रेखाओं से बंधी आकृति के घूमने से बने पिंड का आयतन। घूर्णन द्वारा गठित किसी पिंड के आयतन की गणना। क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें

जैसा कि क्षेत्र खोजने की समस्या के साथ है, आपको आश्वस्त ड्राइंग कौशल की आवश्यकता है - यह लगभग सबसे महत्वपूर्ण है (क्योंकि इंटीग्रल स्वयं अक्सर आसान होंगे)। आप का उपयोग करके एक सक्षम और तेज़ चार्टिंग तकनीक में महारत हासिल कर सकते हैं शिक्षण सामग्रीऔर रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन। लेकिन, वास्तव में, मैं पहले ही पाठ में रेखाचित्रों के महत्व के बारे में बार-बार बोल चुका हूँ।

सामान्य तौर पर, अभिन्न कलन में बहुत कुछ होता है दिलचस्प अनुप्रयोग, एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, आप एक आकृति के क्षेत्र, क्रांति के एक शरीर की मात्रा, चाप की लंबाई, क्रांति के सतह क्षेत्र और बहुत कुछ की गणना कर सकते हैं। तो यह मजेदार होगा, कृपया आशावादी बनें!

कुछ सपाट आकृति की कल्पना करें विमान का समन्वय... क्या आपने प्रस्तुत किया है? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया ... =))) हम पहले ही इसका क्षेत्र खोज चुके हैं। लेकिन, इसके अलावा, इस आंकड़े को दो तरीकों से घुमाया और घुमाया भी जा सकता है:

- एब्सिस्सा अक्ष के आसपास;
- निर्देशांक अक्ष के चारों ओर।

यह लेख दोनों मामलों को कवर करेगा। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान व्यावहारिक रूप से वैसा ही है जैसा कि एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। एक बोनस के रूप में, मैं वापस आऊंगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या, और मैं आपको बताऊंगा कि क्षेत्र को दूसरे तरीके से कैसे खोजा जाए - अक्ष के साथ। यह इतना बोनस भी नहीं है क्योंकि सामग्री विषय को अच्छी तरह से फिट करती है।

आइए सबसे लोकप्रिय स्पिन प्रकार से शुरू करें।

एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति

उदाहरण 1

एक अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त किए गए ठोस के आयतन की गणना करें।

समाधान: जैसा कि क्षेत्र खोजने की समस्या में है, समाधान एक सपाट आकृति बनाने के साथ शुरू होता है... यही है, एक विमान पर रेखाओं से बंधी एक आकृति बनाना आवश्यक है, और यह मत भूलो कि समीकरण अक्ष निर्धारित करता है। ड्राइंग को अधिक कुशलता से और तेज़ कैसे बनाया जाए, आप पृष्ठों पर पता लगा सकते हैं प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुणतथा समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें... यह एक चीनी रिमाइंडर है, और मैं अब इस बिंदु पर नहीं रुकता।

यहाँ चित्र बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति नीले रंग में छायांकित है, यह वह है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। रोटेशन के परिणामस्वरूप, ऐसा थोड़ा अंडाकार उड़न तश्तरी प्राप्त होता है, जो अक्ष के बारे में सममित है। वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, लेकिन संदर्भ पुस्तक कुछ स्पष्ट करने के लिए बहुत आलसी है, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पूर्णांक से पहले सूत्र में एक संख्या हमेशा मौजूद होनी चाहिए। ऐसा हुआ - जीवन में घूमने वाली हर चीज इसी स्थिरांक से जुड़ी है।

एकीकरण "ए" और "बीएच" की सीमा कैसे निर्धारित करें, मुझे लगता है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

समारोह ... यह क्या कार्य है? आइए ड्राइंग पर एक नज़र डालें। एक सपाट आकृति शीर्ष पर एक परवलय ग्राफ से घिरी होती है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक अभ्यासों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में समाकलन चुकता है: इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

आइए इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल होता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। यानी हमारे क्रांति के शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। क्यों बिल्कुल घन इकाइयों? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी उड़न तश्तरी में डाल सकते हैं।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। पूरा समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

दो और जटिल कार्यों पर विचार करें जो व्यवहार में भी सामान्य हैं।

उदाहरण 3

एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

समाधान: आरेखण में रेखाओं से घिरा एक सपाट चित्र बनाएं, यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब आप इसे अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट मिलता है।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा में अंतर.

सबसे पहले, आइए लाल रंग में उल्लिखित आकृति को देखें। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए हम इस काटे गए शंकु के आयतन को निरूपित करें।

हरे रंग में उल्लिखित आकृति पर विचार करें। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा सा छोटा शंकु भी मिलेगा। आइए इसके आयतन को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम क्रांति के एक निकाय का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

१) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी होती है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी होती है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय की मात्रा:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

समाधान को अक्सर छोटा बना दिया जाता है, कुछ इस तरह:

अब थोड़ा आराम करते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जिसे पेरेलमैन (एक अन्य) ने पुस्तक में नोट किया है दिलचस्प ज्यामिति... हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्र में छोटा लगता है, और क्रांति के शरीर का आयतन केवल 50 घन इकाई से अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, अपने पूरे जीवन में औसत व्यक्ति 18 वर्ग मीटर के कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, मात्रा में बहुत छोटा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। पेरेलमैन की वही पुस्तक, 1950 में वापस प्रकाशित हुई, बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और समस्याओं के मूल गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाता है। हाल ही में मैंने कुछ अध्यायों को बड़ी रुचि के साथ फिर से पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानविकी के लिए भी उपलब्ध है। नहीं, मुस्कुराने की कोई जरूरत नहीं है कि मैंने एक खाली समय, विद्वता और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण की पेशकश की, यह बहुत अच्छी बात है।

गीतात्मक विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति की धुरी के परितः घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिंड के आयतन की गणना कीजिए, जहाँ।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि सभी चीजें पट्टी में होती हैं, दूसरे शब्दों में, एकीकरण की तैयार सीमा वास्तव में दी गई है। रेखांकन सही ढंग से करें त्रिकोणमितीय कार्य, मैं पाठ की सामग्री के बारे में याद दिलाऊंगा रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन: यदि तर्क दो से विभाज्य है:, तो ग्राफ़ अक्ष के अनुदिश दो बार खिंचे जाते हैं। कम से कम 3-4 अंक प्राप्त करना वांछनीय है त्रिकोणमितीय तालिकाओं द्वाराड्राइंग को अधिक सटीक रूप से पूरा करने के लिए। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

घूर्णन द्वारा गठित पिंड के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। कोर्डिनेट अक्ष के चारों ओर क्रांति के एक पिंड की मात्रा की गणना करने का कार्य भी काफी बार-बार आने वाला अतिथि है नियंत्रण कार्य... रास्ते में, इस पर विचार किया जाएगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरा तरीका - अक्ष के साथ एकीकरण, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका जीवन में व्यावहारिक अर्थ भी है! जैसा कि गणित पढ़ाने की शिक्षण विधियों के मेरे शिक्षक ने मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और कर्मचारियों को इष्टतम तरीके से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं उनके प्रति अपनी गहरी कृतज्ञता भी व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

मैं इसे पढ़ने के लिए सभी को सलाह देता हूं, यहां तक ​​​​कि पूरी चायदानी भी। इसके अलावा, दूसरे खंड में सामग्री को आत्मसात करना दोहरे समाकलन की गणना में अमूल्य होगा.

उदाहरण 5

आपको रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति दी गई है।

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) एक अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!भले ही आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहें, पहले आवश्यक रूप सेपहला पढ़ो!

