Matematika očakávania Očakávaná hodnota. Najjednoduchšie vlastnosti matematického očakávania

Charakteristiky DSV a ich vlastnosti. Matematické očakávania, rozptyl, štandardná odchýlka

Distribučný zákon náhodnú premennú úplne charakterizuje. Ak však nie je možné nájsť distribučný zákon, alebo sa to nevyžaduje, je možné obmedziť sa na hľadanie hodnôt, nazývaných numerické charakteristiky náhodnej premennej. Tieto hodnoty určujú priemernú hodnotu, okolo ktorej sú zoskupené hodnoty náhodných premenných, a stupeň ich disperzie okolo tejto priemernej hodnoty.

Matematické očakávanie Diskrétna náhodná premenná je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej podľa ich pravdepodobností.

Matematické očakávanie existuje, ak sa rady na pravej strane rovnosti absolútne zbiehajú.

Z hľadiska pravdepodobnosti môžeme povedať, že matematické očakávanie sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej.

Príklad. Zákon distribúcie diskrétnej náhodnej premennej je známy. Nájdite očakávanú hodnotu.

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Riešenie:

9.2 Vlastnosti matematického očakávania

1. Matematické očakávanie konštanty sa rovná najstálejšiemu.

2. Konštantný faktor možno vyňať mimo znamienka matematického očakávania.

3. Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.

Táto vlastnosť je platná pre ľubovoľný počet náhodných premenných.

4. Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov.

Táto vlastnosť platí aj pre ľubovoľný počet náhodných premenných.

Nech sa vykoná n nezávislých testov, pravdepodobnosť výskytu udalosti A, v ktorej sa rovná p.

Veta. Matematické očakávanie M (X) počtu výskytov udalosti A v n nezávislých pokusoch sa rovná súčinu počtu pokusov podľa pravdepodobnosti výskytu udalosti v každom pokuse.

Príklad. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej Z, ak sú známe matematické očakávania X a Y: M (X) = 3, M (Y) = 2, Z = 2X + 3Y.

Riešenie:

9.3 Rozptýlenie diskrétnej náhodnej premennej

Matematické očakávanie však nemôže úplne charakterizovať náhodný proces. Okrem matematického očakávania je potrebné zadať aj hodnotu, ktorá charakterizuje odchýlku hodnôt náhodnej premennej od matematického očakávania.

Táto odchýlka sa rovná rozdielu medzi náhodnou premennou a jej matematickým očakávaním. V tomto prípade je matematické očakávanie odchýlky nulové. Je to spôsobené tým, že niektoré možné odchýlky sú pozitívne, iné negatívne a v dôsledku ich vzájomného splácania sa získa nula.

Disperzia (disperzia) diskrétna náhodná premenná je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania.

V praxi je tento spôsob výpočtu rozptylu nepohodlný, pretože vedie k ťažkopádnym výpočtom pre veľký počet hodnôt náhodnej premennej.

Preto sa používa iná metóda.

Veta. Rozptyl sa rovná rozdielu medzi matematickým očakávaním druhej mocniny náhodnej premennej X a druhou mocninou jej matematického očakávania..

Dôkaz. Ak vezmeme do úvahy skutočnosť, že matematické očakávania M (X) a druhá mocnina matematického očakávania M 2 (X) sú konštantné hodnoty, môžeme napísať:

Príklad. Nájdite rozptyl diskrétnej náhodnej veličiny daný distribučným zákonom.

NS
X 2
R.	0.2	0.3	0.1	0.4

Riešenie: .

9.4 Vlastnosti disperzie

1. Rozptyl konštanty je nulový. ...

2. Konštantný faktor možno zo znamienka disperzie odstrániť tak, že ho zarovnáme. .

3. Rozptyl súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov týchto hodnôt. ...

4. Rozptyl rozdielu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu odchýlok týchto hodnôt. ...

Veta. Rozptyl počtu výskytov udalosti A v n nezávislých skúškach, v ktorých je pravdepodobnosť výskytu udalosti p konštantná p, je rovná súčinu počtu pokusov a pravdepodobností výskytu a výskyt udalosti v každom pokuse.

9.5 Štandardná odchýlka diskrétnej náhodnej premennej

Stredná štvorcová odchýlka náhodná premenná X sa nazýva druhá odmocnina rozptylu.

Veta. Štandardná odchýlka súčtu konečného počtu navzájom nezávislých náhodných premenných sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín štandardných odchýlok týchto hodnôt.

Očakávaná hodnota- priemerná hodnota náhodnej premennej (rozdelenie pravdepodobnosti stacionárnej náhodnej veličiny), keď počet vzoriek alebo počet meraní (niekedy sa hovorí - počet testov) má tendenciu k nekonečnu.

Obvykle sa nazýva aritmetický priemer jednorozmernej náhodnej premennej konečného počtu testov odhad matematického očakávania... Keď počet testov stacionárneho náhodného procesu smeruje k nekonečnu, odhad matematického očakávania smeruje k matematickému očakávaniu.

Očakávanie je jedným zo základných pojmov v teórii pravdepodobnosti).

Collegiate YouTube

1 / 5

✪ Očakávania a odchýlky - bezbotvy

The Teória pravdepodobnosti 15: Očakávanie

Pected Očakávaná hodnota

✪ Matematické očakávania a odchýlky. Teória

✪ Očakávaná hodnota v obchodovaní

Titulky

Definícia

Nech je daný pravdepodobnostný priestor (Ω, A, P) (\ Displaystyle (\ Omega, (\ mathfrak (A)), \ mathbb (P))) a na ňom definovaná náhodná premenná X (\ Displaystyle X)... To je podľa definície X: Ω → R (\ Displaystyle X \ colon \ Omega \ to \ mathbb (R)) je merateľná funkcia. Ak existuje Lebesgueov integrál z X (\ Displaystyle X) vo vesmíre Ω (\ Displaystyle \ Omega), potom sa nazýva matematické očakávanie alebo priemerná (očakávaná) hodnota a označuje sa M [X] (\ Displaystyle M [X]) alebo E [X] (\ Displaystyle \ mathbb (E) [X]).

M [X] = ∫ Ω X (ω) P (d ω). (\ Displaystyle M [X] = \ int \ limits _ (\ Omega) \! X (\ omega) \, \ mathbb (P) (d \ omega).)

Základné vzorce pre matematické očakávania

M [X] = ∫ - ∞ ∞ x d F X (x); X ∈ R (\ Displaystyle M [X] = \ int \ limits _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! x \, dF_ (X) (x); x \ in \ mathbb (R)).

Matematické očakávanie diskrétnej distribúcie

P (X = xi) = pi, ∑ i = 1 ∞ pi = 1 (\ Displaystyle \ mathbb (P) (X = x_ (i)) = p_ (i), \; \ sum \ limity _ (i = 1 ) ^ (\ infty) p_ (i) = 1),

potom priamo z definície Lebesgueovho integrálu vyplýva, že

M [X] = ∑ i = 1 ∞ X i p I (\ Displaystyle M [X] = \ sum \ limits _ (i = 1) ^ (\ infty) x_ (i) \, p_ (i)).

Očakávaná hodnota celočíselnej hodnoty

P (X = j) = p j, j = 0, 1 ,. ... ... ; ∑ j = 0 ∞ pj = 1 (\ Displaystyle \ mathbb (P) (X = j) = p_ (j), \; j = 0,1, ...; \ quad \ sum \ limity _ (j = 0 ) ^ (\ infty) p_ (j) = 1)

potom možno jeho matematické očakávanie vyjadriť pomocou generujúcej funkcie sekvencie (p i) (\ Displaystyle \ (p_ (i) \))

P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\ Displaystyle P (s) = \ sum _ (k = 0) ^ (\ infty) \; p_ (k) s ^ (k))

ako hodnota prvého derivátu v jednotke: M [X] = P ′ (1) (\ Displaystyle M [X] = P "(1))... Ak matematické očakávanie X (\ Displaystyle X) potom donekonečna lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\ Displaystyle \ lim _ (s \ to 1) P "(s) = \ infty) a budeme písať P ′ (1) = M [X] = ∞ (\ Displaystyle P "(1) = M [X] = \ infty)

Teraz vezmeme funkciu generovania Q (s) (\ Displaystyle Q (s)) distribučné sekvencie chvosta (q k) (\ Displaystyle \ (q_ (k) \))

q k = P (X> k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k. (\ Displaystyle Q_ (k) = \ mathbb (P) (X> k) = \ sum _ (j = k + 1) ^ (\ infty) (p_ (j)); \ quad Q (s) = \ sum _ (k = 0) ^ (\ infty) \; q_ (k) s ^ (k).)

