ऑनलाइन क्रांति के निकाय की मात्रा की गणना करें। एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना। एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाकर बनने वाले पिंड के आयतन की गणना

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

सूत्र में समाकल के सामने हमेशा एक संख्या होती है। ऐसा हुआ - जीवन में घूमने वाली हर चीज इसी स्थिरांक से जुड़ी है।

एकीकरण "ए" और "बीएच" की सीमा कैसे निर्धारित करें, मुझे लगता है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

समारोह ... यह क्या कार्य है? आइए ड्राइंग पर एक नज़र डालें। एक सपाट आकृति शीर्ष पर एक परवलय भूखंड से घिरी होती है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक अभ्यासों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में समाकलन चुकता है: इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है , जो काफी तार्किक है।

आइए इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल होता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। यानी हमारे क्रांति के शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। क्यों बिल्कुल घन इकाइयों? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी उड़न तश्तरी में डाल सकते हैं।

उदाहरण 2

आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए, लाइनों द्वारा सीमित,,

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें।

दो और जटिल कार्यों पर विचार करें जो व्यवहार में भी सामान्य हैं।

उदाहरण 3

एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर आकृति को घुमाकर प्राप्त किए गए शरीर के आयतन की गणना करें, जो रेखाओं से घिरा है, और

समाधान: रेखा द्वारा परिबद्ध आरेख में एक सपाट आकृति बनाएं, यह भूले बिना कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब आप इसे अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट मिलता है।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा में अंतर.

सबसे पहले, आइए लाल रंग में उल्लिखित आकृति को देखें। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए हम इस काटे गए शंकु के आयतन को निरूपित करें।

हरे रंग में उल्लिखित आकृति पर विचार करें। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा सा छोटा शंकु भी मिलेगा। आइए इसके आयतन को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम क्रांति के एक निकाय का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

१) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी होती है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी होती है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय की मात्रा:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

समाधान को अक्सर छोटा बना दिया जाता है, कुछ इस तरह:

अब थोड़ा आराम करते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जिसे पेरेलमैन (एक अन्य) ने पुस्तक में नोट किया है दिलचस्प ज्यामिति... हल की गई समस्या में समतल आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटा लगता है, और क्रांति के शरीर का आयतन केवल 50 घन इकाई से अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, अपने पूरे जीवन में औसत व्यक्ति 18 वर्ग मीटर के एक कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, मात्रा में बहुत छोटा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। पेरेलमैन की वही पुस्तक, 1950 में वापस प्रकाशित हुई, बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और हमें समस्याओं के मूल गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाता है। हाल ही में मैंने कुछ अध्यायों को बड़ी रुचि के साथ फिर से पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानविकी के लिए भी उपलब्ध है। नहीं, मुस्कुराने की कोई जरूरत नहीं है कि मैंने एक खाली समय, विद्वता और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण की पेशकश की, यह बहुत अच्छी बात है।

गीतात्मक विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति की धुरी के परितः घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिंड के आयतन की गणना कीजिए, जहाँ।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि सभी चीजें पट्टी में होती हैं, दूसरे शब्दों में, एकीकरण की तैयार सीमा वास्तव में दी गई है। त्रिकोणमितीय फलनों के रेखांकन सही ढंग से बनाएं, मैं आपको के बारे में पाठ सामग्री की याद दिला दूं रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन : यदि तर्क दो से विभाज्य है:, तो ग्राफ़ अक्ष के अनुदिश दो बार खिंचे जाते हैं। कम से कम 3-4 अंक प्राप्त करना वांछनीय है त्रिकोणमितीय तालिकाओं द्वारा ड्राइंग को अधिक सटीक रूप से पूरा करने के लिए। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

एक निश्चित समाकल का उपयोग करके, कोई न केवल गणना कर सकता है समतल आकृतियों का क्षेत्रफल, बल्कि निर्देशांक अक्षों के चारों ओर इन आकृतियों के घूमने से बनने वाले पिंडों के आयतन भी।

ऐसे निकायों के उदाहरण नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।

कार्यों में, हमारे पास वक्रीय समलंब चतुर्भुज होते हैं जो एक अक्ष के चारों ओर घूमते हैं ऑक्सया धुरी के आसपास ओए... एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करने के लिए, हमें चाहिए:

• संख्या "पाई" (3.14 ...);
• "खेल" के वर्ग का एक निश्चित अभिन्न - एक फ़ंक्शन जो घूर्णन वक्र को परिभाषित करता है (यह तब होता है जब वक्र धुरी के चारों ओर घूमता है ऑक्स );
• "x" वर्ग का निश्चित अभिन्न, "खेल" से व्यक्त किया गया है (यह तब है जब वक्र अक्ष के चारों ओर घूमता है ओए );
• एकीकरण सीमा - एतथा बी.

