Logopedický portál / Rhinolalia / Iteračné metódy riešenia systémov teórie nelineárnych rovníc. Iteračná metóda. Jednoduchá iteračná metóda na riešenie sústav nelineárnych rovníc

Iteračné metódy riešenia systémov teórie nelineárnych rovníc. Iteračná metóda. Jednoduchá iteračná metóda na riešenie sústav nelineárnych rovníc

13.07.2020

Účel služby... Online kalkulačka je navrhnutá tak, aby našla korene rovnice iteračná metóda.

Rozhodnutie sa robí vo formáte Word.

Pravidlá zadávania funkcií

Príklady
≡ x ^ 2 / (1 + x)
cos 2 (2x + π) ≡ (cos (2 * x + pi)) ^ 2
≡ x + (x-1) ^ (2/3)

Jeden z najviac efektívne spôsoby numerické riešenie rovníc je iteračná metóda... Podstata tejto metódy je nasledovná. Nech je daná rovnica f (x) = 0.
Nahradíme ho ekvivalentnou rovnicou
Vyberme počiatočnú aproximáciu koreňa x 0 a nahraďme ju na pravú stranu rovnice (1). Potom dostaneme nejaké číslo

x 1 = φ (x 0). (2)

Nahradením teraz na pravej strane (2) namiesto x 0 číslo x 1 dostaneme číslo x 2 = φ (x 1). Opakovaním tohto postupu získame postupnosť čísel

x n = φ (x n-1) (n = 1,2 ..). (3)

Ak je táto postupnosť konvergentná, to znamená, že existuje limita, potom pri prekročení limitu v rovnosti (3) a za predpokladu, že funkcia φ (x) je spojitá, nájdeme

Alebo ξ = φ (ξ).
Limit ξ je teda koreňom rovnice (1) a je možné ho vypočítať podľa vzorca (3) s akýmkoľvek stupňom presnosti.

Ryža. 1a Obr. 1b

Ryža. 2.

| φ ′ (x) |> 1 je divergentný proces

Na obr. 1a, 1b, v susedstve koreňa | φ ′ (x) |<1 и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай |φ′(x)|>1, potom môže byť proces iterácie odlišný (pozri obr. 2).

Dostatočné podmienky pre konvergenciu iteračnej metódy

Veta 7. Nech je funkcia φ (x) definovaná a diferencovateľná v intervale a všetky jej hodnoty sú φ (x) ∈ a nech | φ ′ (x) | ≤q<1 при x∈. Тогда процесс итерации x n = φ(x n -1) сходится независимо от начального значения x 0 ∈ и предельное значение является единственным корнем уравнения x= φ(x) на отрезке .
Dôkaz: Uvažujte dve po sebe nasledujúce aproximácie x n = φ (x n -1) a x n +1 = φ (x n) a vezmite ich rozdiel x n + 1 -x n = φ (x n) -φ (x n -1). Podľa Lagrangeovej vety môže byť pravá strana reprezentovaná ako

φ ′ (x n) (x n -x n -1)

Kde x n ∈
Potom dostaneme

Nastavenie n = 1,2, ...

| x 2 -x 1 | ≤q | x 1 -x 0 |
| x 3 -x 2 | ≤q | x 2 -x 1 | ≤q² | x 1 -x 0 |
| x n + 1 -x n ≤q n | x 1 -x 0 | (4)

Od (4) na základe podmienky q<1 видно, что последовательность {x n } сходится к некоторому числу ξ, то есть

, a preto

(kvôli spojitosti funkcie φ (x))
alebo ξ = φ (ξ) ch.d.
Pre chybu koreňa ξ je možné získať nasledujúci vzorec.
Máme x n = φ (x n-1).
Ďalej ξ-x n = ξ-φ (x n-1) = φ (ξ) -φ (x n-1) →
Teraz φ (x n -1) = φ (x n) -φ ′ (c) (x n -x n -1) →
φ (ξ) -φ (x n) + φ ′ (c) (x n -x n -1)
Výsledkom je, že dostaneme

ξ-x n = φ ′ (c 1) (ξ-x n-1) + φ ′ (c) (x n -x n-1)
alebo
| ξ-x n | ≤q | ξ-x n | + q | x n -x n-1 |

Odtiaľ

, (5)

odkiaľ je zrejmé, že pre q blízky 1 je rozdiel | ξ -x n | môže byť veľmi veľký, aj keď | x n -x n -1 |<ε, где ε-заданная величина. Для того, чтобы вычислить ξ с точностью ε необходимо обеспечить

. (6)

Potom nahradením (6) za (5) dostaneme | ξ -x n |<ε.
Ak je q veľmi malé, potom namiesto (6) je možné použiť

| x n -x n -1 |<ε

Konvergencia iteračnej metódy lineárne s koeficientom konvergencie α = q. Skutočne, máme
ξ-x n = φ (ξ) -φ n-1 = φ ′ (c) (ξ-x n-1), teda | ξ-x n | ≤q | ξ-x n-1 |.

Komentovať. Nech v nejakom susedstve koreňa ξ∈ (a, b) rovnice x = φ (x) derivácia φ ’(x) zachová konštantné znamienko a nerovnosť | φ‘ (x) | ≤q<1. Тогда, если φ’(x) положительна, то последовательные приближения x n = φ(x n -1) сходятся к корню монотонно.
Ak je φ '(x) záporné, potom postupné aproximácie oscilujú okolo koreňa.
Zvážte spôsob, ako reprezentovať rovnicu f (x) = 0 v tvare x = φ (x).
Funkcia φ (x) musí byť špecifikovaná tak, aby | φ ‘(x) | bol malý v blízkosti koreňa.
Nech je známy m 1 a M 1 sú najmenšie a najväčšie hodnoty derivácie f '(x)
0Rovnicu f (x) = 0 nahraďte ekvivalentnou rovnicou
x = x - λf (x).
Dáme φ (x) = x- λf (x). Vyberme parameter λ tak, aby v susedstve koreňa ξ nerovnosť

0≤ | φ ′ (x) | = | 1-λ f ′ (x) | ≤q≤1

Preto na základe (7) dostaneme

0≤ | 1-λM 1 | ≤ | 1-λm 1 | ≤q

Potom zvolením λ = 1 / M 1 dostaneme
q = 1-m 1 / M 1< 1.
Ak λ = 1 / f ‘(x), potom iteračný vzorec x n = φ (x n -1) prejde na Newtonov vzorec

x n = x n -1 - f (x n) / f '(x).

