Riešenie zlomkovo racionálnych trigonometrických rovníc. Riešenie goniometrických rovníc. Ako riešiť trigonometrické rovnice

Metódy riešenia trigonometrické rovnice.

Riešenie goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch fáz: transformácia rovníc aby to bolo čo najjednoduchšie pohľad (pozri vyššie) a Riešeniezískané najjednoduchšie goniometrická rovnica. Je ich sedem základné metódy riešenia goniometrických rovníc.

1. Algebraická metóda.

(variabilná substitúcia a substitučná metóda).

2. Faktoring.

PRI me R 1. Vyriešte rovnicu: hriech X+ cos X = 1 .

Riešenie. Posuňte všetky výrazy rovnice doľava:

Hriech X+ cos X – 1 = 0 ,

Transformujeme a faktorizujeme výraz v

Ľavá strana rovnice:

PRI me R 2. Vyriešte rovnicu: cos 2 X+ hriech X Cos X = 1.

RIEŠENIE cos 2 X+ hriech X Cos X– hriech 2 X- pretože 2 X = 0 ,

Hriech X Cos X– hriech 2 X = 0 ,

Hriech X(Cos X– hriech X ) = 0 ,

PRI me R 3. Vyriešte rovnicu: pretože 2 X- pretože 8 X+ pretože 6 X = 1.

RIEŠENIE cos 2 X+ pretože 6 X= 1 + cos 8 X,

2 cos 4 X pretože 2 X= 2 cos² 4 X ,

Pretože 4 X · (pretože 2 X- pretože 4 X) = 0 ,

Pretože 4 X 2 hriech 3 X Hriech X = 0 ,

1). pretože 4 X= 0, 2). hriech 3 X= 0, 3). hriech X = 0 ,

3. Prinášame do homogénna rovnica. Rovnica zavolal homogénny od vzťahovo hriech a cos , keby celý on členov rovnakého stupňa s ohľadom na hriech a cos rovnaký uhol... Na vyriešenie homogénnej rovnice potrebujete: a) presuňte všetky jeho členy na ľavú stranu; b) vyberte zo zátvoriek všetky bežné faktory; v) prirovnať všetky faktory a zátvorky k nule; G) zátvorky rovnajúce sa nule dávajú homogénna rovnica menšieho stupňa, ktorú by sme mali rozdeliť cos(alebo hriech) v seniorskom stupni; d) vyriešte výslednú algebraickú rovnicu vzhľadom natan . hriech 2 X+ 4 hriechy X Cos X+ 5 cos 2 X = 2. RIEŠENIE. 3sin 2 X+ 4 hriechy X Cos X+ 5 cos 2 X= 2sin 2 X+ 2cos 2 X , Hriech 2 X+ 4 hriechy X Cos X+ 3 cos 2 X = 0 , Tan 2 X+ 4 tan X + 3 = 0 , odtiaľ r 2 + 4r +3 = 0 , Korene tejto rovnice sú:r 1 = - 1, r 2 = - 3, preto 1) opálenie X= –1, 2) pálenie X = –3,

4. Presuňte sa do polovičného rohu.

Uvažujme o tejto metóde na príklade:

PRÍKLAD Vyriešte rovnicu: 3 hriech X- 5 cos X = 7.

RIEŠENIE.6 hriech ( X/ 2) cos ( X/ 2) - 5 cos ² ( X/ 2) + 5 hriechov ² ( X/ 2) =

7 hriechov ² ( X/ 2) + 7 cos ² ( X/ 2) ,

2 hriech ² ( X/ 2) - 6 hriechov ( X/ 2) cos ( X/ 2) + 12 cos ² ( X/ 2) = 0 ,

tan ² ( X/ 2) - 3 tan ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Zavedenie pomocného uhla.

Uvažujme o rovnici tvaru:

a hriech X + b cos X = c ,

Kde a, b, c- koeficienty;X- neznámy.

Teraz majú koeficienty rovnice vlastnosti sínus a kosínus, totiž: modul (absolútna hodnota) každého z nich z toho nie viac ako 1, a súčet ich štvorcov je 1. Potom môžeme označiť resp ako cos a hriech (tu - tzv pomocný roh) avezmite našu rovnicu

V tejto lekcii sa pozrieme na základné trigonometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy a tiež zoznam základné typy trigonometrických rovníc a systémov... Okrem toho uvádzame všeobecné riešenia najjednoduchších trigonometrických rovníc a ich špeciálne prípady.

Táto lekcia vám pomôže pripraviť sa na jeden z typov úloh. B5 a C1.

Príprava na skúšku z matematiky

Experiment

Lekcia 10. Trigonometrické funkcie. Trigonometrické rovnice a ich systémy.

Teória

Zhrnutie lekcie

Pojem „goniometrická funkcia“ sme už použili mnohokrát. Už v prvej lekcii tejto témy sme ich definovali pomocou správny trojuholník a singel trigonometrický kruh... Použitím takýchto metód nastavenia trigonometrických funkcií už môžeme dospieť k záveru, že pre nich presne jedna hodnota funkcie zodpovedá jednej hodnote argumentu (alebo uhla), t.j. máme právo nazývať sínusové, kosínusové, dotykové a kotangentové funkcie.