तो, पिंड, जो धुरी के चारों ओर घूमने से बनता है ऑक्सवक्रीय समलम्ब चतुर्भुज ऊपर से फलन के ग्राफ से घिरा है आप = एफ(एक्स) , मात्रा है

समान मात्रा वीनिर्देशांक अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड ( ओए) एक वक्रीय समलम्बाकार सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करते समय, हमने सीखा कि कुछ आकृतियों के क्षेत्रफलों को दो समाकलों के अंतर के रूप में पाया जा सकता है, जिसमें समाकलन वे कार्य हैं जो आकृति को ऊपर और नीचे से सीमित करते हैं। क्रांति के कुछ निकायों के साथ स्थिति समान है, जिनमें से मात्रा की गणना दो निकायों के आयतन के बीच के अंतर के रूप में की जाती है, ऐसे मामलों की चर्चा उदाहरण 3, 4 और 5 में की गई है।

उदाहरण 1।ऑक्स) हाइपरबोला, एब्सिस्सा और सीधी रेखाओं से घिरे आंकड़े।

समाधान। क्रांति के पिंड का आयतन सूत्र (1) द्वारा ज्ञात किया जाता है, जिसमें, और एकीकरण की सीमा ए = 1 , बी = 4 :

उदाहरण २।त्रिज्या की एक गेंद का आयतन ज्ञात कीजिए आर.

समाधान। त्रिज्या के अर्धवृत्त के भुज अक्ष के चारों ओर घूर्णन द्वारा प्राप्त एक शरीर के रूप में एक गेंद पर विचार करें आरमूल पर केंद्रित। फिर सूत्र (1) में समाकलन को रूप में लिखा जाएगा और समाकलन की सीमाएँ हैं - आरतथा आर... अत,

उदाहरण 3.एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए ( ऑक्स) परवलय और के बीच संलग्न आकृति का।

समाधान। हम आवश्यक आयतन का प्रतिनिधित्व करते हैं क्योंकि एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर वक्रतापूर्ण ट्रेपेज़ॉइड को घुमाकर प्राप्त निकायों के आयतन के बीच का अंतर एबीसीडीईतथा एबीएफडीई... इन निकायों के आयतन सूत्र (1) द्वारा ज्ञात किए जाते हैं, जिसमें एकीकरण की सीमाएँ बराबर होती हैं और बिंदुओं के भुज होते हैं बीतथा डीपरवलय का प्रतिच्छेदन। अब हम शरीर का आयतन ज्ञात कर सकते हैं:

उदाहरण 4.टोरस के आयतन की गणना करें (टोरस त्रिज्या के एक वृत्त को घुमाकर प्राप्त किया गया पिंड है एदूरी पर अपने विमान में पड़ी धुरी के चारों ओर बीवृत्त के केंद्र से ()। टोरस का आकार, उदाहरण के लिए, एक स्टीयरिंग व्हील है)।

समाधान। वृत्त को अक्ष के चारों ओर घूमने दें ऑक्स(अंजीर। 20)। एक टोरस की मात्रा को घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के रोटेशन से प्राप्त निकायों के आयतन के बीच के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है एबीसीडीईतथा अब्ल्डेअक्ष के चारों ओर ऑक्स.

वृत्त समीकरण एलबीसीडीरूप है

और वक्र का समीकरण बीसीडी

और वक्र का समीकरण बीएलडी

पिंडों के आयतन के बीच के अंतर का उपयोग करके, हम टोरस के आयतन के लिए प्राप्त करते हैं वीअभिव्यक्ति

अनुभाग: गणित

पाठ का प्रकार: संयुक्त।

पाठ का उद्देश्य:इंटीग्रल का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना सीखें।

कार्य:

• कई ज्यामितीय आकृतियों से वक्रीय समलंबों का चयन करने की क्षमता को समेकित करना और घुमावदार समलंबों के क्षेत्रों की गणना करने के कौशल का अभ्यास करना;
• वॉल्यूमेट्रिक आकृति की अवधारणा से परिचित हों;
• क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना सीखें;
• विकास में योगदान तार्किक साेच, सक्षम गणितीय भाषण, चित्र के निर्माण में सटीकता;
• विषय में रुचि बढ़ाना, गणितीय अवधारणाओं और छवियों के साथ काम करना, अंतिम परिणाम प्राप्त करने में इच्छाशक्ति, स्वतंत्रता, दृढ़ता को बढ़ावा देना।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

