Povrch tela rotácie. Nájdenie objemu tela podľa prierezových plôch. Revolučná plocha

Nech je telo dané vo vesmíre. Nech sú jej úseky konštruované rovinami kolmými na os prechádzajúcou bodmi x
na to. Plocha postavy vytvorenej v reze závisí od bodu xdefinovanie roviny rezu. Nech je táto závislosť známa a nepretržitá funkcia. Potom objem časti tela umiestnenej medzi rovinami x \u003d a a x \u003d v vypočítané podľa vzorca

Príklad. Nájdeme objem ohraničeného telesa uzavretého medzi povrchom valca s polomerom: vodorovná rovina a naklonená rovina z \u003d 2y a ležiaca nad vodorovnou rovinou.

Je zrejmé, že uvažované telo sa premieta na os do segmentu
a pre x
prierez tela je správny trojuholník s ramenami y a z \u003d 2y, kde y je možné vyjadriť ako x z rovnice valca:

Preto je plocha prierezu S (x) nasledovná:

Pomocou vzorca nájdeme objem tela:

Výpočet objemov rotačných telies

Nechajte na segmente [ a, b] funkcia nepretržitého znamienka r= f(x). Objemy rotačného telesa tvorené rotáciou okolo osi Oh (alebo os OU) zakriveného lichobežníka ohraničeného krivkou r= f(x) (f(x)0) a rovno y \u003d 0, x \u003d a, x \u003db, sa vypočítajú podľa vzorcov:

, (19)

(20)

Ak sa telo formuje pri rotácii okolo osi OU zakrivený lichobežník ohraničený krivkou
a priame x=0, r= c, r= d, potom je objem tela revolúcie

. (21)

Príklad. Vypočítajte objem tuhej látky získanej rotáciou tvaru ohraničeného čiarami okolo osi Oh.

Podľa vzorca (19) požadovaný objem

Príklad. Nech je čiara y \u003d cosx na segmente považovaná v rovine xOy .

E táto priamka sa otáča v priestore okolo osi a výsledná rotačná plocha ohraničuje niektoré rotačné teleso (pozri obr.). Poďme nájsť objem tohto tela revolúcie.

Podľa vzorca dostaneme:

Revolučná plocha

,
, rotuje okolo osi Ox, potom sa plocha vzorca rotácie počíta podľa vzorca
kde a a b - úsečky začiatku a konca oblúka.

Ak je oblúk krivky daný nezápornou funkciou
,
, rotuje okolo osi Oy, potom sa podľa vzorca vypočíta povrchová plocha rotácie

,

kde c a d sú úsečky začiatku a konca oblúka.

Ak je zadaný oblúk krivky parametrické rovnice
,
a
potom

Ak je oblúk uvedený v polárne súradnice
potom

.

Príklad. Vypočítajme plochu povrchu tvorenú rotáciou v priestore okolo osi časti priamky y \u003d umiestnené nad úsečkou.

Ako
, potom nám vzorec dá integrál

Zmenu t \u003d x + (1/2) urobíme v poslednom integrále a dostaneme:

V prvom z integrálov na pravej strane urobíme zmenu z \u003d t 2 -:

Ak chcete vypočítať druhý z integrálov na pravej strane, označíme ho a integrujeme ho po častiach a získame rovnicu pre:

Pohybom doľava a vydelením 2 dostaneme

odkiaľ konečne

Aplikácie určitého integrálu na riešenie niektorých problémov z mechaniky a fyziky

Premenlivá silová práca. Zvážte pohyb hmotného bodu pozdĺž osi VÔLpremenná sila fv závislosti od polohy bodu X na osi, t.j. sila ako funkcia x... Potom pracujte Apotrebné na presunutie hmotného bodu z polohy x = a v polohe x = b vypočítané podľa vzorca:

Kalkulovať tlakové sily kvapaliny použite Pascalov zákon, podľa ktorého sa tlak kvapaliny na mieste rovná jeho ploche Svynásobený hĺbkou ponorenia h, na hustote ρ a gravitačné zrýchlenie g, t.j.

.

1. Momenty a ťažiská rovinných kriviek... Ak je oblúk krivky daný rovnicou y \u003d f (x), a≤x≤b a má hustotu
potom statické momenty tohto oblúka M x a M y vzhľadom na súradnicové osi Ox a Oy sú

;

momenty zotrvačnosti I X a I y vzhľadom na rovnaké osi Ox a Oy sa vypočítajú podľa vzorcov

a stred hmotných súradníc a - podľa vzorcov

kde l je hmotnosť oblúka, t.j.

Príklad 1... Nájdite statické momenty a momenty zotrvačnosti okolo osí Ox a Oy oblúka trolejového vedenia y \u003d chx pri 0≤x≤1.

Ak nie je stanovená hustota, predpokladá sa, že krivka je rovnomerná a
... Máme:

Príklad 2. Nájdite súradnice ťažiska kruhového oblúka x \u003d acost, y \u003d asint, ktorý sa nachádza v prvej štvrtine. Máme:

Odtiaľto dostaneme:

V aplikáciách je často užitočné toto. Veta Gulden... Plocha povrchu tvorená rotáciou oblúka rovinnej krivky okolo osi ležiacej v rovine oblúka a nepretínajúcej ju sa rovná súčinu dĺžky oblúka a dĺžky kruhu opísaného jeho ťažiskom.

Príklad 3. Nájdite súradnice ťažiska polkruhu

Kvôli symetrii
... Keď sa polkruh otáča okolo osi Ox, získa sa guľa, ktorej povrch je rovnaký a dĺžka polkruhu sa rovná n. Podľa Guldenovej vety máme 4

Odtiaľ
, t.j. stred hmoty C má súradnice C
.

2. Fyzické úlohy. Niektoré aplikácie určitého integrálu pri riešení fyzikálnych problémov sú ilustrované nižšie v príkladoch.

Príklad 4. Rýchlosť priamy pohyb telo je vyjadrené vzorcom (m / s). Nájdite cestu, ktorú prešlo telo za 5 sekúnd od začiatku pohybu.

Ako cesta tela s rýchlosťou v (t) za časové obdobie, je vyjadrená integrálom

potom máme:

P
príklad. Nájdite oblasť ohraničenej oblasti ležiacej medzi osou a priamkou y \u003d x 3 -x. Pretože

čiara pretína os v troch bodoch: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 1.

Ohraničená oblasť medzi čiarou a osou sa premieta na úsečku
,a na segmente
,čiara y \u003d x 3 -x ide nad os (tj. čiara y \u003d 0 a ďalej - nižšie. Preto možno plochu vypočítať takto:

P
príklad. Nájdeme oblasť oblasti uzavretej medzi prvým a druhým obratom Archimedovej špirály r \u003d a (a\u003e 0) a segment vodorovnej osi
.

Prvé otočenie špirály zodpovedá zmene uhla v rozmedzí od 0 do a druhé - od do. Citovať zmenu argumentu do jedného intervalu napíšeme rovnicu druhého otočenia špirály vo forme
,

... Potom oblasť môžeme nájsť podľa vzorca, uvedenie
a
:

P príklad. Nájdeme objem tela ohraničený rotačnou plochou priamky y \u003d 4x-x 2 okolo osi (pre
).

Na výpočet objemu rotačného telesa použite vzorec

P príklad. Vypočítame dĺžku oblúka priamky y \u003d lncosx umiestnenej medzi priamkami a
.

(root sme vzali ako hodnotu, nie -cosx, pretože cosx\u003e 0 pre
, je dĺžka oblúka

Odpoveď:
.

Príklad. Vypočítajme plochu Q rotačnej plochy získanú otáčaním oblúka cykloidu x \u003d t-sint; y \u003d 1-cena, pre

, okolo osi.

D ak chcete vypočítať, použite vzorec:

Máme:

, aby tak

Ak chcete prejsť pod integrálne znamienko do premennej, všimnite si, že pre

dostaneme

a

Navyše si predbežne vypočítajme

(aby
) a

Dostaneme:

Pri zámene sa dostávame k integrálu

5. Nájdenie povrchu rotačných telies

Nech je krivka AB grafom funkcie y \u003d f (x) ≥ 0, kde x [a; b], a funkcia y \u003d f (x) a jej derivácia y "\u003d f" (x) sú na tomto segmente spojité.

Nájdite plochu S povrchu, tvorený rotáciou krivka AB okolo osi Ox (obrázok 8).

Použime schému II (diferenciálna metóda).

Prostredníctvom ľubovoľného bodu x [a; b] nakreslite rovinu P, kolmú na os Ox. Rovina P pretína rotačnú plochu v kruhu s polomerom y - f (x). Hodnota S povrchu časti rotačnej figúry ležiacej vľavo od roviny je funkciou x, t.j. s \u003d s (x) (s (a) \u003d 0 a s (b) \u003d S).

Dajme argumentu x prírastok Δx \u003d dx. Cez bod x + dx [a; b] nakreslite tiež rovinu kolmú na os Ox. Funkcia s \u003d s (x) získa prírastok Δs, ktorý je na obrázku znázornený ako „pás“.

Nájdeme plošný diferenciál ds, ktorý nahradí útvar tvorený medzi úsekmi zrezaným kužeľom, ktorého generatrix je rovný dl a polomery báz sú rovné y a y + dу. Plocha jeho bočného povrchu je: \u003d 2ydl + dydl.

Ak vyradíme produkt dу d1 ako nekonečne vyšší rád ako ds, dostaneme ds \u003d 2уdl alebo, keďže d1 \u003d dx.

Integráciou výslednej rovnosti v rozsahu od x \u003d a do x \u003d b získame

Ak je krivka AB daná parametrickými rovnicami x \u003d x (t), y \u003d y (t), t≤ t ≤ t, potom má vzorec pre plochu rotačnej plochy tvar

S \u003d 2 dt.

Príklad: Nájdite povrch guľôčky s polomerom R.

S \u003d 2 =

6. Nájdenie práce s premenlivou silou

Premenlivá silová práca

Nechajte hmotný bod M pohybovať sa pozdĺž osi Ox pôsobením premennej sily F \u003d F (x) namierenej rovnobežne s touto osou. Práca vykonaná silou pri posune bodu M z polohy x \u003d a do polohy x \u003d b (a

Aké práce je potrebné urobiť, aby sa pružina natiahla o 0,05 m, ak sila 100 N natiahne pružinu o 0,01 m?

Podľa Hookovho zákona je pružná sila napínajúca pružinu úmerná tomuto predĺženiu x, t.j. F \u003d kх, kde k je koeficient proporcionality. Podľa stavu úlohy sila F \u003d 100 N napne pružinu o x \u003d 0,01 m; teda 100 \u003d k 0,01, odkiaľ k \u003d 10 000; preto F \u003d 10 000x.

Hľadaná práca podľa vzorca

A \u003d

Nájdite prácu, ktorú je potrebné vynaložiť, aby ste mohli odčerpať kvapalinu z vertikálnej valcovitej nádrže s výškou H m a polomerom základne R m cez okraj (obrázok 13).

Práce vynaložené na zdvihnutie tela s hmotnosťou p do výšky h sa rovnajú p H. Ale rôzne vrstvy kvapaliny v zásobníku sú v rôznych hĺbkach a výška stúpania (k okraju nádrže) rôznych vrstiev nie je rovnaká.

Na vyriešenie problému použijeme schému II (diferenciálna metóda). Poďme zaviesť súradnicový systém.

1) Práce vynaložené na odčerpanie vrstvy kvapaliny s hrúbkou x (0 ≤ x ≤ H) zo zásobníka sú funkciou x, t.j. A \u003d A (x), kde (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Nájdite hlavnú časť prírastku ΔA, keď sa x zmení o hodnotu Δx \u003d dx, t.j. nájdeme rozdiel dA funkcie A (x).

Vzhľadom na malú veľkosť dx predpokladáme, že „elementárna“ vrstva kvapaliny je v rovnakej hĺbke x (od okraja nádrže). Potom dА \u003d dрх, kde dр je hmotnosť tejto vrstvy; rovná sa g АV, kde g je gravitačné zrýchlenie, je hustota kvapaliny, dv je objem „elementárnej“ vrstvy kvapaliny (na obrázku je to zvýraznené), t.j. dр \u003d g. Objem tejto kvapalnej vrstvy je samozrejme rovný, kde dx je výška valca (vrstvy), je plocha jeho základne, t.j. dv \u003d.

Teda dр \u003d. a

3) Integráciu získanej rovnosti v rozsahu od x \u003d 0 do x \u003d H nájdeme

A

8. Výpočet integrálov pomocou balíka MathCAD

Pri riešení niektorých aplikovaných problémov sa vyžaduje použitie operácie symbolickej integrácie. Program MathCad môže byť zároveň užitočný tak v počiatočnej fáze (je dobré poznať odpoveď vopred, alebo vedieť, že existuje), ako aj v záverečnej fáze (je dobré skontrolovať dosiahnutý výsledok pomocou odpovede z iného zdroja alebo riešenia inej osoby).

Pri riešení veľkého množstva problémov si môžete všimnúť niektoré funkcie riešenia problémov pomocou programu MathCad. Pokúsme sa na niekoľkých príkladoch pochopiť, ako tento program funguje, analyzovať získané riešenia s jeho pomocou a porovnať tieto riešenia s riešeniami získanými inými spôsobmi.

Hlavné problémy pri používaní MathCadu sú nasledujúce:

a) program dáva odpoveď nie vo forme obvyklých elementárnych funkcií, ale vo forme špeciálnych funkcií, ktoré nie sú známe každému;

b) v niektorých prípadoch „odmieta“ dať odpoveď, hoci problém má riešenie;

c) niekedy je nemožné použiť získaný výsledok pre jeho ťažkopádnosť;

d) nerieši problém úplne a neanalyzuje riešenie.

Na riešenie týchto problémov je potrebné využiť silné a slabé stránky programu.

S jeho pomocou je ľahké a jednoduché vypočítať integrály zlomkových racionálnych funkcií. Preto sa odporúča použiť metódu variabilnej náhrady, t.j. pripraviť integrál na riešenie vopred. Na tieto účely sa môžu použiť substitúcie diskutované vyššie. Je tiež potrebné mať na pamäti, že získané výsledky musia byť preskúmané z hľadiska zhody domén definície pôvodnej funkcie a získaného výsledku. Niektoré zo získaných riešení si navyše vyžadujú ďalší výskum.

Program MathCad oslobodzuje študenta alebo výskumného pracovníka od rutinnej práce, ale nemôže ho oslobodiť od ďalších analýz, a to ani pri stanovovaní problému, ani pri dosahovaní akýchkoľvek výsledkov.

V tomto príspevku boli zvážené hlavné ustanovenia týkajúce sa štúdia aplikácií určitého integrálu v priebehu matematiky.

- bola vykonaná analýza teoretického základu riešenia integrálov;

- materiál bol systematizovaný a zovšeobecnený.

V priebehu kurzu boli zohľadnené príklady praktických problémov z oblasti fyziky, geometrie, mechaniky.

Záver

Vyššie uvedené príklady praktických problémov nám poskytujú jasnú predstavu o dôležitosti určitého integrálu pre ich riešiteľnosť.

Je ťažké pomenovať vedeckú oblasť, v ktorej by sa všeobecne neuplatňovali metódy integrálneho počtu a najmä vlastnosti určitého integrálu. Takže v procese dokončovania kurzu sme uvažovali o príkladoch praktických problémov z oblasti fyziky, geometrie, mechaniky, biológie a ekonómie. Samozrejme to nie je ani zďaleka vyčerpávajúci zoznam vied, ktoré používajú integrálnu metódu na hľadanie stanovenej hodnoty pri riešení konkrétneho problému a zisťovaní teoretických faktov.

Určitý integrál sa tiež používa na samotné štúdium matematiky. Napríklad pri riešení diferenciálnych rovníc, ktoré zase nezastupiteľne prispievajú k riešeniu praktických problémov. Môžeme povedať, že určitý integrál je základom pre štúdium matematiky. Preto je dôležité poznať metódy ich riešenia.

Zo všetkého vyššie uvedeného je zrejmé, prečo k oboznámeniu sa s určitým integrálom dochádza aj v rámci strednej všeobecnovzdelávacej školy, kde študenti študujú nielen pojem integrál a jeho vlastnosti, ale aj niektoré jeho aplikácie.

Literatúra

1. Volkov E.A. Numerické metódy. M., Science, 1988.

2. Piskunov NS Diferenciálny a integrálny počet. M., Integral-Press, 2004. zväzok 1.

3. Shipachev V.S. Vyššia matematika. M., Vyššia škola, 1990.

Príklad:Nájdite objem guľôčky s polomeromR.

V prierezoch lopty sú získané kruhy s premenným polomerom y. V závislosti od aktuálnej súradnice x je tento polomer vyjadrený vzorcom.

Funkcia prierezových plôch je potom:Q (x) \u003d.

Získame objem lopty:

Príklad:Nájdite objem ľubovoľnej pyramídy s výškou H a základnou plochouS.

Keď sa pyramída pretína s rovinami kolmými na výšku, v reze dostaneme útvary podobné základni. Koeficient podobnosti týchto čísel sa rovná pomerux / H , kde x je vzdialenosť od roviny rezu k vrcholu pyramídy.