Iteračná metóda v programe Excel

Do bunky B2 zadáme začiatok intervalu a, do bunky B3 zadáme koniec intervalu b. Riadok 4 sa zrušuje pod nadpisom tabuľky. Samotný proces iterácie organizujeme v bunkách A5: D5.

Proces hľadania núl funkcie iteračnou metódou pozostáva z nasledujúcich fáz:

Získajte šablónu pomocou tejto služby.
Spresnite medzery v bunkách B2, B3.
Skopírujte riadky iterácií s požadovanou presnosťou (stĺpec D).

Poznámka: stĺpec A - číslo iterácie, stĺpček B - koreň rovnice X, stĺpček C - hodnota funkcie F (X), stĺpček D - presnosť eps.

Príklad. Nájdite koreň rovnice e -x -x = 0, x = ∈, ε = 0,001 (8)
Riešenie.
Predstavujeme rovnicu (8) v tvare x = x -λ (e -x -x)
Nájdite maximálnu hodnotu derivácie funkcie f (x) = e - x -x.
max f ′ (x) = max ( -(e -x +1)) ≈ -1,37. Význam ... Riešime teda nasledujúcu rovnicu
x = x + 0,73 (e - x -x)
Hodnoty postupných aproximácií sú uvedené v tabuľke.

n	x i	f (x i)
1	0.0	1.0
2	0.73	-0.2481
3	0.5489	0.0287
4	0.5698	-0.0042
5	0.5668	0.0006

MINISTERSTVO VZDELÁVANIA A VEDY UKRAJINY

ŠUMSKÁ ŠTÁTNA UNIVERZITA

Katedra informatiky

KURZOVÁ PRÁCA

KURZOM:

Numerické metódy

„Iteračné metódy na riešenie sústav nelineárnych rovníc“

1. Metódy riešenia sústav nelineárnych rovníc. všeobecné informácie

2.1 Jednoduchá metóda iterácie

2.2 Aitkenova transformácia

2.3 Newtonova metóda

2.3.1 Úpravy Newtonovej metódy

2.3.2 Kvázi-newtonovské metódy

2.4 Ďalšie iteračné metódy na riešenie sústav nelineárnych rovníc

2.4.1 Picardova metóda

2.4.2 Metóda klesania

2.4.3 Relaxačná metóda

3. Implementácia iteratívnych metód programovo a pomocou matematického balíka Maple

3.1 Jednoduchá metóda iterácie

3.2 Metóda klesania

3.3 Newtonova metóda

3.4 Upravená Newtonova metóda

Zoznam použitej literatúry

1. Metódy riešenia nelineárnych rovníc. Všeobecné informácie.

Dajme nám sústavu rovníc, kde

- niektorí nelineárni operátori: (1.1)

Môže byť tiež reprezentovaný v maticovej forme:

(1.1)

Jeho riešenie sa nazýva taká hodnota

, pre ktoré

Výpočtový problém nájdenia niektorých alebo všetkých riešení systému (1.1) z n nelineárne algebraické alebo transcendentálne rovnice s n neznáme.

Označme tým NS stĺpcový vektor ( NS 1 , NS 2 , ..., x n)T a napíšte sústavu rovníc vo forme vzorca (1.2): F(NS) = 0, kde F =(f 1 , f 2 , ..., f n)T.

Takéto systémy rovníc môžu vzniknúť priamo, napríklad pri navrhovaní fyzických systémov, alebo nepriamo. Takže napríklad pri riešení problému minimalizácie nejakej funkcie G(NS) je často potrebné určiť tie body, v ktorých je gradient tejto funkcie rovný nule. Za predpokladu F = grad G, dostaneme nelineárny systém.

Na rozdiel od sústav lineárnych algebraických rovníc, na riešenie ktorých môžu byť použité ako rovno(alebo presné) a iteračné(alebo približné) metódy, riešenie sústav nelineárnych rovníc je možné získať iba približnými, iteračnými metódami. Umožňujú vám získať postupnosť aproximácií

... Ak sa iteračný proces zbieha, potom je hraničná hodnota riešením pre daný systém rovníc.

Na úplné pochopenie metód hľadania riešenia systému je potrebné objasniť taký pojem ako „miera konvergencie“. Ak kvôli konzistencii x n konvergujúce k limitu NS *, vzorec je pravdivý

(k je kladné skutočné číslo) k sa nazýva rýchlosť konvergencie danej sekvencie.

2. Iteračné metódy riešenia sústav nelineárnych rovníc

2.1 Jednoduchá metóda iterácie

Metóda jednoduchých iterácií (postupné aproximácie) je jednou z hlavných metód výpočtovej matematiky a používa sa na riešenie širokej triedy rovníc. Predstavme popis a zdôvodnenie tejto metódy pre systémy nelineárnych rovníc tvaru

f i (x 1, x 2, ... x n) = 0, i=1,2,..n;

Prenesme sústavu rovníc do špeciálnej formy:

(2.1)

Alebo vo vektorovej forme

. (2.2)

Prechod na tento systém by navyše mal byť iba za predpokladu, že

je mapa kontrakcie.

Použitím nejakej počiatočnej aproximácie X (0) = (x 1 (0), x 2 (0), ... x n (0))

zostrojte iteračný proces X (k + 1) =  (X (k)). Výpočty pokračujú, kým nie je splnená podmienka

... Potom je riešením systému rovníc pevný bod mapovania.

Odôvodnime metódu v určitej norme

priestor.

Predstavme si konvergenčnú vetu, ktorej splnenie podmienok vedie k hľadaniu riešenia systému.

Veta (o konvergencii). Nechaj byť

1). V tejto oblasti je definovaná vektorová funkcia Ф (х)

; podmienka je splnená

3). Nerovnosť je platná

Potom v iteračnom procese:

, - riešenie sústavy rovníc; ,

Komentovať. Nerovnosť podmienky 2) je Lipschitzova podmienka pre vektorovú funkciu Φ (x) v doméne S s konštantou

(stav kompresie). Ukazuje to F je operátorom kompresie v doméne S, t.j. pre rovnicu (2.2) platí zásada zmluvných zobrazení. Tvrdenia vety znamenajú, že rovnica (2.2) má v oblasti riešenie S, a postupné aproximácie konvergujú k tomuto riešeniu rýchlosťou geometrickej postupnosti so menovateľom q.

Dôkaz... Pokiaľ

, potom na aproximáciu na základe predpokladu 3) máme. Znamená to, že . Ukážme, že k = 2,3, ... a pre susedné aproximácie nerovnosť (2,3)

Budeme sa hádať indukciou. O

tvrdenie je pravdivé, pretože a. Predpokladajme, že aproximácie patria do S a nerovnosť (2.3) platí pre. Pretože, vzhľadom na podmienku 2) vety, máme.