सामूहिक अभिवादन। छात्रों को पाठ लक्ष्यों का संचार करना।

प्रतिबिंब। शांत राग।

- आज का पाठ मैं एक दृष्टांत से शुरू करना चाहूंगा। “एक ऋषि थे जो सब कुछ जानते थे। एक व्यक्ति यह सिद्ध करना चाहता था कि ऋषि सब कुछ नहीं जानता। उसने तितली को अपनी हथेलियों में पकड़कर पूछा: "मुनि, मुझे बताओ, मेरे हाथों में कौन सी तितली है: मृत या जीवित?" और वह खुद सोचता है: "जीवित कहेगा - मैं उसे मार डालूंगा, मरा हुआ कहेगा - मैं उसे छोड़ दूंगा।" ऋषि ने सोचा, उत्तर दिया: "सब आपके हाथ मे है"। (प्रस्तुतीकरण।फिसल पट्टी)

"इसलिए, आइए आज हम फलदायी रूप से काम करें, ज्ञान का एक नया भंडार प्राप्त करें, और अर्जित कौशल और क्षमताओं को बाद के जीवन और व्यावहारिक गतिविधियों में लागू करें। "सब आपके हाथ मे है"।

द्वितीय. पहले अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति।

- आइए पहले अध्ययन की गई सामग्री के मुख्य बिंदुओं को याद करें। ऐसा करने के लिए, हम कार्य पूरा करेंगे "अतिरिक्त शब्द हटा दें।"(फिसल पट्टी।)

(छात्र इरेज़र की सहायता से आईडी में जाता है और एक अतिरिक्त शब्द हटा देता है।)

- सही "विभेदक"। शेष शब्दों को एक नाम देने का प्रयास करें सामान्य शब्द... (समाकलन गणित।)

- आइए याद करते हैं अभिन्न कलन से जुड़े मुख्य चरणों और अवधारणाओं को ..

"गणितीय क्लस्टर"।

व्यायाम। अंतराल को पुनर्स्थापित करें। (छात्र बाहर आता है और आवश्यक शब्दों में कलम से लिखता है।)

- हम बाद में इंटीग्रल के अनुप्रयोग पर एक सार सुनेंगे।

नोटबुक में काम करें।

- न्यूटन-लीबनिज सूत्र अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1643-1727) और जर्मन दार्शनिक गॉटफ्रीड लाइबनिज (1646-1716) द्वारा प्राप्त किया गया था। और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि गणित प्रकृति द्वारा ही बोली जाने वाली भाषा है।

- आइए विचार करें कि व्यावहारिक कार्यों को हल करने में इस सूत्र का उपयोग कैसे किया जाता है।

उदाहरण 1: रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

समाधान: पर निर्माण विमान का समन्वयफ़ंक्शन ग्राफ़ ... मिलने वाली आकृति के क्षेत्र का चयन करें।

III. नई सामग्री सीखना।

- स्क्रीन पर ध्यान दें। पहली तस्वीर में क्या दिखाया गया है? (फिसल पट्टी) (आकृति एक सपाट आकृति दिखाती है।)

- दूसरी तस्वीर में क्या दिखाया गया है? क्या यह आंकड़ा सपाट है? (फिसल पट्टी) (आकृति एक त्रि-आयामी आकृति दिखाती है।)

- अंतरिक्ष में, पृथ्वी पर और में दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगीहम न केवल सपाट आंकड़े मिलते हैं, बल्कि त्रि-आयामी भी मिलते हैं, लेकिन ऐसे निकायों की मात्रा की गणना कैसे करें? उदाहरण के लिए, किसी ग्रह का आयतन, धूमकेतु, उल्कापिंड आदि।

- वे घर बनाते समय और एक बर्तन से दूसरे बर्तन में पानी डालते समय मात्रा के बारे में सोचते हैं। वॉल्यूम की गणना के लिए नियम और तकनीक उत्पन्न होनी चाहिए, यह अलग बात है कि वे कितने सटीक और प्रमाणित थे।

छात्र संदेश। (वेरा ट्यूरिना।)

वर्ष १६१२ ऑस्ट्रिया के लिंज़ शहर के निवासियों के लिए बहुत फलदायी था, जहाँ उस समय प्रसिद्ध खगोलशास्त्री जोहान्स केपलर रहते थे, विशेषकर अंगूरों के लिए। लोग शराब के बैरल तैयार कर रहे थे और जानना चाहते थे कि उनकी मात्रा को व्यावहारिक रूप से कैसे निर्धारित किया जाए। (स्लाइड 2)

- इस प्रकार, केप्लर के सुविचारित कार्यों ने अध्ययन की एक पूरी धारा की नींव रखी जो 17 वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही में समाप्त हुई। आई. न्यूटन और जी.वी. के कार्यों में पंजीकरण। लाइबनिज डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस। उस समय से महानता के चरों के गणित ने गणितीय ज्ञान की प्रणाली में एक अग्रणी स्थान पर कब्जा कर लिया है।

