Ako dokázať rovnosť dvoch pravouhlých trojuholníkov. Znak rovnosti pravouhlých trojuholníkov pozdĺž nohy a prepony. Pravouhlý trojuholník a trigonometria

Existujú tri známe znaky rovnosti akýchkoľvek trojuholníkov:

1. na oboch stranách a rohu medzi nimi;
2. pozdĺž dvoch rohov a strany medzi nimi;
3. na troch stranách.

Dva pravouhlé trojuholníky majú vždy jeden pár navzájom rovnakých uhlov - to sú pravé uhly. Znaky rovnosti trojuholníkov pre pravouhlé trojuholníky sú preto zjednodušené v tom zmysle, že ak chcete tvrdiť, že trojuholníky sú rovnaké, potrebujete vedieť o rovnosti menšieho počtu prvkov.

Prvý znak rovnosti trojuholníkov pre pravouhlé trojuholníky je redukovaný na rovnosť dvoch nôh: ak sú nohy jedného pravouhlého trojuholníka rovnaké ako nohy druhého, potom sú tieto trojuholníky rovnaké... Skutočne je medzi nohami pravý uhol, ktorý je pre oba trojuholníky 90 °.

Na základe druhého znaku rovnosti trojuholníkov sa tvrdí, že ak v jednom pravouhlom trojuholníku sú noha a priľahlý nepriamy uhol rovnaké ako noha a priľahlý nepriamy roh iného pravouhlého trojuholníka, potom také trojuholníky sú si rovní Koniec koncov, nohy sa nachádzajú v rovnakých uhloch. Ostré uhly sú na jednej strane rovnaké a na druhej strane rovné.

Pretože ostré uhly v pravouhlých trojuholníkoch sú celkom vždy rovné 90 °, potom ak dva pravouhlé trojuholníky majú jeden ostrý uhol, potom aj ostatné budú rovnaké. Napríklad a je jeden uhol, potom 90 ° je iný uhol pre oba trojuholníky.

Pravouhlé trojuholníky sú preto rovnaké, ak je prepona a ostrý uhol jedného rovnaká ako prepona a ostrý uhol druhého, pretože v skutočnosti poznáme všetky ostré uhly pravouhlých trojuholníkov. A ukazuje sa rovnosť v dvoch uhloch a na strane medzi nimi.

Tiež vzhľadom na skutočnosť, že ak je známy jeden ostrý uhol pravouhlého trojuholníka, potom je známy aj druhý, vyplýva z toho rovnosť pravouhlých trojuholníkov pozdĺž nohy a opačného ostrého uhla... V tomto prípade „funguje“ druhý znak rovnosti trojuholníkov: pozdĺž strany a dvoch susedných rohov (jedna rovná čiara, druhá vypočítaná).

Okrem uvedených znakov rovnosti pravouhlých trojuholníkov existuje ešte jeden, ktorý priamo nevyplýva z troch znakov rovnosti trojuholníkov: ak majú pravé trojuholníky jednu nohu a jednu preponu, potom sú tieto trojuholníky rovnaké.

Tento znak rovnosti je možné dokázať.

Pravouhlé trojuholníky na seba aplikujeme rovnakými nohami tak, aby pravé uhly boli na opačných stranách výslednej spoločnej strany a prepony boli na opačných stranách. Tieto prepony sú si rovné podmienkou, čo znamená, že sme ich dostali rovnoramenný trojuholník... To znamená, že uhly vo vrcholoch, ktoré sú vzdialené od spoločnej strany (ku ktorej boli navzájom pripevnené), sú rovnaké. To zase znamená, že trojuholníky majú rovnakú preponu, nohu a opačný uhol. Existujú však známky rovnosti v prepone a ostrom uhle, pozdĺž nohy a v opačnom uhle. To znamená, že tieto pravouhlé trojuholníky, ktoré majú rovnaké nohy a preponu, sú rovnaké.

Pripomeňme si z materiálu predchádzajúcej hodiny, pravouhlý trojuholník sa nazýva trojuholník, ak má aspoň jeden z rohov priamky (to znamená, že sa rovná 90 o).

Zvážte prvé znamenie rovnosť trojuholníkov: ak sa dve nohy jedného pravouhlého trojuholníka rovnajú dvom nohám iného pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké.

Ukážme si tento prípad:

Ryža. 1. Rovnaké pravouhlé trojuholníky

Dôkaz:

Pripomeňme si prvú rovnosť ľubovoľných trojuholníkov.

Ryža. 2

Ak sú dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka a zodpovedajúcich dvoch strán a uhol medzi nimi druhého trojuholníka rovnaké, potom sú tieto trojuholníky rovnaké. Toto je uvedené v prvom znaku rovnosti trojuholníkov, tj.

