u003d 0. Táto neúplná rovnica definuje os úsečky Ox.
3. Keď A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, dostaneme neúplnú všeobecnú rovnicu A x + C \u003d 0, definujúcu priamku rovnobežnú s osou súradnice.
4. Nech A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, potom bude mať neúplná všeobecná rovnica tvar x \u003d 0, jedná sa o rovnicu súradnicovej čiary O y.
5. Nakoniec pre A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 má neúplná všeobecná rovnica tvar A x + B y \u003d 0. A táto rovnica popisuje priamku, ktorá prechádza počiatkom. Dvojica čísel (0, 0) skutočne zodpovedá rovnosti A x + B y \u003d 0, pretože A · 0 + B · 0 \u003d 0.

Poďme si graficky ilustrovať všetky vyššie uvedené typy neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

Príklad 1

Je známe, že daná priamka je rovnobežná s osou súradnice a prechádza bodom 2 7, - 11. Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu danej priamky.

Rozhodnutie

Priamka rovnobežná s osou súradnice je daná rovnicou tvaru A x + C \u003d 0, v ktorej A ≠ 0. Podmienka tiež určuje súradnice bodu, ktorým prechádza čiara, a súradnice tohto bodu vyhovujú podmienkam neúplnej všeobecnej rovnice A x + C \u003d 0, t.j. rovnosť je pravdivá:

A · 2 7 + C \u003d 0

Je možné z neho určiť C tak, že dáme A nenulovú hodnotu, napríklad A \u003d 7. V tomto prípade dostaneme: 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Poznáme oba koeficienty A aj C, dosadíme ich do rovnice A x + C \u003d 0 a získame požadovanú rovnicu priamky: 7 x - 2 \u003d 0

Odpoveď: 7 x - 2 \u003d 0

Príklad 2

Na výkrese je znázornená priamka, je potrebné zapísať jej rovnicu.

Rozhodnutie

Daný výkres nám umožňuje ľahko prevziať počiatočné údaje pre riešenie problému. Na výkrese vidíme, že daná priamka je rovnobežná s osou O x a prechádza bodom (0, 3).

Priamka, ktorá je rovnobežná s očami abscisu, určuje neúplnú všeobecnú rovnicu B y + C \u003d 0. Nájdeme hodnoty B a C. Súradnice bodu (0, 3), pretože ním prechádza daná priamka, uspokoja rovnicu priamky B y + C \u003d 0, potom platí rovnosť: B · 3 + C \u003d 0. Nastavme pre B inú hodnotu ako nulu. Predpokladajme, že B \u003d 1, v tomto prípade z rovnosti B 3 + C \u003d 0 nájdeme C: C \u003d - 3. Použijeme známe hodnoty B a C, získame požadovanú rovnicu priamky: y - 3 \u003d 0.

Odpoveď: y - 3 \u003d 0.

Všeobecná rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom roviny

Nechajte danú priamku prejsť bodom М 0 (x 0, y 0), potom jej súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici priamky, t.j. rovnosť platí: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Odčítame ľavú a pravú stranu tejto rovnice od ľavej a pravej strany všeobecnej úplnej rovnice priamky. Získame: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, táto rovnica je ekvivalentná pôvodnému všeobecnému číslu, prechádza bodom М 0 (x 0, y 0) a má normálový vektor n → \u003d (A, B).

Výsledok, ktorý sme získali, umožňuje zapísať všeobecnú rovnicu priamky so známymi súradnicami normálového vektora priamky a súradnice určitého bodu tejto priamky.

Príklad 3

Je daný bod М 0 (- 3, 4), cez ktorý prechádza priamka, a normálny vektor tejto priamky n → \u003d (1, - 2). Je potrebné zapísať rovnicu danej priamky.

Rozhodnutie

Počiatočné podmienky nám umožňujú získať potrebné údaje pre zostavenie rovnice: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Potom:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 \u003d 0

Problém sa dal vyriešiť inak. Všeobecná rovnica riadok má tvar A x + B y + C \u003d 0. Daný normálový vektor vám umožňuje získať hodnoty koeficientov A a B a potom:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ 1 x - 2 y + C \u003d 0 ⇔ x - 2 y + C \u003d 0

Teraz nájdeme hodnotu C pomocou bodu M 0 (- 3, 4) určeného podmienkou úlohy, cez ktorú prechádza priamka. Súradnice tohto bodu zodpovedajú rovnici x - 2 y + C \u003d 0, t.j. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Preto C \u003d 11. Požadovaná rovnica priamky má tvar: x - 2 y + 11 \u003d 0.

Odpoveď: x - 2 roky + 11 \u003d 0.

Príklad 4

Je uvedená priamka 2 3 x - y - 1 2 \u003d 0 a bod М 0 ležiaci na tejto priamke. Je známa iba úsečka tohto bodu, ktorá sa rovná - 3. Je potrebné určiť súradnicu daného bodu.

Rozhodnutie

Nastavme označenie súradníc bodu М 0 ako x 0 a y 0. Počiatočné údaje naznačujú, že x 0 \u003d - 3. Pretože bod patrí k danej priamke, potom jeho súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici tejto priamky. Potom bude rovnosť pravdivá:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

Určte y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2

Odpoveď: - 5 2

Prechod od všeobecnej rovnice priamky k iným typom rovníc priamky a naopak

Ako vieme, existuje niekoľko typov rovníc pre rovnakú priamku v rovine. Výber typu rovnice závisí od podmienok problému; je možné zvoliť ten, ktorý je pre jeho riešenie pohodlnejší. Tu sa hodí zručnosť premeny rovnice jedného druhu na rovnicu iného druhu.