- आज हम ऐसी व्यावहारिक गतिविधियों में लगे रहेंगे, इसलिए,

हमारे पाठ का विषय "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना" है। (फिसल पट्टी)

- आप निम्नलिखित कार्य को पूरा करके क्रांति के निकाय की परिभाषा सीखेंगे।

"भूलभुलैया"।

भूलभुलैया (ग्रीक शब्द) का अर्थ है एक कालकोठरी में जाना। भूलभुलैया - एक दूसरे के साथ संचार करने वाले रास्तों, मार्गों, कमरों का एक जटिल नेटवर्क।

लेकिन परिभाषा "दुर्घटनाग्रस्त", तीर के रूप में युक्तियाँ हैं।

व्यायाम। भ्रम से बाहर निकलने का रास्ता खोजें और परिभाषा लिखें।

फिसल पट्टी। "मानचित्र निर्देश" संस्करणों की गणना।

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, कोई शरीर की मात्रा की गणना कर सकता है, विशेष रूप से, क्रांति का एक शरीर।

क्रांति का पिंड एक पिंड है जो अपने आधार के चारों ओर एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को घुमाकर प्राप्त किया जाता है (चित्र 1, 2)

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्रों में से एक का उपयोग करके की जाती है:

1. OX अक्ष के चारों ओर।

2. अगर घुमावदार समलम्बाकार का घूर्णन ओएस अक्ष के आसपास।

प्रत्येक छात्र को एक निर्देश कार्ड प्राप्त होता है। प्रशिक्षक मुख्य बिंदुओं पर जोर देता है।

- प्रशिक्षक बोर्ड पर उदाहरणों के साथ समाधान बताता है।

आइए अलेक्जेंडर पुश्किन की प्रसिद्ध परी कथा के एक अंश पर विचार करें "द टेल ऑफ़ ज़ार साल्टन, उनके गौरवशाली और पराक्रमी नायक के बेटे, प्रिंस ग्विडोन साल्टानोविच और सुंदर राजकुमारी लेबेड" (स्लाइड 4):

…..
और नशे में धुत दूत ले आया
उसी दिन, आदेश इस प्रकार है:
“राजा अपने लड़कों को आदेश देता है,
समय बर्बाद नहीं करना
और रानी और संतान
चुपके से पानी के रसातल में फेंक दो ”।
करने के लिए कुछ नहीं है: बॉयर्स,
संप्रभु की लालसा
और युवा रानी,
वे भीड़ में उसके बेडरूम में आए।
उन्होंने राजा की इच्छा की घोषणा की -
उसका और उसके बेटे का बहुत बुरा है,
फरमान को जोर से पढ़ें,
और रानी एक ही घंटे में
उन्होंने मेरे बेटे को एक बैरल में डाल दिया,
पीस लिया, चलाई
और उन्होंने इसे ओकियां में जाने दिया -
ज़ार साल्टन ने यही आदेश दिया।

रानी और उसके बेटे को फिट करने के लिए बैरल का आयतन कितना होना चाहिए?

- निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें

1. रेखाओं द्वारा परिबद्ध, कोटि अक्ष के चारों ओर घुमावदार समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0।

उत्तर: 1163 से। मी 3 .

भुज अक्ष के चारों ओर एक परवलयिक समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए वाई =, एक्स = 4, वाई = 0।

चतुर्थ। नई सामग्री को सुरक्षित करना

उदाहरण 2. एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर पंखुड़ी के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें वाई = एक्स 2, वाई 2 = एक्स।

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं। वाई = एक्स 2, वाई 2 = एक्स... अनुसूची वाई 2 = एक्सफॉर्म में कनवर्ट करना आप= .

हमारे पास है वी = वी 1 - वी 2आइए प्रत्येक फ़ंक्शन की मात्रा की गणना करें

- अब, एक अद्भुत रूसी इंजीनियर, मानद शिक्षाविद वी.जी. शुखोव की परियोजना के अनुसार निर्मित, शबोलोव्का पर मास्को में एक रेडियो स्टेशन के लिए टॉवर पर एक नज़र डालते हैं। इसमें भाग होते हैं - क्रांति के हाइपरबोलाइड। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक आसन्न मंडलियों को जोड़ने वाली रेक्टिलिनियर धातु की छड़ से बना है (चित्र 8, 9)।

- समस्या पर विचार करें।

अतिपरवलय के चापों को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए अपनी काल्पनिक धुरी के चारों ओर, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 8 कहाँ

पशुशावक। इकाइयों

समूह असाइनमेंट। छात्र कार्यों के साथ बहुत कुछ आकर्षित करते हैं, व्हाटमैन पेपर पर चित्र बनाते हैं, समूह के प्रतिनिधियों में से एक काम का बचाव करता है।

पहला समूह।

मार! मार! एक और झटका!
एक गेंद गेट में उड़ती है - बॉल!
और यह एक तरबूज की गेंद है
हरा, गोल, स्वादिष्ट।
बेहतर देखो - क्या गेंद है!
यह उन्हीं हलकों से बनाया गया है।
तरबूज को हलकों में काटें
और उनका स्वाद लें।

परिबद्ध OX अक्ष के चारों ओर फलन को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए

त्रुटि! बुकमार्क परिभाषित नहीं है।

- मुझे बताओ, कृपया, हम इस आंकड़े से कहां मिल रहे हैं?

मकान। 1 समूह के लिए कार्य। सिलेंडर (फिसल पट्टी) .

"सिलेंडर - यह क्या है?" - मैंने अपने पिताजी से पूछा।
पिता हँसे: एक शीर्ष टोपी एक टोपी है।
एक सही विचार रखने के लिए,
सिलेंडर, मान लीजिए, एक टिन कैन है।
स्टीमर पाइप - सिलेंडर,
हमारी छत पर भी चिमनी,

सभी पाइप एक सिलेंडर के समान हैं।
और मैंने ऐसा उदाहरण दिया -
मेरे प्यारे बहुरूपदर्शक
आप उससे नज़रें नहीं हटा सकते
और एक सिलेंडर की तरह भी दिखता है।

- व्यायाम। होम वर्कफ़ंक्शन को ग्राफ़ करें और वॉल्यूम की गणना करें।

दूसरा समूह। कोन (फिसल पट्टी).

माँ ने कहा: और अब
मेरी कहानी शंकु के बारे में होगी।
उच्च टोपी में ज्योतिषी
पूरे साल सितारों की गिनती करता है।
शंकु - ज्योतिषी टोपी।
वह वही है। समझा? बस, इतना ही।
माँ मेज पर खड़ी थी,
उसने बोतलों में तेल डाला।
- फ़नल कहाँ है? कोई फ़नल नहीं।
नज़र। एक तरफ मत खड़े रहो।
- माँ, मैं हिलता नहीं हूँ,
हमें शंकु के बारे में और बताएं।
- कीप वाटरिंग कैन कोन के रूप में होती है।
चलो, उसे मेरे लिए जल्द से जल्द ढूंढो।
मुझे एक फ़नल नहीं मिला,
लेकिन माँ ने एक बैग बनाया
मैंने अपनी उंगली के चारों ओर कार्डबोर्ड घुमा दिया
और चतुराई से इसे एक पेपर क्लिप से सुरक्षित कर लिया।
तेल बरस रहा है, माँ खुश है
शंकु ठीक वही निकला जो हमें चाहिए।

व्यायाम। एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें

मकान। दूसरे समूह के लिए कार्य। पिरामिड(फिसल पट्टी)।

मैंने तस्वीर देखी। इस तस्वीर में
रेतीले रेगिस्तान में एक पिरामिड है।
पिरामिड में सब कुछ असाधारण है
इसमें किसी तरह का रहस्य और रहस्य है।
रेड स्क्वायर पर एक स्पैस्काया टॉवर
बच्चों और वयस्कों दोनों के लिए परिचित।
तुम मीनार को देखो - यह साधारण दिखता है,
और उसके ऊपर क्या है? पिरामिड!

व्यायाम।फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने और पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए होमवर्क

- हमने एक अभिन्न का उपयोग करके निकायों के आयतन के मूल सूत्र के आधार पर विभिन्न निकायों के आयतन की गणना की।

यह एक और पुष्टि है कि गणित के अध्ययन के लिए एक निश्चित अभिन्न का कुछ आधार है।

- अच्छा, अब थोड़ा आराम करते हैं।

एक जोड़ी खोजें।

एक गणितीय डोमिनोज़ राग बज रहा है।

"जिस राह की मुझे खुद तलाश थी वो कभी नहीं भूलेगी..."

अनुसंधान। अर्थशास्त्र और प्रौद्योगिकी में अभिन्न का अनुप्रयोग।

मजबूत शिक्षार्थियों और गणित फुटबॉल के लिए टेस्ट।

गणितीय सिम्युलेटर।

2. किसी दिए गए फलन के सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय को कहते हैं

ए) अनिश्चितकालीन अभिन्न,

बी) समारोह,

सी) भेदभाव।

7. रेखाओं से घिरे हुए भुजिका अक्ष के चारों ओर एक घुमावदार समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए:

डी / जेड। क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करें।

प्रतिबिंब।

रूप में प्रतिबिंब का स्वागत सिंकवाइन(पांच श्लोक)।

पहली पंक्ति - विषय का नाम (एक संज्ञा)।

दूसरी पंक्ति - विषय का दो शब्दों में वर्णन, दो विशेषण।

तीसरी पंक्ति - तीन शब्दों में इस विषय के ढांचे के भीतर कार्रवाई का विवरण।

चौथी पंक्ति - चार शब्दों का एक वाक्यांश, विषय (संपूर्ण वाक्य) से संबंध दर्शाता है।