समाधान: कार्य में दो भाग होते हैं। चलो वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन परवलय की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन परवलय की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परवलय है जो "अपनी तरफ है।"

आवश्यक आकृति, जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है, नीले रंग में छायांकित है।

मैं किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करूं? यह "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिस पर पाठ में चर्चा की गई थी समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें... इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर।

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान में क्या गलत है? सबसे पहले, दो अभिन्न अंग हैं। दूसरे, इंटीग्रल के तहत जड़ें, और इंटीग्रल में जड़ें एक उपहार नहीं हैं; इसके अलावा, कोई भी एकीकरण की सीमाओं के प्रतिस्थापन में भ्रमित हो सकता है। वास्तव में, अभिन्न, निश्चित रूप से घातक नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद हो सकता है, मैंने अभी कार्य के लिए "बेहतर" कार्यों को चुना है।

वहां अन्य हैं तर्कसंगत तरीकासमाधान: इसमें उलटा कार्य करने के लिए संक्रमण और अक्ष के साथ एकीकरण शामिल है।

मैं रिवर्स फ़ंक्शंस में कैसे जा सकता हूं? मोटे तौर पर, आपको "x" को "गेम" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। आइए पहले परवलय से निपटें:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि एक ही फ़ंक्शन को निचली शाखा से खींचा जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ, सब कुछ आसान है:

अब आइए अक्ष को देखें: कृपया, समय-समय पर अपने सिर को दाएं 90 डिग्री पर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकार की आवश्यकता है वह लाल बिंदीदार रेखा द्वारा इंगित खंड पर है। इस मामले में, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र उस सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए जिससे आप पहले से परिचित हैं: ... सूत्र में क्या बदला है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! ध्यान दें: अक्ष के साथ एकीकरण की सीमा निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र खोजें:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे अधिक है तर्कसंगत तरीका, और सत्रीय कार्य के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता के बारे में संदेह रखने वाले पाठकों के लिए, मुझे व्युत्पन्न मिलेगा:

मूल एकीकरण प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) आइए इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़ा अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति अक्ष के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "होवरिंग तितली" है जो अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ एकीकृत करेंगे। सबसे पहले आपको उलटा कार्यों में जाने की जरूरत है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तृत किया जा चुका है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाईं ओर झुकाते हैं और अपने फिगर का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर की मात्रा को मात्रा में अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

अक्ष के चारों ओर लाल रंग में उल्लिखित आकृति को घुमाएं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु बन जाता है। आइए इस वॉल्यूम को इसके माध्यम से नामित करें।

धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए, आकृति को घुमाएं और इसे क्रांति के परिणामी निकाय के आयतन के माध्यम से निरूपित करें।

हमारे तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

पिछले पैराग्राफ में सूत्र से क्या अंतर है? केवल पत्र में।

और यहाँ एकीकरण लाभ है जिसके बारे में मैंने हाल ही में बात की थी, जिसे खोजना बहुत आसान है 4 शक्ति के लिए प्रारंभिक रूप से एकीकृत और बढ़ाने की तुलना में।

उत्तर:

हालांकि, एक बीमार तितली।

ध्यान दें कि यदि आप अक्ष के चारों ओर एक ही सपाट आकृति को घुमाते हैं, तो आपको निश्चित रूप से एक अलग मात्रा के रोटेशन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलता है।

उदाहरण 6

आपको रेखाओं और एक अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति दी गई है।

1) प्रतिलोम फलन पर जाएँ और एक चर पर समाकलन करके इन रेखाओं से घिरी हुई समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) एक अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। रुचि रखने वाले भी "सामान्य" तरीके से आकृति के क्षेत्र का पता लगा सकते हैं, जिससे बिंदु 1 की जाँच हो सकती है)। लेकिन अगर, मैं दोहराता हूं, आप एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाते हैं, तो आपको एक अलग मात्रा के साथ रोटेशन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलेगा, वैसे, सही उत्तर (उन लोगों के लिए भी जो हल करना पसंद करते हैं)।

पाठ के अंत में सत्रीय कार्य के दो प्रस्तावित बिंदुओं का संपूर्ण समाधान।

ओह, और क्रांति के निकायों और एकीकरण के भीतर समझने के लिए अपने सिर को दाईं ओर झुकाना न भूलें!

निम्न के अलावा एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना विषय का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना... सामग्री सरल है, लेकिन पाठक को तैयार रहना चाहिए: आपको हल करने में सक्षम होना चाहिए अनिश्चित समाकलन मध्यम जटिलता और न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करें समाकलन परिभाषित करें ... जैसा कि क्षेत्र खोजने की समस्या के साथ है, आपको आश्वस्त ड्राइंग कौशल की आवश्यकता है - यह लगभग सबसे महत्वपूर्ण है (क्योंकि इंटीग्रल स्वयं अक्सर आसान होंगे)। आप कार्यप्रणाली सामग्री की मदद से एक सक्षम और तेज़ रेखांकन तकनीक में महारत हासिल कर सकते हैं ... लेकिन, वास्तव में, मैंने पहले ही पाठ में रेखाचित्रों के महत्व के बारे में बार-बार बात की है। .

सामान्य तौर पर, अभिन्न कलन में बहुत सारे दिलचस्प अनुप्रयोग होते हैं, एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके आप एक आकृति के क्षेत्र, क्रांति के एक शरीर की मात्रा, एक चाप की लंबाई, एक के सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। शरीर, और भी बहुत कुछ। तो यह मजेदार होगा, कृपया आशावादी बनें!

निर्देशांक तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना कीजिए। क्या आपने प्रस्तुत किया है? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया ... =))) हम पहले ही इसका क्षेत्र खोज चुके हैं। लेकिन, इसके अलावा, इस आंकड़े को दो तरीकों से घुमाया और घुमाया भी जा सकता है:

– एब्सिस्सा अक्ष के आसपास; - निर्देशांक अक्ष के चारों ओर।

यह लेख दोनों मामलों को कवर करेगा। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान व्यावहारिक रूप से वैसा ही है जैसा कि एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। एक बोनस के रूप में, मैं वापस आऊंगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या , और मैं आपको बताऊंगा कि क्षेत्र को दूसरे तरीके से कैसे खोजा जाए - अक्ष के साथ। यह इतना बोनस भी नहीं है क्योंकि सामग्री विषय को अच्छी तरह से फिट करती है।

आइए सबसे लोकप्रिय स्पिन प्रकार से शुरू करें।

एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाकर बनने वाले पिंड के आयतन की गणना

उदाहरण 1

एक अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त किए गए ठोस के आयतन की गणना करें।

समाधान:क्षेत्र खोजने की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति बनाने के साथ शुरू होता है... यही है, एक विमान पर रेखाओं से बंधी एक आकृति बनाना आवश्यक है, और यह मत भूलो कि समीकरण अक्ष निर्धारित करता है। ड्राइंग को अधिक कुशलता से और तेज़ कैसे बनाया जाए, आप पृष्ठों पर पता लगा सकते हैं प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण तथा समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें ... यह एक चीनी रिमाइंडर है, और मैं अब इस बिंदु पर नहीं रुकता।

यहाँ चित्र बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति नीले रंग में छायांकित है, यह वह है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। रोटेशन का परिणाम एक ऐसा थोड़ा अंडाकार उड़न तश्तरी है जो अक्ष के बारे में सममित है। वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, लेकिन संदर्भ पुस्तक देखने में बहुत आलसी है, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पूर्णांक से पहले सूत्र में एक संख्या हमेशा मौजूद होनी चाहिए। ऐसा हुआ - जीवन में घूमने वाली हर चीज इसी स्थिरांक से जुड़ी है।

एकीकरण "ए" और "बीएच" की सीमा कैसे निर्धारित करें, मुझे लगता है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

समारोह ... यह क्या कार्य है? आइए ड्राइंग पर एक नज़र डालें। एक सपाट आकृति शीर्ष पर एक परवलय ग्राफ से घिरी होती है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक अभ्यास में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में फ़ंक्शन चुकता है: इस प्रकार क्रांति के पिंड का आयतन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

आइए इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल होता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। यानी हमारे क्रांति के शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। क्यों बिल्कुल घन इकाइयों? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी उड़न तश्तरी में डाल सकते हैं।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें।

दो और जटिल कार्यों पर विचार करें जो व्यवहार में भी सामान्य हैं।

उदाहरण 3

एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

समाधान:आरेखण में रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति बनाएं,,,, जबकि यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को सेट करता है:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब आप इसे अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट मिलता है।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा में अंतर.

