Príkladom sú riadky prvého rádu. Prednáškový riadok druhého rádu. Elipsa daná kánonickou rovnicou

Prepis

Kapitola 1 DRUHÉ OBJEDNÁVACIE RIADKY V PLÁNE 1. Elipsa, hyperbola, definícia paraboly. Elipsa je množina všetkých bodov roviny, pre ktoré je súčet vzdialeností k dvom daným bodom F 1 a F konštantná hodnota a presahuje vzdialenosť medzi F 1 a. M (, x) F 1 О F x Obr. Body F 1 a F sa nazývajú ohniskové body elipsy a vzdialenosť FF 1 medzi nimi je ohnisková vzdialenosť, ktorá sa označuje c. Bod M patrí elipsy. Segmenty F1 M a F M sa nazývajú ohniskové polomery bodu M. Nech F1F \u003d c. Podľa definície a\u003e c. Uvažujme obdĺžnikový kartézsky súradnicový systém Ox, v ktorom sú ohniská F 1 a F umiestnené na osi úsečky symetricky vzhľadom k počiatku. V tomto súradnicovom systéme je elipsa opísaná kanonickou rovnicou: x + \u003d 1, a b 1

2. kde b \u003d a c Parametre a a b sa nazývajú hlavná a vedľajšia polosia elipsy. Excentricita elipsy je číslo ε rovnajúce sa pomeru polovice jej ohniskovej vzdialenosti c k polohlavnej osi, t.j. ε \u003d. Excentricita elipsy a uspokojuje nerovnosti 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Kanonická rovnica hyperboly má tvar x a \u003d b 1,. kde b \u003d c a Čísla a a b sa nazývajú reálne a imaginárne semiaxy hyperboly. Vo vnútri oblasti definovanej nerovnosťou sa nenachádza hyperbola. x a b Definícia. Asymptoty hyperboly sú priame čiary, b b dané rovnicami \u003d x, \u003d x. a a Ohniskové polomery bodu M (x,) hyperboly nájdeme pomocou vzorcov r 1 \u003d ε x a, r \u003d ε x + a. Excentricita hyperboly, ako pre elipsu, sa stanoví pomocou vzorca ε \u003d. Je ľahké overiť, či nerovnosť ε a\u003e 1 platí pre výstrednosť hyperboly. Definícia. Parabola je množina všetkých bodov roviny, pre ktoré sa vzdialenosť k danému bodu F rovná vzdialenosti od danej priamky d, ktorá neprechádza bodom F. Bod F sa nazýva ohnisko paraboly a priamka d sa nazýva directrix. Vzdialenosť od ohniska k directrixu sa nazýva parameter paraboly a označuje ju p. d M (x,) F x Obr. 4 3

4 Vyberme počiatok O karteziánskeho súradnicového systému v strede segmentu FD, ktorý je kolmý klesnutý z bodu F na priamku d. V tomto súradnicovom systéme má zameranie F súradnice F p p; 0 a direktíva d je daná rovnicou x + \u003d 0. Kanonická rovnica paraboly je: \u003d px. Parabola je symetrická okolo osi OF, ktorá sa nazýva os paraboly. Bod O priesečníka tejto osi s parabolou sa nazýva vrchol paraboly. Ohniskový polomer bodu M (x,) t.j. jeho vzdialenosť p k zaostreniu sa zistí vzorcom r \u003d x +. 10B .. Všeobecná rovnica priamky druhého radu Priamka druhého rádu je množina bodov v rovine, ktorých súradnice x a ktoré vyhovujú rovnici ax + a x + a + a x + a + a \u003d 0, 11 1 kde a11, a1, a, a10, a0, a00 niektoré reálne číslaa a, a, a sa nerovnajú nule súčasne. Táto rovnica sa nazýva všeobecná rovnica krivky druhého rádu a môže sa tiež písať vo vektorovom tvare rr rr (Ax, x) + (b, x) + a \u003d 0, kde 00 a11 a1 rr A \u003d, a1 ab \u003d (a10; a0) , x \u003d (x;). T Pretože A \u003d A, A je matica kvadratického tvaru r r r f (x) \u003d (Ax, x) \u003d a x + a x + a Elipsa, hyperbola a parabola sú príkladmi kriviek druhého rádu v rovine. Okrem týchto kriviek existujú aj ďalšie typy kriviek druhého rádu, ktoré sú spojené s x čiarami. Napríklad rovnica \u003d 0, kde a 0, b 0, a b 4

5 definuje dvojicu pretínajúcich sa čiar v rovine. Súradnicové systémy, v ktorých má rovnica krivky najjednoduchšiu formu, sa nazývajú kanonické. Pomocou zloženia transformácií: rotácia osí cez uhol α, paralelný preklad počiatku do bodu (x0; 0) a odraz okolo osi úsečky, sa rovnica krivky druhého rádu redukuje na jednu z kanonických rovníc, z ktorých hlavné boli uvedené vyššie. 11B Príklady 1. Vytvorte kanonickú rovnicu elipsy so stredom v začiatku a ohniskami umiestnenými na osi úsečky, ak je známe, že jej excentricita ε \u003d a bod N (3;) ležia na 3. elipsu. x a b Rovnica elipsy: + \u003d 1. Máme to \u003d. a b a 3 9 Z toho vypočítame, že a \u003d b. Dosadením súradníc bodu N (3;) do rovnice dostaneme + \u003d 1 a ďalej b \u003d 9 a a b 81 a \u003d \u003d 16,. V dôsledku toho je kanonická rovnica elipsy 5 x + \u003d 1. 16, 9. Napíšte kanonickú rovnicu hyperboly so stredom v počiatku a ohniskami nachádzajúcimi sa na úsečke, ak sú uvedené bod M 1 (5; 3) hyperboly a výstrednosť ε \u003d. x Kanonická rovnica hyperboly \u003d 1. Z rovnosti a b a + b \u003d máme b \u003d a 5 9. Preto \u003d 1 a a \u003d 16. Preto je kanonická rovnica elipsy \u003d a a a x 16 5

6 3. Nájdite body na parabole \u003d 10x, ktorých ohniskový polomer je 1,5. Upozorňujeme, že parabola sa nachádza v pravej polorovine. Ak M (x; leží na parabole, potom x 0. Parameter p \u003d 5. Nech (;)) M x je požadovaný bod, F focus, () directrix paraboly. Potom F, 5; 0, d: x \u003d, 5. Pretože FM \u003d ρ (M, d), potom x +, 5 \u003d 1,5, 10 Odpoveď: () 1 10; 10 x \u003d, \u003d 100, \u003d ± 10. Takže sme dostali dva body. M 10; 10 M, () 4. Na pravej vetve hyperboly danej rovnicou x \u003d 1 nájdite bod, ktorého vzdialenosť od pravého ohniska je 16 9 dvakrát menšia ako jeho vzdialenosť od ľavého ohniska. Pre pravú vetvu hyperboly sú ohniskové polomery určené vzorcami r 1 \u003d ε x a a r \u003d ε x + a. Preto dostaneme rovnicu ε x + a \u003d (ε x a). Pre danú hyperbolu a \u003d 4, 5 c \u003d \u003d 5 a ε \u003d. Preto x \u003d 9,6. Preto máme \u003d ± x 16 \u003d ± d Odpoveď: dva body M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Nájdite rovnicu priamky, pre ktorýkoľvek bod, ktorého pomer vzdialeností je do bodu F (3; 0) do vzdialenosti k priamke 1 x 8 \u003d 0 je ε \u003d. Zadajte názov linky a jej parametre. M x; požadovaný riadok platí rovnosť: Pre ľubovoľný bod () FM (x 3) + 1 \u003d \u003d. ρ (Ml,) x 8 6

7 Preto máme [(x 3) +] \u003d (x 8). Rozšírením zátvoriek a preskupením výrazov získame (x +) + \u003d 50, t.j. (x +) + \u003d Odpoveď: požadovaná priamka je elipsa so stredom v bode a polomermi a \u003d 5 a b \u003d Nájdite rovnicu hyperboly Staré súradnice súradníc O () x; 0; ;,;. C (; 0) \u003d 8 v novom systéme (x;) a nové (zt;) súvisia s rovnosťou matice 1 1 x z 1 z + t \u003d 1 1 t \u003d z t. To znamená, že rovnica x \u003d 8 z + t z t \u003d 8, zt \u003d 4. Odpoveď: zt \u003d 4. γ: 4x 4x + 8x + 4+ 3 \u003d 0 na kano- 7. Preneste krivku do jedinečnej podoby. v nových súradniciach má tvar Zvážte kvadratický tvar () q x, \u003d 4x 4x +. Matica formy q má vlastné hodnoty 5 a 0 a zodpovedajúce ortonormálne vektory a Prejdime k novému súradnicovému systému: 7

