Vypočítajte objem revolučného telesa online. Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu. Výpočet objemu telesa vytvoreného otočením plochej figúrky okolo osi

Objem revolučného telesa sa dá vypočítať podľa vzorca:

Pred integrálom musí byť vo vzorci vždy prítomné číslo. Stalo sa to - všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že ako nastaviť limity integrácie „a“ a „bh“, je ľahké uhádnuť z dokončeného výkresu.

Funkcia ... čo je to za funkciu? Pozrime sa na výkres. Plochá postava je v hornej časti ohraničená parabolou. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

Pri praktických cvičeniach môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - integrand vo vzorci je štvorcový: teda integrál je vždy nezáporný , čo je celkom logické.

Vypočítajme objem revolučného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál je takmer vždy jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

V odpovedi je potrebné uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom tele revolúcie je približne 3,35 „kociek“. Prečo práve kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, tam môžu byť kubické metre, tam môžu byť kubické kilometre atď., Toľko malých zelených mužíkov môže vaša predstavivosť dať do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem tela vytvorený rotáciou okolo osi obrázku, obmedzené čiarami,,

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Uvažujte o dvoch zložitejších úlohách, ktoré sú v praxi tiež bežné.

Príklad 3

Vypočítajte objem tela získaný otočením obrázku okolo osi x, ohraničeného čiarami, a

Riešenie: Nakreslite na výkres plochý obrazec ohraničený čiarami ,,,, pričom nezabúdajte, že rovnica definuje os:

Požadovaná postava je zatienená modrou farbou. Keď ho otočíte okolo osi, získate taký surrealistický donut so štyrmi rohmi.

Objem revolučného telesa sa vypočíta ako rozdiel v telesných objemoch.

Najprv sa pozrime na tvar načrtnutý červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa skrátený kužeľ. Označme objem tohto skráteného kužeľa.

Zvážte tvar načrtnutý zelenou farbou. Ak tento údaj otočíte okolo osi, získate aj zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Označme jeho objem prostredníctvom.

A je zrejmé, že rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na vyhľadanie objemu revolučného telesa použijeme štandardný vzorec:

1) Tvar zakrúžkovaný červenou farbou je zhora ohraničený priamkou, preto:

2) Tvar zakrúžkovaný zelenou farbou je zhora ohraničený priamkou, takže:

3) Objem hľadaného revolučného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné riešenie sa často skracuje, napríklad takto:

Teraz si oddýchneme a porozprávame sa o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, čo Perelman (ďalší) v knihe zaznamenal Zaujímavá geometria... Pozrite sa na plochú figúrku v vyriešenom probléme - zdá sa, že je malá v ploche a objem revolučného telesa je o niečo viac ako 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek za celý svoj život pije tekutinu s objemom miestnosti 18 metrov štvorcových, ktorá sa, naopak, zdá byť príliš malým objemom.

Vo všeobecnosti bol vzdelávací systém v ZSSR skutočne najlepší. Tá istá kniha od Perelmana, vydaná v roku 1950, sa veľmi dobre rozvíja, ako povedal humorista, a odhaľuje nás, ako hľadať originálne neštandardné riešenia problémov. Nedávno som si s veľkým záujmom prečítal niektoré kapitoly, odporúčam, je k dispozícii aj pre humanitné vedy. Nie, nie je potrebné sa usmievať, že som ponúkol voľný čas, erudícia a široký rozhľad v komunikácii je skvelá vec.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Príklad 4

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého obrazca ohraničeného čiarami, kde.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Upozorňujeme, že všetky veci sa odohrávajú v páse, inými slovami, v skutočnosti sú dané pripravené limity integrácie. Nakreslite grafy trigonometrických funkcií správne, pripomeniem vám materiál z lekcie geometrické transformácie grafov : ak je argument deliteľný dvoma :, potom sa grafy dvakrát natiahnu pozdĺž osi. Je žiaduce nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek presnejšie dokončenie výkresu. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu. Mimochodom, úlohu je možné vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Použitím určitého integrálu je možné nielen vypočítať oblasť plochých postáv, ale aj objemy telies vzniknutých rotáciou týchto obrazcov okolo súradnicových osí.

Príklady takýchto telies sú uvedené na obrázku nižšie.

V úlohách máme krivočiare lichobežníky, ktoré sa otáčajú okolo osi Vôl alebo okolo osi Oy... Na výpočet objemu telesa vytvoreného otáčaním zakriveného lichobežníka potrebujeme:

• číslo „pi“ (3,14 ...);
• určitý integrál štvorca „hry“ - funkcia, ktorá definuje rotujúcu krivku (to je, ak sa krivka otáča okolo osi) Vôl );
• definitívny integrál štvorca „x“, vyjadrený z „hry“ (je to vtedy, ak sa krivka otáča okolo osi Oy );
• integračné limity - a a b.

Telo teda vzniká rotáciou okolo osi Vôl krivočiary lichobežník zhora ohraničený grafom funkcie r = f(X) , má objem

Podobný objem v teleso získané rotáciou okolo osi osi ( Oy) krivočarého lichobežníka je vyjadrený vzorcom

Pri výpočte plochy plochého obrázku sme sa dozvedeli, že plochy niektorých čísel možno nájsť ako rozdiel dvoch integrálov, v ktorých sú integrandy funkcie, ktoré obmedzujú obrázok zhora a zdola. Podobná situácia je aj u niektorých revolučných telies, ktorých objemy sú vypočítané ako rozdiel medzi objemami dvoch telies, o takýchto prípadoch sa hovorí v príkladoch 3, 4 a 5.

Príklad 1.Vôl) postavy ohraničené hyperbolou, úsečkou a rovnými čiarami ,.

Riešenie. Objem revolučného telesa sa zisťuje vzorcom (1), v ktorom a hranicami integrácie a = 1 , b = 4 :

Príklad 2. Zistite objem gule s polomerom R..

Riešenie. Uvažujme o lopte ako o tele, ktoré sa získa rotáciou okolo osi osi polkruhu s polomerom R. so zameraním na pôvod. Potom vo vzorci (1) bude integrand zapísaný vo forme a limity integrácie sú - R. a R.... Preto,

Príklad 3. Nájdite objem tela vytvorený rotáciou okolo osi x ( Vôl) obrázku uzavretého medzi parabolami a.

Riešenie. Požadovaný objem reprezentujeme ako rozdiel medzi objemami telies získaných rotáciou krivočiarych lichobežníkov okolo osi x. A B C D E a ABFDE... Objemy týchto telies nájdeme podľa vzorca (1), v ktorom sú hranice integrácie rovnaké a sú osami bodov B a D priesečník paraboly. Teraz nájdeme objem tela:

Príklad 4. Vypočítajte objem torusu (torus je teleso získané otáčaním polomeru kruhu a okolo osi ležiacej vo svojej rovine na diaľku b od stredu kruhu (). Tvar torusu je napríklad volant).

Riešenie. Nechajte kruh rotovať okolo osi Vôl(obr. 20). Objem torusu možno vyjadriť ako rozdiel medzi objemami telies získaných rotáciou krivočiarych lichobežníkov. A B C D E a ABLDE okolo osi Vôl.

Kruhová rovnica LBCD má formu

a rovnica krivky BCD

a rovnica krivky BLD

Použitím rozdielu medzi objemami tiel získame objem torusu v výraz

Sekcie: Matematika

Typ lekcie: kombinovaná.

Účel lekcie: naučte sa vypočítať objemy revolučných telies pomocou integrálov.

Úlohy:

• upevniť schopnosť vyberať krivočiare lichobežníky z množstva geometrických tvarov a precvičiť si zručnosť výpočtu oblastí krivočiarych lichobežníkov;
• zoznámiť sa s konceptom volumetrického obrázku;
• naučte sa počítať objemy revolučných telies;
• prispieť k rozvoju logické myslenie, kompetentná matematická reč, presnosť konštrukcie výkresov;
• podporovať záujem o predmet, pracovať s matematickými konceptmi a obrázkami, podporovať vôľu, nezávislosť a vytrvalosť pri dosahovaní konečného výsledku.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Skupinový pozdrav. Komunikácia so študentmi o cieľoch hodiny.

Odraz. Pokojná melódia.