सबसे पहले, आइए लाल रंग में उल्लिखित आकृति को देखें। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए हम इस काटे गए शंकु के आयतन को निरूपित करें।

हरे रंग में उल्लिखित आकृति पर विचार करें। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा सा छोटा शंकु भी मिलेगा। आइए इसके आयतन को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम क्रांति के एक निकाय का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

१) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी होती है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी होती है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय की मात्रा:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

समाधान को अक्सर छोटा बना दिया जाता है, कुछ इस तरह:

अब थोड़ा आराम करते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जो पेरेलमैन (एक नहीं) ने पुस्तक में देखा। दिलचस्प ज्यामिति... हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्र में छोटा लगता है, और क्रांति के शरीर का आयतन केवल 50 घन इकाई से अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, अपने पूरे जीवन में औसत व्यक्ति 18 वर्ग मीटर के कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, मात्रा में बहुत छोटा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। पेरेलमैन की वही पुस्तक, जिसे 1950 में उनके द्वारा लिखा गया था, बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और हमें समस्याओं के मूल गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाता है। हाल ही में मैंने कुछ अध्यायों को बड़ी रुचि के साथ फिर से पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानविकी के लिए भी उपलब्ध है। नहीं, मुस्कुराने की कोई जरूरत नहीं है कि मैंने एक खाली समय, विद्वता और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण की पेशकश की, यह बहुत अच्छी बात है।

गीतात्मक विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति की धुरी के परितः घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिंड के आयतन की गणना कीजिए, जहाँ।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि सभी चीजें स्ट्रिप में होती हैं, दूसरे शब्दों में, एकीकरण की लगभग तैयार सीमाएँ दी गई हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ को सही ढंग से खींचने का भी प्रयास करें, यदि तर्क दो से विभाज्य है: तो ग्राफ़ को अक्ष के साथ दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक खोजने का प्रयास करें त्रिकोणमितीय तालिकाओं द्वारा और ड्राइंग को अधिक सटीक रूप से निष्पादित करें। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पूर्णांक से पहले सूत्र में एक संख्या हमेशा मौजूद होनी चाहिए। ऐसा हुआ - जीवन में घूमने वाली हर चीज इसी स्थिरांक से जुड़ी है।

एकीकरण "ए" और "बीएच" की सीमा कैसे निर्धारित करें, मुझे लगता है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

समारोह ... यह क्या कार्य है? आइए ड्राइंग पर एक नज़र डालें। एक सपाट आकृति शीर्ष पर एक परवलय ग्राफ से घिरी होती है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक अभ्यासों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में फ़ंक्शन चुकता है: इस प्रकार क्रांति के पिंड का आयतन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

आइए इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल होता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। यानी हमारे क्रांति के शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। क्यों बिल्कुल घन इकाइयों? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी उड़न तश्तरी में डाल सकते हैं।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें।

दो और जटिल कार्यों पर विचार करें जो व्यवहार में भी सामान्य हैं।

उदाहरण 3

एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

समाधान:आरेखण में रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति बनाएं,,,, जबकि यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को सेट करता है:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब आप इसे अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट मिलता है।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा में अंतर.

सबसे पहले, आइए लाल रंग में उल्लिखित आकृति को देखें। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए हम इस काटे गए शंकु के आयतन को निरूपित करें।

हरे रंग में उल्लिखित आकृति पर विचार करें। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा सा छोटा शंकु भी मिलेगा। आइए इसके आयतन को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम क्रांति के एक निकाय का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

१) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी होती है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी होती है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय की मात्रा:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

समाधान को अक्सर छोटा बना दिया जाता है, कुछ इस तरह:

अब थोड़ा आराम करते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जो पेरेलमैन (एक नहीं) ने पुस्तक में देखा। दिलचस्प ज्यामिति... हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्र में छोटा लगता है, और क्रांति के शरीर का आयतन केवल 50 घन इकाई से अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, अपने पूरे जीवन में औसत व्यक्ति 18 वर्ग मीटर के कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, मात्रा में बहुत छोटा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। पेरेलमैन की वही पुस्तक, जिसे 1950 में उनके द्वारा लिखा गया था, बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और हमें समस्याओं के मूल गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाता है। हाल ही में मैंने कुछ अध्यायों को बड़ी रुचि के साथ फिर से पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानविकी के लिए भी उपलब्ध है। नहीं, मुस्कुराने की कोई जरूरत नहीं है कि मैंने एक खाली समय, विद्वता और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण की पेशकश की, यह बहुत अच्छी बात है।

गीतात्मक विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति की धुरी के परितः घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिंड के आयतन की गणना कीजिए, जहाँ।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि सभी चीजें स्ट्रिप में होती हैं, दूसरे शब्दों में, एकीकरण की लगभग तैयार सीमाएँ दी गई हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ को सही ढंग से खींचने का भी प्रयास करें, यदि तर्क दो से विभाज्य है: तो ग्राफ़ को अक्ष के साथ दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक खोजने का प्रयास करें त्रिकोणमितीय तालिकाओं द्वाराऔर ड्राइंग को अधिक सटीक रूप से निष्पादित करें। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

घूर्णन द्वारा गठित पिंड के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। निर्देशांक अक्ष के चारों ओर क्रांति के एक शरीर की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षणों में काफी बार-बार अतिथि होता है। रास्ते में, इस पर विचार किया जाएगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरा तरीका - अक्ष के साथ एकीकरण, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका जीवन में व्यावहारिक अर्थ भी है! जैसा कि गणित पढ़ाने की शिक्षण विधियों के मेरे शिक्षक ने मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और कर्मचारियों को इष्टतम तरीके से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं उनके प्रति अपनी गहरी कृतज्ञता भी व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

उदाहरण 5

आपको रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति दी गई है।

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) एक अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!भले ही आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहें, पहले आवश्यक रूप सेपहला पढ़ो!