Na úvod zvážte prechod od všeobecnej rovnice tvaru A x + B y + C \u003d 0 ku kanonickej rovnici x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y.

Ak А ≠ 0, potom prenesieme výraz B y na pravú stranu všeobecnej rovnice. Na ľavej strane umiestnite A mimo zátvorky. Vo výsledku dostaneme: A x + C A \u003d - B y.

Túto rovnosť je možné zapísať ako pomernú časť: x + C A - B \u003d y A.

Ak В 0, ponecháme iba výraz A x na ľavej strane všeobecnej rovnice, zvyšok prenesieme na pravú stranu, dostaneme: A x \u003d - B y - C. Vytiahneme - B mimo zátvoriek, potom: A x \u003d - B y + C B.

Prepíšme rovnosť ako podiel: x - B \u003d y + C B A.

Výsledné vzorce samozrejme nie je potrebné pamätať. Stačí poznať algoritmus akcií pri prechode zo všeobecnej rovnice na kanonickú.

Príklad 5

Všeobecná rovnica priamky je daná: 3 y - 4 \u003d 0. Je potrebné ho transformovať do kánonickej rovnice.

Rozhodnutie

Prepíšte pôvodnú rovnicu na 3 y - 4 \u003d 0. Ďalej postupujeme podľa algoritmu: výraz 0 x zostáva na ľavej strane; a na pravej strane vyberieme - 3 mimo zátvorky; dostaneme: 0 x \u003d - 3 r - 4 3.

Napíšme výslednú rovnosť ako podiel: x - 3 \u003d y - 4 3 0. Dostali sme teda rovnicu kánonického tvaru.

Odpoveď: x - 3 \u003d y - 4 3 0.

Pri transformácii všeobecnej rovnice priamky na parametrické sa najskôr uskutoční prechod do kanonickej formy a potom prechod z kanonickej rovnice priamky na parametrické rovnice.

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou 2 x - 5 y - 1 \u003d 0. Zapíšte si parametrické rovnice tejto priamky.

Rozhodnutie

Urobme prechod zo všeobecnej rovnice na kanonickú:

2 x - 5 rokov - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 rokov + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 rokov + 1 5 ⇔ x 5 \u003d y + 1 5 2

Teraz vezmeme obe strany výslednej kanonickej rovnice rovnej λ, potom:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Odpoveď: x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Všeobecnú rovnicu možno transformovať do rovnice priamky so sklonom y \u003d k x + b, ale iba ak B ≠ 0. Pre prechod vľavo ponecháme výraz B y, zvyšok sa prenesie doprava. Získame: B y \u003d - A x - C. Vydeľte obe strany výslednej rovnosti B, ktoré sa líši od nuly: y \u003d - A B x - C B.

Príklad 7

Všeobecná rovnica priamky je daná: 2 x + 7 y \u003d 0. Túto rovnicu musíte previesť na rovnicu sklonu.

Rozhodnutie

Vykonajme potrebné akcie podľa algoritmu:

2 x + 7 r \u003d 0 ⇔ 7 r - 2 x ⇔ r \u003d - 2 7 x

Odpoveď: y \u003d - 2 7 x.

Zo všeobecnej rovnice priamky stačí jednoducho získať rovnicu v segmentoch tvaru x a + y b \u003d 1. Na uskutočnenie takého prechodu prenesieme číslo C na pravú stranu rovnosti, obidve strany výslednej rovnosti vydelíme - С a nakoniec prenesieme koeficienty pre premenné x a y do menovateľov:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ A x + B y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y \u003d 1 ⇔ x - C A + y - C B \u003d 1

Príklad 8

Všeobecnú rovnicu priamky x - 7 y + 1 2 \u003d 0 je potrebné transformovať do rovnice priamky po segmentoch.

Rozhodnutie

Posuňte 1 2 na pravú stranu: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2.

Vydeľte obe strany rovnosti číslom -1/2: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

Odpoveď: x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1.

Všeobecne je reverzný prechod tiež ľahký: z iných typov rovníc na všeobecnú rovnicu.

Rovnicu priamky v segmentoch a rovnicu s koeficientom sklonu možno ľahko transformovať na všeobecnú jednoduchým zhromaždením všetkých výrazov na ľavej strane rovnosti:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0 y \u003d k x + b ⇔ y - k x - b \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Kanonická rovnica je transformovaná do všeobecnej nasledovne:

x - x 1 os \u003d y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) \u003d sekera (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Ak chcete prejsť z parametrického, najskôr sa vykoná prechod na kanonický a potom na všeobecný:

x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Príklad 9

Uvádzajú sa parametrické rovnice priamky x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4. Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu tejto priamky.

Rozhodnutie

Urobme prechod z parametrických rovníc na kanonické:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

Prejdime od kanonického k všeobecnému:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

Odpoveď: y - 4 \u003d 0

Príklad 10

Je uvedená rovnica priamky v segmentoch x 3 + y 1 2 \u003d 1. Je potrebné vykonať prechod na všeobecnú formu rovnice.

Rozhodnutie:

Napíšeme rovnicu podľa potreby:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

Odpoveď: 1 3 x + 2 r - 1 \u003d 0.

Vypracovanie všeobecnej rovnice priamky

Vyššie sme povedali, že všeobecnú rovnicu je možné zapísať pomocou známych súradníc normálového vektora a súradníc bodu, cez ktorý prechádza priamka. Takáto priamka je určená rovnicou A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Analyzovali sme tam aj zodpovedajúci príklad.

Teraz sa pozrime na zložitejšie príklady, v ktorých je najskôr potrebné určiť súradnice normálového vektora.

Príklad 11

Je uvedená priamka rovnobežná s priamkou 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Známy je aj bod M 0 (4, 1), ktorým prechádza daná čiara. Je potrebné zapísať rovnicu danej priamky.

Rozhodnutie

Počiatočné podmienky nám hovoria, že priamky sú rovnobežné, potom ako normálny vektor priamky, ktorej rovnicu je potrebné zapísať, vezmeme smerovací vektor priamky n → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Teraz poznáme všetky potrebné údaje na zostavenie všeobecnej rovnice priamky:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

Odpoveď: 2 x - 3 roky - 5 \u003d 0.

Príklad 12

Zadaná priamka prechádza počiatkom kolmým na priamku x - 2 3 \u003d y + 4 5. Pre danú priamku je potrebné zostaviť všeobecnú rovnicu.

Rozhodnutie

Normálový vektor danej priamky bude smerový vektor priamky x - 2 3 \u003d y + 4 5.

Potom n → \u003d (3, 5). Priamka prechádza počiatkom, t.j. cez bod O (0, 0). Zostavme všeobecnú rovnicu danej priamky:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

Odpoveď: 3 x + 5 r \u003d 0.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Ak je PDSC zavedený do roviny, potom akákoľvek rovnica prvého stupňa vzhľadom na súčasné súradnice a

, (5)

kde a súčasne nerovná sa nule, definuje priamku.

Platí aj opačné tvrdenie: v PDSC môže byť každá priamka daná rovnicou prvého stupňa tvaru (5).

Volá sa rovnica tvaru (5) všeobecná rovnica priamky .

Konkrétne prípady rovnice (5) sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.

	Hodnoty koeficientov	Rovnica priamky	Rovná poloha
			Čiara prechádza pôvodom
			Priamka rovnobežná s osou
			Priamka rovnobežná s osou
			Čiara sa zhoduje s osou
			Čiara sa zhoduje s osou

Rovnica priamky so sklonom a začiatočnou súradnicou.

Mať uhol sklonu priamky k osi
nazývaný najmenší uhol
, pomocou ktorého sa musí os vodorovnej osi otáčať proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s touto priamkou (obr. 6). Smer akejkoľvek priamky je charakterizovaný jej sklon , ktorá je definovaná ako dotyčnica sklonu
táto rovná čiara, t.j.

.

Jedinou výnimkou je priamka kolmá na os
ktorá nemá sklon.

Rovnica priamky so sklonom a križovanie osi
v bode, ktorého súradnica je (začiatočná súradnica) , sa píše ako

.

Rovnica priamky v segmentoch

Rovnicou priamky v segmentoch sa nazýva rovnica tvaru

, (6)

kde a
dĺžky segmentov odrezaných priamkou na súradnicových osiach, brané s určitými znakmi.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Zväzok priamych línií

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom
a mať sklon napísané vo forme

. (7)

Kopa rovných čiar sa nazýva množina priamok roviny prechádzajúcej jedným a bodom
stred lúča. Ak sú známe súradnice stredu lúča, potom sa rovnica (8) môže považovať za rovnicu lúča, pretože ľubovoľnú priamku lúča možno získať z rovnice (8) so zodpovedajúcou hodnotou sklonu (výnimkou je priamka, ktorá je rovnobežná s osou
jej rovnica
).

Ak sú známe všeobecné rovnice dvoch priamok patriacich k ceruzke
a (generátory lúčov), potom je možné vo formulári zapísať rovnicu ktorejkoľvek priamky z tohto lúča

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi
a
, má formu

.

Ak body
a
definujte priamku rovnobežnú s osou

alebo os

, potom sa rovnica takejto priamky napíše v uvedenom poradí v tvare

alebo
.

Relatívna poloha dvoch priamok. Uhol medzi priamymi čiarami. Podmienka paralelizmu. Podmienka kolmosti

Vzájomná poloha dvoch priamok daných všeobecnými rovnicami

a

je uvedená v nasledujúcej tabuľke.

Pod uhol medzi dvoma priamymi čiarami znamená jeden zo susedných uhlov, ktoré sa vytvorili pri ich pretínaní. Medzi priamymi čiarami je ostrý uhol
m
, je definované vzorcom

.

Upozorňujeme, že ak je aspoň jedna z týchto čiar rovnobežná s osou
, potom vzorec (11) nemá zmysel, preto použijeme všeobecné rovnice priamok

a.

vzorec (11) má formu

.

Podmienka paralelizmu:

alebo
.

Podmienka kolmosti:

alebo
.

Normálna rovnica priamky. Vzdialenosť bodu od priamky. Bisektorove rovnice

Normálna rovnica priamky má formu

kde
dĺžka kolmice (normály) klesla od začiatku k priamke,
uhol sklonu tejto kolmej na os
... Dať všeobecnú rovnicu priamky
do normálnej formy musia byť obe strany rovnosti (12) vynásobené normalizačný faktor
brané opačným znakom voľného termínu .

Vzdialenosť bodov
z rovnej nájsť podľa vzorcov

. (9)

Rovnica úsečiek uhlov medzi priamkami
a :

.

Úloha 16. Daná rovná čiara
... Vyrovnajte priamku vedenú bodom
rovnobežná s danou priamkou.

Rozhodnutie. Podmienkou rovnobežnosti čiar
... Na vyriešenie úlohy použijeme rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom
v tomto smere (8):

.

Poďme nájsť sklon tejto čiary. Za týmto účelom zo všeobecnej rovnice priamky (5) prejdeme k rovnici so sklonom (6) (vyjadríme naprieč ):

Teda
.

Priradenie 17... Nájdi bod
symetrický k bodu
, relatívne rovný
.

Rozhodnutie. Nájsť symetrický bod k bodu relatívne rovný (Obr. 7) je potrebné:

1) vynechať z bodu na priamke kolmý,

2) nájdite základňu tejto kolmice
bod ,

3) odložte segment na pokračovaní kolmice
.

Takže napíšeme rovnicu priamky prechádzajúcej bodom kolmo na túto priamku. Použijeme na to rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere (8):

.

Nahraďte súradnice bodu
:

. (11)

Sklon zistíme z podmienky kolmosti priamok:

.

Sklon danej priamky

,

teda sklon kolmej priamky

.

Dosadíme to do rovnice (11):

Ďalej nájdite bod
priesečník tejto priamky a jej kolmej priamky. Od veci patrí obidvom priamkam, potom jeho súradnice vyhovujú ich rovniciam. To znamená, že na nájdenie súradníc priesečníka je potrebné vyriešiť sústavu rovníc zloženú z rovníc týchto priamok:

Systémové riešenie
,
, t.j.
.

Bodka je stredom segmentu
, potom zo vzorcov (4):

,
,

nájdi súradnice bodu
:

Teda požadovaný bod
.

Zadanie úlohy 18Vyrovnajte priamku, ktorá prechádza bodom
a odreže trojuholník s plochou 150 štvorcových jednotiek od súradnicového uhla. (Obr. 8).

Rozhodnutie... Na vyriešenie úlohy použijeme rovnicu priamky „po segmentoch“ (7):

. (12)

Od veci
leží na požadovanej priamke, potom jej súradnice musia vyhovovať rovnici tejto priamky:

.

Plocha trojuholníka odrezaného priamkou z uhla súradníc sa vypočíta podľa vzorca:

(modul je napísaný, od r a môžu byť negatívne).

Takto sme získali systém na hľadanie parametrov a :

Tento systém sa rovná dvom systémom:

Riešenie prvého systému
,
a
,
.

Riešenie druhého systému
,
a
,
.

Nájdené hodnoty dosaďte do rovnice (12):

,
,
,
.

Zapíšeme všeobecné rovnice týchto riadkov:

,
,
,
.

Zadanie úlohy 19... Vypočítajte vzdialenosť medzi rovnobežnými čiarami
a
.

Rozhodnutie. Vzdialenosť medzi rovnobežnými priamkami sa rovná vzdialenosti ľubovoľného bodu jednej priamky k druhej priamke.

Vyberme na priamke bod
svojvoľne preto môžete nastaviť jednu súradnicu, t
potom
.

Teraz poďme zistiť vzdialenosť bodu rovno podľa vzorca (10):

.

Vzdialenosť medzi týmito rovnobežnými čiarami je teda.

Úloha 20. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom priesečníka priamok
a
(nenájdenie priesečníka) a

Rozhodnutie... 1) Napíšeme rovnicu ceruzky so známymi generátormi (9):

Potom má hľadaná priamka rovnicu

Je potrebné nájsť také hodnoty
a pri ktorej priamka lúča prechádza bodom
, tj. jeho súradnice musia vyhovovať rovnici (13):

Nahraďte nájdené
do rovnice (13) a po zjednodušení získame požadovanú priamku:

.

.

Využime podmienku rovnobežnosti čiar:
... Nájdite svahy rovných čiar a ... To máme
,
.

Teda

Nahraďte nájdenú hodnotu
do rovnice (13) a zjednodušíme, dostaneme rovnicu požadovanej priamky
.

Úlohy nezávislého riešenia.

Úloha 21. Vyrovnajte priamku cez body
a
: 1) so svahom; 2) všeobecné; 3) „v segmentoch“.

Úloha 22. Rovná priamka, ktorá prechádza bodom a formy s osou
uhol
ak 1)
,
; 2)
,
.

Úloha 23. Napíšte rovnice po stranách kosoštvorca s uhlopriečkami 10 cm a 6 cm. Veľkú uhlopriečku vezmite ako os
a menšie
na os
.

Úloha 24. Rovnostranný trojuholník
so stranou rovnajúcou sa 2 jednotkám, ktorá je umiestnená tak, ako je to znázornené na obrázku 9. zostavte rovnice jej strán.

Priradenie 25... Cez bod
nakreslite rovnú čiaru, ktorá odreže rovnaké segmenty na kladných polomeroch.

Zadanie úlohy 26... Nájdite oblasť trojuholníka, ktorá odrezáva priamku od súradnicového uhla:

1)
; 2)
.

Priradenie 27. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom a plocha odrezaná od súradnicového uhla trojuholníka rovná sa , ak

1)
,
štvorcový Jednotky; 2)
,
štvorcový Jednotky

Úloha 28.Sú uvedené vrcholy trojuholníka
... Nájdite rovnicu stredovej čiary rovnobežne so stranou
, ak

V tomto článku zvážime všeobecnú rovnicu priamky v rovine. Uveďme príklady konštrukcie všeobecnej rovnice priamky, ak sú známe dva body tejto priamky alebo ak je známy jeden bod a normálový vektor tejto priamky. Uveďme metódy transformácie rovnice na všeobecný pohľad do kanonických a parametrických zobrazení.

Nech je uvedený ľubovoľný pravouhlý obdĺžnikový súradnicový systém Oxy... Zvážte rovnicu prvého stupňa alebo lineárnu rovnicu:

Sekera + o + C.=0,

(1)

kde A, B, C - niektoré konštanty a najmenej jeden z prvkov A a B nenulová.

Ukážeme si, že lineárna rovnica v rovine definuje priamku. Dokážme nasledujúcu vetu.

Veta 1. V ľubovoľnom karteziánskom obdĺžnikovom súradnicovom systéme v rovine možno každú priamku určiť lineárnou rovnicou. Naopak, každá lineárna rovnica (1) v ľubovoľnom karteziánskom obdĺžnikovom súradnicovom systéme v rovine definuje priamku.

Dôkazy. Stačí dokázať, že riadok Ľ je určená lineárnou rovnicou pre ktorýkoľvek pravouhlý súradnicový súradnicový systém, odvtedy bude určená lineárnou rovnicou a pre akýkoľvek výber pravouhlého súradnicového súradnicového systému.

Nech je v rovine uvedená priamka Ľ... Vyberme súradnicový systém tak, aby os Vôl sa zhodoval s priamkou Ľa os Oy bol na ňu kolmý. Potom rovnica priamky Ľ bude mať nasledujúcu formu:

y \u003d 0.

(2)

Všetky body na priamke Ľ vyhovie lineárnej rovnici (2) a všetky body mimo tejto priamky nebudú vyhovovať rovnici (2). Je dokázaná prvá časť vety.

Nechajte uviesť pravouhlý súradnicový systém a nechajte lineárnu rovnicu (1), kde aspoň jeden z prvkov A a B nenulová. Nájdeme miesto bodov, ktorých súradnice vyhovujú rovnici (1). Pretože aspoň jeden z koeficientov A a B je nenulová, potom rovnica (1) má aspoň jedno riešenie M(x 0 ,r 0). (Napríklad pre A≠ 0, bod M 0 (−C / A, 0) patrí do daného lokusu bodov). Dosadením týchto súradníc do bodu (1) získame identitu

Sekera 0 +Autor: 0 +C.=0.

(3)

Odčítajme identitu (3) od (1):

A(x−x 0)+B(r−r 0)=0.

(4)

Je zrejmé, že rovnica (4) je ekvivalentná s rovnicou (1). Preto stačí dokázať, že (4) definuje nejaký riadok.

Pretože uvažujeme o karteziánskom obdĺžnikovom súradnicovom systéme, z rovnosti (4) vyplýva, že vektor s komponentami ( x - x 0 , y - y 0) je kolmá na vektor n so súradnicami ( A, B}.

Zvážte niekoľko priamok Ľprechádzajúcim bodom M 0 (x 0 , r 0) a kolmo na vektor n (Obr. 1). Nechajte bod M(x, y) patrí do priamky Ľ... Potom vektor so súradnicami x - x 0 , y - y 0 je kolmá n a rovnica (4) je splnená (skalárny súčin vektorov n a rovná sa nule). Späť, ak bod M(x, y) neleží na priamke Ľ, potom vektor so súradnicami x - x 0 , y - y 0 nie je kolmá na vektor n a rovnica (4) nie je splnená. Veta je dokázaná.

Dôkazy. Pretože priamky (5) a (6) definujú rovnakú priamku, sú normálové vektory n 1 ={A 1 ,B 1) a n 2 ={A 2 ,B 2) sú kolineárne. Pretože vektory n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, potom existuje číslo λ , čo n 2 =n 1 λ ... Preto máme: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ ... Dokážme to C. 2 =C. 1 λ ... Je zrejmé, že zhodné línie majú spoločný bod M 0 (x 0 , r 0). Vynásobenie rovnice (5) λ a odrátaním rovnice (6) dostaneme:

Pretože sú splnené prvé dve rovnosti z výrazov (7) C. 1 λ −C. 2 \u003d 0. Tých. C. 2 =C. 1 λ ... Poznámka je osvedčená.

Všimnite si, že rovnica (4) definuje rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 (x 0 , r 0) a majúci normálny vektor n={A, B). Preto, ak je známy normálový vektor priamky a bod patriaci k tejto priamke, potom možno všeobecnú rovnicu priamky zostrojiť pomocou rovnice (4).

Príklad 1. Priama čiara prechádza bodom M\u003d (4, −1) a má normálny vektor n\u003d (3, 5). Zostrojte všeobecnú rovnicu priamky.