V tejto lekcii je načase pokúsiť sa abstrahovať od predtým uvažovaných metód výpočtu hodnôt goniometrických funkcií. Dnes prejdeme k obvyklému algebraickému prístupu k práci s funkciami, pozrieme sa na ich vlastnosti a nakreslíme grafy.

Pokiaľ ide o vlastnosti trigonometrických funkcií, osobitná pozornosť by sa mala venovať:

Doména definície a rozsahu hodnôt, od pre sínus a kosínus existujú limity rozsahu hodnôt a pre dotyčnicu a kotangens sú limity rozsahu definície;

Periodicita všetkých trigonometrických funkcií, pretože už sme zaznamenali prítomnosť najmenšieho nenulového argumentu, ktorého pridanie nemení hodnotu funkcie. Takýto argument sa nazýva obdobie funkcie a označuje sa písmenom. Pre sínus / kosínus a tangens / kotangens sú tieto obdobia odlišné.

Zvážte funkciu:

1) Rozsah definície;

2) Rozsah hodnôt ;

3) Funkcia je nepárna ;

Vykreslíme si funkciu. V tomto prípade je vhodné začať vykresľovať z obrazu oblasti, ktorá obmedzuje graf zhora číslom 1 a zospodu číslom, ktoré súvisí s rozsahom hodnôt funkcie. Okrem toho je pri vykresľovaní užitočné zapamätať si hodnoty sínusov niekoľkých hlavných uhlov tabuľky, napríklad to, že vám to umožní zostaviť prvú úplnú „vlnu“ grafu a potom ho prekresliť doprava a odišiel, pričom využije skutočnosť, že obrázok sa bude opakovať s posunom o bodku, tj na.

Teraz sa pozrime na funkciu:

Hlavné vlastnosti tejto funkcie:

1) Rozsah definície;

2) Rozsah hodnôt ;

3) Funkcia je rovnomerná To znamená symetriu grafu funkcie vzhľadom na súradnicu;

4) Funkcia nie je monotónna v celej svojej oblasti definície;

Vykreslíme si funkciu. Rovnako ako pri vykresľovaní sínusu je vhodné začať obrázkom oblasti, ktorá ohraničuje graf v hornej časti číslom 1 a v spodnej časti číslom, ktorý súvisí s rozsahom hodnôt funkcie. . Do grafu zakreslíme aj súradnice viacerých bodov, pre ktoré je potrebné si zapamätať hodnoty kosínusov niekoľkých základných uhlov tabuľky, napríklad pomocou týchto bodov môžeme zostrojiť prvú plnú „vlnu“ ”Grafu a potom ho prekreslite doprava a doľava s tým, že obrázok sa bude opakovať s bodovým posunom, t.j. na.

Prejdeme k funkcii:

Hlavné vlastnosti tejto funkcie:

1) Definičná doména okrem prípadov, kde. Na predchádzajúce lekcie sme už poukázali, že neexistuje. Toto tvrdenie je možné zovšeobecniť s prihliadnutím na dobu dotyčnice;

2) Rozsah hodnôt, t.j. dotykové hodnoty nie sú obmedzené;

3) Funkcia je nepárna ;

4) Funkcia sa monotónne zvyšuje v rámci svojich takzvaných vetiev dotyčnice, ktoré teraz uvidíme na obrázku;

5) Funkcia je periodická s bodkou

Vykreslíme si funkciu. V tomto prípade je vhodné začať vykresľovať z obrazu vertikálnych asymptot grafu v bodoch, ktoré nie sú zahrnuté v definičnej oblasti, t.j. atď. Ďalej zobrazíme vetvy dotyčnice vo vnútri každého z pruhov tvorených asymptotami a zatlačíme ich na ľavú asymptotu a napravo. Zároveň nezabúdajte, že každá vetva sa monotónne zvyšuje. Všetky vetvy nakreslíme rovnakým spôsobom, pretože funkcia má periódu rovnajúcu sa. To je zrejmé zo skutočnosti, že každá vetva sa získa posunutím susednej pozdĺž osi x.

A na záver skúmame funkciu:

Hlavné vlastnosti tejto funkcie:

1) Definičná doména okrem prípadov, kde. Z tabuľky hodnôt trigonometrických funkcií už vieme, že neexistuje. Toto tvrdenie je možné zovšeobecniť vzhľadom na kotangentné obdobie;

2) Rozsah hodnôt, t.j. hodnoty kotangensu nie sú obmedzené;

3) Funkcia je nepárna ;

4) Funkcia monotónne klesá vo svojich vetvách, ktoré sú podobné vetvám dotyčnice;

5) Funkcia je periodická s bodkou

Vykreslíme si funkciu. V tomto prípade, pokiaľ ide o tangens, je vhodné začať vykresľovať z obrazu vertikálnych asymptot grafu v bodoch, ktoré nie sú zahrnuté v definičnej oblasti, t.j. atď. Ďalej zobrazíme vetvy kotangensu vo vnútri každého z pruhov tvorených asymptotami a zatlačíme ich na ľavú asymptotu a napravo. V tomto prípade vezmeme do úvahy, že každá vetva monotónne klesá. Všetky vetvy, podobne ako tangens, sú zobrazené rovnakým spôsobom, pretože funkcia má periódu rovnajúcu sa.

