T 8 je derivát logaritmickej a exponenciálnej funkcie. Diferenciácia exponenciálnych a logaritmických funkcií. Antiderivát exponenciálnej funkcie v úlohách UNT. Odvodenie vzorca pre logaritmický derivát

Diferenciácia exponenciálnych a logaritmických funkcií

1. Číslo e. Funkcia y \u003d e x, jej vlastnosti, graf, diferenciácia

Zvážte orientačné funkcie y \u003d ax, kde a\u003e 1. Pre rôzne bázy a dostaneme rôzne grafy (obr. 232-234), ale vidíte, že všetky prechádzajú bodom (0; 1), všetky majú vodorovnú asymptotu y \u003d 0 at , všetky sú konvexné smerom nadol a nakoniec majú všetky tangensy vo všetkých svojich bodoch. Poďme nakresliť napríklad tangensu k grafika funkcia y \u003d 2x v bode x \u003d 0 (obr. 232). Ak robíte presné konštrukcie a merania, môžete sa ubezpečiť, že táto dotyčnica zviera s osou x uhol 35 ° (približne).

Teraz nakreslíme dotyčnicu do grafu funkcie y \u003d 3 x aj v bode x \u003d 0 (obr. 233). Tu bude uhol medzi dotyčnicou a osou x väčší - 48 °. A pre exponenciálnu funkciu y \u003d 10 x v podobnom
situácii dostaneme uhol 66,5 ° (obr. 234).

Ak sa teda báza a exponenciálnej funkcie y \u003d ax postupne zvyšuje z 2 na 10, potom sa uhol medzi dotyčnicou ku grafu funkcie v bode x \u003d 0 a osou úsečky postupne zvyšuje z 35 ° na 66,5 °. Je logické predpokladať, že existuje základňa a, pre ktorú je zodpovedajúci uhol 45 °. Táto základňa by mala byť medzi číslami 2 a 3, pretože pre funkciu y-2x je náš zaujímavý uhol 35 °, čo je menej ako 45 °, a pre funkciu y \u003d 3 x to je 48 °, čo je už o niečo viac ako 45 °. Základňu, ktorá nás zaujíma, obvykle označujeme písmenom e. Zistilo sa, že číslo e je iracionálne, t.j. predstavuje nekonečné desatinné miesto neperiodické zlomok:

e \u003d 2,7182818284590 ...;

v praxi sa zvyčajne predpokladá, že e \u003d 2,7.

Komentovať(nie veľmi vážne). Je zrejmé, že L.N. Tolstoj nemá nič spoločné s číslom e, napriek tomu si v zápise čísla e všimnite, že číslo 1828 sa opakuje dvakrát za sebou - rok narodenia L.N. Tolstoj.

Graf funkcie y \u003d ex je na obr. 235. Toto je exponenciál, ktorý sa líši od ostatných exponenciálov (grafov exponenciálnych funkcií s inými bázami) tým, že uhol medzi dotyčnicou ku grafu v bode x \u003d 0 a úsečkou je 45 °.

Vlastnosti funkcie y \u003d e x:

1)
2) nie je ani párny, ani nepárny;
3) zvyšuje sa;
4) nie je obmedzený zhora, je obmedzený zdola;
5) nemá najvyššie ani najnižšie hodnoty;
6) kontinuálne;
7)
8) konvexné smerom nadol;
9) diferencovateľné.

Vráťte sa späť do § 45, pozrite sa na zoznam vlastností exponenciálnej funkcie y \u003d ax pre a\u003e 1. Nájdete rovnaké vlastnosti 1-8 (čo je celkom prirodzené) a deviatu vlastnosť spojenú s
diferencovateľnosť funkcie, sme vtedy nespomenuli. Poďme o tom teraz diskutovať.

Odvodzme vzorec na nájdenie derivácie y-ex. V takom prípade nepoužijeme obvyklý algoritmus, ktorý sme vyvinuli v Sekcii 32 a ktorý sme úspešne použili viackrát. V tomto algoritme je zapnutý záverečná fáza je potrebné vypočítať limit a naše znalosti teórie limitov sú stále veľmi, veľmi obmedzené. Preto sa budeme opierať o geometrické predpoklady, berieme do úvahy najmä samotný fakt existencie dotyčnice grafu exponenciálnej funkcie je nepochybný (preto sme si tak sebavedome zapísali deviatu vlastnosť do vyššie uvedeného zoznamu vlastností - diferenciáciu funkcie y \u003d ex).

