Logopedický portál / Materiál pre triedy / Lekcia „Systémy nerovností s dvoma premennými. Nerovnice s dvoma premennými a ich sústavy Príklady riešenia nerovníc s dvoma premennými

Lekcia „Systémy nerovností s dvoma premennými. Nerovnice s dvoma premennými a ich sústavy Príklady riešenia nerovníc s dvoma premennými

31.05.2023

Často je potrebné znázorniť na súradnicovej rovine množinu riešení nerovnosti s dvoma premennými. Riešením nerovnosti s dvoma premennými je dvojica hodnôt týchto premenných, ktorá premení danú nerovnosť na skutočnú číselnú nerovnosť.

2r+ Zx< 6.

Najprv nakreslíme rovnú čiaru. Aby sme to dosiahli, napíšeme nerovnosť ako rovnicu 2r+ Zx = 6 a vyjadriť r. Tak dostaneme: y=(6-3x)/2.

Táto čiara rozdeľuje množinu všetkých bodov súradnicovej roviny na body nad ňou a body pod ňou.

Vezmite si meme z každej oblasti kontrolný bod napríklad A (1; 1) a B (1; 3)

Súradnice bodu A vyhovujú danej nerovnici 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Súradnice bodu B nie splniť túto nerovnosť 2∙3 + 3∙1< 6.

Keďže táto nerovnosť môže zmeniť znamienko na úsečke 2y + Zx = 6, potom nerovnosť vyhovuje množine bodov oblasti, kde sa nachádza bod A. Vytienime túto oblasť.

Takto sme zobrazili množinu riešení nerovnosti 2r + Zx< 6.

Príklad

Množinu riešení nerovnice x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 znázorníme na súradnicovej rovine.

Najprv zostrojíme graf rovnice x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0. Rovnicu kruhu rozdelíme do tejto rovnice: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4 alebo (x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 2 2 .

Toto je rovnica kružnice so stredom v bode 0 (-1; 2) a polomerom R = 2. Zostrojme túto kružnicu.

Keďže táto nerovnosť je prísna a body ležiace na kružnici samotnej nerovnici nevyhovujú, zostrojíme kružnicu bodkovanou čiarou.

Je ľahké skontrolovať, či súradnice stredu O kruhu nevyhovujú tejto nerovnosti. Výraz x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 mení svoje znamienko na zostrojenej kružnici. Potom je nerovnosť uspokojená bodmi umiestnenými mimo kruhu. Tieto body sú tieňované.

Príklad

Znázornime na súradnicovej rovine množinu riešení nerovnice

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Najprv zostrojíme graf rovnice (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0. Je to parabola y \u003d x 2 a priamka y \u003d x + 3. Tieto čiary zostavíme a všimnite si, že zmena znamienka výrazu (y - x 2) (y - x - 3) nastáva len na týchto riadkoch. Pre bod A (0; 5) určíme znamienko tohto výrazu: (5-3) > 0 (t. j. táto nerovnosť nie je splnená). Teraz je ľahké označiť množinu bodov, pre ktoré je táto nerovnosť splnená (tieto oblasti sú tieňované).

Algoritmus na riešenie nerovností s dvoma premennými

1. Nerovnosť zredukujeme na tvar f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) < 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. Zapíšeme rovnosť f (x; y) = 0

3. Rozpoznajte grafy zaznamenané na ľavej strane.

4. Zostavíme tieto grafy. Ak je nerovnosť prísna (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), potom - s ťahmi, ak nerovnosť nie je striktná (f (x; y) ≤ 0 alebo f (x; y) ≥ 0), potom - s plnou čiarou.

5. Určte, koľko častí grafiky je rozdelených do súradnicovej roviny

6. