ज्यामिति एक सटीक गणितीय विज्ञान है जो स्थानिक और इसी तरह के अन्य संबंधों और आकृतियों के अध्ययन से संबंधित है। लेकिन इसे अक्सर "सूखा" कहा जाता है क्योंकि यह कई प्राकृतिक वस्तुओं के आकार का वर्णन करने में असमर्थ है, क्योंकि बादल गोलाकार नहीं होते हैं, पहाड़ शंकु नहीं होते हैं, और बिजली सीधी रेखाओं में नहीं फैलती है। मानक ज्यामिति की तुलना में प्रकृति में कई वस्तुएं आकार में जटिल हैं।

फिर भी, कई अद्भुत आंकड़े हैं जो आमतौर पर स्कूल ज्यामिति के पाठों में अध्ययन नहीं किए जाते हैं, लेकिन वे ऐसे हैं जो वास्तविक दुनिया में किसी व्यक्ति को घेरते हैं: प्रकृति और वास्तुकला, पहेलियाँ, कंप्यूटर गेम, आदि।

इस जटिल ज्यामितीय आकृति की मुख्य संपत्ति आत्म-समानता है, अर्थात इसमें कई भाग शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक एक संपूर्ण वस्तु की तरह है। यह ऐसी संपत्ति है जो शास्त्रीय (या, जैसा कि वे कहते हैं, यूक्लिडियन) ज्यामिति से भग्न को अलग करती है।

उसी समय, "फ्रैक्टल" शब्द स्वयं गणितीय नहीं है और इसमें असंदिग्ध परिभाषा नहीं है, इसलिए इसे उन वस्तुओं पर लागू किया जा सकता है जो आत्म-समान या लगभग आत्म-समान हैं। यह 1975 में बेनोइट मंडेलब्रोट द्वारा उधार लिया गया था लैटिन शब्द "फ्रैक्टस" (टूटा, कुचला हुआ)।

वास्तविक दुनिया का वर्णन करने के लिए भग्न रूप सबसे अच्छे हैं और अक्सर प्राकृतिक वस्तुओं के बीच पाए जाते हैं: बर्फ के टुकड़े, पौधे के पत्ते, मनुष्यों और जानवरों की रक्त वाहिका प्रणाली।

यह ज्यामिति में सबसे असाधारण 3 डी आकृतियों में से एक है और घर पर बनाना आसान है। ऐसा करने के लिए, यह एक पेपर स्ट्रिप लेने के लिए पर्याप्त है, जिसकी चौड़ाई इसकी लंबाई से 5-6 गुना कम है, और, 180 ° से एक छोर को घुमाते हुए, उन्हें एक साथ गोंद करें।

यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो आप अपने अद्भुत गुणों को स्वयं देख सकते हैं:

• केवल एक पक्ष की उपस्थिति (आंतरिक और बाहरी में कोई विभाजन नहीं)। यह जांचना आसान है कि क्या आप पेंसिल से इसके किसी एक हिस्से पर पेंट करने की कोशिश करते हैं। इसके बावजूद कि आप कहाँ और किस दिशा में पेंटिंग करना शुरू करते हैं, परिणामस्वरूप, पूरे रिबन को एक ही रंग से चित्रित किया जाएगा।
• निरंतरता: यदि आप पूरी सतह के साथ एक रेखा खींचते हैं, तो रेखा का अंत सतह की सीमाओं को पार किए बिना शुरुआती बिंदु से जुड़ता है।
• द्वि-आयामीता (कनेक्टिविटी): मोबियस स्ट्रिप को काटते समय यह बरकरार रहता है, बस नए आकार प्राप्त होते हैं (उदाहरण के लिए, जब दो में कटौती करते हैं, तो एक बड़ी रिंग निकल जाएगी)।
• अभिविन्यास का अभाव। इस तरह के मोबियस स्ट्रिप के साथ यात्रा हमेशा अंतहीन होगी, यह पथ के शुरुआती बिंदु तक ले जाएगी, केवल दर्पण छवि में।

मोबियस स्ट्रिप का उपयोग उद्योग और विज्ञान (कन्वेयर बेल्ट, डॉट मैट्रिक्स प्रिंटर, शार्पिंग मैकेनिज्म आदि) में व्यापक रूप से किया जाता है। इसके अलावा, एक वैज्ञानिक परिकल्पना है जिसके अनुसार यूनिवर्स स्वयं भी अविश्वसनीय आकार की मोबियस पट्टी है।

Polyomino

ये समतल ज्यामितीय आकृतियाँ हैं जो अपने किनारों पर समान आकार के कई वर्गों को मिलाकर बनती हैं।

Polyomino नाम उन वर्गों की संख्या पर निर्भर करते हैं जिनसे वे बनते हैं:

• मोनोमिनो - 1;
• डोमिनोज़ - 2;
• ट्रिमिनो - 3;
• टेट्रीमिनो - 4, आदि।

इसके अलावा, प्रत्येक किस्म के लिए अलग-अलग प्रकार के आंकड़े हैं: डोमिनोज़ 1 प्रकार के लिए, ट्रिमिनो के लिए - 3 प्रकार, हेक्सामीनो (6 वर्गों में से) के लिए - 35 प्रकार। विभिन्न रूपों की संख्या उपयोग किए गए वर्गों की संख्या पर निर्भर करती है, लेकिन एक ही समय में, कोई भी वैज्ञानिक अभी तक एक अद्भुत सूत्र खोजने में कामयाब नहीं हुआ है जो इस निर्भरता को व्यक्त करेगा। पॉलोमिनो के विवरण से, आप लोगों, जानवरों, वस्तुओं दोनों की ज्यामितीय आकृतियों और चित्रों को बाहर कर सकते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि ये स्केच सिल्हूट होंगे, वस्तुओं की मुख्य विशेषताएं और आकार उन्हें काफी पहचानने योग्य बनाते हैं।

Polyamond

पॉलीओमिनो के साथ, एक अन्य अद्भुत ज्यामितीय आकृति है जिसका उपयोग अन्य आंकड़े - पॉलीमोंड्स की रचना के लिए किया जाता है। यह एक बहुभुज है जो समान आकार के कई समभुज त्रिकोणों से बनता है।

इस नाम का आविष्कार गणितज्ञ टी। ओ। बैरन ने किया था, जिसमें से एक रंबल के नाम पर आधारित था अंग्रेजी भाषा - हीरा, जो 2 समबाहु त्रिभुजों से बना हो सकता है। सादृश्य से, ओ'बेर्न ने 3 समबाहु त्रिभुज त्रिमंड में से एक आकृति कहा, 4 से - टेट्रायंडोमन, आदि।

उनके अस्तित्व का मुख्य प्रश्न पॉलीमाइड्स की संभावित संख्या का प्रश्न है जो एक निश्चित संख्या में त्रिकोण से बना हो सकता है। में पॉलीमोंड का उपयोग असली जीवन भी polyominoes का उपयोग करने के लिए इसी तरह की। ये सभी प्रकार की पहेलियाँ और तर्क कार्य हो सकते हैं।

Reuleaux त्रिकोण

आश्चर्यजनक रूप से यह लग रहा है, लेकिन एक ड्रिल की मदद से आप एक वर्ग छेद ड्रिल कर सकते हैं, और रेउलोक त्रिकोण इस में मदद करता है। यह 3 समान हलकों के चौराहे द्वारा गठित एक क्षेत्र है, जिसके केंद्र एक नियमित त्रिकोण के कोने हैं, और रेडी इसके किनारे के बराबर हैं।

Reuleaux त्रिभुज का नाम खुद जर्मन वैज्ञानिक-इंजीनियर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सबसे पहले इसकी विशेषताओं की सबसे अधिक विस्तार से जाँच की और इसे 19 वीं और 20 वीं शताब्दी के मोड़ पर अपने तंत्र के लिए उपयोग किया। सदी, हालांकि इसके अद्भुत गुणों को लियोनार्डो दा विंची द्वारा जाना जाता था। जिसने भी इसका बीड़ा उठाया है, में आधुनिक दुनियाँ इस आकृति को फार्म में विस्तृत आवेदन मिला है:

• वाट्स ड्रिल, जो आपको लगभग पूर्ण वर्ग आकार के छेद ड्रिल करने की अनुमति देता है, केवल थोड़ा गोल किनारों के साथ;
• एक संगीत वाद्य यंत्र बजाने के लिए आवश्यक पिक;
• कैम मशीनों का उपयोग सिलाई मशीनों, साथ ही जर्मन घड़ियों में ज़िगज़ैग सीम बनाने के लिए किया जाता है;
• इंगित मेहराब, वास्तुकला में गॉथिक शैली की विशेषता।

असंभव आंकड़े

तथाकथित असंभव आंकड़ों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए - अद्भुत ऑप्टिकल भ्रम जो पहली नज़र में एक त्रि-आयामी वस्तु का प्रक्षेपण प्रतीत होते हैं, लेकिन निकट निरीक्षण पर, तत्वों के असामान्य संयोजन ध्यान देने योग्य हो जाते हैं। इनमें से सबसे लोकप्रिय हैं:

पिता और पुत्र लियोनेल और रोजर पेनरोस द्वारा निर्मित ट्राइबर, जो एक समभुज त्रिभुज है, लेकिन अजीब पैटर्न है। त्रिभुज के शीर्ष को बनाने वाले पक्ष लंबवत दिखाई देते हैं, लेकिन नीचे दाएं और बाएं किनारे भी लंबवत दिखाई देते हैं। यदि हम इस त्रिभुज के प्रत्येक भाग को अलग से मानते हैं, तब भी उनके अस्तित्व को पहचानना संभव है, लेकिन वास्तव में ऐसा कोई आंकड़ा मौजूद नहीं हो सकता है, क्योंकि इसके निर्माण के दौरान सही तत्व गलत तरीके से जुड़े थे।

अंतहीन सीढ़ी, जो पेनरोज़ के पिता और पुत्र से भी संबंधित है, यही कारण है कि इसे अक्सर उनके नाम से पुकारा जाता है - "पेनरोज़ सीढ़ी", साथ ही साथ "अनन्त सीढ़ी"। पहली नज़र में, यह ऊपर या नीचे जाने वाली एक साधारण सीढ़ी की तरह दिखता है, लेकिन एक ही समय में इस पर चलने वाला व्यक्ति लगातार (वामावर्त) उठेगा या उतरेगा (दक्षिणावर्त)। यदि आप नेत्रहीन इस तरह की सीढ़ी के साथ यात्रा करते हैं, तो "यात्रा" के अंत में मार्ग के शुरुआती बिंदु पर टकटकी बंद हो जाती है। यदि इस तरह की सीढ़ी वास्तविकता में अस्तित्व में है, तो इसे कई बार चढ़ना और उतरना होगा, जिसकी तुलना अंतहीन सासेफिन श्रम से की जा सकती है।

असंभव त्रिशूल एक अद्भुत वस्तु है, जिसे देखते हुए यह निर्धारित करना असंभव है कि मध्य शूल कहाँ से शुरू होता है। यह अनियमित कनेक्शन के सिद्धांत पर भी आधारित है, जो केवल 2 डी में मौजूद हो सकता है, 3 डी अंतरिक्ष में नहीं। त्रिशूल के हिस्सों को अलग से देखते हुए, एक तरफ 3 गोल दांत दिखाई देते हैं, और दूसरी तरफ 2 आयताकार दांत।

इस प्रकार, आंकड़े के हिस्से एक प्रकार के संघर्ष में आते हैं: सबसे पहले, अग्रभूमि और पृष्ठभूमि बदल जाती है, और दूसरी बात यह है कि निचले हिस्से में गोल दांत ऊपरी हिस्से में फ्लैट वाले में बदल जाते हैं।

अनंत रूप हैं। फॉर्म को किसी वस्तु की बाहरी रूपरेखा कहा जाता है।

रूपों का अध्ययन बचपन से शुरू किया जा सकता है, अपने बच्चे का ध्यान हमारे आस-पास की दुनिया में खींच सकता है, जिसमें आंकड़े शामिल हैं (प्लेट गोल है, टीवी आयताकार है)।

दो साल की उम्र से, बच्चे को तीन सरल आकृतियों को जानना चाहिए - एक चक्र, एक वर्ग, एक त्रिकोण। जब आप मांगते हैं, तो सबसे पहले उसे उन्हें दिखाना चाहिए। और तीन साल की उम्र में पहले से ही उन्हें खुद को बुलाओ और एक आयत से एक वर्ग, एक अंडाकार से एक चक्र को भेद करें।

बच्चे द्वारा किए जाने वाले रूपों को मजबूत करने के लिए जितना अधिक अभ्यास होगा, वह उतने ही नए आंकड़े याद रखेगा।

भविष्य के पहले ग्रेडर को सभी सरल ज्यामितीय आकृतियों को जानना चाहिए और उनसे आवेदन करने में सक्षम होना चाहिए।

हम एक ज्यामितीय आकृति को क्या कहते हैं?

एक ज्यामितीय आकृति एक मानक है जिसके साथ आप किसी वस्तु या उसके भागों के आकार को निर्धारित कर सकते हैं।

आंकड़े दो समूहों में विभाजित हैं: सपाट आंकड़े, बड़ा आंकड़ा।

फ्लैट आंकड़े वे आंकड़े हैं जो एक ही विमान में स्थित हैं। इनमें एक वृत्त, एक अंडाकार, एक त्रिकोण, एक चतुर्भुज (आयत, वर्ग, समलम्बाकार, समभुज, समांतर चतुर्भुज) और सभी प्रकार के बहुभुज शामिल हैं।

वॉल्यूमेट्रिक आंकड़े में शामिल हैं: गोला, घन, सिलेंडर, शंकु, पिरामिड। ये ऐसी आकृतियाँ हैं जिनकी ऊँचाई, चौड़ाई और गहराई है।

दो का पालन करें सरल युक्तियाँ ज्यामितीय आकृतियों की व्याख्या करते समय:

1. धीरज। हम, वयस्क, एक बच्चे के लिए सरल और तार्किक प्रतीत होते हैं, यह केवल समझ से बाहर होगा।
2. अपने बच्चे के साथ आकृतियाँ बनाने की कोशिश करें।
3. एक खेल। चंचल तरीके से आकृतियों की खोज शुरू करें। अच्छा व्यायाम समतल रूपों के निर्धारण और अध्ययन के लिए - ज्यामितीय आकृतियों के अनुप्रयोग। वॉल्यूमेट्रिक के लिए - आप तैयार-खरीदे गए गेम का उपयोग कर सकते हैं, साथ ही उन अनुप्रयोगों का चयन कर सकते हैं जहां आप एक वॉल्यूमेट्रिक आकार को काट और गोंद कर सकते हैं।

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परिचय

ज्यामिति गणितीय शिक्षा के सबसे महत्वपूर्ण घटकों में से एक है, जो अंतरिक्ष और व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण कौशल के बारे में विशिष्ट ज्ञान के अधिग्रहण के लिए आवश्यक है, आसपास की दुनिया की वस्तुओं का वर्णन करने के लिए एक भाषा का गठन, स्थानिक कल्पना और अंतर्ज्ञान, गणितीय संस्कृति के विकास के साथ-साथ सौंदर्य शिक्षा के लिए। ज्यामिति का अध्ययन तार्किक सोच के विकास में योगदान देता है, प्रमाण कौशल का निर्माण।

7 वीं कक्षा के ज्यामिति पाठ्यक्रम में, सबसे सरल ज्यामितीय आकृतियों और उनके गुणों के बारे में ज्ञान व्यवस्थित है; आंकड़ों की समानता की अवधारणा शुरू की गई है; अध्ययन किए गए संकेतों का उपयोग करके त्रिकोणों की समानता साबित करने की क्षमता विकसित की गई है; एक कम्पास और एक शासक का उपयोग करके निर्माण समस्याओं की एक श्रेणी पेश की जाती है; सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक को पेश किया गया है - समानांतर लाइनों की अवधारणा; त्रिकोण के नए रोचक और महत्वपूर्ण गुणों पर विचार किया जाता है; ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक माना जाता है - एक त्रिकोण के कोणों के योग पर प्रमेय, जो किसी को कोणों (तीव्र-कोण, आयताकार, ओबट्यूज़) द्वारा त्रिकोणों का वर्गीकरण देने की अनुमति देता है।

कक्षाओं के दौरान, विशेष रूप से कक्षा के एक भाग से दूसरे भाग में, गतिविधियों को बदलते समय, कक्षाओं में रुचि बनाए रखने पर सवाल उठता है। इस तरह, से मिलता जुलता ज्यामिति पाठों में कार्यों के उपयोग का प्रश्न जिसमें समस्या की स्थिति होती है और रचनात्मकता के तत्व बन जाते हैं। इस तरह, लक्ष्ययह अध्ययन रचनात्मकता और समस्या स्थितियों के तत्वों के साथ ज्यामितीय सामग्री के कार्यों का व्यवस्थितकरण है।

अध्ययन का उद्देश्य: रचनात्मकता, मनोरंजन और समस्या की स्थितियों के तत्वों के साथ ज्यामिति में समस्याएं।

अनुसंधान के उद्देश्य:तर्क, कल्पना और विकसित करने के उद्देश्य से ज्यामिति में मौजूदा समस्याओं का विश्लेषण करें रचनात्मक सोच... यह दिखाएं कि आप मजेदार तकनीकों का उपयोग करके किसी विषय में रुचि कैसे विकसित कर सकते हैं।

सैद्धांतिक और व्यवहारिक महत्व अनुसंधान यह है कि एकत्रित सामग्री का उपयोग प्रक्रिया में किया जा सकता है अतिरिक्त कक्षाएं ज्यामिति में, ओलंपियाड में और ज्यामिति में प्रतियोगिताओं।

अध्ययन क्षेत्र और संरचना:

शोध में एक परिचय, दो अध्याय, एक निष्कर्ष, एक ग्रंथ सूची, 14 मुख्य टंकण पाठ के पृष्ठ, 1 तालिका, 10 आंकड़े शामिल हैं।

अध्याय 1. ग्रह ज्यामितीय चित्र। बुनियादी अवधारणाओं और परिभाषाएँ

1.1। इमारतों और संरचनाओं की वास्तुकला में बुनियादी ज्यामितीय आकार

हमारे आसपास की दुनिया में, विभिन्न आकृतियों और आकारों की कई भौतिक वस्तुएं हैं: आवासीय भवन, कार के पुर्जे, किताबें, गहने, खिलौने आदि।

ज्यामिति में, शब्द वस्तु के बजाय, वे ज्यामितीय आंकड़े कहते हैं, जबकि ज्यामितीय आंकड़े फ्लैट और स्थानिक में विभाजित करते हैं। यह पेपर ज्यामिति के सबसे दिलचस्प खंडों में से एक पर विचार करेगा - प्लैनिमेटरी, जिसमें केवल विमान के आंकड़े पर विचार किया जाता है। Planimetry (लाट। प्लेनम से - "प्लेन", ओल्ड ग्रीक μεωρ "-" आई मेज़र ") - यूक्लिडियन ज्यामिति का एक भाग जो दो-आयामी (एक-प्लेन) आंकड़ों का अध्ययन करता है, यानी कि आंकड़े जो एक प्लेन के भीतर स्थित हो सकते हैं। एक विमान ज्यामितीय आकृति एक है, जिसके सभी बिंदु एक ही तल पर स्थित हैं। इस तरह के एक आंकड़े का एक विचार कागज की शीट पर बनाई गई किसी भी ड्राइंग द्वारा दिया गया है।

लेकिन फ्लैट आंकड़ों पर विचार करने से पहले, सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण आंकड़ों से परिचित होना आवश्यक है, जिसके बिना फ्लैट आंकड़े बस मौजूद नहीं हो सकते।

सबसे सरल ज्यामितीय आकार है डॉट। यह ज्यामिति में मुख्य आंकड़ों में से एक है। वह बहुत छोटी है, लेकिन वह हमेशा निर्माण के लिए उपयोग किया जाता है अलग - अलग रूप सतह पर। बिंदु बिल्कुल सभी निर्माणों के लिए मुख्य आंकड़ा है, यहां तक \u200b\u200bकि उच्चतम जटिलता भी। गणित की दृष्टि से, एक बिंदु एक अमूर्त स्थानिक वस्तु है जिसमें क्षेत्र, मात्रा जैसी विशेषताएं नहीं होती हैं, लेकिन एक ही समय में ज्यामिति में एक मौलिक अवधारणा बनी हुई है।

सीधे- ज्यामिति की मूलभूत अवधारणाओं में से एक। ज्यामिति की एक व्यवस्थित प्रस्तुति में, एक सीधी रेखा को आम तौर पर मूल अवधारणाओं में से एक के रूप में लिया जाता है, जो केवल परोक्ष रूप से ज्यामिति के स्वयंसिद्धों (यूक्लिडियन) द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि ज्यामिति के निर्माण का आधार अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की अवधारणा है, तो एक सीधी रेखा को एक रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसके साथ पथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर है।

अंतरिक्ष में सीधी रेखाएं विभिन्न पदों पर कब्जा कर सकती हैं, उनमें से कुछ पर विचार कर सकते हैं और उदाहरण दे सकते हैं जो इमारतों और संरचनाओं के वास्तुशिल्प रूप में पाए जाते हैं (तालिका 1):

तालिका एक

समानांतर रेखाएं	समानांतर रेखा गुण
	यदि रेखाएं समानांतर हैं, तो उनके समान नाम के अनुमान समानांतर हैं:	Essentuki, मिट्टी स्नान भवन (लेखक की तस्वीर)
सीधी रेखाओं को समेटना	लाइन गुणों में दखल देना	इमारतों और संरचनाओं की वास्तुकला में उदाहरण हैं
	सीधी रेखाओं का परस्पर संबंध एक सामान्य बिंदु है, अर्थात, समान संचार रेखा पर एक ही नाम के उनके अनुमानों के प्रतिच्छेदन के बिंदु:	ताइवान में पहाड़ की इमारतें https://www.sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
सीधी रेखाओं को पार किया	अन्तर्विभाजक लाइनों के गुण	इमारतों और संरचनाओं की वास्तुकला में उदाहरण हैं
	लाइनें जो एक ही विमान में नहीं लेटती हैं और एक-दूसरे के समानांतर नहीं होती हैं, वे परस्पर जुड़ती हैं। कोई भी आम संचार लाइन नहीं है। यदि एक ही विमान में अन्तर्विभाजक और समानांतर रेखाएँ स्थित हैं, तो प्रतिच्छेद रेखाएँ दो समानांतर समतल में स्थित हैं।	रॉबर्ट, ह्यूबर्ट - रोम के पास विला मदामा https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287

1.2। फ्लैट ज्यामितीय आकार। गुण और परिभाषा

परिदृश्यों और दूर के ग्रहों की सुविधाओं के लिए, पौधों और जानवरों, पहाड़ों और नदियों के मोड़ के रूपों का अवलोकन करते हुए, प्रकृति से मनुष्य अपने सही रूपों, आकारों और गुणों से उधार लेता है। सामग्री की ज़रूरतों ने एक व्यक्ति को आवास बनाने, श्रम और शिकार के उपकरण बनाने, मिट्टी से मिट्टी के बर्तन बनाने के लिए प्रेरित किया, और इसी तरह। यह सब धीरे-धीरे इस तथ्य में योगदान देता है कि एक व्यक्ति बुनियादी ज्यामितीय अवधारणाओं के बारे में जागरूकता के लिए आया था।

चतुर्भुजों:

चतुर्भुज (ओल्ड ग्रीक Oldαραλληλαραμμνπ άαράλλςλογ से - समानांतर और γραμμή - लाइन, लाइन) एक चतुर्भुज है जिसमें विपरीत पक्ष युग्मक समानांतर होते हैं, अर्थात समानांतर रेखाओं पर झूठ बोलते हैं।

समांतर चिन्ह:

एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है: 1. यदि चतुर्भुज में विपरीत भुजाएं जोड़े में समान हों, तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है। 2. यदि एक चतुर्भुज विकर्ण में प्रतिच्छेद होता है और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है। 3. यदि एक चतुर्भुज में दो पक्ष समान और समानांतर हैं, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

एक समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी कोण सीधे होते हैं, कहा जाता है आयत।

एक समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी भुजाएँ समान होती हैं, कहलाता है समचतुर्भुज।

Trapezium- यह एक चतुर्भुज है जिसमें दो पक्ष समानांतर हैं और अन्य दो समानांतर नहीं हैं। साथ ही, एक ट्रेपोजॉइड को एक चतुर्भुज कहा जाता है, जिसमें विपरीत पक्षों की एक जोड़ी समानांतर होती है, और पक्ष एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं।

त्रिभुज- यह तीन खंडों द्वारा गठित सबसे सरल ज्यामितीय आकृति है जो तीन बिंदुओं को जोड़ती है जो एक सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोलते हैं। इन तीन बिंदुओं को कोने कहा जाता है त्रिकोण, और सेगमेंट - पक्षों द्वारा त्रिकोण। यह इसकी सरलता के कारण है कि त्रिकोण कई आयामों का आधार था। ग्रहों और तारों की दूरियों का पता लगाने के लिए भूमि और खगोलविदों के क्षेत्र की गणना में सर्वेक्षण करने वाले त्रिकोण के गुणों का उपयोग करते हैं। यह त्रिकोणमिति का विज्ञान कैसे उत्पन्न हुआ - त्रिकोणों को मापने का विज्ञान, अपने कोणों के माध्यम से पक्षों को व्यक्त करता है। एक त्रिकोण के क्षेत्र के माध्यम से, किसी भी बहुभुज के क्षेत्र को व्यक्त किया जाता है: यह बहुभुज को त्रिकोणों में तोड़ने, उनके क्षेत्रों की गणना करने और परिणामों को जोड़ने के लिए पर्याप्त है। सच है, एक त्रिकोण के क्षेत्र के लिए सही सूत्र तुरंत नहीं मिला था।