1. Všimnite si, že pre funkciu y \u003d f (x), kde f (x) \u003d ex, už poznáme hodnotu derivácie v bode x \u003d 0: f / \u003d tg45 ° \u003d 1.

2. Uveďte do úvahy funkciu y \u003d g (x), kde g (x) -f (x-a), t.j. g (x) -ex "a. Obr. 236 zobrazuje graf funkcie y \u003d g (x): získava sa z grafu funkcie y - fx) posúvaním pozdĺž osi x o | a | mierkové jednotky. Dotyčnica grafu funkcie y \u003d g (x) v bod x-a je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode x -0 (pozri obr. 236), čo znamená, že s osou x zviera uhol 45 °. Pomocou geometrického významu derivácie môžeme napísať, že g (a) \u003d tan45 °; \u003d 1.

3. Vráťme sa k funkcii y \u003d f (x). Máme:

4. Zistili sme, že pre každú hodnotu vzťahu je vzťah platný. Namiesto písmena a môžete prirodzene použiť písmeno x; potom dostaneme

Tento vzorec poskytuje zodpovedajúci integračný vzorec:

A.G. Mordkovich Algebra 10. platovej triedy

Kalendárne tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

Obsah lekcie osnova lekcie podpora lekcie rámca prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotestovacie workshopy, školenia, prípady, úlohy domáce úlohy diskusné otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafy, tabuľky, schémy, humor, vtipy, zábava, komiksové podobenstvá, porekadlá, krížovky, citáty Doplnky stravy abstrakty články čipy pre zvedavé podvádzacie listy učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a hodín opravy chýb v návode aktualizácia fragmentu inovačných prvkov učebnice v lekcii a nahradenie zastaraných poznatkov novými Iba pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusná agenda Integrované hodiny

Téma lekcie: „Diferenciácia exponenciálnych a logaritmická funkcia... Antiderivatív exponenciálnej funkcie „v úlohách UNT

cieľ : rozvíjať zručnosti študentov pri uplatňovaní teoretických vedomostí na tému „Diferenciácia exponenciálnych a logaritmických funkcií. Antiderivatív exponenciálnej funkcie „na riešenie problémov UNT.

Úlohy

Vzdelanie: systematizovať teoretické vedomosti študentov, upevňovať zručnosti pri riešení úloh na túto tému.

Vývoj: rozvíjať pamäť, pozorovanie, logické myslenie, matematické prejavy, pozornosť, sebahodnotenie a sebakontrolu študentov.

Vzdelanie: propagovať:

podpora zodpovedného postoja študentov k učeniu;

rozvíjanie trvalého záujmu o matematiku;

vytváranie pozitívnej vnútornej motivácie študovať matematiku.

Vyučovacie metódy: verbálne, vizuálne, praktické.

Formy práce:jednotlivec, čelný, vo dvojici.

Počas vyučovania

Epigraf: „Myseľ spočíva nielen vo vedomostiach, ale aj v schopnosti uplatniť vedomosti v praxi.“ Aristoteles (snímka 2)

I. Organizácia času.

II. Riešenie krížovky. (snímka 3-21)

Francúzsky matematik 17. storočia Pierre Fermat definoval túto priamku ako „Priamku najviac susediacu s krivkou v malom susedstve bodu.“ “

Tečna

Funkcia, ktorá je daná vzorcom y \u003d log a X.

Logaritmická

Funkcia, ktorá je daná vzorcom y \u003d a X.

Orientačné

V matematike sa tento koncept používa pri zisťovaní rýchlosti pohybu hmotného bodu a sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode.

Derivát

Aký je názov funkcie F (x) pre funkciu f (x), ak je podmienka F "(x) \u003d f (x) splnená pre akýkoľvek bod z intervalu I.

Antiderivatívum

Aký je názov vzťahu medzi X a Y, v ktorom je každý prvok X spojený s jedným prvkom Y.

Derivácia posunu

Rýchlosť

Funkcia, ktorá je daná vzorcom y \u003d e x.

Vystavovateľ

Ak možno funkciu f (x) reprezentovať ako f (x) \u003d g (t (x)), potom sa táto funkcia nazýva ...