समाधान:कार्य के दो भाग हैं। चलो चौक से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन परवलय की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन परवलय की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परवलय है जो "अपनी तरफ है।"

आवश्यक आकृति, जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है, नीले रंग में छायांकित है।

मैं किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करूं? यह "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिस पर पाठ में चर्चा की गई थी समाकलन परिभाषित करें... किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें... इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर;
- खंड पर।

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान में क्या गलत है? सबसे पहले, दो अभिन्न अंग हैं। दूसरे, इंटीग्रल के तहत जड़ें, और इंटीग्रल में जड़ें एक उपहार नहीं हैं; इसके अलावा, कोई भी एकीकरण की सीमाओं के प्रतिस्थापन में भ्रमित हो सकता है। वास्तव में, अभिन्न, निश्चित रूप से घातक नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद हो सकता है, मैंने अभी कार्य के लिए "बेहतर" कार्यों को चुना है।

इसे हल करने का एक अधिक तर्कसंगत तरीका है: इसमें उलटा कार्यों को पारित करना और अक्ष के साथ एकीकृत करना शामिल है।

मैं रिवर्स फ़ंक्शंस में कैसे जा सकता हूं? मोटे तौर पर, आपको "x" को "गेम" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। आइए पहले परवलय से निपटें:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि एक ही फ़ंक्शन को निचली शाखा से खींचा जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ, सब कुछ आसान है:

अब हम धुरी को देखते हैं: कृपया, समय-समय पर अपने सिर को दाएं 90 डिग्री पर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकार की आवश्यकता है वह लाल बिंदीदार रेखा द्वारा इंगित खंड पर है। इस मामले में, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र उस सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए जिससे आप पहले से परिचित हैं:। सूत्र में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! नोट: अक्ष के साथ एकीकरण की सीमा निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र खोजें:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता के बारे में संदेह रखने वाले पाठकों के लिए, मुझे व्युत्पन्न मिलेगा:

मूल एकीकरण प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) आइए इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़ा अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति अक्ष के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "होवरिंग तितली" है जो अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ एकीकृत करेंगे। सबसे पहले आपको उलटा कार्यों में जाने की जरूरत है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तृत किया जा चुका है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाईं ओर झुकाते हैं और अपने फिगर का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर की मात्रा को मात्रा में अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

अक्ष के चारों ओर लाल रंग में उल्लिखित आकृति को घुमाएं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु बन जाता है। आइए इस वॉल्यूम को इसके माध्यम से नामित करें।

धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए, आकृति को घुमाएं और इसे क्रांति के परिणामी निकाय के आयतन के माध्यम से निरूपित करें।

हमारे तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

पिछले पैराग्राफ में सूत्र से क्या अंतर है? केवल पत्र में।

और यहां एकीकरण का लाभ है, जिसके बारे में मैंने हाल ही में बात की थी, पहले एकीकरण को चौथी शक्ति तक बढ़ाने की तुलना में खोजना बहुत आसान है।

उत्तर:

हालांकि, एक बीमार तितली।

ध्यान दें कि यदि आप अक्ष के चारों ओर एक ही सपाट आकृति को घुमाते हैं, तो आपको निश्चित रूप से एक अलग मात्रा के रोटेशन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलता है।

उदाहरण 6

आपको रेखाओं और एक अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति दी गई है।

1) प्रतिलोम फलन पर जाएँ और एक चर पर समाकलन करके इन रेखाओं से घिरी हुई समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) एक अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। रुचि रखने वाले भी "सामान्य" तरीके से आकृति के क्षेत्र का पता लगा सकते हैं, जिससे बिंदु 1 की जाँच हो सकती है)। लेकिन अगर, मैं दोहराता हूं, आप एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाते हैं, तो आपको एक अलग मात्रा के साथ रोटेशन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलेगा, वैसे, सही उत्तर (उन लोगों के लिए भी जो हल करना पसंद करते हैं)।

पाठ के अंत में सत्रीय कार्य के दो प्रस्तावित बिंदुओं का संपूर्ण समाधान।

ओह, और क्रांति के निकायों और एकीकरण के भीतर समझने के लिए अपने सिर को दाईं ओर झुकाना न भूलें!

मैं चाहता था, यह पहले से ही, लेख को समाप्त करने के लिए था, लेकिन आज वे एक दिलचस्प उदाहरण लेकर आए हैं, जो कि कोर्डिनेट अक्ष के चारों ओर क्रांति के एक शरीर की मात्रा को खोजने के लिए है। हौसले से:

उदाहरण 7

वक्रों से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें और। उलटा फ़ंक्शन परवलय की बाईं अप्रयुक्त शाखा से मेल खाता है - फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के ऊपर के खंड पर स्थित है;

यह मान लेना तर्कसंगत है कि क्रांति के निकाय के आयतन को पहले से ही क्रांति के निकायों के आयतन के योग के रूप में खोजा जाना चाहिए!

हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

इस मामले में:

उत्तर:

वी एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्याक्षेत्रों का योग अक्सर उपयोग किया जाता है, और क्रांति के निकायों की मात्रा का योग स्पष्ट रूप से दुर्लभ है, क्योंकि इस तरह की विविधता मेरी दृष्टि के क्षेत्र से लगभग बाहर हो गई है। फिर भी, यह अच्छा है कि माना गया उदाहरण समय पर सामने आया - हम बहुत सी उपयोगी चीजों को निकालने में कामयाब रहे।

आंकड़ों का सफल प्रचार!

अनुभाग: गणित

पाठ का प्रकार: संयुक्त।

पाठ का उद्देश्य:इंटीग्रल का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना सीखें।

कार्य:

• कई ज्यामितीय आकृतियों से वक्रीय समलंबों का चयन करने की क्षमता को समेकित करना और घुमावदार समलंबों के क्षेत्रों की गणना करने के कौशल का अभ्यास करना;
• अवधारणा से परिचित हों बड़ा आंकड़ा;
• क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना सीखें;
• विकास में योगदान तार्किक साेच, सक्षम गणितीय भाषण, चित्र के निर्माण में सटीकता;
• विषय में रुचि बढ़ाना, गणितीय अवधारणाओं और छवियों के साथ काम करना, अंतिम परिणाम प्राप्त करने में इच्छाशक्ति, स्वतंत्रता, दृढ़ता को बढ़ावा देना।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

सामूहिक अभिवादन। छात्रों को पाठ लक्ष्यों का संचार करना।

प्रतिबिंब। शांत राग।

- आज का पाठ मैं एक दृष्टांत से शुरू करना चाहूंगा। “एक ऋषि थे जो सब कुछ जानते थे। एक व्यक्ति यह सिद्ध करना चाहता था कि ऋषि सब कुछ नहीं जानता। अपनी हथेलियों में तितली को पकड़कर उसने पूछा: "मुनि, मुझे बताओ, मेरे हाथों में कौन सी तितली है: मृत या जीवित?" और वह खुद सोचता है: "जीवित कहेगा - मैं उसे मार डालूंगा, मरा हुआ कहेगा - मैं उसे छोड़ दूंगा।" ऋषि ने सोचते हुए उत्तर दिया: "सब आपके हाथ मे है"। (प्रस्तुतीकरण।फिसल पट्टी)

"इसलिए, आइए आज हम फलदायी रूप से काम करें, ज्ञान का एक नया भंडार प्राप्त करें, और अर्जित कौशल और क्षमताओं को बाद के जीवन और व्यावहारिक गतिविधियों में लागू करें। "सब आपके हाथ मे है"।

द्वितीय. पहले अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति।

- आइए पहले अध्ययन की गई सामग्री के मुख्य बिंदुओं को याद करें। ऐसा करने के लिए, हम कार्य पूरा करेंगे "अतिरिक्त शब्द हटा दें।"(फिसल पट्टी।)

(छात्र इरेज़र की सहायता से आईडी में जाता है और एक अतिरिक्त शब्द हटा देता है।)

- सही "डिफरेंशियल"। शेष शब्दों को एक नाम देने का प्रयास करें सामान्य शब्द... (समाकलन गणित।)

- आइए याद करते हैं इंटीग्रल कैलकुलस से जुड़े मुख्य चरणों और कॉन्सेप्ट्स को..