Rozhodnutie. Máme: x 0 =4, r 0 =−1, A=3, B\u003d 5. Na zostrojenie všeobecnej rovnice priamky dosadíme tieto hodnoty do rovnice (4):

Odpoveď:

Vektor rovnobežný s priamkou Ľ a je teda kolmý na normálny vektor priamky Ľ... Zostrojíme normálny vektor priamky Ľ, berúc do úvahy, že skalárny súčin vektorov n a rovná sa nule. Môžeme si zapísať napríklad n={1,−3}.

Na zostrojenie všeobecnej rovnice priamky použijeme vzorec (4). Nahraďte v (4) súradnice bodu M 1 (môžeme tiež vziať súradnice bodu M 2) a normálny vektor n:

Nahradenie súradníc bodov M 1 a M 2 v (9) sa môžeme ubezpečiť, že riadok dané rovnicou (9) prechádza týmito bodmi.

Odpoveď:

Odčítať (10) od (1):

Dostali sme kanonickú rovnicu priamky. Vektor q={−B, A) je smerovací vektor priamky (12).

Pozri reverznú transformáciu.

Príklad 3. Priamku v rovine predstavuje nasledujúca všeobecná rovnica:

Posuňte druhý člen doprava a vydeľte obe strany rovnice číslom 2,5.

Vytvoríme obdĺžnikový súradnicový systém na rovine a zvážime všeobecnú rovnicu druhého stupňa

v ktorom
.

Je volaná množina všetkých bodov roviny, ktorých súradnice vyhovujú rovnici (8.4.1) nepoctivý (riadok) druhá objednávka.

Pre každú krivku druhého rádu existuje obdĺžnikový súradnicový systém, ktorý sa nazýva kanonický a v ktorom má rovnica tejto krivky jednu z nasledujúcich foriem:

1)
(elipsa);

2)
(imaginárna elipsa);

3)
(dvojica imaginárnych pretínajúcich sa čiar);

4)
(hyperbola);

5)
(dvojica pretínajúcich sa čiar);

6)
(parabola);

7)
(dvojica rovnobežných čiar);

8)
(dvojica imaginárnych rovnobežných čiar);

9)
(pár zhodných čiar).

Rovnice 1) –9) sa volajú kanonické rovnice kriviek druhého rádu.

Riešenie problému redukcie rovnice krivky druhého rádu na kanonickú formu zahŕňa nájdenie kanonickej rovnice krivky a kanonického súradnicového systému. Kanonikalizácia vám umožňuje vypočítať parametre krivky a určiť jej umiestnenie vzhľadom na pôvodný súradnicový systém. Prechod z pôvodného obdĺžnikového súradnicového systému
na kanonický
sa vykonáva otáčaním osí pôvodného súradnicového systému okolo bodu O TOM o nejaký uhol  a následný paralelný posun súradnicového systému.

Invarianty kriviek druhého rádu (8.4.1) sa nazývajú také funkcie koeficientov jej rovnice, ktorých hodnoty sa pri prechode z jedného pravouhlého súradnicového systému do druhého toho istého systému nemenia.

Pre krivku druhého rádu (8.4.1) je súčet koeficientov na štvorcoch súradníc

,

determinant zložený z najvyšších koeficientov

a determinant tretieho rádu

sú invarianty.

Hodnotou invariantov s, ,  je možné určiť typ a zostaviť kanonickú rovnicu krivky druhého rádu (tabuľka 8.1).

Tabuľka 8.1

Klasifikácia kriviek druhého rádu na základe invariantov

Pozrime sa bližšie na elipsu, hyperbolu a parabolu.

Elipsa (Obr. 8.1) sa nazýva lokus bodov roviny, pre ktorú je súčet vzdialeností dvoch pevných bodov
toto lietadlo, tzv ohniská elipsy, existuje konštantná hodnota (väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami). To nevylučuje zhodu zameraní elipsy. Ak sa zaostrenia zhodujú, potom je elipsa kruh.

Polovičný súčet vzdialeností od bodu elipsy po jej ohniská je označený a, polovičná vzdialenosť medzi ohniskami - od... Ak je v rovine zvolený obdĺžnikový súradnicový systém tak, aby ohniská elipsy boli umiestnené na osi O TOMx symetricky k počiatku, potom je v tomto súradnicovom systéme elipsa daná rovnicou

, (8.4.2)

zavolal rovnica kanonickej elipsykde
.

Obrázok: 8.1

Pri zadanej voľbe obdĺžnikového súradnicového systému je elipsa symetrická okolo súradnicových osí a počiatku. Osi symetrie elipsy to nazývajú nápravya stred symetrie - stred elipsy... Čísla 2 sa súčasne často nazývajú osi elipsy. a a 2 ba čísla a a b – veľký a polovičná os resp.

Priesečníky elipsy s jej osami sa nazývajú elipsové vrcholy... Vrcholy elipsy majú súradnice ( a, 0), (–a, 0), (0, b), (0, –b).

Elipsa výstrednosti zavolal na číslo

. (8.4.3)

Od 0  c < a, výstrednosť elipsy 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Je teda zrejmé, že tvar elipsy charakterizuje výstrednosť: čím bližšie  k nule, tým viac elipsa vyzerá ako kruh; s pribúdajúcim  sa elipsa predlžuje.