Samostatne je potrebné poznamenať, že goniometrické funkcie so zložitým argumentom môžu mať neštandardnú periódu. Hovoríme o funkciách formulára:

Ich obdobie je rovnaké. A o funkciách:

Ich obdobie je rovnaké.

Ako vidíte, na výpočet nového obdobia sa štandardné obdobie jednoducho vynásobí argumentom. Nezáleží na iných modifikáciách funkcie.

V lekcii o vykresľovaní a transformovaní funkčných grafov sa môžete dozvedieť viac o tom, odkiaľ tieto vzorce pochádzajú, a porozumieť im.

Dostali sme sa k jednej z najdôležitejších častí témy „Trigonometria“, ktorú budeme venovať riešeniu goniometrických rovníc. Schopnosť riešiť takéto rovnice je dôležitá napríklad pri popise oscilačných procesov vo fyzike. Predstavte si, že ste v športovom aute odjazdili niekoľko kôl na motokáre, riešenie trigonometrickej rovnice pomôže určiť, ako dlho sa už zúčastňujete pretekov, v závislosti od polohy auta na trati.

Napíšte najjednoduchšiu trigonometrickú rovnicu:

Riešením takejto rovnice sú argumenty, ktorých sínus sa rovná. Ale už vieme, že kvôli periodicite sinu existuje takýchto argumentov nekonečné množstvo. Riešením tejto rovnice teda bude atď. To isté platí pre riešenie akejkoľvek inej najjednoduchšej trigonometrickej rovnice, bude ich nekonečný počet.

Trigonometrické rovnice sú rozdelené do niekoľkých základných typov. Samostatne by sme sa mali zaoberať najjednoduchším, tk. všetok zvyšok sa im rozvarí. Existujú štyri také rovnice (podľa počtu základných trigonometrických funkcií). Všeobecné riešenia sú pre ne známe, treba ich pamätať.

Najjednoduchšie trigonometrické rovnice a ich všeobecné riešenia vyzeraj takto:

Upozorňujeme, že musíme vziať do úvahy známe obmedzenia hodnôt sínusu a kosínu. Ak napríklad „rovnica nemá žiadne riešenia a uvedený vzorec by sa nemal používať.

Uvedené koreňové vzorce navyše obsahujú parameter vo forme ľubovoľného celého čísla. V. školské osnovy toto je jediný prípad, keď riešenie rovnice bez parametra obsahuje parameter. Toto ľubovoľné celé číslo ukazuje, že je možné zapísať nekonečný počet koreňov ktorejkoľvek z vyššie uvedených rovníc jednoduchým nahradením všetkých celých čísel namiesto nich.

S podrobným príjmom týchto vzorcov sa môžete zoznámiť opakovaním kapitoly „Trigonometrické rovnice“ v programe algebry 10. ročníka.

Samostatne je potrebné venovať pozornosť riešeniu konkrétnych prípadov najjednoduchších rovníc so sínusom a kosínom. Tieto rovnice sú:

Nemali by sa na ne vzťahovať všeobecné vzorce roztokov. Takéto rovnice sa najvýhodnejšie riešia pomocou goniometrického kruhu, ktorý dáva jednoduchší výsledok ako vzorce pre všeobecné riešenia.

Napríklad riešenie rovnice je ... Pokúste sa získať túto odpoveď sami a vyriešte ostatné vyššie uvedené rovnice.

Okrem uvedeného najbežnejšieho typu trigonometrických rovníc existuje ešte niekoľko štandardných. Uvádzajme ich v zozname s prihliadnutím na tie, ktoré sme už uviedli:

1) Najjednoduchšie, napríklad, ;

2) Špecifické prípady najjednoduchších rovníc, napríklad, ;

3) Zložité rovnice argumentov, napríklad, ;

4) Rovnice redukujúce na najjednoduchší spôsob výpočtu spoločného faktora, napríklad, ;

5) Rovnice, ktoré sa najjednoduchším spôsobom redukujú transformáciou goniometrických funkcií, napríklad, ;

6) Rovnice redukujúce na najjednoduchšie pomocou substitúcie, napríklad, ;

7) Homogénne rovnice, napríklad, ;

8) Rovnice riešené pomocou vlastností funkcií, napríklad, ... Nebojte sa, že v tejto rovnici sú dve premenné, rieši sa to súčasne;

Rovnako ako rovnice, ktoré sú riešené rôznymi metódami.

Okrem riešenia trigonometrických rovníc musíte byť schopní vyriešiť aj ich systémy.

