Ako vyzerá funkcia y, je koreň x. X je koreň x. Lekcia a prezentácia na tému: "Mocenské funkcie. Kubický koreň. Vlastnosti kubického koreňa"

Uvádzajú sa hlavné vlastnosti výkonová funkcia vrátane vzorcov a vlastností koreňov. Derivát, integrál, expanzia v silový rad a reprezentácia pomocou komplexných čísel mocenskej funkcie.

Obsah

Mocninová funkcia y = x p s exponentom p má nasledujúce vlastnosti:
(1.1) je na súprave definovaný a súvislý
o,
o;
(1.2) má veľa významov
o,
o;
(1.3) prísne sa zvyšuje o,
prísne klesá pri;
(1.4) o;
o;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dôkaz vlastností je uvedený na stránke „Funkcia napájania (dôkaz spojitosti a vlastností)“

Korene - definícia, vzorce, vlastnosti

N -tý koreň čísla x je číslo zvýšené na mocninu n dáva x:
.
Tu n = 2, 3, 4, ... - prirodzené číslo väčšia ako jedna.

Môžete tiež povedať, že n -tý koreň x je koreň (tj. Riešenie) rovnice
.
Všimnite si toho, že funkcia je inverznou funkciou.

Druhá odmocnina x je koreň sily 2 :.
Kocka kocky x je 3. koreň :.

Dokonca aj stupeň

Pre párne stupne n = 2 m, koreň je definovaný pre x ≥ 0 ... Často sa používa vzorec, ktorý platí pre kladné aj záporné x:
.
Pre odmocninu:
.

Tu je dôležité poradie, v ktorom sa operácie vykonávajú-to znamená, že sa najskôr vykoná kvadratúra, v dôsledku čoho sa získa nezáporné číslo, a potom sa z neho extrahuje koreň (z nezáporného čísla vy môže extrahovať Odmocnina). Ak by sme zmenili poradie :, potom pre záporné x by bol koreň nedefinovaný a spolu s ním nebol definovaný celý výraz.

Zvláštny stupeň

Pre nepárne mocniny je koreň definovaný pre všetky x:
;
.

Vlastnosti a vzorce koreňov

Koreň x je mocninová funkcia:
.
Pre x ≥ 0 platia nasledujúce vzorce:
;
;
, ;
.

O tieto vzorce je možné tiež požiadať záporné hodnoty premenné. Musíte sa len uistiť, že radikálne vyjadrenie párnych stupňov nie je negatívne.

Súkromné ​​hodnoty

Koreň 0 je 0 :.
Koreň 1 je 1 :.
Druhá odmocnina z 0 je 0 :.
Druhá odmocnina z 1 je 1 :.

Príklad. Koreň z koreňov

Uvažujme príklad druhej odmocniny koreňov:
.
Premeňte vnútornú odmocninu pomocou vyššie uvedených vzorcov:
.
Teraz transformujme pôvodný koreň:
.
Takže,
.

y = x p pre rôzne hodnoty exponenta p.

Tu sú grafy funkcie pre nezáporné hodnoty argumentu x. Grafy výkonovej funkcie definované pre záporné hodnoty x sú uvedené na stránke „Výkonová funkcia, jej vlastnosti a grafy“

Inverzná funkcia

Inverzná funkcia pre výkonovú funkciu s exponentom p je výkonová funkcia s exponentom 1 / p.

Ak potom.

Derivát mocenskej funkcie

Derivát n -tého rádu:
;

Odvodenie vzorcov >>>

Integrovaná výkonová funkcia

P ≠ - 1 ;
.

Rozšírenie silových radov

O - 1 < x < 1 prebieha nasledujúci rozklad:

Výrazy z hľadiska komplexných čísel

Uvažujme funkciu komplexnej premennej z:
f (z) = z t.
Vyjadrime komplexnú premennú z pomocou modulu r a argumentu φ (r = | z |):
z = r e i φ.
Reprezentujeme komplexné číslo t vo forme skutočných a imaginárnych častí:
t = p + i q.
Máme:

Ďalej vezmeme do úvahy, že argument φ nie je jednoznačne definovaný:
,

Zoberme si prípad, keď q = 0 , to znamená, že exponent je skutočné číslo, t = p. Potom
.

