Objem tela vytvorený rotáciou obrázku ohraničeného čiarami. Výpočet objemu telesa vytvoreného rotáciou. Ako vypočítať objem revolučného telesa

Rovnako ako v prípade problému s nájdením oblasti potrebujete sebavedomé kresliarske schopnosti - to je takmer najdôležitejšia vec (pretože samotní integrálni partneri budú často jednoduchí). Môžete ovládať kompetentnú a rýchlu techniku ​​vytvárania grafov pomocou učebné materiály a Geometrické transformácie grafov. Ale v skutočnosti som už v lekcii opakovane hovoril o dôležitosti kresieb.

Vo všeobecnosti existuje v integrálnom počte veľa zaujímavé aplikácie, pomocou určitého integrálu môžete vypočítať plochu obrázku, objem rotačného telesa, dĺžku oblúka, plochu otáčania a mnoho ďalších. Bude to teda zábava, buďte optimistickí!

Predstavte si nejakú plochú postavu súradnicová rovina... Prezentovali ste? ... Zaujímalo by ma, kto čo predstavil ... =))) Jeho oblasť sme už našli. Tento obrázok je však možné tiež otáčať a otáčať dvoma spôsobmi:

- okolo osi x;
- okolo osi súradnice.

Tento článok sa bude zaoberať oboma prípadmi. Zvlášť zaujímavý je druhý spôsob rotácie, ktorý spôsobuje najväčšie ťažkosti, ale v skutočnosti je riešenie prakticky rovnaké ako pri bežnejšom otáčaní okolo osi x. Ako bonus sa vrátim k problém nájdenia oblasti postavy, a poviem vám, ako nájsť oblasť druhým spôsobom - pozdĺž osi. Nie je to ani taký bonus, ako materiál dobre zapadá do témy.

Začnime s najobľúbenejším typom odstreďovania.

plochá postava okolo osi

Príklad 1

Vypočítajte objem tuhej látky získanej otáčaním tvaru ohraničeného čiarami okolo osi.

Riešenie: Rovnako ako v prípade problému s nájdením oblasti, riešenie začína kresbou plochej figúry... To znamená, že v rovine je potrebné postaviť postavu ohraničenú čiarami a nezabudnite, že rovnica určuje os. Ako urobiť kresbu efektívnejšie a rýchlejšie, sa dozviete na stránkach Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií a Definitívny integrál. Ako vypočítať plochu tvaru... Toto je čínska pripomienka a v tomto bode sa už nezastavujem.

Tu je kresba veľmi jednoduchá:

Požadovaná plochá postava je vytieňovaná modrou farbou, je to ona, ktorá sa otáča okolo osi. V dôsledku rotácie sa získa taký mierne vajcovitý lietajúci tanier, ktorý je symetrický okolo osi. V skutočnosti má telo matematický názov, ale referenčná kniha je príliš lenivá na to, aby niečo objasnila, a tak ideme ďalej.

Ako vypočítať objem revolučného telesa?

Objem revolučného telesa sa dá vypočítať podľa vzorca:

Pred integrálom musí byť vo vzorci vždy prítomné číslo. Stalo sa to - všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že ako nastaviť limity integrácie „a“ a „bh“, je ľahké uhádnuť z dokončeného výkresu.

Funkcia ... čo je to za funkciu? Pozrime sa na výkres. Plochá postava je v hornej časti ohraničená parabolickým grafom. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

Pri praktických cvičeniach môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - integrand vo vzorci je štvorcový: teda integrál je vždy nezáporný, čo je celkom logické.

Vypočítajme objem revolučného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál je takmer vždy jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

V odpovedi je potrebné uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom tele revolúcie je približne 3,35 „kociek“. Prečo práve kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, tam môžu byť kubické metre, tam môžu byť kubické kilometre atď., To je toľko malých zelených mužíkov, ktoré môže vaša predstavivosť vložiť do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem tela vytvorený rotáciou okolo osi obrázku ohraničenej čiarami,

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujte o dvoch zložitejších úlohách, ktoré sú v praxi tiež bežné.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaný otáčaním obrázku ohraničeného čiarami okolo osi osi x, a

Riešenie: Nakreslite na výkres plochý obrazec ohraničený čiarami ,,,, pričom nezabudnite, že rovnica definuje os:

Požadovaná postava je zatienená modrou farbou. Keď ho otočíte okolo osi, získate taký surrealistický donut so štyrmi rohmi.

Objem revolučného telesa sa vypočíta ako rozdiel v telesných objemoch.

Najprv sa pozrime na tvar načrtnutý červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa skrátený kužeľ. Označme objem tohto skráteného kužeľa.

Zvážte tvar načrtnutý zelenou farbou. Ak tento údaj otočíte okolo osi, získate aj zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Označme jeho objem prostredníctvom.

A je zrejmé, že rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na vyhľadanie objemu revolučného telesa použijeme štandardný vzorec:

1) Červeno načrtnutý obrázok je zhora ohraničený priamkou, preto:

2) Tvar načrtnutý zelenou farbou je zhora ohraničený priamkou, takže:

3) Objem hľadaného revolučného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné riešenie sa často skracuje, napríklad takto:

Teraz si trochu oddýchneme a porozprávame sa o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, čo Perelman (ďalší) v knihe zaznamenal Zaujímavá geometria... Pozrite sa na plochú figúrku v vyriešenom probléme - zdá sa, že je malá v ploche a objem revolučného telesa je o niečo viac ako 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek v celom svojom živote pije tekutinu s objemom miestnosti 18 metrov štvorcových, ktorá sa naopak zdá byť príliš malým objemom.

Vo všeobecnosti bol vzdelávací systém v ZSSR skutočne najlepší. Tá istá kniha od Perelmana, publikovaná v roku 1950, sa veľmi dobre rozvíja, ako povedal humorista, a odhaľuje nás, ako hľadať originálne neštandardné riešenia problémov. Nedávno som si s veľkým záujmom prečítal niektoré kapitoly, odporúčam to, je to dostupné dokonca aj pre humanitné vedy. Nie, nie je potrebné sa usmievať, že som ponúkol voľný čas, erudícia a široký rozhľad v komunikácii je skvelá vec.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Príklad 4

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého obrazca ohraničeného čiarami, kde.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Upozorňujeme, že všetky veci sa odohrávajú v páse, inými slovami, v skutočnosti sú dané pripravené limity integrácie. Nakreslite grafy správne trigonometrické funkcie, Pripomeniem materiál lekcie o geometrické transformácie grafov: ak je argument deliteľný dvoma :, potom sa grafy dvakrát natiahnu pozdĺž osi. Je žiaduce nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek presnejšie dokončenie výkresu. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu. Mimochodom, úlohu je možné vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Výpočet objemu telesa vytvoreného rotáciou
plochá postava okolo osi

Druhý odsek bude ešte zaujímavejší ako prvý. Pomerne častým hosťom je aj výpočet objemu rotačného telesa okolo osi osi kontrolné práce... Po ceste sa bude zvažovať problém nájdenia oblasti postavy druhým spôsobom - integrácia pozdĺž osi, to vám umožní nielen zlepšiť svoje schopnosti, ale tiež vás naučí, ako nájsť najziskovejšie riešenie. Má to aj praktický zmysel v živote! Ako s úsmevom spomínala moja učiteľka vyučovacích metód vyučovania matematiky, mnoho absolventov jej poďakovalo slovami: „Váš predmet nám veľmi pomohol, teraz sme efektívnymi manažérmi a riadime personál optimálnym spôsobom.“ Pri tejto príležitosti jej tiež vyjadrujem hlbokú vďaku, najmä preto, že získané znalosti používam na určený účel =).

