Funkčný rozsah je formálne písomný prejav

u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) + ... + un ( x) + ... , (1)

kde u1 (x), u2 (x), u3 (x), ..., un ( x), ... - postupnosť funkcií nezávislej premennej x.

Skrátený zápis funkčnej série so sigmou :.

Príklady funkčných sérií sú :

(2)

(3)

Uvedením nezávislej premennej x nejaký význam x0 a dosadením do funkčnej rady (1) získame číselný rad

u1 (x0 ) + u2 (x0 ) + u3 (x0 ) + ... + un ( x0 ) + ...

Ak výsledná číselná rada konverguje, potom sa hovorí, že funkčná rada (1) konverguje pre x = x0 ; ak sa rozchádza, o ktorej sa hovorí, že sa séria (1) rozchádza x = x0 .

Príklad 1. Preskúmajte konvergenciu funkčnej série (2) pre hodnoty x \u003d 1 a x = - 1 .
Rozhodnutie. Kedy x \u003d 1 dostaneme číselnú sériu

ktorý sa zbieha na základe Leibniz. Kedy x \u003d - 1 dostaneme číselnú sériu

,

ktorý sa rozchádza ako produkt rozchádzajúcej sa harmonickej série o - 1. Séria (2) teda konverguje pre x \u003d 1 a líši sa pri x = - 1 .

Ak sa takáto kontrola konvergencie funkčnej rady (1) vykoná so zreteľom na všetky hodnoty nezávislej premennej z domény jej členov, potom sa body tejto oblasti rozdelia do dvoch sád: pre hodnoty xv jednej z nich sa séria (1) zbieha, zatiaľ čo v druhej sa rozchádza.

Množina hodnôt nezávislej premennej, pre ktorú sa funkčná rada zbieha, sa nazýva jej konvergenčná doména .

Príklad 2. Nájdite oblasť konvergencie funkčnej série

Rozhodnutie. Členovia série sú definovaní na celej číselnej čiare a tvoria geometrický postup s menovateľom q \u003d hriech x ... Preto séria konverguje, ak

a rozchádzajú sa, ak

(hodnoty nie sú možné). Ale pre hodnoty a pre iné hodnoty x... Séria teda konverguje pre všetky hodnoty x, Okrem toho. Oblasťou jej konvergencie je celá číselná čiara, okrem týchto bodov.

Príklad 3. Nájdite oblasť konvergencie funkčnej série

Rozhodnutie. Členovia série tvoria geometrický postup s menovateľom q\u003d ln x ... Preto séria konverguje, ak alebo odkiaľ. Toto je oblasť konvergencie tejto série.

Príklad 4. Preskúmajte konvergenciu funkčnej série

Rozhodnutie. Zoberme si ľubovoľnú hodnotu. S touto hodnotou dostaneme číselnú sériu

(*)

Nájdite hranicu jeho bežného výrazu

V dôsledku toho sa séria (*) rozchádza pre ľubovoľne vybranú, t.j. pre akúkoľvek hodnotu x... Jeho doménou konvergencie je prázdna množina.

Jednotná konvergencia funkčnej rady a jej vlastnosti

Prejdime k konceptu jednotná konvergencia funkčných radov ... Nechaj sa s(x) je súčtom tejto série a sn ( x) - suma n prvými členmi tejto série. Funkčný rozsah u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) + ... + un ( x) + ... sa nazýva rovnomerne konvergujúce na segment [ a, b] ak pre ľubovoľne malé množstvo ε \u003e 0 je také číslo N to pre všetkých n ≥ N nerovnosť

|s(x) − sn ( x)| < ε

pre hocikoho x zo segmentu [ a, b] .

Vyššie uvedenú vlastnosť je možné geometricky ilustrovať nasledovne.

Zvážte graf funkcie r = s(x) ... Vytvorme okolo tejto krivky pás so šírkou 2 ε n, to znamená, že zostrojíme krivky r = s(x) + ε n a r = s(x) − ε n (na obrázku nižšie sú zelené).

Potom pre akýkoľvek ε n funkčný graf sn ( x) bude ležať úplne v uvažovanom páse. Rovnaké pásmo bude obsahovať grafy všetkých nasledujúcich čiastkových súčtov.

Akákoľvek konvergenčná funkčná séria, ktorá nemá vyššie popísanú vlastnosť, sa nerovnomerne spája.

Zvážte ešte jednu vlastnosť rovnomerne konvergujúcich funkčných radov:

súčet radu spojitých funkcií konvergujúcich rovnomerne v nejakom intervale [ a, b], je funkcia, ktorá je v tomto segmente spojitá.

Príklad 5. Určte, či je súčet funkčných radov spojitý

Rozhodnutie. Nájdite sumu n prví členovia tejto série:

Ak x \u003e 0, potom

,

ak x < 0 , то

ak x \u003d 0, teda

A preto .

Náš výskum ukázal, že súčet tejto série je nespojitá funkcia. Jeho graf je znázornený na obrázku nižšie.

Weierstrassov test na rovnomernú konvergenciu funkčných radov

Kritériu Weierstrass sa priblížime prostredníctvom konceptu zväčšiteľnosť funkčných radov ... Funkčný rozsah

u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) + ... + un ( x) + ...

- možno komplex nebude taký ťažký;) A názov tohto článku je tiež nepravdivý - série, o ktorých sa dnes bude diskutovať, nie sú skôr zložité, ale „vzácne zeminy“. Avšak ani študenti na čiastočný úväzok nie sú proti nim poistení, a preto sa zdá, že doplnková činnosť treba brať s maximálnou vážnosťou. Nakoniec, po jeho vypracovaní si poradíte s takmer každou „šelmou“!