5वीं पंक्ति एक पर्यायवाची है जो विषय के सार को दोहराती है।

1. आयतन।
2. निश्चित अभिन्न, अभिन्न कार्य।
3. हम निर्माण करते हैं, घुमाते हैं, गणना करते हैं।
4. एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड (इसके आधार के चारों ओर) को घुमाकर प्राप्त किया गया शरीर।
5. क्रांति का शरीर (ठोस ज्यामितीय शरीर)।

उत्पादन (फिसल पट्टी).

• एक निश्चित समाकलन गणित के अध्ययन के लिए कुछ आधार है, जो व्यावहारिक सामग्री की समस्याओं को हल करने में एक अपूरणीय योगदान देता है।
• विषय "इंटीग्रल" स्पष्ट रूप से गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र और प्रौद्योगिकी के बीच संबंध को दर्शाता है।
• विकास आधुनिक विज्ञानएक अभिन्न के उपयोग के बिना अकल्पनीय है। इस संबंध में, माध्यमिक विशिष्ट शिक्षा के ढांचे के भीतर इसका अध्ययन शुरू करना आवश्यक है!

ग्रेडिंग। (टिप्पणी के साथ।)

महान उमर खय्याम एक गणितज्ञ, कवि, दार्शनिक हैं। वह आपके भाग्य का स्वामी बनने का आह्वान करता है। हम उनके काम का एक अंश सुनते हैं:

तुम कहोगे कि यह जीवन एक क्षण है।
उसकी सराहना करें, उससे प्रेरणा लें।
जैसे ही आप इसे खर्च करेंगे, यह बीत जाएगा।
मत भूलो: वह तुम्हारी रचना है।

क्रांति के पिंडों के आयतन ज्ञात करने के लिए इंटीग्रल का उपयोग करना

गणित की व्यावहारिक उपयोगिता इस तथ्य के कारण है कि बिना

विशिष्ट गणितीय ज्ञान, उपकरण और उपयोग के सिद्धांतों को समझना मुश्किल है आधुनिक तकनीक... अपने जीवन में प्रत्येक व्यक्ति को काफी जटिल गणनाएँ करनी होती हैं, सामान्य तकनीक का उपयोग करना होता है, संदर्भ पुस्तकों में आवश्यक सूत्र खोजना होता है और समस्याओं को हल करने के लिए सरल एल्गोरिदम की रचना करनी होती है। आधुनिक समाज में, उच्च स्तर की शिक्षा की आवश्यकता वाले अधिक से अधिक विशिष्टताओं को गणित के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग से जोड़ा जाता है। इस प्रकार, एक छात्र के लिए, गणित एक व्यावसायिक रूप से महत्वपूर्ण विषय बन जाता है। एल्गोरिथम सोच के निर्माण में गणित की अग्रणी भूमिका होती है, किसी दिए गए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करने की क्षमता को बढ़ावा देता है और नए एल्गोरिदम को डिजाइन करता है।

क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना के लिए एक अभिन्न का उपयोग करने के विषय का अध्ययन करते हुए, मैं छात्रों को इस विषय पर विचार करने के लिए आमंत्रित करता हूं: वैकल्पिक कक्षाओं में "इंटीग्रल्स का उपयोग कर क्रांति के निकायों की मात्रा"। इस विषय पर विचार करने के लिए दिशानिर्देश नीचे दिए गए हैं:

1. समतल आकृति का क्षेत्रफल।

हम बीजगणित के पाठ्यक्रम से जानते हैं कि एक व्यावहारिक प्रकृति की समस्याओं ने एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा को जन्म दिया। उनमें से एक एक सतत रेखा y = f (x) (जहाँ f (x) DIV_ADBLOCK243 ">

आइए सूत्र का उपयोग करके एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करें यदि ट्रेपोजॉइड का आधार एब्सिसा अक्ष पर स्थित है या सूत्र का उपयोग करके https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg "चौड़ाई = " 526 "ऊंचाई =" 262 src = ">

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एक टूटी हुई रेखा y = f (x), Оx अक्ष, सीधी रेखाओं x = a और x = b से घिरी हुई x अक्ष के चारों ओर एक वक्रीय समलम्बाकार के घूर्णन द्वारा निर्मित परिक्रमण पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम परिकलित करते हैं सूत्र द्वारा

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg "चौड़ाई =" 352 "ऊंचाई =" 283 src = "> Y

