Základom obdĺžnikového rovnobežnostena je kosoštvorec s uhlopriečkami. Geometrické obrazce. Rovnobežnosten. Lekcia: Obdĺžnikový rovnobežnosten

V tejto lekcii si každý bude môcť preštudovať tému „Obdĺžnikový rovnobežnosten“. Na začiatku hodiny si zopakujeme, čo sú to ľubovoľné a rovné rovnobežníčky, pripomenieme si vlastnosti ich protiľahlých tvárí a uhlopriečok rovnobežnostena. Potom zvážime, čo je obdĺžnikový rovnobežnosten, a prediskutujeme jeho hlavné vlastnosti.

Téma: Kolmosť čiar a rovín

Lekcia: Obdĺžnikový rovnobežnosten

Povrch tvorený dvoma rovnakými rovnobežníkmi ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 a štyrmi rovnobežníkmi ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 sa nazýva rovnobežnostenný(obr. 1).

Ryža. 1 rovnobežnosten

To znamená: máme dva rovnaké rovnobežníky ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 (základňa), ležia v rovnobežných rovinách tak, že bočné okraje AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sú rovnobežné. Nazýva sa teda povrch zložený z rovnobežníkov rovnobežnostenný.

Povrch rovnobežnostena je teda súčtom všetkých rovnobežníkov, ktoré rovnobežnosten tvoria.

1. Opačné strany škatule sú rovnobežné a rovnaké.

(tvary sú rovnaké, to znamená, že ich možno kombinovať prekrytím)

Napríklad:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (rovnaké rovnobežníky podľa definície),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (pretože AA 1 B 1 B a DD 1 C 1 C sú protiľahlými plochami rovnobežnostena),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (pretože AA 1 D 1 D a BB 1 C 1 C sú protiľahlými plochami rovnobežnostena).

2. Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a sú týmto bodom polovičné.

Uhlopriečky rovnobežnostena AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B sa pretínajú v jednom bode O a každá uhlopriečka je týmto bodom rozdelená na polovicu (obr. 2).

Ryža. 2 Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú a sú polovične priesečníkom.

3. Existujú tri štvornásobky rovnakých a rovnobežných rovnobežnostenných hrán: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definícia. Rovnobežnosten sa nazýva rovný, ak sú jeho bočné okraje kolmé na základne.

Postranný okraj AA 1 nech je kolmý na základňu (obr. 3). To znamená, že priamka AA 1 je kolmá na priame čiary AD a AB, ktoré ležia v rovine základne. To znamená, že v bočných plochách ležia obdĺžniky. A na základniach sú ľubovoľné rovnobežníky. Označte ∠BAD = φ, uhol φ môže byť ľubovoľný.

Ryža. 3 Rovný rovnobežnosten

Rovný rovnobežnosten je teda rovnobežnosten, v ktorom sú bočné okraje kolmé na základne rovnobežnostena.

Definícia. Rovnobežnosten sa nazýva obdĺžnikový, ak sú jeho bočné rebrá kolmé na základňu. Základne sú obdĺžniky.

Rovnobežnosten ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - obdĺžnikový (obr. 4), ak:

1. AA 1 ⊥ ABCD (bočný okraj kolmý na rovinu základne, to znamená rovný rovnobežnosten).

2. ∠ZLÉ = 90 °, to znamená, že v základni je obdĺžnik.

Ryža. 4 Obdĺžnikový rovnobežnosten

Obdĺžnikový rovnobežnosten má všetky vlastnosti ľubovoľného rovnobežnostena. Existujú však aj ďalšie vlastnosti, ktoré sú odvodené z definície obdĺžnikového rovnobežnostenu.

Takže, obdĺžnikový rovnobežnosten je rovnobežnostenný s bočnými okrajmi kolmými na základňu. Základňa obdĺžnikového rovnobežnostena je obdĺžnik.

1. V obdĺžnikovom rovnobežnostene je všetkých šesť plôch obdĺžnikov.

ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 - obdĺžniky podľa definície.

2. Bočné rebrá sú kolmé na základňu... To znamená, že všetky bočné strany obdĺžnikového rovnobežnostenu sú obdĺžniky.

3. Všetky dihedrálne rohy obdĺžnikového rovnobežnostena sú rovné.

Zoberme si napríklad dihedrálny uhol obdĺžnikového rovnobežnostena s hranou AB, to znamená dihedrálny uhol medzi rovinami ABB 1 a ABC.

AB je hrana, bod A 1 leží v jednej rovine - v rovine ABB 1 a bod D v druhej - v rovine A 1 B 1 C 1 D 1. Potom uvažovaný dihedrálny uhol možno tiež označiť nasledovne: ∠A 1 ABD.