Začnime klasikou žánru:

Príklad 1

Najskôr si uvedomte, že nejde o výkonový rad (Pripomínam, že to tak vyzerá)... A po druhé, tu hneď zaujme význam, ktorý zjavne nemôže vstúpiť do oblasti konvergencie série. A toto je už malý výskumný úspech!

Ale napriek tomu, ako dosiahnuť veľký úspech? Ponáhľam sa, aby som vás potešil - také riadky sa dajú vyriešiť rovnako ako sedatívum - spoliehajúc sa na znak d'Alembert alebo radikálny znak Cauchy!

Rozhodnutie: hodnota nie je v rozsahu konvergencie série. Toto je zásadný fakt, ktorý si musíte uvedomiť!

Základný algoritmus funguje štandardným spôsobom. Pomocou d'Alembertovho testu nájdeme interval konvergencie série:

Séria konverguje k. Zdvihnime modul:

Okamžite skontrolujte „zlý“ bod: hodnota nevstúpila do oblasti konvergencie série.

Skúmajme konvergenciu série na „vnútorných“ koncoch intervalov:
Ak potom
Ak potom

Obidve numerické rady sa rozchádzajú, pretože nie sú splnené potrebné konvergenčné kritérium.

Odpoveď: oblasť konvergencie:

Poďme si urobiť malú analytickú kontrolu. Nahraďme do funkčného radu nejakú hodnotu zo správneho intervalu, napríklad:
- konverguje do d'Alembert.

V prípade substitúcie hodnôt z ľavého intervalu sa získajú aj konvergenčné rady:
Ak potom.

A nakoniec, ak, tak séria - naozaj sa rozchádzajú.

Niekoľko jednoduchých príkladov na zahriatie:

Príklad 2

Nájdite oblasť konvergencie funkčnej série

Príklad 3

Nájdite oblasť konvergencie funkčnej série

Buďte obzvlášť dobrí s tým „novým“ modul - dnes sa stretne 100 500 krát!

Stručné riešenia a odpovede na konci hodiny.

Použité algoritmy sa zdajú byť univerzálne a spoľahlivé, ale v skutočnosti to tak nie je - pre mnoho funkčných sérií často „skĺzavajú“ alebo dokonca vedú k chybným záverom (a zvážim aj také príklady).

Drsnosť začína už na úrovni interpretácie výsledkov: zvážte napríklad sériu. Tu v limite, ktorý dostaneme (skontrolujte to sami), a teoreticky je potrebné dať odpoveď, že séria konverguje v jednom bode. Pointa je však „prehraná“, čo znamená, že náš „pacient“ sa rozchádza všade!

A pre sériu „zjavné“ Cauchyho riešenie nedáva vôbec nič:
- pre AKÚKOĽVEK hodnotu „x“.

A vynára sa otázka, čo robiť? Používame metódu, ktorej sa bude venovať hlavná časť hodiny! Môže byť formulovaný takto:

Priama analýza numerických radov pri rôznych hodnotách

V skutočnosti sme to už začali robiť v príklade 1. Najskôr preskúmame niekoľko konkrétnych znakov „x“ a zodpovedajúcich číselných radov. Začína brať hodnotu:
- rozchádzajú sa výsledné číselné rady.

A to okamžite vedie k myšlienke: čo keď sa to isté stane v iných bodoch?
Skontrolujme to potrebné kritérium pre konvergenciu série pre svojvoľný hodnoty:

Bod uvedený vyššie, pre všetky ostatné „x“ organizujeme štandardným príjmom druhá úžasná hranica:

Výkon: séria sa rozchádza pozdĺž celej číselnej rady

A toto riešenie je najpracovnejšou možnosťou!

V praxi je často potrebné porovnávať funkčný rozsah zovšeobecnené harmonické rady :

Príklad 4

Rozhodnutie: v prvom rade sa zaoberáme rozsah: v tomto prípade musí byť radikálny výraz prísne pozitívny a okrem toho musia existovať všetci členovia série, počnúc 1. dňom. Z toho vyplýva, že:
... S týmito hodnotami sa získajú podmienečne konvergujúce rady:
atď.

Iné písmená „x“ nie sú vhodné, napríklad keď sa dostaneme k nelegálnemu prípadu, keď prví dvaja členovia série neexistujú.

To je všetko dobré, všetko je to pochopiteľné, ale zostáva ešte jedna dôležitá otázka - ako správne vypracovať rozhodnutie? Navrhujem schému, ktorú možno žargónom nazvať „prevádzanie šípok“ na číselné rady:

Zvážte svojvoľný hodnotu a preskúmať konvergenciu číselných radov. Rutina znamenie Leibniz:

1) Tento riadok sa strieda.

2) - členovia série klesajú v absolútnej hodnote. Každý nasledujúci výraz v sérii má menšiu absolútnu hodnotu ako ten predchádzajúci: teda pokles je monotónny.

Záver: séria konverguje na základe Leibniz. Ako už bolo uvedené, konvergencia je tu podmienená - z dôvodu série - rozchádzajú sa.

Takže to je všetko - upravené a správne! Pretože za „alfa“ sme dômyselne skryli všetky prípustné číselné rady.

Odpoveď: funkčná séria existuje a podmienene konverguje v.

Podobný príklad samostatného riešenia:

Príklad 5

Preskúmajte konvergenciu funkčnej série

Približný príklad dokončenia úlohy na konci hodiny.

Toľko vaša „pracovná hypotéza“! - funkčná séria konverguje k intervalu!

2) So symetrickým intervalom je všetko transparentné, uvažujeme svojvoľný hodnoty a dostaneme: - absolútne konvergujúce číselné rady.

3) A nakoniec „stred“. Tu je tiež vhodné zvoliť dva intervaly.