Odporúčam každému, aj úplným čajníkom, na čítanie. Asimilácia materiálu v druhej časti bude navyše neoceniteľná pri výpočte dvojitých integrálov.

Príklad 5

Dostanete plochú postavu ohraničenú čiarami ,,.

1) Nájdite plochu plochého obrázku ohraničenú týmito čiarami.
2) Nájdite objem telesa získaný otáčaním plochej figúry ohraničenej týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete prečítať iba druhý odsek, najskôr nevyhnutne prečítaj si ten prvý!

Riešenie: Úloha pozostáva z dvoch častí. Začnime s námestím.

1) Vykonajme kresbu:

Je ľahké vidieť, že funkcia definuje hornú vetvu paraboly a funkcia definuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaný obrázok, ktorého plocha sa nachádza, je zatienený modrou farbou.

Ako nájdem oblasť tvaru? Dá sa nájsť „obvyklým“ spôsobom, o ktorom sa diskutovalo v lekcii Definitívny integrál. Ako vypočítať plochu tvaru... Plocha obrázku sa navyše nachádza ako súčet oblastí:
- na segmente ;
- na segmente.

Preto:

Čo je zlé na obvyklom riešení v tomto prípade? Po prvé, existujú dva integrály. Za druhé, korene pod integrálami a korene v integráloch nie sú darom, navyše sa dá zamieňať pri nahrádzaní hraníc integrácie. V skutočnosti integrály, samozrejme, nie sú smrteľné, ale v praxi môže byť všetko oveľa smutnejšie, len som pre túto úlohu vybral lepšie funkcie.

Je ich viac racionálnym spôsobom riešenia: spočíva v prechode na inverzné funkcie a integrácii pozdĺž osi.

Ako prejdem na reverzné funkcie? Zhruba povedané, musíte vyjadriť „X“ prostredníctvom „Y“. Poďme sa najskôr zaoberať parabolou:

To stačí, ale uistime sa, že rovnakú funkciu je možné vytiahnuť aj zo spodnej vetvy:

S priamkou je všetko jednoduchšie:

Teraz sa pozrieme na os: prosím, pravidelne nakláňajte hlavu doprava o 90 stupňov, ako vysvetľujete (toto nie je vtip!). Potrebný tvar leží na segmente označenom červenou bodkovanou čiarou. V tomto prípade je v segmente rovná čiara umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou vzorca, ktorý už poznáte: ... Čo sa zmenilo vo vzorci? Len list a nič viac.

! Poznámka: Mali by byť stanovené limity integrácie pozdĺž osi striktne zdola nahor!

Nájdite oblasť:

V segmente teda:

Všimnite si, ako som urobil integráciu, toto je najviac racionálnym spôsobom, a v nasledujúcom odseku úlohy bude zrejmé, prečo.

Pre čitateľov, ktorí majú pochybnosti o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodný integrand, čo znamená, že integrácia je vykonaná správne.

Odpoveď:

2) Vypočítajme objem tela vytvorený rotáciou tohto obrázku okolo osi.

Kresbu prekreslím v trochu inom prevedení:

Modrý tieňovaný tvar sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem revolučného telesa, budeme sa integrovať pozdĺž osi. Najprv musíte prejsť na inverzné funkcie. Toto už bolo urobené a podrobne uvedené v predchádzajúcom odseku.

Teraz znova nakloníme hlavu doprava a študujeme svoju postavu. Je zrejmé, že objem revolučného telesa by mal byť považovaný za rozdiel v objemoch.

Otočte tvar načrtnutý červenou farbou okolo osi, výsledkom bude skrátený kužeľ. Označme tento objem prostredníctvom.

Otočte tvar, krúžený zelenou farbou, okolo osi a označte ho objemom výsledného revolučného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na nájdenie objemu revolučného telesa použijeme vzorec:

Aký je rozdiel od vzorca v predchádzajúcom odseku? Len v liste.

A tu je výhoda integrácie, o ktorej som nedávno hovoril, oveľa jednoduchšie nájsť než predbežne zvýšiť integrand na 4. mocninu.

Odpoveď:

Avšak chorobný motýľ.

Všimnite si toho, že ak otočíte rovnakú plochú postavu okolo osi, získate úplne iné telo rotácie, samozrejme iného objemu.

Príklad 6

Dostanete plochú postavu ohraničenú čiarami a osou.

1) Prejdite na inverzné funkcie a nájdite oblasť plochej figúry ohraničenú týmito čiarami integráciou cez premennú.
2) Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním plochej figúry ohraničenej týmito čiarami okolo osi.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Záujemcovia môžu tiež nájsť oblasť obrázku „obvyklým“ spôsobom, čím si skontrolujú bod 1). Ale ak, opakujem, otočíte plochú figúrku okolo osi, získate úplne iné telo rotácie s iným objemom, mimochodom, správnou odpoveďou (aj pre tých, ktorí radi riešia).

Kompletné riešenie dvoch navrhovaných bodov zadania na konci hodiny.

Ach, a nezabudnite nakloniť hlavu doprava, aby ste pochopili telá revolúcie a v rámci integrácie!

Okrem tohoto nájdenie plochy plochej figúry pomocou určitého integrálu najdôležitejšou aplikáciou témy je výpočet objemu revolučného telesa... Materiál je jednoduchý, ale čitateľ musí byť pripravený: musíte byť schopní vyriešiť neurčité integrály stredne zložité a aplikujte Newton-Leibnizov vzorec v definitívny integrál ... Rovnako ako v prípade problému s nájdením oblasti potrebujete sebavedomé kresliarske schopnosti - to je takmer najdôležitejšia vec (pretože samotní integrálni partneri budú často jednoduchí). Pomocou metodického materiálu môžete zvládnuť kompetentnú a rýchlu grafickú techniku ... Ale v skutočnosti som už opakovane hovoril o dôležitosti kresieb v lekcii. .

Vo všeobecnosti existuje veľa zaujímavých aplikácií v integrálnom počte, pomocou určitého integrálu môžete vypočítať plochu figúry, objem rotačného telesa, dĺžku oblúka, povrchovú plochu telo a mnoho ďalších. Bude to teda zábava, buďte optimistickí!

Predstavte si plochú figúrku v súradnicovej rovine. Prezentovali ste? ... Zaujímalo by ma, kto čo predstavil ... =))) Jeho oblasť sme už našli. Tento obrázok je však možné tiež otáčať a otáčať dvoma spôsobmi:

– okolo osi x; - okolo osi súradnice.