त्रिकोण के गुणों का विशेष रूप से XV-XVI सदियों में सक्रिय रूप से अध्ययन किया गया था। लियोनार्ड यूलर के कारण, इस समय के सबसे सुंदर प्रमेयों में से एक है:

त्रिकोण की ज्यामिति पर भारी मात्रा में काम, XY-XIX शताब्दियों में किए गए, ने यह धारणा बनाई कि सब कुछ त्रिकोण के बारे में पहले से ही ज्ञात था।

बहुभुज -यह एक ज्यामितीय आकृति है, जिसे आमतौर पर एक बंद पॉलीलाइन के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एक क्षेत्र में - समतल पर बिंदुओं का स्थान, जिस से किसी दिए गए बिंदु की दूरी, जिसे वृत्त का केंद्र कहा जाता है, किसी दिए गए गैर-ऋणात्मक संख्या से अधिक नहीं है, जिसे इस वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है। यदि त्रिज्या शून्य है, तो वृत्त एक बिंदु में पतित हो जाता है।

बड़ी संख्या में ज्यामितीय आकार हैं, वे सभी मापदंडों और गुणों में भिन्न होते हैं, कभी-कभी उनके आकार के साथ आश्चर्य होता है।

अपने गुणों और विशेषताओं द्वारा फ्लैट आंकड़ों को बेहतर तरीके से याद रखने और अलग करने के लिए, मैं एक ज्यामितीय परी कथा के साथ आया, जिसे मैं अगले पैराग्राफ में आपका ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा।

अध्याय 2. ग्रह भू-आकृति के पुंज

२.१ निर्माण पहेली जटिल आंकड़ा फ्लैट ज्यामितीय तत्वों के एक सेट से।

फ्लैट के आंकड़ों का अध्ययन करने के बाद, मुझे आश्चर्य हुआ कि क्या फ्लैट आंकड़ों के साथ कुछ दिलचस्प समस्याएं हैं, जिन्हें टास्क-गेम या टास्क-पज़ल के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। और मुझे जो पहली समस्या मिली वह थी तांग्राम पहेली।

यह एक चीनी पहेली है। चीन में इसे ची ताओ तू, सात टुकड़ों वाली मानसिक पहेली कहा जाता है। यूरोप में, "तांग्राम" नाम "टैन" शब्द से सबसे अधिक संभावना है, जिसका अर्थ है "चीनी" और मूल "ग्राम" (ग्रीक - "अक्षर")।

पहले आपको 10 x 10 वर्ग खींचने और इसे सात भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है: पांच त्रिकोण 1-5 , वर्ग 6 और समांतर चतुर्भुज 7 ... पहेली का सार सभी सात भागों का उपयोग करके अंजीर 3 में दिखाए गए आंकड़ों को एक साथ रखना है।

चित्र 3। खेल "तांग्राम" और ज्यामितीय आकार के तत्व

चित्र 4। टेंगरम quests

फ्लैट आंकड़ों से "आकार" बहुभुज बनाना विशेष रूप से दिलचस्प है, केवल वस्तुओं की रूपरेखा (छवि 4) को जानना। मैं खुद ऐसे कई कार्यों को लेकर आया था और इन कार्यों को अपने सहपाठियों को दिखाया, जिन्होंने खुशी के साथ कार्यों को हल करना शुरू किया और हमारे आसपास की दुनिया में वस्तुओं की रूपरेखा के समान कई दिलचस्प पॉलीहेड्रॉन आंकड़े बनाए।

कल्पना के विकास के लिए, आप मनोरंजक पहेली के ऐसे रूपों का उपयोग कर सकते हैं जो दिए गए आंकड़े को काटने और पुन: पेश करने के लिए कार्य करते हैं।

उदाहरण 2. काटने के लिए कार्य (लकड़ी की छत) पहली नज़र में, बहुत विविध लग सकते हैं। हालांकि, उनमें से अधिकांश केवल कुछ बुनियादी प्रकार के कटौती का उपयोग करते हैं (एक नियम के रूप में, जिनकी सहायता से एक समांतरलोग्राम से दूसरे को प्राप्त कर सकते हैं)।

चलो कुछ काटने की तकनीक पर विचार करें। इस मामले में, कटौती के आंकड़े कहा जाएगा बहुभुज।

चित्र: 5. काटने की तकनीक

चित्रा 5 ज्यामितीय आकृतियों को दर्शाता है, जिसमें से आप विभिन्न सजावटी रचनाओं को इकट्ठा कर सकते हैं और अपने हाथों से एक आभूषण बना सकते हैं।

उदाहरण 3. एक और दिलचस्प काम, जो आप स्वतंत्र रूप से अन्य छात्रों के साथ आविष्कार और आदान-प्रदान कर सकते हैं, जबकि जो कोई भी कटौती के आंकड़े अधिक एकत्र करता है, उसे विजेता घोषित किया जाता है। इस प्रकार के काफी कार्य हो सकते हैं। कोडिंग के लिए, आप सभी मौजूदा ज्यामितीय आकार ले सकते हैं, जो तीन या चार भागों में काटे जाते हैं।

चित्रा 6 कटिंग कार्यों के उदाहरण:

------ - फिर से बनाया गया वर्ग; - कैंची के साथ कट;

मुख्य आंकड़ा

2.2 समान और समान आकार के आंकड़े

आइए फ्लैट आंकड़ों को काटने के लिए एक और दिलचस्प तकनीक पर विचार करें, जहां काटने के मुख्य "नायक" बहुभुज होंगे। बहुभुज के क्षेत्रों की गणना करते समय, एक सरल तकनीक का उपयोग विभाजन विधि कहा जाता है।

सामान्य तौर पर, बहुभुज को एक निश्चित तरीके से बहुभुज को काटने के बाद, कैंची-बधाई कहा जाता है एफ भागों की एक सीमित संख्या में, यह संभव है, इन भागों को अलग-अलग व्यवस्थित करके, बहुभुज एच।

इसका तात्पर्य निम्नलिखित है प्रमेय: समतुल्य बहुभुजों का क्षेत्रफल समान होता है, इसलिए उन्हें समान माना जाएगा।

कैंची के आकार के बहुभुजों के उदाहरण का उपयोग करते हुए, कोई भी इस तरह के एक दिलचस्प विच्छेदन पर विचार कर सकता है जैसे "ग्रीक क्रॉस" को एक वर्ग (छवि 7) में बदल दिया जाए।

चित्र 7। "ग्रीक क्रॉस" का रूपांतरण

ग्रीक क्रॉस से बने मोज़ेक (लकड़ी की छत) के मामले में, अवधियों का समांतर चतुर्भुज एक वर्ग है। हम क्रॉस का उपयोग करके गठित मोज़ेक पर वर्गों से बने एक मोज़ेक को सुपरइम्पोज़ करके समस्या का समाधान कर सकते हैं ताकि एक मोज़ेक के अनुरूप अंक दूसरे के सर्वांगसम अंकों के साथ मेल खाते हों (चित्र 8)।

चित्रा में, क्रॉस के मोज़ेक के अनुरूप अंक, क्रॉस के केंद्र, "स्क्वायर" मोज़ेक के अनुरूप बिंदुओं के साथ मेल खाते हैं - वर्गों के कोने। समानांतर में वर्ग मोज़ेक को स्थानांतरित करने से हमें हमेशा समस्या का समाधान मिलता है। इसके अलावा, कार्य में समाधान के लिए कई विकल्प हैं, यदि रंग का उपयोग लकड़ी की छत के आभूषण को बनाते समय किया जाता है।

चित्र 8। ग्रीक क्रॉस से लकड़ी की छत इकट्ठी हुई

एक समानांतर चतुर्भुज के उदाहरण पर कैंची-बधाई आंकड़ों का एक और उदाहरण माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक समांतर चतुर्भुज एक आयत (छवि 9) के बराबर है।

यह उदाहरण विभाजन की पद्धति को दर्शाता है, जिसमें इस तथ्य में शामिल है कि बहुभुज के क्षेत्र की गणना करने के लिए, वे इसे भागों की एक सीमित संख्या में विभाजित करने का प्रयास करते हैं ताकि इन भागों का उपयोग एक सरल बहुभुज की रचना करने के लिए किया जा सके, जिसका क्षेत्र हम पहले से ही जानते हैं।

उदाहरण के लिए, एक त्रिकोण समान आधार और आधी ऊँचाई वाले समांतर चतुर्भुज के बराबर होता है। इस स्थिति से, त्रिकोण के क्षेत्र का सूत्र आसानी से प्राप्त होता है।

ध्यान दें कि उपरोक्त प्रमेय भी सही है प्रमेय प्रमेय: यदि दो बहुभुज समान आकार के हैं, तो वे समान रूप से निर्मित हैं।