Najbežnejšie systémy nasledujúcich typov:

1) V ktorej jednou z rovníc je sila, napríklad, ;

2) Systémy najjednoduchších goniometrických rovníc, napríklad, .

V dnešnej lekcii sme sa pozreli na základné trigonometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy. A tiež sa zoznámil so všeobecnými vzorcami na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc, naznačil hlavné typy týchto rovníc a ich systémy.

V praktickej časti hodiny analyzujeme metódy riešenia trigonometrických rovníc a ich systémy.

Rámček 1.Riešenie konkrétnych prípadov najjednoduchších trigonometrických rovníc.

Ako sme už povedali v hlavnej časti hodiny, špeciálne prípady goniometrických rovníc so sínusom a kosínusom tvaru:

mať viac jednoduché riešenia než poskytujú vzorce pre všeobecné roztoky.

Na tento účel sa používa goniometrický kruh. Analyzujme metódu ich riešenia pomocou príkladu rovnice.

Nakreslite na goniometrický kruh bod, v ktorom je kosínusová hodnota rovná nule, je to tiež súradnica pozdĺž osi x. Ako vidíte, existujú dva také body. Našou úlohou je naznačiť, aký je uhol, ktorý zodpovedá týmto bodom v kruhu.

Začíname počítať od kladného smeru osi x (kosínusová os) a pri vykresľovaní uhla sa dostaneme k prvému zobrazenému bodu, t.j. jedným z riešení by bola táto hodnota uhla. Ale stále sme spokojní s uhlom, ktorý zodpovedá druhému bodu. Ako sa do toho dostať?

Príklady:

\ (2 \ sin (⁡x) = \ sqrt (3) \)
tg \ ((3x) = - \) \ (\ frac (1) (\ sqrt (3)) \)
\ (4 \ cos ^ 2⁡x + 4 \ sin⁡x-1 = 0 \)
\ (\ cos⁡4x + 3 \ cos⁡2x = 1 \)

Ako vyriešiť trigonometrické rovnice:

Akákoľvek trigonometrická rovnica by mala byť redukovaná na jeden z nasledujúcich typov:

\ (\ sin⁡t = a \), \ (\ cos⁡t = a \), tg \ (t = a \), ctg \ (t = a \)

kde \ (t \) je výraz s x, \ (a \) je číslo. Takéto trigonometrické rovnice sa nazývajú najjednoduchšie... Dajú sa ľahko vyriešiť pomocou () alebo špeciálnych vzorcov:

Infografiku o riešení najjednoduchších trigonometrických rovníc nájdete tu :, a.

Príklad ... Vyriešte goniometrickú rovnicu \ (\ sin⁡x = - \) \ (\ frac (1) (2) \).
Riešenie:

Odpoveď: \ (\ left [\ begin (zhromaždené) x = - \ frac (π) (6) + 2πk, \\ x = - \ frac (5π) (6) + 2πn, \ end (zhromaždené) \ right. \) \ (k, n∈Z \)

Čo znamená každý symbol vo vzorci pre korene trigonometrických rovníc, pozri.

Pozor! Rovnice \ (\ sin⁡x = a \) a \ (\ cos⁡x = a \) nemajú žiadne riešenia, ak \ (a ϵ (-∞; -1) ∪ (1; ∞) \). Pretože sínus a kosínus pre akékoľvek x je väčšie alebo rovné \ (- 1 \) a menšie alebo rovné \ (1 \):

\ (- 1≤ \ sin x≤1 \) \ (- 1≤ \ cos⁡x≤1 \)

Príklad ... Vyriešte rovnicu \ (\ cos⁡x = -1,1 \).
Riešenie: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Odpoveď : žiadne riešenia.

Príklad ... Vyriešte goniometrickú rovnicu tg \ (⁡x = 1 \).
Riešenie:

Vyriešme rovnicu pomocou číselného kruhu. Pre to: 1) Vytvorte kruh) 2) Zostrojte osy \ (x \) a \ (y \) a dotyčnicovú os (prechádza bodom \ ((0; 1) \) rovnobežne s osou \ (y \)). 3) Na dotykovej osi označte bod \ (1 \). 4) Spojme tento bod a počiatok - priamku. 5) Označme priesečníky tejto čiary a číselnej kružnice. 6) Podpíšeme hodnoty týchto bodov: \ (\ frac (π) (4) \), \ (\ frac (5π) (4) \) 7) Zapíšeme si všetky hodnoty týchto bodov. Pretože sú od seba vo vzdialenosti presne \ (π \), všetky hodnoty možno zapísať do jedného vzorca:

Odpoveď: \ (x = \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ πk \), \ (k∈Z \).

