Pozdĺž bočnej strany nakreslí rovnoramenný trojuholník. Ako zostrojiť rovnoramenný trojuholník

VIII ... Skupiny stavebných úloh.

Riešenie skupín úloh pomocou pomocného trojuholníka.

Podstatou metódy je konštrukcia pomocných trojuholníkov a využitie ich vlastností a novo získaných prvkov pre konečné riešenie úlohy.

Stavebná analýza pozostáva z nasledujúcich krokov:

Vo svojej analýze hľadajte pomocný trojuholník.

Ak sa objavia nové prvky, pomocou ktorých už môžete zostaviť trojuholník ABC, bol cieľ dosiahnutý.

Ak sa tak nestane, potom môžete vytvoriť ďalší pomocný trojuholník, ktorý poskytne chýbajúce prvky.

Poďme si na príkladoch analyzovať podstatu metódy.

Úloha 1: Vytvorte rovnoramenný trojuholník ABC ( b= c) používateľom a, h b .

Hľadáme pomocný trojuholník. Je zrejmé, že je vhodné považovať CDB za taký trojuholník.

To dá uhol C, teda uhol ABC. Existuje teda a, uhol B, uhol C, takže môžete zostaviť trojuholník ABC. Napíšeme to schematicky nasledovne:

(a, h b) → Δ CDB →< C.

(a,< B, < C) → Δ ABC.

Svojpomocné úlohy:

Pri použití úvah podobných vyššie uvedenému odporúčame zostaviť rovnoramenný trojuholník (b \u003d c) z nasledujúcich údajov:

a)< А, h b ;

b)< В, h с;

d)< В, h b ;

e)< С, h b .

Úloha 2: Zostrojte trojuholník pozdĺž polomeru r vpísanej kružnice, uhla A a uhla B.

Nech som stred kruhu napísaného v trojuholníku ABC.

(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;

(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;

(| AD | + | BD | \u003d | AB |) → (c,< А, < В) → Δ ABC.

Svojpomocné úlohy:

Zostrojte trojuholník pomocou nasledujúcich prvkov:

a) a, h c, h b; b) a, ha, hb; c) a, ma, mb;

d)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;

g) b, h b, m b (kde m - mediány, l - polia, h - výšky).

Sám:

postavte kosoštvorec ABCD pozdĺž uhlopriečky BD a výšky BM. (Δ BHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);

postavte lichobežník na štyroch stranách.

1. Riešenie skupín problémov na základe toho hlavného.

   1. Hlavná úloha:

Z dvoch strán vytvorte trojuholník a medzi nimi uhol.

Zostrojte pravouhlý trojuholník pozdĺž dvoch nôh.

Postavte kosoštvorec pozdĺž dvoch uhlopriečok.

Z dvoch nerovnakých strán vytvorte obdĺžnik.

Zostrojte rovnobežník z dvoch uhlopriečok a uhla medzi nimi.

Zostrojte obdĺžnik pozdĺž uhlopriečok a uhla medzi nimi.

1. Hlavná úloha:

Z boku a dvoch susedných rohov vytvorte trojuholník.

Úlohy nezávislého riešenia:

Zostavte rovnoramenný trojuholník v základni a priľahlom rohu.

Zostrojte pravouhlý trojuholník pozdĺž nohy a priľahlého ostrého uhla.

Z rohu postavte kosoštvorec a uhlopriečku prechádzajúcu cez vrchol tohto rohu.

Zostrojte rovnoramenný trojuholník na výšku a vrcholový uhol.

Zostavte štvorec pozdĺž danej uhlopriečky.

1. Hlavná úloha:

Z hypotenzie a ostrého uhla zostrojte pravouhlý trojuholník.

Úlohy nezávislého riešenia:

Postavte rovnoramenný trojuholník pozdĺž boku a rohu v základni.

Zostrojte rovnoramenný trojuholník z bočného a vrcholového uhla.

1. Hlavná úloha:

Z troch strán postavte trojuholník.

Úlohy nezávislého riešenia:

Zostrojte rovnoramenný trojuholník pozdĺž základne a boku.

Postavte kosoštvorec pozdĺž boku a diagonálne.

Zostrojte rovnobežník z dvoch nerovnakých strán a uhlopriečky.

Zostrojte rovnobežník z bočnej a dvoch uhlopriečok.

1. Hlavná úloha:

Zostrojte pozdĺž nohy a preponu pravouhlý trojuholník.