Zvážte svojvoľný hodnotu z intervalu a dostaneme číselný rad:

! Opäť - ak je to ťažké , nahraďte napríklad ľubovoľné konkrétne číslo. Avšak ... chceli ste ťažkosti \u003d)

Pre všetky hodnoty „en“ znamená:
- teda tým, že funkcia porovnania séria konverguje spolu s nekonečne klesajúcou progresiou.

Pre všetky hodnoty "x" z intervalu, ktorý získame - absolútne konvergujúce číselné rady.

Všetky X boli preskúmané, X sú preč!

Odpoveď: oblasť konvergencie série:

Musím povedať, nečakaný výsledok! A treba dodať, že použitie značiek d'Alembert alebo Cauchy tu bude určite zavádzajúce!

Priame hodnotenie je „akrobacia“ matematickej analýzy, ale to si samozrejme vyžaduje skúsenosti a niekde dokonca intuíciu.

Možno niekto nájde cestu ľahšou? Napíš! Mimochodom, existujú precedensy - niekoľkokrát čitatelia navrhli viac racionálne rozhodnutiaa s radosťou som ich zverejnil.

Úspešné pristátie :)

Príklad 11

Nájdite oblasť konvergencie funkčnej série

Moja verzia riešenia je veľmi blízko.

Ďalšie hardcore nájdete na Oddiel VI (Riadky)zbierka Kuznecova (Úlohy 11-13).Na internete existujú hotové riešenia, ale tu vám dlžím varovať - mnohé z nich sú neúplné, nesprávne alebo dokonca všeobecne chybné. A mimochodom, to bol jeden z dôvodov, prečo sa zrodil tento článok.

Zhrňme si tieto tri lekcie a usporiadajme si našu sadu nástrojov. Takže:

Na vyhľadanie konvergenčných intervalov funkčných sérií je možné použiť:

1) D'Alembertov znak alebo Cauchyho znak... A ak riadok nie je sedatívum - pri analýze výsledku získaného priamym nahradením rôznych hodnôt postupujeme veľmi opatrne.

2) Kritérium pre jednotnú konvergenciu Weierstrass... Nezabudnite!

3) Porovnanie s typickými číselnými radmi - pravidlá všeobecne.

Potom preskúmajte konce nájdených intervalov (V prípade potreby) a získame oblasť konvergencie série.

Teraz máte k dispozícii pomerne vážny arzenál, ktorý vám umožní zvládnuť takmer každú tematickú úlohu.

Veľa šťastia!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Rozhodnutie: hodnota nie je v rozsahu konvergencie série.
Používame znak d'Alembert:


Séria konverguje pre:

Intervaly konvergencie funkčných radov teda: .
Skúmame konvergenciu série v koncových bodoch:
ak potom ;
ak potom .
Obidve numerické rady sa rozchádzajú, pretože potrebné konvergenčné kritérium nie je splnené.

Odpoveď : oblasť konvergencie:

Oblasť konvergencie Funkčná séria je séria členov, ktorých funkciami sú definované na niektorej množine E číselnej osi. Napríklad pojmy zo série sú definované na intervale a pojmy zo série sú definované na intervale Funkčné rady (1) sa v bode X0 € E nazývajú konvergentné, ak FUNKČNÁ SÉRIA konverguje Oblasť konvergencie Jednotná konvergencia Weierstrassov test Vlastnosti rovnomerne konvergentnej funkčnej série numerická rada Ak konverguje rada (1) v každom bode x množiny D C E a rozbieha sa v každom bode, ktorý nepatrí do množiny D, potom sa hovorí, že séria konverguje na množinu D a D sa nazýva doména konvergencie série. Séria (1) sa na množine D nazýva absolútne konvergentná, ak sa séria konverguje na túto množinu. V prípade konvergencie série (1) na množine D bude jej súčet S funkciou definovanou na D, Oblasť konvergencie niektorých funkčných sérií možno nájsť pomocou známych dostatočných kritérií stanovené pre série s kladnými výrazmi, napríklad Dupambertov test, Cauchyov test. Príklad 1. Nájdite oblasť konvergencie série M Pretože číselná rada konverguje pre p\u003e 1 a líši sa pre p\u003e 1, potom nastavením p - Igx získame túto sériu. ktoré sa budú zbiehať pri Igx\u003e Ц t.j. ak x\u003e 10, a rozchádzajú sa na Igx ^ 1, t.j. o 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 sa riadok rozchádza, pretože Л \u003d. Divergencia série pri x \u003d 0 je zrejmá. Príklad 3. Nájdite doménu konvergencie série Termíny danej série sú definované a spojité na množine. Pri použití kritéria Kosh a nájdeme pre každú. Séria sa preto rozchádza pre všetky hodnoty x. Označíme Sn (x) n-tý čiastočný súčet funkčných radov (1). Ak táto séria konverguje na množine D a jej súčet sa rovná 5 (g), potom ju možno znázorniť tak, že kde je súčet sérií konvergujúcich na množinu D, ktorá sa nazýva n-tym zvyškom funkčnej rady (1). Pre všetky hodnoty х € D platí vzťah a teda. to znamená, že zvyšok Rn (x) konvergentnej rady má tendenciu k nule ako n oo, nech je x 6 D. Jednotná konvergencia Medzi všetkými radmi konvergujúcich funkcií hrá dôležitú úlohu takzvaná rovnomerne konvergentná rada. Nech dostaneme funkčnú sériu konvergujúcu k množine D, ktorej súčet sa rovná S (x). Zoberme si jeho n-tý čiastočný súčet definícií. Funkčná séria FUNKČNÁ SÉRIA Oblasť konvergencie Jednotná konvergencia Weierstrassov test Vlastnosti rovnomerne konvergujúcich funkčných radov sa nazývajú rovnomerne konvergujúce na množine ПС1), ak pre akékoľvek číslo e\u003e 0 existuje číslo λ\u003e 0 také, že nerovnosť platí pre všetky čísla n\u003e N a pre všetky x z množiny fI. Komentovať. Tu je číslo N rovnaké pre všetkých x 10 €, t.j. nezávisí od z, ale závisí od voľby čísla e, preto píšu N \u003d N (e). Jednotná konvergencia funkčnej rady / n (®) na funkciu S (x) na množine ft sa často označuje nasledovne: Definíciu jednotnej konvergencie radu / n (x) na množine ft môžeme písať kratšie pomocou logických symbolov: Vysvetlíme si geometricky význam jednotnej konvergencie funkčný rozsah. Berieme segment [a, 6] ako množinu ft a zostrojíme grafy funkcií. Nerovnosť |, ktorá platí pre čísla n\u003e N a pre všetky a; G [a, b], možno zapísať v nasledujúcom tvare Získané nerovnosti ukazujú, že grafy všetkých funkcií y \u003d Sn (x) s číslami n\u003e N budú úplne uzavreté v pásme bound ohraničenom krivkami y \u003d S (x) - e a y \u003d 5 (g) + e (obr. 1). Príklad 1 konverguje rovnomerne na segment Táto séria sa strieda so znamienkami, spĺňa podmienky Leibnizovho testu pre ľubovoľné x € [-1,1], a preto konverguje na segment (-1,1). Nech S (x) je jeho súčet a Sn (x) - jeho n-tý parciálny súčet Zvyšok série v absolútnej hodnote nepresahuje absolútnu hodnotu prvého člena: a keďže Berieme ľubovoľné e. Nerovnosť | bude splnená, ak. Z toho zistíme, že n\u003e 1. Ak vezmeme číslo (tu [a] označuje najväčšie celé číslo nepresahujúce a), potom nerovnosť | f sa vykoná pre všetky čísla n\u003e N a pre všetkých x € [-1,1). To znamená, že táto séria konverguje rovnomerne na segment [-1,1). I. Nie každá funkčná séria konvergujúca na množine D konverguje rovnomerne v príklade 2. Ukážme, že séria konverguje na segment, ale nie rovnomerne. 4 Vypočítajme n-tý čiastočný súčet £ „(*) série. Máme Kde Táto séria konverguje na segment a jeho súčet, ak sa absolútna hodnota rozdielu S (x) - 5 „(x) (zvyšok série) rovná. Vezmite také množstvo, ktoré je také. Vyriešme nerovnosť vzhľadom na n. Máme odkiaľ (pretože a keď sa delíme Inx, znamienko nerovnosti sa zmení na pravý opak). Nerovnosť bude platiť pre. Preto také číslo N (e) nezávislé od x, aby nerovnosť platila pre každého) naraz pre všetky x zo segmentu. , neexistuje. Ak nahradíme segment 0 menším segmentom, kde, potom na druhom bude daná séria konvergovať k funkcii S0 rovnomerne. Skutočne pre, a teda pre všetkých x naraz §3. Weierstrassov test Dostatočné kritérium pre jednotnú konvergenciu funkčných radov dáva Weierstrassova veta. Veta 1 (Weierstrassov test). Predpokladajme, že pre všetky x zo množiny Q členy funkčnej rady nepresahujú v absolútnej hodnote zodpovedajúce členy konvergujúcej číselnej rady \u003d 1 s kladnými členmi, t. J. Pre všetky x ∈ Q. Potom funkčná rada (1) v množine konverguje absolútne a rovnomerne ... A Tek, keďže hypotézou vety vety radu (1) vyhovujú podmienke (3) na celej množine Q, potom porovnávacím kritériom séria 2 \\ fn (x) \\ konverguje pre ľubovoľné x ∈ U, a teda rad (1) konverguje Absolútne. Dokážme jednotnú konvergenciu radov (1). Označme Sn (x) a čiastkové súčty sérií (1) a (2). Máme ľubovoľné (ľubovoľne malé) číslo