8 z 1 1 x. t \u003d 5 1 Vyjadrme staré súradnice (x;) cez nové (zt); : 1 1 z + tx 1 z \u003d 1 t \u003d, 1 zt znamená, x \u003d z + t, \u003d z + t Dosadením týchto výrazov do rovnice krivky γ dostaneme 0 \u003d 4x 4x + 8x \u003d x \u003d z + 1 t, \u003d 1 z + t ( ) () () () \u003d 5z 4 5z + 3 \u003d z 5 4 z 5 + 3 \u003d z 5 1 z 5 3. Preto je v nových súradniciach krivka γ daná rovnicou 1 3 γ: zz \u003d. Nastavením \u003d z, x \u003d t dostaneme γ: \u003d, 1 odkiaľ nájdeme kanonickú rovnicu krivky γ: \u003d 0 v kanonických súradniciach \u003d 5 x 1 1 x Všimnite si, že krivka γ je dvojica rovnobežných čiar. 1B Dodatky k hospodárskym a finančným problémom 8. Nech Anya, Boris a Dmitrij majú po 150 rubľov za nákup ovocia. Je známe, že 1 kg hrušiek stojí 15 menových jednotiek a 1 kg jabĺk stojí 10 menových jednotiek. Okrem toho každý z troch 8

9 má svoju vlastnú úžitkovú funkciu, ktorú chce pri nákupe maximalizovať. Nech sa kúpi x1 kg hrušiek a x kg jabĺk. Ide o tieto obslužné funkcie: u \u003d x + x pre Ani, 1 A 1 x u B \u003d + x pre Borisa a ud \u003d x1 x pre Dmitrija. Je potrebné nájsť plán nákupu (x1, x) pre Anyu, Borisa a Dmitrija, v ktorom poskytujú maximum zo svojej úžitkovej funkcie. x Obr. 5 Uvažovaný problém je možné vyriešiť geometricky. Na vyriešenie tohto problému by sa mal predstaviť koncept úrovňovej čiary. x x 1 Obr. 6 Hladinová čiara funkcie z \u003d f (x,) je množina všetkých bodov v rovine, v ktorej si funkcia zachováva konštantnú hodnotu rovnú h. x 9

10 V tomto prípade bude riešenie využívať aj počiatočné koncepty geometrických domén v rovine, špecifikované lineárnymi nerovnosťami (pozri pododdiel 1.4). x x 1 Obr. 7 Úrovne funkcií ua, u B a u D predstavujú priame čiary, elipsy a hyperboly pre Ani, Boris a Dmitrij. V zmysle úlohy predpokladáme, že x1 0, x 0. Na druhej strane sa rozpočtové obmedzenie píše ako nerovnosť 15x1 + 10x 150. Poslednú nerovnosť vydelíme 10, dostaneme 3x1 + x 30 alebo + 1. Je ľahké vidieť, že x1 x je doménou riešení tejto nerovnosti. spolu s podmienkami nezápornosti je trojuholník ohraničený čiarami x1 \u003d 0, x \u003d 0 a 3x1 + x \u003d

11 X * X * Obr. 8 Obr. 9 Na základe geometrických vzorov je teraz ľahké zistiť, že uamax \u003d ua (0,15) \u003d 15, ubmax \u003d ub (0,15) \u003d 5 a udmax \u003d ud (Q). Súradnice bodu Q dotyku hyperboly na úrovni strany rozpočtového trojuholníka už musia byť vypočítané analyticky. Za týmto účelom si všimnite, že bod Q spĺňa tri rovnice: xx 1 \u003d h, 3x1 + x \u003d 30, h 3 x "\u003d \u003d. X1 X * Obr

12 Eliminovaním h z rovníc získame súradnice bodu Q \u003d (x, x) \u003d (5; 7,5). 1 odpoveď: Q \u003d (x1, x) \u003d (5; 7,5). 9. Nelineárny model nákladov a výnosov firmy. Nech firma vyrobí viacúčelové zariadenie dvoch typov A a B v množstve x a výrobných jednotiek. V tomto prípade je príjem spoločnosti za daný rok vyjadrený príjmovou funkciou Rx (,) \u003d 4x + a výrobné náklady sú vyjadrené nákladovou funkciou 1 1 Cx (,) \u003d 7,5+ x + 4, na ktorú spoločnosť získa maximálny zisk. Určte plán výroby (x, ) o 3

13 Zisková funkcia sa zostavuje ako rozdiel medzi príjmovou a nákladovou funkciou: 1 1 Π (x,) \u003d R (x,) C (x,) \u003d 4x + 7,5 x. 4 Po vykonaní transformácií sa posledný výraz zredukuje na tvar 1 1 Π (x,) \u003d 9 (x 8) (1). 4 Riadky úrovne pre funkciu zisku sú (x 8) (1) \u003d h. 4 Každá úrovňová čiara 0 h 9 je elipsa so stredom v počiatku. Zo získaného výrazu je zrejmé, že maximum ziskovej funkcie je 9 a je dosiahnuté pri x \u003d 8, \u003d 1. Odpoveď: x \u003d 8, \u003d 1. 13BCvičenia a testové otázky.1. Napíš normálnu rovnicu pre kruh. Nájdite súradnice stredu a polomeru kruhu: a) x + + 8x 6 \u003d 0; b) x x \u003d 0 ... Vytvorte rovnicu kružnice prechádzajúcej bodmi M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0) .. 3. Definujte elipsu a napíšte jej kanonickú rovnicu. Napíš kanonickú rovnicu elipsy, ak je 1 jej excentricita ε \u003d, a polovičná os sa rovná Napíš rovnicu elipsy, ktorej ohniská ležia na osi súradníc symetricky okolo počiatku, s vedomím, že vzdialenosť medzi jej ohniskami je c \u003d 4 a excentricita ε \u003d Daj stanovenie výstrednosti elipsy. Nájdite výstrednosť elipsy, ak je jej hlavná os štvornásobkom vedľajšej osi. 33

14 .6. Definujte hyperbolu a napíšte jej kanonickú rovnicu. Cez bod M (0; 0,5) a pravý vrchol hyperboly je vedená priamka, ktorá je daná rovnicou \u003d 1. Nájdite súradnice druhého priesečníka priamky a hyperboly Uveďte definíciu výstrednosti hyperboly. Napíšte jej kanonickú rovnicu, ak a \u003d 1, b \u003d 5. Aká je výstrednosť tejto hyperboly? .8. Napíšte rovnice pre asymptoty hyperboly dané ich kanonickou rovnicou. Vytvorte rovnicu hyperboly, 3 ak sú jej asymptoty dané rovnicami \u003d ± x a hyperbola 5 prechádza bodom M (10; 3 3) .. 9. Definujte parabolu a zapíšte si jej kanonickú rovnicu. Vytvorte kanonickú rovnicu paraboly, ak je osou súradnice jej osou symetrie, jej vrchol leží na začiatku a dĺžka akordu paraboly kolmej na os Ox je 8 a vzdialenosť tohto akordu od vrcholu je Na parabole \u003d 1x, nájdite bod, ktorého ohniskový polomer je Návrh a dopyt po nejakom produkte je daný funkciami p \u003d 4q 1, p \u003d +. Nájdite rovnovážny bod na trhu. 1 q Generovanie grafov ... 1. Andrey, Katya a Nikolay sa chystajú kúpiť pomaranče a banány. Nakúpte x1 kg pomarančov a x kg banánov. Každá z troch má svoju vlastnú užitočnú funkciu, ktorá ukazuje, ako užitočná považuje svoju kúpu. Ide o tieto obslužné funkcie: u \u003d x + x pre Andrey, 1 4 A 4 1 u K \u003d x + x pre Katyu a un \u003d x1 x pre Nikolay. a) Nakreslite čiary úrovne úžitkovej funkcie pre hodnoty úrovne h \u003d 1, 3. b) Pre každú z nich usporiadajte v poradí nákupu preferenciu rrr r \u003d (4,1), s \u003d (3,8), t \u003d (1,1 ). 34

Modul analytickej geometrie. Analytická geometria v rovine a v priestore Prednáška 7. Abstrakt. Čiary druhého rádu v rovine: elipsa, hyperbola, parabola. Definícia, všeobecné charakteristiky.

PREDNÁŠKA N15. Krivky druhého rádu. 1.Kruh ... 1.Elipsa ... 1 3.Hyperbola .... 4.Parabola ... 4 1.Kruh Krivka druhého rádu je priamka určená rovnicou druhého stupňa vzhľadom na

8 Krivky druhého rádu 81 Kruh Súbor bodov roviny v rovnakej vzdialenosti od jedného bodu, nazývaného stred, vo vzdialenosti nazývanej polomer, nazývaný kruh Nech je stred kruhu

Prednáška 13 Téma: Krivky druhého rádu Krivky druhého rádu v rovine: elipsa, hyperbola, parabola. Odvodenie rovníc pre krivky druhého rádu na základe ich geometrických vlastností. Štúdium tvaru elipsy,

PREDNÁŠKA Čiary druhého rádu hyperboly Ako príklad nájdeme rovnice definujúce kružnicu, parabolu, elipsu a kružnicu. Kruh je množina bodov roviny v rovnakej vzdialenosti od daného bodu.

