Riešenie Pdf je derivátom logaritmickej a exponenciálnej funkcie. Výpočet derivátov pomocou logaritmického derivátu. Prípad záporných hodnôt y

Diferenciácia exponenciálnych a logaritmických funkcií

1. Číslo e. Funkcia y \u003d e x, jej vlastnosti, graf, diferenciácia

Zvážte orientačné funkcie y \u003d ax, kde a\u003e 1. Pre rôzne bázy a dostaneme rôzne grafy (obr. 232-234), ale vidíte, že všetky prechádzajú bodom (0; 1), všetky majú vodorovnú asymptotu y \u003d 0 at , všetky sú konvexné smerom nadol a nakoniec majú všetky tangensy vo všetkých svojich bodoch. Poďme nakresliť napríklad tangensu k grafika funkcia y \u003d 2x v bode x \u003d 0 (obr. 232). Ak robíte presné konštrukcie a merania, môžete sa ubezpečiť, že táto dotyčnica zviera s osou x uhol 35 ° (približne).

Teraz nakreslíme dotyčnicu do grafu funkcie y \u003d 3 x aj v bode x \u003d 0 (obr. 233). Tu bude uhol medzi dotyčnicou a osou x väčší - 48 °. A pre exponenciálna funkcia y \u003d 10 x v podobnom
situácii dostaneme uhol 66,5 ° (obr. 234).

Ak sa teda báza a exponenciálnej funkcie y \u003d ax postupne zvyšuje z 2 na 10, potom sa uhol medzi dotyčnicou ku grafu funkcie v bode x \u003d 0 a osou úsečky postupne zvyšuje z 35 ° na 66,5 °. Je logické predpokladať, že existuje základňa a, pre ktorú je zodpovedajúci uhol 45 °. Táto základňa by mala byť medzi číslami 2 a 3, pretože pre funkciu y-2x je náš zaujímavý uhol 35 °, čo je menej ako 45 °, a pre funkciu y \u003d 3 x to je 48 °, čo je už o niečo viac ako 45 °. Základňu, ktorá nás zaujíma, obvykle označujeme písmenom e. Zistilo sa, že číslo e je iracionálne, t.j. predstavuje nekonečné desatinné miesto neperiodické zlomok:

e \u003d 2,7182818284590 ...;

v praxi sa zvyčajne predpokladá, že e \u003d 2,7.

Komentovať(nie veľmi vážne). Je zrejmé, že L.N. Tolstoj nemá nič spoločné s číslom e, napriek tomu si v zápise čísla e všimnite, že číslo 1828 sa opakuje dvakrát za sebou - rok narodenia L.N. Tolstoj.

Graf funkcie y \u003d ex je na obr. 235. Toto je exponenciál, ktorý sa líši od ostatných exponenciálov (grafov exponenciálnych funkcií s inými bázami) tým, že uhol medzi dotyčnicou ku grafu v bode x \u003d 0 a úsečkou je 45 °.

Vlastnosti funkcie y \u003d e x:

1)
2) nie je ani párny, ani nepárny;
3) zvyšuje sa;
4) nie je obmedzený zhora, je obmedzený zdola;
5) nemá najvyššie ani najnižšie hodnoty;
6) kontinuálne;
7)
8) konvexné smerom nadol;
9) diferencovateľné.

Vráťte sa späť do § 45, pozrite sa na zoznam vlastností exponenciálnej funkcie y \u003d ax pre a\u003e 1. Nájdete rovnaké vlastnosti 1-8 (čo je celkom prirodzené) a deviatu vlastnosť spojenú s
diferencovateľnosť funkcie, sme vtedy nespomenuli. Poďme o tom teraz diskutovať.

Odvodzme vzorec na nájdenie derivácie y-ex. V takom prípade nepoužijeme obvyklý algoritmus, ktorý sme vyvinuli v Sekcii 32 a ktorý sme úspešne použili viackrát. V tomto algoritme je zapnutý záverečná fáza je potrebné vypočítať limit a naše znalosti teórie limitov sú stále veľmi, veľmi obmedzené. Preto sa budeme opierať o geometrické predpoklady, berieme do úvahy najmä samotný fakt existencie dotyčnice grafu exponenciálnej funkcie je nepochybný (preto sme si tak sebavedome zapísali deviatu vlastnosť do vyššie uvedeného zoznamu vlastností - diferenciáciu funkcie y \u003d ex).

1. Všimnite si, že pre funkciu y \u003d f (x), kde f (x) \u003d ex, už poznáme hodnotu derivácie v bode x \u003d 0: f / \u003d tg45 ° \u003d 1.

2. Uveďte do úvahy funkciu y \u003d g (x), kde g (x) -f (x-a), t.j. g (x) -ex "a. Obr. 236 zobrazuje graf funkcie y \u003d g (x): získava sa z grafu funkcie y - fx) posúvaním pozdĺž osi x o | a | mierkové jednotky. Dotyčnica grafu funkcie y \u003d g (x) v bod x-a je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode x -0 (pozri obr. 236), čo znamená, že s osou x zviera uhol 45 °. Pomocou geometrického významu derivácie môžeme napísať, že g (a) \u003d tan45 °; \u003d 1.