- Dnešná lekcia Chcel by som začať podobenstvom. "Bol tu mudrc, ktorý vedel všetko." Jedna osoba chcela dokázať, že mudrc nevie všetko. Chytil motýľa za dlane a spýtal sa: „Povedz mi, mudrc, ktorý motýľ mám v rukách: mŕtvy alebo živý?“ A sám si myslí: „Živý povie - zabijem ju, mŕtvy povie - prepustím ju.“ Mudrc, ktorý premýšľal, odpovedal: „Všetko vo vašich rukách“. (Prezentácia.Šmykľavka)

„Preto dnes pracujme plodne, získajme novú zásobu znalostí a získané zručnosti a schopnosti aplikujme v neskoršom živote a v praktických činnostiach. „Všetko vo vašich rukách“.

II. Opakovanie predtým študovaného materiálu.

- Pripomeňme si hlavné body predtým študovaného materiálu. Aby sme to urobili, úlohu dokončíme „Odstráňte prebytočné slovo.“(Šmykľavka.)

(Študent prejde do ID pomocou gumy a odstráni ďalšie slovo.)

- Správny "Diferenciál". Skúste pomenovať zostávajúce slová ako jedno spoločné slovo... (Integrovaný počet.)

- Pripomeňme si hlavné etapy a koncepty spojené s integrálnym počtom ..

„Matematický klaster“.

Cvičenie. Obnovte medzery. (Študent vyjde a perom napíše potrebné slová.)

- Abstrakt o aplikácii integrálov si vypočujeme neskôr.

Práca v zošitoch.

- Newton-Leibnizov vzorec odvodil anglický fyzik Isaac Newton (1643–1727) a nemecký filozof Gottfried Leibniz (1646–1716). A to nie je prekvapujúce, pretože matematika je jazykom, ktorým hovorí sama príroda.

- Uvažujme, ako sa tento vzorec používa pri riešení praktických úloh.

Príklad 1: Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami

Riešenie: Stavte na súradnicová rovina funkčné grafy ... Vyberte oblasť tvaru, ktorý sa má nájsť.

III. Učenie sa nového materiálu.

- Dávajte pozor na obrazovku. Čo je zobrazené na prvom obrázku? (Šmykľavka) (Na obrázku je plochá postava.)

- Čo je zobrazené na druhom obrázku? Je tento údaj plochý? (Šmykľavka) (Na obrázku je trojrozmerný obrázok.)

- Vo vesmíre, na Zemi a vo svete Každodenný život stretávame nielen ploché postavy, ale aj trojrozmerné, ale ako vypočítať objem takýchto telies? Napríklad objem planéty, kamery, meteoritu atď.

- Na objem myslia pri stavbe domov aj pri nalievaní vody z jednej nádoby do druhej. Pravidlá a techniky na výpočet objemov mali vzniknúť, je iné, ako presné a podložené boli.

Študentská správa. (Vera Tyurina.)

Rok 1612 bol najmä pre hrozno veľmi plodný pre obyvateľov rakúskeho mesta Linec, kde v tej dobe žil známy astronóm Johannes Kepler. Ľudia pripravovali sudy s vínom a chceli vedieť, ako prakticky určiť ich objem. (Snímka 2)

- Uvažované Keplerove práce položili základ celému prúdu štúdií, ktoré vyvrcholili v poslednej štvrtine 17. storočia. registrácia v dielach I. Newtona a G.V. Leibnizov diferenciálny a integrálny počet. Od tej doby zaujíma matematika premenných veľkosti popredné miesto v systéme matematických znalostí.

- Dnes sa budeme venovať takýmto praktickým aktivitám, preto

Téma našej hodiny je „Výpočet objemov revolučných telies pomocou určitého integrálu“. (Šmykľavka)

- Definíciu revolučného telesa sa naučíte splnením nasledujúcej úlohy.

"Labyrint".

Labyrint (grécke slovo) znamená prechod do žalára. Labyrint - zložitá sieť chodníkov, chodieb, miestností, ktoré navzájom komunikujú.

Ale definícia „havarovala“, existujú tipy vo forme šípok.

Cvičenie. Nájdite východisko zo zmätku a napíšte definíciu.

Šmykľavka. „Mapová inštrukcia“ Výpočet objemov.

Pomocou určitého integrálu je možné vypočítať objem telesa, najmä revolučného telesa.