Krivky druhého rádu Kruh Elipsa Hyperbola Parabola Nechajte na rovine uviesť obdĺžnikový karteziánsky súradnicový systém. Krivka druhého rádu je množina bodov, ktorých súradnice vyhovujú

Priamka a rovina v priestore Lineárna algebra (prednáška 11) 24.11.2012 2/37 Priamka a rovina v priestore Vzdialenosť medzi dvoma bodmi M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2)

Ministerstvo školstva a vedy Ruská federácia Jaroslavľská štátna univerzita P.G. Demidova Katedra algebry a matematických logických kriviek druhého rádu, časť I Metodické pokyny

3. Hyperbola a jej vlastnosti Definícia 3 .. Hyperbola je krivka definovaná v nejakom obdĺžnikovom karteziánskom súradnicovom systéme rovnicou 0. (3.) a Rovnosť (3.) sa nazýva kanonická rovnica

Praktická lekcia 1 Téma: Hyperbola Plán 1 Definícia a kanonická rovnica hyperboly Geometrické vlastnosti hyperboly Vzájomná poloha hyperboly a priamka prechádzajúca jej stredom Asymptoty

Poznámky k prednáške 13 ELLIPSE, HYPERBAL A PARABOLA 0. Plán prednášky Prednáška Elipsa, Hyperbola a Parabola. 1. Elipsa. 1.1. Definícia elipsy; 1.2. Určenie kanonického súradnicového systému; 1.3. Odvodenie rovnice

ELLIPSE MODUL HYPERBALOVÉHO PARABOLU Praktická lekcia Téma: Definícia plánu elipsy a kanonická rovnica elipsy Geometrické vlastnosti elipsy Výstrednosť Závislosť tvaru elipsy od výstrednosti

DRUHÝ PROBLÉM 1. Priamka v lietadle. 1. Dve priame čiary sú dané vektorovými rovnicami (, rn) \u003d D a r \u003d r + a a (an,) 0. Nájdite vektor polomeru priesečníka priamok. 0 t. Je daný bod М 0 s polomerom

Krivky druhého rádu. Definícia: Čiara krivky) druhého rádu je množina (M) bodov roviny, ktorých karteziánske súradnice X, Y) vyhovujú algebraickej rovnici druhého stupňa:,

ALGEBRAICKÉ LINIE NA ROVINE .. RIADKY PRVÉHO OBJEDNÁVKY (LINEÁRNE V ROVINE ... ZÁKLADNÉ TYPY ROVIČIEK LINEÁR v rovine) Nenulový vektor n kolmý na danú priamku sa nazýva normálny

Elipsa a jej vlastnosti Definícia. Elipsa je krivka druhého rádu definovaná v nejakom obdĺžnikovom karteziánskom súradnicovom systéme rovnicou b, b 0. (.) Rovnosť (.) Sa nazýva kanonická

0,5 setgray0 0,5 setgray1 1 Prednáška 9 ELLIPSE, HYPERBAL A PARABOL 1. Kanonická rovnica elipsy Definícia 1. Elipsa je lokus bodov M v rovine, súčet vzdialeností od každej z nich

PRVKY PLÁNU CVIČENIA ANALYTICKEJ GEOMETRIE V TROJROZMERNOM PRIESTORE Napíšte vektorovú rovnicu roviny a vysvetlite význam veličín obsiahnutých v tejto rovnici. všeobecná rovnica lietadlo

Lekcia 12 Elipsa, hyperbola a parabola. Kanonické rovnice. Elipsa je lokus bodov M v rovine, pre ktorú je súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov F 1 a F 2, tzv.

LINEÁRNA ALGEBRA Prednáška Rovnice kriviek druhého rádu Definícia kruhu Kruh je lokus bodov v rovnakej vzdialenosti od jedného bodu, nazývaného stred kruhu, vo vzdialenosti r

Ural federálna univerzita, Ústav matematiky a informatiky, Katedra algebry a diskrétnej matematiky Úvodné poznámky Táto prednáška skúma krivku tretieho rádu druhého stupňa, parabolu.

Prednáška 9.30 Kapitola Analytická geometria v rovine Súradnicové systémy v rovine Obdĺžnikové a polárne súradnicové systémy Súradnicový systém v rovine je metóda, ktorá umožňuje určiť

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie, štátna univerzita v Jaroslavli, pomenovaná po P. G. Demidova Katedra algebry a matematickej logiky S. I. Yablokova Krivky druhého rádu Časť Workshop

Téma PRVKY ANALYTICKEJ GEOMETRIE NA ROVINE A V PRIESTORE Prednáška .. Čiary v rovine Pl a n. Metóda súradníc v rovine .. Úsečka v karteziánskych súradniciach .. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti

Lineárna algebra a analytická geometria Téma: Krivky druhého rádu Lektor Rozhkova S.V. 01 15. Krivky druhého rádu Krivky druhého rádu sú rozdelené na 1) degenerované a) nedegenerované degenerované

Prednáška 11 1. SEKCOVANÉ SEKCIE 1.1. Definícia. Zvážte rez pravým kruhovým kužeľom rovinou kolmou na rodovú priamku tohto kužeľa. Kedy rôzne významy uhol α na vrchole v axiálnom smere

Prednáška 9 1. SEKCOVANÉ SEKCIE 1.1. Definícia. Zvážte rez pravým kruhovým kužeľom rovinou kolmou na rodovú priamku tohto kužeľa. Pre rôzne hodnoty uhla α na vrchole v axiálnom smere

Federálna univerzita v Uralu, Ústav matematiky a informatiky, Katedra algebry a diskrétnej matematiky Úvodné poznámky V tejto prednáške sa študuje ešte jedna krivka hyperboly druhého rádu.

Praktická lekcia 14 Téma: Plán paraboly 1. Definícia a kánonická rovnica paraboly .. Geometrické vlastnosti paraboly. Relatívna poloha paraboly a priamky prechádzajúcej jej stredom. Hlavný

A N A L I T I Ch E C A Z G E O M E T R I Z krivky druhého rádu SHIMANCHUK Dmitrij Viktorovič [chránené e-mailom] Fakulta aplikovanej matematiky procesov na Petrohradskej štátnej univerzite

Matice 1 Zadané matice a nález: a) A + B; b) 2B; c) BT; d) AB T; e) B T A Riešenie a) Definíciou súčtu matíc b) Definíciou súčinu matice číslom c) Definíciou transponovanej matice

VARIANTA 1 1 Nájdite sklon k priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (18) a M (1); zapíšte rovnicu priamky do parametrického tvaru Vytvorte rovnice pre strany a stredy trojuholníka s vrcholmi A ()

Test... Dané matice A, B a D. Nájdite AB 9D, ak: 4 7 () 6 9 6 A \u003d 3 9 7, B \u003d, D \u003d 3 8 3. 3 7 7 3 7 Vynásobte matice A 3 a B 3. Výsledok bude C o veľkosti 3 3, pozostávajúce z prvkov

Kapitola 9 Krivky v lietadle. Krivky druhého rádu 9. Základné pojmy Hovorí sa, že krivka Γ v obdĺžnikovom súradnicovom systéme Oxy má rovnicu F (,) \u003d 0, ak bod M (x, y) patrí krivke v tom

Lineárna algebra a analytická geometria Téma: Krivky druhého rádu Prednášajúca Pakhomova E.G. 01 15. Krivky druhého rádu Krivky druhého rádu sú rozdelené na 1) degenerované a) nedegenerované degenerované

Federálna univerzita v Uralu, Ústav matematiky a informatiky, Katedra algebry a diskrétnej matematiky Úvodné poznámky V troch predchádzajúcich prednáškach boli študované čiary a roviny, t.j.