Podobný dôkaz platí aj pre pravouhlé trojuholníky:

.

Trojuholníky sú na prvom mieste rovnaké.

Uvažujme o druhom znaku rovnosti pravouhlých trojuholníkov. Ak je noha a priľahlý ostrý uhol jedného pravouhlého trojuholníka rovnaké ako noha a priľahlý ostrý uhol druhého pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké.

Ryža. 3

Dôkaz:

Ryža. 4

Použime druhý znak rovnosti trojuholníkov:

Podobný dôkaz pravouhlých trojuholníkov:

V druhom atribúte sú trojuholníky rovnaké.

Zvážte tretí znak rovnosti pravouhlých trojuholníkov: ak je prepona a priľahlý uhol jedného pravouhlého trojuholníka rovnaké ako prepona a priľahlý uhol druhého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké.

Dôkaz:

Ryža. 5

Pripomeňme si druhý znak rovnosti trojuholníkov:

Ryža. 6

Tieto trojuholníky sú rovnaké, ak:

Pretože je známe, že jeden pár ostrých uhlov v pravouhlých trojuholníkoch je rovný (∠A = ∠A 1), rovnosť druhého páru uhlov (∠B = ∠B 1) sa preukazuje nasledovne:

Pretože AB = A 1 B 1 (podľa podmienky), ∠B = ∠B 1, ∠A = ∠A 1. Preto sú v druhom atribúte trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 rovnaké.

Zvážte nasledujúce kritérium pre rovnosť trojuholníkov:

Ak sú noha a prepona jedného trojuholníka rovnaké ako noha a prepona druhého trojuholníka, sú tieto pravouhlé trojuholníky rovnaké.

Ryža. 7

Dôkaz:

Položme trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1. Predpokladajme, že vrcholy A a A1, ako aj C a C 1 sú superponované a vrchol B a bod B 1 sa nezhodujú. Tento prípad je znázornený na nasledujúcom obrázku:

Ryža. osem

V tomto prípade si môžeme všimnúť rovnoramenný trojuholník ABB 1 (podľa definície - podľa podmienky AB = AB 1). Preto podľa vlastníctva ∠AB 1 B = ∠ABB 1. Zvážte definíciu vonkajšieho rohu. Vonkajší roh trojuholník sa nazýva uhol susediaci s akýmkoľvek rohom trojuholníka. Jeho miera stupňa sa rovná súčtu dvoch uhlov trojuholníka, ktoré s ním nesusedia. Obrázok ukazuje tento pomer:

Ryža. deväť

Uhol 5 je vonkajší roh trojuholníka a rovná sa ∠5 = ∠1 + ∠2. Z toho vyplýva, že vonkajší uhol je väčší ako každý z uhlov, ktoré s ním nesusedia.

∠ABB 1 je teda vonkajší uhol pre trojuholník ABC a rovná sa súčtu ∠ABB 1 = ∠CAB + ∠ACB = ∠ABS = ∠CAB + 90 о. ∠AB 1 B (čo je ostrý uhol v pravouholnom trojuholníku ABB 1) sa teda nemôže rovnať uhlu ∠ABB 1, pretože tento uhol je tupý, ako sa ukázalo.

To znamená, že sa náš predpoklad týkajúci sa umiestnenia bodov B a B 1 ukázal ako nesprávny, preto sa tieto body zhodujú. Trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 boli teda superponované. Preto sú si rovní (podľa definície).

Tieto znaky teda nie sú zavádzané nadarmo, pretože sa dajú použiť na riešenie niektorých problémov.

1. Omsk Štátna univerzita ().
2. Portál pomoci calc.ru ().
3. Portál učiteľov ().

1. № 38. Butuzov VF, Kadomtsev SB, Prasolov VV, upravila Sadovnichy VA Geometry 7. M.: Education. 2010 r.

2. Na základe údajov uvedených na obrázku označte rovnaké trojuholníky, ak existujú.

3. Na základe údajov uvedených na obrázku označte rovnaké trojuholníky, ak existujú. Upozorňujeme, že AC = AF.

4. V pravouhlom trojuholníku je stred a výška nakreslená k prepone. Uhol medzi nimi je 20 °. Určte veľkosť každého z ostrých uhlov daného pravouhlého trojuholníka.

Testy rovnosti pravouhlých trojuholníkov

Druhy trojuholníkov

Uvažujme tri body, ktoré neležia na jednej priamke, a tri segmenty spájajúce tieto body (obr. 1).