Rotačné teleso je teleso získané otáčaním zakriveného lichobežníka okolo jeho základne (obr. 1, 2)

Objem revolučného telesa sa vypočíta podľa jedného zo vzorcov:

1. okolo osi OX.

2. ak otáčanie zakriveného lichobežníka okolo osi OS.

Každý študent dostane inštrukčný lístok. Inštruktor zdôrazňuje hlavné body.

- Učiteľ vysvetlí riešenie pomocou príkladov na tabuli.

Uvažujme o úryvku zo slávnej rozprávky Alexandra Puškina „Príbeh cára Saltana, syna jeho slávneho a mocného hrdinu, princa Gvidona Saltanovicha a krásnej princeznej Lebedovej“ (Snímka 4):

…..
A priviedol posla opitého
V ten istý deň je objednávka nasledovná:
„Kráľ prikazuje svojim bojarom,
Nestrácať čas
A kráľovná a potomstvo
Tajne hoďte do priepasti vôd “.
Nedá sa nič robiť: boyars,
Túžba po panovníkovi
A mladá kráľovná,
V dave prišli do jej spálne.
Vyhlásili vôľu kráľa -
Ona a jej syn majú zlú vec,
Prečítajte si vyhlášku nahlas,
A kráľovná v rovnakú hodinu
Dali môjho syna do suda,
Brúsené, jazdené
A pustili to do okiyanu -
To si objednal cár Saltan.

Aký by mal byť objem sudu, aby sa doň zmestila kráľovná a jej syn?

- Zvážte nasledujúce úlohy

1. Nájdite objem tela získaný otáčaním zakriveného lichobežníka okolo osi osi ohraničeného čiarami: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odpoveď: 1163 cm 3 .

Nájdite objem telesa získaného otáčaním parabolického lichobežníka okolo osi x y =, x = 4, y = 0.

IV. Zabezpečenie nového materiálu

Príklad 2. Vypočítajte objem tela vytvorený rotáciou okvetného lístka okolo osi x y = x 2, y 2 = x.

Zostavme grafy funkcie. y = x 2, y 2 = x... Rozvrh y 2 = x prevod do formy r= .

Máme V = V 1 - V 2 Vypočítajme objem každej funkcie

- Teraz sa pozrime na vežu pre rozhlasovú stanicu v Moskve na Shabolovke, postavenú podľa projektu nádherného ruského inžiniera, čestného akademika V.G.Shukhov. Skladá sa z častí - hyperboloidov revolúcie. Každý z nich je navyše vyrobený z priamočiarych kovových tyčí spájajúcich susedné kruhy (obr. 8, 9).

- Zvážte problém.

Nájdite objem tela získaný otáčaním oblúkov hyperboly okolo svojej imaginárnej osi, ako je znázornené na obr. 8 kde

mláďa Jednotky

Skupinové úlohy. Žiaci losujú úlohy, kreslia kresby na papier Whatman, prácu obhajuje jeden zo zástupcov skupiny.

1. skupina.

Hit! Hit! Ďalší úder!
Lopta letí do brány - PLES!
A toto je melónová guľa
Zelené, okrúhle, chutné.
Vyzerajte lepšie - aká lopta!
Je vyrobený z rovnakých kruhov.
Melón nakrájajte na kolieska
A ochutnajte ich.

Nájdite objem tela získaný ohraničením otočením funkcie okolo osi OX

Chyba! Záložka nie je definovaná.

- Povedzte mi, prosím, kde sa stretávame s týmto číslom?

Dom. úloha pre 1 skupinu. VÁLEC (šmykľavka) .

„Valec - čo je to?“ - spýtal som sa otca.
Otec sa zasmial: cylindr je klobúk.
Aby ste mali správnu predstavu,
Valec je, povedzme, plechovka.
Parná rúrka - valec,
Aj komín na našej streche,

Všetky potrubia sú podobné valcom.
A uviedol som taký príklad -
Môj milovaný kaleidoskop
Nemôžete z neho spustiť oči
A tiež vyzerá ako valec.

- Cvičenie. Domáca úloha nakreslite funkciu do grafu a vypočítajte objem.

2. skupina. KUŽEL (šmykľavka).