Z geometrie je známe, že pomer plôch takýchto obrazcov sa rovná štvorcu koeficientu podobnosti, t.j.

Odtiaľto dostaneme funkciu prierezových plôch:

Nájdite objem pyramídy:

Objem revolučných telies.

Uvažujme krivku danú rovnicouy \u003d f (x ). Predpokladajme funkciuf (x ) je spojitá na segmente [a, b ]. Ak zodpovedajúci krivočiary lichobežník s bázami a ab otáčať okolo osi Ox, potom dostaneme tzv orgán revolúcie.

y \u003d f (x)

Povrch tela rotácie.

M i B

Definícia: Revolučná plochakrivka AB okolo tejto osi sa nazýva hranica, ku ktorej majú tendencie plochy rotačných plôch mnohouholníkov vpísaných do krivky AB, pretože najdlhšia z dĺžok väzieb týchto mnohouholníkov má sklon k nule.

Rozdelili sme oblúk AB nan častí po bodoch M 0, M 1, M 2, ..., M n ... Súradnice vrcholov výslednej krivky majú súradnicex i a y i ... Keď sa krivka otáča okolo osi, získame povrch pozostávajúci z bočných povrchov zrezaných kužeľov, ktorých plocha sa rovnáD P i ... Túto oblasť nájdete podľa vzorca:

Prejdem preto priamo k základným pojmom a praktickým príkladom.

Pozrime sa na lakonický obrázok

A pamätajte: na čo sa dá vypočítať pomocou určitý integrál ?

V prvom rade samozrejme oblasť zakriveného lichobežníka ... Známe zo školských čias.

Ak sa tento údaj otáča okolo súradnicovej osi, potom už hovoríme o hľadaní objem tela revolúcie ... Jednoduché tiež.

Čo ešte? Uvažovalo sa o tom nie tak dávno problém dĺžky oblúka krivky .

A dnes sa naučíme, ako vypočítať ešte jednu charakteristiku - ďalšiu oblasť. Predstavte si, že linka točí sa okolo osi. Výsledkom tejto akcie je získanie geometrického útvaru, tzv revolučná plocha... V tomto prípade to pripomína taký hrniec bez dna. A bez veka. Ako by povedal osol Eeyore, srdcervúci pohľad \u003d)

Aby som vylúčil nejednoznačný výklad, uvediem nudné, ale dôležité objasnenie:

z geometrického hľadiska náš „hrniec“ má nekonečne tenký stena a dva povrchy s rovnakými oblasťami - vonkajšími aj vnútornými. Takže všetky ďalšie výpočty znamenajú oblasť iba vonkajší povrch.

V obdĺžnikovom súradnicovom systéme sa povrchová plocha otáčania počíta podľa vzorca:

alebo, ak je kompaktnejšia: .

Na funkciu a jej deriváciu sa kladú rovnaké požiadavky ako pri zisťovaní dĺžka oblúka krivky , ale navyše by mala byť umiestnená krivka vyššie os. Toto je nevyhnutné! Je ľahké pochopiť, že ak je linka umiestnená podos potom celé číslo bude záporné : , a preto je potrebné do vzorca pridať znamienko mínus, aby sa zachoval geometrický význam problému.

Zvážte nezaslúžene prehliadanú postavu:

Plocha torusu

Stručne, torus je šiška... Hľadaniu je venovaný príklad z učebnice, ktorý je obsiahnutý takmer vo všetkých učebniciach o matane objem torus, a preto budem kvôli rozmanitosti analyzovať vzácnejší problém jeho povrchová plocha... Najprv so špecifickými číselnými hodnotami:

Príklad 1

Vypočítajte povrch torusu získaný rotáciou kruhu okolo osi.

Rozhodnutie: ako viete, rovnica pýta sa kruh polomer jednotky vycentrovaný v bode. Ako už bolo povedané, je ľahké získať dve funkcie:

- nastaví horný polkruh;
- nastaví dolný polkruh:

Podstata je krištáľovo čistá: kruh rotuje okolo osi úsečky a formuje sa povrch Šiška. Jediná vec, aby ste sa vyhli hrubým výhradám, by mala byť terminológia opatrná: ak rotujete kruhohraničený kruhom , dostanete geometrický telo, teda samotná šiška. A teraz hovorte o jeho oblasti povrchy, ktorú je samozrejme potrebné vypočítať ako súčet plôch:

1) Nájdite povrch, ktorý získate otáčaním „modrého“ oblúka okolo osi úsečky. Používame vzorec ... Ako som opakovane odporúčal, je pohodlnejšie vykonávať činnosti postupne:

Vezmite funkciu a nájdi ju derivát :

A nakoniec načítajte výsledok do vzorca:

Upozorňujeme, že v tomto prípade sa to ukázalo ako racionálnejšie zdvojnásobiť integrál párnej funkcie v priebehu rozhodnutia, skôr ako predbežne polemizovať o symetrii obrázku okolo osi súradnice.