Ak p je celé číslo, potom kp je tiež celé číslo. Potom kvôli periodicite trigonometrických funkcií:
.
To znamená, že exponenciálna funkcia pre celý exponent pre dané z má iba jednu hodnotu, a preto je jednoznačná.

Ak je p iracionálne, potom produkty kp nedávajú celé číslo pre žiadne k. Pretože k prechádza nekonečnou sériou hodnôt k = 0, 1, 2, 3, ..., potom má funkcia z p nekonečne veľa hodnôt. Kedykoľvek sa zvýši argument z 2 π(jedno otočenie), prejdeme na novú vetvu funkcie.

Ak je p racionálne, môže byť reprezentované ako:
, kde m, n- celé čísla, ktoré neobsahujú spoločné delitele. Potom
.
Prvých n veličín, pre k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 dať n rôzne významy kp:
.
Nasledujúce hodnoty však poskytujú hodnoty, ktoré sa od predchádzajúcich líšia celým číslom. Napríklad pre k = k 0 + n máme:
.
Trigonometrické funkcie ktorých argumenty sa líšia násobkami 2 π, majú rovnaké hodnoty. Preto s ďalším nárastom k získame rovnaké hodnoty z p ako pre k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Exponenciálna funkcia s racionálnym exponentom je teda viachodnotová a má n hodnôt (vetiev). Kedykoľvek sa zvýši argument z 2 π(jedno otočenie), prejdeme na novú vetvu funkcie. Po n takýchto otáčkach sa vrátime k prvej vetve, z ktorej začalo počítanie.

Najmä koreň stupňa n má n hodnôt. Ako príklad uvažujme n -tý koreň skutočného kladného čísla z = x. V tomto prípade φ 0 = 0, z = r = | z | = x, .
.
Takže pre odmocninu n = 2 ,
.
Aj pre k, (- 1) k = 1... Pre nepárne k, ( - 1) k = - 1.
To znamená, že druhá odmocnina má dva významy: + a -.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov technických inštitúcií, „Lan“, 2009.

Pozri tiež:

Základné ciele:

1) vytvoriť si predstavu o vhodnosti zovšeobecnenej štúdie závislostí reálnych veličín na príklade veličín príbuzných vzťahom y =

2) formovať schopnosť zostaviť graf y = a jeho vlastnosti;

3) zopakujte a upevnite techniky ústnych a písomných výpočtov, kvadratúry, extrakcie z druhej odmocniny.

Vybavenie, predvádzací materiál: podklady.

1. Algoritmus:

2. Príklad na vykonanie úlohy v skupinách:

3. Ukážka pre vlastný test:

4. Karta pre fázu reflexie:

1) Prišiel som na to, ako vykresliť funkciu y =.

2) Môžem uviesť jeho vlastnosti podľa plánu.

3) V samostatnej práci som neurobil chyby.

4) V samostatnej práci som urobil chyby (uveďte tieto chyby a uveďte ich dôvod).

Počas vyučovania

1. Sebaurčenie pre učebné činnosti

Etapa cieľ:

1) zahrnúť študentov do vzdelávacích aktivít;

2) určte zmysluplný rámec hodiny: pokračujeme v práci so skutočnými číslami.

Organizácia vzdelávací proces v štádiu 1:

- Čo sme sa naučili v poslednej lekcii? (Veľa sme študovali reálne čísla, akcie s nimi, vytvorili algoritmus na opis vlastností funkcie, zopakovali funkcie študované v 7. ročníku).

- Dnes budeme pokračovať v práci so sadou reálnych čísel, funkciou.