Táto generujúca funkcia je spojená s predtým definovanou funkciou P (s) (\ Displaystyle P (s)) nehnuteľnosť: Q (s) = 1 - P (s) 1 - s (\ Displaystyle Q (s) = (\ frac (1 -P (s)) (1 -s))) o | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} ... Z toho, z vety o priemerných hodnotách, vyplýva, že matematické očakávanie sa jednoducho rovná hodnote tejto funkcie v jednote:

M [X] = P ′ (1) = Q (1) (\ Displaystyle M [X] = P "(1) = Q (1))

Matematické očakávanie absolútne nepretržitej distribúcie

M [X] = ∫ - ∞ ∞ xf X (x) dx (\ Displaystyle M [X] = \ int \ limits _ ( - \ infty) ^ (\ infty) \! Xf_ (X) (x) \, dx ).

Matematické očakávanie náhodného vektora

Nechaj byť X = (X 1,…, X n) ⊤: Ω → R n (\ Displaystyle X = (X_ (1), \ bodky, X_ (n)) ^ (\ hore) \ hrubého čreva \ Omega \ to \ mathbb ( R) ^ (n)) je náhodný vektor. Potom podľa definície

M [X] = (M [X 1], ..., M [X n]) ⊤ (\ Displaystyle M [X] = (M, \ bodky, M) ^ (\ hore)),

to znamená, že matematické očakávanie vektora je určené komponentne.

Matematické očakávanie transformácie náhodnej premennej

Nechaj byť g: R → R (\ Displaystyle g \ colon \ mathbb (R) \ to \ mathbb (R)) je Borelova funkcia taká, že náhodná premenná Y = g (X) (\ Displaystyle Y = g (X)) má konečné matematické očakávania. Potom na to platí vzorec

M [g (X)] = ∑ i = 1 ∞ g (xi) pi, (\ Displaystyle M \ left = \ sum \ limits _ (i = 1) ^ (\ infty) g (x_ (i)) p_ ( i),)

keby X (\ Displaystyle X) má diskrétnu distribúciu;

M [g (X)] = ∫ - ∞ ∞ g (x) f X (x) dx, (\ Displaystyle M \ left = \ int \ limits _ ( - \ infty) ^ (\ infty) \! G (x ) f_ (X) (x) \, dx,)

keby X (\ Displaystyle X) má absolútne nepretržitú distribúciu.

Ak distribúcia P X (\ Displaystyle \ mathbb (P) ^ (X)) náhodná premenná X (\ Displaystyle X) teda všeobecná forma

M [g (X)] = ∫ - ∞ ∞ g (x) P X (d x). (\ Displaystyle M \ left = \ int \ limits _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! g (x) \, \ mathbb (P) ^ (X) (dx).)

V špeciálnom prípade, keď G (X) = X k (\ Displaystyle g (X) = X ^ (k)), očakávaná hodnota M [g (X)] = M [X k] (\ Displaystyle M = M) zavolal k (\ Displaystyle k)-th moment náhodnej premennej.

Najjednoduchšie vlastnosti matematického očakávania

• Matematickým očakávaním čísla je samotné číslo.

M [a] = a (\ Displaystyle M [a] = a) a ∈ R (\ Displaystyle a \ in \ mathbb (R))- konštantný;

• Očakávania sú lineárne, to znamená

M [a X + b Y] = a M [X] + b M [Y] (\ Displaystyle M = aM [X] + bM [Y]), kde X, Y (\ Displaystyle X, Y) sú náhodné veličiny s konečným matematickým očakávaním a A, B ∈ R (\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb (R))- ľubovoľné konštanty; 0 ⩽ M [X] ⩽ M [Y] (\ Displaystyle 0 \ leqslant M [X] \ leqslant M [Y]); M [X] = M [Y] (\ Displaystyle M [X] = M [Y]). M [X Y] = M [X] M [Y] (\ Displaystyle M = M [X] M [Y]).

Matematické očakávanie (priemerná hodnota) náhodnej veličiny X uvedené v diskrétnom pravdepodobnostnom priestore je číslo m = M [X] = ∑x i p i, ak sa séria absolútne konverguje.

Účel služby... Používanie služby online vypočítajú sa matematické očakávania, rozptyl a štandardná odchýlka(pozri príklad). Okrem toho je vynesený graf distribučnej funkcie F (X).

Vlastnosti matematického očakávania náhodnej premennej

1. Matematické očakávanie konštanty sa rovná sebe samej: M [C] = C, C je konštanta;
2. M = C M [X]
3. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: M = M [X] + M [Y]
4. Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: M = M [X] M [Y], ak X a Y sú nezávislé.

Disperzné vlastnosti

1. Rozptyl konštanty je nulový: D (c) = 0.
2. Konštantný faktor je možné zo znamienka odchýlky vyčísliť jeho druhou mocninou: D (k * X) = k 2 D (X).
3. Ak sú náhodné premenné X a Y nezávislé, potom je rozptyl súčtu rovný súčtu rozptylov: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
4. Ak sú náhodné premenné X a Y závislé: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
5. Výpočtový vzorec platí pre odchýlku:
   D (X) = M (X2) - (M (X)) 2

Príklad. Matematické očakávania a odchýlky dvoch nezávislých náhodných premenných X a Y sú známe: M (x) = 8, M (Y) = 7, D (X) = 9, D (Y) = 6. Nájdite matematické očakávania a rozptyl náhodnej premennej Z = 9X-8Y + 7.
Riešenie. Na základe vlastností matematického očakávania: M (Z) = M (9X -8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23 ...
Na základe vlastností disperzie: D (Z) = D (9X -8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Algoritmus na výpočet očakávanej hodnoty

Vlastnosti diskrétnych náhodných premenných: všetky ich hodnoty je možné prečíslovať na prirodzené čísla; ku každej hodnote priradiť nenulovú pravdepodobnosť.

1. Vynásobte dvojice: x i p i.
2. Pridajte súčin každého páru x i p i.
   Napríklad pre n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej postupne sa prudko zvyšuje v tých bodoch, ktorých pravdepodobnosti sú pozitívne.

Príklad č. 1.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Matematické očakávanie nájdeme podľa vzorca m = ∑x i p i.
Matematické očakávanie M [X].
M [x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9
Rozptyl nájdeme podľa vzorca d = ∑x 2 i p i - M [x] 2.
Disperzia D [X].
D [X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Štandardná odchýlka σ (x).
σ = sqrt (D [X]) = sqrt (7,69) = 2,78

Príklad č. 2. Diskrétna náhodná premenná má nasledujúci distribučný rad:

NS	-10	-5	0	5	10
R.	a	0,32	2a	0,41	0,03

Nájdite hodnotu a, matematické očakávania a štandardnú odchýlku tejto náhodnej premennej.

Riešenie. Hodnotu a zistíme zo vzťahu: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 alebo 0,24 = 3 a, odkiaľ a = 0,08

Príklad č. 3. Určte distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej, ak je známy jej rozptyl, a x 1 x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = x; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
d (x) = 12,96

Riešenie.
Tu musíte zostaviť vzorec na nájdenie rozptylu d (x):
d (x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
kde očakávanie m (x) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Pre naše údaje
m (x) = 6 * 0,3 + 9 * 0,3 + x 3 * 0,1 + 15 * 0,3 = 9 + 0,1 x 3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3- (9 + 0,1 x 3) 2
alebo -9/100 (x 2 -20x + 96) = 0
Preto je potrebné nájsť korene rovnice a budú dve.
x 3 = 8, x 3 = 12
Vyberáme ten, ktorý spĺňa podmienku x 1 x 3 = 12

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3

Matematické očakávanie je rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej

Očakávanie, definícia, matematické očakávanie diskrétnych a spojitých náhodných premenných, vzorka, podmienené očakávanie, výpočet, vlastnosti, úlohy, odhad očakávania, rozptyl, distribučná funkcia, vzorce, príklady výpočtu

Rozbaliť obsah

Zbaliť obsah

Matematické očakávania sú definícia

Jeden z najdôležitejších konceptov v matematickej štatistike a teórii pravdepodobnosti, charakterizujúci rozdelenie hodnôt alebo pravdepodobnosti náhodnej premennej. Obvykle je vyjadrený ako vážený priemer všetkých možných parametrov náhodnej premennej. Je široko používaný v technickej analýze, štúdiu numerických radov, štúdiu spojitých a dlhodobých procesov. Je dôležitý pri hodnotení rizík, predpovedaní cenových ukazovateľov pri obchodovaní na finančných trhoch a používa sa pri vývoji stratégií a metód taktiky hrania hier v teórii hazardu.

Matematické očakávanie je priemerná hodnota náhodnej veličiny, rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny sa zvažuje v teórii pravdepodobnosti.

Matematické očakávanie je miera strednej hodnoty náhodnej veličiny v teórii pravdepodobnosti. Matematické očakávanie náhodnej premennej X označený M (x).

Matematické očakávanie je

Matematické očakávanie je v teórii pravdepodobnosti vážený priemer všetkých možných hodnôt, ktoré môže táto náhodná veličina nadobúdať.

Matematické očakávanie je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej podľa pravdepodobností týchto hodnôt.