Trojuholník je časť roviny ohraničená týmito segmentmi, segmenty sa nazývajú strany trojuholníka a konce segmentov (tri body, ktoré neležia na jednej priamke) nazývame vrcholy trojuholníka.

V tabuľke 1 sú uvedené všetky možné typy trojuholníkov v závislosti od veľkosti ich uhlov .

Tabuľka 1 - Typy trojuholníkov v závislosti od veľkosti uhlov

Kresba	Typ trojuholníka	Definícia
	Trojuholník s ostrým uhlom	Trojuholník s všetky rohy sú ostré , nazývaný akútny
	Správny trojuholník	Trojuholník s jeden z rohov priamky , nazývaný obdĺžnikový
	Tupý trojuholník	Trojuholník s jeden z rohov je tupý , nazývaný tupý

Trojuholník s ostrým uhlom

Definícia: Trojuholník s všetky rohy sú ostré , nazývaný akútny

Správny trojuholník

Definícia: Trojuholník s jeden z rohov priamky , nazývaný obdĺžnikový

Tupý trojuholník

Definícia: Trojuholník s jeden z rohov je tupý , nazývaný tupý

Podľa dĺžky strán existujú dva dôležité typy trojuholníkov.

Tabuľka 2 - Rovnoramenné a rovnostranné trojuholníky

Kresba	Typ trojuholníka	Definícia
	Rovnoramenný trojuholník	bočné strany, a tretia strana sa nazýva základňa rovnoramenného trojuholníka
	Rovnostranný (správny) trojuholník	Trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké, sa nazýva rovnostranný alebo pravidelný trojuholník.

Rovnoramenný trojuholník

Definícia: Trojuholník, ktorého dve strany sú si rovné, sa nazýva rovnoramenný trojuholník. V tomto prípade sa nazývajú dve rovnaké strany bočné strany, a tretia strana sa nazýva základňa rovnoramenného trojuholníka

Rovnostranný (pravidelný) trojuholník

Definícia: Trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké, sa nazýva rovnostranný alebo pravidelný trojuholník.

Testy rovnosti pre trojuholníky

Trojuholníky sa nazývajú rovnaké, ak sú môže byť prekrytý .

Tabuľka 3 ukazuje kritériá rovnosti pre trojuholníky.

Tabuľka 3 - Známky rovnosti trojuholníkov

Kresba	Názov funkcie	Formulácia funkcie
	na dve strany a uhol medzi nimi
	Rovnosť trojuholníkov na bočné a dva susedné rohy
	Rovnosť trojuholníkov na tri strany

Rovnosť trojuholníkov na oboch stranách a uhlom medzi nimi

Formulácia funkcie. Ak sú dve strany jedného trojuholníka a uhol medzi nimi rovnaké ako dve strany druhého trojuholníka a uhol medzi nimi, potom sú tieto trojuholníky rovnaké

Rovnosť trojuholníkov po boku a dvoch priľahlých rohoch

Formulácia funkcie. Ak je strana a dva susedné uhly jedného trojuholníka rovnaké ako bočné a dva susedné uhly iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké

Rovnosť trojuholníkov na troch stranách

Formulácia funkcie. Ak sa tri strany jedného trojuholníka zhodujú s tromi stranami iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké

Testy rovnosti pravouhlých trojuholníkov

Nasledujúce názvy sa bežne používajú pre strany pravouhlých trojuholníkov.

Prepona je strana pravouhlého trojuholníka ležiaca oproti pravému uhlu (obr. 2), ďalšie dve strany sa nazývajú nohy.

Tabuľka 4 - Známky rovnosti pravouhlých trojuholníkov

Kresba	Názov funkcie	Formulácia funkcie
	na dve nohy	Ak sa dve nohy jedného pravouhlého trojuholníka rovnajú dvom nohám iného pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto pravouhlé trojuholníky rovnaké
	Rovnosť pravouhlých trojuholníkov na noha a priľahlý ostrý uhol	Ak je noha a priľahlý ostrý uhol jedného pravouhlého trojuholníka rovnaké ako noha a priľahlý ostrý uhol iného pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto pravé trojuholníky rovné
	Rovnosť pravouhlých trojuholníkov na noha a opačný ostrý uhol	Ak je noha a opačný ostrý uhol jedného pravouhlého trojuholníka rovnaké ako noha a opačný ostrý uhol druhého pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto pravé trojuholníky rovnaké
	Rovnosť pravouhlých trojuholníkov na prepona a ostrý uhol	Ak je prepona a ostrý uhol jedného pravouhlého trojuholníka rovnaký ako prepona a ostrý uhol iného pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto pravé trojuholníky rovnaké
	Rovnosť pravouhlých trojuholníkov na noha a prepona	Ak je noha a prepona jedného pravouhlého trojuholníka rovnaká ako noha a prepona iného pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto pravé trojuholníky rovnaké

Znamenie rovnosti pravouhlých trojuholníkov na dvoch nohách

Pravouhlé trojuholníky spolu s rovnoramennými a rovnostrannými trojuholníkmi zaujímajú svoje miesto medzi trojuholníkmi a majú špeciálny súbor špecifických vlastností charakteristických iba pre tento typ trojuholníkov. Zvážte niekoľko viet o rovnosti pravouhlých trojuholníkov, ktoré výrazne zjednodušia riešenie niektorých problémov.