यह प्रमेय, 19 वीं शताब्दी के पूर्वार्ध में सिद्ध हुआ। हंगेरियन गणितज्ञ एफ। बोयई और जर्मन अधिकारी और गणित के प्रेमी पी। ग्रीविन को इस रूप में दर्शाया जा सकता है: यदि बहुभुज और एक बहुभुज बॉक्स के आकार में एक केक होता है, जो पूरी तरह से आकार में भिन्न होता है, लेकिन एक ही क्षेत्र में, तो आप केक को कई टुकड़ों में काट सकते हैं। (उन्हें उल्टा किए बिना) ताकि उन्हें इस बॉक्स में रखा जा सके।

निष्कर्ष

अंत में, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि फ्लैट के आंकड़ों की समस्याओं को विभिन्न स्रोतों में पर्याप्त रूप से दर्शाया गया है, लेकिन जिनके आधार पर मुझे अपनी पहेली समस्याओं के साथ आना पड़ा, वे मेरी रुचि के थे।

ऐसी समस्याओं को हल करने के बाद, व्यक्ति न केवल जीवन के अनुभव को संचित कर सकता है, बल्कि नए ज्ञान और कौशल भी प्राप्त कर सकता है।

पहेली में जब टर्न, शिफ्ट, विमानों पर स्थानांतरण या उनकी रचनाओं का उपयोग करते हुए एक्शन-मूव्स का निर्माण होता है, तो मुझे स्वतंत्र रूप से नई छवियां मिलीं, उदाहरण के लिए, खेल "तांग्राम" से पॉलीहेड्रॉन के आंकड़े।

यह ज्ञात है कि किसी व्यक्ति की सोच की गतिशीलता की मुख्य कसौटी, समय की एक निश्चित अवधि में कुछ क्रियाओं को करने के लिए मनोरंजन और रचनात्मक कल्पना के माध्यम से, और हमारे मामले में, एक विमान पर आंकड़े की चाल है। इसलिए, गणित का अध्ययन और, विशेष रूप से, स्कूल में ज्यामिति मुझे अपने भविष्य की व्यावसायिक गतिविधियों में इसे लागू करने के लिए और भी अधिक ज्ञान देगी।

ग्रंथ सूची

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4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID\u003d16053

परिशिष्ट 1

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परिशिष्ट 2

खेल "तांग्राम" और ज्यामितीय आकार के तत्व

"ग्रीक क्रॉस" का रूपांतरण

ज्यामितीय आंकड़े बिंदुओं, रेखाओं, निकायों या सतहों का एक जटिल है। इन तत्वों को एक विमान और अंतरिक्ष दोनों पर स्थित किया जा सकता है, जिससे सीधी रेखाओं की एक सीमित संख्या बनती है।

शब्द "आकार" अंक के कई सेट को संदर्भित करता है। उन्हें एक या एक से अधिक विमानों पर स्थित होना चाहिए और एक ही समय में विशिष्ट पंक्तियों की एक सीमित संख्या तक सीमित होना चाहिए।

मुख्य ज्यामितीय आकार एक बिंदु और एक सीधी रेखा है। वे एक विमान पर स्थित हैं। उनके अलावा, के बीच सरल आंकड़े एक किरण, एक टूटी लाइन और एक खंड का चयन करें।

डॉट

यह ज्यामिति में मुख्य आंकड़ों में से एक है। यह बहुत छोटा है, लेकिन यह हमेशा एक विमान पर विभिन्न आकृतियों के निर्माण के लिए उपयोग किया जाता है। बिंदु बिल्कुल सभी निर्माणों के लिए मुख्य आंकड़ा है, यहां तक \u200b\u200bकि उच्चतम जटिलता भी। ज्यामिति में, लैटिन वर्णमाला के एक अक्षर के साथ इसे निरूपित करने की प्रथा है, उदाहरण के लिए, ए, बी, के, एल।

गणित की दृष्टि से, एक बिंदु एक अमूर्त स्थानिक वस्तु है जिसमें क्षेत्र, मात्रा जैसी विशेषताएं नहीं होती हैं, लेकिन एक ही समय में ज्यामिति में एक मौलिक अवधारणा बनी हुई है। इस शून्य-आयामी वस्तु की कोई परिभाषा नहीं है।

सीधे

यह आकार पूरी तरह से एक विमान में फिट बैठता है। सीधी रेखा में एक विशिष्ट गणितीय परिभाषा नहीं होती है, क्योंकि इसमें एक अंतहीन रेखा पर स्थित अंकों की एक बड़ी संख्या होती है, जिसकी कोई सीमा और सीमा नहीं होती है।

एक खंड भी है। यह भी एक सीधी रेखा है, लेकिन यह एक बिंदु के साथ शुरू और समाप्त होता है, जिसका अर्थ है कि इसमें ज्यामितीय प्रतिबंध हैं।

इसके अलावा, रेखा एक निर्देशित बीम में बदल सकती है। यह तब होता है जब एक बिंदु से एक सीधी रेखा शुरू होती है, लेकिन स्पष्ट अंत नहीं होता है। यदि आप लाइन के बीच में एक बिंदु रखते हैं, तो यह दो किरणों (अतिरिक्त) में विभाजित हो जाएगा, और विपरीत रूप से एक दूसरे को निर्देशित किया जाएगा।

कई खंड जो क्रमिक रूप से एक दूसरे से एक आम बिंदु पर एक दूसरे से जुड़े होते हैं और एक सीधी रेखा पर स्थित नहीं होते हैं उन्हें टूटी रेखा कहा जाता है।

कोण

ज्यामितीय आकृतियों, जिन नामों पर हमने ऊपर चर्चा की, उन्हें अधिक जटिल मॉडल बनाने में उपयोग किए जाने वाले प्रमुख तत्व माना जाता है।

कोण एक संरचना है जिसमें एक शीर्ष और दो किरणें होती हैं जो उससे फैलती हैं। यही है, इस आंकड़े के पक्ष एक बिंदु पर जुड़े हुए हैं।

विमान

आइए एक और प्राथमिक अवधारणा पर विचार करें। एक विमान एक ऐसा आंकड़ा है जिसका कोई अंत या शुरुआत नहीं है, साथ ही एक सीधी रेखा और एक बिंदु भी है। इस ज्यामितीय तत्व पर विचार करते समय, केवल इसके भाग को ध्यान में रखा जाता है, पॉलीलाइन बंद लाइन के समोच्चों द्वारा सीमित होता है।

किसी भी चिकनी बंधी हुई सतह को एक विमान माना जा सकता है। यह एक इस्त्री बोर्ड, कागज का एक टुकड़ा, या एक दरवाजा भी हो सकता है।

चतुर्भुजों

एक समांतर चतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसके विपरीत पक्ष जोड़े में एक दूसरे के समानांतर हैं। इस डिजाइन के निजी प्रकारों में, रोम्बस, आयत और वर्ग प्रतिष्ठित हैं।

एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी पक्ष समकोण पर स्पर्श करते हैं।

एक वर्ग बराबर पक्षों और कोणों के साथ एक आयत है।

एक रोम्बस एक आकृति है जिसमें सभी चेहरे समान हैं। इस मामले में, कोण पूरी तरह से अलग हो सकते हैं, लेकिन जोड़े में। प्रत्येक वर्ग एक ताल के रूप में गिना जाता है। लेकिन यह नियम हमेशा विपरीत दिशा में काम नहीं करता है। हर एक मकबरा एक वर्ग नहीं है।

चतुर्भुज

ज्यामितीय आकार पूरी तरह से अलग और सनकी हैं। उनमें से प्रत्येक में एक अद्वितीय आकार और गुण हैं।

एक ट्रेपोज़ॉइड एक आकृति है जो कुछ हद तक एक चतुर्भुज के समान है। इसके दो समानांतर विपरीत पक्ष हैं और इसे घुमावदार माना जाता है।

एक क्षेत्र में

यह ज्यामितीय आकृति अपने केंद्र से समान बिंदुओं के एक समतल पर स्थान का अनुमान लगाती है। इस मामले में, किसी दिए गए नॉनजरो सेगमेंट को आमतौर पर त्रिज्या कहा जाता है।

त्रिभुज

यह एक सरल ज्यामितीय आकृति है जिसे बहुत बार देखा और अध्ययन किया जाता है।

एक त्रिभुज को बहुभुज की उप-प्रजाति माना जाता है, जो एक तल पर स्थित होता है और तीन मुखों और संपर्क के तीन बिंदुओं से घिरा होता है। ये तत्व जोड़े में जुड़े हुए हैं।

बहुभुज

बहुभुज के कोने खंडों को जोड़ने वाले बिंदु हैं। और उत्तरार्द्ध, बदले में, पार्टियों के रूप में माना जाता है।