Matematické očakávanie je priemerný prospech z jedného alebo druhého riešenia za predpokladu, že takéto riešenie je možné zvážiť v rámci teórie veľkého počtu a dlhej vzdialenosti.

Matematické očakávanie je v teórii hazardu výška výhier, ktoré môže hráč v priemere získať alebo prehrať za každú stávku. V jazyku hazardných hráčov sa tomu niekedy hovorí „výhoda hráča“ (ak je pre hráča pozitívna) alebo „výhoda kasína“ (ak je pre hráča záporná).

Matematické očakávanie je percento zisku z výhier vynásobené priemerným ziskom mínus pravdepodobnosť straty vynásobená priemernou stratou.

Matematické očakávanie náhodnej premennej v matematickej teórii

Jednou z dôležitých numerických charakteristík náhodnej premennej je matematické očakávanie. Predstavme si koncept systému náhodných premenných. Uvažujte o súbore náhodných premenných, ktoré sú výsledkami rovnakého náhodného experimentu. Ak - jedna z možných hodnôt systému, potom udalosť zodpovedá určitej pravdepodobnosti, ktorá spĺňa Kolmogorov axiómy. Funkcia definovaná pre akékoľvek možné hodnoty náhodných premenných sa nazýva zákon o spoločnej distribúcii. Táto funkcia vám umožňuje vypočítať pravdepodobnosti akýchkoľvek udalostí z. Najmä spoločný zákon rozdelenia náhodných premenných a, ktoré preberajú hodnoty z množiny a, je daný pravdepodobnosťami.

Pojem „matematické očakávanie“ zaviedol Pierre Simon markíz de Laplace (1795) a pochádza z konceptu „očakávanej hodnoty výplaty“, ktorý sa prvýkrát objavil v 17. storočí v teórii hazardu v dielach Blaise Pascala. a Christian Huygens. Prvé úplné teoretické pochopenie a hodnotenie tohto konceptu však poskytol Pafnutii Lvovich Chebyshev (polovica 19. storočia).

Distribučný zákon náhodných číselných hodnôt (distribučná funkcia a distribučné rady alebo hustota pravdepodobnosti) úplne popisuje správanie náhodnej premennej. Ale v mnohých problémoch stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej veličiny (napríklad jej priemernú hodnotu a možnú odchýlku od nej), aby bolo možné odpovedať na položenú otázku. Hlavnými numerickými charakteristikami náhodných premenných sú matematické očakávania, rozptyl, režim a medián.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom súčinov jej možných hodnôt so zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. Matematický predpoklad sa niekedy nazýva vážený priemer, pretože je približne rovnaký ako aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej pre veľký počet experimentov. Z definície matematického očakávania vyplýva, že jeho hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie väčšia ako najväčšia. Matematické očakávanie náhodnej premennej je náhodná (konštantná) hodnota.

Matematické očakávanie má jednoduchý fyzikálny význam: ak je jednotková hmotnosť umiestnená na priamke umiestnením určitej hmotnosti do niektorých bodov (pre diskrétne rozdelenie) alebo ju „rozmazať“ určitou hustotou (pre absolútne spojité rozdelenie), potom bod zodpovedajúci matematickému očakávaniu bude súradnica „Ťažisko“ je priame.

Priemerná hodnota náhodnej premennej je určité číslo, ktoré je akoby jej „zástupcom“ a nahrádza ju v hrubých približných výpočtoch. Keď hovoríme: „priemerný prevádzkový čas žiarovky je 100 hodín“ alebo „stredný bod nárazu je posunutý vzhľadom na cieľ o 2 m vpravo“, označujeme určitú numerickú charakteristiku náhodnej veličiny, ktorá popisuje jej umiestnenie. na numerickej osi, tj „Charakterizácia polohy“.

Z charakteristík polohy v teórii pravdepodobnosti zohráva najdôležitejšiu úlohu matematické očakávanie náhodnej premennej, ktorá sa niekedy nazýva jednoducho stredná hodnota náhodnej premennej.

Zvážte náhodnú premennú NS s možnými hodnotami x1, x2, ..., xn s pravdepodobnosťami p1, p2, ..., pn... Musíme nejakým číslom charakterizovať polohu hodnôt náhodnej premennej na osi x, pričom vezmeme do úvahy skutočnosť, že tieto hodnoty majú rôznu pravdepodobnosť. Na tento účel je prirodzené použiť takzvaný „vážený priemer“ hodnôt xi, a každá hodnota xi počas spriemerovania by sa mala brať do úvahy s „hmotnosťou“ úmernou pravdepodobnosti tejto hodnoty. Vypočítame teda priemer náhodnej premennej X, ktoré budeme označovať M | X |:

Tento vážený priemer sa nazýva matematické očakávanie náhodnej premennej. Preto sme v úvahe predstavili jeden z najdôležitejších konceptov teórie pravdepodobnosti - koncept matematického očakávania. Matematické očakávanie náhodnej premennej je súčtom súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej podľa pravdepodobností týchto hodnôt.

NS spojené so zvláštnym vzťahom k aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej veličiny s veľkým počtom experimentov. Táto závislosť je rovnakého typu ako závislosť medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou, konkrétne: pri veľkom počte experimentov sa aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej približuje (konverguje v pravdepodobnosti) k jej matematickému očakávaniu. Z prítomnosti vzťahu medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou je možné v dôsledku toho vyvodiť prítomnosť podobného vzťahu medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním. Skutočne zvážte náhodnú premennú NS charakterizovaný distribučnou sériou:

Nech sa vyrobí N. nezávislé experimenty, v každom z nich hodnota X nadobúda určitý význam. Predpokladajme hodnotu x1 objavil sa m1 krát, hodnota x2 objavil sa m2 krát, vo všeobecnosti xi sa objavil mnohokrát. Vypočítajme aritmetický priemer pozorovaných hodnôt veličiny X, ktorý je na rozdiel od matematického očakávania M | X | určíme M * | X |:

S nárastom počtu experimentov N. frekvencia pi sa priblíži (konverguje v pravdepodobnosti) k zodpovedajúcim pravdepodobnostiam. V dôsledku toho je aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej M | X | s nárastom počtu experimentov sa priblíži (konverguje v pravdepodobnosti) k svojmu matematickému očakávaniu. Spojenie medzi aritmetickým priemerom a vyššie formulovaným matematickým očakávaním je obsahom jednej z foriem zákona veľkých čísel.

Už vieme, že všetky formy zákona veľkých čísel uvádzajú skutočnosť, že určité priemery sú pre veľký počet experimentov stabilné. Tu hovoríme o stabilite aritmetického priemeru zo série pozorovaní tej istej veličiny. Pri malom počte experimentov je aritmetický priemer ich výsledkov náhodný; s dostatočným nárastom počtu experimentov sa stáva „takmer náhodným“ a stabilizovaním sa blíži ku konštantnej hodnote - matematickému očakávaniu.

Vlastnosť stability priemerov pri veľkom počte experimentov sa dá experimentálne ľahko overiť. Napríklad vážením tela v laboratóriu na presnej váhe získame v dôsledku váženia zakaždým novú hodnotu; aby sa znížila chyba pozorovania, niekoľkokrát zvážime telo a použijeme aritmetický priemer získaných hodnôt. Je ľahké sa presvedčiť, že s ďalším nárastom počtu experimentov (vážením) aritmetický priemer reaguje na tento nárast čoraz menej a pri dostatočne veľkom počte experimentov sa prakticky prestáva meniť.

Je potrebné poznamenať, že najdôležitejšia charakteristika polohy náhodnej premennej - matematické očakávanie - neexistuje pre všetky náhodné premenné. Je možné zostaviť príklady takých náhodných premenných, pre ktoré neexistuje matematické očakávanie, pretože zodpovedajúci súčet alebo integrál sa líšia. Pre prax však o tieto prípady nie je veľký záujem. Náhodné premenné, s ktorými sa zaoberáme, majú spravidla obmedzený rozsah možných hodnôt a samozrejme majú matematické očakávania.

Okrem najdôležitejšej z charakteristík polohy náhodnej premennej - matematického očakávania - sa v praxi niekedy používajú aj ďalšie charakteristiky polohy, najmä režim a medián náhodnej premennej.

Režim náhodnej premennej je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Termín „najpravdepodobnejšia hodnota“, striktne povedané, sa vzťahuje iba na nesúvislé množstvá; pre spojité množstvo je režim tá hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna. Obrázky ukazujú režim pre diskontinuálne a spojité náhodné premenné.

Ak má distribučný polygón (distribučná krivka) viac ako jedno maximum, distribúcia sa nazýva „polymodálna“.

Niekedy existujú distribúcie, ktoré majú v strede nie maximum, ale minimum. Takéto distribúcie sa nazývajú „antimodálne“.

Vo všeobecnom prípade sa režim a matematické očakávanie náhodnej premennej nezhodujú. V konkrétnom prípade, keď je distribúcia symetrická a modálna (tj. Má režim) a existuje matematické očakávanie, potom sa zhoduje s režimom a stredom symetrie distribúcie.