Úlohy nezávislého riešenia:

Zostrojte rovnoramenný trojuholník na výšku a do strán.

Pozdĺž základne zostrojte rovnoramenný trojuholník a kolmo spustený z konca základne na stranu.

Zostrojte rovnobežník pozdĺž základne, výšky a uhlopriečky.

Postavte kosoštvorec na výšku a uhlopriečku.

Z bočnej strany zostrojte rovnoramenný trojuholník a výška z neho klesla.

Zostrojte trojuholník na základe základne, výšky a boku.

Literatúra:

BI Argunov, MB Balk „Geometrické konštrukcie v rovine“, M, „Osvietenie“ 1955.

Glazer G. I. „Dejiny matematiky v škole“ IV - VI ročník, M, „Osvietenstvo“, 1981

I. Goldenblant „Skúsenosti s riešením úloh geometrickej stavby“ „Matematika v škole“ č. 3, 1946

IA Kushnir „O jednom spôsobe riešenia stavebných problémov“ „Matematika v škole“ č. 2, 1984

AI Mostovoy „Aplikovať rôzne spôsoby riešenia stavebných problémov“ „Matematika v škole“ č. 5, 1983

Učebnica AA Popova „Matematika“. „Čeľabinská štátna pedagogická univerzita“, 2005

E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova „Geometrické konštrukcie v triedach I - V stredná škola„Metodický vývoj. Sverdlovsk, 1974

Ako zostaviť rovnoramenný trojuholník? To sa dá ľahko urobiť pomocou pravítka, buniek na ceruzku a notebooku.

Začneme budovať rovnoramenný trojuholník od základne. Aby bol výkres rovnomerný, musí byť počet buniek v základni párny.

Segment - základňu trojuholníka - rozdelíme na polovicu.

Hornú časť trojuholníka je možné zvoliť v ľubovoľnej výške od základne, vždy však presne nad stredom.

Ako zostaviť rovnoramenný trojuholník v ostrom uhle?

Uhly v spodnej časti rovnoramenného trojuholníka môžu byť iba ostré. Aby bol rovnoramenný trojuholník ostrý, musí byť tiež ostrý vrcholový uhol.

Ak to chcete urobiť, vyberte hornú časť trojuholníka vyššie od základne.

Čím vyšší je vrchol, tým menší je vrcholový uhol. Uhly v základni sa zodpovedajúcim spôsobom zväčšia.

Ako zostaviť tupý rovnoramenný trojuholník?

Keď sa vrchol rovnoramenného trojuholníka blíži k základni, zvyšuje sa miera stupňa vrcholového uhla.

Ak chcete vytvoriť rovnoramenný tupý trojuholník, vyberte vrchol nižšie.

Ako zostaviť rovnoramenný pravý trojuholník?

Ak chcete vytvoriť rovnoramenný pravouhlý trojuholník, musíte zvoliť vrchol vo vzdialenosti rovnajúcej sa polovici základne (je to spôsobené vlastnosťami rovnoramenného správny trojuholník).

Napríklad, ak je dĺžka základne 6 buniek, potom umiestnime hornú časť trojuholníka do výšky 3 buniek nad stred základne. Upozorňujeme: v tomto prípade je každá bunka v rohoch na základni rozdelená diagonálne.

S výstavbou rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sa môže začať v hornej časti.

Vyberieme vrchol, z ktorého v pravom uhle položíme rovnaké segmenty hore a doprava. Toto sú strany trojuholníka.

Spojme ich a získame rovnoramenný pravý trojuholník.

Konštrukciu rovnoramenného trojuholníka pomocou kompasu a pravítka bez rozdelenia zvážime v inej téme.

Rovnoramenný je taký trojuholník, v ktorých sú dĺžky jeho dvoch strán rovnaké.

Pri riešení problémov na danú tému "Rovnoramenný trojuholník" je potrebné použiť nasledujúce známe vlastnosti:

1. Uhly ležiace oproti rovnakým stranám sú si navzájom rovné.
2. Dvojstrany, stredy a výšky nakreslené z rovnakých uhlov sú si navzájom rovné.
3. Strednica a výška dvojstrany, pritiahnuté k základni rovnoramenného trojuholníka, sa navzájom zhodujú.
4. Stred vpísanej kružnice a stred opísanej kružnice ležia vo výške, a teda na mediáne a úsečke nakreslenej k základni.
5. Uhly, ktoré sú rovnaké v rovnoramennom trojuholníku, sú vždy ostré.