वॉल्यूमेट्रिक ज्यामितीय आकार

• प्रिज़्म;
• क्षेत्र के;
• शंकु;
• सिलेंडर;
• पिरामिड;

इन निकायों में कुछ सामान्य है। वे सभी एक बंद सतह तक सीमित हैं, जिसके अंदर कई बिंदु हैं।

वॉल्यूमेट्रिक बॉडीज का अध्ययन न केवल ज्यामिति में किया जाता है, बल्कि क्रिस्टलोग्राफी में भी किया जाता है।

जिज्ञासु तथ्य

निश्चित रूप से आप नीचे दी गई जानकारी को पढ़ने में दिलचस्पी लेंगे।

• प्राचीन काल में एक विज्ञान के रूप में ज्यामिति का गठन किया गया था। यह घटना आमतौर पर कला और विभिन्न शिल्पों के विकास से जुड़ी होती है। और ज्यामितीय आंकड़ों के नाम समानता और समानता का निर्धारण करने के सिद्धांतों के उपयोग का संकेत देते हैं।
• प्राचीन ग्रीक से अनुवादित, "ट्रेपेज़ियम" शब्द का अर्थ भोजन के लिए एक तालिका है।
• यदि आप अलग-अलग आकार लेते हैं, जिसकी परिधि समान है, तो सर्कल को सबसे बड़ा क्षेत्र होने की गारंटी है।
• ग्रीक से अनुवादित, "शंकु" शब्द का अर्थ है पाइन शंकु।
• काज़मीर मालेविच द्वारा एक प्रसिद्ध पेंटिंग है, जिसने पिछली शताब्दी के बाद से कई चित्रकारों के विचारों को आकर्षित किया है। "ब्लैक स्क्वायर" का काम हमेशा रहस्यमय और रहस्यमय रहा है। एक सफेद कैनवास पर ज्यामितीय आकृति एक ही समय में प्रसन्न और विस्मित करती है।

कई ज्यामितीय आकार हैं। वे सभी मापदंडों में भिन्न होते हैं, और कभी-कभी अपने आकृतियों से भी आश्चर्यचकित होते हैं।

चुकुर ल्यूडमिला वासिलिवना
ज्यामितीय आंकड़े। वस्तुओं और ज्यामितीय आकृतियों के आकार के बारे में बच्चों की धारणा

« GEOMETRIC FIGURE.

बच्चों द्वारा प्रदर्शन की विशेषताएं

तैयार: कला। शिक्षक चुकोर एल... में।

1. अवधारणा « ज्यामितीय आकृति» . वस्तुओं के आकार के बारे में विचारों के विकास की विशेषताएं पूर्वस्कूली बच्चों में

दूसरों के गुणों में से एक वस्तुएं उनका आकार है. वस्तुओं का आकार में संक्षेप किया गया था ज्यामितीय आकार.

चित्रा एक लैटिन शब्द हैमाध्यम "प्रपत्र", "राय", "निशान"; यह एक बंद लाइन से बंधे विमान का एक हिस्सा है, या एक बंद सतह से घिरा हुआ अंतरिक्ष का एक हिस्सा है। यह शब्द बारहवीं शताब्दी में सामान्य उपयोग में आया। इससे पहले, एक और लैटिन शब्द का इस्तेमाल अक्सर किया जाता था - « फार्म» , मतलब भी "बाहरी दृश्य", “बाहरी रूपरेखा विषय» .

देख रहा हूं आसपास की दुनिया की वस्तुएँ, लोगों ने देखा कि कुछ सामान्य संपत्ति है जो आपको गठबंधन करने की अनुमति देती है एक समूह में आइटम... इस संपत्ति को नाम दिया गया है ज्यामितीय आकृति. ज्यामितीय आकृति किसी वस्तु के आकार को निर्धारित करने के लिए एक मानक है, अंकों का कोई गैर-खाली सेट; सामान्यीकृत अमूर्त अवधारणा।

अपने आप एक ज्यामितीय आकृति की परिभाषा प्राचीन यूनानियों द्वारा दी गई थी... वे पहचान की, क्या ज्यामितीय आकृति विमान पर एक बंद लाइन से घिरा आंतरिक क्षेत्र है। यूक्लिड ने अपने काम में इस अवधारणा का सक्रिय रूप से उपयोग किया। प्राचीन यूनानियों ने सब कुछ वर्गीकृत किया ज्यामितीय आकार और उन्हें नाम दिया.

पहले का उल्लेख ज्यामितीय आकार प्राचीन मिस्र और प्राचीन सुमेरियों के बीच पाया जाता है। वैज्ञानिकों-पुरातत्वविदों ने एक पेपिरस स्क्रॉल के साथ पाया है ज्यामितीय समस्याएं जिसका उल्लेख किया गया है ज्यामितीय आंकड़े... और उनमें से प्रत्येक को कुछ कहा जाता था एक निश्चित शब्द.

इस तरह, ज्यामिति का विचार और इस विज्ञान द्वारा अध्ययन किया गया आंकड़े प्राचीन काल के लोग थे, लेकिन नाम, « ज्यामितीय आकृति» और सभी के नाम ज्यामितीय आकार प्राचीन यूनानी वैज्ञानिकों द्वारा दिया गया।

हमारे समय में, परिचित के साथ ज्यामितीय आकार प्रारंभिक बचपन में शुरू होता है और पूरे शिक्षण पथ पर जारी रहता है। पूर्वस्कूली सीखने दुनियाविविधता के साथ सामना किया वस्तुओं का आकार, नाम और उन्हें भेद करने के लिए सीखें, और फिर गुणों से परिचित हों ज्यामितीय आकार.

फार्म - यह बाहरी रूपरेखा है विषय... बहुत सारा रूपों अंतहीन.

वस्तुओं के आकार का प्रतिनिधित्व जल्दी बच्चों में होने वाली। एलए वेंगर के अध्ययन में, यह स्पष्ट किया गया है कि क्या अंतर करना संभव है बच्चों द्वारा वस्तुओं का आकारजिन्होंने अभी तक नहीं किया है हथियाने की एक कार्रवाई का गठन किया है... एक संकेतक के रूप में, उन्होंने 3-4 महीने की उम्र में एक बच्चे की अस्थायी प्रतिक्रिया का उपयोग किया।

बच्चों के लिए प्रस्तुत किया गया एक ही स्टील के रंग और आकार (एक प्रिज्म और एक गेंद) के दो वॉल्यूमेट्रिक बॉडी, उनमें से एक को ओरिएंटिंग प्रतिक्रिया को बुझाने के लिए अखाड़े से ऊपर निलंबित कर दिया गया था, फिर एक जोड़ी को फिर से निलंबित कर दिया गया था; आंकड़े... उनमें से एक (चश्मे) प्रतिक्रिया बुझ गई, एक और (गेंद) - नया। छोटों ने नए को देखा आकृति और इसे पुराने समय की तुलना में अधिक समय तक टकटकी के साथ तय किया।

एलए वेंगर ने यह भी कहा कि ज्यामितीय आकृति स्थानिक अभिविन्यास में परिवर्तन के साथ, एक ही दृश्य एकाग्रता एक नए पर उठती है ज्यामितीय आकृति.

एम। डेनिसोवा और एन द्वारा शोध। फिगरिन ने दिखायाकि बच्चा चालू है स्पर्श करने के लिए आकार बोतल को परिभाषित करता है, शांत करनेवाला, माँ के स्तन। बच्चे नेत्रहीन रूप से अंतर करना शुरू करते हैं 5 महीने से वस्तुओं का आकार... इस मामले में, भेदभाव का सूचक हाथों की चाल है, शरीर प्रायोगिक वस्तु की ओर और उसे लोभी (खाद्य सुदृढीकरण के साथ).

अन्य अध्ययनों में पाया गया है कि यदि आइटम रंग में भिन्न होते हैं, तब 3 साल का बच्चा उनका चयन करता है केवल अगर फार्म, यदि एक विषय व्यावहारिक अनुभव से बच्चे को परिचित (हेरफेर का अनुभव, कार्रवाई).