3. Vráťme sa k funkcii y \u003d f (x). Máme:

4. Zistili sme, že pre každú hodnotu vzťahu je vzťah platný. Namiesto písmena a môžete prirodzene použiť písmeno x; potom dostaneme

Tento vzorec poskytuje zodpovedajúci integračný vzorec:

A.G. Mordkovich Algebra 10. platovej triedy

Kalendárne tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

Obsah lekcie osnova lekcie podpora lekcie rámca prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotestovacie workshopy, školenia, prípady, úlohy domáce úlohy diskusné otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafy, tabuľky, schémy, humor, vtipy, zábava, komiksové podobenstvá, porekadlá, krížovky, citáty Doplnky stravy abstrakty články čipy pre zvedavé podvádzacie listy učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a hodín opravy chýb v návode aktualizácia fragmentu inovačných prvkov učebnice v lekcii a nahradenie zastaraných poznatkov novými Iba pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusná agenda Integrované hodiny

Dokončená práca

DIPLOM PRACUJE

Veľa je už za vami a teraz ste absolventom, pokiaľ svoju prácu samozrejme píšete včas. Ale život je taká vec, že \u200b\u200baž teraz vám bude jasné, že tým, že prestanete byť študentom, stratíte všetky študentské radosti, z ktorých mnohé ste nikdy neskúšali, všetko odložili a odložili na neskôr. A teraz namiesto toho, aby ste stratili čas, tvrdo pracujete na svojej diplomovej práci? Existuje skvelá cesta von: stiahnite si diplomovú prácu, ktorú potrebujete, z našej webovej stránky - a okamžite budete mať veľa voľného času!
Práce boli úspešne obhájené na popredných univerzitách Kazašskej republiky.
Náklady na prácu od 20 000 tenge

KURZ PRÁCE

Projekt kurzu je prvou vážnou praktickou prácou. Prípravou na vypracovanie absolventských projektov sa začína písaním seminárnej práce. Ak sa študent naučí správne prezentovať obsah témy v projekte kurzu a správne ho navrhnúť, nebude mať v budúcnosti problémy ani s písaním správ, ani s vypracovaním diplomových prác alebo s realizáciou ďalších praktických úloh. S cieľom pomôcť študentom pri písaní tohto typu práce študentov a objasniť otázky, ktoré vzniknú pri jej príprave, bola v skutočnosti vytvorená táto informačná časť.
Náklady na prácu od 2 500 tenge

HLAVNÉ DISZERTY

Momentálne v najvyššej vzdelávacie inštitúcie V Kazachstane a krajinách SNŠ je úroveň vysokoškolského vzdelávania veľmi častá odborné vzdelávanie, ktorá nasleduje po ukončení bakalárskeho štúdia - magisterského štúdia. Na magistráte študujú s cieľom získať magisterský titul, ktorý je vo väčšine krajín sveta uznávaný viac ako bakalársky a je uznávaný aj zahraničnými zamestnávateľmi. Výsledkom štúdia na magisterskom stupni je obhajoba diplomovej práce.
Poskytneme vám príslušné analytické a textové materiály, v cene sú 2 vedecké články a abstrakt.
Náklady na prácu od 35 000 tenge

SPRÁVY Z PRAXE

Po absolvovaní ľubovoľného typu študentskej praxe (vzdelávacej, priemyselnej, preddiplomovej) je potrebné vypracovať správu. Tento dokument bude potvrdením praktická práca študenta a základ pre tvorbu hodnotenia pre prax. Zvyčajne, aby ste mohli vypracovať správu o praxi, musíte zhromaždiť a analyzovať informácie o podniku, vziať do úvahy štruktúru a harmonogram práce organizácie, v ktorej sa prax koná, zostaviť kalendárny plán a opísať svoju prax.
Pomôžeme vám spísať správu o stáži zohľadňujúcu špecifiká činnosti konkrétneho podniku.

Pri rozlišovaní je to významné výkonová funkcia alebo ťažkopádne zlomkové výrazy, je vhodné použiť logaritmickú deriváciu. V tomto článku sa pozrieme na príklady jeho aplikácie s podrobnými riešeniami.

Ďalšia prezentácia predpokladá schopnosť používať tabuľku derivácií, pravidlá diferenciácie a znalosť vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie.

Odvodenie vzorca pre logaritmický derivát.

Najskôr urobíme logaritmus na základe e, zjednodušíme formu funkcie pomocou vlastností logaritmu a potom nájdeme deriváciu implicitne danej funkcie:

Nájdime napríklad deriváciu exponenciálnej funkcie x na mocninu x.

Pričom logaritmus dáva. Podľa vlastností logaritmu. Diferenciácia oboch strán rovnosti vedie k výsledku:

Odpoveď: .

Rovnaký príklad je možné vyriešiť bez použitia logaritmickej derivácie. Môžete vykonať nejaké transformácie a prejsť od diferenciácie exponenciálnej funkcie k nájdeniu derivácie komplexná funkcia:

Príklad.

Nájdite deriváciu funkcie .

Rozhodnutie.

V tomto príklade funkcia je zlomok a jeho derivát možno hľadať pomocou pravidiel diferenciácie. Ale kvôli ťažkopádnemu prejavu to bude vyžadovať veľa transformácií. V takýchto prípadoch je rozumnejšie použiť vzorec pre logaritmickú deriváciu ... Prečo? Teraz to pochopíš.

Poďme to najskôr nájsť. Pri transformáciách použijeme vlastnosti logaritmu (logaritmus zlomku sa rovná rozdielu medzi logaritmami a logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov a stupeň výrazu pod logaritmickým znakom je možné vyňať ako koeficient pred logaritmom):

Tieto transformácie nás viedli k pomerne jednoduchému výrazu, ktorého deriváciu je ľahké nájsť:

Výsledok získaný vo vzorci nahradíme logaritmickou deriváciou a dostaneme odpoveď:

Kvôli konsolidácii materiálu uvedieme niekoľko ďalších príkladov bez podrobného vysvetlenia.

Príklad.

Nájdite deriváciu exponenciálnej funkcie