Kapitola 1 Krivky a povrchy druhého rádu Súradnicový systém je vo všetkých častiach okrem 1.9 obdĺžnikový. 1.1. Kompilácia rovníc pre krivky druhého rádu a ďalšie krivky 1.p) Dokážte, že množina

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Moskovský štát technická univerzita pomenované po N.E. Baumanova fakulta „Katedra základných vied“ Matematické modelovanie» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

KAPITOLA 5. ANALYTICKÁ GEOMETRIA 5 .. Rovnica priamky v rovine Rovnica tvaru F (x, y) 0 sa nazýva rovnica priamky, ak je táto rovnica uspokojená súradnicami ktoréhokoľvek bodu ležiaceho na danej rovine

Inžiniersky a technologický inštitút v Balakove - pobočka Spolkovej štátnej autonómnej vzdelávacej inštitúcie vyššie vzdelanie Národná výskumná jadrová univerzita MEPhI

Línie druhého rádu Yu. L. Kalinovskij Katedra vysokej školy matematiky „Dubna“ Plán 2 3 4 5 6 7 Línie druhého rádu: lokus bodov, ktorých karteziánske súradnice vyhovujú rovnici

44. Definícia hyperboly. Hyperbola je množina všetkých bodov v rovine, ktorej súradnice vo vhodnom súradnicovom systéme vyhovujú rovnici 2 2 y2 \u003d 1, (1) b2 kde, b\u003e 0. Táto rovnica

Lineárna algebra a analytická geometria Téma: Krivky druhého rádu (pokračovanie) Prednášajúca Pakhomova E.G. 01 г. 4. Všeobecná definícia elipsy, hyperboly a paraboly DEFINÍCIA. Čiary a m sa nazývajú direkt-

1 prednáška 1.4. Krivky a povrchy druhého rádu Abstrakt: Kanonické rovnice kriviek sú odvodené z definícií: elipsa, hyperbola a parabola. Uvádzajú sa parametrické rovnice elipsy a hyperboly.

Ministerstvo školstva a vedy Federálneho štátneho rozpočtu Ruskej federácie vzdelávacia inštitúcia vyššie odborné vzdelávanie Sibírska štátna priemyselná univerzita

Praktická práca Vypracovanie rovníc priamok a kriviek druhého rádu Účel práce: upevniť schopnosť zostaviť rovnice priamok a kriviek druhého rádu Obsah práce. Základné pojmy. Vektor B C 0

Úlohy na nácvik zmeškaných hodín Obsah Téma: Matice, akcie na nich. Výpočet determinantov .... 2 Téma: Inverzná matica. Riešenie sústavy rovníc pomocou inverzná matica... Vzorce

Analytická geometria 5 .. Priamka v rovine Rôzne spôsoby definovania priamky v rovine. Všeobecná rovnica priamky v rovine. Umiestnenie priamky vzhľadom na súradnicový systém. Geometrický význam

VARIANTA 11 1 Bod M () je základom kolmice spadnutej z bodu N (1-1) na riadok l Napíšte rovnicu priamky l; nájdite vzdialenosť od bodu N k priamke l Napíšte rovnice pre priamky

49. Valcové a kónické povrchy 1. Valcové povrchy Definícia. Nech je v priestore riadok l a nenulový vektor a. Povrch tvorený priamkami prechádzajúcimi všetkým možným

Analytická geometria Analytická geometria v rovine. Analytické geometrické riešenie geometrické problémy pomocou algebry, pre ktorú sa používa súradnicová metóda. Pod súradnicovým systémom v lietadle

Možnosť 1 Úloha 1. Zadajte geometrickú definíciu elipsy. Úloha 2. Dokážte pomocou guľôčok Dandelin, že elipsa vzniká ako kužeľovitý rez. Úloha 3. Dokážte, že množina bodov P, z ktorých

Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. ANALYTICKÁ GEOMETRIA NA PLÁNE Kazan 008 0 Kazanská štátna univerzita Katedra všeobecnej matematiky LR Sekaeva, ON Tyuleneva ANALYTICKÁ GEOMETRIA V PLÁNE

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Kazanská štátna univerzita architektúry a stavebníctva Katedra vyššej matematiky Prvky vektorovej a lineárnej algebry. Analytická geometria.

Analytická geometria v rovine Rovnica priamok je najdôležitejším pojmom v analytickej geometrii. y М (x, y) 0 x Definícia. Rovnica priamky (krivky) v kyslíkovej rovine je rovnica, ku ktorej

Príklady základných problémov lietadla Gaussova metóda Definované systémy lineárnych rovníc Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy 6

VARIANT 16

Test 3 MOŽNOSŤ 1 Vytvorte rovnicu priamky kolmo na priesečník priamok a prechádzajte nimi. Napíš rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi a vyhľadaj vzdialenosť od bodu

PRVKY ANALYTICKEJ GEOMETRIE V PLÁNE. Priamka 1. Vypočítajte obvod trojuholníka, ktorého vrcholy sú body A (6; 7), B (3; 3), C (1; 5). 2. Nájdite bod v rovnakej vzdialenosti od bodov A (7;

Analytická geometria Modul 1 Maticová algebra Vektorová algebra Text 5 (nezávislá štúdia) Abstrakt Pravouhlý pravouhlý súradnicový systém v rovine a v priestore Vzorce pre vzdialenosť

Ministerstvo školstva Ruskej federácie Rostov Štátna univerzita Fakulta mechaniky a matematiky Katedra geometrie Kazak V.V. Workshop analytickej geometrie pre prvých študentov

ANALYTICKÁ GEOETRIA VŠEOBECNÁ ROVINA ROVINY. GPR Rovina je povrch s vlastnosťou, že ak dva body priamky patria do roviny, potom všetky body priamky patria do tejto roviny

PREDNÁŠKA 5 PRVKY ANALYTICKEJ GEOMETRIE. 1 1. Rovnica povrchu a rovnice priamky v priestore. Geometrický význam rovníc V analytickej geometrii sa akýkoľvek povrch považuje za množinu

Kapitola 1 Čiary a roviny n R. 1.1. Bodové medzery Predtým sa uvažoval aritmetický priestor reťazcov. V matematike možno konečnú usporiadanú súradnicu interpretovať nielen

Testovacie zadanie v analytickej geometrii. Semester 2. Možnosť 1 1. Nájdite rovnice dotyčníc ku kružnici (x + 3) 2 + (y + 1) 2 \u003d 4, rovnobežné s priamkou 5x 12y + 1 \u003d 0. 2. Napíšte rovnicu dotyčnice

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Federálna štátna autonómna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania "Kazanská oblasť (Volga) Federálna univerzita"

Diferenciály vysokého rádu. Vyšetrovací lístok. Matice, základné pojmy a definície .. Napíš rovnicu kružnice, ak sú body A (;) a B (-; 6) konce jedného z priemerov .. Sú uvedené vrcholy

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Moskovská štátna technická univerzita pomenovaná podľa N.E. Bauman Fakulta základných vied Katedra matematického modelovania À.Í. Santnikov,

Povrchy druhého rádu. Povrch v trojrozmernom priestore je opísaný rovnicou v tvare F (x; y; z) \u003d 0 alebo z \u003d f (x; y). Priesečník dvoch plôch definuje priamku v priestore, t.j. čiara vo vesmíre

V karteziánskych súradniciach definuje rovnica prvého stupňa určitú priamku.

Čiary, ktoré sú určené rovnicou prvého stupňa v karteziánskych súradniciach, sa nazývajú priamky prvého rádu. Preto je každá priamka čiarou prvého rádu.

Všeobecná rovnica priamky (ako všeobecná rovnica prvého stupňa) je určená rovnicou v tvare:

Oh + Vábiť + ZO = 0.

Zvážte neúplné rovnice priamky.

1. ZO \u003d 0. Rovnica priamky je: Ah + Wu \u003d 0; priamka prechádza východiskom.

2. IN = 0 (A ¹ 0). Rovnica má tvar Oh + ZO \u003d 0 alebo x = akde a\u003d Čiara prechádza bodom A(a; 0), je rovnobežná s osou OU... Číslo a Oh (obr. 1).

Obrázok: jeden

Ak a \u003d 0, potom sa čiara zhoduje s osou OU. Rovnica súradnicovej osi Oy má tvar: x = 0.

3. A = 0 (IN ¹ 0). Rovnica je: Vábiť + ZO \u003d 0 alebo o = bkde b \u003d. Priamka prechádza bodom IN(0; b), je rovnobežná s osou Oh... Číslo b je hodnota segmentu, ktorý je odrezaný priamkou na osi OU (obr. 2).

Obrázok: 2

Ak b \u003d 0, potom sa rovná čiara zhoduje s osou úsečky Ox. Rovnica osi Ox na vodorovnej osi má tvar: y \u003d 0.

Rovnica priamky v úsečkách na osiach je určené rovnicou:

Kde sú čísla a a b sú hodnoty segmentov odrezaných priamkou na súradnicových osiach (obr. 3).

(x 0 ; o 0) kolmý na normálny vektor = {A; B), je určený vzorcom:

A(x – x 0) + IN(o – o 0) = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M(x 0 ; o 0) rovnobežná so smerovým vektorom = {l; m), má formu:

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi M 1 (x 1 ; o 1) a M 2 (x 2 ; o 2) je určená rovnicou:

Sklon priamky knazýva sa dotyčnica uhla sklonu priamky k osi Oh, ktorá sa počíta od kladného smeru osi k priamke proti smeru hodinových ručičiek, k \u003d tgα.

Rovnica priamky so sklonom k vyzerá ako:

y \u003d kx + b,

kde k \u003d tgα, b- veľkosť segmentu odrezaného priamkou na osi OU(obr. 4).

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M(x 0 ; o 0) týmto smerom (sklon kznámy), je určený vzorcom:

y - y 0 = k(x – X 0).

Rovnica zväzku priamok prechádzajúcich daným bodom M(x 0 ; o 0) (sklon k neznáma), je určená vzorcom:

y - y 0 = k(x – X 0).

Rovnica ceruzky s priamkami prechádzajúcimi priesečníkom priamok

A 1 x + IN 1 o + ZO 1 \u003d 0 a A 2 x + IN 2 o + ZO 2 \u003d 0, je určené vzorcom:

α( A 1 x + IN 1 o + ZO 1) + β ( A 2 x + IN 2 o + ZO 2) = 0.

Uholj počítané proti smeru hodinových ručičiek od priamky y \u003d k 1 x + b 1 až rovno y \u003d k 2 x + b 2, je určené vzorcom (obr. 5):

Pre priamky dané všeobecnými rovnicami A 1 x + IN 1 o + ZO 1 \u003d 0 a A 2 x + IN 2 o + ZO 2 \u003d 0, uhol medzi dvoma priamkami je určený vzorcom:

Podmienka rovnobežnosti pre dve priame čiary je: k 1 = k 2 alebo.

Podmienka kolmosti dvoch priamych čiar je: alebo A 1 A 2 + IN 1 IN 2 = 0.

Normálna rovnica priamky má tvar:

xcosα + rsinα - p = 0,

kde p -dĺžka kolmice klesnutej od počiatku k priamke, α je uhol sklonu kolmice na kladný smer osi Oh(obr. 6).

Dať všeobecnú rovnicu priamky Oh + Vábiť + ZO \u003d 0 do normálnej formy, musíte všetky jeho výrazy vynásobiť normalizačný faktor μ \u003d, brané s opačným znamienkom voľného termínu ZO.

Vzdialenosť od bodu M.(x 0 ; o 0) rovno Ah + Vábiť + ZO \u003d 0 je určené vzorcom:

Rovnice úsečiek uhlov medzi priamkami A 1 x + IN 1 o + ZO 1 \u003d 0 a A 2 x + IN 2 o + ZO 2 \u003d 0 majú tvar:

Príklad 4... Sú uvedené vrcholy trojuholníka ABC: A (–5; –7), IN (7; 2), ZO (–6; 8). Nájsť: 1) dĺžka strany AB; 2) bočné rovnice AB a AS a ich svahy; 3) vnútorný roh IN; 4) stredná rovnica AE; 5) rovnica a výška dĺžky CD; 6) rovnica prechodu AK; 7) rovnica priamky prechádzajúcej bodom E rovnobežne so stranou AB; 8) súradnice bodov Mumiestnené symetricky k bodu A relatívne rovný CD.

1. Vzdialenosť d medzi dvoma bodmi A(x 1 ; o 1) a IN(x 2 ; o 2) je určené vzorcom:

Nájdite dĺžku strany AB ako vzdialenosť medzi dvoma bodmi A(–7; –8) a IN(8; –3):

2. Rovnica priamky prechádzajúcej bodmi A(x 1 ; o 1) a IN(x 2 ; r 2) má formu:

Nahradenie súradníc bodov A a IN, získame bočnú rovnicu AB:

3(x+ 5) = 4(o+ 7); 3x– 4o– 13 = 0 (AB).

Nájsť svah k AB rovný ( AB) výslednú rovnicu vyriešime pre o:

4r= 3x– 13;

- rovnica priamky ( AB) so svahom,

Podobne dosadením súradníc bodov IN a ZO, získame rovnicu priamky ( slnko):

6x– 42 = –13o+ 26; 6x +13r– 68 = 0 (Pred Kr).

Vyriešme rovnicu priamky ( slnko) pomerne o: .

3. Tangenta uhla j medzi dvoma priamymi priamkami, ktorých sklon je rovnaký k 1 a k 2 je určené vzorcom:

Vnútorný roh IN tvorené priamkami ( AB) a ( slnko), a to je ostrý uhol, o ktorý musí byť priamka otočená slnko v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek), kým sa nezhoduje s priamkou ( AB). Preto vo vzorci dosadíme k 1 = , k 2 = :

Ð IN \u003d arctg \u003d arctan 1,575 "57,59 °.

4. Nájsť strednú rovnicu ( AE), najskôr určíme súradnice bodu E, ktorá je stredom boku Slnko. Za týmto účelom použijeme vzorce na rozdelenie segmentu na dve rovnaké časti:

Preto ten zmysel E má súradnice: E(0,5; 5).

Dosadením do rovnice priamku prechádzajúcu dvoma bodmi, súradnice bodov A a E, nájdeme strednú rovnicu ( AE):

24x – 11o + 43 = 0 (AE).

5. Od výšky CD kolmo na stranu AB, potom priamka ( AB) je kolmá na priamku ( CD). Ak chcete zistiť sklon výšky CD, použijeme podmienku kolmosti dvoch riadkov:

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M(x 0 ; o 0) v danom smere (sklon k známe), má formu:

y - y 0 = k (x - x 0).

Dosadením súradníc bodu do poslednej rovnice ZO(–6; 8) a dostaneme výškovú rovnicu CD:

o – 8 = (x -(–6)), 3o – 24 = – 4x– 24, 4x + 3o = 0 (CD).

Vzdialenosť od bodu M(x 0 ; o 0) rovno Sekera + o + C \u003d 0 je určené vzorcom:

Výška výška CD nájsť ako vzdialenosť od bodu ZO(–6; 8) na priamku ( AB): 3x – 4o - 13. Dosadením požadovaných hodnôt do vzorca nájdeme dĺžku CD:

6. Rovnice dvojsečiek uhlov medzi priamkami Axe + By + C \u003d 0 a
A 1 x + B 1 r + C. 1 = 0 sú určené vzorcom:

Rovnica osi úsečky AK ako jedna z rovníc bisektorov uhlov medzi priamkami ( AB) a ( AS).

Zostavme rovnicu priamky ( AS) ako rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi A (–5; –7) a ZO (–6; 8):

Transformujeme poslednú rovnicu:

15(x+ 5) = – (o+ 7); 15x + y + 82 = 0 (AC).

Dosadením koeficientov zo všeobecných rovníc priamok ( AB) a ( AS), dostaneme rovnice pre dvojsečky uhlov:

Transformujeme poslednú rovnicu:

; (3x – 4o - 13) \u003d ± 5 (15 x + y + 82);

3 x - 4 o - 13 \u003d ± (75 x +5o + 410).

Zvážte dva prípady:

1) 3 x - 4 o – 13 = 75x +5o + 410.y l AB.

Trojuholník ABC, výška CD, medián AE, dvojsečna AK, rovno l a bod M zakreslené do súradnicového systému Ooh (obr. 7).

Krivky druhého rádu na rovine sa nazývajú priamky definované rovnicami, v ktorých sú premenné súradnice x a r obsiahnuté v druhom stupni. Patria sem elipsa, hyperbola a parabola.

Celkový pohľad na rovnicu krivky druhého rádu je nasledovný:

kde A B C D E F - čísla a aspoň jeden z koeficientov A, B, C nie je nula.

Pri riešení úloh s krivkami druhého rádu sa najčastejšie uvažuje o kanonických rovniciach elipsy, hyperboly a paraboly. Je ľahké prejsť k nim zo všeobecných rovníc, tomu sa bude venovať príklad 1 problémov s elipsami.

Elipsa daná kánonickou rovnicou

Definícia elipsy. Elipsa je množina všetkých bodov v rovine, pre ktoré je súčet vzdialeností k bodom, ktoré sa nazývajú ohniská, konštantná hodnota a je väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami.

Zaostrenia sú označené ako na nasledujúcom obrázku.

Kanonická rovnica elipsy je:

kde a a b (a > b) - dĺžky semiaxov, t.j. polovica dĺžok segmentov odrezaných elipsou na súradnicových osiach.

Priamka prechádzajúca ohniskami elipsy je jej osou symetrie. Ďalšou osou symetrie elipsy je priamka prechádzajúca stredom segmentu kolmého na tento segment. Bodka O TOM priesečník týchto čiar slúži ako stred symetrie elipsy alebo jednoducho stred elipsy.

Os úsečky pretína elipsu v bodoch ( a, O TOM) a (- a, O TOM) a súradnicová os je v bodoch ( b, O TOM) a (- b, O TOM). Tieto štyri body sa nazývajú vrcholy elipsy. Segment medzi vrcholmi elipsy na osi úsečky sa nazýva hlavná os a na osi súradnice - vedľajšia os. Ich segmenty od vrchu po stred elipsy sa nazývajú semiaxy.

Ak a = b , potom má rovnica elipsy tvar. Toto je rovnica kruhu s polomerom a , a kruh je špeciálny prípad elipsy. Elipsu je možné získať z kruhu s polomerom a ak to skomprimujete do a/b krát pozdĺž osi Oy .

Príklad 1.Skontrolujte, či je čiara daná všeobecnou rovnicou , elipsa.

Rozhodnutie. Robíme transformácie všeobecnej rovnice. Aplikujeme prenos voľného výrazu na pravú stranu, rozdelenie rovnice po termíne rovnakým počtom a redukciu zlomkov:

Odpoveď. Výsledná rovnica je kanonická rovnica elipsy. Preto je táto čiara elipsa.

Príklad 2.Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak sú jej semiaxy 5, respektíve 4.

Rozhodnutie. Pozeráme sa na vzorec pre kanonickú rovnicu elipsy a náhrady: veľká poloos je a \u003d 5, menšia poloosa je b \u003d 4. Dostaneme kanonickú rovnicu elipsy:

Body a označené zelenou farbou na hlavnej osi, kde

sa volajú triky.

zavolal výstrednosť elipsa.

Postoj b/a charakterizuje „sploštenie“ elipsy. Čím je tento pomer menší, tým viac je elipsa predĺžená pozdĺž hlavnej osi. Miera predĺženia elipsy je však častejšie vyjadrená ako excentricita, ktorej vzorec je uvedený vyššie. Pre rôzne elipsy sa výstrednosť pohybuje od 0 do 1, vždy zostáva menej ako jedna.

Príklad 3.Ak je vzdialenosť medzi ohniskami 8 a hlavnou osou 10, napíšeme kanonickú rovnicu elipsy.

Rozhodnutie. Robíme jednoduché závery:

Ak je hlavná os rovná 10, potom jej polovica, to znamená poloosa a = 5 ,

Ak je vzdialenosť medzi ohniskami 8, potom počet c súradníc zaostrenia je 4.

Nahraďte a vypočítajte:

Výsledkom je kanonická rovnica elipsy:

Príklad 4.Napíš kanonickú rovnicu elipsy, ak je jej hlavná os 26 a excentricita.

Rozhodnutie. Ako vyplýva z veľkosti hlavnej osi a rovnice excentricity, veľká poloosa elipsy a \u003d 13. Z rovnice výstrednosti vyjadríme číslo cpotrebné na výpočet dĺžky vedľajšej poloosy:

.

Vypočítame štvorec dĺžky vedľajšej poloosy:

Zložíme kanonickú rovnicu elipsy:

Príklad 5.Určte ohniská elipsy dané kanonickou rovnicou.

Rozhodnutie. Nájdite číslo cdefinovanie prvých súradníc ohniskov elipsy:

.

Dostaneme ohniská elipsy:

Príklad 6.Ohniská elipsy sú umiestnené na osi Vôl symetrické o pôvode. Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak:

1) vzdialenosť medzi ohniskami 30 a hlavnou osou 34

2) vedľajšia os je 24 a jedno zo zameraní je v bode (-5; 0)

3) výstrednosť a jedno zo zameraní je v bode (6; 0)

Pokračujeme v riešení problémov na elipsu spoločne

Ak je ľubovoľný bod elipsy (na výkrese je označený zelenou farbou v pravej hornej časti elipsy) a je vzdialenosťou od tohto bodu od ohniskov, potom sú vzorce pre vzdialenosti nasledovné:

Pre každý bod patriaci k elipsy je súčet vzdialeností od ohniskov konštantná hodnota rovná 2 a.

Priame čiary definované rovnicami

sa volajú riaditelia elipsa (na výkrese - červené čiary na okrajoch).

Z dvoch vyššie uvedených rovníc vyplýva, že pre akýkoľvek bod elipsy

,

kde a sú vzdialenosti tohto bodu od smerníc a.

Príklad 7.Elipsa je daná. Vytvorte rovnicu pre jej riaditeľov.

Rozhodnutie. Pozeráme sa na rovnicu directrix a zistíme, že je potrebné nájsť excentricitu elipsy, t.j. Všetky údaje o tomto sú tu. Vypočítame:

.

Dostaneme rovnicu priamky elipsy:

Príklad 8.Napíš kanonickú rovnicu elipsy, ak je jej ohniskom bod a priame priamky sú priamky.

Zvážte čiary definované rovnicou druhého stupňa vzhľadom na súčasné súradnice

Koeficienty rovnice sú skutočné čísla, najmenej však jeden z čísla A, B alebo C sa líši od 0. také čiary sa nazývajú čiary druhého rádu (krivky). Ďalej ukážeme, že rovnica (1) definuje kružnicu Elipsa, hyperbola alebo parabola v rovine.

Kruh

Najjednoduchšia krivka druhého rádu je kruh. Pripomeňme si, že kružnica s polomerom R vystredená v bode M 0 je množina bodov M roviny vyhovujúca podmienke MM 0 \u003d R. Nech bod M 0 v systéme Oxy má súradnice x 0, y 0 a M (x, y) je ľubovoľný bod kruhu. Potom buď

-rovnica kanonického kruhu ... Ak dáme x 0 \u003d y 0 \u003d 0, dostaneme x 2 + y 2 \u003d R2

ukážeme, že rovnicu kruhu môžeme napísať vo forme všeobecnej rovnice druhého stupňa (1). Za týmto účelom zarovnáme pravú stranu rovnice kruhu a dostaneme:

Aby táto rovnica zodpovedala bodu (1), je potrebné, aby:

1) koeficient B \u003d 0,

2). Potom dostaneme: (2)

Posledná rovnica sa volá všeobecná rovnica kruhu ... Vydelením obidvoch strán rovnice A ≠ 0 a pridaním členov obsahujúcich xay do celého štvorca, dostaneme:

(2)

Pri porovnaní tejto rovnice s kanonickou rovnicou kružnice dostaneme, že rovnica (2) je skutočne rovnicou kružnice, ak:

1) A \u003d C, 2) B \u003d 0, 3) D2 + E2 -4AF\u003e 0.

Keď sú tieto podmienky splnené, stred kruhu sa nachádza v bode O a jeho polomer .

Elipsa

r

X

F 2 (c, o)

F 1 (-c, o)

Podľa definície 2\u003e 2c, to znamená\u003e c. Na odvodenie rovnice elipsy predpokladáme, že ohniská F 1 a F 2 ležia na osi Ox, a tak sa O zhodovalo so stredom segmentu F 1 F 2, potom F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0).

Nech M (x, y) je ľubovoľný bod elipsy, potom podľa definície elipsy MF 1 + MF 2 \u003d 2, čo je

Toto je rovnica elipsy. Môžete ho previesť do jednoduchšej formy nasledovne:

Srovnanie:

námestie

Pretože, potom 2 -c 2\u003e 0 dať 2 -c 2 \u003d b 2

Posledná rovnica bude mať potom tvar:

je rovnica elipsy v kanonickom tvare.

Tvar elipsy závisí od pomeru: pre b \u003d sa elipsa zmení na kruh. Rovnica má tvar. Pomer sa často používa ako charakteristika elipsy. Táto hodnota sa nazýva výstrednosť elipsy a, 0< <1 так как 0

Štúdium tvaru elipsy.

1) rovnica elipsy obsahuje x a y, iba v rovnomernej miere, preto je elipsa symetrická okolo osí Ox a Oy, ako aj okolo bodu O (0,0), ktorý sa nazýva stred elipsy.

2) nájdite priesečníky elipsy s osami súradníc. Nastavením y \u003d 0 nájdeme A 1 (, 0) a A 2 (-, 0), pri ktorých elipsa pretína Ox. Ak dáme x \u003d 0, nájdeme B 1 (0, b) a B 2 (0, -b). Body A 1, A 2, B 1, B 2 sa nazývajú vrcholy elipsy. Segmenty A 1 A 2 a B 1 B 2, ako aj ich dĺžky 2 a 2b, sa nazývajú hlavná a vedľajšia os elipsy. Čísla ab sú hlavné a malé semiaxy.

A 1 (, 0)

A2 (-, 0)

B 2 (0, b)

Následne všetky body elipsy ležia vo vnútri obdĺžnika tvoreného priamkami x \u003d ±, y \u003d ± b. (Obr. 2.)

4) V rovnici elipsy sa súčet nezáporných členov rovná jednej. Preto s pribúdajúcim jedným termínom bude klesať druhý, to znamená, ak | x | sa potom zvyšuje | y | - klesá a naopak. Zo všetkého, čo bolo povedané, vyplýva, že elipsa má tvar znázornený na obr. (oválna uzavretá krivka).

11.1. Základné pojmy

Zvážte priamky definované rovnicami druhého stupňa vzhľadom na súčasné súradnice

Koeficienty rovnice sú reálne čísla, ale aspoň jedno z čísel A, B alebo C je nenulové. Takéto čiary sa nazývajú čiary druhého rádu (krivky). Bude stanovené nižšie, že rovnica (11.1) definuje kružnicu, elipsu, hyperbolu alebo parabolu v rovine. Predtým, ako pristúpime k tomuto tvrdeniu, preštudujme si vlastnosti uvedených kriviek.

11.2. Kruh

Najjednoduchšia krivka druhého rádu je kruh. Pripomeňme, že kruh s polomerom R vystredený v bode je množina všetkých bodov Μ roviny, ktoré vyhovujú podmienke. Nech bod v obdĺžnikovom súradnicovom systéme má súradnice x 0, y 0 a - ľubovoľný bod kruhu (pozri obr. 48).

Potom z podmienky dostaneme rovnicu

(11.2)

Rovnicu (11.2) vyhovujú súradnice ktoréhokoľvek bodu danej kružnice a súradnice ľubovoľného bodu ležiaceho na kružnici nevyhovujú.

Rovnica (11.2) sa volá kanonická rovnica kruhu

Najmä nastavenie a, získame rovnicu kruhu sústredeného na počiatok .

Rovnica kruhu (11.2) po jednoduchých transformáciách bude mať tvar. Pri porovnaní tejto rovnice so všeobecnou rovnicou (11.1) krivky druhého rádu je ľahké zistiť, že sú splnené dve podmienky pre rovnicu kruhu:

1) koeficienty pri x 2 a y 2 sú si navzájom rovné;

2) neexistuje výraz obsahujúci súčin xy aktuálnych súradníc.

Zvážte inverzný problém. Daním hodnôt a do rovnice (11.1) dostaneme

Transformujme túto rovnicu:

(11.4)

Z toho teda vyplýva, že rovnica (11.3) definuje kružnicu za podmienky ... Jeho stred je v bode a polomer

.

Ak , potom má rovnica (11.3) tvar

.

Je spokojný so súradnicami jedného bodu ... V takom prípade hovoria: „kruh sa zdegeneroval do bodu“ (má nulový polomer).

Ak , potom rovnica (11.4), a teda ekvivalentná rovnica (11.3), nebude definovať žiadnu čiaru, pretože pravá strana rovnice (11.4) je záporná a ľavá strana nie je záporná (povedzme: „imaginárny kruh“).

11.3. Elipsa

Kanonická elipsa rovnica

Elipsa množina všetkých bodov roviny, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom tejto roviny, tzv. triky , existuje konštantná hodnota väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami.

Zaostrenia označujeme ako F 1 a F 2, vzdialenosť medzi nimi je 2 ca súčet vzdialeností od ľubovoľného bodu elipsy po ohniská - po 2 a(pozri obr. 49). Podľa definície 2 a > 2c, t.j. a > c.

Na odvodenie elipsovej rovnice zvolíme súradnicový systém tak, aby ohniská F 1 a F 2 ležal na osi a počiatok sa zhodoval so stredom segmentu F 1 F 2... Potom budú mať ohniská tieto súradnice: a.

Nech je ľubovoľný bod elipsy. Potom sa podľa definície elipsy, t.j.

To je v podstate rovnica elipsy.

Rovnicu (11.5) transformujeme do jednoduchšej formy nasledovne:

Ako a>odpotom. Dali sme

(11.6)

Potom má posledná rovnica tvar alebo

(11.7)

Je dokázané, že rovnica (11.7) je ekvivalentná s pôvodnou rovnicou. Volá sa rovnica kanonickej elipsy .

Elipsa je krivka druhého rádu.

Štúdium tvaru elipsy pomocou jej rovnice

Stanovme tvar elipsy pomocou jej kanonickej rovnice.

1. Rovnica (11.7) obsahuje x a y iba v párnych mocninách, preto, ak bod patrí elipsy, potom k nej patria aj body ,,. Z toho vyplýva, že elipsa je symetrická okolo osí a rovnako ako okolo bodu nazývaného stred elipsy.

2. Nájdite priesečníky elipsy s osami súradníc. Ak uvedieme, nájdeme dva body, pri ktorých os pretína elipsu (pozri obr. 50). Daním rovnice (11.7) nájdeme priesečníky elipsy s osou: a. Body A 1 , A 2 , B 1, B 2sa volajú elipsové vrcholy ... Segmenty A 1 A 2 a B 1 B 2, ako aj ich dĺžky 2 a a 2 b podľa toho pomenované veľká a malá náprava elipsa. Čísla a a b sa nazývajú príslušné veľké a malé poloosy elipsa.

3. Z rovnice (11.7) vyplýva, že každý člen na ľavej strane nepresahuje jednotu, t.j. nerovnosti a alebo a. Následne sú všetky body elipsy vo vnútri obdĺžnika tvoreného priamkami.

4. V rovnici (11.7) sa súčet nezáporných výrazov rovná jednej. V dôsledku toho s nárastom jedného termínu bude klesať druhé, to znamená, že ak sa zvyšuje, potom klesá a naopak.

Z uvedeného vyplýva, že elipsa má tvar znázornený na obr. 50 (oválna uzavretá krivka).

Získajte viac informácií o elipsy

Tvar elipsy závisí od pomeru. Keď sa elipsa zmení na kruh, získa elipsa rovnica (11.7) tvar. Pomer sa často používa ako charakteristika tvaru elipsy. Pomer polovice vzdialenosti medzi ohniskami a polovičnou osou elipsy sa nazýva excentricita elipsy a o6o sa označuje písmenom ε („epsilon“):

a 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Z toho vidno, že čím menšia je výstrednosť elipsy, tým menej je elipsa sploštená; ak dáme ε \u003d 0, potom sa elipsa zmení na kruh.

Nech M (x; y) je ľubovoľný bod elipsy s ohniskami F 1 a F 2 (pozri obr. 51). Dĺžky segmentov F 1 M \u003d r 1 a F 2 M \u003d r 2 sa nazývajú ohniskové polomery bodu Μ. Je zrejmé, že

Nasledujúce vzorce sú platné

Rovné čiary sa nazývajú

Veta 11.1. Ak je vzdialenosť od ľubovoľného bodu elipsy k nejakému ohnisku, d je vzdialenosť od toho istého bodu k priamke zodpovedajúcej tomuto ohnisku, potom pomer predstavuje konštantnú hodnotu rovnajúcu sa excentricite elipsy:

Rovnosť (11.6) z toho vyplýva. Ak však potom rovnica (11.7) definuje elipsu, ktorej hlavná os leží na osi Oy a vedľajšia os na osi Ox (pozri obr. 52). Ohniská takejto elipsy sú v bodoch a kde .

11.4. Hyperbola

Kanonická rovnica hyperboly

Hyperbola nazýva sa množina všetkých bodov roviny, modul rozdielu medzi vzdialenosťami od každého z nich k dvom daným bodom tejto roviny, tzv. triky , existuje konštantná hodnota menšia ako vzdialenosť medzi ohniskami.

Zaostrenia označujeme ako F 1 a F 2 vzdialenosť medzi nimi cez 2ca modul rozdielu medzi vzdialenosťami od každého bodu hyperboly k ohniskám 2a... A-priorstvo 2a < 2c, t.j. a < c.

Na odvodenie rovnice hyperboly zvolíme súradnicový systém tak, aby boli ohniská F 1 a F 2 ležal na osi a počiatok sa zhodoval so stredom segmentu F 1 F 2 (pozri obr. 53). Zaostrenia potom budú mať súradnice a

Nech je ľubovoľný bod hyperboly. Potom podľa definície hyperboly alebo, to je. Po zjednodušeniach, ako to bolo pri odvodení rovnice elipsy, dostaneme kanonická rovnica hyperboly

(11.9)

(11.10)

Hyperbola je línia druhého rádu.

Štúdium tvaru hyperboly pomocou jej rovnice

Stanovme formu hyperboly pomocou jej kakonickej rovnice.

1. Rovnica (11.9) obsahuje x a y iba v párnych mocninách. V dôsledku toho je hyperbola symetrická okolo osí a, rovnako ako okolo bodu, ktorý sa volá centrum hyperboly.

2. Nájdite priesečníky hyperboly s osami súradníc. Daním rovnice (11.9) nájdeme dva priesečníky hyperboly s osou: a. Vložením (11.9) dostaneme to, čo nemôže byť. V dôsledku toho hyperbola neprechádza osou Oy.

Body a sú volané vrcholy hyperbola a segment

skutočná os , úsečka - pravá semiaxis hyperbola.

Segment spájajúci body sa nazýva imaginárna os , číslo b - imaginárna poloos ... Obdĺžnik so stranami 2a a 2b zavolal hlavný obdĺžnik hyperboly .