2. Aktualizácia znalostí a odstraňovanie ťažkostí pri činnostiach

Etapa cieľ:

1) aktualizovať vzdelávací obsah, ktorý je potrebný a postačujúci na vnímanie nového materiálu: funkcia, nezávislá premenná, závislá premenná, grafy

y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,

2) aktualizovať mentálne operácie potrebné a postačujúce na vnímanie nového materiálu: porovnávanie, analýza, generalizácia;

3) opravte všetky opakované koncepty a algoritmy vo forme diagramov a symbolov;

4) opraviť jednotlivé ťažkosti v činnosti a demonštrovať nedostatočnosť dostupných znalostí na osobne významnej úrovni.

Organizácia vzdelávacieho procesu v 2. fáze:

1. Pamätajme si, ako môžete nastaviť vzťah medzi veličinami? (Prostredníctvom textu, vzorca, tabuľky, grafiky)

2. Čo sa nazýva funkcia? (Vzťah medzi dvoma veličinami, kde každá hodnota jednej premennej zodpovedá jednej hodnote druhej premennej y = f (x)).

Ako sa volá x? (Nezávislá premenná je argument)

Ako sa voláš (Závislá premenná).

3. V 7. ročníku sme sa učili o funkciách? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,).

Individuálna úloha:

Aký je graf funkcií y = kx + m, y = x 2, y =?

3. Identifikácia príčin ťažkostí a stanovenie cieľa činnosti

Etapa cieľ:

1) organizovať komunikačnú interakciu, počas ktorej sa odhalí a fixuje charakteristická vlastnosť úlohy, ktorá spôsobovala ťažkosti vo vzdelávacej činnosti;

2) súhlasiť s účelom a témou hodiny.

Organizácia vzdelávacieho procesu v 3. fáze:

- Čo je na tejto úlohe zvláštne? (Závislosť je daná vzorcom y =, s ktorým sme sa ešte nestretli).

- Aký je účel hodiny? (Na zoznámenie sa s funkciou y =, jej vlastnosťami a grafom. Pomocou funkcie v tabuľke na určenie typu závislosti zostavte vzorec a graf.)

- Môžete sformulovať tému hodiny? (Funkcia y =, jej vlastnosti a graf).

- Napíšte tému do zošita.

4. Budovanie projektu pre cestu von z ťažkostí

Etapa cieľ:

1) zorganizovať komunikačnú interakciu s cieľom vybudovať nový spôsob akcie, ktorý odstráni príčinu identifikovaných ťažkostí;

2) opraviť nový spôsob konania v znaku, verbálnom tvare a pomocou štandardu.

Organizácia vzdelávacieho procesu v 4. fáze:

Prácu vo fáze je možné rozdeliť do skupín tak, že požiadate skupiny, aby zostavili graf y =, a potom analyzujte výsledky. Skupiny možno tiež požiadať, aby pomocou algoritmu opísali vlastnosti tejto funkcie.

5. Primárne posilnenie vo vonkajšej reči

Účel etapy: opraviť študovaný vzdelávací obsah vo vonkajšej reči.

Organizácia vzdelávacieho procesu v 5. fáze:

Vykreslite y = - a popíšte jeho vlastnosti.

Vlastnosti y = -.

1. Oblasť definície funkcie.

2. Oblasť hodnôt funkcie.

3. y = 0, y> 0, r<0.

y = 0, ak x = 0.

r<0, если х(0;+)

4. Zvýšenie, zníženie funkcie.

Funkcia klesá pri x.

Vytvorme graf pre y =.

Vyberme jeho časť na segmente. Všimnite si toho na naim. = 1 pri x = 1, a y naib. = 3 pri x = 9.

Odpoveď: naim. = 1, na naib. = 3

6. Samostatná práca s autotestom podľa normy

Účel etapy: otestovať svoju schopnosť aplikovať nový vzdelávací obsah v štandardných podmienkach na základe porovnania vášho riešenia so štandardom pre samovyšetrenie.