Poďme
- ľubovoľný bod elipsy,
a
- vzdialenosť od bodu M pred trikmi F 1 a F 2, resp. Čísla r 1 a r 2 sa volajú polomery ohniska M elipsa a sú vypočítané podľa vzorcov

Riaditelia iný ako kruh elipsa s kanonickou rovnicou (8.4.2) sú dve priamky

.

Directi elipsy je umiestnená mimo elipsy (obr. 8.1).

Pomer ohniskového polomeru bodovM elipsa do vzdialenosti  tejto elipsy (fokus a directrix sa považujú za vhodné, ak sú na rovnakej strane od stredu elipsy).

Hyperbola (Obr. 8.2) sa nazýva lokus bodov roviny, pre ktorú je modul rozdielu medzi vzdialenosťami k dvom pevným bodom a toto lietadlo, tzv ložiská hyperboly, existuje konštantná hodnota (nerovná sa nule a je menšia ako vzdialenosť medzi ohniskami).

Nech je vzdialenosť medzi ohniskami 2 oda indikovaný modul rozdielu vzdialeností je 2 a... Vyberieme obdĺžnikový súradnicový systém rovnako ako pre elipsu. V tomto súradnicovom systéme je hyperbola daná rovnicou

, (8.4.4)

zavolal kanonická rovnica hyperbolykde
.

Obrázok: 8.2

Pri tejto voľbe pravouhlého súradnicového systému sú súradnicové osi osami symetrie hyperboly a pôvod je stredom súmernosti. Osy symetrie hyperboly to nazývajú nápravya stred symetrie je centrum hyperboly... Obdĺžnik so stranami 2 a a 2 bumiestnený ako je znázornené na obr. Volá sa 8.2 hlavný obdĺžnik hyperboly... Čísla 2 a a 2 b Sú osi hyperboly a čísla a a b - ona polohriadele... Riadky, ktoré sú pokračovaním uhlopriečok hlavného obdĺžnika hyperbolové asymptoty

.

Priesečníky hyperboly s osou Vôl sa volajú vrcholy hyperboly... Vrcholy hyperboly majú súradnice ( a, 0), (–a, 0).

Výstrednosť hyperboly zavolal na číslo

. (8.4.5)

Pretože od > a, výstrednosť hyperboly \u003e 1. Prepíšme rovnosť (8.4.5) na

.

Je teda vidieť, že výstrednosť charakterizuje tvar hlavného obdĺžnika a následne tvar samotnej hyperboly: čím menšie , tým viac sa hlavný obdĺžnik tiahne a po ňom samotná hyperbola pozdĺž osi Vôl.

Poďme
- ľubovoľný bod hyperboly,
a
- vzdialenosť od bodu M pred trikmi F 1 a F 2, resp. Čísla r 1 a r 2 sa volajú polomery ohniska M hyperbola a sú vypočítané podľa vzorcov

Riaditelia hyperbola s kanonickou rovnicou (8.4.4) sú dve priamky

.

Direktívy hyperboly pretínajú hlavný obdĺžnik a prechádzajú medzi stredom a zodpovedajúcim vrcholom hyperboly (obr. 8.2).

O TOM pomer ohniskových polomerov bodovM hyperbola na diaľku od tohto bodu k zodpovedajúcemu zameraniu riaditeľka sa rovná výstrednosti tejto hyperboly (ohnisko a direktíva sa považujú za vhodné, ak sú umiestnené na rovnakej strane od stredu hyperboly).

Parabola (Obr. 8.3) sa nazýva lokus bodov roviny, pre ktorú je vzdialenosť k niektorému pevnému bodu F (zamerať parabola) tejto roviny sa rovná vzdialenosti k nejakej pevnej priamke ( parabola directrix), ktorý sa tiež nachádza v uvažovanom lietadle.

Vyberme si začiatok O TOM obdĺžnikový súradnicový systém v strede segmentu [ FD], čo je kolmica rozostrená F do directrix (predpokladá sa, že ohnisko do directrix nepatrí), a os Vôl a Oy priame ako je znázornené na obr. 8.3. Nechajte dĺžku segmentu [ FD] rovná sa p... Potom vo zvolenom súradnicovom systéme
a kanonická rovnica paraboly má formu

. (8.4.6)

Množstvo p zavolal parameter paraboly.

Parabola má os súmernosti tzv os paraboly... Priesečník paraboly s jej osou sa nazýva vrchol paraboly... Ak je parabola daná jej kanonickou rovnicou (8.4.6), potom je osou paraboly os Vôl... Je zrejmé, že vrchol paraboly je pôvod.

Príklad 1. Bodka A \u003d (2, –1) patrí do elipsy, bodu F \u003d (1, 0) je jeho zameranie, zodpovedajúce F Direktrix je daná rovnicou
... Vyrovnajte túto elipsu.

Rozhodnutie. Budeme predpokladať, že súradnicový systém je obdĺžnikový. Potom vzdialenosť z bodu A riaditeľovi
v súlade so vzťahom (8.1.8), v ktorom


, rovná sa

.

Vzdialenosť z bodu A zamerať F rovnako

,

ktorý umožňuje určiť výstrednosť elipsy

.

Poďme M = (x, r) Je ľubovoľný bod elipsy. Potom vzdialenosť
z bodu M riaditeľovi
podľa vzorca (8.1.8) sa rovná

a vzdialenosť z bodu M zamerať F rovnako

.