2) Nájdite povrch, ktorý získate otáčaním „červeného“ oblúka okolo osi úsečky. Všetky akcie sa budú líšiť iba v jednom znamení. Riešenie urobím v inom štýle, ktorý má samozrejme aj právo na život:


3) Plocha torusu je teda:

Odpoveď:

Problém by sa dal vyriešiť všeobecným spôsobom - vypočítať povrch torusu získaného rotáciou kruhu okolo osi úsečky a získať odpoveď ... Kvôli prehľadnosti a väčšej jednoduchosti som však riešenie spustil na konkrétnych číslach.

Ak potrebujete vypočítať objem samotného šišky, obráťte sa na učebnicu ako výslovný odkaz:

Podľa teoretickej poznámky uvažujeme o hornom polkruhu. Je „nakreslené“, keď sa hodnota parametra zmení vo vnútri (je to dobre vidieť v tomto intervale), teda:

Odpoveď:

Ak problém vyriešite všeobecne, získate presne školský vzorec pre oblasť gule, kde je jej polomer.

Niečo bolelo pri jednoduchej úlohe, dokonca som sa cítil zahanbený…. Navrhujem, aby ste túto chybu napravili \u003d)

Príklad 4

Vypočítajte povrchovú plochu získanú otáčaním prvého oblúka cykloidu okolo osi.

Úloha je kreatívna. Pokúste sa odvodiť alebo intuitívne uhádnuť vzorec na výpočet povrchovej plochy získanej otáčaním krivky okolo osi. A samozrejme si treba opäť uvedomiť výhodu parametrických rovníc - netreba ich nejako upravovať; netreba sa trápiť hľadaním ďalších limitov integrácie.

Cykloidný graf je možné zobraziť na stránke Plocha a objem, ak je čiara definovaná parametricky ... Rotačná plocha bude pripomínať ... ani neviem, s čím mám porovnávať ... niečo nadpozemské - zaoblený tvar so zahroteným vybraním v strede. Pre prípad cykloidnej rotácie okolo osi okamžite prišla na myseľ asociácia - podlhovastá lopta pre hranie ragby.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Našu fascinujúcu recenziu končíme prípadom polárne súradnice ... Áno, iba prehľad, ak sa pozriete do učebníc matematickej analýzy (Fichtengolts, Bokhan, Piskunov, iní autori), môžete získať tucet (alebo dokonca podstatne viac) štandardných príkladov, medzi ktorými môže byť problém, ktorý potrebujete.

Ako vypočítať rotačnú plochu,
ak je priamka uvedená v polárnom súradnicovom systéme?

Ak je krivka uvedená v polárne súradnice rovnicu a funkcia má v danom intervale spojitú deriváciu, potom sa plocha získaná rotáciou tejto krivky okolo polárnej osi vypočíta podľa vzorca , kde sú uhlové hodnoty zodpovedajúce koncom krivky.

V súlade s geometrickým významom úlohy, integrandovou funkciou , a to sa dosahuje iba za podmienky (a sú určite nezáporné). Preto je potrebné brať do úvahy hodnoty uhla z rozsahu, inými slovami, krivka by mala byť umiestnená vyššie polárna os a jej pokračovanie. Ako vidíte, príbeh je rovnaký ako v predchádzajúcich dvoch odsekoch.

Príklad 5

Vypočítajte povrchovú plochu vytvorenú rotáciou kardioidu okolo pólovej osi.

Rozhodnutie: graf tejto krivky si môžete pozrieť v príklade 6 lekcie o polárny súradnicový systém ... Kardioid je symetrický okolo pólovej osi, preto uvažujeme jeho hornú polovicu v intervale (čo je v skutočnosti dané vyššie uvedenou poznámkou).

Rotačný povrch bude pripomínať volské oko.

Technika riešenia je štandardná. Nájdeme deriváciu vzhľadom na „phi“:

Poďme si zložiť a zjednodušiť koreň:

Dúfajme, že s nadpočetným