Vezmite bod A na hrane AB. AA 1 - kolmá na hranu AB v rovine ABB -1, AD kolmá na hranu AB v rovine ABC. ∠А 1 АD je teda lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. 1А 1 АD = 90 °, čo znamená, že dihedrálny uhol na okraji AB je 90 °.

∠ (ABB 1, ABC) = ∠ (AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90 °.

Podobným spôsobom sa dokazuje, že všetky dihedrálne uhly obdĺžnikového rovnobežnostena sú rovné.

Štvorec uhlopriečky obdĺžnikového rovnobežnostenu sa rovná súčtu štvorcov jeho troch rozmerov.

Poznámka. Dĺžky troch hrán vychádzajúcich z jedného vrcholu obdĺžnika sú rozmery obdĺžnikového rovnobežnostena. Niekedy sa im hovorí aj dĺžka, šírka, výška.

Dané: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - obdĺžnikový rovnobežnosten (obr. 5).

Dokážte:.

Ryža. 5 Obdĺžnikový rovnobežnosten

Dôkaz:

Priamka CC 1 je kolmá na rovinu ABC, a teda na priamku AC. To znamená, že trojuholník CC 1 A je obdĺžnikový. Podľa Pythagorovej vety:

Zvážte správny trojuholník ABC. Podľa Pythagorovej vety:

Ale BC a AD sú protiľahlé strany obdĺžnika. Preto BC = AD. Potom:

Pretože , a potom. Pretože CC 1 = AA 1, potom to, čo bolo potrebné dokázať.

Uhlopriečky obdĺžnikového rovnobežnostena sú rovnaké.

Označme merania rovnobežnostenného ABC ako a, b, c (pozri obr. 6), potom AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Rovnobežnosten je štvoruholníkový hranol, na ktorého základoch sú rovnobežníky. Výška rovnobežnostena je vzdialenosť medzi rovinami jeho základní. Na obrázku je výška znázornená čiarou ... Existujú dva typy rovnobežnostenov: rovné a šikmé. Lektor matematiky spravidla najskôr poskytne vhodné definície hranola a potom ich prenesie na rovnobežnosten. Urobíme to isté.

Pripomeniem, že hranol sa nazýva rovný, ak sú jeho bočné hrany kolmé na základne, ak kolmosť neexistuje, hranol sa nazýva naklonený. Túto terminológiu dedí aj rovnobežnosten. Rovný rovnobežnosten nie je nič iné ako druh rovného hranola, ktorého bočný okraj sa zhoduje s výškou. Zachovávajú sa definície pojmov ako tvár, hrana a vrchol, ktoré sú spoločné pre celú rodinu mnohostien. Objavuje sa koncept opačných strán. Rovnobežnosten má 3 páry protiľahlých plôch, 8 vrcholov a 12 hrán.

Uhlopriečka rovnobežnostena (uhlopriečka hranolu) je segment, ktorý spája dva vrcholy mnohostena a neleží v žiadnej z jeho tvárí.

Diagonálny rez - úsek rovnobežnostena prechádzajúceho jeho uhlopriečkou a uhlopriečkou jeho základne.

Vlastnosti šikmého boxu:
1) Všetky jeho tváre sú rovnobežníky a protiľahlé tváre sú rovnaké rovnobežníky.
2)Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a sú v tomto bode polovičné.
3)Každý rovnobežnosten pozostáva zo šiestich trojuholníkových pyramíd rovnakého objemu. Aby ich učiteľ ukázal študentovi, musí odrezať polovicu jeho diagonálnej časti od rovnobežníka a rozdeliť ho oddelene na 3 pyramídy. Ich základne musia ležať na rôznych stranách pôvodného rovnobežnostenu. Matematický tútor nájde aplikáciu tejto vlastnosti v analytickej geometrii. Používa sa na výstup objemu pyramídy prostredníctvom zmiešaného produktu vektorov.

Objemové vzorce pre rovnobežnosten:
1), kde je plocha základne, h je výška.
2) Objem rovnobežnostena sa rovná súčinu plochy prierez na bočnom okraji.
Učiteľ matematiky: Ako iste viete, vzorec je spoločný pre všetky hranoly, a ak to už tútor dokázal, nemá zmysel pre rovnobežnosten opakovať to isté. Pri práci so žiakom na strednej úrovni (slabý vzorec nie je užitočný) je však vhodné, aby učiteľ konal presne naopak. Hranol nechajte na pokoji a vykonajte úhľadný dôkaz pre rovnobežnosten.
3), kde je objem jednej zo šiestich trojuholníkových pyramíd, z ktorých sa skladá rovnobežnosten.
4) Ak, tak

Plocha bočného povrchu rovnobežnostena je súčtom oblastí všetkých jeho tvárí:
Celý povrch rovnobežnostena je súčtom plôch všetkých jeho tvárí, to znamená plochy + dvoch oblastí základne:.

O práci tútora so šikmým rovnobežnostorom:
Učiteľ matematiky sa často nezaoberá problémami na šikmom rovnobežnostene. Pravdepodobnosť ich účasti na zjednotenej štátnej skúške je pomerne malá a didaktika je obscénne slabá. Viac -menej slušný problém s objemom šikmého rovnobežnostena spôsobuje vážne problémy spojené s určením polohy bodu H - základne jeho výšky. V takom prípade môže byť učiteľovi matematiky odporučené, aby rovnobežnosten vyrezal na jednu zo šiestich pyramíd (ktoré sú uvedené vo vlastníctve číslo 3), skúste nájsť jeho objem a vynásobte ho 6.

Ak má bočný okraj rovnobežnostena rovnaké uhly so stranami základne, potom H leží na osi uhla A základne ABCD. A ak je napríklad ABCD kosoštvorec, potom

Úlohy matematického lektora:
1) Okraje rovnobežnostena sú rovnaké rebrá so stranou 2 cm a ostrým uhlom. Nájdite objem rovnobežnostena.
2) V šikmom rovnobežnostene je bočný okraj 5 cm. Kolmý rez je štvoruholník so navzájom kolmými uhlopriečkami s dĺžkami 6 cm a 8 cm. Vypočítajte objem rovnobežnostenu.
3) V šikmom rovnobežnostene je známe, že v ABCD je kosoštvorec so stranou 2 cm a uhlom. Určte objem škatule.

Lektor matematiky, Alexander Kolpakov

alebo (ekvivalentne) mnohosten so šiestimi rovnobežníkovými plochami. Šesťuholník.

Rovnobežníky, ktoré tvoria rovnobežnosten, sú fazety tohto rovnobežnostena sú strany týchto rovnobežníkov hrany rovnobežnostena a vrcholy rovnobežníkov sú vrcholy rovnobežnostenný... Pre rovnobežnosten je každá tvár rovnobežník.

Spravidla sa rozlišujú a volajú akékoľvek 2 protiľahlé tváre základy rovnobežnostena, a zostávajúce tváre sú bočné plochy rovnobežnostena... Okraje škatule, ktoré nepatria k podstavcom, sú bočné rebrá.

2 tváre škatule, ktoré majú spoločný okraj, sú príbuzný, a tie, ktoré nemajú spoločné hrany - opak.

Segment, ktorý spája 2 vrcholy, ktoré nepatria do 1. tváre, je uhlopriečkou rovnobežnostena.

Dĺžky okrajov obdĺžnikového rovnobežnostena, ktoré nie sú rovnobežné, sú lineárne rozmery (merania) rovnobežnostena. Obdĺžnikový rovnobežnosten má 3 lineárne rozmery.

Druhy rovnobežnostenných.

Existuje niekoľko typov rovnobežníkov:

Priamy je rovnobežnostenný s okrajom kolmým na rovinu základne.

Obdĺžnikový rovnobežnosten, v ktorom majú všetky 3 rozmery rovnakú veľkosť, je kocka... Každá z tvárí kocky je rovnaká štvorce.

Ľubovoľný rovnobežnosten. Objem a pomery v šikmom rovnobežnostene sa určujú hlavne pomocou vektorovej algebry. Objem rovnobežnostena rovná sa absolútna hodnota zmiešaný súčin 3 vektorov, ktoré sú určené 3 stranami rovnobežnostena (ktoré pochádzajú z jedného vrcholu). Pomer medzi dĺžkami strán rovnobežnostenu a uhlami medzi nimi ukazuje, že gramový determinant týchto troch vektorov sa rovná štvorcu ich zmiešaná práca.

Vlastnosti boxu.

• Rovnobežnosten je symetrický asi v strede svojej uhlopriečky.
• Každý segment s koncami, ktoré patria k povrchu rovnobežnostene a ktorý prechádza stredom jeho uhlopriečky, je ním rozdelený na dve rovnaké časti. Všetky uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v 1. bode a sú ním rozdelené na dve rovnaké časti.
• Opačné strany škatule sú rovnobežné a majú rovnakú veľkosť.
• Štvorec dĺžky uhlopriečky obdĺžnikového rovnobežnostena je