Trojuholník je rovnoramenný, ak má nasledujúce znamenia:

1. Dva uhly trojuholníka sú rovnaké.
2. Výška sa zhoduje s mediánom.
3. Dvojsečka sa zhoduje s mediánom.
4. Výška sa zhoduje s pôdorysom.
5. Dve výšky trojuholníka sú rovnaké.
6. Dva polia trojuholníka sú si rovné.
7. Dva mediány trojuholníka sú rovnaké.

Uvažujme o niekoľkých úlohách týkajúcich sa tejto témy "Rovnoramenný trojuholník" a dať im podrobné riešenie.

Cieľ 1.

V rovnoramennom trojuholníku je výška nakreslená k základni 8 a základňa sa vzťahuje na stranu 6: 5. Nájdite vzdialenosť od vrcholu trojuholníka ako priesečník jeho bisektorov.

Rozhodnutie.

Nech je uvedený rovnoramenný trojuholník ABC (obr. 1).

1) Pretože AC: BC \u003d 6: 5, AC \u003d 6x a BC \u003d 5x. BH je výška nakreslená na základňu AC trojuholníka ABC.

Pretože bod H je stredom AC (vlastnosťou rovnoramenného trojuholníka), potom HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 6x \u003d 3x.

BC2 \u003d BH2 + HC2;

(5x) 2 \u003d 8 2 + (3x) 2;

x \u003d 2, potom

AC \u003d 6x \u003d 6 2 \u003d 12 a

BC \u003d 5x \u003d 5 2 \u003d 10.

3) Pretože priesečník dvojuholníkov trojuholníka je stredom vpísanej kružnice, potom
OH \u003d r. Polomer kruhu vpísaného do trojuholníka ABC nájdeme podľa vzorca

4) S ABC \u003d 1/2 * (AC * BH); S ABC \u003d 1/2 * (12 * 8) \u003d 48;

p \u003d 1/2 (AB + BC + AC); p \u003d 1/2 (10 + 10 + 12) \u003d 16, potom OH \u003d r \u003d 48/16 \u003d 3.

Preto VO \u003d VN-OH; VO \u003d 8 - 3 \u003d 5.

Odpoveď: 5.

Cieľ 2.

Úsečka AD je nakreslená v rovnoramennom trojuholníku ABC. Plochy trojuholníkov ABD a ADC sa rovnajú 10 a 12. Nájdite plochu štvorca, ktorá je trikrát zväčšená a je vytvorená vo výške tohto trojuholníka a je nakreslená na základňu AC.

Rozhodnutie.

Uvažujme trojuholník ABC - rovnoramenné, AD - úsečka uhla A (obr. 2).

1) Napíšeme oblasti trojuholníkov BAD a DAC:

S BAD \u003d 1/2 AB AD sin α; S DAC \u003d 1/2 AC AD sin α.

2) Nájdite pomer oblastí:

S BAD / S DAC \u003d (1/2 AB AD sin α) / (1/2 AC AD sin α) \u003d AB / AC.

Pretože S BAD \u003d 10, S DAC \u003d 12, potom 10/12 \u003d AB / AC;

AB / AC \u003d 5/6, potom nech AB \u003d 5x a AC \u003d 6x.

AH \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 6x \u003d 3x.

3) Z trojuholníka ABN - obdĺžnikový podľa Pytagorovej vety AB 2 \u003d AN 2 + BN 2;

25x 2 \u003d VN 2 + 9x 2;

4) S A ° \u003d 1/2 AS °; S A B C \u003d 1/2 6x 4x \u003d 12x 2.

Pretože S A BC \u003d S BAD + S DAC \u003d 10 + 12 \u003d 22, potom 22 \u003d 12x 2;

x 2 \u003d 11/6; VN 2 \u003d 16x 2 \u003d 16 11/6 \u003d 1/3 8 11 \u003d 88/3.

5) Plocha štvorca sa rovná BH 2 \u003d 88/3; 3 88/3 \u003d 88.

Odpoveď: 88.

Cieľ 3.

V rovnoramennom trojuholníku je základňa 4 a strana 8. Nájdite štvorec výšky zníženej na stranu.

Rozhodnutie.

V trojuholníku ABC - rovnoramenné BC \u003d 8, AC \u003d 4 (obr. 3).