Príklad ... Vyriešte goniometrickú rovnicu \ (\ cos⁡ (3x + \ frac (π) (4)) = 0 \).
Riešenie:

Znova použijeme kruh s číslami. 1) Zostrojte kruh, osi \ (x \) a \ (y \). 2) Na kosínovej osi (osi \ (x \)) označíme \ (0 \). 3) Nakreslite kolmicu na kosínusovú os cez tento bod. 4) Označme priesečníky kolmice a kružnice. 5) Podpíšeme hodnoty týchto bodov: \ (- \) \ (\ frac (π) (2) \), \ (\ frac (π) (2) \). 6) Vypíšeme všetku hodnotu týchto bodov a prirovnáme ich ku kosínu (k tomu, ktorý je v kosine). \ (3x + \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (= ± \) \ (\ frac (π) (2) \) \ ( + 2πk \), \ (k∈Z \) \ (3x + \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (= \) \ (\ frac (π) (2) \) \ ( + 2πk \) \ (3x + \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (= - \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \) 8) Ako obvykle, v rovniciach vyjadríme \ (x \). Nezabudnite ošetrovať čísla \ (π \), ako aj \ (1 \), \ (2 \), \ (\ frac (1) (4) \) atď. Toto sú rovnaké čísla ako všetky ostatné. Žiadna numerická diskriminácia! \ (3x = - \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \) \ (3x = - \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \) \ (3x = \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ 2πk \) \ (|: 3 \) \ (3x = - \) \ (\ frac (3π) (4) \) \ (+ 2πk \) \ (|: 3 \) \ (x = \) \ (\ frac (π) (12) \) \ (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \) \ (x = - \) \ (\ frac (π) ( 4) \) \ (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \)

Odpoveď: \ (x = \) \ (\ frac (π) (12) \) \ (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \) \ (x = - \) \ (\ frac (π) ( 4) \) \ (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \), \ (k∈Z \).

Zníženie trigonometrických rovníc na najjednoduchšie je kreatívna úloha, na ktorú musíte použiť a špeciálne metódy na riešenie rovníc:
- metóda (najobľúbenejšia na skúške).
- metóda.
- Metóda pomocných argumentov.

Zoberme si príklad riešenia štvorcovej trigonometrickej rovnice

Príklad ... Vyriešte goniometrickú rovnicu \ (2 \ cos ^ 2⁡x-5 \ cos⁡x + 2 = 0 \)
Riešenie:

\ (2 \ cos ^ 2⁡x-5 \ cos⁡x + 2 = 0 \)	Urobme náhradu \ (t = \ cos⁡x \).
	Naša rovnica sa stala typickou. Môžete to vyriešiť pomocou.
\ (D = 25-4 \ cdot 2 \ cdot 2 = 25-16 = 9 \)
\ (t_1 = \) \ (\ frac (5-3) (4) \) \ (= \) \ (\ frac (1) (2) \); \ (t_2 = \) \ (\ frac (5 + 3) (4) \) \ (= 2 \)	Vykonávame opačnú výmenu.
\ (\ cos⁡x = \) \ (\ frac (1) (2) \); \ (\ cos⁡x = 2 \)	Vyriešte prvú rovnicu pomocou číselného kruhu. Druhá rovnica nemá žiadne riešenia, pretože \ (\ cos⁡x∈ [-1; 1] \) a nemôže sa rovnať dvom pre akékoľvek x.
	Poznamenajme si všetky čísla ležiace na týchto miestach.

Odpoveď: \ (x = ± \) \ (\ frac (π) (3) \) \ (+ 2πk \), \ (k∈Z \).

Príklad riešenia goniometrickej rovnice štúdiom ODZ:

Príklad (skúška) ... Vyriešte goniometrickú rovnicu \ (= 0 \)

\ (\ frac (2 \ cos ^ 2⁡x- \ sin (⁡2x)) (ctg x) \)\(=0\)	Ak je zlomok a existuje kotangens, musíte ho zapísať. Pripomínam, že kotangens je v skutočnosti zlomok: ctg \ (x = \) \ (\ frac (\ cos⁡x) (\ sin⁡x) \) Preto ODZ pre ctg \ (x \): \ (\ sin⁡x ≠ 0 \).
ODZ: ctg \ (x ≠ 0 \); \ (\ sin⁡x ≠ 0 \) \ (x ≠ ± \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \); \ (x ≠ πn \); \ (k, n∈Z \)	Označme „neriešenia“ v číselnom kruhu.
\ (\ frac (2 \ cos ^ 2⁡x- \ sin (⁡2x)) (ctg x) \)\(=0\)	Zbavme sa menovateľa v rovnici vynásobením ctg \ (x \). Môžeme to urobiť, pretože vyššie sme napísali, že ctg \ (x ≠ 0 \).
\ (2 \ cos ^ 2⁡x- \ sin⁡ (2x) = 0 \)	Použite vzorec sínusu s dvojitým uhlom: \ (\ sin⁡ (2x) = 2 \ sin⁡x \ cos⁡x \).
\ (2 \ cos ^ 2⁡x-2 \ sin⁡x \ cos⁡x = 0 \)	Ak máte ruky vystreté na delenie kosínusom - stiahnite ich späť! Ak nie je presne nula, môžete rozdeliť na výraz s premennou (napríklad ako \ (x ^ 2 + 1,5 ^ x \)). Namiesto toho vložte \ (\ cos⁡x \) mimo zátvorky.
\ (\ cos⁡x (2 \ cos⁡x-2 \ sin⁡x) = 0 \)	„Rozdelíme“ rovnicu na dve.
\ (\ cos⁡x = 0 \); \ (2 \ cos⁡x-2 \ sin⁡x = 0 \)	Vyriešte prvú rovnicu pomocou číselného kruhu. Rozdeľte druhú rovnicu \ (2 \) a presuňte \ (\ sin⁡x \) na pravú stranu.
\ (x = ± \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \), \ (k∈Z \). \ (\ cos⁡x = \ sin⁡x \)	Korene, ktoré sa ukázali, nie sú zahrnuté v LDZ. Preto ich v odpovedi nezapíšeme. Druhá rovnica je typická. Rozdeľte ho \ (\ sin⁡x \) (\ (\ sin⁡x = 0 \) nemôže byť riešením rovnice, pretože v tomto prípade \ (\ cos⁡x = 1 \) alebo \ (\ cos⁡ x = -1 \)).
	Znova použite kruh.
\ (x = \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ πn \), \ (n∈Z \)	Tieto korene ODZ nevylučuje, takže ich môžete napísať ako odpoveď.