Tento článok sa bude zaoberať oboma prípadmi. Zvlášť zaujímavý je druhý spôsob rotácie, ktorý spôsobuje najväčšie ťažkosti, ale v skutočnosti je riešenie prakticky rovnaké ako pri bežnejšom otáčaní okolo osi x. Ako bonus sa vrátim k problém nájdenia oblasti postavy , a poviem vám, ako nájsť oblasť druhým spôsobom - pozdĺž osi. Nie je to ani taký bonus, ako materiál dobre zapadá do témy.

Začnime s najobľúbenejším typom odstreďovania.

Výpočet objemu telesa vytvoreného otočením plochej figúrky okolo osi

Príklad 1

Vypočítajte objem tuhej látky získanej otáčaním tvaru ohraničeného čiarami okolo osi.

Riešenie: Rovnako ako v prípade problému s nájdením oblasti, riešenie začína kresbou plochej figúry... To znamená, že v rovine je potrebné postaviť postavu ohraničenú čiarami a nezabudnite, že rovnica určuje os. Ako urobiť kresbu efektívnejšie a rýchlejšie, sa dozviete na stránkach Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií a Definitívny integrál. Ako vypočítať plochu tvaru ... Toto je čínska pripomienka a v tomto bode sa už nezastavujem.

Tu je kresba veľmi jednoduchá:

Požadovaná plochá postava je vytieňovaná modrou farbou a je to ona, ktorá sa otáča okolo osi. Výsledkom rotácie je taký mierne vajcovitý lietajúci tanier, ktorý je symetrický okolo osi. V skutočnosti má telo matematický názov, ale referenčná kniha je príliš lenivá na pohľad, a tak ideme ďalej.

Ako vypočítať objem revolučného telesa?

Objem revolučného telesa sa dá vypočítať podľa vzorca:

Pred integrálom musí byť vo vzorci vždy prítomné číslo. Stalo sa to - všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že ako nastaviť limity integrácie „a“ a „bh“, je ľahké uhádnuť z dokončeného výkresu.

Funkcia ... čo je to za funkciu? Pozrime sa na výkres. Plochá postava je v hornej časti ohraničená parabolickým grafom. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

Pri praktických cvičeniach môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - funkcia vo vzorci je druhá mocnina: teda objem revolučného telesa nie je vždy negatívny, čo je celkom logické.

Vypočítajme objem revolučného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál je takmer vždy jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

V odpovedi je potrebné uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom tele revolúcie je približne 3,35 „kociek“. Prečo práve kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, tam môžu byť kubické metre, tam môžu byť kubické kilometre atď., To je toľko malých zelených mužíkov, ktoré môže vaša predstavivosť vložiť do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem tela vytvorený rotáciou okolo osi obrázku ohraničeného čiarami,

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Uvažujte o dvoch zložitejších úlohách, ktoré sú v praxi tiež bežné.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaný otáčaním obrázku ohraničeného čiarami okolo osi osi x, a

Riešenie: Nakreslite na výkres plochý obrazec ohraničený čiarami ,,,, pričom nezabudnite, že rovnica určuje os:

Požadovaná postava je zatienená modrou farbou. Keď ho otočíte okolo osi, získate taký surrealistický donut so štyrmi rohmi.

Objem revolučného telesa sa vypočíta ako rozdiel v telesných objemoch.

Najprv sa pozrime na tvar načrtnutý červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa skrátený kužeľ. Označme objem tohto skráteného kužeľa.

Zvážte tvar načrtnutý zelenou farbou. Ak tento údaj otočíte okolo osi, získate aj zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Označme jeho objem prostredníctvom.

A je zrejmé, že rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na vyhľadanie objemu revolučného telesa použijeme štandardný vzorec:

1) Červeno načrtnutý obrázok je zhora ohraničený priamkou, preto:

2) Tvar načrtnutý zelenou farbou je zhora ohraničený priamkou, takže:

3) Objem hľadaného revolučného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné riešenie sa často skracuje, napríklad takto:

Teraz si trochu oddýchneme a porozprávame sa o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, ktoré si Perelman (nie ten) v knihe všimol. Zaujímavá geometria... Pozrite sa na plochú figúrku v vyriešenom probléme - zdá sa, že je malá v ploche a objem revolučného telesa je o niečo viac ako 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek v celom svojom živote pije tekutinu s objemom miestnosti 18 metrov štvorcových, ktorá sa naopak zdá byť príliš malým objemom.

Vo všeobecnosti bol vzdelávací systém v ZSSR skutočne najlepší. Tá istá kniha od Perelmana, ktorú napísal ešte v roku 1950, sa veľmi dobre rozvíja, ako povedal humorista, odôvodnenie a učí hľadať originálne neštandardné riešenia problémov. Nedávno som si s veľkým záujmom prečítal niektoré kapitoly, odporúčam, je k dispozícii aj pre humanitné vedy. Nie, nie je potrebné sa usmievať, že som ponúkol voľný čas, erudícia a široký rozhľad v komunikácii je skvelá vec.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Príklad 4

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého obrazca ohraničeného čiarami, kde.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Upozorňujeme, že všetky veci sa odohrávajú v páse, inými slovami, sú uvedené takmer pripravené limity integrácie. Skúste tiež nakresliť grafy trigonometrických funkcií správne, ak je argument deliteľný dvoma :, potom sa grafy dvakrát natiahnu pozdĺž osi. Pokúste sa nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek a presnejšie vykonať kresbu. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu. Mimochodom, úlohu je možné vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Objem revolučného telesa sa dá vypočítať podľa vzorca:

Pred integrálom musí byť vo vzorci vždy prítomné číslo. Stalo sa to - všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že ako nastaviť limity integrácie „a“ a „bh“, je ľahké uhádnuť z dokončeného výkresu.

Funkcia ... čo je to za funkciu? Pozrime sa na výkres. Plochá postava je v hornej časti ohraničená parabolickým grafom. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

Pri praktických cvičeniach môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - funkcia vo vzorci je druhá mocnina: teda objem revolučného telesa nie je vždy negatívny, čo je celkom logické.

Vypočítajme objem revolučného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál je takmer vždy jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

V odpovedi je potrebné uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom tele revolúcie je približne 3,35 „kociek“. Prečo práve kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, tam môžu byť kubické metre, tam môžu byť kubické kilometre atď., To je toľko malých zelených mužíkov, ktoré môže vaša predstavivosť vložiť do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem tela vytvorený rotáciou okolo osi obrázku ohraničenej čiarami,

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Uvažujte o dvoch zložitejších úlohách, ktoré sú v praxi tiež bežné.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaný otáčaním obrázku ohraničeného čiarami okolo osi osi x, a

Riešenie: Nakreslite na výkres plochý obrazec ohraničený čiarami ,,,, pričom nezabudnite, že rovnica určuje os:

Požadovaná postava je zatienená modrou farbou. Keď ho otočíte okolo osi, získate taký surrealistický donut so štyrmi rohmi.

Objem revolučného telesa sa vypočíta ako rozdiel v telesných objemoch.