Pretože pre akýkoľvek bod elipsy je to pomer je konštantná hodnota rovná excentricite elipsy, teda máme

,

Príklad 2. Krivka je daná rovnicou

v obdĺžnikovom súradnicovom systéme. Nájdite kanonický súradnicový systém a kanonickú rovnicu tejto krivky. Určte typ krivky.

Rozhodnutie. Kvadratická forma
má maticu

.

Jeho charakteristický polynóm

má korene  1 \u003d 4 a  2 \u003d 9. Preto v ortonormálnej báze vlastných vektorov matice A uvažovaná kvadratická forma má kánonickú podobu

.

Prejdime k konštrukcii matice ortogonálnej transformácie premenných, ktorá redukuje uvažovanú kvadratickú formu na naznačenú kanonickú formu. Z tohto dôvodu zostrojíme základné systémy riešenia homogénnych systémov rovníc
a ortonormalizovať ich.

Kedy
tento systém má formu

Jeho všeobecné riešenie je
... Je tu jedna voľná premenná. Preto základný rozhodovací systém pozostáva z jedného vektora, napríklad z vektora
... Normalizáciou to dostaneme vektor

.

Kedy
tiež zostrojte vektor

.

Vektory a sú už ortogonálne, pretože sa týkajú rôznych vlastných čísel symetrickej matice A... Tvoria kanonický ortonormálny základ danej kvadratickej formy. Požadovaná ortogonálna matica (rotačná matica) je zostrojená zo stĺpcov ich súradníc

.

Skontrolujte správnosť nájdenia matice R podľa vzorca
kde
- matica kvadratickej formy v základe
:

Matrix R našiel správne.

Vykonajme transformáciu premenných

a zapíš rovnicu tejto krivky do nového obdĺžnikového súradnicového systému so starým stredovým a smerovým vektorom
:

kde
.

Prijala kanonická rovnica elipsy

.

Vzhľadom na to, že výsledná transformácia obdĺžnikových súradníc je určená vzorcami

,

,

kanonický súradnicový systém
má začiatok
a vodiace vektory
.

Príklad 3. Pomocou invariantnej teórie určíme typ a napíšeme kanonickú rovnicu krivky

Rozhodnutie. Pretože

,

v súlade s tabuľkou. 8.1 dospeli k záveru, že ide o hyperbolu.

Pretože s \u003d 0, charakteristický polynóm matice kvadratickej formy

Jeho korene
a
vám umožní napísať kanonickú rovnicu krivky

kde ZO sa zistí z podmienky

,

.

Hľadaná kanonická rovnica krivky

.

V úlohách tejto časti súradnicex, r sa považujú za obdĺžnikové.

8.4.1. Pre elipsy
a
nájsť:

a) poloosy;

b) triky;

c) výstrednosť;

d) directrix rovnice.

8.4.2. Vytvorte rovnice elipsy s vedomím jej zamerania
zodpovedajúce riaditeľovi x \u003d 8 a výstrednosť ... Nájdite druhé ohnisko a druhú priamku elipsy.

8.4.3. Elipsu prirovnajte k ohniskám na súradniciach (1, 0) a (0, 1) a s hlavnou osou rovnajúcou sa dvom.

8.4.4. Daná hyperbola
... Nájsť:

a) poloosy a a b;

b) triky;

c) výstrednosť;

d) rovnice asymptot;

e) directrix rovnice.

8.4.5. Daná hyperbola
... Nájsť:

a) poloosy a a b;

b) triky;

c) výstrednosť;

d) rovnice asymptot;

e) directrix rovnice.

8.4.6. Bodka
patrí do hyperboly, ktorej zameranie je
, a zodpovedajúca directrix je daná rovnicou
... Vyrovnajte túto hyperbolu.

8.4.7. Vyrovnajte parabolu, ak je dané jej zameranie
a riaditeľka
.

8.4.8. Vzhľadom na vrchol paraboly
a directrixova rovnica
... Vyrovnajte túto parabolu.

8.4.9. Vyrovnajte parabolu so zameraním na bod

a direktor je daný rovnicou
.

8.4.10. Vyrovnajte krivku druhého rádu s vedomím jej výstrednosti
, zamerať
a zodpovedajúci riaditeľ
.

8.4.11. Určte typ krivky druhého rádu, napíšte jej kanonickú rovnicu a vyhľadajte kanonický súradnicový systém:

d)
;

8.4.12.

je elipsa. Nájdite dĺžky poloosí a excentricitu tejto elipsy, súradnice stredu a ohniská, urobte rovnice pre osi a directrix.

8.4.13. Dokážte, že krivka druhého rádu daná rovnicou

je hyperbola. Nájdite dĺžky semiax a excentricitu tejto hyperboly, súradnice stredu a ohniská, vytvorte rovnice pre osi, directrix a asymptoty.

8.4.14. Dokážte, že krivka druhého rádu daná rovnicou

,

je parabola. Nájdite parameter tejto paraboly, súradnice vrcholov a zaostrenie, napíšte rovnice pre os a directrix.

8.4.15. Prineste každú z nasledujúcich rovníc do kanonického tvaru. Nakreslite zodpovedajúcu krivku druhého rádu do výkresu vzhľadom na pôvodný obdĺžnikový súradnicový systém:

8.4.16. Pomocou teórie invariantov určíme typ a napíšeme kanonickú rovnicu krivky.