3. सिलेंडर का आयतन।

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif "चौड़ाई =" 85 "ऊंचाई =" 51 "> .. gif" चौड़ाई = "13" ऊंचाई = "25"> .. jpg " चौड़ाई = "401" ऊंचाई = "355"> टेपर घुमाकर प्राप्त किया जाता है सही त्रिकोणएबीसी (सी = 90) ऑक्स अक्ष के चारों ओर जिस पर एसी पैर स्थित है।

खंड AB सीधी रेखा y = kx + c पर स्थित है, जहां https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif "चौड़ाई =" 59 "ऊंचाई =" 41 src = ">।

मान लीजिए a = 0, b = H (H शंकु की ऊंचाई है), फिर Vhttps: //pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif "चौड़ाई =" 13 "ऊंचाई =" 23 src = ">।

5. काटे गए शंकु का आयतन।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज ABCD (CDOx) को ऑक्स अक्ष के चारों ओर घुमाकर एक छोटा शंकु प्राप्त किया जा सकता है।

खंड AB सरल रेखा y = kx + c पर स्थित है, जहाँ , सी = आर।

चूंकि सीधी रेखा बिंदु A (0; r) से होकर गुजरती है।

इस प्रकार, सीधी रेखा https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif "width =" 303 "height =" 291 src = "> जैसी दिखती है

मान लीजिए a = 0, b = H (H काटे गए शंकु की ऊंचाई है), फिर https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif "चौड़ाई =" 36 "ऊंचाई =" 17 src = "> = .

6. गोले का आयतन।

गेंद को ऑक्स अक्ष के चारों ओर केंद्र (0; 0) के साथ एक चक्र घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है। ऑक्स अक्ष के ऊपर स्थित अर्धवृत्त समीकरण द्वारा दिया गया है

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif "चौड़ाई =" 13 "ऊंचाई =" 16 src = "> x R.

लाइन को सीमित होने दें। ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में एक सपाट आकृति निर्दिष्ट की जाती है।

उदाहरण: परिधि की गणना करें: x 2 + y 2 = R 2

I चतुर्थांश (x≥0, y≥0) में स्थित वृत्त के चौथे भाग की लंबाई की गणना करें:

यदि वक्र का समीकरण पैरामीटर रूप में दिया गया है:
, फलन x (t), y (t) अंतराल [α, β] पर उनके अवकलजों के साथ परिभाषित और सतत हैं। व्युत्पन्न, फिर सूत्र में प्रतिस्थापन करना:
और उस पर विचार करते हुए

पाना
एक कारक परिचय
मूल चिह्न के नीचे और अंत में प्राप्त करें

नोट: एक फ्लैट वक्र दिया गया है, आप अंतरिक्ष में एक पैरामीटर द्वारा दिए गए फ़ंक्शन पर भी विचार कर सकते हैं, फिर फ़ंक्शन z = z (t) और सूत्र

उदाहरण: एस्ट्रोइड की लंबाई की गणना करें, जो समीकरण द्वारा दी गई है: x = a * cos 3 (t), y = a * sin 3 (t), a> 0

चौथे भाग की लंबाई की गणना करें:

सूत्र के अनुसार

एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट एक फ्लैट वक्र की चाप लंबाई:

मान लीजिए कि ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में वक्र का समीकरण दिया गया है:
- एक सतत कार्य, खंड [α, β] पर इसके व्युत्पन्न के साथ।

ध्रुवीय निर्देशांक से संक्रमण सूत्र:

पैरामीट्रिक माना जाता है:

- पैरामीटर, f-le . द्वारा

2

उदाहरण: वक्र की लंबाई की गणना करें:
>0

Z-ni: आधी परिधि की गणना करें:

शरीर का आयतन, जिसकी गणना शरीर के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्र से की जाती है।

एक शरीर दिया जाए, एक बंद सतह से घिरा हो और इस शरीर के किसी भी हिस्से का क्षेत्रफल ऑक्स अक्ष के लंबवत समतल द्वारा ज्ञात हो। यह क्षेत्र कटे हुए विमान की स्थिति पर निर्भर करेगा।

मान लीजिए कि संपूर्ण पिंड को ऑक्स अक्ष के लंबवत 2 तलों के बीच में रखा गया है, जो इसे x = a, x = b (a) बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

इस तरह के एक शरीर की मात्रा निर्धारित करने के लिए, हम ऑक्स अक्ष के लंबवत विमानों को काटने और इसे बिंदुओं पर काटने का उपयोग करके परतों में विभाजित करेंगे। हर आंशिक अंतराल में
... चलो चुनते हैं