Najprv sa pozrime na tvar načrtnutý červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa skrátený kužeľ. Označme objem tohto skráteného kužeľa.

Zvážte tvar načrtnutý zelenou farbou. Ak tento údaj otočíte okolo osi, získate aj zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Označme jeho objem prostredníctvom.

A je zrejmé, že rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na vyhľadanie objemu revolučného telesa použijeme štandardný vzorec:

1) Červeno načrtnutý obrázok je zhora ohraničený priamkou, preto:

2) Tvar načrtnutý zelenou farbou je zhora ohraničený priamkou, takže:

3) Objem hľadaného revolučného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné riešenie sa často skracuje, napríklad takto:

Teraz si trochu oddýchneme a porozprávame sa o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, ktoré si Perelman (nie ten) v knihe všimol. Zaujímavá geometria... Pozrite sa na plochú figúrku v vyriešenom probléme - zdá sa, že je malá v ploche a objem revolučného telesa je o niečo viac ako 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek v celom svojom živote pije tekutinu s objemom miestnosti 18 metrov štvorcových, ktorá sa naopak zdá byť príliš malým objemom.

Vo všeobecnosti bol vzdelávací systém v ZSSR skutočne najlepší. Tá istá kniha od Perelmana, ktorú napísal ešte v roku 1950, sa veľmi dobre rozvíja, ako povedal humorista, odôvodnenie a učí hľadať originálne neštandardné riešenia problémov. Nedávno som si s veľkým záujmom prečítal niektoré kapitoly, odporúčam to, je to dostupné dokonca aj pre humanitné vedy. Nie, nie je potrebné sa usmievať, že som ponúkol voľný čas, erudícia a široký rozhľad v komunikácii je skvelá vec.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Príklad 4

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého obrazca ohraničeného čiarami, kde.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Upozorňujeme, že všetky veci sa odohrávajú v páse, inými slovami, sú uvedené takmer pripravené limity integrácie. Skúste tiež nakresliť grafy trigonometrických funkcií správne, ak je argument deliteľný dvoma :, potom sa grafy dvakrát natiahnu pozdĺž osi. Pokúste sa nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek a presnejšie vykonať kresbu. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu. Mimochodom, úlohu je možné vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Výpočet objemu telesa vytvoreného rotáciou
plochá postava okolo osi

Druhý odsek bude ešte zaujímavejší ako prvý. Pomerne častým hosťom kontrolných prác je aj výpočet objemu rotačného telesa okolo osi osi. Po ceste sa bude zvažovať problém nájdenia oblasti postavy druhým spôsobom - integrácia pozdĺž osi, to vám umožní nielen zlepšiť svoje schopnosti, ale tiež vás naučí, ako nájsť najziskovejšie riešenie. Má to aj praktický zmysel v živote! Ako s úsmevom spomínala moja učiteľka vyučovacích metód vyučovania matematiky, mnoho absolventov jej poďakovalo slovami: „Váš predmet nám veľmi pomohol, teraz sme efektívnymi manažérmi a riadime personál optimálnym spôsobom.“ Pri tejto príležitosti jej tiež vyjadrujem hlbokú vďaku, najmä preto, že získané znalosti používam na určený účel =).

Príklad 5

Dostanete plochú postavu ohraničenú čiarami ,,.

1) Nájdite plochu plochého obrázku ohraničenú týmito čiarami.
2) Nájdite objem telesa získaný otáčaním plochej figúry ohraničenej týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete prečítať iba druhý odsek, najskôr nevyhnutne prečítaj si ten prvý!

Riešenie:Úloha má dve časti. Začnime s námestím.

1) Vykonajme kresbu:

Je ľahké vidieť, že funkcia definuje hornú vetvu paraboly a funkcia definuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaný obrázok, ktorého plocha sa nachádza, je zatienený modrou farbou.

Ako nájdem oblasť tvaru? Dá sa nájsť „obvyklým“ spôsobom, o ktorom sa diskutovalo v lekcii Definitívny integrál... Ako vypočítať plochu tvaru... Plocha obrázku sa navyše nachádza ako súčet oblastí:
- na segmente;
- na segmente.

Preto:

Čo je zlé na obvyklom riešení v tomto prípade? Po prvé, existujú dva integrály. Za druhé, korene pod integrálami a korene v integráloch nie sú darom, navyše sa dá zamieňať pri nahrádzaní hraníc integrácie. V skutočnosti integrály, samozrejme, nie sú smrteľné, ale v praxi môže byť všetko oveľa smutnejšie, len som pre túto úlohu vybral lepšie funkcie.

Existuje racionálnejší spôsob riešenia: spočíva v prechode na inverzné funkcie a integrácii pozdĺž osi.

Ako prejdem na reverzné funkcie? Zhruba povedané, musíte vyjadriť „X“ prostredníctvom „Y“. Poďme sa najskôr zaoberať parabolou:

To stačí, ale uistime sa, že rovnakú funkciu je možné vytiahnuť aj zo spodnej vetvy:

S priamkou je všetko jednoduchšie:

Teraz sa pozrieme na os: prosím, pravidelne nakláňajte hlavu doprava o 90 stupňov, ako vysvetľujete (toto nie je vtip!). Potrebný tvar leží na segmente označenom červenou bodkovanou čiarou. V tomto prípade je na segmente rovná čiara umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou vzorca, ktorý už poznáte :. Čo sa zmenilo vo vzorci? Len list a nič viac.

! Poznámka: Mali by byť nastavené limity integrácie pozdĺž osi striktne zdola nahor!

Nájdite oblasť:

V segmente teda:

Venujte pozornosť tomu, ako som vykonal integráciu, je to najracionálnejší spôsob a v nasledujúcom odseku úlohy bude zrejmé, prečo.

Pre čitateľov, ktorí majú pochybnosti o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodný integrand, čo znamená, že integrácia je vykonaná správne.

Odpoveď:

2) Vypočítajme objem tela vytvorený rotáciou tohto obrázku okolo osi.

Kresbu prekreslím v trochu inom prevedení:

Modrý tieňovaný tvar sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem revolučného telesa, budeme sa integrovať pozdĺž osi. Najprv musíte prejsť na inverzné funkcie. Toto už bolo urobené a podrobne uvedené v predchádzajúcom odseku.

Teraz znova nakloníme hlavu doprava a študujeme svoju postavu. Je zrejmé, že objem revolučného telesa by mal byť považovaný za rozdiel v objemoch.

Otočte tvar načrtnutý červenou farbou okolo osi, výsledkom bude skrátený kužeľ. Označme tento objem prostredníctvom.

Otočte tvar, krúžený zelenou farbou, okolo osi a označte ho objemom výsledného revolučného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na nájdenie objemu revolučného telesa použijeme vzorec:

Aký je rozdiel od vzorca v predchádzajúcom odseku? Len v liste.

A tu je výhoda integrácie, o ktorej som nedávno hovoril, oveľa jednoduchšie nájsť, ako najskôr zvýšiť integrand na 4. mocninu.

Odpoveď:

Avšak chorobný motýľ.

Všimnite si toho, že ak otočíte rovnakú plochú postavu okolo osi, získate úplne iné telo rotácie, samozrejme iného objemu.