Indukčnou hypotézou

Štúdium rôznych javov alebo procesov matematickými metódami sa vykonáva pomocou matematického modelu . Matematický model je formalizovaný opis skúmaného objektu pomocou sústav lineárnych, nelineárnych alebo diferenciálnych rovníc, sústav nerovností, určitého integrálu, polynómu s neznámymi koeficientmi atď. Matematický model by mal pokrývať najdôležitejšie charakteristiky študovaný objekt a odrážajú súvislosti medzi nimi.

Po zostavení matematického modelu pristúpte k formulácii výpočtového problému . Súčasne sa stanoví, ktoré charakteristiky matematického modelu sú počiatočné (vstupné) údaje , aké sú parametre modelu , a ktoré sú výstupné údaje. Analýza získaného problému sa vykonáva z hľadiska existencie a jedinečnosti riešenia.

V ďalšej fáze je vybraný spôsob riešenia problému. V mnohých konkrétnych prípadoch nie je možné nájsť riešenie problému v explicitnej forme, pretože nie je vyjadrené v elementárnych funkciách. Takéto problémy je možné vyriešiť len približne. Výpočtové (numerické) metódy znamenajú približné postupy, ktoré umožňujú získať riešenie v podobe konkrétnych číselných hodnôt. Výpočtové metódy sa spravidla implementujú na počítači. Na vyriešenie rovnakého problému je možné použiť rôzne výpočtové metódy, takže musíte byť schopní vyhodnotiť kvalitu rôznych metód a účinnosť ich aplikácie na daný problém.

Potom na implementáciu zvolenej výpočtovej metódy je zostavený algoritmus a počítačový program . Pre moderného inžiniera je dôležité, aby bol schopný transformovať problém do formy, ktorá je vhodná na implementáciu na počítači, a vytvoriť algoritmus na riešenie tohto problému.

V súčasnosti sa široko používajú ako balíky, ktoré implementujú najbežnejšie metódy na riešenie širokého spektra problémov (napríklad Mathcad,
MatLAB) a balíky, ktoré implementujú metódy na riešenie špeciálnych problémov.

Výsledky výpočtu sú analyzované a interpretované. V prípade potreby sa upravia parametre metódy a niekedy aj matematický model a začne sa nový cyklus riešenia problému.

1.1. Formulácia problému

Nech je zadaná nejaká funkcia a je potrebné nájsť všetky alebo niektoré hodnoty, pre ktoré.

Hodnota, pri ktorej sa volá koreň(alebo rozhodnutie) rovnice. O funkcii sa často predpokladá, že je dvakrát kontinuálne diferencovateľná v susedstve koreňa.

Koreň rovnice sa nazýva jednoduché, ak prvá derivácia funkcie v bode nie je rovná nule, t.j. Ak, potom sa nazýva koreň viacnásobný koreň.

Geometricky je koreň rovnice priesečníkom funkčného grafu s osou x. Na obr. 1 ukazuje graf funkcie so štyrmi koreňmi: dvoma jednoduchými a dvoma násobkami.

Väčšina metód na riešenie rovnice je zameraná na nájdenie jednoduchých koreňov.

1.2. Hlavné fázy hľadania riešenia

V procese približného hľadania koreňov rovnice sa zvyčajne rozlišujú dve etapy: lokalizácia(alebo vetva) koreňa a zjemnenie koreňa.

Lokalizácia koreňa spočíva v definovaní segmentu obsahujúceho jeden a iba jeden koreň. Neexistuje žiadny univerzálny algoritmus lokalizácie koreňov. Niekedy je vhodné lokalizovať koreň pomocou grafu alebo tabuľky hodnôt funkcií. Prítomnosť koreňa na segmente je indikovaná rozdielom v znakoch funkcie na koncoch segmentu. Toto je založené na nasledujúcej vete.

Veta . Ak je funkcia v segmente spojitá a na svojich koncoch nadobúda hodnoty rôznych znamienok, potom segment obsahuje najmenej jeden koreň rovnice.

Koreň párnej mnohosti však nemožno týmto spôsobom lokalizovať, pretože v blízkosti takéhoto koreňa má funkcia konštantný znak. V štádiu zjemnenia koreňa sa s danou presnosťou vypočíta približná hodnota koreňa. Približná hodnota koreňa je spresnená rôznymi iteračnými metódami. Podstatou týchto metód je postupný výpočet hodnôt, ktoré sú aproximáciami koreňa.

1.3. Metóda polovičného delenia

Polovičná metóda je najjednoduchším a najspoľahlivejším spôsobom riešenia nelineárnej rovnice. Z predbežnej analýzy je známe, že koreň rovnice je na intervale, to znamená, že. Nech je funkcia na segmente spojitá a nadobúda hodnoty rôznych znamienok na koncoch segmentu, t.j. ...

Rozdeľte segment na polovicu. Poďme na bod. Vypočítajme hodnotu funkcie v tomto bode :. Ak, potom je požadovaný koreň a problém je vyriešený. Ak, potom - číslo určitého znaku: buď. Potom buď na koncoch segmentu, alebo na koncoch segmentu majú hodnoty funkcie rôzne znamienka. Označme taký segment. Je zrejmé, že dĺžka segmentu je dvakrát menšia ako dĺžka segmentu. To isté urobíme so segmentom. V dôsledku toho dostaneme buď koreň, alebo nový segment atď. (Obr. 2).

Stred tretieho segmentu. Je zrejmé, že dĺžka segmentu bude rovnaká a potom

Kritérium ukončenia. Zo vzťahu (1) vyplýva, že pre danú presnosť aproximácie výpočet sa skončí, keď je nerovnosť alebo nerovnosť splnená. Počet iterácií je teda možné určiť vopred. Hodnota sa berie ako približná hodnota koreňa.