यह इस तथ्य से साबित होता है कि बच्चा समान रूप से सीधी और उलटी छवियों को पहचानता है (वह किताब को पकड़ते समय परिचित चित्रों को देख और समझ सकता है। "उल्टा", विषयोंअसामान्य रंगों में चित्रित (एक काला सेब, लेकिन एक कोण पर एक वर्ग घुमाया जाता है, जो कि एक रोम्बस के रूप में होता है, पहचान नहीं करता है, क्योंकि तत्काल समानता गायब हो जाती है वस्तु का आकार, जो अनुभव में नहीं है।

2. बच्चों द्वारा धारणा की विशेषताएं पूर्वस्कूली उम्र वस्तुओं के आकार और ज्यामितीय आकार

अग्रणी में से एक संज्ञानात्मक प्रक्रियाओं पूर्वस्कूली बच्चे हैं अनुभूति. अनुभूति एक को अलग करने में मदद करता है दूसरे से विषय, कुछ पर प्रकाश डालिए विषयों या उसके समान दूसरों से घटना।

प्राथमिक महारत वस्तु का आकार आइटम आकारऐसा नहीं है विषय पूवर् म होना व्यावहारिक क्रियाएं। के साथ बच्चों के कार्य विषयों अलग-अलग चरणों में अलग-अलग हैं।

मनोवैज्ञानिक एस एन शबालिन के शोध से पता चलता है कि ज्यामितीय आंकड़ा माना जाता है एक अजीब तरह से प्रीस्कूलर। यदि एक वयस्क मानते बाल्टी या गिलास की तरह विषयोंबेलनाकार होना आकारफिर उसमें धारणा ज्ञान पर बदल जाती है ज्यामितीय आकार ... एक पूर्वस्कूली में, विपरीत होता है।

बच्चे 3-4 साल के ज्यामितीय आकृतियों को ऑब्जेक्टिफाई करेंचूंकि वे अपने अनुभव में हैं वस्तुओं के साथ अविभाज्य रूप से प्रस्तुत किया गयाअमूर्त नहीं हैं। ज्यामितीय आकृति बच्चों द्वारा चित्र के रूप में देखी जाती है।कुछ की तरह विषय: एक वर्ग एक रूमाल, एक जेब है; त्रिभुज - छत, वृत्त - पहिया, गेंद, इसके आगे दो वृत्त - चश्मा, इसके आगे कई वृत्त - मोती, आदि।

4 साल की उम्र में एक ज्यामितीय आकृति की वस्तुकरण केवल तभी होता है जब कोई बच्चा किसी अपरिचित से टकराता है आकृति: सिलेंडर एक बाल्टी, एक ग्लास है।

4-5 साल की उम्र में, बच्चे की तुलना करना शुरू हो जाता है विषय के साथ ज्यामितीय आंकड़ा: वर्ग के बारे में कहते हैं "यह एक रूमाल की तरह है".

संगठित सीखने के परिणामस्वरूप, बच्चे दूसरों में प्रकाश डालना शुरू करते हैं परिचित ज्यामितीय आकार, तुलना करें एक आकृति के साथ वस्तु(एक सिलेंडर के रूप में एक गिलास, एक त्रिकोण के रूप में एक छत, सही नाम देना सीखता है ज्यामितीय आकृति और वस्तु का आकार, उनके भाषण में शब्द दिखाई देते हैं "वर्ग", "एक क्षेत्र में", "वर्ग", "गोल" आदि।

बच्चों के साथ डेटिंग की समस्या ज्यामितीय आकारऔर उनके गुणों को दो पहलुओं में माना जाना चाहिए:

स्पर्श के संदर्भ में ज्यामितीय आकृतियों के आकार की धारणा और उन्हें अनुभूति में मानकों के रूप में उपयोग करना आसपास की वस्तुओं के आकार;

ज्ञान के अर्थ में उनकी संरचना की विशेषताएं, गुण, मूल कनेक्शन और उनके निर्माण में पैटर्न, यानी, वास्तव में ज्यामितीय सामग्री.

सर्किट विषय एक सामान्य शुरुआत है, जो दृश्य और स्पर्श दोनों के लिए प्रारंभिक बिंदु है अनुभूति... हालांकि, सर्किट की भूमिका का सवाल है आकार और गठन की धारणा एक समग्र छवि को और विकास की आवश्यकता है।

प्राथमिक महारत वस्तु का आकार उसके साथ की गई हरकतें। आइटम आकारऐसा नहीं है विषय से अलग माना जाता है, वह उसकी आवश्यक विशेषता है। विशिष्ट दृश्य समोच्च-ट्रैकिंग प्रतिक्रियाएं विषय जीवन के दूसरे वर्ष के अंत में दिखाई देते हैं और शुरू करते हैं पूवर् म होना व्यावहारिक कार्य।

के साथ बच्चों के कार्य विषयों अलग-अलग चरणों में अलग-अलग हैं। बच्चों को पकड़ने के लिए करते हैं विषय हाथ और उसे जोड़ तोड़ शुरू करते हैं। 2.5 वर्ष की आयु के बच्चे, अभिनय से पहले, नेत्रहीन और चतुराई से परिचित हो जाते हैं विषयों... व्यावहारिक कार्रवाई का महत्व मुख्य है। इसलिए, यह निम्नानुसार है कि दो वर्षीय बच्चों में अवधारणात्मक कार्यों के विकास को निर्देशित करना आवश्यक है। शैक्षणिक नेतृत्व के आधार पर, बच्चों की अवधारणात्मक क्रियाओं की प्रकृति धीरे-धीरे संज्ञानात्मक स्तर तक पहुंच जाती है। बच्चा विभिन्न संकेतों में दिलचस्पी लेता है। विषयसमेत फार्म... हालाँकि, लंबे समय तक वह इस या उस संकेत को अलग और सामान्य नहीं कर सकता है, जिसमें शामिल है विभिन्न वस्तुओं का आकार.

ग्रहणशील किसी वस्तु के आकार की धारणा केवल उद्देश्य नहीं होना चाहिए देख, सीखो आकार, इसकी अन्य विशेषताओं के साथ, लेकिन सार करने में सक्षम हो चीज़ से आकार, उसे अन्य चीजों में भी देखें... ऐसा वस्तुओं के आकार और उसके सामान्यीकरण की धारणा और बच्चों द्वारा मानकों के ज्ञान में योगदान - ज्यामितीय आकार... इसलिए संवेदी विकास का कार्य है गठन मानक के अनुसार बच्चे की पहचान करने की क्षमता (एक या अन्य ज्यामितीय आकृति) विभिन्न वस्तुओं का आकार.

एलए वेंगर के प्रायोगिक आंकड़ों से पता चला कि अंतर करने की क्षमता ज्यामितीय आंकड़े बच्चों के 3-4 महीने होते हैं। नए पर ध्यान केंद्रित कर रहा है आकृति - इसके सबूत।

पहले से ही जीवन के दूसरे वर्ष में, बच्चे स्वतंत्र रूप से चुनते हैं आकृतिऐसे जोड़े पर मॉडलिंग की: वर्ग और अर्धवृत्त, आयत और त्रिकोण। लेकिन बच्चे केवल 2.5 साल बाद एक आयत और एक वर्ग, एक वर्ग और एक त्रिकोण के बीच अंतर कर सकते हैं। सैंपल द्वारा चयन अधिक जटिल आकार 4-5 साल के मोड़ के आसपास उपलब्ध है, और एक जटिल आकृति का प्रजनन जीवन के पांचवें और छठे वर्ष के बच्चों द्वारा किया जाता है।

वयस्कों के शिक्षण प्रभाव के तहत ज्यामितीय आकृतियों की धारणा धीरे-धीरे फिर से बनाया जा रहा है। बच्चे ज्यामितीय आकृतियों को मानकों के रूप में देखना शुरू करते हैं।, जिसकी मदद से संरचना का ज्ञान विषय, उसे आकार और आकार न केवल प्रक्रिया में किया जाता है दृष्टि के एक या दूसरे रूप की धारणा, लेकिन सक्रिय स्पर्श द्वारा, इसे एक शब्द के साथ दृष्टि और पदनाम के नियंत्रण में महसूस करना।

सभी विश्लेषणकर्ताओं का सहयोग वस्तुओं के आकार की अधिक सटीक धारणा में योगदान देता है... बेहतर जानने के लिए विषय, बच्चे इसे अपने हाथ से छूते हैं, इसे उठाते हैं, इसे मोड़ते हैं; इसके अलावा, देखने और महसूस करने का तरीका अलग है आकार और संज्ञानात्मक वस्तु का निर्माण। इसलिए, में मुख्य भूमिका वस्तु की धारणा और उसके आकार के निर्धारण की एक परीक्षा होती हैएक साथ दृश्य और मोटर-स्पर्शी विश्लेषक द्वारा एक शब्द के साथ पदनाम द्वारा किया जाता है। हालांकि, प्रीस्कूलर में, बहुत कुछ है निम्न स्तर सर्वेक्षण वस्तुओं का आकार; अक्सर वे धाराप्रवाह दृश्य तक सीमित होते हैं अनुभूति और इसलिए समानता से करीबी लोगों के बीच अंतर न करें आंकड़े(अंडाकार और वृत्त, आयत और वर्ग, विभिन्न त्रिकोण).