Príklad 6

Dostanete plochú postavu ohraničenú čiarami a osou.

1) Prejdite na inverzné funkcie a nájdite oblasť plochej figúry ohraničenú týmito čiarami integráciou cez premennú.
2) Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním plochej figúry ohraničenej týmito čiarami okolo osi.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Záujemcovia môžu tiež nájsť oblasť obrázku „obvyklým“ spôsobom, čím si skontrolujú bod 1). Ale ak, opakujem, otočíte plochú figúrku okolo osi, získate úplne iné telo rotácie s iným objemom, mimochodom, správnou odpoveďou (aj pre tých, ktorí radi riešia).

Kompletné riešenie dvoch navrhovaných bodov zadania na konci hodiny.

Ach, a nezabudnite nakloniť hlavu doprava, aby ste pochopili telá revolúcie a v rámci integrácie!

Chcel som, už to bolo, dokončiť článok, ale dnes priniesli zaujímavý príklad len na nájdenie objemu revolučného telesa okolo osi osi. Čerstvo:

Príklad 7

Vypočítajte objem tela vytvorený rotáciou okolo osi obrázku ohraničenej krivkami a. Inverzná funkcia zodpovedá ľavej nepoužitej vetve paraboly - graf funkcie je umiestnený na segmente nad osou;

Je logické predpokladať, že objem revolučného tela je potrebné hľadať už ako súčet objemov revolučných teles!

Používame vzorec:

V tomto prípade:

Odpoveď:

V. problém nájdenia oblasti postavy súčet oblastí sa používa často a súčet objemov revolučných telies je zjavne vzácnosťou, pretože taká rozmanitosť takmer vypadla z môjho zorného poľa. Napriek tomu je dobré, že sa uvažovaný príklad objavil včas - podarilo sa nám vytiahnuť veľa užitočných vecí.

Úspešná propagácia figúrok!

Sekcie: Matematika

Typ lekcie: kombinovaná.

Účel lekcie: naučte sa počítať objemy revolučných telies pomocou integrálov.

Úlohy:

• upevniť schopnosť vyberať krivočiare lichobežníky z množstva geometrických tvarov a precvičiť si zručnosť výpočtu oblastí krivočiarych lichobežníkov;
• zoznámiť sa s konceptom volumetrická postava;
• naučte sa vypočítať objemy revolučných telies;
• prispieť k rozvoju logické myslenie, kompetentná matematická reč, presnosť konštrukcie výkresov;
• rozvíjať záujem o predmet, pracovať s matematickými konceptmi a obrázkami, podporovať vôľu, nezávislosť a vytrvalosť pri dosahovaní konečného výsledku.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Skupinový pozdrav. Komunikácia so študentmi o cieľoch hodiny.

Odraz. Pokojná melódia.

- Dnešná lekcia Chcel by som začať podobenstvom. "Bol tu mudrc, ktorý vedel všetko." Jedna osoba chcela dokázať, že mudrc nevie všetko. Chytil motýľa za dlane a spýtal sa: „Povedz mi, mudrc, ktorý motýľ mám v rukách: mŕtvy alebo živý?“ A sám si myslí: „Živý povie - zabijem ju, mŕtvy povie - prepustím ju.“ Mudrc, ktorý premýšľal, odpovedal: „Všetko vo vašich rukách“. (Prezentácia.Šmykľavka)

„Preto dnes pracujme plodne, získajme novú zásobu znalostí a získané zručnosti a schopnosti aplikujme v neskoršom živote a v praktických činnostiach. „Všetko vo vašich rukách“.

II. Opakovanie predtým študovaného materiálu.

- Pripomeňme si hlavné body predtým študovaného materiálu. Aby sme to urobili, úlohu dokončíme „Odstráňte prebytočné slovo.“(Šmykľavka.)

(Študent prejde do ID pomocou gumy a odstráni ďalšie slovo.)

- Správny "Diferenciál". Skúste pomenovať zostávajúce slová ako jedno spoločné slovo... (Integrovaný počet.)

- Pripomeňme si hlavné etapy a koncepty spojené s integrálnym počtom ..

„Matematický klaster“.

Cvičenie. Obnovte medzery. (Študent vyjde a perom napíše potrebné slová.)

- Abstrakt o aplikácii integrálov si vypočujeme neskôr.

Práca v zošitoch.

- Newton-Leibnizov vzorec odvodil anglický fyzik Isaac Newton (1643–1727) a nemecký filozof Gottfried Leibniz (1646–1716). A to nie je prekvapujúce, pretože matematika je jazykom, ktorým hovorí sama príroda.

- Uvažujme, ako sa tento vzorec používa pri riešení praktických úloh.

Príklad 1: Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami

Riešenie: Zostavme grafy funkcií na súradnicovej rovine ... Vyberte oblasť tvaru, ktorý sa má nájsť.

III. Učenie sa nového materiálu.

- Dávajte pozor na obrazovku. Čo je zobrazené na prvom obrázku? (Šmykľavka) (Na obrázku je plochá postava.)

- Čo je zobrazené na druhom obrázku? Je tento údaj plochý? (Šmykľavka) (Na obrázku je trojrozmerný obrázok.)

- Vo vesmíre, na Zemi a vo svete Každodenný život stretávame nielen ploché postavy, ale aj trojrozmerné, ale ako vypočítať objem takýchto telies? Napríklad objem planéty, kamery, meteoritu atď.

- Na objem myslia pri stavbe domov aj pri nalievaní vody z jednej nádoby do druhej. Pravidlá a techniky na výpočet objemov mali vzniknúť, je iné, ako presné a podložené boli.

Študentská správa. (Vera Tyurina.)

Rok 1612 bol najmä pre hrozno veľmi plodný pre obyvateľov rakúskeho mesta Linec, kde v tej dobe žil známy astronóm Johannes Kepler. Ľudia pripravovali sudy s vínom a chceli vedieť, ako prakticky určiť ich objem. (Snímka 2)

- Uvažované Keplerove práce položili základ celému prúdu štúdií, ktoré vyvrcholili v poslednej štvrtine 17. storočia. registrácia v dielach I. Newtona a G.V. Leibnizov diferenciálny a integrálny počet. Od tej doby zaujíma matematika premenných veľkosti popredné miesto v systéme matematických znalostí.

- Dnes sa budeme venovať takýmto praktickým aktivitám, preto

Témou našej hodiny je „Výpočet objemov revolučných telies pomocou určitého integrálu“. (Šmykľavka)

- Definíciu revolučného telesa sa naučíte splnením nasledujúcej úlohy.

"Labyrint".

Labyrint (grécke slovo) znamená prechod do žalára. Labyrint - zložitá sieť chodníkov, chodieb, miestností, ktoré navzájom komunikujú.

Ale definícia „havarovala“, existujú tipy vo forme šípok.

Cvičenie. Nájdite východisko zo zmätku a napíšte definíciu.

Šmykľavka. „Mapová inštrukcia“ Výpočet objemov.

Pomocou určitého integrálu je možné vypočítať objem telesa, najmä revolučného telesa.

