Čo znamená Prirodzený logaritmus a číslo e. Vzorec na odpočítanie síl

Logaritmus kladného čísla b na založenie a (a\u003e 0, a sa nerovná 1) je číslo c také, že a c \u003d b: log a b \u003d c ⇔ a c \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Poznámka: logaritmus kladného čísla nie je definovaný. Základom logaritmu musí byť tiež kladné číslo, ktoré sa nerovná 1. Napríklad, ak zaokrúhlime -2, dostaneme číslo 4, ale to neznamená, že logaritmus k základu -2 zo 4 je 2.

Základná logaritmická identita

log a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1) (2)

Je dôležité, aby sa oblasti definície pravej a ľavej strany tohto vzorca líšili. Ľavá strana je definovaná iba pre b\u003e 0, a\u003e 0 a a ≠ 1. Pravá strana je definovaná pre akékoľvek b a vôbec nezávisí od a. Aplikácia základnej logaritmickej „identity“ pri riešení rovníc a nerovností teda môže viesť k zmene GDV.

Dva zjavné dôsledky definície logaritmu

log a a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 \u003d 0 (a\u003e 0, a ≠ 1) (4)

Keď skutočne zvýšime číslo a na prvú mocninu, dostaneme rovnaké číslo a keď ju zvýšime na nulovú mocninu - jednu.

Logaritmus produktu a logaritmus kvocientu

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (5)

Log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (6)

Chcel by som varovať školákov pred nepremysleným používaním týchto vzorcov pri riešení logaritmických rovníc a nerovností. Keď sa použijú „zľava doprava“, hodnota ODZ sa zúži a pri prechode od súčtu alebo rozdielu logaritmov k logaritmu produktu alebo kvocientu sa hodnota ODV rozšíri.

V skutočnosti je výrazový výraz a (f (x) g (x)) definovaný v dvoch prípadoch: keď sú obe funkcie striktne pozitívne, alebo keď sú f (x) a g (x) menej ako nula.

Prevodom tohto výrazu na súčet log a f (x) + log a g (x) sme nútení obmedziť sa iba na prípad, keď f (x)\u003e 0 a g (x)\u003e 0. Rozsah prípustných hodnôt sa zužuje, čo je kategoricky neprijateľné, pretože to môže viesť k strate riešení. Podobný problém existuje aj pre vzorec (6).

Stupeň je možné vyjadriť mimo znak logaritmu

log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) (7)

A znova by som chcel vyzvať na presnosť. Uvažujme o nasledujúcom príklade:

Log a (f (x) 2 \u003d 2 log a f (x)

Ľavá strana rovnosti je jasne definovaná pre všetky hodnoty f (x), okrem nuly. Pravá strana je iba pre f (x)\u003e 0! Ak vezmeme stupeň z logaritmu, znova zúžime ODV. Opačný postup rozširuje rozsah platných hodnôt. Všetky tieto poznámky sa týkajú nielen stupňa 2, ale aj ľubovoľného párneho stupňa.

Vzorec prechodu na nový základ

log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1) (8)

Toto je ojedinelý prípad, keď sa ODV počas transformácie nezmení. Ak ste rozumne vybrali radix c (pozitívny a nerovná sa 1), vzorec prechodu na nový radix je úplne bezpečný.

Ak zvolíme číslo b ako nový základ c, dostaneme dôležitý špeciálny prípad vzorca (8):

Log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1) (9)

Niekoľko jednoduchých príkladov s logaritmami

Príklad 1. Vypočítajte: lg2 + lg50.
Rozhodnutie. lg2 + lg50 \u003d lg100 \u003d 2. Použili sme vzorec pre súčet logaritmov (5) a definíciu desatinného logaritmu.

Príklad 2. Vypočítajte: lg125 / lg5.
Rozhodnutie. lg125 / lg5 \u003d log 5 125 \u003d 3. Použili sme vzorec na prechod na nový základ (8).