Prvý znak rovnosti pravouhlých trojuholníkov

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov sú výsledkom troch znakov rovnosti trojuholníkov, ale pravý uhol ich deformuje, rozširuje a zároveň uľahčuje. Akýkoľvek zo znakov rovnosti pravouhlých trojuholníkov je možné nahradiť jedným z troch hlavných, ale bude to trvať príliš dlho, takže bolo identifikovaných 5 vlastností a znakov rovnosti pravouhlých trojuholníkov.

Veľmi často sa namiesto základných znakov rovnosti trojuholníkov používa metóda superpozície, keď sú dve figúry navzájom mentálne prekrývané. To neznamená, že je to pravda alebo lož. Len ďalší dôkaz na zváženie. Nemali by sme si však myslieť, že akúkoľvek vlastnosť je možné dokázať obyčajnou superpozíciou. Preto zvážime dôkaz kritérií pre rovnosť pravouhlých trojuholníkov prostredníctvom troch hlavných kritérií pre rovnosť trojuholníkov.

Prvý znak rovnosti pravouhlých trojuholníkov hovorí: dva pravouhlé trojuholníky sú rovnaké, ak sa dve nohy jedného trojuholníka rovnajú dvom nohám iného trojuholníka. Stručne povedané, táto funkcia sa nazýva rovnosť v dvoch nohách.

Ryža. 1. Rovnosť v dvoch nohách

Je veľmi ľahké dokázať toto znamenie. Vzhľadom na to: dve nohy pravouhlých trojuholníkov sú rovnaké. Medzi nohami je pravý uhol, ktorý je 90 stupňov, čo znamená, že uhol trojuholníkov sa zhoduje. Preto sú dva trojuholníky rovnaké na dvoch stranách a v uhle medzi nimi.

Druhé znamenie

Druhé znamenie znie takto: dva pravouhlé trojuholníky sú rovnaké, ak sa noha a priľahlý ostrý uhol jedného trojuholníka rovnajú nohe a priľahlému rohu druhého trojuholníka.

Druhé kritérium je dokázané na základe rovnakého tvrdenia o vzájomnej rovnosti pravých uhlov. Ak sú nohy trojuholníkov rovnaké, ich ostré uhly sú rovnaké a pravé uhly sú podľa definície rovnaké, potom sú tieto trojuholníky rovnaké podľa druhého znaku rovnosti (bočné a dva rohy susediace s ním).

Tretie znamenie

Dva pravouhlé trojuholníky sú rovnaké, ak sú noha a opačný ostrý uhol rovnaké.

Ryža. 2. Kresba na dôkaz

Ostré uhly v trojuholníku sa sčítajú až 90 stupňov. Pre jednoduchosť dôkazu označme uhly malými latinskými písmenami. Jeden roh je rovná čiara a ďalšie dva označujeme písmenami a a b v prvom trojuholníku; c a d v druhom trojuholníku.

Podľa tvrdenia o probléme sú uhly a ad d navzájom rovnaké.

Odpočítajte uhol a z oboch strán výrazu

To znamená, že ak sú dva ostré uhly v dvoch pravouhlých trojuholníkoch navzájom rovnaké, potom budú rovnaké aj ďalšie dva ostré uhly a môžeme použiť druhú vlastnosť.

V druhom a treťom znamení sa musíte obzvlášť zamerať na ostrý uhol, pretože pravé uhly sú vždy navzájom rovnaké.

Štvrté znamenie

Ak sú prepona a ostrý uhol jedného pravouhlého trojuholníka rovnaké ako prepona a uhol iného pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké.

Ako bolo uvedené v predchádzajúcom znaku: ak je ostrý uhol pravouhlého trojuholníka rovnaký ako zodpovedajúci ostrý uhol iného pravouhlého trojuholníka, potom bude druhá dvojica ostrých uhlov trojuholníkov navzájom rovnaká.