Často sa používa aj ďalšia charakteristika polohy - takzvaný medián náhodnej premennej. Táto charakteristika sa zvyčajne používa iba pre spojité náhodné premenné, aj keď ju možno formálne definovať pre nespojitú premennú. Geometricky je medián úsečka bodu, v ktorom je oblasť ohraničená distribučnou krivkou polovičná.

V prípade symetrického modálneho rozdelenia sa medián zhoduje s matematickým očakávaním a režimom.

Matematické očakávanie je priemerná hodnota náhodnej premennej - numerická charakteristika rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej. Najobecnejším spôsobom je matematické očakávanie náhodnej premennej X (w) je definovaný ako Lebesgueov integrál vzhľadom na mieru pravdepodobnosti R. v pôvodnom pravdepodobnostnom priestore:

Matematické očakávania sa dajú vypočítať ako Lebesgueov integrál z NS rozdelením pravdepodobnosti px magnitúdy X:

Prirodzeným spôsobom môžete definovať koncept náhodnej premennej s nekonečným matematickým očakávaním. Typickým príkladom sú časy návratu pri niektorých náhodných prechádzkach.

Pomocou matematického očakávania sa určuje mnoho numerických a funkčných charakteristík distribúcie (ako matematické očakávanie zodpovedajúcich funkcií náhodnej premennej), napríklad generujúca funkcia, charakteristická funkcia, momenty akéhokoľvek poradia, najmä rozptyl. , kovariancia.

Matematické očakávanie je charakteristikou umiestnenia hodnôt náhodnej premennej (priemernej hodnoty jej distribúcie). V tejto funkcii slúži matematické očakávanie ako „typický“ distribučný parameter a jeho úloha je podobná úlohe statického momentu - súradniciam ťažiska rozloženia hmotnosti - v mechanike. Matematické očakávanie sa líši od ostatných lokalizačných charakteristík, pomocou ktorých je distribúcia opísaná vo všeobecných pojmoch, mediánoch, režimoch tým, že má väčšiu hodnotu ako ona a zodpovedajúca charakteristika rozptylu - disperzia - v limitných vetách teórie pravdepodobnosti. S najväčšou úplnosťou odhaľuje význam matematického očakávania zákon veľkých čísel (Chebyshevova nerovnosť) a posilnený zákon veľkých čísel.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Nech existuje nejaká náhodná premenná, ktorá môže mať jednu z niekoľkých číselných hodnôt (napríklad počet bodov pri hode kockou môže byť 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6). V praxi často pre takú hodnotu vzniká otázka: akú hodnotu trvá „v priemere“ pri veľkom počte testov? Aký bude náš priemerný príjem (alebo strata) z každej z rizikových operácií?

Povedzme, že existuje nejaký druh lotérie. Chceme pochopiť, či je výnosné alebo sa na ňom nezúčastniť (alebo dokonca zúčastniť sa opakovane, pravidelne). Povedzme, že každý štvrtý výherný tiket, cena je 300 rubľov a cena akéhokoľvek lístka je 100 rubľov. Pri nekonečne veľkom počte účasti sa to stáva. V troch štvrtinách prípadov prehráme, každé tri prehry budú stáť 300 rubľov. V každom štvrtom prípade vyhráme 200 rubľov. (cena mínus náklady), to znamená, že pri štyroch účastiach stratíme v priemere 100 rubľov, pri jednej - v priemere 25 rubľov. Priemerná cena našej zrúcaniny bude celkom 25 rubľov na lístok.

Hodíme kockou. Ak to nie je podvádzanie (žiadny posun v ťažisku atď.), Tak koľko bodov budeme mať v priemere naraz? Pretože každá možnosť je rovnako pravdepodobná, vezmeme hlúpy aritmetický priemer a dostaneme 3,5. Keďže je to PRIEMERNÉ, nie je potrebné sa rozhorčovať nad tým, že žiadny konkrétny hod neposkytne 3,5 bodu - táto kocka s takým počtom nemá hranu!

Teraz si zhrňme naše príklady:

Pozrime sa na práve zobrazený obrázok. Vľavo je tabuľka rozdelenia náhodnej premennej. Hodnota X môže mať jednu z n možných hodnôt (zobrazených v hornom riadku). Nemôžu existovať žiadne iné hodnoty. Každá možná hodnota nižšie je označená svojou pravdepodobnosťou. Vpravo je vzorec, kde M (X) sa nazýva matematické očakávanie. Význam tejto hodnoty je, že pri veľkom počte testov (s veľkou vzorkou) bude priemerná hodnota smerovať k rovnakému matematickému očakávaniu.

Vráťme sa k tej istej hracej kocke. Matematické očakávanie počtu bodov pri vhadzovaní je 3,5 (vypočítajte sa podľa vzorca, ak neveríte). Povedzme, že ste to párkrát hodili. Zhodili 4 a 6. V priemere to vyšlo na 5, teda ďaleko od 3,5. Hodili to ešte raz, zhodili 3, to znamená v priemere (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Nejako ďaleko od matematického očakávania. Teraz urobte tento bláznivý experiment - kocku hodte 1000 krát! A ak priemer nie je presne 3,5, bude sa k tomu blížiť.

Vypočítajme matematické očakávania pre vyššie opísanú lotériu. Tanier bude vyzerať takto:

Potom bude matematické očakávanie, ako sme stanovili vyššie:

Ďalšou vecou je, že keby bolo viac možností, bolo by ťažké použiť to isté „na prstoch“ bez vzorca. Povedzme, že by bolo 75% stratených tiketov, 20% výherných tiketov a 5% extra výherných tiketov.

Teraz niektoré vlastnosti matematického očakávania.

Dokázanie je jednoduché:

Zo znamienka matematického očakávania je možné vyňať konštantný faktor, to znamená:

Toto je špeciálny prípad vlastnosti linearity matematického očakávania.

Ďalší dôsledok linearity matematického očakávania:

to znamená, že matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní náhodných premenných.

Nech X, Y sú nezávislé náhodné premenné, potom:

To sa tiež dá ľahko dokázať) XY sama o sebe je náhodná premenná, pričom ak by počiatočné hodnoty mohli trvať n a m hodnoty potom XY môže nadobúdať hodnoty nm. Pravdepodobnosť každej z hodnôt sa vypočíta na základe skutočnosti, že pravdepodobnosti nezávislých udalostí sa znásobia. V dôsledku toho dostaneme toto:

Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej

Spojité náhodné premenné majú takú charakteristiku ako hustota distribúcie (hustota pravdepodobnosti). V skutočnosti charakterizuje situáciu, že náhodná premenná preberá niektoré hodnoty zo súboru reálnych čísel častejšie, niektoré menej často. Zoberme si napríklad nasledujúci graf:

Tu X je samotná náhodná premenná, f (x)- hustota distribúcie. Podľa tohto grafu je v experimentoch hodnota X bude často číslo blízke nule. Šance na prekročenie 3 alebo byť menej -3 skôr čisto teoretické.

Predpokladajme napríklad, že existuje rovnomerné rozdelenie:

To je úplne v súlade s intuitívnym porozumením. Povedzme, že ak dostaneme veľa náhodných reálnych čísel s rovnomerným rozdelením, každý zo segmentu |0; 1| potom by mal byť aritmetický priemer asi 0,5.

Aj tu platia vlastnosti matematického očakávania - linearita atď., Použiteľné pre diskrétne náhodné veličiny.

Vzťah medzi matematickými očakávaniami a inými štatistickými ukazovateľmi

V štatistickej analýze spolu s matematickými očakávaniami existuje systém vzájomne závislých ukazovateľov odrážajúcich homogenitu javov a stabilitu procesov. Variačné ukazovatele často nemajú nezávislý význam a používajú sa na ďalšiu analýzu údajov. Výnimkou je variačný koeficient, ktorý charakterizuje homogenitu údajov, čo je cenná štatistika.

Stupeň variability alebo stability procesov v štatistickej vede je možné merať pomocou niekoľkých ukazovateľov.

Najdôležitejším ukazovateľom charakterizujúcim variabilitu náhodnej premennej je Rozptyl, ktorý úzko a priamo súvisí s matematickým očakávaním. Tento parameter sa aktívne používa v iných typoch štatistickej analýzy (testovanie hypotéz, analýza vzťahov medzi príčinou a následkom a podobne). Rovnako ako lineárny priemer, rozptyl tiež odráža mieru rozloženia údajov okolo priemeru.

