Definovanie čísel v rovine súradníc pomocou rovníc a nerovností. Zadávanie čísel v rovine súradníc pomocou rovníc a nerovností Sada bodov v rovine súradníc

Zavoláme (x, y)objednaný pár a xa o- súčasti tohto páru. Navyše sa verí, že (X 1 o 1 ) \u003d (x 2 .y 2 ), ak x 1 \u003d x 2 a o 1 = o 2 .

__________________________________________________________________

Definícia 9. Množina A sa nazýva karteziánsky súčin množín A a B B, ktorého prvky sú všetky páry (x, y) také, že x Ach jaj B, t.j. A B \u003d ((x, y) / x Ach jaj IN).

_____________________________________________________________________________________________

Nájdeme napríklad karteziánsky súčin množín A \u003d (1,3} a B \u003d (2,4,6).

A IN= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

Operácia, pri ktorej sa nachádza karteziánsky súčin, sa nazýva karteziánske násobenie množín.

Karteziánske množenie množín nemá ani komutatívnu vlastnosť, ani vlastnosť asociativity, ale je spojené s operáciami spojenia a odčítaním množín distribučnými vlastnosťami:

pre akékoľvek sady A, B, Crovnosti platia:

(A. IN) C \u003d (A Z) (IN FROM),

(A \\ B) ZO= (A. C) \\ (B FROM).

Na vizuálne znázornenie karteziánskeho súčinu množín čísel sa často používa obdĺžnikový súradnicový systém.

Poďme Aa IN - množiny čísel. Potom budú prvky karteziánskeho súčinu týchto množín usporiadané do dvojíc čísel. Zobrazením každej dvojice čísel bodom v súradnicovej rovine získame údaj, ktorý bude jasne predstavovať karteziánsky súčin množín Aa IN.

Na súradnicovej rovine reprezentujeme karteziánsky súčin množín Aa IN,ak:

a) A = {2, 6}; B ={1,4}, b) A \u003d (2,6}; IN= , v) A \u003d;B =.

V prípade, že a) sú tieto množiny konečné a môžete vymenovať prvky karteziánskeho súčinu.

A B \u003d{(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Postavme súradnicové osi a na osi OH označte prvky súpravy A, a na osi OU -prvky súpravy IN.Potom reprezentujeme každú dvojicu čísel množiny АВ do bodov v rovine súradníc (obr. 7). Výsledný údaj o štyroch bodoch bude jasne predstavovať karteziánsky súčin týchto súborov Aa IN.

V prípade b) je nemožné vymenovať všetky prvky karteziánskeho súčinu množín, pretože kopa IN- nekonečné, ale je možné si predstaviť proces formovania tohto karteziánskeho súčinu: v každej dvojici je prvou zložkou buď 2 alebo 6 , a druhá zložka je reálne číslo z intervalu .

Všetky páry, ktorých prvou zložkou je číslo 2 a druhá má hodnotu od 1 predtým 4 vrátane, znázornené bodmi segmentu SD,a páry, ktorých prvou zložkou je číslo 6 , a druhé je akékoľvek reálne číslo z intervalu , – segmentové body RS (obr. 8). Teda v prípade b) karteziánsky súčin množín Aa INna súradnicovej rovine je znázornený ako segment SDa RS.

Obrázok: Obr 8 Obr. deväť

Prípad c) sa líši od prípadu b) tým, že nielen súbor IN,ale veľa A,tak, prvá zložka párov patriacich do množiny A IN,je ľubovoľné číslo z intervalu . Bodky predstavujúce prvky karteziánskeho súčinu množín Aa IN,tvoria štvorec SDEĽ (obr. 9). Ak chcete zdôrazniť, že prvky karteziánskeho súčinu sú zobrazené bodkami štvorca, môže byť tieňovaný.

Kontrolné otázky

Ukážte, že riešenie nasledujúcich problémov vedie k vytvoreniu karteziánskeho súčinu množín:

a) Zapíšte všetky zlomky, ktorých čitateľom je číslo z množiny A \u003d{3, 4} a menovateľom je číslo zo súpravy B \u003d (5,6, 7}.

b) Zapíšte si rôzne dvojciferné čísla pomocou čísel 1, 2, 3, 4.

Dokážte to pre všetky súpravy A, B, Cspravodlivá rovnosť (A. IN) С \u003d (A. Z) (IN FROM).Ilustrujte jeho uspokojivosť pre súpravy A= {2, 4, 6}, B \u003d(1,3,5), C \u003d (0,1).

Aký údaj tvoria body na rovine súradníc, ak sú ich súradnice prvkami karteziánskeho súčinu množín? A\u003d (- 3, 3) a IN= R

Určte, ktorý karteziánsky súčin ktorého súboru Aa INzobrazené na obrázku 10.

Obrázok: desať

Cvičenia

112. Zapíšte si všetky dvojciferné čísla, ktorých desiatky číslic patria do množiny A= {1, 3, 5} a počet jednotiek - do súpravy B \u003d (2,4,6).

113. Zapíšte si všetky zlomky, ktorých čitatelia sú vybratí z množiny A \u003d (3,5, 7}, a menovateľ je zo súpravy B \u003d{4, 6, 8}.

114. Napíšte všetky správne zlomky, ktorých čitatelia sú vybratí z množiny A \u003d(3, 5,7) a menovateľ je zo súpravy B \u003d (4,6,8}.

115. Súpravy sú uvedené P \u003d{1, 2, 3}, K \u003d (a,b}. Nájsť všetky karteziánske produkty súprav R TOa K R.

116. Je o tom známe A IN\u003d ((1, 2); (3, 2); (1, 4); (3, 4); (1, 6); (3, 6)). Zistite, z ktorých prvkov sa sada skladá Aa IN.

117. Zapíšte si súbory (A. IN) ZOa A (IN Z)prevod parou , ak A=(a,b}, B = {3}, C.={4, 6}

118. Pripravte súpravy A B, B A,ak:

a ) A \u003d (a,b, s), B \u003d (d},

b) A = { a, b}, B =  ,

v) A \u003d (m, n,k ), B \u003d A,

d) A = { x, r, z}, B = { k, n}

119. Je známe, že A B \u003d ((2,3), (2,5), (2,6), (3,3), (3,5), (3,6)). Zistite, z ktorých prvkov sa sada skladá A a IN.

120. Nájdite kartézsky súčin súprav A \u003d {5, 9, 4} a IN= {7, 8, 6} a extrahujte z nej podmnožinu párov, v ktorých:

a) prvá zložka je väčšia ako druhá; b) prvá zložka je 5; c) druhá zložka je 7.

121. Vymenujte prvky patriace k karteziánskemu súčinu množín A, Ba Z, ak:

a) A \u003d (2, 3}, B \u003d (7, 8, 9}, ZO= {1, 0};

b) A \u003d B= ZO= {2, 3};

v) A= {2, 3}, B = {7, 8, 9}, C \u003d 

122. Nakreslite na súradnicovú rovinu prvky karteziánskeho súčinu množín A a B,ak:

a) A \u003d (x / x N,2 < x< 4}, IN= (x / x N, x< 3};

b) A \u003d (x / x R, 2 < х < 4}, В = {х/х  N, x< 3};

v) A= ; IN= .

123. Všetky prvky karteziánskeho súčinu dvoch súborov A a B zobrazené bodmi v obdĺžnikovom súradnicovom systéme. Zapíšte si súbory A a IN(obr. 11).

Obrázok: 13

124. Nakreslite na súradnicovú rovinu prvky karteziánskeho súčinu množín X a Y, ak:

a) X \u003d (- 1,0; 1,2),Y={2, 3,4};

b) X \u003d (- 1,0; 1,2),Y=;

v) X \u003d [-1; 2],Y = {2, 3, 4};

d) X= , Y = ;

e) X = [–3; 2], Y = ;

g) X = ]–3;2[, Y= R;

h) X \u003d (2),Y= R;

a) X \u003dR, Y = {–3}.

125. Obrázky zobrazené na obr. 14 sú výsledkom obrazu v rovine súradníc karteziánskeho súčinu množín X a Y. Tieto množiny uveďte pre každý obrázok.

Obrázok: 14

126. Zistite, ktorý karteziánsky súčin, z ktorého dvoch množín, je zobrazený na súradnicovej rovine vo forme polroviny. Zvážte všetky prípady.

127. Ustanovte, kartézsky súčin, ktorého dve množiny sú zobrazené na súradnicovej rovine ako pravý uhol, ktorý sa vytvorí pri pretínaní súradnicových osí.

128. Na rovine súradníc nakreslite čiaru rovnobežnú s osou OHa prechádzať bodom R(–2, 3).

129. Na rovine súradníc nakreslite čiaru rovnobežnú s osou O TOMY a prechádzať bodom R(–2, 3). Ustanoviť, karteziánsky súčin, ktorého dve množiny sú zobrazené na súradnicovej rovine vo forme tejto priamky.

130. Na rovinu súradníc nakreslite pás ohraničený priamkami prechádzajúcimi bodmi (–2, 0) a (2, 0) a rovnobežne s osou O TOMY. Popíšte množinu bodov patriacich k tomuto pásu.

131. Na súradnicovú rovinu nakreslite obdĺžnik, ktorého vrcholy sú body A(–3, 5), IN(–3, 8), ZO(7, 5), D (7, 8). Popíšte množinu bodov tohto obdĺžnika.

132. Zostrojte na rovine súradníc množinu bodov, ktorých súradnice vyhovujú podmienke:

a) x R, o= 5;

b) x= –3, o R;

v) x R, | y | \u003d 2;

d) | x| = 3, o R;

e) x R, r≥ 4;

e) x  R, r  4;

g) x R, | y | 4;

h) | x|  4, | y | 3 ;

a) | x | ≥1, | y | ≥ 4;

do) | x | ≥ 2, r R.

133. Na súradnicovej rovine zobrazte prvky karteziánskeho súčinu množín X a Y, ak:

a) X = R, Y = {3}; b) X = R, Y = [–3; 3]; v) X = .

134. Na rovinu súradníc nakreslite číslicu F, ak

a) F \u003d ((x, y)| x \u003d 2, r R}

b) F \u003d ((x, y) |x R, y \u003d -3);

v) F \u003d ((x, y) | x 2, r R};

d) F \u003d ((x, y) | x TO,r≥ – 3};

e) F \u003d ((x, y) | | x | \u003d 2, r R};

e) F\u003d ((x, y) | x R, | y | \u003d 3).

135. Zostrojte obdĺžnik s vrcholmi v bodoch (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Zadajte charakteristickú vlastnosť bodov patriacich k tomuto obdĺžniku.

136. Na rovine súradníc nakreslite rovné čiary rovnobežné s osou OX a prechádzajte bodmi (2, 3) a (2, –1). Zistite, ktorý karteziánsky súčin, z ktorého sú dve množiny, je zobrazený na súradnicovej rovine ako pásik uzavretý medzi konštruovanými priamkami.

137. Na rovine súradníc nakreslite rovné čiary rovnobežné s osou OY a prechádzajte bodmi (2, 3) a (–2, 3). Zistite, ktorý karteziánsky súčin, z ktorého sú dve množiny, je zobrazený na súradnicovej rovine ako pás uzavretý medzi konštruovanými čiarami.

138. Nakreslite množinu v obdĺžnikovom súradnicovom systéme X Y, ak:

a) X = R; Y ={ r o R, |o| < 3},

b) X= {x/ x R, |x| > 2}; Y= (r / r R, |o| > 4}.

K téme tejto kapitoly by mal byť študent schopný:

Nastaviť sady rôznymi spôsobmi;

Nadväzujte vzťahy medzi množinami a zobrazujte ich pomocou Euler-Vennových diagramov;

Preukázať rovnosť dvoch množín;

Vykonajte operácie na množinách a ilustrujte ich geometricky pomocou Euler-Vennových diagramov;

Rozdelte množinu do tried pomocou jednej alebo viacerých vlastností; vyhodnotiť správnosť vykonanej klasifikácie.

Nech je to dané rovnica v dvoch premenných F (x; y)... Už ste videli, ako analyticky vyriešiť tieto rovnice. Mnoho riešení takýchto rovníc je možné znázorniť vo forme grafu.

Graf rovnice F (x; y) je množina bodov súradnicovej roviny xOy, ktorej súradnice vyhovujú rovnici.

Ak chcete vykresliť rovnicu s dvoma premennými, najskôr vyjadrte premennú y v rovnici pomocou premennej x.

Určite už viete, ako vykresliť rôzne grafy rovníc s dvoma premennými: ax + b \u003d c - priamka, yx \u003d k - hyperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 - kruh, ktorého polomer sa rovná R, a stred je v bode O (a; b).

Príklad 1.

Zostavte rovnicu x 2 - 9y 2 \u003d 0.

Rozhodnutie.

Faktor ľavú stranu rovnice.

(x - 3r) (x + 3r) \u003d 0, to znamená, že y \u003d x / 3 alebo y \u003d -x / 3.

Odpoveď: Obrázok 1.

Zvláštne miesto zaujíma priraďovanie figúrok v rovine rovnicami obsahujúcimi znamienko absolútnej hodnoty, nad ktorými sa podrobne pozastavíme. Zvážte fázy vykreslenia rovníc tvaru | y | \u003d f (x) a | y | \u003d | f (x) |.

Prvá rovnica je ekvivalentná systému

(f (x) ≥ 0,
(y \u003d f (x) alebo y \u003d -f (x).

To znamená, že jeho graf sa skladá z grafov dvoch funkcií: y \u003d f (x) a y \u003d -f (x), kde f (x) ≥ 0.

Na vykreslenie druhej rovnice sa vykreslia dve funkcie: y \u003d f (x) a y \u003d -f (x).

Príklad 2.

Rovnica grafu | y | \u003d 2 + x.

Rozhodnutie.

Daná rovnica je ekvivalentná systému

(x + 2 ≥ 0,
(y \u003d x + 2 alebo y \u003d -x - 2.

Staviame množinu bodov.

Odpoveď: Obrázok 2.

Príklad 3.

Zostavte rovnicu | y - x | \u003d 1.

Rozhodnutie.

Ak y ≥ x, potom y \u003d x + 1, ak y ≤ x, potom y \u003d x - 1.

Odpoveď: Obrázok 3.

Pri vykresľovaní grafov rovníc obsahujúcich premennú pod znamienkom modulu je vhodné ich používať a racionálne plošná metóda, založené na rozdelení súradnicovej roviny na časti, v ktorých si každý výraz submodulu zachováva svoj znak.

Príklad 4.

Zostavte rovnicu x + | x | + y + | y \u200b\u200b| \u003d 2.

Rozhodnutie.

V tomto príklade znamienko každého výrazu submodulu závisí od súradnicovej štvrtiny.

1) V prvej štvrtine súradníc x ≥ 0 a y ≥ 0. Po rozšírení modulu daná rovnica bude vyzerať ako:

2x + 2y \u003d 2 a po zjednodušení x + y \u003d 1.

2) V druhom štvrťroku, kde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) V treťom štvrťroku x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Vo štvrtom štvrťroku pre x ≥ 0 a y< 0 получим, что x = 1.

Túto rovnicu zakreslíme na štvrtiny.

Odpoveď: Obrázok 4.

Príklad 5.

Nakreslite množinu bodov, pre ktoré súradnice vyhovujú rovnosti | x - 1 | + | y \u200b\u200b- 1 | \u003d 1.

Rozhodnutie.

Nuly výrazov submodulu x \u003d 1 a y \u003d 1 rozdelia rovinu súradníc na štyri oblasti. Poďme rozšíriť moduly podľa oblasti. Poďme to zariadiť vo forme tabuľky.

Odpoveď: Obrázok 5.

Na súradnicovej rovine je možné nastavovať čísla a nerovnosti.

Graf nerovnosti s dvoma premennými je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorej súradnice sú riešením tejto nerovnosti.

Zvážte algoritmus na zostrojenie modelu riešenia nerovnosti v dvoch premenných:

1. Napíš rovnicu zodpovedajúcu nerovnosti.
2. Zostavte rovnicu z kroku 1.
3. Vyberte ľubovoľný bod v jednej z polrovín. Skontrolujte, či súradnice vybraného bodu vyhovujú danej nerovnosti.
4. Graficky ukážte množinu všetkých riešení nerovnosti.

Uvažujme v prvom rade o nerovnosti ax + bx + c\u003e 0. Rovnica ax + bx + c \u003d 0 definuje priamku rozdeľujúcu rovinu na dve polroviny. V každom z nich je funkcia f (x) \u003d ax + bx + c zachovanie znakov. Na určenie tohto znamienka stačí vziať akýkoľvek bod patriaci do polroviny a vypočítať hodnotu funkcie v tomto bode. Ak sa znamienko funkcie zhoduje so znamienkom nerovnosti, potom bude táto rovina riešením nerovnosti.

Uvažujme o príkladoch grafického riešenia najbežnejších nerovností v dvoch premenných.

1) sekera + bx + c ≥ 0. Obrázok 6.

2) | x | ≤ a, a\u003e 0. Obrázok 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a\u003e 0. Obrázok 8.

4) y ≥ x 2. Obrázok 9.

5) xy ≤ 1. Obrázok 10.

Ak máte otázky alebo chcete precvičiť zobrazovanie rovín modelu súprav všetkých riešení nerovností v dvoch premenných pomocou matematické modelovaniemôžete minúť bezplatná 25-minútová lekcia s online lektor po prihlásení. Pre ďalšiu prácu s učiteľom budete mať možnosť zvoliť si tarifný plán, ktorý vám vyhovuje.

Stále máte otázky? Neviete, ako nakresliť tvar na súradnicovú rovinu?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Často je potrebné na súradnicovej rovine zobraziť súbor riešení nerovnosti v dvoch premenných. Riešením nerovnosti s dvoma premennými je dvojica hodnôt týchto premenných, ktorá danú nerovnosť premení na skutočnú číselnú nerovnosť.

2r+ 3x< 6.

Najprv postavme priamku. Za týmto účelom napíšeme nerovnosť vo forme rovnice 2r+ Zx \u003d6 a vyjadrovať r.Získame teda: y \u003d (6-3x) / 2.

Táto čiara rozdelí množinu všetkých bodov súradnicovej roviny na body umiestnené nad ňou a body umiestnené pod ňou.

Vezmite si mém z každej oblasti do kontrolný bod, napríklad A (1; 1) a B (1; 3)

Súradnice bodu A vyhovujú tejto nerovnosti 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Súradnice bodu B. nie uspokojiť túto nerovnosť 2 ∙ 3 \u200b\u200b+ 3 ∙ 1< 6.

Pretože táto nerovnosť môže meniť znamienko na priamke 2y + Zx \u003d 6, nerovnosť je uspokojená množinou bodov oblasti, kde sa nachádza bod A. Tieňujte túto oblasť.

Takto sme zobrazili súbor riešení nerovnosti 2 roky + Zx< 6.

Príklad

Predstavujeme množinu riešení nerovnosti x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1\u003e 0 na súradnicovej rovine.

Vytvorme najskôr graf rovnice x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0. Oddelme rovnicu kruhu v tejto rovnici: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4 alebo (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

Toto je rovnica kruhu so stredom v bode 0 (-1; 2) a polomerom R \u003d 2. Zostrojte tento kruh.

Pretože táto nerovnosť je prísna a body ležiace na samotnej kružnici nerovnosť nevyhovujú, zostrojíme kruh prerušovanou čiarou.

Je ľahké skontrolovať, či súradnice stredu O kruhu nevyhovujú tejto nerovnosti. Výraz x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 zmení znamienko na zostrojenej kružnici. Potom nerovnosť uspokojujú body umiestnené mimo kruh. Tieto body sú tieňované.

Príklad

Predstavme na súradnicovej rovine množinu riešení nerovnosti

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Najskôr nakreslíme graf rovnice (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0. Je to parabola y \u003d x 2 a priamka y \u003d x + 3. Zostavme tieto priamky a všimnime si, že zmena v znamienku výrazu (y - x 2) (y - x - 3) sa vyskytuje iba na týchto riadkoch. Pre bod A (0; 5) definujeme znamienko tohto výrazu: (5-3)\u003e 0 (to znamená, že táto nerovnosť nie je splnená). Teraz je ľahké označiť množinu bodov, pre ktoré je táto nerovnosť splnená (tieto oblasti sú tieňované).

Algoritmus riešenia nerovností v dvoch premenných

1. Zredukujme nerovnosť na tvar f (x; y)< 0 (f (х; у) > 0; f (x; y) \u003c0; f (x; y) ≥ 0;)

2. Zapíšeme rovnosť f (x; y) \u003d 0

3. Rozpoznajte grafy napísané na ľavej strane.

4. Zostavujeme tieto grafy. Ak je nerovnosť prísna (f (x; y)< 0 или f (х; у) > 0), potom - ťahmi, ak nerovnosť nie je prísna (f (x; y) ≤ 0 alebo f (x; y) ≥ 0), potom - plnou čiarou.

5. Určte, na koľko častí grafiky bola súradnicová rovina rozdelená

6. Vyberte riadiaci bod v jednej z týchto častí. Určte znamienko výrazu f (x; y)

7. Usporiadajte značky v iných častiach roviny, berte do úvahy striedanie (ako v metóde intervalov)

8. Vyberte časti, ktoré potrebujeme, v súlade so znakom nerovnosti, ktorý riešime, a použite tieňovanie