To znamená, že podľa podmienok tohto znaku máme rovnosť prepony a dva ostré uhly trojuholníkov, čo znamená, že tieto trojuholníky budú rovnaké v bočných a dvoch susedných uhloch (2 znamienka rovnosti trojuholníkov)

Piate znamenie

Ak je prepona a noha jedného pravouhlého trojuholníka rovnaká ako prepona a noha druhého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké.

Ak sú prepona a noha dvoch trojuholníkov rovnaké, budú druhé ramená týchto trojuholníkov navzájom rovnaké. Vyplýva to z Pytagorovej vety.

Ryža. 3. Rovnosť nôh a prepony

Štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh. Prepony sú si navzájom rovnaké, noha jedného trojuholníka sa rovná štvorcu druhého trojuholníka, čo znamená, že súčet zostáva správny, a ostatné dve nohy sa budú navzájom rovnať.

Čo sme sa naučili?

Zvážili sme dôkaz piatich testov rovnosti trojuholníkov prostredníctvom testov rovnosti základných trojuholníkov. Zistili sme, prečo je vhodnejšie takýto dôkaz prekrývať, a určili sme spôsob dôkazu, ktorý umožní kedykoľvek obnoviť základné pojmy témy v pamäti bez zbytočného memorovania.

Test podľa témy

Hodnotenie článku

Priemerné hodnotenie: 4.6. Celkový počet prijatých hodnotení: 100.

V priebehu geometrie sa študoval 7. ročník a na poslednej hodine - opakovanej, tzv kritériá rovnosti pre trojuholníky... Pripomeňme si ich:

1. znak (na 2 stranách a uhol medzi nimi): ak majú trojuholníky dve strany a uhol medzi nimi, potom sú tieto trojuholníky navzájom rovnaké.

2. znak (pozdĺž strany a dvoch susedných rohov): ak majú trojuholníky rovnakú stranu a dva uhly susediace s touto stranou, potom sú tieto trojuholníky navzájom rovnaké. Poznámka: pomocou skutočnosti, že súčet uhlov trojuholníka je konštantný a rovnaký, je ľahké dokázať, že podmienka „prispôsobenia“ uhlov nie je potrebná, to znamená, že znamienko bude pravdivé v nasledujúcej formulácii: „. .. bočný a dva uhly sú rovnaké, potom ... “.

3. znak (na 3 stranách): ak sú všetky tri strany trojuholníkov rovnaké, potom sú tieto trojuholníky navzájom rovnaké.

Prirodzene, všetky tieto znaky platia pre pravouhlé trojuholníky. Pravouhlé trojuholníky však majú jednu významnú vlastnosť - vždy majú pár rovnakých pravých uhlov. Preto sú tieto vlastnosti pre nich zjednodušené. Sformulujme teda kritériá pre rovnosť pravouhlých trojuholníkov:

1. znak (na dvoch nohách): ak majú pravouhlé trojuholníky nohy v pároch rovnaké, potom sú tieto trojuholníky navzájom rovnaké (pozri obr. 2).

Vzhľadom na:

Ryža. 2. Ilustrácia prvého znaku rovnosti pravouhlých trojuholníkov

Dokážte:

Dôkaz: pamätajte na to, že v pravouhlých trojuholníkoch: ... To znamená, že môžeme použiť prvý znak rovnosti trojuholníkov (na 2 stranách a uhol medzi nimi) a získať: .

Osvedčené.

2-té znamenie (podľa nohy a uhla): ak sa noha a ostrý uhol jedného pravouhlého trojuholníka rovnajú nohe a ostrý uhol iného pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky navzájom rovnaké (pozri obr. 3).

Vzhľadom na:

Ryža. 3. Ilustrácia druhého znaku rovnosti pravouhlých trojuholníkov

Dokážte:

Dôkaz: okamžite poznamenávame, že skutočnosť, že uhly susediace s rovnakými nohami sú rovnaké, nie je zásadná. Skutočne, súčet ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka (podľa vlastnosti 1) sa rovná. To znamená, že ak je jeden pár týchto uhlov rovnaký, potom je rovnaký aj druhý (pretože ich súčty sú rovnaké).

Dôkaz tejto funkcie sa obmedzuje na používanie druhý znak rovnosti trojuholníkov(2 rohy a strana). Podľa podmienok sú nohy a pár priľahlých rohov rovnaké. Ale druhá dvojica priľahlých rohov pozostáva z rohov ... To znamená, že môžeme použiť druhý znak rovnosti trojuholníkov a získať: .

Osvedčené.

3. znak (preponou a uhlom): ak sú prepona a ostrý uhol jedného pravouhlého trojuholníka rovnaké ako prepona a ostrý uhol iného pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky navzájom rovnaké (pozri obr. 4).