Tabuľka vzorcov vzťahujúcich sa na logaritmy

log a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a 1 \u003d 0 (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0)

log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1)

log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1)

Na základe čísla e: ln x \u003d prihlásiť e x.

Prirodzený logaritmus je v matematike široko používaný, pretože jeho derivácia má najjednoduchšiu formu: (ln x) ′ \u003d 1 / x.

Na základe definície, základom prirodzeného logaritmu je číslo e:
f ≅ 2,718281828459045 ...;
.

Funkčný graf y \u003d ln x.

Prirodzený logaritmický graf (funkcie y \u003d ln x) sa získa z exponentového grafu jeho zrkadlením vo vzťahu k priamke y \u003d x.

Prirodzený logaritmus je definovaný pre kladné hodnoty premennej x. Zvyšuje sa monotónne v oblasti definície.

Ako x → 0 limit prirodzeného logaritmu je mínus nekonečno (- ∞).

Ako x → + ∞ je hranica prirodzeného logaritmu plus nekonečno (+ ∞). Pre veľké x logaritmus rastie pomerne pomaly. akýkoľvek výkonová funkcia x a s pozitívnym exponentom a rastie rýchlejšie ako logaritmus.

Prirodzené logaritmické vlastnosti

Rozsah definície, množina hodnôt, extrémy, zvyšovanie, znižovanie

Prirodzený logaritmus je monotónne sa zväčšujúca funkcia, preto nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti prírodného logaritmu sú uvedené v tabuľke.

Ln x

ln 1 \u003d 0

Základné vzorce pre prirodzené logaritmy

Vzorce vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavná vlastnosť logaritmov a ich dôsledky

Vzorec na nahradenie bázy

Akýkoľvek logaritmus možno vyjadriť pomocou prirodzených logaritmov pomocou vzorca na základnú zmenu:

Dôkazy týchto vzorcov sú uvedené v časti „Logaritmus“.

Inverzná funkcia

Inverzná hodnota prirodzeného logaritmu je exponent.

Ak potom

Ak potom.

Derivácia ln x

Derivát prirodzeného logaritmu:
.
Derivácia prirodzeného logaritmu modulu x:
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov \u003e\u003e\u003e

Integrálne

Integrál sa počíta integráciou po častiach:
.
Takže

Výrazy v podobe komplexných čísel

Uvažujme funkciu komplexnej premennej z:
.
Vyjadríme komplexnú premennú z cez modul r a argument φ :
.
Pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo
.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Keby sme dali
, kde n je celé číslo,
bude to rovnaké číslo pre rôzne n.

Prirodzený logaritmus preto ako funkcia komplexnej premennej nie je jednoznačnou funkciou.

Rozšírenie výkonových radov

K rozkladu dochádza:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov technických inštitúcií, „Lan“, 2009.

Predtým, ako sa oboznámime s konceptom prirodzeného logaritmu, pouvažujme nad konceptom konštantného čísla $ e $.

Číslo $ e $

Definícia 1

Číslo $ e $ Je matematická konštanta, ktorá je transcendentným číslom a rovná sa $ e \\ približne 2,718281828459045 \\ ldots $.

Definícia 2

Transcendentálne je číslo, ktoré nie je koreňom polynómu s celočíselnými koeficientmi.

Poznámka 1

Posledný vzorec popisuje druhá úžasná hranica.

Tiež sa volá číslo e eulerove číslaa niekedy napierove čísla.

Poznámka 2

Na zapamätanie si prvých znakov čísla $ e $ sa často používa nasledujúci výraz: „2 $, 7 $, dvakrát Lev Tolstoj“... Samozrejme, aby ste ho mohli používať, musíte pamätať na to, že Lev Tolstoj sa narodil v hodnote 1828 $. Tieto čísla sa opakujú dvakrát v hodnote čísla $ e $ po celočíselnej časti $ 2 $ a desatinnej hodnote $ 7 $.

Koncept čísla $ e $ sme začali zvažovať pri štúdiu prirodzeného logaritmu práve preto, že stojí na základni logaritmu $ \\ log_ (e) \u2061a $, ktorý sa zvyčajne nazýva prirodzené a napísané ako $ \\ ln \u2061a $.