e\u003e 0. Potom konvergencia číselných radov (2) implikuje existenciu čísla N \u003d N (e) takého, že v dôsledku toho bude -e pre všetky čísla n\u003e N (e) a pre všetky xbn , t.j. séria (1) konverguje rovnomerne na množine P. Poznámka. Číselné rady (2) sa často nazývajú majorizačné alebo majorantné pre funkčné rady (1). Príklad 1. Vyšetrite rad na rovnomernú konvergenciu. Nerovnosť platí pre všetkých. a pre všetkých. Číselný rad konverguje. Na základe Weierstrassovho kritéria sa uvažovaná funkčná séria konverguje absolútne a rovnomerne po celej osi. Príklad 2. Vyšetrite rad na rovnomernú konvergenciu. Pojmy radu sú definované a sú kontinuálne v intervale [-2,2 |. Pretože na intervale [-2,2) pre ľubovoľné prirodzené n, potom platí nerovnosť pre. Pretože číselná rada konverguje, podľa Weierstrassovho kritéria sa pôvodná funkčná rada konverguje na segment absolútne a rovnomerne. Komentovať. Funkčné rady (1) sa môžu na množine Piv rovnomerne zbiehať v prípade, že neexistuje žiadna numerická majorantná rada (2), t. J. Weierstrassov test je iba dostatočným kritériom pre jednotnú konvergenciu, ale nie je to potrebné. Príklad. Ako je uvedené vyššie (príklad), séria konverguje rovnomerne na segmente 1-1,1]. Pre ňu však neexistuje žiadna významná konvergentná séria (2). V skutočnosti platí pre všetky prirodzené n a pre všetky x ∈ [-1,1) nerovnosť a rovnosť sa dosahuje na. Podmienky požadovanej majorantnej rady (2) preto musia určite spĺňať podmienku, ale číselná rada FUNKČNÁ SÉRIA Oblasť konvergencie Jednotná konvergencia Weierstrassov test Vlastnosti rovnomerne konvergujúcich funkčných radov sa rozchádzajú. Séria £ op sa teda tiež rozíde. Vlastnosti rovnomerne konvergujúcich funkčných radov Jednotne konvergujúce funkčné rady majú množstvo dôležitých vlastností. Veta 2. Ak sú všetky členy radu rovnomerne konvergujúce na intervale [a, b] vynásobené rovnakou funkciou g (x) ohraničenou na [a, 6], potom výsledná funkčná rada konverguje rovnomerne ďalej. Predpokladajme, že na intervale [a, b \\ séria £ fn (x) konverguje rovnomerne na funkciu 5 (x) a funkcia g (x) je ohraničená, to znamená, že existuje konštanta C\u003e 0 taká, že Podľa definície jednotnej konvergencie radu pre každé číslo e\u003e 0 existuje číslo N také, že pre všetky n\u003e N a pre všetky x ∈ [a, b] platí nerovnosť, kde 5n (ar) je čiastočný súčet uvažovanej série. Preto budeme mať pre kohokoľvek. séria konverguje rovnomerne na [a, b | k funkčnej vete 3. Predpokladajme, že všetky členy fn (x) funkčnej rady sú spojité a séria konverguje rovnomerne na intervale [a, b \\. Potom je súčet S (x) série v tomto segmente spojitý. M Vezmite dva ľubovoľné body rig + Ax na segmente [o, b]. Pretože táto séria konverguje rovnomerne na segment [a, b], potom pre akékoľvek číslo e\u003e 0 existuje číslo N \u003d N (e) také, že pre všetky n\u003e N platia nerovnosti, kde 5n (x) sú čiastkové súčty radu fn (X). Tieto čiastkové súčty Sn (x) sú spojité na intervale [a, 6] ako súčet konečne mnohých funkcií fn (x) spojitých na [a, 6]. Preto pre pevné číslo nie\u003e N (e) a dané číslo e existuje číslo 6 \u003d 6 (e)\u003e 0 také, že pre prírastok Ax spĺňajúci podmienku | dôjde k nerovnosti. Prírastok AS súčtu S (x) môže byť znázornený v nasledujúcom forma: odkiaľ. Ak vezmeme do úvahy nerovnosti (1) a (2), pre prírastky Ax vyhovujúce podmienke | získame To znamená, že súčet Six) je spojitý v bode x. Pretože x je ľubovoľný bod segmentu [a, 6], potom 5 (x) je spojité na | a, 6 |. Komentovať. Funkčný rad, ktorého členy sú spojité na segmente [a, 6), ale ktorý konverguje na (a, 6] nerovnomerne, môže mať nespojitý súčet ako v príklade 1. Zvážte funkčný rad na segmente | 0,1). Vypočítajme jeho n-tý čiastočný súčet. Preto je na segmente diskontinuálny, aj keď členy radu sú na ňom spojité. Na základe dokázanej vety nie je táto séria rovnomerne konvergentná v intervale. Príklad 2. Zvážte sériu Ako je uvedené vyššie, táto séria konverguje k, séria sa bude konvergovať rovnomerne podľa Weierstrassovho kritéria, pretože 1 a číselná séria konvergujú. Preto pre každé x\u003e 1 je súčet tejto série spojitý. Komentovať. Táto funkcia sa nazýva Rímska funkcia (táto funkcia hrá dôležitú úlohu v teórii čísel). Veta 4 (o integrácii funkčných radov za termínom). Predpokladajme, že všetky členy fn (x) radu sú spojité a séria konverguje rovnomerne v intervale [a, b] na funkciu S (x). Potom platí rovnosť. Na základe spojitosti funkcií fn (x) a jednotnej konvergencie tejto rady k intervalu [a, 6] je jej súčet S (x) spojitý, a teda integrovateľný. Zvážte rozdiel Z jednotnej konvergencie radu na [o, b] vyplýva, že pre každé ε\u003e 0 existuje číslo N (e)\u003e 0 také, že pre všetky čísla n\u003e N (e) a pre všetky x ∈ [a, 6] Ak séria fn (0 nie je rovnomerne konvergentná, potom ju vo všeobecnosti nemožno integrovať po jednotlivých termínoch, t. J. Vetu 5 (o diferenciácii funkčného radu po jednotlivých termínoch). Nech všetky členy konvergenčného radu 00 majú spojité derivácie a rad pozostávajúci z týchto derivácií rovnomerne konverguje na interval [a, b]. Potom v ktoromkoľvek bode platí rovnosť, to znamená, že daná séria sa dá diferencovať po jednotlivých termínoch. Vezmime si akékoľvek dva body. Potom podľa vety 4 máme funkciu o- (x) spojitú. ako súčet rovnomerne konvergujúcich radov spojitých funkcií. Preto diferencovaním rovnosti získame Cvičenia Nájdite oblasti konvergencie týchto funkčných radov: Pomocou Weierstrassovho testu preukázajte jednotnú konvergenciu týchto funkčných radov v uvedených intervaloch:

Funkčné rady... Silová séria.
Konvergenčný región série

Smiech bezdôvodne je znakom d'Alemberta

Hodina funkčných radov nastala. Aby ste úspešne zvládli tému a najmä túto lekciu, musíte sa dobre orientovať v zvyčajných číselných radoch. Malo by byť zrejmé, čo je to séria, byť schopný používať porovnávacie znaky na štúdium série pre konvergenciu. Ak ste teda práve začali študovať túto tému alebo ste čajníkom vo vyššej matematike, nevyhnutnéprepracovať tri hodiny za sebou: Riadky pre figuríny, D'Alembertov znak. Cauchyho znaky a Striedajúce sa riadky. Leibnizov znak... Všetci traja sú povinní! Ak máte základné vedomosti a zručnosti pri riešení úloh s číselnými radmi, bude s funkčnými radami celkom jednoduché vyrovnať sa, pretože nie je príliš veľa nového materiálu.

V tejto lekcii zvážime koncept funkčnej rady (čo to je všeobecne), oboznámime sa s výkonovými radmi, ktoré sa nachádzajú v 90% praktických úloh, a naučíme sa, ako vyriešiť bežný typický problém hľadania polomeru konvergencie, konvergenčného intervalu a oblasti konvergencie výkonovej rady. Ďalej odporúčam zvážiť materiál o rozšírenie funkcií v výkonových radoch, a začiatočníkovi bude poskytnutá sanitka. Po vydýchnutí choďte na ďalšiu úroveň:

Aj v sekcii funkčných radov je ich veľa aplikácie na aproximáciu výpočtovej techniky, a Fourierova séria, ktorej je spravidla pridelená samostatná kapitola v náučnej literatúre, idú trochu od seba. Mám iba jeden článok, ale dlhý a veľa a veľa ďalších príkladov!

Orientačné body sú teda nastavené, poďme:

Koncept funkčnej série a silovej série

Ak sa ukáže, že limitom je nekonečno, potom svoju prácu dokončí aj algoritmus riešenia a my dáme konečnú odpoveď na úlohu: „Séria konverguje v“ (alebo v ktorejkoľvek z nich). Pozri prípad č. 3 predchádzajúceho odseku.

Ak limit nie je nula a nie nekonečno, potom máme v praxi najbežnejší prípad číslo 1 - séria sa zbieha v určitom intervale.

V tomto prípade je limit. Ako nájsť konvergenčný interval série? Skladáme nerovnosť:

AT AKÁKOĽVEK úloha tohto typu na ľavej strane nerovnosti by mala byť výsledok výpočtu limitu, a na pravej strane nerovnosti - prísne jednotka... Nebudem vysvetľovať, prečo existuje taká nerovnosť a prečo existuje jedna napravo. Hodiny majú praktickú orientáciu a už teraz je veľmi dobré, že sa učiteľský zbor neobesil z mojich príbehov a niektoré vety sa objasnili.

Techniku \u200b\u200bpráce s modulom a riešenia dvojitých nerovností sme sa podrobne venovali v prvom ročníku v článku Rozsah funkcií, ale pre pohodlie sa pokúsim čo najpodrobnejšie komentovať všetky akcie. Odhaľovanie nerovností pomocou modulu Školské pravidlá ... V tomto prípade:

V polovici cesty.

V druhej etape je potrebné skúmať konvergenciu série na koncoch nájdeného intervalu.

Najskôr vezmeme ľavý koniec intervalu a dosadíme ho do našej výkonovej rady:

Kedy

Je prijatý číselný rad a musíme ho preskúmať z hľadiska konvergencie (problém už známy z predchádzajúcich lekcií).

1) Riadok sa strieda so znamienkami.
2) - členovia série klesajú v absolútnej hodnote. Navyše, každý nasledujúci termín série má menšiu absolútnu hodnotu ako ten predchádzajúci: teda pokles je monotónny.
Záver: séria konverguje.

Pomocou série modulov presne zistíme, ako:
- konverguje („referenčné“ rady z rodiny zovšeobecnených harmonických sérií).

Výsledná číselná rada teda absolútne konverguje.

o - zbieha sa.

! Pripomenúť že každá konvergenčná pozitívna séria je tiež absolútne konvergentná.

Energetický rad teda konverguje absolútne na oboch koncoch zisteného intervalu.

Odpoveď: oblasť konvergencie skúmaného výkonového radu:

Má právo na život a inú podobu odpovede: Séria konverguje, ak

Niekedy je vo výroku o probléme potrebné uviesť polomer konvergencie. Je zrejmé, že v uvažovanom príklade.

Príklad 2

Nájdite oblasť konvergencie výkonovej rady

Rozhodnutie: zistí sa interval konvergencie série cez d'Alembertov znak (ale nie podľa atribútu! - pre funkčné rady taký atribút neexistuje):

Séria konverguje k

Vľavo musíme odísť iba, takže obe strany nerovnosti vynásobíme 3:

- Riadok sa strieda.
– - členovia série klesajú v absolútnej hodnote. Každý ďalší termín série má menšiu absolútnu hodnotu ako ten predchádzajúci: teda pokles je monotónny.

Záver: séria konverguje.

Poďme to preskúmať pre charakter konvergencie:

Porovnajme tento riadok s rozchádzajúcim sa riadkom.
Používame limitujúce porovnávacie kritérium:

Získa sa konečné číslo, ktoré sa líši od nuly, čo znamená, že séria sa rozbieha spolu so sériou.

Séria teda podmienene konverguje.

2) Kedy - rozchádzajú sa (ako sa preukázalo).

Odpoveď: Konvergenčná oblasť skúmaného výkonového radu :. At, séria podmienečne konverguje.

V uvažovanom príklade je doména konvergencie výkonového radu polovičný interval a vo všetkých bodoch intervalu je energetický rad konverguje absolútne, a v tomto bode, ako sa ukázalo - podmienečne.

Príklad 3

Nájdite interval konvergencie výkonových radov a preskúmajte jeho konvergenciu na koncoch nájdeného intervalu

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov.

Pozrime sa na pár príkladov, ktoré sú zriedkavé, ale vyskytujú sa.