Odpoveď: \ (x = \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ πn \), \ (n∈Z \).

Trieda: 10

„Rovnice budú trvať navždy.“

A. Einstein

Ciele lekcie:

• Vzdelávacie:
  • prehĺbenie porozumenia metódam riešenia trigonometrických rovníc;
  • rozvíjať schopnosti rozlišovať, správne vyberať spôsoby riešenia trigonometrických rovníc.
• Vzdelávacie:
  • podpora kognitívneho záujmu o vzdelávací proces;
  • formovanie schopnosti analyzovať úlohu;
  • prispieť k zlepšeniu psychologickej klímy v triede.
• Rozvíja sa:
  • prispieť k rozvoju zručnosti nezávislého získavania znalostí;
  • podporovať schopnosť študentov argumentovať svojim pohľadom;

Vybavenie: plagát so základnými trigonometrickými vzorcami, počítač, projektor, plátno.

1 lekcia

I. Aktualizácia základných znalostí

Vyriešte rovnice ústne:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = -;
4) sin2x = 0;
5) sinx = -;
6) sinx =;
7) tgx =;
8) cos 2 x - hriech 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x = ± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; až Z.

II. Učenie sa nového materiálu

- Dnes budeme uvažovať o zložitejších trigonometrických rovniciach. Zoberme si 10 spôsobov, ako ich vyriešiť. Ďalej budú nasledovať dve hodiny na konsolidáciu a ďalšia lekcia bude testovacou prácou. V stánku „K lekcii“ sú zverejnené úlohy, ktoré budú podobné testovacím prácam, a musíte ich vyriešiť pred testovacou prácou. (Deň pred testovaním umiestnite riešenia týchto úloh na stojan).

Prejdime teda k úvahám o spôsoboch riešenia trigonometrických rovníc. Niektoré z týchto metód sa vám pravdepodobne budú zdať ťažké, zatiaľ čo iné - ľahké, pretože niektoré techniky riešenia rovníc už poznáte.

Štyria študenti v triede dostali individuálnu úlohu: porozumieť a ukázať vám 4 spôsoby riešenia trigonometrických rovníc.

(Moderátori majú vopred pripravené snímky. Zvyšok triedy napíše hlavné kroky na riešenie rovníc do zošita.)

1 študent: 1 spôsob. Riešenie rovníc faktoringom

hrešiť 4x = 3 cos 2x

Na vyriešenie rovnice použijeme vzorec pre sínus dvojitého uhla sin 2 = 2 sin cos
2 hriechy 2x cos 2x - 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x - 3) = 0. Súčin týchto faktorov je nulový, ak je aspoň jeden z faktorov nulový.

2x = + k, k Z alebo sin 2x = 1,5 - neexistujú žiadne riešenia, pretože | hriech | 1
x = + k; až Z.
Odpoveď: x = + k, k Z.

2 študent. Metóda 2. Riešenie rovníc konverziou súčtu alebo rozdielu goniometrických funkcií na súčin

pretože 3x + hriech 2x - hriech 4x = 0.

Na vyriešenie rovnice použijeme vzorec sin– sin = 2 sin сos

pretože 3x + 2 hriechy = 0,

cos 3x - 2 hriechy x cos 3x = 0,

cos 3x (1 - 2 sinx) = 0. Výsledná rovnica je ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc:

Súbor riešení druhej rovnice je úplne zahrnutý v súbore riešení prvej rovnice. Prostriedky

Odpoveď:

3 študent. Metóda 3. Riešenie rovníc transformáciou súčinu goniometrických funkcií na súčet

hriech 5x cos 3x = hriech 6x cos2x.