Je užitočné preložiť jazyk znakov do jazyka slov. Ukazuje sa, že rozptyl je priemerný štvorec odchýlok. To znamená, že sa najskôr vypočíta priemer, potom sa vezme rozdiel medzi každým originálom a priemerom, vynesie sa druhá mocnina, sčíta sa a potom sa vydelí počtom hodnôt v populácii. Rozdiel medzi individuálnou hodnotou a priemerom odráža mieru odchýlky. Je zarovnaný na druhú, aby sa všetky odchýlky stali výlučne kladnými číslami, a aby sa predišlo vzájomnému zničeniu kladných a záporných odchýlok, keď sú zhrnuté. Potom so štvorcami odchýlok jednoducho vypočítame aritmetický priemer. Priemerné - štvorcové - odchýlky. Odchýlky sú na druhú a berie sa do úvahy priemer. Riešenie magického slova „rozptyl“ spočíva iba v troch slovách.

V čistej forme, ako je aritmetický priemer alebo index, sa však rozptyl nepoužíva. Je to skôr pomocný a stredný ukazovateľ, ktorý sa používa na iné typy štatistickej analýzy. Nemá ani normálnu mernú jednotku. Súdiac podľa vzorca, toto je druhou mocninou mernej jednotky pôvodných údajov.

Zmerajme náhodnú premennú N. krát napríklad zmeráme desaťkrát rýchlosť vetra a chceme nájsť priemernú hodnotu. Ako priemer súvisí s distribučnou funkciou?

Alebo hodíme kockou veľakrát. Počet bodov, ktoré vypadnú na kocke pri každom hode, je náhodná premenná a môže nadobúdať akékoľvek prirodzené hodnoty od 1 do 6. Náhodná hodnota je aj aritmetický priemer padnutých bodov vypočítaný pre všetky hracie kocky. , ale pre veľké N. má tendenciu k veľmi konkrétnemu číslu - matematickému očakávaniu Mx... V tomto prípade Mx = 3,5.

Ako vznikla táto hodnota? Vpustiť N. skúškach n1 raz klesol o 1 bod, n2 krát - 2 body a tak ďalej. Potom počet výsledkov, v ktorých bol vynechaný jeden bod, je:

Rovnako tak pre výsledky, keď sú hodené 2, 3, 4, 5 a 6 bodov.

Predpokladajme teraz, že poznáme distribučný zákon náhodnej premennej x, to znamená, že vieme, že náhodná premenná x môže mať hodnoty x1, x2, ..., xk s pravdepodobnosťami p1, p2, ..., pk.

Matematické očakávanie Mx náhodnej premennej x je:

Matematické očakávanie nie je vždy rozumným odhadom nejakej náhodnej premennej. Na odhad priemernej mzdy je teda rozumnejšie použiť koncept mediánu, teda takú hodnotu, aby bol počet ľudí, ktorí poberajú menej ako priemernú mzdu a viac, rovnaký.

Pravdepodobnosť p1, že náhodná premenná x bude menšia ako x1 / 2, a pravdepodobnosť p2, že náhodná premenná x bude väčšia ako x1 / 2, sú rovnaké a rovnajú sa 1/2. Medián nie je jednoznačne určený pre všetky distribúcie.

Štandardná alebo štandardná odchýlka v štatistike je miera, do akej sa pozorovacie údaje alebo súbory líšia od priemeru. Označuje sa písmenami s alebo s. Malá štandardná odchýlka naznačuje, že údaje sú zoskupené okolo priemeru, zatiaľ čo veľká štandardná odchýlka naznačuje, že počiatočné údaje sú od nej ďaleko. Štandardná odchýlka sa rovná druhej odmocnine veličiny nazývanej rozptyl. Je to priemer súčtu štvorcových rozdielov počiatočných údajov odchyľujúcich sa od priemeru. Odchýlka odmocniny náhodnej premennej sa nazýva druhá odmocnina rozptylu:

Príklad. Za skúšobných podmienok pri streľbe na cieľ vypočítajte rozptyl a štandardnú odchýlku náhodnej veličiny:

Variácia- variabilita, variabilita hodnoty znaku v jednotkách populácie. Jednotlivé číselné hodnoty znaku, ktoré sa nachádzajú v skúmanej populácii, sa nazývajú varianty hodnôt. Nedostatok priemernej hodnoty pre kompletnú charakteristiku populácie si vyžaduje doplnenie priemerných hodnôt o ukazovatele, ktoré umožňujú posúdiť typickosť týchto priemerov meraním variability (odchýlky) skúmaného znaku. Variačný koeficient sa vypočíta podľa vzorca:

Variácia potiahnutím prsta(R) je rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami znaku v študovanej populácii. Tento ukazovateľ poskytuje najobecnejšiu predstavu o variabilite skúmaného znaku, pretože ukazuje rozdiel iba medzi limitnými hodnotami možností. Závislosť na extrémnych hodnotách znaku dáva variabilnému rozsahu nestabilný, náhodný charakter.

Priemerná lineárna odchýlka je aritmetický priemer absolútnych (modulových) odchýlok všetkých hodnôt analyzovanej populácie od ich priemernej hodnoty:

Očakávaná hodnota v teórii hazardu

Matematické očakávanie je priemerná suma peňazí, ktorú môže hráč na danej stávke vyhrať alebo prehrať. Toto je pre hráča veľmi dôležitý koncept, pretože je zásadný pre posúdenie väčšiny herných situácií. Očakávanie je tiež optimálnym nástrojom na analýzu základného rozloženia karty a herných situácií.

Povedzme, že hráte mincu s priateľom a stavíte vždy 1 dolár bez ohľadu na to, čo príde. Chvosty - vyhrávate, hlavy - prehrávate. Šanca, že prídete na rad chvosty, je individuálna a stavíte 1 až 1 dolár. Vaše matematické očakávania sú teda nulové, pretože matematicky povedané, nemôžete vedieť, či budete viesť alebo prehrať po dvoch hodoch alebo po 200.

Váš hodinový zisk je nulový. Hodinová výhra je množstvo peňazí, ktoré chcete vyhrať za hodinu. Do hodiny môžete hodiť mincou 500 -krát, ale nevyhráte ani neprehráte, pretože vaše šance nie sú pozitívne ani negatívne. Z pohľadu vážneho hráča nie je takýto stávkový systém zlý. Ale to je jednoducho strata času.

Predpokladajme však, že niekto chce staviť 2 doláre na váš 1 dolár v tej istej hre. Potom od každej stávky okamžite pozitívne očakávate 50 centov. Prečo 50 centov? V priemere jednu stávku vyhráte a druhú prehráte. Vsadíte prvý dolár a prídete o 1 dolár, stavíte o druhé a vyhráte 2 doláre. Stavíte 1 dolár dvakrát a máte o 1 dolár náskok. Takže každá vaša stávka na jeden dolár vám dala 50 centov.

Ak minca 500 -krát vypadne za jednu hodinu, vaše hodinové výhry už budú 250 dolárov, pretože v priemere ste prehrali 1 250 -krát a vyhrali ste 2 250 -krát. 500 dolárov mínus 250 dolárov sa rovná 250 dolárom, čo sú celkové výhry. Upozorňujeme, že očakávaná hodnota, čo je čiastka, ktorú ste v priemere vyhrali pri jednej stávke, je 50 centov. Vyhrali ste 250 dolárov 500 -krát umiestnením stávky na dolár, čo sa rovná 50 centom z vkladu.

Očakávaná hodnota nemá nič spoločné s krátkodobým výsledkom. Váš súper, ktorý sa proti vám rozhodol vsadiť 2 doláre, vás mohol poraziť v prvých desiatich hodoch v rade, ale vy, keďže máte stávkovú výhodu 2: 1, pričom všetky ostatné veci sú rovnaké, za každých okolností zarobíte 50 centov Stávka 1 dolár. Nezáleží na tom, či vyhráte alebo prehráte jednu stávku alebo niekoľko stávok, ale iba vtedy, ak máte dostatok peňazí na pokojnú kompenzáciu nákladov. Ak budete pokračovať v tipovaní rovnakým spôsobom, potom sa vaše výhry počas dlhého časového obdobia rovnajú súčtu vašich očakávaní v jednotlivých hodoch.

Zakaždým, keď urobíte stávku s najlepším výsledkom (stávka, ktorá môže byť dlhodobo zisková), keď sú šance vo váš prospech, určite na nej niečo vyhráte a nezáleží na tom, či ju prehráte alebo nie v tejto ruke. Naopak, ak uzatvoríte stávku s najhorším výsledkom (stávka, ktorá nie je dlhodobo výnosná) a keď kurzy nie sú vo váš prospech, niečo strácate bez ohľadu na to, či v danej hre vyhráte alebo prehráte.

Vsadíte s najlepším výsledkom, ak je vaše očakávanie kladné, a kladné, ak sú šance na vašej strane. Pri uzatváraní stávky s najhorším výsledkom máte negatívne očakávania, čo sa stáva, keď sú šance proti vám. Vážni hazardní hráči stavia iba s najlepším výsledkom; v najhoršom prípade zahodia. Čo znamenajú šance vo váš prospech? Môžete nakoniec vyhrať viac, ako prinášajú skutočné šance. Skutočná pravdepodobnosť, že prídete na rad, je 1: 1, ale vzhľadom na pomer stávok dostávate 2: 1. V tomto prípade sú šance vo váš prospech. Rozhodne dosiahnete najlepší výsledok s pozitívnym očakávaním 50 centov za stávku.