Mama povedala: A teraz
Môj príbeh bude o kužele.
Astrológ vo vysokom klobúku
Počíta hviezdy po celý rok.
CONE - Klobúk pre astrológov.
To je on. Rozumiete? To je všetko.
Mama stála pri stole,
Naliala olej do fliaš.
- Kde je lievik? Žiadny lievik.
Pozrite sa. Nestojte bokom.
- Mami, nepohnem sa
Povedzte nám viac o kužele.
- Lievik je vo forme kužeľa na zalievanie.
Poď, najdi mi ju čo najskôr.
Nenašiel som lievik,
Ale mama vyrobila tašku
Otočil som kartón okolo prsta
A šikovne to zaistil kancelárskou sponkou.
Olej sa leje, mama je rada
Kužeľ vyšiel presne to, čo potrebujeme.

Cvičenie. Vypočítajte objem tela získaný rotáciou okolo osi x

Dom. úloha pre 2. skupinu. PYRAMIDA(šmykľavka).

Videl som obrázok. Na tomto obrázku
V piesočnatej púšti je PYRAMIDA.
Všetko v pyramíde je mimoriadne
Je v tom nejaký druh tajomna a tajomstva.
Spasská veža na Červenom námestí
Sú veľmi dobre známe deťom i dospelým.
Pozeráte sa na vežu - obyčajného vzhľadu,
A čo je na nej? Pyramída!

Cvičenie. Domáca úloha na vykreslenie funkcie a výpočet objemu pyramídy

- Objemy rôznych telies sme vypočítali na základe základného vzorca pre objemy telies pomocou integrálu.

Toto je ďalšie potvrdenie, že určitý integrál má nejaký základ pre štúdium matematiky.

- Teraz si trochu oddýchneme.

Nájdite pár.

Hrá matematická domino melódia.

"Na cestu, ktorú som sám hľadal, nikdy nezabudnem ..."

Výskum. Aplikácia integrálu v ekonomike a technológii.

Testy pre silných študentov a matematický futbal.

Matematický simulátor.

2. Nazýva sa množina všetkých antiderivatív danej funkcie

A) neurčitý integrál,

B) funkcia,

C) diferenciácia.

7. Nájdite objem tela získaný otáčaním zakriveného lichobežníka okolo osi x, ohraničeného čiarami:

D / Z. Vypočítajte objemy revolučných telies.

Odraz.

Prijímanie odrazu vo forme syncwine(päť veršov).

1. riadok - názov témy (jedno podstatné meno).

2. riadok - opis témy dvoma slovami, dvoma prídavnými menami.

3. riadok - popis akcie v rámci tejto témy tromi slovami.

4. riadok - fráza zo štyroch slov, ukazuje vzťah k téme (celá veta).

5. riadok je synonymom, ktoré opakuje podstatu témy.

1. Objem.
2. Jednoznačná integrálna, integrovateľná funkcia.
3. Staviame, otáčame, počítame.
4. Telo získané otáčaním zakriveného lichobežníka (okolo jeho základne).
5. Telo revolúcie (pevné geometrické telo).

Výkon (šmykľavka).

• Definitívny integrál je základňou pre štúdium matematiky, ktorá predstavuje nenahraditeľný príspevok k riešeniu problémov praktického obsahu.
• Téma „Integral“ jasne ukazuje prepojenie matematiky a fyziky, biológie, ekonomiky a technológie.
• Rozvoj moderná veda je nemysliteľné bez použitia integrálu. V tomto ohľade je potrebné začať to študovať v rámci stredného špecializovaného vzdelávania!

Triedenie. (S komentárom.)

Veľký Omar Khayyam je matematik, básnik, filozof. Volá byť pánmi vášho osudu. Vypočujeme si úryvok z jeho práce:

Poviete si, že tento život je jeden okamih.
Vážte si ju, čerpajte z nej inšpiráciu.
Ako ho strávite, ono to prejde.
Nezabudnite: ona je vaše stvorenie.