Na vyriešenie rovnice použijeme vzorec

Odpoveď:

4 študent. Metóda 4. Riešenie rovníc, ktoré redukujú na kvadratické rovnice

3 hriechy x - 2 cos 2 x = 0,
3 hriechy x - 2 (1 - hriech 2 x) = 0,
2 hriechy 2 x + 3 hriechy x - 2 = 0,

Nech sin x = t, kde | t |. Dostaneme kvadratickú rovnicu 2t 2 + 3t - 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Teda. nespĺňa podmienku | t |.

Preto hriech x =. Preto .

Odpoveď:

III. Konsolidácia toho, čo sa naučil z učebnice A.N. Kolmogorova

1. Č. 164 (a), 167 (a) (kvadratická rovnica)
2. Č. 168 písm. A) (faktorizácia)
3. Č. 174 písm. A) (suma na konverziu produktu)
4. (prevod na súčet)

(Na konci hodiny ukážte riešenie týchto rovníc na obrazovke na overenie)

№ 164 a)

2 hriechy 2 x + hriech x - 1 = 0.
Nech sin x = t, | t | 1. Potom
2 t 2 + t - 1 = 0, t = - 1, t =. Kde

Odpoveď: - .

№ 167 a)

3 tg 2 x + 2 tg x - 1 = 0.

Nech tg x = 1, potom dostaneme rovnicu 3 t 2 + 2 t - 1 = 0.

Odpoveď:

№ 168 a)

Odpoveď:

№ 174 a)

Vyriešte rovnicu:

Odpoveď:

2 lekcie (lekcia-prednáška)

IV. Učenie sa nového materiálu(pokračovanie)

- Budeme teda pokračovať v štúdiu spôsobov riešenia trigonometrických rovníc.

Metóda 5. Riešenie homogénnych trigonometrických rovníc

Rovnice tvaru a sin x + b cos x = 0, kde a a b sú niektoré čísla, sa nazývajú homogénne rovnice prvého stupňa vzhľadom na sin x alebo cos x.

Zvážte rovnicu

sin x - cos x = 0... Vydeľte obe strany rovnice cos x. To sa dá urobiť, nedôjde k strate koreňov, pretože , ak cos x = 0, potom hriech x = 0... To však odporuje základnej trigonometrickej identite hriech 2 x + cos 2 x = 1.

Dostaneme tg x - 1 = 0.

tg x = 1,

Rovnice tvaru ako v 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0, kde a, b, c - niektoré čísla sa nazývajú homogénne rovnice druhého stupňa vzhľadom na sin x alebo cos x.

Zvážte rovnicu

sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Rozdeľte obe strany rovnice cos x a nedôjde k žiadnej strate koreňa, pretože cos x = 0 nie je koreňom tejto rovnice.

tg 2 x - 3tg x + 2 = 0.

Nech tg x = t. D = 9 - 8 = 1.

Potom teda tg x = 2 alebo tg x = 1.

Výsledkom je, že x = arktán 2 +, x =

Odpoveď: arctg 2 +,

Uvažujme o ďalšej rovnici: 3 sin 2 x - 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Pravú stranu rovnice prepíšte ako 2 = 2 1 = 2 (sin 2 x + cos 2 x). Potom dostaneme:
3sin 2 x - 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x - 3sin x cos x + 4cos 2 x - 2sin 2 x - 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x - 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Prijatá 2 rovnica, ktorá už bola analyzovaná).

Odpoveď: arctg 2 + k,

Metóda 6. Riešenie lineárnych trigonometrických rovníc

Lineárna trigonometrická rovnica je rovnicou tvaru a sin x + b cos x = c, kde a, b, c sú niektoré čísla.

Zvážte rovnicu hriech x + cos x= – 1.
Prepíšeme rovnicu ako:

Vzhľadom na to a dostaneme:

Odpoveď:

Metóda 7. Predstavujeme ďalší argument

Výraz a cos x + b hriech x je možné previesť:

(Túto transformáciu sme už použili pri zjednodušení trigonometrických výrazov)

Predstavme ďalší argument - uhol taký, že

Potom

Uvažujme rovnicu: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Domáca úloha:Č. 164 -170 (c, d).

Pojem riešenia trigonometrických rovníc.

• Ak chcete vyriešiť goniometrickú rovnicu, preveďte ju na jednu alebo viac základných trigonometrických rovníc. Riešenie goniometrickej rovnice v konečnom dôsledku prináša riešenie štyroch základných trigonometrických rovníc.

Riešenie základných trigonometrických rovníc.

• Existujú 4 typy základných trigonometrických rovníc:
• hriech x = a; cos x = a
• tg x = a; ctg x = a
• Riešenie základných trigonometrických rovníc zahŕňa pohľad na rôzne polohy x v jednotkovej kružnici a použitie prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky).
• Príklad 1. sin x = 0,866. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: x = π / 3. Jednotkový kruh dáva ďalšiu odpoveď: 2π / 3. Pamätajte si: všetky trigonometrické funkcie sú periodické, to znamená, že ich hodnoty sa opakujú. Napríklad periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Preto je odpoveď napísaná takto:
• x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
• Príklad 2.cos x = -1/2. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: x = 2π / 3. Jednotkový kruh dáva ďalšiu odpoveď: -2π / 3.
• x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
• Príklad 3.tg (x - π / 4) = 0.
• Odpoveď: x = π / 4 + πn.
• Príklad 4. ctg 2x = 1,732.
• Odpoveď: x = π / 12 + πn.