Vzhľadom na:

Ryža. 4. Ilustrácia tretieho znaku rovnosti pravouhlých trojuholníkov

Dokážte:

Dôkaz: na preukázanie tejto funkcie môžete ihneď použiť druhý znak rovnosti trojuholníkov- pozdĺž boku a dvoch rohov (presnejšie dôsledok, ktorý naznačuje, že rohy nemusia priliehať k boku). Skutočne, podľa podmienky: ,, a z vlastností pravouhlých trojuholníkov to vyplýva ... Preto môžeme použiť druhý znak rovnosti trojuholníkov a získať: .

Osvedčené.

4. znak (preponou a nohou): ak sú prepona a noha jedného pravouhlého trojuholníka rovnaké ako prepona a noha druhého pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky navzájom rovnaké (pozri obr. 5).

Vzhľadom na:

Ryža. 5. Ilustrácia štvrtého znaku rovnosti pravouhlých trojuholníkov

Dokážte:

Dôkaz: na dokázanie tohto znaku použijeme znak rovnosti trojuholníkov, ktorý sme sformulovali a dokázali v minulej lekcii, a to: ak majú trojuholníky rovnaké dve strany a väčší uhol, potom sú také trojuholníky rovnaké. Skutočne, podľa podmienok máme dve rovnaké strany. Tiež podľa vlastnosti pravouhlých trojuholníkov: ... Zostáva dokázať, že pravý uhol je najväčší v trojuholníku. Predpokladajme, že to tak nie je, čo znamená, že musí existovať aspoň jeden väčší uhol. Potom však bude súčet uhlov trojuholníka už väčší. To je však nemožné, čo znamená, že v trojuholníku nemôže byť taký uhol. To znamená, že pravý uhol je najväčší v pravouhlom trojuholníku. Môžete teda použiť funkciu formulovanú vyššie a získať: .

Osvedčené.

Sformulujme teraz ešte jednu vlastnosť, ktorá je charakteristická iba pre pravouhlé trojuholníky.

Nehnuteľnosť

Noha, ktorá leží oproti uhlu b, je 2 -krát menšia ako prepona (pozri obr. 6).

Vzhľadom na:

Dokážte:AB

Dôkaz: vykonáme dodatočnú konštrukciu: predĺžime priamku za bod o segment rovný. Poďme na bod. Pretože uhly a susedia, ich súčet je rovnaký. Odvtedy potom uhol.

Takže pravouhlé trojuholníky (na dvoch nohách: - spoločné, - podľa konštrukcie) - prvý znak rovnosti pravouhlých trojuholníkov.

Rovnosť trojuholníkov znamená rovnosť všetkých zodpovedajúcich prvkov. Prostriedky,. Kde: . Okrem toho (z rovnosti všetkých rovnakých trojuholníkov). To znamená, že trojuholník je rovnoramenný (pretože má na základni rovnaké uhly), ale rovnoramenný trojuholník, ktorého jeden z uhlov je rovnaký, je rovnostranný. To predovšetkým znamená, že , podľa potreby.

Osvedčené.

4. Vlastnosť nohy ležiacej oproti uhlu v

Stojí za zmienku, že platí aj opačné tvrdenie: ak je v pravouhlom trojuholníku prepona dvakrát taká veľká ako jedna z nôh, potom je ostrý uhol ležiaci oproti tejto nohe rovnaký.

Sformulujme ešte jednu dôležitú znak pravouhlého trojuholníka.

Poznámka:podpísať znamená, že ak je niektoré tvrdenie pravdivé, potom je trojuholník pravouhlý. To znamená, že táto funkcia vám umožňuje identifikovať pravouhlý trojuholník.

Je dôležité nezamieňať si znak snehnuteľnosť - to znamená, že ak je trojuholník obdĺžnikový, potom má také vlastnosti ... Často sú znaky a vlastnosti navzájom inverzné, ale nie vždy. Napríklad vlastnosť rovnostranného trojuholníka: rovnostranný trojuholník má uhol ... To však nebude znakom rovnostranného trojuholníka, pretože nie každý trojuholník má uhol , je rovnostranný.

Možno uviesť živší príklad: vlastnosť slova „chlieb“ - v slove „chlieb“ sú 4 písmená. Prítomnosť 4 písmen nie je znakom slova „chlieb“, pretože existuje veľa slov so 4 písmenami.

5. Znak pravouhlého trojuholníka (medián sa rovná polovici strany, na ktorú je nakreslený)

Takže, znak pravouhlého trojuholníka:

Ak je medián v trojuholníku rovný polovici strany, na ktorú je nakreslený, potom je tento trojuholník obdĺžnikový a stred je nakreslený z vrcholu pravého uhla.