Použitie integrálov na nájdenie zväzkov revolučných telies

Praktická užitočnosť matematiky je daná skutočnosťou, že bez nej

špecifické matematické znalosti, je ťažké porozumieť princípom zariadenia a použitia moderná technológia... Každý človek vo svojom živote musí vykonávať pomerne zložité výpočty, používať bežnú technológiu, nájsť potrebné vzorce v referenčných knihách a zostaviť jednoduché algoritmy na riešenie problémov. V modernej spoločnosti je stále viac špecialít vyžadujúcich vysokú úroveň vzdelania spojené s priamou aplikáciou matematiky. Matematika sa tak pre študenta stáva odborne významným predmetom. Vedúca úloha patrí matematike pri formovaní algoritmického myslenia, podporuje schopnosť konať podľa daného algoritmu a navrhovať nové algoritmy.

Študujem tému použitia integrálu na výpočet objemov revolučných telies a pozývam študentov, aby sa vo voliteľných triedach zamysleli nad témou „Objemy revolučných telies pomocou integrálov“. Nasledujú pokyny na zváženie tejto témy:

1. Plocha plochej postavy.

Z priebehu algebry vieme, že problémy praktickej povahy viedli k konceptu určitého integrálu. Jeden z nich je výpočet plochy plochého obrázku ohraničeného spojitou čiarou y = f (x) (kde f (x) DIV_ADBLOCK243 ">

Vypočítajme plochu zakriveného lichobežníka pomocou vzorca, ak základňa lichobežníka leží na osi osi x alebo pomocou vzorca https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg "width = "526" výška = "262 src =">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif "width =" 127 "height =" 25 src = ">.

Aby sme našli objem rotačného telesa vytvorený rotáciou krivočiareho lichobežníka okolo osi Оx, ohraničeného prerušovanou čiarou y = f (x), os Оx, rovné čiary x = a a x = b, vypočítame podľa vzorca

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg "width =" 352 "height =" 283 src = "> Y

3. Objem valca.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif "width =" 85 "height =" 51 "> .. gif" width = "13" height = "25"> .. jpg " width = "401" height = "355"> Zúženie sa získa otáčaním správny trojuholník ABC (C = 90) okolo osi Ox, na ktorej leží noha AC.

Segment AB leží na priamke y = kx + c, kde https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif "width =" 59 "height =" 41 src = ">.

Nech a = 0, b = H (H je výška kužeľa), potom Vhttps: //pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif "width =" 13 "height =" 23 src = ">.

5. Objem zrezaného kužeľa.

Skrátený kužeľ je možné získať otáčaním obdĺžnikového lichobežníka ABCD (CDOx) okolo osi Ox.

Segment AB leží na priamke y = kx + c, kde , c = r.

Pretože priamka prechádza bodom A (0; r).

Rovná čiara teda vyzerá https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif "width =" 303 "height =" 291 src = ">

Nech a = 0, b = H (H je výška zrezaného kužeľa), potom https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif "width =" 36 "height =" 17 src = "> = .

6. Objem gule.

Loptu je možné získať otočením kruhu so stredom (0; 0) okolo osi Ox. Polkruh umiestnený nad osou Ox je daný rovnicou

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif "width =" 13 "height =" 16 src = "> x R.

Nech je čiara obmedzená. v polárnom súradnicovom systéme je uvedená plochá postava.

Príklad: Vypočítajte obvod: x 2 + y 2 = R 2

Vypočítajte dĺžku 4. časti kruhu umiestneného v kvadrante I (x≥0, y≥0):

Ak je rovnica krivky uvedená vo forme parametra:
, funkcie x (t), y (t) sú definované a spojité spolu s ich deriváciami na intervale [α, β]. Derivát, potom substitúcia vo vzorci:
a vzhľadom na to

dostať
zaviesť faktor
pod koreňovým znakom a konečne sa dostávame

Poznámka: Je daná plochá krivka, môžete tiež zvážiť funkciu danú parametrom v priestore, potom funkciu z = z (t) a vzorec

Príklad: Vypočítajte dĺžku astroidu, ktorá je daná rovnicou: x = a * cos 3 (t), y = a * sin 3 (t), a> 0

Vypočítajte dĺžku 4. časti:

podľa vzorca

Dĺžka oblúka plochej krivky zadanej v polárnom súradnicovom systéme:

Nech je rovnica krivky daná v polárnom súradnicovom systéme:
- spojitá funkcia spolu s jej deriváciou na segmente [α, β].