Prirodzený logaritmus

Pri výpočtoch sa často používajú logaritmy založené na počte $ e $.

Definícia 4

Logaritmus so základom $ e $ sa volá prirodzené.

Tých. prirodzený logaritmus možno označiť ako $ \\ log_ (e) \u2061a $, ale v matematike je zvykom používať zápis $ \\ ln \u2061a $.

Prirodzené logaritmické vlastnosti

Pretože logaritmus k ľubovoľnej základni od jedného je $ 0 $, potom prirodzený logaritmus jedného je $ 0 $:

Prirodzený logaritmus $ e $ sa rovná jednej:

Prirodzený logaritmus súčinu dvoch čísel sa rovná súčtu prirodzených logaritmov týchto čísel:

$ \\ ln \u2061 (ab) \u003d \\ ln \u2061a + \\ ln \u2061b $.

Prirodzený logaritmus kvocientu dvoch čísel sa rovná rozdielu medzi prirodzenými logaritmami týchto čísel:

$ \\ ln\u2061 \\ frac (a) (b) \u003d \\ ln \u2061a- \\ ln\u2061 b $.

Prirodzený logaritmus sily čísla možno reprezentovať ako produkt exponenta prirodzeným logaritmom sublogaritmického čísla:

$ \\ ln\u2061 a ^ s \u003d s \\ cdot \\ ln\u2061 a $.

Príklad 1

Zjednodušte výraz $ \\ frac (2 \\ ln \u20614e- \\ ln \u206116) (\\ ln \u20615e- \\ frac (1) (2) \\ ln \u206125) $.

Rozhodnutie.

Aplikujeme na prvý logaritmus v čitateľovi a menovateli vlastnosť logaritmu produktu a na druhý logaritmus čitateľa a menovateľa - vlastnosť logaritmu stupňa:

$ \\ frac (2 \\ ln \u20614e- \\ ln\u206116) (\\ ln \u20615e- \\ frac (1) (2) \\ ln \u206125) \u003d \\ frac (2 (\\ ln \u20614 + \\ ln \u2061e) - \\ ln\u2061 4 ^ 2) (\\ ln \u20615 + \\ ln \u2061e- \\ frac (1) (2) \\ ln\u2061 5 ^ 2) \u003d $

otvorte zátvorky a uveďte podobné výrazy a tiež použite vlastnosť $ \\ ln \u2061e \u003d 1 $:

$ \u003d \\ frac (2 \\ ln \u20614 + 2-2 \\ ln \u20614) (\\ ln \u20615 + 1- \\ frac (1) (2) \\ cdot 2 \\ ln \u20615) \u003d \\ frac (2) ( \\ ln \u20615 + 1- \\ ln \u20615) \u003d 2 $.

Odpoveď: $ \\ frac (2 \\ ln \u20614e- \\ ln \u206116) (\\ ln \u20615e- \\ frac (1) (2) \\ ln \u206125) \u003d 2 $.

Príklad 2

Nájdite hodnotu výrazu $ \\ ln\u2061 2e ^ 2 + \\ ln \\ frac (1) (2e) $.

Rozhodnutie.

Použime vzorec pre súčet logaritmov:

$ \\ ln 2e ^ 2 + \\ ln \\ frac (1) (2e) \u003d \\ ln 2e ^ 2 \\ cdot \\ frac (1) (2e) \u003d \\ ln \u2061e \u003d 1 $.

Odpoveď: $ \\ ln 2e ^ 2 + \\ ln \\ frac (1) (2e) \u003d 1 $.

Príklad 3

Vyhodnoťte hodnotu logaritmického výrazu $ 2 \\ lg \u20610,1 + 3 \\ ln\u2061 e ^ 5 $.

Rozhodnutie.