Rotačné teleso je teleso získané otáčaním zakriveného lichobežníka okolo jeho základne (obr. 1, 2)

Objem revolučného telesa sa vypočíta podľa jedného zo vzorcov:

1. okolo osi OX.

2. ak otáčanie zakriveného lichobežníka okolo osi OS.

Každý študent dostane inštrukčný lístok. Inštruktor zdôrazňuje hlavné body.

- Učiteľ vysvetlí riešenie pomocou príkladov na tabuli.

Uvažujme o úryvku zo slávnej rozprávky Alexandra Puškina „Príbeh cára Saltana, syna jeho slávneho a mocného hrdinu, princa Gvidona Saltanovicha a krásnej princeznej Lebedovej“ (Snímka 4):

…..
A priviedol posla opitého
V ten istý deň je objednávka nasledovná:
„Kráľ prikazuje svojim bojarom,
Nestrácať čas
A kráľovná a potomstvo
Tajne hoďte do priepasti vôd “.
Nedá sa nič robiť: boyars,
Túžba po panovníkovi
A mladá kráľovná,
V dave prišli do jej spálne.
Vyhlásili vôľu kráľa -
Ona a jej syn majú veľa zlého,
Prečítajte si vyhlášku nahlas,
A kráľovná v rovnakú hodinu
Dali môjho syna do suda,
Brúsené, jazdené
A pustili to do okiyanu -
To si objednal cár Saltan.

Aký by mal byť objem sudu, aby sa doň zmestila kráľovná a jej syn?

- Zvážte nasledujúce úlohy

1. Nájdite objem tela získaný otáčaním zakriveného lichobežníka okolo osi osi ohraničeného čiarami: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odpoveď: 1163 cm 3 .

Nájdite objem telesa získaného otáčaním parabolického lichobežníka okolo osi x y =, x = 4, y = 0.

IV. Zabezpečenie nového materiálu

Príklad 2. Vypočítajte objem tela vytvorený rotáciou okvetného lístka okolo osi x y = x 2, y 2 = x.

Zostavme grafy funkcie. y = x 2, y 2 = x... Rozvrh y 2 = x prevod do formy r= .

Máme V = V 1 - V 2 Vypočítajme objem každej funkcie

- Teraz sa pozrime na vežu pre rozhlasovú stanicu v Moskve na Shabolovke, postavenú podľa projektu nádherného ruského inžiniera, čestného akademika V.G.Shukhov. Skladá sa z častí - hyperboloidov revolúcie. Každý z nich je navyše vyrobený z priamočiarych kovových tyčí spájajúcich susedné kruhy (obr. 8, 9).

- Zvážte problém.

Nájdite objem tela získaný otáčaním oblúkov hyperboly okolo svojej imaginárnej osi, ako je znázornené na obr. 8 kde

mláďa Jednotky

Skupinové úlohy. Žiaci losujú úlohy, kreslia kresby na papier Whatman, prácu obhajuje jeden zo zástupcov skupiny.

1. skupina.

Hit! Hit! Ďalší úder!
Lopta letí do brány - PLES!
A toto je melónová guľa
Zelené, okrúhle, chutné.
Vyzerajte lepšie - aká lopta!
Je vyrobený z rovnakých kruhov.
Melón nakrájajte na kolieska
A ochutnajte ich.

Nájdite objem tela získaný ohraničením otočením funkcie okolo osi OX

Chyba! Záložka nie je definovaná.

- Povedzte mi, prosím, kde sa stretávame s týmto číslom?

Dom. úloha pre 1 skupinu. VÁLEC (šmykľavka) .

„Valec - čo je to?“ - spýtal som sa otca.
Otec sa zasmial: cylindr je klobúk.
Aby ste mali správnu predstavu,
Valec, povedzme, je plechovka.
Parná rúrka - valec,
Aj komín na našej streche,

Všetky potrubia sú podobné valcom.
A uviedol som taký príklad -
Môj milovaný kaleidoskop
Nemôžete z neho spustiť oči
A tiež vyzerá ako valec.

- Cvičenie. Domáca úloha nakreslite funkciu do grafu a vypočítajte objem.

2. skupina. KUŽEL (šmykľavka).

Mama povedala: A teraz
Môj príbeh bude o kužele.
Astrológ vo vysokom klobúku
Počíta hviezdy po celý rok.
CONE - Astrologický klobúk.
To je on. Rozumiete? To je všetko.
Mama stála pri stole,
Naliala olej do fliaš.
- Kde je lievik? Žiadny lievik.
Pozrite sa. Nestojte bokom.
- Mami, nepohnem sa
Povedzte nám viac o kužele.
- Lievik je vo forme kužeľa na zalievanie.
Poď, najdi mi ju čo najskôr.
Nenašiel som lievik,
Ale mama vyrobila tašku
Otočil som kartón okolo prsta
A šikovne to zaistil kancelárskou sponkou.
Olej sa leje, mama je rada
Kužeľ vyšiel presne to, čo potrebujeme.

Cvičenie. Vypočítajte objem tela získaný rotáciou okolo osi x

Dom. úloha pre 2. skupinu. PYRAMIDA(šmykľavka).

Videl som obrázok. Na tomto obrázku
V piesočnatej púšti je PYRAMIDA.
Všetko v pyramíde je výnimočné
Je v tom nejaký druh tajomna a tajomstva.
Spasská veža na Červenom námestí
Známe deti i dospelých.
Pozeráte sa na vežu - obyčajného vzhľadu,
A čo je na nej? Pyramída!

Cvičenie. Domáca úloha na vykreslenie funkcie a výpočet objemu pyramídy

- Objemy rôznych telies sme vypočítali na základe základného vzorca pre objemy telies pomocou integrálu.

Toto je ďalšie potvrdenie, že určitý integrál má nejaký základ pre štúdium matematiky.

- No, teraz si trochu oddýchneme.

Nájdite pár.

Hrá matematická domino melódia.

"Na cestu, ktorú som sám hľadal, nikdy nezabudnem ..."

Výskum. Aplikácia integrálu v ekonomike a technológii.

Testy pre silných študentov a matematický futbal.

Matematický simulátor.

2. Nazýva sa množina všetkých antiderivatív danej funkcie

A) neurčitý integrál,

B) funkcia,

C) diferenciácia.

7. Nájdite objem tela získaný otáčaním zakriveného lichobežníka okolo osi x, ohraničeného čiarami:

D / Z. Vypočítajte objemy revolučných telies.

Odraz.

Prijímanie odrazu vo forme syncwine(päť veršov).

1. riadok - názov témy (jedno podstatné meno).

2. riadok - opis témy dvoma slovami, dvoma prídavnými menami.

3. riadok - popis akcie v rámci tejto témy tromi slovami.

4. riadok - fráza zo štyroch slov, ukazuje vzťah k téme (celá veta).

5. riadok je synonymom, ktoré opakuje podstatu témy.

1. Objem.
2. Jednoznačná integrálna, integrovateľná funkcia.
3. Staviame, otáčame, počítame.
4. Telo získané otáčaním zakriveného lichobežníka (okolo jeho základne).
5. Telo revolúcie (pevné geometrické telo).