Tu je komplexnejší príklad očakávanej hodnoty. Váš kamarát napíše čísla od jedna do päť a staví 5 dolárov proti vášmu 1 doláru, že skryté číslo neurčíte. Mali by ste súhlasiť s takouto stávkou? Aké sú tu očakávania?

V priemere sa budete štyrikrát mýliť. Na základe toho sú šance na uhádnutie čísla 4: 1. Šanca, že stratíte dolár na jeden pokus. Vyhrávate však 5: 1, ak môžete prehrať 4: 1. Takže šance sú vo váš prospech, môžete sa staviť a dúfať v lepší výsledok. Ak túto stávku vložíte päťkrát, v priemere prehráte štyrikrát 1 dolár a raz vyhráte 5 dolárov. Na základe toho za všetkých päť pokusov zarobíte 1 dolár s kladnou očakávanou hodnotou 20 centov na stávku.

Hráč, ktorý vyhrá viac, než staví, ako v príklade vyššie, chytá šance. Naopak, ničí šance, keď očakáva, že vyhrá menej, ako staví. Hráč, ktorý uzatvára stávky, môže mať kladné alebo záporné očakávania, čo závisí od toho, či šance chytí alebo zničí.

Ak stavíte 50 dolárov na výhru 10 dolárov s pravdepodobnosťou výhry 4 na 1, dostanete negatívne očakávania 2 doláre, pretože v priemere vyhráte štyrikrát 10 dolárov a jedenkrát prehráte 50 dolárov, čo ukazuje, že strata jednej stávky je 10 dolárov. Ale ak stavíte 30 dolárov na výhru 10 dolárov, s rovnakou šancou vyhrať 4 na 1, potom v tomto prípade pozitívne očakávate 2 doláre, pretože znova vyhráte štyrikrát za 10 dolárov a jedenkrát prehráte 30 dolárov so ziskom 10 dolárov. Tieto príklady ukazujú, že prvá stávka je zlá a druhá dobrá.

Stredobodom každej hernej situácie je očakávanie. Keď bookmaker povzbudí futbalových fanúšikov, aby stavili 11 dolárov na výhru 10 dolárov, očakávajú pozitívne 50 centov za každých 10 dolárov. Ak kasíno vyplatí rovnaké peniaze z prechádzajúcej čiary v kockách, potom je kladné očakávanie kasína približne 1,40 dolára na každých 100 dolárov, pretože táto hra je štruktúrovaná tak, že každý, kto staví na túto líniu, stratí v priemere 50,7% a vyhrá 49,3% z celkového času. Nepochybne je to toto zdanlivo minimálne pozitívne očakávanie, ktoré prináša majiteľom kasín po celom svete kolosálne zisky. Ako poznamenal majiteľ kasína Vegas World Bob Stupak: „Jedna tisícina percenta negatívnej pravdepodobnosti na dostatočne dlhej vzdialenosti zničí najbohatšieho muža sveta“.

Matematické očakávania pri hraní pokru

Pokerová hra je najnázornejším a najnázornejším príkladom z hľadiska použitia teórie a vlastností matematického očakávania.

Očakávaná hodnota v pokri je priemerný prospech z konkrétneho rozhodnutia za predpokladu, že takéto rozhodnutie je možné zvážiť v rámci teórie veľkých čísel a dlhých vzdialeností. Úspešná pokerová hra je o tom, že budete vždy akceptovať ťahy s pozitívnym očakávaním.

Matematický význam matematického očakávania pri hraní pokru je ten, že pri rozhodovaní sa často stretávame s náhodnými premennými (nevieme, ktoré karty sú v rukách nášho súpera, ktoré karty prídu v nasledujúcich kolách stávok). Každé z riešení musíme zvážiť z hľadiska teórie veľkých čísel, ktorá uvádza, že pri dostatočne veľkej vzorke bude priemerná hodnota náhodnej premennej smerovať k jej matematickému očakávaniu.

Z konkrétnych vzorcov na výpočet matematických očakávaní je v pokri najvhodnejšie použiť nasledujúce:

Pri hraní pokru sa dá vypočítať očakávaná hodnota pre stávky aj hovory. V prvom prípade by sa mala vziať do úvahy fold equity, v druhom - vlastné šance banku. Pri hodnotení matematického očakávania ťahu je potrebné mať na pamäti, že záhyb má vždy nulové očakávania. Vyhodenie kariet bude teda vždy výnosnejšie rozhodnutie ako akýkoľvek negatívny krok.

Očakávanie vám hovorí, čo môžete očakávať (zisk alebo stratu) za každý dolár, ktorý riskujete. Kasína zarábajú peniaze, pretože matematické očakávania od všetkých hier, ktoré sa v nich praktizujú, sú v prospech kasína. Pri dostatočne dlhej sérii hier sa dá očakávať, že klient príde o svoje peniaze, keďže „pravdepodobnosť“ je v prospech kasína. Profesionálni hráči kasína však obmedzujú svoje hry na krátke časové obdobia, čím zvyšujú šance v ich prospech. To isté platí pre investovanie. Ak je vaše očakávanie pozitívne, môžete zarobiť viac peňazí vykonaním mnohých obchodov v krátkom časovom období. Očakávanie je vaše percento zisku z výhry vynásobené priemerným ziskom mínus vaša pravdepodobnosť straty vynásobená priemernou stratou.

Na poker sa dá pozerať aj z hľadiska matematického očakávania. Môžete predpokladať, že určitý ťah je výnosný, ale v niektorých prípadoch sa môže ukázať, že nie je ani zďaleka najlepší, pretože iný ťah je výnosnejší. Povedzme, že v pokri s žrebovaním piatich kariet trafíte celý dom. Váš súper staví. Viete, že ak zvýšite svoju ponuku, odpovie. Zdvíhanie preto vyzerá ako najlepšia taktika. Ak však stávku zvýšite, zvyšní dvaja hráči určite zložia. Ale ak zavoláte, budete si úplne istí, že to urobia aj ďalší dvaja hráči po vás. Keď zvýšite stávku, získate jednu jednotku, ale jednoducho zavolaním - dve. Vyrovnanie vám teda poskytne vyššie pozitívne matematické očakávania a je to najlepšia taktika.

Matematické očakávania môžu tiež poskytnúť predstavu o tom, ktoré taktiky sú v pokri menej výnosné a ktoré viac. Keď napríklad hráte určitú ruku, veríte, že vaše straty budú v priemere 75 centov vrátane ante, potom by ste mali hrať túto ruku, pretože je to lepšie ako skladanie, keď je ante 1 dolár.

Ďalším dôležitým dôvodom na pochopenie podstaty matematického očakávania je, že vám dáva pocit pokoja, či ste stávku vyhrali alebo nie: ak ste urobili dobrú stávku alebo zložíte včas, budete vedieť, že ste zarobili alebo ušetrili určitú čiastku. peňazí, ktoré slabší hráč nedokázal ušetriť. Oveľa ťažšie je zložiť, ak ste naštvaní, že váš súper na výmene urobil silnejšiu ruku. Pri tom všetkom sa peniaze, ktoré ste ušetrili bez hrania, namiesto stávkovania, pripočítavajú k vašim výhrám za noc alebo za mesiac.

Nezabudnite, že ak by ste zmenili ruky, súper by vás zavolal a ako uvidíte v článku „Základná veta o pokri“, je to len jedna z vašich výhod. Mali by ste byť radi, keď sa to stane. Dokonca sa môžete naučiť užívať si prehru, pretože viete, že ostatní hráči na vašom mieste by prišli o oveľa viac.

Ako je uvedené v príklade hry s mincami na začiatku, hodinová miera návratnosti súvisí s očakávanou hodnotou a tento koncept je obzvlášť dôležitý pre profesionálnych hráčov. Keď sa chystáte hrať poker, musíte mentálne odhadnúť, koľko môžete vyhrať za hodinu hrania. Vo väčšine prípadov sa budete musieť spoľahnúť na svoju intuíciu a skúsenosti, ale môžete tiež použiť nejakú matematiku. Hráte napríklad draw draw lowball a uvidíte, ako traja hráči stavia 10 dolárov a potom si vymenia dve karty, čo je veľmi zlá taktika. Môžete si myslieť, že zakaždým, keď stavia 10 dolárov, prehrajú asi 2 doláre. Každý z nich to robí osemkrát za hodinu, čo znamená, že všetci traja prídu o 48 dolárov za hodinu. Ste jedným zo zvyšných štyroch hráčov, ktorí sú si približne rovní, takže títo štyria hráči (a vy medzi nimi) si musia rozdeliť 48 dolárov a zisk každého z nich bude 12 dolárov za hodinu. Vaša hodinová sadzba je v tomto prípade jednoducho váš podiel na peniazoch, ktoré za hodinu stratia traja zlí hráči.