Príklad 4

Vyhľadajte oblasť konvergencie série:

Rozhodnutie: pomocou d'Alembertovho testu nájdeme konvergenčný interval tejto série:

(1) Zložíme pomer ďalšieho člena série k predchádzajúcemu.

(2) Zbavenie sa štvorpodlažnej frakcie.

(3) Kocky a podľa pravidla akcií s titulmi sa spočítajú do jedného stupňa. V čitateli chytro rozširujeme stupeň, t.j. rozšíriť tak, aby sa v nasledujúcom kroku podiel znížil o. Faktoriály popisujeme podrobne.

(4) Pod kockou vydelte čitateľa výrazom menovateľa každým výrazom, čo naznačuje, že. Zlomkom redukujeme všetko, čo sa dá zmenšiť. Faktor je vyňatý z limitu, dá sa vyňať, pretože v ňom nie je nič, čo by záviselo od „dynamickej“ premennej „en“. Upozorňujeme, že značka modulu sa nekreslí - z dôvodu, že pre každé písmeno „x“ nadobúda nezáporné hodnoty.

V limite sa získa nula, čo znamená, že možno dať konečnú odpoveď:

Odpoveď: Séria konverguje k

A spočiatku sa zdalo, že tento riadok so „strašnou náplňou“ bude ťažké vyriešiť. Nula alebo nekonečno na hranici je takmer darom, pretože riešenie je výrazne redukované!

Príklad 5

Nájdite oblasť konvergencie série

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Buďte opatrní ;-) Odpoveď na úplné riešenie na konci tutoriálu.

Zvážme niekoľko ďalších príkladov, ktoré obsahujú prvok novinky z hľadiska použitia techník.

Príklad 6

Nájdite interval konvergencie série a preskúmajte jeho konvergenciu na koncoch nájdeného intervalu

Rozhodnutie: Spoločný výraz výkonovej rady obsahuje faktor, ktorý zaisťuje striedanie znamienok. Algoritmus riešenia je plne zachovaný, ale pri zostavovaní limitu tento faktor ignorujeme (nepíšeme), pretože modul eliminuje všetky „mínusy“.

Interval konvergencie série nájdeme pomocou d'Alembertovho testu:

Skladáme štandardnú nerovnosť:
Séria konverguje k
Vľavo musíme odísť iba modul, takže obe strany nerovnosti vynásobíme 5:

Teraz modul otvárame známym spôsobom:

Uprostred dvojitej nerovnosti by malo zostať iba „x“, na tento účel od každej časti nerovnosti odpočítame 2:

- interval konvergencie skúmaného výkonového radu.

Pozrime sa na konvergenciu série na koncoch nájdeného intervalu:

1) Nahraďte hodnotu v našom výkonovom rade :

Buďte mimoriadne opatrní, multiplikátor neposkytuje striedanie znakov pre žiadne prirodzené „en“. Výsledné mínus vezmeme mimo radu a zabudneme na to, pretože (ako každý konštantný multiplikátor) nijako neovplyvňuje konvergenciu alebo divergenciu číselného radu.

Ešte raz si všimniteže v priebehu substitúcie hodnoty v spoločnom termíne výkonového radu sa faktor znížil. Ak by sa tak nestalo, znamenalo by to, že sme limit vypočítali nesprávne alebo modul nesprávne rozšírili.

Je teda potrebné preskúmať konvergenciu číselných radov. Tu je najjednoduchšie použiť kritérium obmedzujúceho porovnania a porovnať túto sériu s rozchádzajúcimi sa harmonickými radmi. Ale, aby som bol úprimný, som z konečného porovnávacieho znamenia strašne unavený, takže riešenie ešte doplním.

Séria teda konverguje k

Vynásobte obe strany nerovnosti číslom 9:

Extrahujeme koreň z oboch častí, pričom si pamätáme vtip zo starej školy:


Rozbaľte modul:

a pridať jednu do všetkých častí:

- interval konvergencie skúmaného výkonového radu.

Poďme preskúmať konvergenciu výkonových radov na koncoch nájdeného intervalu:

1) Ak, potom sa získa nasledujúci číselný rad:

Multiplikátor zmizol bez stopy, pretože pri akejkoľvek prírodnej hodnote „en“.

4.1. Funkčné rady: základné pojmy, oblasť konvergencie

Definícia 1... Rad, ktorého členmi sú funkcie jedného alebo
volá sa niekoľko nezávislých premenných definovaných na nejakej množine funkčný rozsah.

Uvažujme o funkčnej rade, ktorej členmi sú funkcie jednej nezávislej premennej x... Súčet prvého n členov radu je čiastočný súčet danej funkčnej rady. Spoločný člen existuje funkcia z xdefinované v určitej oblasti. Zvážte v tomto okamihu funkčnú sériu ... Ak zodpovedajúci číselný rad konverguje, t.j. existuje limit čiastkových súčtov tejto série
(Kde Je súčtom číselného radu), potom sa bod volá konvergenčný bod funkčný rozsah ... Ak číselný rad sa rozchádza, potom sa bod volá bod divergencie funkčný rozsah.

Definícia 2. Konvergenčný región funkčný rozsah je množina všetkých takýchto hodnôt xpre ktoré sa funkčná rada zbieha. Označí sa oblasť konvergencie pozostávajúca zo všetkých bodov konvergencie ... Poznač si to R.

Funkčný rozsah sa v oblasti zbieha ak pre nejaké konverguje ako číselný rad a jeho súčtom bude nejaká funkcia ... Jedná sa o tzv limitná funkcia sekvencie : .

Ako nájsť oblasť konvergencie funkčnej série ? Môžete použiť znak podobný znaku d'Alembert. Pre číslo makeup a zvážte stanovený limit x:
... Potom je riešením nerovnosti a riešenie rovnice (berieme iba tie riešenia rovnice v
ktoré sa zhodujú zodpovedajúce číselné rady).