3. Z rovnice (11.9) vyplýva, že hodnota, ktorá sa má znížiť, nie je menšia ako jedna, to znamená, že alebo. To znamená, že body hyperboly sa nachádzajú vpravo od priamky (pravá vetva hyperboly) a naľavo od priamky (ľavá vetva hyperboly).

4. Z rovnice (11.9) hyperboly vidno, že keď sa zvyšuje, potom sa tiež zvyšuje. To vyplýva zo skutočnosti, že rozdiel zostáva konštantný, rovný jednej.

Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že hyperbola má tvar znázornený na obrázku 54 (krivka pozostávajúca z dvoch neobmedzených vetiev).

Hyperbola asymptoty

Riadok L sa nazýva asymptota neobmedzená krivka K, ak má vzdialenosť d od bodu M krivky K k tejto priamke sklon k nule v neobmedzenej vzdialenosti bodu M pozdĺž krivky K od počiatku. Obrázok 55 ilustruje pojem asymptota: čiara L je asymptotom pre krivku K.

Ukážme, že hyperbola má dve asymptoty:

(11.11)

Pretože priamky (11.11) a hyperbola (11.9) sú symetrické vzhľadom na súradnicové osi, stačí zohľadniť iba tie body naznačených čiar, ktoré sa nachádzajú v prvej štvrtine.

Vezmite na priamke bod N s rovnakou úsečkou x ako bod na hyperbole (pozri obr. 56) a nájdite rozdiel ΜΝ medzi súradnicami priamky a vetvou hyperboly:

Ako vidíte, s rastúcim x sa menovateľ zlomku zvyšuje; čitateľ je konštanta. Preto dĺžka segmentu ΜΝ má tendenciu k nule. Pretože ΜΝ je väčšie ako vzdialenosť d od bodu Μ k priamke, potom má d tendenciu k nule ešte viac. Čiary sú teda asymptoty hyperboly (11,9).

Pri konštrukcii hyperboly (11.9) je vhodné najskôr skonštruovať hlavný obdĺžnik hyperboly (pozri obr. 57), nakresliť rovné čiary prechádzajúce cez opačné vrcholy tohto obdĺžnika - asymptoty hyperboly a označiť vrcholy a, hyperboly.

Rovnostranná rovnica hyperboly.

ktorých asymptoty sú súradnicové osi

Hyperbola (11.9) sa nazýva rovnostranná, ak sú jej semiaxy rovnaké (). Jej kanonická rovnica

(11.12)

Asymptoty rovnostrannej hyperboly majú rovnice, a preto sú dvojsečnicami súradnicových uhlov.

Zvážte rovnicu tejto hyperboly v novom súradnicovom systéme (pozri obr. 58), ktorú získate zo starej rotáciou osí súradníc o uhol. Vzorce používame na rotáciu súradnicových osí:

Nahraďte hodnoty x a y do rovnice (11.12):

Rovnica rovnostrannej hyperboly, pre ktorú sú osi Ox a Oy asymptoty, bude mať tvar.

Získajte viac informácií o hyperbole

Výstrednosť hyperbola (11.9) sa nazýva pomer vzdialenosti medzi ohniskami a veľkosťou skutočnej osi hyperboly, označený ε:

Pretože pre hyperbolu je výstrednosť hyperboly väčšia ako jedna :. Výstrednosť charakterizuje tvar hyperboly. Z rovnosti (11.10) skutočne vyplýva, že t.j. a .

Je preto zrejmé, že čím je hyperbola menšia excentricita, tým nižší je pomer jej semiaxov, a tým je predĺžený jej hlavný obdĺžnik.

Excentricita rovnostrannej hyperboly je. Naozaj

Ohniskové polomery a pre body pravej vetvy hyperboly majú tvar a, a pre ľavú a .

Priame čiary sa nazývajú hyperboly directrixes. Pretože pre hyperbolu ε\u003e 1 teda. To znamená, že pravá directrix je umiestnená medzi stredom a pravým vrcholom hyperboly, ľavá medzi stredom a ľavým vrcholom.

Hyperbola directrixes majú rovnakú vlastnosť ako elipsa directrixes.

Krivka definovaná rovnicou je tiež hyperbola, ktorej skutočná os 2b je umiestnená na osi Oy a imaginárna os 2 a - na osi Byvola. Na obrázku 59 je znázornený prerušovanou čiarou.

Je zrejmé, že hyperboly a majú spoločné asymptoty. Takéto hyperboly sa nazývajú konjugované.

11.5. Parabola

Kanonická rovnica paraboly

Parabola je množina všetkých bodov roviny, z ktorých každý je rovnako vzdialený od daného bodu, ktorý sa nazýva ohnisko, a od danej priamky, ktorá sa nazýva directrix. Vzdialenosť od ohniska F k priamke sa nazýva parameter paraboly a označuje sa p (p\u003e 0).

Na odvodenie rovnice paraboly zvolíme súradnicový systém Oxy tak, aby os Ox prešla ohniskom F kolmo na directrix v smere od directrix k F a počiatok súradníc O sa nachádza v strede medzi ohniskom a directrix (pozri obr. 60). Vo vybranom systéme má zameranie F súradnice a rovnica directrix má tvar, príp.

1. V rovnici (11.13) je premenná y zahrnutá v párnej sile, čo znamená, že parabola je symetrická okolo osi Ox; os Ox je osou symetrie paraboly.

2. Pretože ρ\u003e 0, z (11.13) vyplýva, že. V dôsledku toho sa parabola nachádza napravo od osi Oy.

3. Keď máme y \u003d 0. V dôsledku toho parabola prechádza počiatkom.

4. S neobmedzeným zvýšením x sa modul у tiež zvýši neobmedzene. Parabola má tvar (tvar) znázornený na obrázku 61. Bod O (0; 0) sa nazýva vrchol paraboly, segment FM \u003d r sa nazýva ohniskový polomer bodu M.

Rovnice ,, ( p\u003e 0) definujú aj paraboly, sú znázornené na obrázku 62

Je ľahké ukázať, že graf štvorcový trojuholník , kde B a C sú akékoľvek reálne čísla, predstavuje parabolu v zmysle vyššie uvedenej definície.

11.6. Všeobecná rovnica čiar druhého rádu

Rovnice kriviek druhého rádu s osami symetrie rovnobežnými s osami súradníc

Najskôr nájdeme rovnicu elipsy vycentrovanej v bode, ktorej osi súmernosti sú rovnobežné s osami súradníc Ox a Oy, respektíve poloosy sú rovnaké a a b... Do stredu elipsy O 1 umiestnime pôvod nového súradnicového systému, ktorého osi a semiaxy a a b (pozri obr. 64):

Nakoniec majú paraboly zobrazené na obrázku 65 zodpovedajúce rovnice.

Rovnica

Rovnice elipsy, hyperboly, paraboly a rovnice kruhu po transformáciách (otvorte zátvorky, posuňte všetky členy rovnice jedným smerom, prineste podobné výrazy, vložte nové označenia koeficientov) možno písať pomocou jedinej rovnice tvaru

pričom koeficienty A a C sa nerovnajú súčasne nule.

Vyvstáva otázka: určuje nejaká rovnica tvaru (11.14) jednu z kriviek (kruh, elipsa, hyperbola, parabola) druhého rádu? Odpoveď dáva nasledujúca veta.

Veta 11.2... Rovnica (11.14) vždy určuje: buď kruh (pre A \u003d C), alebo elipsu (pre A C\u003e 0), alebo hyperbola (pre A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Všeobecná rovnica druhého rádu

Zvážte teraz všeobecnú rovnicu druhého stupňa s dvoma neznámymi:

Od rovnice (11.14) sa líši prítomnosťou člena s produktom súradníc (B1 0). Je možné otáčaním súradnicových osí o uhol a transformovať túto rovnicu tak, aby v nej nebol výraz s produktom súradníc.

Použitie vzorcov rotácie osí

vyjadrte staré súradnice cez nové:

Uhol a zvolíme tak, aby zmizol koeficient pri x „· y“, teda aby rovnosť bola rovnaká

Keď sa teda osi otáčajú o uhol a, čím je splnená podmienka (11.17), rovnica (11.15) sa redukuje na rovnicu (11.14).

Záver: všeobecná rovnica druhého rádu (11.15) definuje nasledujúce krivky v rovine (okrem prípadov degenerácie a rozpadu): kruh, elipsa, hyperbola, parabola.

Poznámka: Ak A \u003d C, potom rovnica (11.17) stratí zmysel. V tomto prípade cos2α \u003d 0 (pozri (11.16)), potom 2α \u003d 90 °, t. J. \u003d 45 °. Takže keď A \u003d C, súradnicový systém by sa mal otočiť o 45 °.