Organizácia vzdelávacieho procesu v 6. etape:

Študenti dokončia úlohu sami, vykonajú autotest podľa normy, analyzujú a opravia chyby.

Vytvorme graf pre y =.

Pomocou grafu nájdite najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie na segmente.

7. Začlenenie a opakovanie

Účel etapy: trénovať schopnosti používania nového obsahu v spojení s predtým študovaným: 2) opakovať vzdelávací obsah, ktorý bude požadovaný v nasledujúcich lekciách.

Organizácia vzdelávacieho procesu v 7. etape:

Vyriešte rovnicu graficky: = x - 6.

Jeden študent za tabuľou, zvyšok v zošitoch.

8. Reflexia činnosti

Etapa cieľ:

1) opravte nový obsah naučený v lekcii;

2) zhodnotiť svoje vlastné aktivity v lekcii;

3) poďakovať spolužiakom, ktorí pomohli získať výsledok z hodiny;

4) opraviť nevyriešené problémy ako pokyny pre budúce vzdelávacie aktivity;

5) Diskutujte a zapíšte si domácu úlohu.

Organizácia vzdelávacieho procesu v 8. etape:

- Chlapci, aký bol dnes cieľ pred nami? (Preskúmajte funkciu y =, jej vlastnosti a graf).

- Aké znalosti nám pomohli dosiahnuť cieľ? (Schopnosť hľadať vzorce, schopnosť čítať grafy.)

- Analyzujte svoje aktivity v lekcii. (Reflexné karty)

Domáca úloha

s. 13 (pred príkladom 2) № 13.3, 13.4

Vyriešte rovnicu graficky.

Hľadáte x koreň x rovný? ... Podrobné riešenie s popisom a vysvetleniami vám pomôže vysporiadať sa aj s najťažším problémom a x je koreň y, žiadna výnimka. Pomôžeme vám s prípravou na domáce úlohy, testy, olympiády, ako aj so vstupom na univerzitu. A nech už zadáte akýkoľvek príklad, akýkoľvek matematický dotaz, už máme riešenie. Napríklad „x je koreň x je“.

V našom živote je rozšírené používanie rôznych matematických úloh, kalkulačiek, rovníc a funkcií. Používajú sa v mnohých výpočtoch, stavbe budov a dokonca aj v športe. Človek používal matematiku v dávnych dobách a odvtedy sa ich používanie len zvýšilo. Teraz však veda nestojí na mieste a my sa môžeme tešiť z plodov jej činností, ako je napríklad online kalkulačka, ktorá dokáže vyriešiť problémy ako x koreň x sa rovná, x koreň y, koreň x, koreň x je x, koreň x je x, koreň x je x, funkcia y je koreň mínus x, funkcia y je mínus koreň x, x je koreň y, x je koreň x. Na tejto stránke nájdete kalkulačku, ktorá vám pomôže vyriešiť akúkoľvek otázku, vrátane x je koreň x rovná sa. (napríklad koreň x).

Kde môžete vyriešiť akýkoľvek problém v matematike, rovnako ako x root x sa rovná online?

Problém x koreň x môžete vyriešiť aj na našom webe. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online problém akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Stačí, ak zadáte svoje údaje do riešiteľa. Môžete si tiež pozrieť video návod a zistiť, ako správne zadať svoju úlohu na našom webe. A ak máte stále otázky, môžete sa ich opýtať v rozhovore v ľavej dolnej časti stránky kalkulačky.

Uvažujme funkciu y = √x. Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku nižšie.

Graf funkcií y = √x

Ako vidíte, graf pripomína otočenú parabolu, alebo skôr jednu z jej vetiev. Dostaneme vetvu paraboly x = y ^ 2. Z obrázku je zrejmé, že graf sa iba raz dotkne osi Oy, v bode so súradnicami (0; 0).
Teraz stojí za zmienku hlavné vlastnosti tejto funkcie.

Vlastnosti funkcie y = √x

1. Doménou funkcie je lúč)