Prechodové vzorce z polárnych súradníc:

považované za parametrické:

ϕ - parameter, podľa f -le

2

Príklad: Vypočítajte dĺžku krivky:
>0

Z-ni: vypočítajte polovicu obvodu:

Objem tela vypočítaný z plochy prierezu tela.

Nech je dané teleso ohraničené uzavretou plochou a nech je známa plocha akéhokoľvek úseku tohto telesa rovinou kolmou na os Ox. Táto oblasť bude závisieť od polohy roviny rezu.

nech je celé telo uzavreté medzi 2 rovinami kolmými na os Ox, pričom ich pretínajú v bodoch x = a, x = b (a

Aby sme určili objem takého telesa, rozdelíme ho na vrstvy pomocou rezných rovín kolmých na os Ox a bodovo ich pretína. V každej čiastočnej medzere
... Vyberme si

a pre každú hodnotu i = 1, ...., n zostrojíme valcové teleso, ktorého súradnica je rovnobežná s Oxom, a vodítkom je obrys časti tela rovinou x = C i, objem takého elementárneho valca so základnou plochou S = C i a výškou ∆xi ... V i = S (C i) ∆x i. Objem všetkých týchto základných valcov bude
... Hranica tohto súčtu, ak existuje a je konečná pri maximálnom ∆x  0, sa nazýva objem tohto telesa.

... Pretože V n je integrálny súčet pre spojitú funkciu S (x) v intervale, potom existuje indikovaná hranica (existencia t-ma) a je vyjadrená def. Integrálne.

- objem tela vypočítaný z plochy prierezu.

Objem revolučného telesa:

Nechajte teleso vzniknúť rotáciou okolo osi Ox krivočiareho lichobežníka ohraničeného grafom funkcie y = f (x), osou Ox a rovnými čiarami x = a, x = b.

Nech je funkcia y = f (x) definovaná a spojitá na segmente a nie je na ňom záporná, potom je prierez tohto telesa rovinou kolmou na Ox kruhom s polomerom R = y (x) = f (x ). Plocha kruhu S (x) = Пy 2 (x) = П 2. Nahradenie vzorca
získame vzorec na výpočet objemu revolučného telesa okolo osi Ox:

Ak sa krivočiary lichobežník otáča okolo osi Oy, ohraničený grafom súvislým na funkcii, potom objem takého revolučného telesa:

Rovnaký objem je možné vypočítať podľa vzorca:
... Ak je čiara definovaná parametrickými rovnicami:

Zmenou premennej získame:

Ak je čiara definovaná parametrickými rovnicami:

y (α) = c, y (β) = d. Nahradením y = y (t) dostaneme:

Vypočítajte rotačné telesá okolo osi OY paraboly, .

2) Vypočítajte V rotačného telesa okolo osi OX zakriveného lichobežníka ohraničeného priamkou y = 0, oblúk (so centom v bode (1; 0) a polomerom = 1), pre.

Plocha revolučného telesa

Daný povrch nech je vytvorený otáčaním krivky y = f (x) okolo osi Ox. Je potrebné určiť S tohto povrchu na.

Nech je funkcia y = f (x) definitívna a spojitá, má neodvolateľné a nezáporné hodnoty vo všetkých bodoch segmentu [a; b]

Nakreslime akordy dĺžky, ktoré označíme (n-akordy)

podľa Lagrangeovej vety:

Plocha celej opísanej prerušovanej čiary sa bude rovnať

Definícia: hranica tohto súčtu, ak je konečná, keď je najväčší článok prerušovanej čiary max., Sa nazýva plocha uvažovaného povrchu otáčania.

Je možné dokázať, že sto limit súčtu sa rovná limitu integrovaného súčtu pre p-tý

Vzorec pre S povrch revolučného telesa =

S povrchu tvoreného Rotáciou oblúka krivky x = g (x) okolo osi Oy pri

Súvislé s jeho derivátom

Ak je krivka daná parametricky ur-miX= x (t),r= t(t) f-iiX’(t), r’(t), X(t), r(t) sú definované v segmente [a; b], X(a)= a, X(b)= bpotom sa striedanie zmeníX= X(t)

Ak je krivka daná parametricky substitúciou vo vzorci, dostaneme:

Ak je rovnica krivky zadaná v polárnom súradnicovom systéme

Splocha otáčania okolo osi sa bude rovnať