और प्रत्येक मान i = 1, ...., n के लिए, हम एक बेलनाकार शरीर का निर्माण करते हैं, जिसका जेनरेट्रिक्स ऑक्स के समानांतर है, और गाइड प्लेन x = C i, वॉल्यूम द्वारा बॉडी सेक्शन का समोच्च है आधार क्षेत्र S = C i और ऊंचाई xi के साथ ऐसे प्राथमिक सिलेंडर का ... वी मैं = एस (सी मैं) x मैं। ऐसे सभी प्राथमिक बेलनों का आयतन होगा
... इस राशि की सीमा, यदि यह मौजूद है और अधिकतम ∆x 0 पर सीमित है, इस शरीर की मात्रा कहलाती है।

... चूँकि V n एक अंतराल पर एक सतत फलन S (x) के लिए अभिन्न योग है, तो संकेतित सीमा मौजूद है (t-ma अस्तित्व) और इसे def द्वारा व्यक्त किया जाता है। अभिन्न।

- क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र से गणना की गई शरीर की मात्रा।

क्रांति के शरीर का आयतन:

मान लीजिए कि फलन y = f (x), ऑक्स अक्ष और सीधी रेखाओं x = a, x = b के ग्राफ से बंधे एक वक्रीय समलम्बाकार के ऑक्स अक्ष के चारों ओर घूर्णन द्वारा शरीर का निर्माण होता है।

मान लें कि फलन y = f (x) एक खंड पर परिभाषित और निरंतर है और उस पर गैर-ऋणात्मक है, तो ऑक्स के लंबवत एक विमान द्वारा इस शरीर का खंड त्रिज्या R = y (x) = f (x) वाला एक वृत्त है। ) एक वृत्त का क्षेत्रफल S (x) = y 2 (x) = 2. सूत्र को प्रतिस्थापित करना
हम ऑक्स अक्ष के चारों ओर क्रांति के एक शरीर की मात्रा की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं:

यदि एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज ओए अक्ष के चारों ओर घूमता है, जो एक फ़ंक्शन पर निरंतर एक ग्राफ से घिरा होता है, तो क्रांति के ऐसे शरीर का आयतन:

सूत्र का उपयोग करके समान मात्रा की गणना की जा सकती है:
... यदि रेखा को पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित किया गया है:

चर को बदलने से हम प्राप्त करते हैं:

यदि रेखा को पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित किया गया है:

वाई (α) = सी, वाई (β) = डी। प्रतिस्थापन y = y (t) करने पर हमें प्राप्त होता है:

परवलय के अक्ष ओए के चारों ओर क्रांति के निकायों की गणना करें, .

2) एक सीधी रेखा y = 0, एक चाप से घिरे एक घुमावदार समलम्बाकार के OX अक्ष के चारों ओर चक्कर लगाने वाले पिंड का V परिकलित करें (बिंदु पर एक प्रतिशत (1; 0) के साथ, और त्रिज्या = 1), के लिए।

क्रांति के शरीर का सतह क्षेत्र

मान लीजिए कि दिया गया पृष्ठ ऑक्स अक्ष के चारों ओर वक्र y = f (x) के घूमने से बनता है। इस सतह के एस को निर्धारित करना आवश्यक है।

मान लें कि फलन y = f (x) निश्चित और निरंतर है, खंड के सभी बिंदुओं पर अपरिवर्तनीय और गैर-ऋणात्मक है [a; b]

आइए हम लंबाई की जीवाएँ बनाते हैं जिन्हें हम क्रमशः दर्शाते हैं, (n-कॉर्ड्स)

लैग्रेंज के प्रमेय द्वारा:

संपूर्ण वर्णित टूटी हुई रेखा का सतह क्षेत्र बराबर होगा

परिभाषा: इस राशि की सीमा, यदि यह परिमित है, जब टूटी हुई रेखा अधिकतम की सबसे बड़ी कड़ी, क्रांति की मानी गई सतह का क्षेत्रफल कहलाती है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि योग की एक सौ सीमा p-th . के लिए एकीकृत योग की सीमा के बराबर है

क्रांति के पिंड की S सतह के लिए सूत्र =

वक्र के चाप x = g (x) के अक्ष के चारों ओर Oy पर घूमने से बनने वाली सतह का S

इसके व्युत्पन्न के साथ निरंतर

यदि वक्र को पैरामीट्रिक रूप से ur-mi . द्वारा दिया जाता हैएक्स= एक्स (टी),आप= टी(टी) एफ-iiएक्स’(टी), आप’(टी), एक्स(टी), आप(टी) खंड पर परिभाषित हैं [ए; बी], एक्स(ए)= ए, एक्स(बी)= बीफिर प्रतिस्थापन परिवर्तन करनाएक्स= एक्स(टी)

यदि सूत्र में प्रतिस्थापन करके वक्र को पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है, तो हम प्राप्त करते हैं:

यदि वक्र का समीकरण एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट है

एसअक्ष के चारों ओर क्रांति की सतह बराबर होगी