Za dlhé časové obdobie je celková výhra hráča súčtom jeho matematických očakávaní v jednotlivých rukách. Čím viac budete hrať s pozitívnym očakávaním, tým viac vyhráte a naopak, čím viac rúk s negatívnym očakávaním budete hrať, tým viac prehráte. V dôsledku toho by ste si mali vybrať hru, ktorá môže maximalizovať vaše pozitívne očakávania alebo negovať tie negatívne, aby ste mohli maximalizovať svoje hodinové výhry.

Pozitívne matematické očakávania v hernej stratégii

Ak viete, ako počítať karty, môžete mať náskok pred kasínom, ak to nevidí a vyhodí vás. Kasína milujú opitých hazardných hráčov a neznesú počítadlá kariet. Advantage vám umožní v priebehu času viackrát vyhrať, ako prehrať. Dobrá správa peňazí pomocou výpočtov matematických očakávaní vám môže pomôcť lepšie využiť výhody a znížiť straty. Bez výhody bude lepšie darovať peniaze na charitu. Pri obchodovaní na burze je výhoda daná herným systémom, ktorý vytvára viac ziskov ako strát, cenových rozdielov a provízií. Žiadna správa peňazí nezachráni zlý herný systém.

Pozitívne očakávanie je definované hodnotou vyššou ako nula. Čím vyššie je toto číslo, tým silnejšie sú štatistické očakávania. Ak je hodnota menšia ako nula, bude matematické očakávanie tiež záporné. Čím väčší je modul zápornej hodnoty, tým je situácia horšia. Ak je výsledok nulový, potom sú očakávania zlomené. Vyhrať môžete iba vtedy, ak máte pozitívne matematické očakávania a rozumný systém hry. Hranie intuíciou vedie k katastrofe.

Očakávanie a obchodovanie na burze

Matematické očakávania sú pomerne široko žiadaným a obľúbeným štatistickým ukazovateľom pri implementácii burzového obchodovania na finančných trhoch. Tento parameter sa predovšetkým používa na analýzu úspechu obchodu. Nie je ťažké uhádnuť, že čím je daná hodnota vyššia, tým väčší je dôvod považovať študovaný obchod za úspešný. Analýzu práce obchodníka samozrejme nemožno vykonať iba pomocou tohto parametra. Vypočítaná hodnota v kombinácii s inými metódami hodnotenia kvality práce však môže výrazne zlepšiť presnosť analýzy.

Matematické očakávania sa často vypočítavajú v službách monitorovania obchodných účtov, čo vám umožňuje rýchlo vyhodnotiť prácu vykonanú na vklade. Ako výnimku je možné uviesť stratégie, ktoré používajú „vysedávanie“ nerentabilných obchodov. Obchodník môže mať nejaký čas šťastie, a preto v jeho práci nemusí dôjsť k žiadnym stratám. V tomto prípade nebude možné navigovať iba podľa očakávania, pretože riziká použité v práci nebudú brané do úvahy.

Pri obchodovaní na trhu sa očakávanie najčastejšie používa pri predikcii ziskovosti obchodnej stratégie alebo pri predpovedaní príjmu obchodníka na základe štatistických údajov o jeho predchádzajúcich obchodoch.

Pokiaľ ide o správu peňazí, je veľmi dôležité pochopiť, že pri obchodovaní s negatívnym očakávaním neexistuje schéma riadenia peňazí, ktorá by rozhodne mohla priniesť vysoké zisky. Ak budete za týchto podmienok naďalej hrať na burze, potom bez ohľadu na to, ako budete hospodáriť so svojimi peniazmi, prídete o celý účet, bez ohľadu na to, aký veľký bol na začiatku.

Táto axióma neplatí len pre hry alebo obchody s negatívnym očakávaním, platí to aj pre hry s rovnakými kurzami. Jediným prípadom, v ktorom máte šancu dlhodobo ťažiť, je teda uzatvorenie obchodov s pozitívnou očakávanou hodnotou.

Rozdiel medzi negatívnym a pozitívnym očakávaním je rozdiel medzi životom a smrťou. Nezáleží na tom, aké pozitívne alebo negatívne je očakávanie; dôležité je, či je to pozitívne alebo negatívne. Preto pred zvážením problémov so správou peňazí musíte nájsť hru s pozitívnym očakávaním.

Ak takú hru nemáte, potom vás nezachráni žiadna finančná správa na svete. Na druhej strane, ak máte pozitívne očakávania, môžete ich prostredníctvom dobrej správy peňazí premeniť na funkciu exponenciálneho rastu. Nezáleží na tom, ako málo je pozitívne očakávanie! Inými slovami, nezáleží na tom, aký výnosný je systém obchodovania s jednou zmluvou. Ak máte systém, ktorý vyhrá 10 dolárov za zmluvu na jednom obchode (po odpočítaní provízií a sklzu), môžete použiť techniky správy peňazí na zvýšenie zisku ako systém, ktorý ukazuje priemerný zisk 1 000 dolárov na obchod (po odpočítaní) provízií a sklz).

Nie je dôležité, aký výnosný bol systém, ale ako isté je možné povedať, že systém bude v budúcnosti vykazovať aspoň minimálny zisk. Preto najdôležitejšou prípravou, ktorú môže obchodník urobiť, je zaistiť, aby systém v budúcnosti vykazoval pozitívne matematické očakávania.

Aby ste v budúcnosti mali pozitívne matematické očakávania, je veľmi dôležité neobmedzovať stupne voľnosti vášho systému. To sa dosiahne nielen odstránením alebo znížením počtu parametrov, ktoré sa majú optimalizovať, ale aj znížením čo najväčšieho počtu systémových pravidiel. Každý parameter, ktorý pridáte, každé pravidlo, ktoré urobíte, každá malá zmena, ktorú v systéme urobíte, zníži počet stupňov voľnosti. V ideálnom prípade musíte vybudovať pomerne primitívny a jednoduchý systém, ktorý bude konzistentne generovať malé zisky na takmer akomkoľvek trhu. Opäť je dôležité, aby ste pochopili, že nezáleží na tom, aký výnosný je systém, pokiaľ je ziskový. Peniaze, ktoré zarobíte obchodovaním, budú zarobené prostredníctvom efektívnej správy peňazí.

Obchodný systém je jednoducho nástroj, ktorý vám dáva pozitívne matematické očakávania, aby bolo možné používať správu peňazí. Systémy, ktoré fungujú (vykazujú aspoň minimálny zisk) iba na jednom alebo niekoľkých trhoch alebo majú rôzne pravidlá alebo parametre pre rôzne trhy, pravdepodobne nebudú fungovať dostatočne dlho v reálnom čase. Problém väčšiny technicky zdatných obchodníkov je ten, že trávia príliš veľa času a úsilia optimalizáciou rôznych pravidiel a hodnôt parametrov obchodného systému. To dáva úplne opačné výsledky. Namiesto plytvania energiou a času stráveného počítačom zvyšovaním ziskov obchodného systému zamerajte svoju energiu na zvýšenie úrovne spoľahlivosti vytvárania minimálneho zisku.

S vedomím, že manažment peňazí je len numerická hra, ktorá vyžaduje použitie pozitívnych očakávaní, môže obchodník prestať hľadať „svätý grál“ obchodovania s akciami. Namiesto toho môže začať kontrolovať svoju obchodnú metódu, zistiť, ako logicky táto metóda je, či dáva pozitívne očakávania. Správne metódy riadenia peňazí, ktoré sa uplatňujú na akékoľvek, aj priemerné obchodné metódy, vykonajú zvyšok práce samy.

Aby bol každý obchodník vo svojej práci úspešný, je potrebné vyriešiť tri najdôležitejšie úlohy :. Zaistite, aby počet úspešných obchodov presahoval nevyhnutné chyby a prepočty; Nastavte si svoj obchodný systém tak, aby možnosť zarábať peniaze bola čo najčastejšie; Na dosiahnutie stability pozitívneho výsledku vašich operácií.

A tu nám, pracujúcim obchodníkom, môže pomôcť matematické očakávanie. Tento termín v teórii pravdepodobnosti je jedným z kľúčových. S jeho pomocou môžete dať priemerný odhad určitej náhodnej hodnoty. Matematické očakávanie náhodnej premennej je podobné ťažisku, ak si všetky možné pravdepodobnosti predstavíme ako body s rôznymi hmotnosťami.

Pri aplikácii na obchodnú stratégiu sa na hodnotenie jej účinnosti najčastejšie používa matematické očakávanie zisku (alebo straty). Tento parameter je definovaný ako súčet produktov daných úrovní zisku a straty a pravdepodobnosti ich výskytu. Vyvinutá obchodná stratégia napríklad predpokladá, že 37% všetkých transakcií prinesie zisk a zvyšok - 63% - bude nerentabilných. Priemerný príjem z úspešnej transakcie bude zároveň 7 dolárov a priemerná strata bude 1,4 dolára. Vypočítajme matematické očakávania obchodovania pomocou nasledujúceho systému:

Čo znamená toto číslo? Hovorí sa v ňom, že podľa pravidiel tohto systému v priemere z každého uzavretého obchodu dostaneme 1,708 dolára. Pretože získaný odhad účinnosti je väčší ako nula, potom je takýto systém možné použiť na skutočnú prácu. Ak sa v dôsledku výpočtu ukáže matematické očakávanie ako negatívne, potom to už hovorí o priemernej strate a takýto obchod povedie ku krachu.

Výška zisku na obchod môže byť vyjadrená aj ako relatívna hodnota vo forme%. Napríklad:

- percento príjmu z 1 transakcie - 5%;

- percento úspešných obchodných operácií - 62%;

- percento straty na 1 obchod - 3%;

- percento neúspešných transakcií - 38%;

To znamená, že priemerný obchod vygeneruje 1,96%.

Je možné vyvinúť systém, ktorý napriek prevalencii nerentabilných obchodov poskytne pozitívny výsledok, pretože jeho MO> 0.

Samotné čakanie však nestačí. Je ťažké zarobiť peniaze, ak systém dáva veľmi málo obchodných signálov. V takom prípade bude jeho ziskovosť porovnateľná s úrokom banky. Nech každá transakcia poskytne v priemere iba 0,50 dolára, ale čo keď systém predpokladá 1000 transakcií ročne? V relatívne krátkom čase to bude veľmi vážna čiastka. Z toho logicky vyplýva, že za ďalší rozlišovací znak dobrého obchodného systému možno považovať krátke obdobie držania pozícií.

Zdroje a odkazy

dic.academic.ru - Akademický internetový slovník

mathematics.ru - vzdelávacie miesto v matematike

nsu.ru - vzdelávacia webová stránka Novosibirskej štátnej univerzity

webmath.ru je vzdelávací portál pre študentov, uchádzačov a školákov.

exponenta.ru vzdelávacia matematická webová stránka

ru.tradimo.com - bezplatná online obchodná škola

crypto.hut2.ru - multidisciplinárny informačný zdroj

poker-wiki.ru - encyklopédia bezplatného pokru

sernam.ru - Vedecká knižnica vybraných prírodovedných publikácií

reshim.su - webová stránka RIEŠime úlohy súvisiace s ovládaním kurzu

unfx.ru - Forex na UNFX: školenia, obchodné signály, správa dôvery

slovopedia.com - Veľký encyklopedický slovník Slovopedie

pokermansion.3dn.ru - Váš sprievodca do sveta pokru

statanaliz.info - informačný blog "Analýza štatistických údajov"

forex-trader.rf-portál Forex-Trader

megafx.ru-aktuálna analytika Forexu

fx-by.com - všetko pre obchodníka

- počet chlapcov medzi 10 novorodencami.

Je celkom zrejmé, že toto číslo nie je vopred známe a v ďalších desiatich narodených deťoch môže byť:

Alebo chlapci - jeden a jediný z uvedených možností.

A aby sme sa udržali vo forme, malá telesná výchova:

- dosah do diaľky (v niektorých jednotkách).

Ani majster športu ju nemôže predpovedať :)

Avšak, vaša hypotéza?

2) Spojitá náhodná premenná - zaberá všetkyčíselné hodnoty z nejakého konečného alebo nekonečného rozsahu.

Poznámka : vo vzdelávacej literatúre sú obľúbené skratky DSV a NSV

Najprv analyzujme diskrétnu náhodnú premennú a potom - kontinuálne.

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej

- toto je korešpondencia medzi možnými hodnotami tejto veličiny a ich pravdepodobnosťami. Zákon je najčastejšie napísaný v tabuľke:

Docela často termín riadok distribúcia ale v niektorých situáciách to znie nejednoznačne, a preto sa budem držať „zákona“.

A teraz veľmi dôležitý bod: od náhodnej premennej nevyhnutne prijme jeden z významov, potom sa vytvoria zodpovedajúce udalosti plná skupina a súčet pravdepodobností ich výskytu sa rovná jednej:

alebo, ak je napísaný zbalený:

Napríklad zákon rozdelenia pravdepodobnosti bodov padnutých na kocku je nasledujúci:

Bez komentára.

Môžete mať dojem, že diskrétna náhodná premenná môže mať iba „dobré“ celočíselné hodnoty. Rozptýlime ilúziu - môže to byť čokoľvek:

Príklad 1

Niektoré hry majú nasledujúci víťazný distribučný zákon:

... o takýchto úlohách ste asi už dlho snívali :) Prezradím vám tajomstvo - ja tiež. Zvlášť po dokončení prác na teória poľa.

Riešenie: pretože náhodná premenná môže mať iba jednu z troch hodnôt, vytvoria sa zodpovedajúce udalosti plná skupina, čo znamená, že súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej:

Odhalíme „partizána“:

- pravdepodobnosť výhry konvenčných jednotiek je teda 0,4.

Kontrola: to, čo bolo potrebné presvedčiť.

Odpoveď:

Nie je neobvyklé, keď sa vyžaduje, aby bol zákon o distribúcii vypracovaný nezávisle. Ak to chcete urobiť, použite klasická definícia pravdepodobnosti, vety o násobení / sčítaní pre pravdepodobnosti udalostí a ďalšie čipsy tervera:

Príklad 2

Krabica obsahuje 50 žrebov, z ktorých 12 je výherných, pričom 2 z nich vyhrajú po 1 000 rubľov a ostatné - po 100 rubľov. Vypracujte distribučný zákon náhodnej premennej - veľkosť výplaty, ak je z lístka náhodne vybratý jeden lístok.

Riešenie: ako ste si všimli, je zvykom usporiadať hodnoty náhodnej premennej do vzostupné poradie... Preto začíname od najmenších výhier, a to rubľov.

K dispozícii je 50 - 12 = 38 takýchto lístkov celkom, a klasická definícia:
- pravdepodobnosť, že náhodne vytiahnutý tiket bude stratený.

Ostatné prípady sú jednoduché. Pravdepodobnosť výhry rubľov je:

Skontrolujte: - a to je obzvlášť príjemný okamih takýchto úloh!

Odpoveď: požadované rozdelenie výplaty:

Ďalšia úloha pre nezávislé riešenie:

Príklad 3

Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, je. Vytvorte distribučný zákon náhodnej premennej - počet zásahov po 2 výstreloch.

... Vedel som, že ti chýba :) Pamätaj vety o násobení a sčítaní... Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Distribučný zákon úplne popisuje náhodnú premennú, ale v praxi je užitočné (a niekedy aj užitočnejšie) poznať iba niektoré z nich. numerické charakteristiky .

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Jednoducho povedané, je priemerná očakávaná hodnota s viacnásobným opakovaním testov. Nech náhodná premenná nadobúda hodnoty s pravdepodobnosťami resp. Potom je matematické očakávanie danej náhodnej premennej súčet produktov všetkých jeho hodnôt so zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami:

alebo zrútené:

Vypočítajme napríklad matematické očakávanie náhodnej premennej - počet bodov padnutých na kocky:

Teraz si spomeňme na našu hypotetickú hru:

Vynára sa otázka: je vôbec výhodné hrať túto hru? ... Kto má aké dojmy? Tak predsa „offhand“ a nepoviete! Na túto otázku je však možné ľahko odpovedať vypočítaním očakávanej hodnoty, v skutočnosti - Vážený priemer podľa pravdepodobnosti výhry:

Teda matematické očakávania tejto hry prehrávať.

Neverte dojmom - dôverujte číslam!

Áno, tu môžete vyhrať 10 alebo dokonca 20-30 krát za sebou, ale z dlhodobého hľadiska nevyhnutne zničíme. A neradil by som vám hrať takéto hry :) No, možno len tak pre zábavu.

Zo všetkého vyššie uvedeného vyplýva, že matematické očakávanie už nie je NÁHODNOU hodnotou.

Kreatívna úloha pre samoštúdium:

Príklad 4

Pán X hrá európsku ruletu podľa nasledujúceho systému: neustále stávky 100 rubľov na „červenú“. Vypracujte zákon distribúcie náhodnej premennej - jej zisk. Vypočítajte matematické očakávania výhry a zaokrúhlite ich na najbližší kopeck. koľko priemer hráč prehráva s každou stovkou stávky?

odkaz : Európska ruleta obsahuje 18 červených, 18 čiernych a 1 zelený sektor („nula“). V prípade „červeného“ zásahu je hráčovi vyplatená dvojnásobná stávka, v opačnom prípade ide do príjmu kasína

Existuje mnoho ďalších ruletových systémov, pre ktoré si môžete vytvoriť vlastné tabuľky pravdepodobnosti. Ale to je prípad, keď nepotrebujeme žiadne distribučné zákony a tabuľky, pretože bolo isté, že matematické očakávania hráča budú úplne rovnaké. Zo systému na systém sa menia iba