"गणितीय क्लस्टर"।

व्यायाम। अंतराल को पुनर्स्थापित करें। (छात्र बाहर आता है और आवश्यक शब्दों में कलम से लिखता है।)

- हम बाद में इंटीग्रल के अनुप्रयोग पर एक सार सुनेंगे।

नोटबुक में काम करें।

- न्यूटन-लीबनिज सूत्र अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1643-1727) और जर्मन दार्शनिक गॉटफ्रीड लाइबनिज (1646-1716) द्वारा प्राप्त किया गया था। और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि गणित प्रकृति द्वारा ही बोली जाने वाली भाषा है।

- आइए विचार करें कि व्यावहारिक कार्यों को हल करने में इस सूत्र का उपयोग कैसे किया जाता है।

उदाहरण 1: रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

हल: आइए हम निर्देशांक तल पर फलनों के आलेख बनाते हैं ... मिलने वाली आकृति के क्षेत्र का चयन करें।

III. नई सामग्री सीखना।

- स्क्रीन पर ध्यान दें। पहली तस्वीर में क्या दिखाया गया है? (फिसल पट्टी) (आकृति एक सपाट आकृति दिखाती है।)

- दूसरी तस्वीर में क्या दिखाया गया है? क्या यह आंकड़ा सपाट है? (फिसल पट्टी) (आकृति एक त्रि-आयामी आकृति दिखाती है।)

- अंतरिक्ष में, पृथ्वी पर और में दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगीहम न केवल सपाट आंकड़े मिलते हैं, बल्कि त्रि-आयामी भी मिलते हैं, लेकिन ऐसे निकायों की मात्रा की गणना कैसे करें? उदाहरण के लिए, किसी ग्रह का आयतन, धूमकेतु, उल्कापिंड आदि।

- वे घर बनाते समय और एक बर्तन से दूसरे बर्तन में पानी डालते समय मात्रा के बारे में सोचते हैं। वॉल्यूम की गणना के लिए नियम और तकनीक उत्पन्न होनी चाहिए, यह एक और बात है कि वे कितने सटीक और प्रमाणित थे।

छात्र संदेश। (वेरा ट्यूरिना।)

वर्ष १६१२ ऑस्ट्रियाई शहर लिंज़ के निवासियों के लिए बहुत फलदायी था, जहाँ प्रसिद्ध खगोलशास्त्री जोहान्स केपलर तब रहते थे, विशेष रूप से अंगूर के लिए। लोग शराब के बैरल तैयार कर रहे थे और जानना चाहते थे कि उनकी मात्रा को व्यावहारिक रूप से कैसे निर्धारित किया जाए। (स्लाइड 2)

- इस प्रकार, केप्लर के सुविचारित कार्यों ने अध्ययन की एक पूरी धारा की नींव रखी जो 17 वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही में समाप्त हुई। आई. न्यूटन और जी.वी. के कार्यों में पंजीकरण। लाइबनिज डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस। उस समय से महानता के चरों के गणित ने गणितीय ज्ञान की प्रणाली में एक अग्रणी स्थान पर कब्जा कर लिया है।

- आज हम ऐसी व्यावहारिक गतिविधियों में लगे रहेंगे, इसलिए,

हमारे पाठ का विषय "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना" है। (फिसल पट्टी)

- आप निम्नलिखित कार्य को पूरा करके क्रांति के निकाय की परिभाषा सीखेंगे।

"भूलभुलैया"।

भूलभुलैया (ग्रीक शब्द) का अर्थ है एक कालकोठरी में जाना। भूलभुलैया - एक दूसरे के साथ संचार करने वाले रास्तों, मार्गों, कमरों का एक जटिल नेटवर्क।

लेकिन परिभाषा "दुर्घटनाग्रस्त", तीर के रूप में युक्तियाँ हैं।

व्यायाम। भ्रम से बाहर निकलने का रास्ता खोजें और परिभाषा लिखें।

फिसल पट्टी। "मानचित्र निर्देश" संस्करणों की गणना।

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, कोई शरीर की मात्रा की गणना कर सकता है, विशेष रूप से, क्रांति का एक शरीर।

क्रांति का पिंड एक पिंड है जो अपने आधार के चारों ओर एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को घुमाकर प्राप्त किया जाता है (चित्र 1, 2)

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्रों में से एक का उपयोग करके की जाती है:

1. OX अक्ष के चारों ओर।

2. अगर घुमावदार समलम्बाकार का घूर्णन ओएस अक्ष के आसपास।

प्रत्येक छात्र को एक निर्देश कार्ड प्राप्त होता है। प्रशिक्षक मुख्य बिंदुओं पर जोर देता है।

- शिक्षक बोर्ड पर उदाहरणों के साथ समाधान बताते हैं।

आइए अलेक्जेंडर पुश्किन की प्रसिद्ध परी कथा के एक अंश पर विचार करें "द टेल ऑफ़ ज़ार साल्टन, उनके शानदार और पराक्रमी नायक के बेटे, प्रिंस ग्विडोन साल्टानोविच और सुंदर राजकुमारी लेबेड" (स्लाइड 4):

…..
और नशे में धुत दूत ले आया
उसी दिन, आदेश इस प्रकार है:
“राजा अपने लड़कों को आदेश देता है,
समय बर्बाद नहीं करना
और रानी और संतान
चुपके से पानी के रसातल में फेंक दो ”।
करने के लिए कुछ नहीं है: बॉयर्स,
संप्रभु के लिए धक्का देने के बाद
और युवा रानी,
वे भीड़ में उसके बेडरूम में आए।
उन्होंने राजा की इच्छा की घोषणा की -
उसका और उसके बेटे का बहुत बुरा है,
फरमान को जोर से पढ़ें
और रानी एक ही घंटे में
उन्होंने मेरे बेटे को एक बैरल में डाल दिया,
पीस लिया, चलाई
और उन्होंने इसे ओकियां में जाने दिया -
ज़ार साल्टन ने यही आदेश दिया।

रानी और उसके बेटे को फिट करने के लिए बैरल का आयतन कितना होना चाहिए?

- निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें

1. रेखाओं द्वारा परिबद्ध, कोटि अक्ष के चारों ओर घुमावदार समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0।

उत्तर: 1163 से। मी 3 .

भुज अक्ष के चारों ओर एक परवलयिक समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए वाई =, एक्स = 4, वाई = 0।

चतुर्थ। नई सामग्री को सुरक्षित करना

उदाहरण 2. एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर पंखुड़ी के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें वाई = एक्स 2, वाई 2 = एक्स।

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं। वाई = एक्स 2, वाई 2 = एक्स... अनुसूची वाई 2 = एक्सफॉर्म में कनवर्ट करना आप= .

हमारे पास है वी = वी 1 - वी 2आइए प्रत्येक फ़ंक्शन की मात्रा की गणना करें

- अब, आइए एक अद्भुत रूसी इंजीनियर, मानद शिक्षाविद वी.जी. शुखोव की परियोजना के अनुसार निर्मित शबोलोव्का पर मास्को में एक रेडियो स्टेशन के लिए टॉवर पर एक नज़र डालते हैं। इसमें भाग होते हैं - क्रांति के हाइपरबोलाइड। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक आसन्न मंडलियों को जोड़ने वाली रेक्टिलिनियर धातु की छड़ से बना है (चित्र 8, 9)।

- समस्या पर विचार करें।

अतिपरवलय के चापों को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए अपनी काल्पनिक धुरी के चारों ओर, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 8 कहाँ

पशुशावक। इकाइयों

समूह असाइनमेंट। छात्र कार्यों के साथ बहुत कुछ आकर्षित करते हैं, व्हाटमैन पेपर पर चित्र बनाते हैं, समूह के प्रतिनिधियों में से एक काम का बचाव करता है।

पहला समूह।

मार! मार! एक और झटका!
एक गेंद गेट में उड़ती है - बॉल!
और यह एक तरबूज की गेंद है
हरा, गोल, स्वादिष्ट।
बेहतर देखो - क्या गेंद है!
यह उन्हीं हलकों से बनाया गया है।
तरबूज को हलकों में काटें
और उनका स्वाद लें।

परिबद्ध OX अक्ष के चारों ओर फलन को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए

त्रुटि! बुकमार्क परिभाषित नहीं है।

- मुझे बताओ, कृपया, हम इस आंकड़े से कहां मिल रहे हैं?

मकान। 1 समूह के लिए कार्य। सिलेंडर (फिसल पट्टी) .

"सिलेंडर - यह क्या है?" - मैंने अपने पिताजी से पूछा।
पिता हँसे: एक शीर्ष टोपी एक टोपी है।
एक सही विचार रखने के लिए,
सिलेंडर, मान लीजिए, एक टिन कैन है।
स्टीमर पाइप - सिलेंडर,
हमारी छत पर भी चिमनी,

सभी पाइप एक सिलेंडर के समान हैं।
और मैंने ऐसा उदाहरण दिया -
मेरे प्यारे बहुरूपदर्शक
आप उससे नज़रें नहीं हटा सकते
और एक सिलेंडर की तरह भी दिखता है।

- व्यायाम। होम वर्कफ़ंक्शन को ग्राफ़ करें और वॉल्यूम की गणना करें।

दूसरा समूह। कोन (फिसल पट्टी).

माँ ने कहा: और अब
मेरी कहानी शंकु के बारे में होगी।
उच्च टोपी में ज्योतिषी
पूरे साल सितारों की गिनती करता है।
शंकु - ज्योतिषी टोपी।
वह वही है। समझा? बस, इतना ही।
माँ मेज पर खड़ी थी,
उसने बोतलों में तेल डाला।
- फ़नल कहाँ है? कोई फ़नल नहीं।
नज़र। एक तरफ मत खड़े रहो।
- माँ, मैं हिलता नहीं हूँ,
हमें शंकु के बारे में और बताएं।
- कीप वाटरिंग कैन कोन के रूप में होती है।
चलो, उसे मेरे लिए जल्द से जल्द ढूंढो।
मुझे एक फ़नल नहीं मिला,
लेकिन माँ ने एक बैग बनाया
मैंने कार्डबोर्ड को अपनी उंगली के चारों ओर घुमा दिया
और चतुराई से इसे एक पेपर क्लिप से सुरक्षित कर लिया।
तेल बरस रहा है, माँ खुश है
शंकु ठीक वही निकला जो हमें चाहिए।

व्यायाम। एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें

मकान। दूसरे समूह के लिए कार्य। पिरामिड(फिसल पट्टी)।

मैंने तस्वीर देखी। इस तस्वीर में
रेतीले रेगिस्तान में एक पिरामिड है।
पिरामिड में सब कुछ असाधारण है
इसमें किसी तरह का रहस्य और रहस्य है।
रेड स्क्वायर पर एक स्पैस्काया टॉवर
बच्चों और वयस्कों दोनों के लिए परिचित।
तुम मीनार को देखो - दिखने में साधारण,
और उसके ऊपर क्या है? पिरामिड!

व्यायाम।फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने और पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए होमवर्क

- हमने एक अभिन्न का उपयोग करके निकायों के आयतन के मूल सूत्र के आधार पर विभिन्न निकायों के आयतन की गणना की।

यह एक और पुष्टि है कि गणित के अध्ययन के लिए एक निश्चित अभिन्न का कुछ आधार है।

- अच्छा, अब थोड़ा आराम करते हैं।

एक जोड़ी खोजें।

एक गणितीय डोमिनोज़ राग बज रहा है।

"जिस राह की मुझे खुद तलाश थी वो कभी नहीं भूलेगी..."

अनुसंधान। अर्थशास्त्र और प्रौद्योगिकी में अभिन्न का अनुप्रयोग।

मजबूत शिक्षार्थियों और गणित फुटबॉल के लिए टेस्ट।

गणितीय सिम्युलेटर।

2. किसी दिए गए फलन के सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय को कहते हैं

ए) अनिश्चितकालीन अभिन्न,

बी) समारोह,

सी) भेदभाव।

7. रेखाओं से घिरे हुए भुजिका अक्ष के चारों ओर एक घुमावदार समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए:

डी / जेड। क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करें।

प्रतिबिंब।

रूप में प्रतिबिंब का स्वागत सिंकवाइन(पांच श्लोक)।

पहली पंक्ति - विषय का नाम (एक संज्ञा)।

दूसरी पंक्ति - विषय का दो शब्दों में वर्णन, दो विशेषण।

तीसरी पंक्ति - तीन शब्दों में इस विषय के ढांचे के भीतर कार्रवाई का विवरण।

चौथी पंक्ति - चार शब्दों का एक वाक्यांश, विषय (संपूर्ण वाक्य) से संबंध दर्शाता है।

5वीं पंक्ति एक पर्यायवाची है जो विषय के सार को दोहराती है।

1. आयतन।
2. निश्चित अभिन्न, अभिन्न कार्य।
3. हम निर्माण करते हैं, घुमाते हैं, गणना करते हैं।
4. एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड (इसके आधार के चारों ओर) को घुमाकर प्राप्त किया गया शरीर।
5. क्रांति का शरीर (ठोस ज्यामितीय शरीर)।

उत्पादन (फिसल पट्टी).

• एक निश्चित समाकलन गणित के अध्ययन के लिए कुछ आधार है, जो व्यावहारिक सामग्री की समस्याओं को हल करने में एक अपूरणीय योगदान देता है।
• विषय "इंटीग्रल" स्पष्ट रूप से गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र और प्रौद्योगिकी के बीच संबंध को दर्शाता है।
• विकास आधुनिक विज्ञानएक अभिन्न के उपयोग के बिना अकल्पनीय है। इस संबंध में, माध्यमिक विशिष्ट शिक्षा के ढांचे के भीतर इसका अध्ययन शुरू करना आवश्यक है!

ग्रेडिंग। (टिप्पणी के साथ।)

महान उमर खय्याम एक गणितज्ञ, कवि, दार्शनिक हैं। वह आपके भाग्य का स्वामी बनने का आह्वान करता है। हम उनके काम का एक अंश सुनते हैं:

तुम कहोगे कि यह जीवन एक क्षण है।
उसकी सराहना करें, उससे प्रेरणा लें।
जैसे ही आप इसे खर्च करेंगे, यह बीत जाएगा।
मत भूलो: वह तुम्हारी रचना है।

अनुभाग: गणित

पाठ का प्रकार: संयुक्त।

पाठ का उद्देश्य:इंटीग्रल का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना सीखें।

कार्य:

• कई ज्यामितीय आकृतियों से वक्रीय समलंबों का चयन करने की क्षमता को समेकित करना और घुमावदार समलंबों के क्षेत्रों की गणना करने के कौशल का अभ्यास करना;
• वॉल्यूमेट्रिक आकृति की अवधारणा से परिचित हों;
• क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना सीखें;
• तार्किक सोच, सक्षम गणितीय भाषण, चित्र के निर्माण में सटीकता के विकास को बढ़ावा देना;
• विषय में रुचि बढ़ाना, गणितीय अवधारणाओं और छवियों के साथ काम करना, अंतिम परिणाम प्राप्त करने में इच्छाशक्ति, स्वतंत्रता, दृढ़ता को बढ़ावा देना।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

सामूहिक अभिवादन। छात्रों को पाठ लक्ष्यों का संचार करना।

प्रतिबिंब। शांत राग।

- आज का पाठ मैं एक दृष्टांत से शुरू करना चाहूंगा। “एक ऋषि थे जो सब कुछ जानते थे। एक व्यक्ति यह सिद्ध करना चाहता था कि ऋषि सब कुछ नहीं जानता। अपनी हथेलियों में तितली को पकड़कर उसने पूछा: "मुनि, मुझे बताओ, मेरे हाथों में कौन सी तितली है: मृत या जीवित?" और वह खुद सोचता है: "जीवित कहेगा - मैं उसे मार डालूंगा, मरा हुआ कहेगा - मैं उसे छोड़ दूंगा।" ऋषि ने सोचते हुए उत्तर दिया: "सब आपके हाथ मे है"। (प्रस्तुतीकरण।फिसल पट्टी)

"इसलिए, आइए आज हम फलदायी रूप से काम करें, ज्ञान का एक नया भंडार प्राप्त करें, और अर्जित कौशल और क्षमताओं को बाद के जीवन और व्यावहारिक गतिविधियों में लागू करें। "सब आपके हाथ मे है"।

द्वितीय. पहले अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति।

- आइए पहले अध्ययन की गई सामग्री के मुख्य बिंदुओं को याद करें। ऐसा करने के लिए, हम कार्य पूरा करेंगे "अतिरिक्त शब्द हटा दें।"(फिसल पट्टी।)

(छात्र इरेज़र की सहायता से आईडी में जाता है और एक अतिरिक्त शब्द हटा देता है।)

- सही "डिफरेंशियल"। शेष शब्दों को एक सामान्य शब्द से नाम देने का प्रयास करें। (समाकलन गणित।)

- आइए याद करते हैं इंटीग्रल कैलकुलस से जुड़े मुख्य चरणों और कॉन्सेप्ट्स को..