Použime vlastnosť logaritmu stupňa:

$ 2 \\ lg \u20610,1 + 3 \\ ln e ^ 5 \u003d 2 \\ lg 10 ^ (- 1) +3 \\ cdot 5 \\ ln \u2061e \u003d -2 \\ lg \u206110 + 15 \\ ln \u2061e \u003d -2 + 15 \u003d 13 $.

Odpoveď: $ 2 \\ lg \u20610,1 + 3 \\ ln e ^ 5 \u003d 13 $.

Príklad 4

Zjednodušte logaritmický výraz pre $ \\ ln \\ frac (1) (8) -3 \\ ln \u20614 $.

$ 3 \\ ln \\ frac (9) (e ^ 2) -2 \\ ln \u206127 \u003d 3 \\ ln (\\ frac (3) (e)) ^ 2-2 \\ ln 3 ^ 3 \u003d 3 \\ cdot 2 \\ ln \\ použiť na prvý logaritmus vlastnosť logaritmu kvocientu:

$ \u003d 6 (\\ ln \u20613- \\ ln \u2061e) -6 \\ ln\u2061 3 \u003d $

poďme otvoriť zátvorky a dať podobné výrazy:

$ \u003d 6 \\ ln \u20613-6 \\ ln \u2061e-6 \\ ln \u20613 \u003d -6 $.

: $ 3 \\ ln \\ frac (9) (e ^ 2) -2 \\ ln \u206127 \u003d -6 $.

OdpoveďLogaritmus čísla b k základni a je exponent, na ktorý sa musí číslo a zvýšiť, aby sa získalo číslo b.

Logaritmus - extrémny

Ak potom.

dôležitá matematická veličina , pretože logaritmický počet umožňuje nielen riešenie exponenciálnych rovníc, ale aj prácu s indikátormi, rozlišujúcimi exponenciálne alogaritmické funkcie , integrovať ich a viesť k prijateľnejšej forme na výpočet.V kontakte s

Všetky vlastnosti logaritmov priamo súvisia s vlastnosťami exponenciálnych funkcií. Napríklad skutočnosť, že

znamená to: Je potrebné poznamenať, že pri riešení konkrétnych problémov môžu byť vlastnosti logaritmov dôležitejšie a užitočnejšie ako pravidlá pre prácu s mocninami.

Tu je niekoľko identít:

Tu sú hlavné

algebraické výrazy pozor!:

;

.

môžu existovať iba pre x\u003e 0, x ≠ 1, y\u003e 0. Pokúsme sa pochopiť otázku, čo sú to prirodzené logaritmy. Samostatný záujem o matematiku

predstavujú dva typy - prvý je založený na čísle „10“ a nazýva sa „desatinný logaritmus“. Druhá sa nazýva prírodná. Základom prirodzeného logaritmu je číslo „e“. Práve o ňom si v tomto článku povieme podrobne.Legenda:

lg x - desatinné číslo;

• ln x - prirodzené.
• pomocou identity môžete vidieť, že ln e \u003d 1, ako aj skutočnosť, že lg 10 \u003d 1.

Prirodzený logaritmus

Prirodzme prirodzený logaritmus štandardnou klasickou metódou podľa bodov. Ak si prajete, môžete skontrolovať, či stavíme funkciu správne, preskúmaním funkcie. Má však zmysel naučiť sa, ako ju zostaviť „ručne“, aby ste vedeli, ako správne vypočítať logaritmus.

Funkcia: y \u003d ln x. Napíšme tabuľku bodov, cez ktorú prejde graf:

Vysvetlíme si, prečo sme zvolili presne také hodnoty argumentu x. Všetko je o identite :. Pre prirodzený logaritmus bude táto identita vyzerať takto:

Pre pohodlie môžeme vziať päť kotviacich bodov:

{!LANG-79659dff17f6da6535a8a186229e29e5!}

;

;

.

;

.

Výpočet prirodzených logaritmov je teda dosť jednoduchá úloha, navyše zjednodušuje výpočet operácií s právomocami a mení ich na obyčajné násobenie.