III. Matematický diktát. (Snímka 22)

1. Zapíšte vzorec pre deriváciu exponenciálnej funkcie. ( a x) "\u003d a x ln a

2. Zapíšte vzorec pre derivát exponenta. (e x) "\u003d e x

3. Napíšte vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu. (ln x) "\u003d

4. Napíšte vzorec pre deriváciu logaritmickej funkcie. (log a x) "\u003d

5. Záznam všeobecná forma primitívne funkcie pre funkciu f (x) \u003d a X. F (x) \u003d

6. Zapíšte všeobecný tvar antiderivatív pre funkciu f (x) \u003d, x ≠ 0. F (x) \u003d ln | x | + C.

Skontrolujte prácu (odpovede na snímke 23).

IV. Riešenie problémov UNT (simulátor)

A) Č. 1,2,3,6,10,36 na tabuli a v notebooku (snímka 24)

B) Práca v pároch č. 19.28 (simulátor) (snímka 25 - 26)

V. 1. Nájdite chyby: (snímka 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f (x) \u003d log 5 (7x + 1), f "(x) \u003d

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

Vi. Prezentácia študentov.

Epigraf: „Znalosti sú tak vzácne, že nie je hanebné ich získavať z ktoréhokoľvek zdroja.“ Tomáš Akvinský (snímka 28)

VII. Úloha domácnosti č. 19.20 s. 116

VIII. Test (úloha zálohovania) (snímka 29 - 32)

IX. Zhrnutie lekcie.

"Ak sa chcete zúčastniť veľkého života, naplňte si hlavu matematikou, kým môžete." Potom vám poskytne počas celého života obrovskú pomoc “M. Kalinin (snímka 33)

Algebra a začiatok matematickej analýzy

Diferenciácia exponenciálnych a logaritmických funkcií

Skomplikovaný:

učiteľ matematiky MOU SOSH №203 HEC

mesto Novosibirsk

T.V. Vidutova

Číslo e. Funkcia y \u003d e x , jeho vlastnosti, graf, diferenciácia

1. Zostrojme grafy pre rôzne bázy: 1. y \u003d 2 x 3. y \u003d 10 x 2. y \u003d 3 x (možnosť 2) (možnosť 1) "width \u003d" 640 "

Zvážte exponenciálnu funkciu y \u003d a x , kde 1.

Stavajme pre rôzne základy a grafika:

1. y \u003d 2 x

3. y \u003d 10 x

2. y \u003d 3 x

(Možnosť 2)

(Možnosť 1)

1) Všetky grafy prechádzajú bodom (0; 1);

2) Všetky grafy majú vodorovnú asymptotu y \u003d 0

o x  ∞;

3) Všetky smerujú nadol konvexnosť;

4) Všetky majú dotyčnice vo všetkých svojich bodoch.

Nakreslite dotyčnicu do grafu funkcie y \u003d 2 x v bode x \u003d 0 a zmerajte uhol, ktorý dotyčnica vytvára s osou x

Pomocou presného vykreslenia dotyčnicových čiar do grafov môžete vidieť, že ak je základňa a exponenciálna funkcia y \u003d a x základňa sa postupne zväčšuje od 2 do 10, potom uhol medzi dotyčnicou ku grafu funkcie v bode x \u003d 0 a úsečka sa postupne zvyšuje z 35 'na 66,5'.

Preto existuje dôvod a , pre ktorý je zodpovedajúci uhol 45 '. A tento význam a je medzi 2 a 3, pretože o a \u003d 2 je uhol 35 ', pre a \u003d 3 sa rovná 48 '.

V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že tento základ existuje, je zvykom označovať ho listom e.

To určilo e - iracionálne číslo, to znamená nekonečný neperiodický desatinný zlomok:

e \u003d 2, 7182818284590 ... ;

V praxi sa zvyčajne predpokladá, že e ≈ 2,7.

Funkčný graf a vlastnosti y \u003d e x :

1) D (f) = (- ∞; + ∞);

3) zvyšuje sa;

4) nie je obmedzený zhora, je obmedzený zdola

5) nemá ani najväčšie, ani najmenšie

hodnoty;

6) kontinuálne;

7) E (f) = (0; + ∞);

8) konvexné smerom nadol;

9) diferencovateľné.

Funkcia y \u003d e x zavolal vystavovateľ .

V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že funkcia y \u003d e x má derivát kedykoľvek x :

(napr x ) \u003d e x

(napr 5x ) "\u003d 5e 5x

(napr x-3 ) "\u003d e x-3

(napr -4x + 1 ) "\u003d -4e -4x-1

Príklad 1 . Nakreslite dotyčnicu grafu funkcie v bode x \u003d 1.