Poznámka: pripomenúť si to medián- čiara spájajúca vrchol trojuholníka so stredom opačnej strany (pozri obr. 7).

Vzhľadom na:

Dokážte:

Dôkaz: pokiaľ , potom sú trojuholníky rovnoramenné. To znamená, že uhly v základoch každého z týchto trojuholníkov sú rovnaké. To je,. Potom je súčet uhlov trojuholníka So ,. Ale: podľa potreby dokázať.

Osvedčené.

V tejto lekcii sme skúmali základné vlastnosti pravouhlých trojuholníkov, ktoré sme študovali predtým v 7. ročníku. Pamätali sme si predovšetkým znaky rovnosti, ako aj ďalšie znaky a vlastnosti pravouhlých trojuholníkov.

Domáca úloha

1. V pravouhlom trojuholníku je úsečka. Zistite dĺžku nohy, ak je cm.

2. Na prepone pravouhlého trojuholníka je určený bod tak, že ... Dokážte, že bod je v rovnakej vzdialenosti od bodov a.

3. Nájdite ostré uhly pravouhlého trojuholníka, ak súvisia ako 5:13.

4. Medián ťahaný do prepony je rovný videniu.

5. V trojuholníku je úsečka. Segment je o jeden cm menší ako segment. Nájdite úsečku.

Lekcia 5: Polygóny

V tejto lekcii začneme už teraz Nová téma a predstavte nový koncept pre nás „polygón“. Pokryjeme základné pojmy súvisiace s polygónmi: strany, vrcholy, rohy, konvexita a nekonvexita. Potom dokážeme najdôležitejšie skutočnosti, ako napríklad vetu o súčte vnútorných uhlov mnohouholníka, vetu o súčte vonkajších uhlov mnohouholníka. V dôsledku toho sa priblížime štúdiu špeciálnych prípadov polygónov, ktoré budú zvážené v ďalších lekciách.

1. Pojem „mnohouholník“

V kurze geometrie študujeme vlastnosti geometrických tvarov a už sme uvažovali o najjednoduchších z nich: trojuholníky a kruhy. Súčasne sme prediskutovali aj konkrétne špeciálne prípady týchto postáv, ako sú obdĺžnikové, rovnoramenné a pravidelné trojuholníky. Teraz je načase hovoriť o všeobecnejších a zložitejších tvaroch - mnohouholníky.

So špeciálnym prípadom mnohouholníky už poznáme - toto je trojuholník (pozri obr. 1).

Ryža. 1. Trojuholník

Už samotný názov zdôrazňuje, že ide o figúrku s tromi rohmi. Preto v mnohouholník môže ich byť veľa, t.j. viac ako tri. Nakreslime napríklad päťuholník (pozri obr. 2), tj. postava s piatimi rohmi.

Ryža. 2. Pentagon. Konvexný mnohouholník

Definícia. Mnohouholník- figúrka pozostávajúca z niekoľkých bodov (viac ako dvoch) a zodpovedajúceho počtu segmentov, ktoré ich spájajú v sérii. Tieto body sa nazývajú vrcholy mnohouholník a segmenty čiar - večierky... Navyše žiadne dve susedné strany neležia na jednej priamke a žiadne dve nesusedné strany sa nepretínajú.

Definícia. Pravidelný mnohouholník Je konvexný mnohouholník so všetkými stranami a uhlami rovnakými.

akýkoľvek mnohouholník rozdeľuje rovinu na dve oblasti: vnútornú a vonkajšiu. Vnútorná oblasť sa označuje aj ako mnohouholník.

Inými slovami, napríklad, keď hovoria o päťuholníku, majú na mysli celý jeho vnútorný región aj jeho hranicu. A všetky body, ktoré ležia vo vnútri mnohouholníka, tiež patria do vnútornej oblasti, t.j. hrot patrí aj päťuholníku (pozri obr. 2).

Polygóny sa tiež niekedy nazývajú n-uholníky, aby sa zdôraznilo, že sa zvažuje všeobecný prípad prítomnosti neznámeho počtu uhlov (n kusov).

Definícia. Obvod mnohouholníka- súčet dĺžok strán mnohouholníka.

Teraz sa musíme zoznámiť s druhmi polygónov. Delia sa na vypuklé a nekonvexné... Napríklad mnohouholník zobrazený na obr. 2 je konvexný a na obr. 3 nekonvexné.

Ryža. 3. Nekonvexný mnohouholník

2. Konvexné a nekonvexné polygóny

Definícia 1. Mnohouholník zavolal vypuklé ak pri kreslení priamky cez ktorúkoľvek z jej strán celú mnohouholník leží iba na jednej strane tejto priamky. Nekonvexné sú všetci ostatní mnohouholníky.