Výkon (šmykľavka).

• Definitívny integrál je základňou pre štúdium matematiky, ktorá predstavuje nenahraditeľný príspevok k riešeniu problémov praktického obsahu.
• Téma „Integral“ jasne ukazuje prepojenie matematiky a fyziky, biológie, ekonomiky a technológie.
• Rozvoj moderná veda je nemysliteľné bez použitia integrálu. V tomto ohľade je potrebné začať to študovať v rámci stredného špecializovaného vzdelávania!

Triedenie. (S komentárom.)

Veľký Omar Khayyam je matematik, básnik, filozof. Volá byť pánmi vášho osudu. Vypočujeme si úryvok z jeho práce:

Poviete si, že tento život je jeden okamih.
Vážte si ju, čerpajte z nej inšpiráciu.
Ako ho strávite, ono to prejde.
Nezabudnite: ona je vaše stvorenie.

Sekcie: Matematika

Typ lekcie: kombinovaná.

Účel lekcie: naučte sa počítať objemy revolučných telies pomocou integrálov.

Úlohy:

• upevniť schopnosť vyberať krivočiare lichobežníky z množstva geometrických tvarov a precvičiť si zručnosť výpočtu oblastí krivočiarych lichobežníkov;
• zoznámiť sa s konceptom volumetrickej figúry;
• naučte sa vypočítať objemy revolučných telies;
• podporovať rozvoj logického myslenia, kompetentnej matematickej reči, presnosti pri vytváraní výkresov;
• rozvíjať záujem o predmet, pracovať s matematickými konceptmi a obrázkami, podporovať vôľu, nezávislosť a vytrvalosť pri dosahovaní konečného výsledku.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Skupinový pozdrav. Komunikácia so študentmi o cieľoch hodiny.

Odraz. Pokojná melódia.

- Dnešná lekcia Chcel by som začať podobenstvom. "Bol tu mudrc, ktorý vedel všetko." Jedna osoba chcela dokázať, že mudrc nevie všetko. Chytil motýľa za dlane a spýtal sa: „Povedz mi, mudrc, ktorý motýľ mám v rukách: mŕtvy alebo živý?“ A sám si myslí: „Živý povie - zabijem ju, mŕtvy povie - prepustím ju.“ Mudrc, ktorý premýšľal, odpovedal: „Všetko vo vašich rukách“. (Prezentácia.Šmykľavka)

„Preto dnes pracujme plodne, získajme novú zásobu znalostí a získané zručnosti a schopnosti aplikujme v neskoršom živote a v praktických činnostiach. „Všetko vo vašich rukách“.

II. Opakovanie predtým študovaného materiálu.

- Pripomeňme si hlavné body predtým študovaného materiálu. Aby sme to urobili, úlohu dokončíme „Odstráňte prebytočné slovo.“(Šmykľavka.)

(Študent prejde do ID pomocou gumy a odstráni ďalšie slovo.)

- Správny "Diferenciál". Skúste pomenovať zostávajúce slová jedným všeobecným slovom. (Integrovaný počet.)

- Pripomeňme si hlavné etapy a koncepty spojené s integrálnym počtom ..

„Matematický klaster“.

Cvičenie. Obnovte medzery. (Študent vyjde a perom napíše potrebné slová.)

- Abstrakt o aplikácii integrálov si vypočujeme neskôr.

Práca v zošitoch.

- Newton-Leibnizov vzorec odvodil anglický fyzik Isaac Newton (1643–1727) a nemecký filozof Gottfried Leibniz (1646–1716). A to nie je prekvapujúce, pretože matematika je jazykom, ktorým hovorí sama príroda.

- Uvažujme, ako sa tento vzorec používa pri riešení praktických úloh.

Príklad 1: Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami

Riešenie: Zostavme grafy funkcií na súradnicovej rovine ... Vyberte oblasť tvaru, ktorý sa má nájsť.

III. Učenie sa nového materiálu.

- Dávajte pozor na obrazovku. Čo je zobrazené na prvom obrázku? (Šmykľavka) (Na obrázku je plochá postava.)

- Čo je zobrazené na druhom obrázku? Je tento údaj plochý? (Šmykľavka) (Na obrázku je trojrozmerný obrázok.)

- Vo vesmíre, na Zemi a v každodennom živote sa stretávame nielen s plochými figúrkami, ale aj s trojrozmernými, ale ako vypočítať objem takýchto telies? Napríklad objem planéty, kamery, meteoritu atď.

- Na objem myslia pri stavbe domov aj pri nalievaní vody z jednej nádoby do druhej. Pravidlá a techniky na výpočet objemov mali vzniknúť, je iné, ako presné a podložené boli.

Študentská správa. (Vera Tyurina.)

Rok 1612 bol najmä pre hrozno veľmi plodný pre obyvateľov rakúskeho mesta Linec, kde v tej dobe žil známy astronóm Johannes Kepler. Ľudia pripravovali sudy s vínom a chceli vedieť, ako prakticky určiť ich objem. (Snímka 2)

- Uvažované Keplerove práce položili základ celému prúdu štúdií, ktoré vyvrcholili v poslednej štvrtine 17. storočia. registrácia v dielach I. Newtona a G.V. Leibnizov diferenciálny a integrálny počet. Od tej doby zaujíma matematika premenných veľkosti popredné miesto v systéme matematických znalostí.

- Dnes sa budeme venovať takýmto praktickým aktivitám, preto

Témou našej hodiny je „Výpočet objemov revolučných telies pomocou určitého integrálu“. (Šmykľavka)

- Definíciu revolučného telesa sa naučíte splnením nasledujúcej úlohy.

"Labyrint".

Labyrint (grécke slovo) znamená prechod do žalára. Labyrint - zložitá sieť chodníkov, chodieb, miestností, ktoré navzájom komunikujú.

Ale definícia „havarovala“, existujú tipy vo forme šípok.

Cvičenie. Nájdite východisko zo zmätku a napíšte definíciu.

Šmykľavka. „Mapová inštrukcia“ Výpočet objemov.

Pomocou určitého integrálu je možné vypočítať objem telesa, najmä revolučného telesa.

Rotačné teleso je teleso získané otáčaním zakriveného lichobežníka okolo jeho základne (obr. 1, 2)

Objem revolučného telesa sa vypočíta podľa jedného zo vzorcov:

1. okolo osi OX.

2. ak otáčanie zakriveného lichobežníka okolo osi OS.

Každý študent dostane inštrukčný lístok. Inštruktor zdôrazňuje hlavné body.

- Učiteľ vysvetlí riešenie pomocou príkladov na tabuli.