"गणितीय क्लस्टर"।

व्यायाम। अंतराल को पुनर्स्थापित करें। (छात्र बाहर आता है और आवश्यक शब्दों में कलम से लिखता है।)

- हम बाद में इंटीग्रल के अनुप्रयोग पर एक सार सुनेंगे।

नोटबुक में काम करें।

- न्यूटन-लीबनिज सूत्र अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1643-1727) और जर्मन दार्शनिक गॉटफ्रीड लाइबनिज (1646-1716) द्वारा प्राप्त किया गया था। और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि गणित प्रकृति द्वारा ही बोली जाने वाली भाषा है।

- आइए विचार करें कि व्यावहारिक कार्यों को हल करने में इस सूत्र का उपयोग कैसे किया जाता है।

उदाहरण 1: रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

हल: आइए हम निर्देशांक तल पर फलनों के आलेख बनाते हैं ... मिलने वाली आकृति के क्षेत्र का चयन करें।

III. नई सामग्री सीखना।

- स्क्रीन पर ध्यान दें। पहली तस्वीर में क्या दिखाया गया है? (फिसल पट्टी) (आकृति एक सपाट आकृति दिखाती है।)

- दूसरी तस्वीर में क्या दिखाया गया है? क्या यह आंकड़ा सपाट है? (फिसल पट्टी) (आकृति एक त्रि-आयामी आकृति दिखाती है।)

- अंतरिक्ष में, पृथ्वी पर और रोजमर्रा की जिंदगी में, हम न केवल सपाट आंकड़े देखते हैं, बल्कि त्रि-आयामी भी होते हैं, लेकिन ऐसे निकायों की मात्रा की गणना कैसे करें? उदाहरण के लिए, किसी ग्रह का आयतन, धूमकेतु, उल्कापिंड आदि।

- वे घर बनाते समय और एक बर्तन से दूसरे बर्तन में पानी डालते समय मात्रा के बारे में सोचते हैं। वॉल्यूम की गणना के लिए नियम और तकनीक उत्पन्न होनी चाहिए, यह एक और बात है कि वे कितने सटीक और प्रमाणित थे।

छात्र संदेश। (वेरा ट्यूरिना।)

वर्ष १६१२ ऑस्ट्रियाई शहर लिंज़ के निवासियों के लिए बहुत फलदायी था, जहाँ प्रसिद्ध खगोलशास्त्री जोहान्स केपलर तब रहते थे, विशेष रूप से अंगूर के लिए। लोग शराब के बैरल तैयार कर रहे थे और जानना चाहते थे कि उनकी मात्रा को व्यावहारिक रूप से कैसे निर्धारित किया जाए। (स्लाइड 2)

- इस प्रकार, केप्लर के सुविचारित कार्यों ने अध्ययन की एक पूरी धारा की नींव रखी जो 17 वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही में समाप्त हुई। आई. न्यूटन और जी.वी. के कार्यों में पंजीकरण। लाइबनिज डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस। उस समय से महानता के चरों के गणित ने गणितीय ज्ञान की प्रणाली में एक अग्रणी स्थान पर कब्जा कर लिया है।

- आज हम ऐसी व्यावहारिक गतिविधियों में लगे रहेंगे, इसलिए,

हमारे पाठ का विषय "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना" है। (फिसल पट्टी)

- आप निम्नलिखित कार्य को पूरा करके क्रांति के निकाय की परिभाषा सीखेंगे।

"भूलभुलैया"।

भूलभुलैया (ग्रीक शब्द) का अर्थ है एक कालकोठरी में जाना। भूलभुलैया - एक दूसरे के साथ संचार करने वाले रास्तों, मार्गों, कमरों का एक जटिल नेटवर्क।

लेकिन परिभाषा "दुर्घटनाग्रस्त", तीर के रूप में युक्तियाँ हैं।

व्यायाम। भ्रम से बाहर निकलने का रास्ता खोजें और परिभाषा लिखें।

फिसल पट्टी। "मानचित्र निर्देश" संस्करणों की गणना।

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, कोई शरीर की मात्रा की गणना कर सकता है, विशेष रूप से, क्रांति का एक शरीर।

क्रांति का पिंड एक पिंड है जो अपने आधार के चारों ओर एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को घुमाकर प्राप्त किया जाता है (चित्र 1, 2)

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्रों में से एक का उपयोग करके की जाती है:

1. OX अक्ष के चारों ओर।

2. अगर घुमावदार समलम्बाकार का घूर्णन ओएस अक्ष के आसपास।

प्रत्येक छात्र को एक निर्देश कार्ड प्राप्त होता है। प्रशिक्षक मुख्य बिंदुओं पर जोर देता है।

- शिक्षक बोर्ड पर उदाहरणों के साथ समाधान बताते हैं।

आइए अलेक्जेंडर पुश्किन की प्रसिद्ध परी कथा के एक अंश पर विचार करें "द टेल ऑफ़ ज़ार साल्टन, उनके शानदार और पराक्रमी नायक के बेटे, प्रिंस ग्विडोन साल्टानोविच और सुंदर राजकुमारी लेबेड" (स्लाइड 4):

…..
और नशे में धुत दूत ले आया
उसी दिन, आदेश इस प्रकार है:
“राजा अपने लड़कों को आदेश देता है,
समय बर्बाद नहीं करना
और रानी और संतान
चुपके से पानी के रसातल में फेंक दो ”।
करने के लिए कुछ नहीं है: बॉयर्स,
संप्रभु के लिए धक्का देने के बाद
और युवा रानी,
वे भीड़ में उसके बेडरूम में आए।
उन्होंने राजा की इच्छा की घोषणा की -
उसका और उसके बेटे का बहुत बुरा है,
फरमान को जोर से पढ़ें
और रानी एक ही घंटे में
उन्होंने मेरे बेटे को एक बैरल में डाल दिया,
पीस लिया, चलाई
और उन्होंने इसे ओकियां में जाने दिया -
ज़ार साल्टन ने यही आदेश दिया।

रानी और उसके बेटे को फिट करने के लिए बैरल का आयतन कितना होना चाहिए?

- निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें

1. रेखाओं द्वारा परिबद्ध, कोटि अक्ष के चारों ओर घुमावदार समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0।

उत्तर: 1163 से। मी 3 .

भुज अक्ष के चारों ओर एक परवलयिक समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए वाई =, एक्स = 4, वाई = 0।

चतुर्थ। नई सामग्री को सुरक्षित करना

उदाहरण 2. एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर पंखुड़ी के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें वाई = एक्स 2, वाई 2 = एक्स।

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं। वाई = एक्स 2, वाई 2 = एक्स... अनुसूची वाई 2 = एक्सफॉर्म में कनवर्ट करना आप= .