Je ľahké si predstaviť, že pri rozťahovaní oboch strán päťuholníka na obr. 2 to všetko bude na jednej strane tejto priamky, t.j. je to konvexné. Ale pri kreslení priamky v štvoruholníku na obr. 3 už vidíme, že ju rozdeľuje na dve časti, t.j. je nekonvexný.

Existuje však aj iná definícia konvexnosti mnohouholníka.

Definícia 2. Mnohouholník zavolal vypuklé ak pri výbere akýchkoľvek dvoch jeho vnútorných bodov a ich prepojení so segmentom sú všetky body segmentu tiež vnútornými bodmi polygónu.

Ukážku použitia tejto definície je možné vidieť na príklade konštrukcie segmentov na obr. 2 a 3.

Definícia. Diagonálne polygón je akýkoľvek úsečkový úsek, ktorý spája dva nesusediace vrcholy.

3. Veta o súčte vnútorných uhlov konvexného n-uholníka

Na opis vlastností mnohouholníkov existujú dve dôležité vety o ich uhloch: veta o súčte vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka a veta o súčte vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka... Uvažujme o nich.

Veta. Na súčte vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka (n-uholník).

Kde je počet jeho rohov (strán).

Dôkaz 1. Zobrazujeme na obr. 4 konvexné n-uholník.

Ryža. 4. Konvexný n-uholník

Nakreslite všetky možné uhlopriečky z vrcholu. Rozdelia n-uholník na trojuholníky, pretože každá strana mnohouholníka tvorí trojuholník, okrem strán susediacich s vrcholom. Z obrázku je ľahké vidieť, že súčet uhlov všetkých týchto trojuholníkov sa bude rovnať súčtu vnútorných uhlov n-uholníka. Pretože súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je, potom súčet vnútorných uhlov n-uholníka je:

Práve to bolo potrebné dokázať.

Dôkaz 2. Je možný aj ďalší dôkaz tejto vety. Nakreslíme podobný n-uholník na obr. 5 a spojte ktorýkoľvek z jeho vnútorných bodov so všetkými vrcholmi.

.

Osvedčené.

Z dokázanej vety vyplýva zaujímavý fakt, že súčet vonkajších uhlov konvexného n-uholníka je rovný od počtu jeho rohov (strán). Mimochodom, na rozdiel od súčtu vnútorných uhlov.

Ďalej budeme pracovať podrobnejšie so špeciálnym prípadom polygónov - štvoruholníkov. V nasledujúcej lekcii sa zoznámime s takým obrazcom, akým je rovnobežník, a prediskutujeme jeho vlastnosti.

Domáca úloha

1. Existuje konvexný mnohouholník, ktorého súčet uhlov je rovný: a); b); v)?

2. Nájdite uhly štvoruholníka, ak sú úmerné číslam 2, 3, 10 a 21. Je toto štvoruholník konvexné alebo nekonvexné?

3. Vrcholy konvexného päťuholníka sú spojené cez jeden. Nájdite súčet uhlov vo vrcholoch výslednej „hviezdy“.

Lekcia 6: Rovnobežník

Táto lekcia je venovaná jednému z typov konvexných štvoruholníkov, a to rovnobežníku. Rovnobežník je jedným z konkrétnych typov štvoruholníkov, ktoré zahŕňajú také poddruhy ako obdĺžnik, kosoštvorec, štvorec - postavy, ktoré každý z nás pozná už od detstva. Pozrime sa na definíciu a vlastnosti rovnobežníka a tiež vyriešime niekoľko príkladov, ktoré tieto vlastnosti používajú.

Definovanie rovnobežníka

V poslednej lekcii sme sa pozreli na koncept konvexného mnohouholníka. Teraz budeme študovať špeciálny prípad mnohouholníka - štvoruholníka, alebo skôr špeciálny prípad štvoruholníka - rovnobežník.

Rovnobežník Je to štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany párovo rovnobežné (pozri obr. 1).

Ryža. 1. Rovnobežník

To znamená, že ak dostanete dve rovnobežné čiary, ktoré pretínajú ďalšie dve rovnobežné čiary, vytvoria figúrku nazývanú rovnobežník.

Z rovnobežníka je možné vyvodiť nasledujúce závery: ... Platí to aj naopak: ak , potom je štvoruholník rovnobežník.

Okrem tohoto táto definícia, môžeme uviesť niekoľko ďalších ekvivalentných, zameriame sa však práve na takú klasickú definíciu rovnobežníka a vlastnosti tohto obrázku sformulujeme pomocou rovnobežnosti jeho protiľahlých strán.