Uvažujme o úryvku zo slávnej rozprávky Alexandra Puškina „Príbeh cára Saltana, syna jeho slávneho a mocného hrdinu, princa Gvidona Saltanovicha a krásnej princeznej Lebedovej“ (Snímka 4):

…..
A priviedol posla opitého
V ten istý deň je objednávka nasledovná:
„Kráľ prikazuje svojim bojarom,
Nestrácať čas
A kráľovná a potomstvo
Tajne hoďte do priepasti vôd “.
Nedá sa nič robiť: boyars,
Túžba po panovníkovi
A mladá kráľovná,
V dave prišli do jej spálne.
Vyhlásili vôľu kráľa -
Ona a jej syn majú veľa zlého,
Prečítajte si vyhlášku nahlas,
A kráľovná v rovnakú hodinu
Dali môjho syna do suda,
Brúsené, jazdené
A pustili to do okiyanu -
To si objednal cár Saltan.

Aký by mal byť objem sudu, aby sa doň zmestila kráľovná a jej syn?

- Zvážte nasledujúce úlohy

1. Nájdite objem tela získaný otáčaním zakriveného lichobežníka okolo osi osi ohraničeného čiarami: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odpoveď: 1163 cm 3 .

Nájdite objem telesa získaného otáčaním parabolického lichobežníka okolo osi x y =, x = 4, y = 0.

IV. Zabezpečenie nového materiálu

Príklad 2. Vypočítajte objem tela vytvorený rotáciou okvetného lístka okolo osi x y = x 2, y 2 = x.

Zostavme grafy funkcie. y = x 2, y 2 = x... Rozvrh y 2 = x prevod do formy r= .

Máme V = V 1 - V 2 Vypočítajme objem každej funkcie

- Teraz sa pozrime na vežu pre rozhlasovú stanicu v Moskve na Shabolovke, postavenú podľa projektu nádherného ruského inžiniera, čestného akademika V.G.Shukhov. Skladá sa z častí - hyperboloidov revolúcie. Každý z nich je navyše vyrobený z priamočiarych kovových tyčí spájajúcich susedné kruhy (obr. 8, 9).

- Zvážte problém.

Nájdite objem tela získaný otáčaním oblúkov hyperboly okolo svojej imaginárnej osi, ako je znázornené na obr. 8 kde

mláďa Jednotky

Skupinové úlohy. Žiaci losujú úlohy, kreslia kresby na papier Whatman, prácu obhajuje jeden zo zástupcov skupiny.

1. skupina.

Hit! Hit! Ďalší úder!
Lopta letí do brány - PLES!
A toto je melónová guľa
Zelené, okrúhle, chutné.
Vyzerajte lepšie - aká lopta!
Je vyrobený z rovnakých kruhov.
Melón nakrájajte na kolieska
A ochutnajte ich.

Nájdite objem tela získaný ohraničením otočením funkcie okolo osi OX

Chyba! Záložka nie je definovaná.

- Povedzte mi, prosím, kde sa stretávame s týmto číslom?

Dom. úloha pre 1 skupinu. VÁLEC (šmykľavka) .

„Valec - čo je to?“ - spýtal som sa otca.
Otec sa zasmial: cylindr je klobúk.
Aby ste mali správnu predstavu,
Valec, povedzme, je plechovka.
Parná rúrka - valec,
Aj komín na našej streche,

Všetky potrubia sú podobné valcom.
A uviedol som taký príklad -
Môj milovaný kaleidoskop
Nemôžete z neho spustiť oči
A tiež vyzerá ako valec.

- Cvičenie. Domácou úlohou je nakresliť funkciu a vypočítať objem.

2. skupina. KUŽEL (šmykľavka).

Mama povedala: A teraz
Môj príbeh bude o kužele.
Astrológ vo vysokom klobúku
Počíta hviezdy po celý rok.
CONE - Astrologický klobúk.
To je on. Rozumiete? To je všetko.
Mama stála pri stole,
Naliala olej do fliaš.
- Kde je lievik? Žiadny lievik.
Pozrite sa. Nestojte bokom.
- Mami, nepohnem sa
Povedzte nám viac o kužele.
- Lievik je vo forme kužeľa na zalievanie.
Poď, najdi mi ju čo najskôr.
Nenašiel som lievik,
Ale mama vyrobila tašku
Otočil som kartón okolo prsta
A šikovne to zaistil kancelárskou sponkou.
Olej sa leje, mama je rada
Kužeľ vyšiel presne to, čo potrebujeme.

Cvičenie. Vypočítajte objem tela získaný rotáciou okolo osi x

Dom. úloha pre 2. skupinu. PYRAMIDA(šmykľavka).

Videl som obrázok. Na tomto obrázku
V piesočnatej púšti je PYRAMIDA.
Všetko v pyramíde je výnimočné
Je v tom nejaký druh tajomna a tajomstva.
Spasská veža na Červenom námestí
Známe deti i dospelých.
Pozeráte sa na vežu - obyčajného vzhľadu,
A čo je na nej? Pyramída!

Cvičenie. Domáca úloha na vykreslenie funkcie a výpočet objemu pyramídy

- Objemy rôznych telies sme vypočítali na základe základného vzorca pre objemy telies pomocou integrálu.

Toto je ďalšie potvrdenie, že určitý integrál má nejaký základ pre štúdium matematiky.

- No, teraz si trochu oddýchneme.

Nájdite pár.

Hrá matematická domino melódia.

"Na cestu, ktorú som sám hľadal, nikdy nezabudnem ..."

Výskum. Aplikácia integrálu v ekonomike a technológii.

Testy pre silných študentov a matematický futbal.

Matematický simulátor.

2. Nazýva sa množina všetkých antiderivatív danej funkcie

A) neurčitý integrál,

B) funkcia,

C) diferenciácia.

7. Nájdite objem tela získaný otáčaním zakriveného lichobežníka okolo osi x, ohraničeného čiarami:

D / Z. Vypočítajte objemy revolučných telies.

Odraz.

Prijímanie odrazu vo forme syncwine(päť veršov).

1. riadok - názov témy (jedno podstatné meno).

2. riadok - opis témy dvoma slovami, dvoma prídavnými menami.

3. riadok - popis akcie v rámci tejto témy tromi slovami.

4. riadok - fráza zo štyroch slov, ukazuje vzťah k téme (celá veta).

5. riadok je synonymom, ktoré opakuje podstatu témy.

1. Objem.
2. Jednoznačná integrálna, integrovateľná funkcia.
3. Staviame, otáčame, počítame.
4. Telo získané otáčaním zakriveného lichobežníka (okolo jeho základne).
5. Telo revolúcie (pevné geometrické telo).

Výkon (šmykľavka).

• Definitívny integrál je základňou pre štúdium matematiky, ktorá predstavuje nenahraditeľný príspevok k riešeniu problémov praktického obsahu.
• Téma „Integral“ jasne ukazuje prepojenie matematiky a fyziky, biológie, ekonomiky a technológie.
• Rozvoj modernej vedy je nemysliteľný bez použitia integrálu. V tomto ohľade je potrebné začať to študovať v rámci stredného špecializovaného vzdelávania!

Triedenie. (S komentárom.)

Veľký Omar Khayyam je matematik, básnik, filozof. Volá byť pánmi vášho osudu. Vypočujeme si úryvok z jeho práce:

Poviete si, že tento život je jeden okamih.
Vážte si ju, čerpajte z nej inšpiráciu.
Ako ho strávite, ono to prejde.
Nezabudnite: ona je vaše stvorenie.