बच्चों की अवधारणात्मक गतिविधि में, स्पर्श-मोटर और दृश्य तकनीक धीरे-धीरे मुख्य हो जाती हैं रूप को पहचानने का तरीका... सर्वेक्षण आंकड़े न केवल उनकी समग्रता सुनिश्चित करता है अनुभूतिलेकिन आपको उन्हें महसूस करने की भी अनुमति देता है विशेषताएं(चरित्र, रेखाओं और उनके संयोजनों की दिशाएं, गठित कोण और चोटियाँ, बच्चा किसी में भी कामुकतापूर्वक प्रकाश डालना सीखता है आकृति एक पूरे और उसके भागों के रूप में छवि। इससे सार्थक विश्लेषण पर बच्चे का ध्यान केंद्रित करना संभव हो जाता है। आंकड़ेजानबूझकर इसमें प्रकाश डाला गया संरचनात्मक तत्व (किनारे, कोने, सबसे ऊपर)... बच्चे पहले से ही समझदारी से स्थिरता, अस्थिरता आदि गुणों को समझने लगे हैं, यह समझने के लिए कि कैसे सबसे ऊपर है, कोण, आदि का गठन किया जाता है। तुलनात्मक और समतल। आंकड़े, बच्चे पहले से ही उनके बीच समानता पाते हैं ( "क्यूब में वर्ग हैं", "बार में आयतें होती हैं, सिलेंडर में वृत्त होते हैं" आदि।)।

तुलना एक वस्तु के आकार के साथ आंकड़े बच्चों को यह समझने में मदद करता है कि ज्यामितीय आकार आप अलग तुलना कर सकते हैं वस्तुओं या उसके भागों... तो, धीरे-धीरे ज्यामितीय आकृति एक बेंचमार्क बन जाता है वस्तुओं के आकार का निर्धारण.

3. विशेषताएं: परीक्षा और शिक्षण परीक्षा के चरण बच्चे पूर्वस्कूली उम्र वस्तुओं के आकार और ज्यामितीय आकार

यह ज्ञात है कि अनुभूति हमेशा संवेदी परीक्षा पर आधारित होती है, सोच और भाषण द्वारा मध्यस्थता की जाती है। एल। वेंगर के साथ अध्ययन में बच्चे दृश्य भेदभाव के संकेतक के रूप में 2-3 साल वस्तुओं के रूपों ने बच्चे की वस्तु क्रियाओं को परोस दिया.

एस। याकबसन, वी। ज़िनचेंको, ए। रूज़स्कॉय के शोध के अनुसार, 2-4 साल के बच्चों ने बेहतर सीखा आकार में वस्तुएंकब यह पहले वस्तु को छूने का सुझाव दिया गया था, और फिर वही पाते हैं। जब कम परिणाम देखे गए थे विषय नेत्रहीन माना जाता था.

टी। गेनेवस्काया के शोध से पता चलता है विशेषताएं परीक्षा के दौरान हाथ हिलाना आकार में वस्तुएं... बच्चों की आंखों पर पट्टी बांध दी गई स्पर्श से विषय से परिचित होने की पेशकश की.

3-4 साल की उम्र में - कार्यकारी आंदोलनों (रोल, नॉक, कैरी)... आंदोलन विरल है, अंदर आंकड़ेकभी कभी (एक बार) सेंटरलाइन के साथ, कई गलत उत्तर, अलग-अलग मिश्रण करते हैं आंकड़े... 4-5 साल की उम्र में - आंदोलनों की स्थापना (हाथ में पकड़ा हुआ)... आंदोलनों की संख्या दोगुनी हो जाती है; आकार और क्षेत्र पर ध्यान केंद्रित करते हुए प्रक्षेपवक्र को देखते हुए; बड़े, व्यापक, बारीकी से स्थान निर्धारण के समूह पाए जाते हैं, जो कि सबसे विशिष्ट विशेषताओं में से एक हैं आंकड़े; बेहतर परिणाम दें। 5-6 साल की उम्र में - परीक्षा आंदोलनों (समोच्च ट्रैकिंग, लोच जांच)... आंदोलन दिखाई देते हैं जो समोच्च का पालन करते हैं, लेकिन वे समोच्च के सबसे विशिष्ट भाग को कवर करते हैं, अन्य भाग अस्पष्टीकृत होते हैं; समोच्च के भीतर आंदोलनों, राशि समान है, उच्च परिणाम; जैसे की पिछली अवधि, करीब का मिश्रण है आंकड़े... 6-7 साल की उम्र में - समोच्च के साथ आंदोलन, क्षेत्र को पार करना आंकड़े, और मूवमेंट सबसे ज्यादा फोकस करते हैं सूचनात्मक संकेत, उत्कृष्ट परिणाम न केवल मान्यता के लिए, बल्कि इसके लिए भी देखे जाते हैं प्रजनन.

इस प्रकार, आवश्यक विशेषताओं को उजागर करने के लिए बच्चे के लिए ज्यामितीय आकार, उनकी दृश्य और मोटर परीक्षा आवश्यक है। हाथ आंदोलन आंखों के आंदोलनों को व्यवस्थित करते हैं और इसे बच्चों को सिखाया जाना चाहिए।

निरीक्षण सीखना कदम

3-4 साल के बच्चों को पढ़ाने के पहले चरण का कार्य संवेदी है वस्तुओं और ज्यामितीय आकृतियों के आकार की धारणा.

5-6 वर्ष की आयु के बच्चों के लिए शिक्षा का दूसरा चरण समर्पित होना चाहिए ज्यामितीय आकृतियों के बारे में प्रणालीगत ज्ञान का गठन और उनका विकास प्रारंभिक स्वागत तथा तरीके« ज्यामितीय सोच» .

« ज्यामितीय सोच» यह वापस विकसित करने के लिए काफी संभव है पूर्वस्कूली उम्र... विकास में « ज्यामितीय ज्ञान» बच्चों के कई अलग-अलग स्तर होते हैं।

पहले स्तर पर इस तथ्य की विशेषता है कि आंकड़ा बच्चों द्वारा एक पूरे के रूप में माना जाता है, बच्चा अभी भी नहीं जानता कि इसमें व्यक्तिगत तत्वों को कैसे एकल किया जाए, समानता और अंतर के बीच अंतर नहीं दिखता है आंकड़े, उनमें से हर एक अलग करता है.

दूसरे स्तर पर, बच्चा पहले से ही तत्वों का चयन करता है आकृति और उन दोनों के बीच और व्यक्तिगत के बीच संबंध स्थापित करता है आंकड़ेहालाँकि, अभी तक के बीच की समानता के बारे में पता नहीं है आंकड़े.

तीसरे स्तर पर, बच्चा गुणों और संरचना के बीच संबंध स्थापित करने में सक्षम है। आंकड़ेगुणों के बीच का संबंध। एक स्तर से दूसरे स्तर पर संक्रमण सहज नहीं है, किसी व्यक्ति के जैविक विकास के समानांतर है और उम्र पर निर्भर करता है। यह उद्देश्यपूर्ण सीखने के प्रभाव में होता है, जो उच्च स्तर तक संक्रमण को तेज करने में मदद करता है। प्रशिक्षण का अभाव विकास को रोकता है। इसलिए, प्रशिक्षण इस तरह से आयोजित किया जाना चाहिए कि, ज्ञान के बारे में आत्मसात करने के संबंध में ज्यामितीय आकार बच्चों ने भी प्राथमिक विकास किया ज्यामितीय सोच.

अनुभूति ज्यामितीय आकार, उनके गुण और संबंध बच्चों के क्षितिज को व्यापक बनाते हैं, उन्हें अधिक सटीक और बहुमुखी बनाते हैं आसपास की वस्तुओं के आकार का अनुभव करें, जो उनकी उत्पादक गतिविधियों पर सकारात्मक प्रभाव डालता है (जैसे ड्राइंग, मूर्तिकला).

विकास में महान मूल्य ज्यामितिक सोच और स्थानिक विचारों रूपांतरण क्रियाएं करें आंकड़े(दो त्रिकोणों से एक वर्ग बनाएं या पाँच छड़ियों में से दो त्रिकोण जोड़ें)।

इस प्रकार के सभी व्यायाम स्थानिक विकसित करते हैं बच्चों की ज्यामितीय सोच का प्रतिनिधित्व और शुरुआत, प्रपत्र उनके पास मुख्य, आवश्यक और एक ही समय में निरीक्षण करने, विश्लेषण करने, सामान्यीकरण करने, उजागर करने की क्षमता है शिक्षित ऐसे व्यक्तित्व में उद्देश्यपूर्णता, दृढ़ता होती है।

तो, पूर्वस्कूली उम्र में, अवधारणात्मक और बौद्धिक प्रणालीकरण की महारत होती है। ज्यामितीय आकृतियों का आकार... अनुभूति में अवधारणात्मक गतिविधि आंकड़े बौद्धिक प्रणालीकरण के विकास को आगे बढ़ाता है।

ग्रंथ सूची

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