Transformácie používané na riešenie goniometrických rovníc.

• Na transformáciu trigonometrických rovníc sa používajú algebraické transformácie (faktorizácia, redukcia homogénnych výrazov atď.) A goniometrické identity.
• Príklad 5. Pomocou trigonometrických identít sa rovnica sin x + sin 2x + sin 3x = 0 transformuje na rovnicu 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Preto musíte vyriešiť nasledujúce základné trigonometrické rovnice: cos x = 0; hriech (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.

• Nájdenie uhlov zo známych hodnôt funkcií.

  • Predtým, ako sa naučíte metódy riešenia trigonometrických rovníc, musíte sa naučiť nájsť uhly zo známych hodnôt funkcií. To je možné vykonať pomocou konverznej tabuľky alebo kalkulačky.
  • Príklad: cos x = 0,732. Kalkulačka poskytne odpoveď x = 42,95 stupňa. Jednotkový kruh poskytne ďalšie uhly, ktorých kosínus je tiež 0,732.

• Odložte roztok nabok na jednotkový kruh.

  • Riešenie trigonometrickej rovnice na jednotkovej kružnici môžete odložiť. Riešenia goniometrickej rovnice na jednotkovej kružnici predstavujú vrcholy pravidelného mnohouholníka.
  • Príklad: Riešenia x = π / 3 + πn / 2 na jednotkovej kružnici sú vrcholy štvorca.
  • Príklad: Riešenia x = π / 4 + πn / 3 na jednotkovej kružnici predstavujú vrcholy pravidelného šesťuholníka.

• Metódy riešenia goniometrických rovníc.

  • Ak daná spúšťacia rovnica obsahuje iba jednu spúšťaciu funkciu, vyriešte túto rovnicu ako základnú rovnicu spúšťača. Ak daná rovnica obsahuje dve alebo viac trigonometrických funkcií, potom existujú 2 metódy riešenia takejto rovnice (v závislosti od možnosti jej transformácie).
    • Metóda 1.
  • Preveďte túto rovnicu na rovnicu tvaru: f (x) * g (x) * h (x) = 0, kde f (x), g (x), h (x) sú základné trigonometrické rovnice.
  • Príklad 6.2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Riešenie. Pomocou vzorca s dvojitým uhlom sin 2x = 2 * sin x * cos x nahraďte sin 2x.
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné trigonometrické rovnice: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
  • Príklad 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Riešenie: Pomocou trigonometrických identít transformujte túto rovnicu na rovnicu tvaru: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
  • Príklad 8.sin x - hriech 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Riešenie: Pomocou trigonometrických identít transformujte túto rovnicu na rovnicu tvaru: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné trigonometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0 .
    • Metóda 2.
  • Skonvertujte danú trigonometrickú rovnicu na rovnicu obsahujúcu iba jednu goniometrickú funkciu. Potom nahraďte túto goniometrickú funkciu nejakou neznámou, napríklad t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, atď.).
  • Príklad 9,3 s ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4 s x x 7 (0< x < 2π).
  • Riešenie. V tejto rovnici nahraďte (cos ^ 2 x) s (1 - sin ^ 2 x) (podľa identity). Transformovaná rovnica je:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Nahraďte sin x t. Rovnica teraz vyzerá takto: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Toto je kvadratická rovnica s dvoma koreňmi: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhý koreň t2 nespĺňa rozsah hodnôt funkcie (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Príklad 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
  • Riešenie. Nahraďte tg x t. Pôvodnú rovnicu prepíšte takto: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Teraz nájdite t a potom nájdite x pre t = tg x.

• Špeciálne trigonometrické rovnice.

  • Existuje niekoľko špeciálnych trigonometrických rovníc, ktoré vyžadujú špecifické transformácie. Príklady:
  • a * hriech x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
  • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

• Periodicita trigonometrických funkcií.

  • Ako už bolo spomenuté, všetky goniometrické funkcie sú periodické, to znamená, že ich hodnoty sa po určitom období opakujú. Príklady:
    • Perióda funkcie f (x) = sin x je 2π.
    • Perióda funkcie f (x) = tan x sa rovná π.
    • Perióda funkcie f (x) = sin 2x je π.
    • Perióda funkcie f (x) = cos (x / 2) je 4π.
  • Ak je v probléme uvedené obdobie, vypočítajte v tomto období hodnotu „x“.
  • Poznámka: Riešenie goniometrických rovníc nie je ľahká úloha a často vedie k chybám. Svoje odpovede si preto starostlivo skontrolujte. Na to môžete použiť grafovú kalkulačku na vykreslenie danej rovnice R (x) = 0. V takýchto prípadoch budú riešenia prezentované ako desatinné zlomky (to znamená, že π sa nahradí 3,14).