हमारे पास है वी = वी 1 - वी 2आइए प्रत्येक फ़ंक्शन की मात्रा की गणना करें

- अब, आइए एक अद्भुत रूसी इंजीनियर, मानद शिक्षाविद वी.जी. शुखोव की परियोजना के अनुसार निर्मित शबोलोव्का पर मास्को में एक रेडियो स्टेशन के लिए टॉवर पर एक नज़र डालते हैं। इसमें भाग होते हैं - क्रांति के हाइपरबोलाइड। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक आसन्न मंडलियों को जोड़ने वाली रेक्टिलिनियर धातु की छड़ से बना है (चित्र 8, 9)।

- समस्या पर विचार करें।

अतिपरवलय के चापों को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए अपनी काल्पनिक धुरी के चारों ओर, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 8 कहाँ

पशुशावक। इकाइयों

समूह असाइनमेंट। छात्र कार्यों के साथ बहुत कुछ आकर्षित करते हैं, व्हाटमैन पेपर पर चित्र बनाते हैं, समूह के प्रतिनिधियों में से एक काम का बचाव करता है।

पहला समूह।

मार! मार! एक और झटका!
एक गेंद गेट में उड़ती है - बॉल!
और यह एक तरबूज की गेंद है
हरा, गोल, स्वादिष्ट।
बेहतर देखो - क्या गेंद है!
यह उन्हीं हलकों से बनाया गया है।
तरबूज को हलकों में काटें
और उनका स्वाद लें।

परिबद्ध OX अक्ष के चारों ओर फलन को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए

त्रुटि! बुकमार्क परिभाषित नहीं है।

- मुझे बताओ, कृपया, हम इस आंकड़े से कहां मिल रहे हैं?

मकान। 1 समूह के लिए कार्य। सिलेंडर (फिसल पट्टी) .

"सिलेंडर - यह क्या है?" - मैंने अपने पिताजी से पूछा।
पिता हँसे: एक शीर्ष टोपी एक टोपी है।
एक सही विचार रखने के लिए,
सिलेंडर, मान लीजिए, एक टिन कैन है।
स्टीमर पाइप - सिलेंडर,
हमारी छत पर भी चिमनी,

सभी पाइप एक सिलेंडर के समान हैं।
और मैंने ऐसा उदाहरण दिया -
मेरे प्यारे बहुरूपदर्शक
आप उससे नज़रें नहीं हटा सकते
और एक सिलेंडर की तरह भी दिखता है।

- व्यायाम। होमवर्क फ़ंक्शन को ग्राफ़ करना और वॉल्यूम की गणना करना है।

दूसरा समूह। कोन (फिसल पट्टी).

माँ ने कहा: और अब
मेरी कहानी शंकु के बारे में होगी।
उच्च टोपी में ज्योतिषी
पूरे साल सितारों की गिनती करता है।
शंकु - ज्योतिषी टोपी।
वह वही है। समझा? बस, इतना ही।
माँ मेज पर खड़ी थी,
उसने बोतलों में तेल डाला।
- फ़नल कहाँ है? कोई फ़नल नहीं।
नज़र। एक तरफ मत खड़े रहो।
- माँ, मैं हिलता नहीं हूँ,
हमें शंकु के बारे में और बताएं।
- कीप वाटरिंग कैन कोन के रूप में होती है।
चलो, उसे मेरे लिए जल्द से जल्द ढूंढो।
मुझे एक फ़नल नहीं मिला,
लेकिन माँ ने एक बैग बनाया
मैंने कार्डबोर्ड को अपनी उंगली के चारों ओर घुमा दिया
और चतुराई से इसे एक पेपर क्लिप से सुरक्षित कर लिया।
तेल बरस रहा है, माँ खुश है
शंकु ठीक वही निकला जो हमें चाहिए।

व्यायाम। एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें

मकान। दूसरे समूह के लिए कार्य। पिरामिड(फिसल पट्टी)।

मैंने तस्वीर देखी। इस तस्वीर में
रेतीले रेगिस्तान में एक पिरामिड है।
पिरामिड में सब कुछ असाधारण है
इसमें किसी तरह का रहस्य और रहस्य है।
रेड स्क्वायर पर एक स्पैस्काया टॉवर
बच्चों और वयस्कों दोनों के लिए परिचित।
तुम मीनार को देखो - दिखने में साधारण,
और उसके ऊपर क्या है? पिरामिड!

व्यायाम।फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने और पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए होमवर्क

- हमने एक अभिन्न का उपयोग करके निकायों के आयतन के मूल सूत्र के आधार पर विभिन्न निकायों के आयतन की गणना की।

यह एक और पुष्टि है कि गणित के अध्ययन के लिए एक निश्चित अभिन्न का कुछ आधार है।

- अच्छा, अब थोड़ा आराम करते हैं।

एक जोड़ी खोजें।

एक गणितीय डोमिनोज़ राग बज रहा है।

"जिस राह की मुझे खुद तलाश थी वो कभी नहीं भूलेगी..."

अनुसंधान। अर्थशास्त्र और प्रौद्योगिकी में अभिन्न का अनुप्रयोग।

मजबूत शिक्षार्थियों और गणित फुटबॉल के लिए टेस्ट।

गणितीय सिम्युलेटर।

2. किसी दिए गए फलन के सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय को कहते हैं

ए) अनिश्चितकालीन अभिन्न,

बी) समारोह,

सी) भेदभाव।

7. रेखाओं से घिरे हुए भुजिका अक्ष के चारों ओर एक घुमावदार समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए:

डी / जेड। क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करें।

प्रतिबिंब।

रूप में प्रतिबिंब का स्वागत सिंकवाइन(पांच श्लोक)।

पहली पंक्ति - विषय का नाम (एक संज्ञा)।

दूसरी पंक्ति - विषय का दो शब्दों में वर्णन, दो विशेषण।

तीसरी पंक्ति - तीन शब्दों में इस विषय के ढांचे के भीतर कार्रवाई का विवरण।

चौथी पंक्ति - चार शब्दों का एक वाक्यांश, विषय (संपूर्ण वाक्य) से संबंध दर्शाता है।

5वीं पंक्ति एक पर्यायवाची है जो विषय के सार को दोहराती है।

1. आयतन।
2. निश्चित अभिन्न, अभिन्न कार्य।
3. हम निर्माण करते हैं, घुमाते हैं, गणना करते हैं।
4. एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड (इसके आधार के चारों ओर) को घुमाकर प्राप्त किया गया शरीर।
5. क्रांति का शरीर (ठोस ज्यामितीय शरीर)।

उत्पादन (फिसल पट्टी).

• एक निश्चित समाकलन गणित के अध्ययन के लिए कुछ आधार है, जो व्यावहारिक सामग्री की समस्याओं को हल करने में एक अपूरणीय योगदान देता है।
• विषय "इंटीग्रल" स्पष्ट रूप से गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र और प्रौद्योगिकी के बीच संबंध को दर्शाता है।
• एक अभिन्न के उपयोग के बिना आधुनिक विज्ञान का विकास अकल्पनीय है। इस संबंध में, माध्यमिक विशिष्ट शिक्षा के ढांचे के भीतर इसका अध्ययन शुरू करना आवश्यक है!

ग्रेडिंग। (टिप्पणी के साथ।)

महान उमर खय्याम एक गणितज्ञ, कवि, दार्शनिक हैं। वह आपके भाग्य का स्वामी बनने का आह्वान करता है। हम उनके काम का एक अंश सुनते हैं:

तुम कहोगे कि यह जीवन एक क्षण है।
उसकी सराहना करें, उससे प्रेरणा लें।
जैसे ही आप इसे खर्च करेंगे, यह बीत जाएगा।
मत भूलो: वह तुम्हारी रचना है।