1) VN - výška nakreslená k základni AC trojuholníka ABC.

Pretože bod H je stredom AC (vlastnosťou rovnoramenného trojuholníka), potom HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 · 4 \u003d 2.

2) Z trojuholníka VNS - obdĺžnikový podľa Pytagorovej vety VS 2 \u003d VN 2 + NS 2;

64 \u003d BH2 + 4;

3) S ABC \u003d 1/2 (AC BH), rovnako ako S ABC \u003d 1/2 (AM BC), potom rovnáme pravú stranu vzorcov, dostaneme

1/2 AC BH \u003d 1/2 AM BC;

AM \u003d (AC · BH) / BC;

AM \u003d (√60 4) / 8 \u003d (2√15 4) / 8 \u003d √15.

Odpoveď: 15.

Úloha 4.

V rovnoramennom trojuholníku sú základňa a výška spadnutá na ňu rovné 16. Nájdite polomer kruhu opísaného okolo tohto trojuholníka.

Rozhodnutie.

V trojuholníku ABC - rovnoramenná základňa AC \u003d 16, BH \u003d 16 - výška nakreslená na základňu AC (obr. 4).

1) AH \u003d HC \u003d 8 (vlastnosťou rovnoramenného trojuholníka).

2) Z trojuholníka VNS - obdĺžnikového podľa Pytagorovej vety

BC2 \u003d BH2 + HC2;

BC 2 \u003d 8 2 + 16 2 \u003d (8 2) 2 + 8 2 \u003d 8 2 4 + 8 2 \u003d 8 2 5;

3) Uvažujme o trojuholníku ABC: podľa sínusovej vety 2R \u003d AB / sin C, kde R je polomer kruhu opísaného okolo trojuholníka ABC.

sin C \u003d BH / BC (z trojuholníka VNS podľa definície sínusu).

hriech C \u003d 16 / (8√5) \u003d 2 / √5, potom 2R \u003d 8√5 / (2 / √5);

2R \u003d (8√5 √5) / 2; R \u003d 10.

Odpoveď: 10.

Cieľ 5.

Dĺžka výšky nakreslenej k základni rovnoramenného trojuholníka je 36 a polomer vpísanej kružnice je 10. Nájdite plochu trojuholníka.

Rozhodnutie.

Nech je uvedený rovnoramenný trojuholník ABC.

1) Pretože stred vpísanej kružnice v trojuholníku je priesečníkom jej dvojuholníkov, potom O ϵ VN a AO sú polnice uhla A a prúd OH \u003d r \u003d 10 (obr. 5).

2) VO \u003d VN-OH; BO \u003d 36 - 10 \u003d 26.

3) Zvážte trojuholník ABN. Podľa vety o uhle trojuholníka o uhle trojuholníka

AB / AN \u003d VO / OH;

AB / AH \u003d 26/10 \u003d 13/5, potom nech AB \u003d 13x a AH \u003d 5x.

Pytagorovou vetou AB 2 \u003d AN 2 + BH 2;

(13x) 2 \u003d 36 2 + (5x) 2;

169x 2 \u003d 25x 2 + 36 2;

144x 2 \u003d (12 3) 2;

144x 2 \u003d 144 9;

x \u003d 3, potom AC \u003d 2 AH \u003d 10x \u003d 10 3 \u003d 30.

4) S ABC \u003d 1/2 * (AC * BH); S ABC \u003d 1/2 * (36 * 30) \u003d 540;

Odpoveď: 540.

Úloha 6.

V rovnoramennom trojuholníku sú dve strany 5 a 20. Nájdite úsečku uhla v spodnej časti trojuholníka.

Rozhodnutie.

1) Predpokladajme, že strany trojuholníka sú 5 a základňa je 20.

Potom 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (obr. 6).

2) Nech LC \u003d x, potom BL \u003d 20 - x. Podľa vety o uhle trojuholníka o uhle trojuholníka

AB / AC \u003d BL / LC;

20/5 \u003d (20 - x) / x,

potom 4x \u003d 20 - x;

LC \u003d 4; BL \u003d 20 - 4 \u003d 16.

3) Použijeme vzorec pre premenu uhla trojuholníka:

AL 2 \u003d AB AC - BL LC,

potom AL2 \u003d 20,5 - 4,16 \u003d 36;

Odpoveď: 6.

Stále máte otázky? Neviete, ako vyriešiť geometrické problémy?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.