Príklad 1... Nájdite oblasť konvergencie série.

Rozhodnutie... Označujeme , ... Zostavme a vypočítajme limit, potom oblasť konvergencie série určíme nerovnosťou a rovnica ... Pozrime sa ďalej na konvergenciu pôvodnej série v bodoch, ktoré sú koreňmi rovnice:

čo ak , , potom dostaneme rozchádzajúcu sa sériu ;

b) ak , , potom séria podmienečne konverguje (o

leibnizov znak, príklad 1, prednáška 3, sek. 3.1).

Teda oblasť konvergencie riadok vyzerá takto: .

4.2. Mocenské rady: základné pojmy, Ábelova veta

Zvážte špeciálny prípad funkčnej série, tzv výkonové rady kde
.

Definícia 3. Silová séria nazýva sa funkčná séria formy,

kde neustále čísla volané - koeficienty série.

Silový rad je „nekonečný polynóm“, ktorý sa nachádza vo zvyšujúcich sa stupňoch ... Ľubovoľný číselný rad je
špeciálny prípad výkonovej série pre .

Zvážte špeciálny prípad výkonovej série pre :
... Poďme zistiť, akú má formu
konvergenčný región danej série .

Veta 1 (Ábelova veta)... 1) Ak je výkonová séria konverguje v bode , potom absolútne konverguje xpre ktoré je nerovnosť .

2) Ak sa energetický rad rozchádza na , potom sa u každého rozchádza x, pre ktoré .

Dôkazy... 1) Hypotézou sa energetický rad v bode zbieha ,

tj číselná rada konverguje

(1)

a potrebným kritériom konvergencie má jeho spoločný pojem tendenciu k 0, t.j. ... Preto existuje také číslo že všetci členovia série sú obmedzení na tento počet:
.

Zvážte teraz akékoľvek x, pre ktoré , a zostavte rad absolútnych hodnôt :.
Poďme túto sériu napísať v inej podobe: od , potom (2).

Z nerovnosti
dostaneme, t.j. riadok

pozostáva z členov, ktorí sú väčší ako zodpovedajúci členovia série (2). Riadok je zbiehajúca sa geometrická rada s menovateľom a , pretože ... Séria (2) teda konverguje pre ... Teda výkonová séria absolútne konverguje.

2) Nechajte sériu rozchádza sa pri , inými slovami,

číselná rada sa rozchádza ... Dokážme to pre každú x () séria sa rozchádza. Dôkazom je rozpor. Nechajte pre niektoré

pevné ( ) séria konverguje, potom konverguje pre všetkých (pozri prvú časť tejto vety), najmä pre, čo je v rozpore s podmienkou 2) vety 1. Veta je dokázaná.

Dôsledok... Ábelova veta umožňuje človeku posúdiť polohu bodu konvergencie výkonovej rady. Ak bod je konvergenčný bod výkonového radu, potom interval naplnené bodmi konvergencie; ak bodom divergencie je bod potom
nekonečné intervaly vyplnené bodmi divergencie (obr. 1).

Obrázok: 1. Intervaly konvergencie a divergencie série

Je možné preukázať, že existuje také číslo to pre všetkých
výkonové rady konverguje absolútne a pre - rozchádzajú sa. Budeme predpokladať, že ak sa séria zbieha iba v jednom bode 0, potom , a ak sa séria konverguje pre všetkých potom .

Definícia 4. Konvergenčný interval výkonové rady tento interval sa volá to pre všetkých táto séria konverguje a navyše absolútne a pre všetkých xležiace mimo tohto intervalu sa séria rozchádzajú. Číslo R zavolal polomer konvergencie výkonové rady.

Komentovať... Na konci intervalu otázka konvergencie alebo divergencie výkonového radu sa rieši osobitne pre každú konkrétnu sériu.

Ukážme si jeden zo spôsobov, ako určiť interval a polomer konvergencie výkonového radu.

Zvážte výkonovú sériu a označiť .

Zostavme rad absolútnych hodnôt jej členov:

a použiť na ňu znak d'Alembert.

Nech je

.

Podľa funkcie d'Alembert sa séria zbližuje, ak , a líšia sa, ak ... Preto séria konverguje k, potom konvergenčný interval: ... Pretože sa séria od tej doby rozchádza .
Pomocou notácie , získame vzorec na určenie polomeru konvergencie výkonového radu:

,

kde Sú koeficienty výkonovej rady.

Ak sa ukáže, že limit , potom predpokladáme .

Na určenie intervalu a polomeru konvergencie výkonového radu môžete použiť aj radikálny Cauchyov test, polomer konvergencie radu sa určí zo vzťahu .

Definícia 5. Zovšeobecnené výkonové rady nazval rad formulára

... Nazýva sa to aj stupňami .
Pre takúto sériu má interval konvergencie tvar: kde Je polomer konvergencie.

Ukážme, ako sa nachádza polomer konvergencie pre zovšeobecnený výkonový rad.

tie. kde .

Ak potom a región konvergencie R; ak potom a konvergenčný región .

Príklad 2... Nájdite oblasť konvergencie série .

Rozhodnutie... Označujeme ... Urobme limit

Nerovnosť riešime: , , teda interval

konvergencia má formu: a R \u003d 5. Ďalej skúmame konce konvergenčného intervalu:
a) , , dostaneme sériu to sa rozchádza;
b) , , dostaneme sériu ktorý konverguje
podmienečne. Región konvergencie teda je: , .

Odpoveď: konvergenčný región .

Príklad 3. Riadok pre každého sa rozchádza , pretože o , polomer konvergencie .

Príklad 4. Séria konverguje pre všetky R, polomer konvergencie .