Príklad. Nájdeme ho približne s presnosťou. Tento problém je ekvivalentný riešeniu rovnice alebo hľadaniu nuly funkcie. Vezmite segment ako počiatočný segment. Na konci tohto segmentu funkcia nadobúda hodnoty s rôznymi znakmi :. Nájdeme počet delení segmentu potrebného na dosiahnutie požadovanej presnosti. Máme:

Preto najneskôr do 6. divízie nachádzame s požadovanou presnosťou ,. Výsledky výpočtu sú uvedené v tabuľke 1.

stôl 1


	1,0000	1,0000	1,0000	1,1250	1,1250	1,1406	1,1406
	2,0000	1,5000	1,2500	1,2500	1,1875	1,1875	1,1562
	1,5000	1,2500	1,1250	1,1875	1,1406	1,1562	1,1484
Zn	-	-	-	-	-	-	-
Zn	+	+	+	+	+	+	+
	5,5938	0,7585	-0,2959	0,1812	-0,0691	0,0532	-0,0078
-	1,0000	0,5000	0,2500	0,1250	0,0625	0,0312	0,0156

1.4. Jednoduchá metóda iterácie

Nech je rovnica nahradená ekvivalentnou rovnicou

Vyberme si nejakým spôsobom počiatočnú aproximáciu. Vypočítajme hodnotu funkcie na a nájdeme spresnenú hodnotu. Teraz dosadíme do rovnice (1) a získame novú aproximáciu atď. Pokračovaním v tomto procese na neurčitý čas získame postupnosť aproximácií ku koreňu:

Vzorec (3) je výpočtový vzorec jednoduchá iteračná metóda.

Ak sekvencia konverguje pre, tj. Existuje

a funkcia je spojitá, potom pri prechode na limit v (3) a pri zohľadnení (4) získame :.

Preto je teda koreň rovnice (2).

Konvergencia metódy. Konvergenciu jednoduchej iteračnej metódy určuje nasledujúca veta.

Veta. Nech je funkcia definovaná a rozlíšiteľná v intervale so všetkými svojimi hodnotami. Potom, ak je podmienka splnená:

1) iteračný proces konverguje bez ohľadu na počiatočnú hodnotu;

2) limitujúca hodnota je jediným koreňom rovnice na segmente.

Dôkaz. Od a môžete písať

Podľa vety o strednej hodnote (uvádza, že ak je derivácia funkcie v určitom intervale spojitá, potom je dotyčnica sklonu tetivy nakreslená medzi bodmi a, (tj. Rovná sa derivácii funkcie na nejakom medziprodukte) bod ležiaci medzi a), podiel v poslednom výraze bude rovný, kde je nejaký medziľahlý bod v koreňovom vyhľadávacom intervale.

Ak zadáte označenie pre celý interval vyhľadávania, predchádzajúcu rovnosť je možné prepísať ako:

Rovnako. Potom bude nerovnosť platiť pre: atď. Pokračovaním týchto výpočtov ďalej dostaneme, kde je prirodzené číslo. Aby metóda konvergovala, musí byť splnená nasledujúca nerovnosť :.

Z toho vyplýva, že by mal byť menší ako jeden. Na druhej strane, pre všetky ostatné hodnoty menšie, môžete napísať :. Číslo je určené z pomeru. Potom je nerovnosť pravdivá (pozri záver nižšie) :. Ak nastavíme podmienku, aby sa skutočná hodnota koreňa líšila od približnej hodnoty o sumu, t.j. , potom sa aproximácie musia vypočítať až do nerovnosti

alebo aj vtedy.

Odvodenie nerovnosti Uvažujte dve po sebe nasledujúce aproximácie: a. Odtiaľ.

Použitím priemernej vety dostaneme:

potom na základe podmienky môžeme napísať:

Na druhej strane nechaj to tak. To je zrejmé. Vzhľadom na to teda dostaneme

Potom alebo.

Pomocou predchádzajúceho vzorca môžete získať:

V rovnosti (3) prejdeme na limit, kvôli spojitosti funkcie získame, to znamená - koreň rovnice (2). Neexistujú žiadne iné korene, pretože ak, potom, potom, kde. Rovnosť k nule sa dosiahne, ak. To znamená - koreň je jediný.

Veta je dokázaná.

Redukcia rovnice na tvar
presadiť nerovnosť

Vo všeobecnom prípade je možné získať vhodnú iteračnú formu vykonaním ekvivalentnej transformácie pôvodnej rovnice, napríklad jej vynásobením koeficientom :. Keď potom sčítame na obe strany rovnice a označujeme, môžeme požadovať splnenie dostatočnej podmienky. Odtiaľ sa určí požadovaná hodnota. Pretože podmienka musí byť splnená na celom segmente, potom by mala byť na výber použitá najväčšia hodnota v tomto segmente, t.j.

Tento pomer definuje rozsah hodnôt koeficientu, ktorý mení hodnotu v medziach.

Obvykle sa berie.

Na obr. Obrázky 3-6 zobrazujú štyri prípady vzájomného usporiadania čiar a zodpovedajúcich iteračných procesov. Ryža. 3 a 4 zodpovedajú prípadu a iteračný proces sa zbieha. Navyše, ak (obr. 3) je konvergencia jednostranná a ak (obr. 4) je konvergencia obojstranná, oscilačná. Ryža. 5 a 6 zodpovedajú prípadu - iteračný proces sa líši. V tomto prípade môže existovať jednostranná (obr. 5) a obojstranná (obr. 6) divergencia.

Chyba metódy. Odhad chyby bol dokázaný (5).

Kritérium ukončenia. Z odhadu (5) vyplýva, že vo výpočtoch sa musí pokračovať, kým nie je nerovnosť splnená. Ak je potom hodnotenie zjednodušené :.

Príklad 1. Na presné vyriešenie rovnice používame jednoduchú iteračnú metódu. Transformujeme rovnicu do tvaru:

, t.j. .

Je ľahké overiť, či je koreň rovnice na segmente. Po vypočítaní hodnôt na koncoch segmentu dostaneme: a, tj. Funkcia na koncoch segmentu má rôzne znaky,

preto je vnútri segmentu koreň. Poloha koreňa je jasne znázornená na obr. 7.

Vypočítajme prvý a druhý derivát funkcie:

Pretože v segmente sa derivát monotónne zvyšuje v tomto segmente a nadobúda maximálnu hodnotu na pravom konci segmentu, to znamená v bode. . Preto platí nasledujúci odhad:

Podmienka je teda splnená a môže sa použiť kritérium na koniec výpočtov. Tabuľka 2 ukazuje aproximácie získané pomocou výpočtového vzorca. Hodnota je zvolená ako počiatočná aproximácia.

tabuľka 2


		0,8415	0,8861	0,8712	0,8774	0,8765

Kritérium ukončenia je splnené, ak, . Konvergencia je obojstranná, kvalitatívna povaha takejto konvergencie je znázornená na obr. 4. Približná hodnota koreňa s požadovanou presnosťou.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu na segmente jednoduchou iteračnou metódou s presnosťou 0,025. Na vyriešenie je pôvodná rovnica redukovaná na tvar. Na výber hodnoty použijeme vyššie uvedený vzorec. Potom má výpočtový vzorec tvar. Ako počiatočnú aproximáciu môžete vybrať hornú hranicu zadaného segmentu.


		0,8	0,78

Odvtedy.

1.5. Newtonova metóda (tangentová metóda)

Newtonova metóda je najúčinnejšou metódou na riešenie nelineárnych rovníc. Nech koreň, t.j. Predpokladáme, že funkcia je spojitá v intervale a dvakrát spojito diferencovateľná v intervale. Dali sme . Nakreslime dotyčnicu ku grafu funkcie v bode (obr. 8).

Dotyková rovnica bude :.

Prvá križovatka sa získa tak, že sa na osi x priesečníka tejto dotyčnice s osou zadá:

To isté urobíme s bodom, potom s bodom atď. V dôsledku toho získame postupnosť aproximácií a

Vzorec (6) je výpočtový vzorec Newtonovej metódy.

Newtonovu metódu možno považovať za špeciálny prípad jednoduchej iteračnej metódy, pre ktorú.

Metodická konvergencia... Konvergencia Newtonovej metódy je stanovená nasledujúcou vetou.

Veta. Nech je jednoduchý koreň rovnice a v nejakom susedstve tohto koreňa je funkcia dvakrát spojito diferencovateľná. Potom je tu také malé susedstvo koreňa, že pre ľubovoľný výber počiatočnej aproximácie z tohto susedstva iteračná sekvencia definovaná vzorcom (6) nepresahuje toto susedstvo a platí nasledujúci odhad:

Konvergencia Newtonovej metódy závisí od toho, ako blízko je počiatočná aproximácia koreňu.

Voľba počiatočnej aproximácie. Nech je segment obsahujúci koreň. Ak ako počiatočnú aproximáciu zvolíme jeden z koncov segmentu, pre ktorý sa iterácie (6) navyše zbiehajú monotónne. Ryža. 8 zodpovedá prípadu, keď bol ako počiatočný odhad zvolený pravý koniec segmentu: (Tu).

Chyba metódy. Odhad (7) je pre praktické použitie nepohodlný. V praxi sa používajú nasledujúce odhady chýb:

Kritérium promócie . Odhad (8) nám umožňuje formulovať nasledujúce kritérium na ukončenie iterácií Newtonovej metódy. S danou presnosťou sa musia výpočty vykonávať až do nerovnosti

Príklad... Vypočítajte záporný koreň rovnice pomocou Newtonovej metódy s presnosťou na 0,0001. Po oddelení koreňa sa môžete uistiť, že je koreň lokalizovaný v intervale. V tomto intervale a. Od a potom je možné počiatočnú aproximáciu vziať.


-11		-5183	0,6662
-10,3336	307,3	4276,8	0,0718
-10,2618	3,496	4185,9	0,0008
-10,261	0,1477	-	-

. Preto . V dôsledku toho dostaneme nasledujúce a preto ďalej.

Odvtedy

Všetci ľudia sa prirodzene usilujú o znalosti. (Aristoteles. Metafyzika)

Numerické metódy: Riešenie nelineárnych rovníc

Problémy s riešením rovníc neustále vznikajú v praxi, napríklad v ekonomike, rozvoji podnikania, chcete vedieť, kedy zisk dosiahne určitú hodnotu, v medicíne, pri štúdiu účinku drog je dôležité vedieť, kedy je koncentrácia látky dosiahne danú úroveň atď.

Pri problémoch s optimalizáciou je často potrebné určiť body, v ktorých derivácia funkcie zanikne, čo je nevyhnutnou podmienkou miestny extrém.

V štatistike je pri konštrukcii odhadov metódou najmenších štvorcov alebo metódou maximálnej pravdepodobnosti potrebné riešiť aj nelineárne rovnice a sústavy rovníc.

S hľadaním riešení teda vzniká celá trieda problémov nelineárne rovnice ako rovnice alebo rovnice a pod.

V najjednoduchšom prípade máme na segmente definovanú funkciu ( a, b) a za predpokladu určitých hodnôt.

Ku každej hodnote X z tohto segmentu môžeme priradiť číslo, toto je funkčné závislosť, kľúčový pojem v matematike.

Musíme nájsť takú hodnotu, pri ktorej sa tieto nazývajú korene funkcie

Vizuálne musíme určiť priesečník funkčného grafus osou x.

Metóda na polovicu

Najjednoduchšou metódou na nájdenie koreňov rovnice je metóda rozpolenia, príp dichotómia.

Táto metóda je intuitívne jasná a pri riešení problému by každý konal podobne.

Algoritmus je nasledujúci.

Predpokladajme, že sme našli dva body a také, ktoré majú rôzne znamienka, potom medzi týmito bodmi existuje najmenej jeden koreň funkcie.

Rozdeľte segment na polovicu a predstavte priemer bod.

Potom buď alebo .

Nechajme tú polovicu segmentu, pre ktorú majú hodnoty na koncoch rôzne znamienka. Teraz tento segment opäť rozdelíme na polovicu a ponecháme jeho časť, na hraniciach ktorej má funkcia rôzne znamienka a podobne, aby sme dosiahli požadovanú presnosť.

Očividne budeme postupne zužovať oblasť, kde sa nachádza koreň funkcie, a preto ju definujeme s určitým stupňom presnosti.

Uvedený algoritmus je použiteľný pre každú spojitú funkciu.

Medzi výhody metódy delenia na polovicu patrí vysoká spoľahlivosť a jednoduchosť.

Nevýhodou tejto metódy je skutočnosť, že skôr ako ju začnete používať, musíte nájsť dva body, hodnoty funkcie, v ktorých majú rôzne znamienka. Je zrejmé, že metóda nie je použiteľná pre korene rovnomernej multiplicity a tiež ju nemožno zovšeobecniť na prípad komplexných koreňov a na sústavy rovníc.

Poradie konvergencie metódy je lineárne, v každom kroku sa presnosť zdvojnásobí, čím viac iterácií sa vykoná, tým presnejšie sa určí koreň.

Newtonova metóda: teoretické základy

Klasická Newtonova metóda alebo dotyčnice je, že ak je nejaké priblíženie k koreňu rovnice , potom je ďalšia aproximácia definovaná ako koreň dotyčnice funkcie nakreslenej v bode.

Rovnica dotyčnice k funkcii v bode má tvar:

V dotykovej rovnici dáme a.

Algoritmus sekvenčného výpočtu v Newtonovej metóde je nasledujúci:

Konvergencia tangentovej metódy je kvadratická, poradie konvergencie je 2.

Konvergencia Newtonovej tangentovej metódy je teda veľmi rýchla.

Pamätajte si tento úžasný fakt!

Metóda je zovšeobecnená na komplexný prípad bez akýchkoľvek zmien.

Ak je koreň koreňom druhej multiplicity alebo vyššej, potom poradie konvergencie klesá a stáva sa lineárnym.

Cvičenie 1... Nájdite tangensovou metódou riešenie rovnice na segmente (0, 2).

Cvičenie 2. Nájdite tangensovou metódou riešenie rovnice na segmente (1, 3).

Nevýhody Newtonovej metódy by mali byť prisúdené jej lokalite, pretože je zaručené, že konverguje k ľubovoľnej počiatočnej aproximácii iba vtedy, ak je podmienka splnená všade , inak sa konvergencia vyskytuje iba v nejakom susedstve koreňa.

Nevýhodou Newtonovej metódy je potreba výpočtu derivátov v každom kroku.

Vizualizácia Newtonovej metódy

Newtonova metóda (tangensová metóda) sa používa, ak je rovnica f(X) = 0 má koreň a sú splnené nasledujúce podmienky:

1) funkcia r= f(X) je definovaný a spojitý v;

2) f(a)· f(b) < 0 (funkcia nadobúda hodnoty rôznych znamienok na koncoch segmentu [ a; b]);

3) deriváty f "(X) a f ""(X) zachovať znak na segmente [ a; b] (teda funkcia f(X) v segmente sa zvyšuje alebo znižuje [ a; b], pričom sa zachová smer konvexnosti);

Hlavná myšlienka metódy je nasledovná: na segmente [ a; b] zvolí sa také číslo X 0 , na ktorom f(X 0 ) má rovnaké znamienko ako f"" (X 0 ), teda podmienka f(X 0 )· f"" (X) > 0 ... Vyberie sa teda bod s osou x X 0 kde dotyčnica krivky r= f(X) na segmente [ a; b] prekračuje os Vôl... Za bod X 0 na začiatku je vhodné vybrať si jeden z koncov segmentu.

Uvažujme Newtonovu metódu na konkrétnom príklade.

Dajme tomu rastúcu funkciu y = f (x) = x 2 -2, spojitý na segmente (0; 2) a majúci f "(x) = 2 X > 0 a f "" (x) = 2 > 0 .

Kresba1 ... f (x) = x 2 -2

Rovnica dotyčnice v všeobecný pohľad má nápad:

y-y 0 = f" (x 0) (x-x 0).

V našom prípade: y-y 0 = 2x 0 (x-x 0). Ako bod x 0 vyberte bod B 1 (b; f (b)) = (2,2). Nakreslite tangens k funkcii y = f (x) v bode B 1, a označte priesečník dotyčnice a osi Vôl bod x 1... Získame rovnicu prvej dotyčnice: y-2 = 2 2 (x-2), y = 4x-6.

Vůl: x 1 =

Kresba2. Výsledok prvej iterácie

y = f (x) Vôl cez bod x 1, chápeme pointu B 2 = (1,5; 0,25)... Opäť nakreslite dotyčnicu funkcie y = f (x) v bode В 2, a označte priesečník dotyčnice a osi Vôl bod x 2.

Rovnica druhej dotyčnice: r-0.25=2*1.5(X-1.5), r = 3 X - 4.25.

Priesečník dotyčnice a osi Ox: x 2 =.

Kresba3. Druhá iterácia Newtonovej metódy

Potom nájdeme priesečník funkcie y = f (x) a kolmo na os Vôl bodom x 2 získame bod B 3 a tak ďalej.

Kresba4. Tretí krok tangentovej metódy

Prvá aproximácia koreňa je určená vzorcom:

= 1.5.

Druhá aproximácia koreňa je určená vzorcom:

Tretia aproximácia koreňa je určená vzorcom:

Teda , i-th aproximácia koreňa je určená vzorcom:

Výpočty sa vykonávajú, kým sa nedosiahne zhoda desatinných miest, ktoré sú požadované v odpovedi, alebo daná presnosť e - kým nie je splnená nerovnosť | xi- xi-1 | < e.

V našom prípade porovnajme aproximáciu získanú v treťom kroku so skutočnou odpoveďou vypočítanou na kalkulačke:

Obrázok 5. Root z 2 vypočítaný na kalkulačke

Ako vidíte, už v treťom kroku sme dostali chybu menšiu ako 0,000002.

Môžete teda vypočítať hodnotu veličiny „druhá odmocnina z 2“ s akýmkoľvek stupňom presnosti. Túto nádhernú metódu vynašiel Newton a umožňuje vám nájsť korene veľmi zložitých rovníc.

Newtonova metóda: Aplikácia C ++

V tomto článku zautomatizujeme proces výpočtu koreňov rovníc napísaním konzolovej aplikácie v C ++. Budeme ho vyvíjať v programe Visual C ++ 2010 Express, je to bezplatné a veľmi pohodlné vývojové prostredie C ++.

Začnime s Visual C ++ 2010 Express. Zobrazí sa štartovacie okno programu. V ľavom rohu kliknite na „Vytvoriť projekt“.

Ryža. 1. Úvodná stránka programu Visual C ++ 2010 Express

V zobrazenej ponuke vyberte položku „Aplikácia konzoly Win32“, zadajte názov aplikácie „Newton_Method“.

Ryža. 2. Tvorba projektu

// Newton_Method.cpp: definuje vstupný bod pre konzolovú aplikáciu

#include "stdafx.h"

#zahrnúť

pomocou priestoru názvov std;

float f (double x) // vráti hodnotu funkcie f (x) = x ^ 2-2

float df (float x) // vráti hodnotu derivátu

float d2f (float x) // hodnota druhej derivácie

int _tmain (int argc, _TCHAR * argv)

int exit = 0, i = 0; // premenné pre exit a loop

double x0, xn; // vypočítané aproximácie pre koreň

zdvojnásobte a, b, eps; // hranice segmentov a požadovanú presnosť

cout<<"Please input \n=>";

cin >> a >> b; // zadajte hranice segmentu, na ktorom budeme hľadať koreň

cout<<"\nPlease input epsilon\n=>";

cin >> eps; // zadaj požadovanú presnosť výpočty

if (a> b) // ak si užívateľ zmýlil hranice segmentu, vymeníme ich

if (f (a) * f (b)> 0) // ak sú znaky funkcie na okrajoch segmentu rovnaké, potom neexistuje koreň

cout<<"\nError! No roots in this interval\n";

ak (f (a) * d2f (a)> 0) x0 = a; // zaškrtnutím f (x0) * d2f (x0)> 0 vyberiete počiatočný bod?

xn = x0-f (x0) / df (x0); // spočítajte prvú aproximáciu

cout<<++i<<"-th iteration = "<

while (fabs (x0-xn)> eps) // kým nedosiahneme požadovanú presnosť, bude pokračovať vo výpočte

xn = x0-f (x0) / df (x0); // priamo Newtonov vzorec

cout<<++i<<"-th iteration = "<

cout<<"\nRoot = "<

cout<<"\nExit?=>";

) while (exit! = 1); // kým používateľ nezadá exit = 1

Pozrime sa, ako to funguje. Kliknite na zelený trojuholník v ľavom hornom rohu obrazovky alebo stlačte kláves F5.

Ak sa vyskytne chyba kompilácie „Chyba chyby LNK1123: Konvertovanie na COFF zlyhalo: súbor je neplatný alebo poškodený“, bude to vyriešené buď inštaláciou prvého balíka Service Pack 1, alebo v nastaveniach projektu Vlastnosti -> Linker zakázať prírastkové prepojenie.

Ryža. 4. Riešenie chyby kompilácie projektu

Budeme hľadať korene funkcie f (x) =x2-2.

Najprv skontrolujeme fungovanie aplikácie na „nesprávnych“ vstupných údajoch. V segmente nie sú žiadne korene, náš program by mal vrátiť chybové hlásenie.

Máme okno aplikácie:

Ryža. 5. Zadávanie vstupných údajov

Predstavme hranice segmentov 3 a 5 a presnosť je 0,05. Program, ako by mal, vydal chybové hlásenie, že v tomto segmente nie sú žiadne korene.

Ryža. 6. Chyba „V tomto segmente nie sú žiadne korene!“

Ešte sa nechystáme odísť, takže do správy „Ukončiť?“ zadáme „0“.

Teraz skontrolujeme fungovanie aplikácie na správnych vstupných údajoch. Predstavme segment a presnosť 0,0001.

Ryža. 7. Výpočet koreňa s požadovanou presnosťou

Ako vidíme, požadovaná presnosť bola dosiahnutá už vo 4. iterácii.

Ak chcete aplikáciu ukončiť, zadajte príkaz „Ukončiť?“ => 1.

Sečanová metóda

Aby sa zabránilo výpočtu derivátu, Newtonovu metódu je možné zjednodušiť nahradením derivátu približnou hodnotou vypočítanou z dvoch predchádzajúcich bodov:

Iteračný postup je nasledujúci:

Jedná sa o dvojstupňový iteračný proces, pretože používa predchádzajúce dva na nájdenie ďalšej aproximácie.

Poradie konvergencie segregačnej metódy je nižšie ako pri tangentovej metóde a je rovnaké v prípade jedného koreňa.

Táto pozoruhodná hodnota sa nazýva zlatý rez:

Poďme to overiť za predpokladu, že to bude pohodlné.

Teda až nekonečne málo vyššieho rádu

Vypustením zvyšku získame relaps recidívy, ktorého riešenie sa prirodzene hľadá vo forme.

Po nahradení máme: a

Preto je nevyhnutné, aby bola konvergencia pozitívna.

Pretože znalosť derivátu nie je potrebná, pri rovnakom množstve výpočtov v sečenskej metóde (napriek nižšiemu rádu konvergencie) je možné dosiahnuť väčšiu presnosť ako v tangentovej metóde.

Všimnite si toho, že v blízkosti koreňa je potrebné rozdeliť na malé číslo, čo vedie k strate presnosti (najmä v prípade viacerých koreňov), preto pri výbere relatívne malého počtu vykonajte výpočty pred vykonaním a pokračujte v nich, kým sa modul rozdielu susedných aproximácií nezníži.

Akonáhle začne rast, výpočty sa zastavia a posledná iterácia sa nepoužije.

Tento postup na určenie konca iterácií sa nazýva príjem Garwick.

Parabola metóda

Zvážte trojkrokovú metódu, v ktorej je aproximácia určená z troch predchádzajúcich bodov a.

Za týmto účelom nahraďte funkciu, podobne ako pri secantovej metóde, interpolačnou parabolou prechádzajúcou bodmi a.

V Newtonovej podobe má formu:

Bod je definovaný ako jeden z koreňov tohto polynómu, ktorý je v absolútnej hodnote bližšie k bodu.

Poradie konvergencie parabolickej metódy je vyššie ako u secantovej metódy, ale nižšie ako u Newtonovej metódy.

Dôležitým rozdielom od predtým uvažovaných metód je skutočnosť, že aj keď sú reálne a počiatočné aproximácie zvolené ako skutočné, parabolická metóda môže viesť k zložitému koreňu pôvodného problému.

Táto metóda je veľmi vhodná na nájdenie koreňov polynómov vysokého stupňa.

Jednoduchá metóda iterácie

Problém hľadania riešení rovníc je možné formulovať ako problém hľadania koreňov :, alebo ako problém hľadania pevného bodu.

Nechaj byť a - kompresia: (najmä skutočnosť, že - kompresia, ako je ľahké vidieť, to znamená).

Podľa Banachovej vety existuje jedinečný pevný bod

Možno ho nájsť ako hranicu jednoduchého iteračného postupu

kde počiatočná aproximácia je ľubovoľný bod intervalu.

Ak je funkcia diferencovateľná, číslo je vhodným kritériom pre kompresiu. Skutočne, podľa Lagrangeovej vety

Ak je teda derivácia menšia ako jedna, potom je to kompresia.

Podmienka podstatné, pretože ak napríklad na, potom neexistuje pevný bod, aj keď je derivácia rovná nule. Miera konvergencie závisí od hodnoty. Čím je menšia, tým je konvergencia rýchlejšia.

Cvičenie:

1) Vyriešte systém pomocou metódy iterácie

2) Pomocou Newtonovej metódy vyriešte systém

nelineárne rovnice s presnosťou 0,001.

Úloha číslo 1 Pomocou iteračnej metódy vyriešte sústavu nelineárnych rovníc s presnosťou 0,001.

Teoretická časť.

Iteračná metóda e Toto je spôsob, ako numericky vyriešiť matematické úlohy. Jeho podstatou je nájsť vyhľadávací algoritmus pomocou známej aproximácie (približnej hodnoty) požadovanej hodnoty nasledujúcej, presnejšej aproximácie. Používa sa v prípade, keď sa postupnosť aproximácií špecifikovaným algoritmom zbieha.

Táto metóda sa nazýva aj metóda postupných aproximácií, metóda opakovaných substitúcií, metóda jednoduchých iterácií atď.

Newtonova metóda, Newtonov algoritmus (známy aj ako tangensová metóda) je iteratívna numerická metóda na nájdenie koreňa (nuly) danej funkcie. Metódu prvýkrát navrhol anglický fyzik, matematik a astronóm Isaac Newton (1643-1727). Hľadanie riešenia sa vykonáva konštruovaním postupných aproximácií a je založené na princípoch jednoduchej iterácie. Metóda má kvadratickú konvergenciu. Vylepšením metódy je metóda akordov a tangens. Newtonovu metódu je možné použiť aj na riešenie problémov s optimalizáciou, v ktorých je potrebné určiť nulu prvej derivácie alebo gradientu v prípade viacrozmerného priestoru. Odôvodnenie

Aby sa rovnica numericky vyriešila jednoduchou iteračnou metódou, musí sa zmenšiť na nasledujúci tvar :, kde je mapovanie kontrakcie.

Na dosiahnutie najlepšej konvergencie metódy v bode ďalšej aproximácie musí byť splnená podmienka. Riešenie tejto rovnice sa hľadá vo forme, potom:

Za predpokladu, že je aproximačný bod „dostatočne blízko“ koreňa a že daná funkcia je spojitá, konečný vzorec pre je:

Vzhľadom na to je funkcia definovaná výrazom:

V susedstve koreňa táto funkcia vykonáva mapovanie kontrakcie a algoritmus na nájdenie numerického riešenia rovnice sa redukuje na iteračný postup výpočtu:

Možnosti práce

№1. 1)
2)

№2. 1)
2)

№3. 1)
2)

№4. 1)
2)

№5. 1)
2)

№6. 1)
2)

№7. 1)
2)

№8. 1)
2)

№9. 1)
2)

№10.1)
2)

№11.1)
2)

№12.1)
2)

№13.1)
2)

№14.1)
2)

№15.1)
2)

№16.1)
2)

№17.1)
2)

№18.1)
2)

№19.1)
2)

№20.1)
2)

№21. 1)
2)

№22. 1)
2)

№23. 1)
2)

№24. 1)
2)

№25. 1)
2)

№26. 1)
2)

№27. 1)
2)

№28. 1)
2)

№29. 1)
2)

№30. 1)
2)

Ukážka zadania

№1. 1)
2)

Príklad riešenia sústavy nelineárnych rovníc iteračnou metódou

Prepíšeme tento systém ako:

Separáciu koreňov vykonávame graficky (obr. 1). Z grafu vidíme, že systém má jedno riešenie, uzavreté v oblasti D: 0<NS<0,3;-2,2<r<-1,8.

Zaistite, aby bola metóda iterácie použiteľná na spresnenie riešenia v systéme, pre ktorú ju napíšeme v nasledujúcej forme:

Od tej doby máme v doméne D

+ = ;

+ =

Podmienky konvergencie sú teda splnené.

Tabuľka 2

NS
	0,15	-2	-0,45	-0,4350	-0,4161	-0,1384
	0,1616	-2,035	-0,4384	-0,4245	-0,4477	-0,1492
	0,1508	-2.0245	-0,4492	-0,4342	-0,4382	-0,1461
	0.1539	-2,0342.	-0,4461	-0.4313	-0,4470	-0,1490
	0.1510	-2,0313	-0,4490	-0,4341	-0,4444	-0.1481
	0,1519	-2,0341	-0,4481	-0,4333	-0,4469	-0,1490
	0,1510	-2.0333	-0.449	-0,4341	-0.4462	-0,1487
	0.1513	-2.0341	-0,4487	-0,4340	-0,4469	-0.1490
	0.1510	-2,0340

Na počiatočné aproximácie používame NS=0,15, y 0 =-2.

(tab. č. 2). Potom bude napísaná odpoveď:

Príklad riešenia sústavy nelineárnych rovníc Newtonovou metódou

Separáciu koreňov vykonávame graficky (obr. 2). Na zostavenie grafov funkcií zostavíme tabuľku hodnôt funkcií a zahrnuté v prvej a druhej rovnici (tabuľka I).

Hodnoty pre x je možné získať na základe nasledujúcich podmienok: z prvej rovnice 1≤1,2x + 0,4≤1, t.j. 1,16≤x≤0,5; z druhej rovnice, t.j. ... Preto .

Systém má dve riešenia. Objasnime jeden z nich, ktorý patrí do regiónu D: 0,4<X<0,5;

0,76<r<0,73. За начальное приближение примем Имеем:

Tabuľka 3

X	-1,1	-1	-0,8	-0,6	-0,2	-0,4		0,2	0,4	0,5
x 2	1.21		0,64	0,36	0,04	0,16		0,04	0.16	0,25
0,8x 2	0,97	0,8	0,51	0,29	0,032	0,13		0,032	0,13	0,2
1 -0,8x 2	0,03	0,2	0,49	0,71	0,97	0,87		0,97	0.87	0,8
	0,02	0,13	0,33	0,47	0,65	0,58	0,67	0,65	0,58	0.53
	± 0,14	± 0,36	± 0,57	± 0,69	± 0,81	± 0,76	± 0,82	± 0,81	± 0,76	± 0,73
1,2x	-1,32	-1,2	-0,9 b "	-0,72	-0,24	-0,48		0,24	0,48	0,6
0,4+1,2X	-0,92	-0,8	-0,56	-0,32	0,16	-0,08	0,4	0,64	0.88
2x-y	-1.17	-0,93	-0,59	-0,33	0,16	-0,08	0,41	0,69	2.06 1,08	1,57
	-1,03	-1,07	-1,01	-0,87	-0,56	-0,72	-0,41	-0,29	-1,26 -1,28	-0.57

Korene sú rafinované Newtonovou metódou:

kde ; ;

;
;

Všetky výpočty sa vykonávajú podľa tabuľky 3

Tabuľka 3			0,10	0,017	-0,0060	0,0247	-0,0027	-0,0256	0,0001	0,0004
		0,2701	0,0440	-0,0193	0,0794	-0,0080	-0,0764	-0,0003	0,0013
		2,6197	3,2199	2,9827	3,1673
		-0,0208	-2,25	0,1615	-2,199	0,1251	-2,1249	0,1452	-2,2017
		-1,1584	0,64	-1,523	0,8	-1,4502	0,7904	-1,4904	0,7861
		0,1198	-0,0282	-0,0131	0,059	-0,0007	-0,0523	-0,0002	0,0010
		0,9988	0,0208	0,9869	-0,1615	0,9921	-0,1251	-0,9894	-0,1452
	0,55	0,733	1,6963	1,7165
		0,128	0,8438	0,2	0,8059	0,1952	0,7525	0,1931	0,8079
		0,4	0,75	0,50	-0,733	0,4940	-0,7083	0,4913	-0,7339	0,4912	-0,7335	Odpoveď: X≈0,491 r≈ 0,734
n