2) f () \u003d f (1) \u003d e

4) y \u003d e + e (x-l); y \u003d pr

Odpoveď:

Príklad 2 .

x = 3.

Príklad 3 .

Skontrolujte funkciu extrému

x \u003d 0 a x \u003d -2

x \u003d -2 - maximálny bod

x \u003d 0 - minimálny bod

Ak je základom logaritmu číslo e , potom to povedia prirodzený logaritmus ... Pre prirodzené logaritmy bolo zavedené špeciálne označenie ln (l je logaritmus, n je prirodzené).

Graf a vlastnosti funkcie y \u003d ln x

Vlastnosti funkcie y \u003d ln x:

1) D (f) = (0; + ∞);

2) nie je ani párny, ani nepárny;

3) zvyšuje sa o (0; + ∞);

4) nie je obmedzené;

5) nemá najvyššie ani najnižšie hodnoty;

6) kontinuálne;

7) E (f) \u003d (- ∞; + ∞);

8) konvexný vrch;

9) diferencovateľné.

0 je platný derivačný vzorec "width \u003d" 640 "

V priebehu matematickej analýzy je dokázané, že pre každú hodnotu x0 diferenciačný vzorec je platný

Príklad 4:

Vypočítajte hodnotu derivácie funkcie v bode x = -1.

Napríklad:

Internetové zdroje:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Dokončená práca

DIPLOM PRACUJE

Veľa je už za vami a teraz ste absolventom, pokiaľ svoju prácu samozrejme píšete včas. Ale život je taká vec, že \u200b\u200baž teraz vám bude jasné, že tým, že prestanete byť študentom, stratíte všetky študentské radosti, z ktorých mnohé ste nikdy neskúšali, všetko odložili a odložili na neskôr. A teraz namiesto toho, aby ste stratili čas, tvrdo pracujete na svojej diplomovej práci? Existuje skvelá cesta von: stiahnite si diplomovú prácu, ktorú potrebujete, z našej webovej stránky - a okamžite budete mať veľa voľného času!
Práce boli úspešne obhájené na popredných univerzitách Kazašskej republiky.
Náklady na prácu od 20 000 tenge

KURZ PRÁCE

Projekt kurzu je prvou vážnou praktickou prácou. Prípravou na vypracovanie absolventských projektov sa začína písaním seminárnej práce. Ak sa študent naučí správne prezentovať obsah témy v projekte kurzu a správne ho navrhnúť, nebude mať v budúcnosti problémy ani s písaním správ, ani s vypracovaním diplomových prác alebo s realizáciou ďalších praktických úloh. S cieľom pomôcť študentom pri písaní tohto typu práce študentov a objasniť otázky, ktoré vzniknú pri jej príprave, bola v skutočnosti vytvorená táto informačná časť.
Náklady na prácu od 2 500 tenge

HLAVNÉ DISZERTY

Momentálne v najvyššej vzdelávacie inštitúcie V Kazachstane a krajinách SNŠ je úroveň vysokoškolského vzdelávania veľmi častá odborné vzdelávanie, ktorá nasleduje po ukončení bakalárskeho štúdia - magisterského štúdia. Na magistráte študujú s cieľom získať magisterský titul, ktorý je vo väčšine krajín sveta uznávaný viac ako bakalársky a je uznávaný aj zahraničnými zamestnávateľmi. Výsledkom štúdia na magisterskom stupni je obhajoba diplomovej práce.
Poskytneme vám príslušné analytické a textové materiály, v cene sú 2 vedecké články a abstrakt.
Náklady na prácu od 35 000 tenge

SPRÁVY Z PRAXE

Po absolvovaní ľubovoľného typu študentskej praxe (vzdelávacej, priemyselnej, preddiplomovej) je potrebné vypracovať správu. Tento dokument bude potvrdením praktická práca študenta a základ pre tvorbu hodnotenia pre prax. Zvyčajne, aby ste mohli vypracovať správu o praxi, musíte zhromaždiť a analyzovať informácie o podniku, vziať do úvahy štruktúru a harmonogram práce organizácie, v ktorej sa prax koná, zostaviť kalendárny plán a opísať svoju prax.
Pomôžeme vám spísať správu o stáži zohľadňujúcu špecifiká činnosti konkrétneho podniku.