Po zostavení grafu podľa bodov získame približný graf:

Doménou prirodzeného logaritmu (t. J. Všetky platné hodnoty argumentu X) sú všetky čísla väčšie ako nula.

môžu existovať iba pre x\u003e 0, x ≠ 1, y\u003e 0.Do oblasti prirodzeného logaritmu sú zahrnuté iba kladné čísla! Doména definície nezahŕňa x \u003d 0. To je nemožné na základe podmienok existencie logaritmu.

Rozsah hodnôt (t.j. všetky platné hodnoty funkcie y \u003d ln x) sú všetky čísla v intervale.

Prirodzený limit log

Pri štúdiu grafu vyvstáva otázka - ako sa funkcia správa pri y<0.

Je zrejmé, že graf funkcie má tendenciu prechádzať osou y, ale nemôže to robiť, pretože prirodzený logaritmus v bode x<0 не существует.

Prirodzený limit log dá sa napísať takto:

Vzorec na nahradenie bázy logaritmu

Prirodzený logaritmus je oveľa jednoduchšie vyriešiť ako s logom ľubovoľného základu. Preto sa pokúsime naučiť, ako zredukovať akýkoľvek logaritmus na prirodzený, alebo ho vyjadriť v ľubovoľnej báze pomocou prirodzených logaritmov.

Začnime logaritmickou identitou:

Potom môže byť ľubovoľné číslo alebo premenná y vyjadrené ako:

kde x je ľubovoľné číslo (kladné podľa vlastností logaritmu).

Tento výraz je možné logaritmizovať na oboch stranách. Robíme to pomocou ľubovoľnej základne z:

Použime vlastnosť (iba namiesto „c“ máme výraz):

Odtiaľto dostaneme univerzálny vzorec:

.

Konkrétne, ak z \u003d e, potom:

.

Podarilo sa nám reprezentovať logaritmus na ľubovoľnom základe prostredníctvom pomeru dvoch prirodzených logaritmov.

Riešime problémy

Aby ste sa lepšie orientovali v prirodzených logaritmoch, pouvažujte nad príkladmi niekoľkých problémov.

Úloha 1... Je potrebné vyriešiť rovnicu ln x \u003d 3.

Rozhodnutie: Pomocou definície logaritmu: ak, potom dostaneme:

Problém 2... Vyriešte rovnicu (5 + 3 * ln (x - 3)) \u003d 3.

Riešenie: Pomocou definície logaritmu: if, then, we get:

.

Znova použijeme definíciu logaritmu:

.

Touto cestou:

.

Odpoveď môžete vypočítať približne alebo ju môžete nechať v tejto podobe.

Cieľ 3. Vyriešte rovnicu.

Rozhodnutie:Urobme substitúciu: t \u003d ln x. Potom bude mať rovnica nasledujúcu formu:

.

Pred nami je kvadratická rovnica. Poďme nájsť jeho diskrimináciu:

V štatistike a teórii pravdepodobnosti sú logaritmické veličiny veľmi bežné. To nie je prekvapujúce, pretože číslo e - často odráža rýchlosť rastu exponenciálnych hodnôt.

V informatike, programovaní a teórii počítačov sú logaritmy úplne bežné, napríklad na ukladanie N do pamäte potrebujete bity.

V teóriách fraktálov a dimenzií sa logaritmy používajú neustále, pretože rozmery fraktálov sa určujú iba s ich pomocou.

V mechanike a fyzike neexistuje oddiel, kde by sa nepoužívali logaritmy. Barometrické rozdelenie, všetky princípy štatistickej termodynamiky, Tsiolkovského rovnica atď. Sú procesy, ktoré je možné matematicky opísať iba pomocou logaritmov.

V chémii sa logaritmus používa v Nernstových rovniciach, v opisoch redoxných procesov.

Úžasné je, že aj v hudbe sa logaritmy používajú na zistenie počtu častí oktávy.

Prirodzený logaritmus Funkcia y \u003d ln x jej vlastnosti

Dôkaz o hlavnej vlastnosti prirodzeného logaritmu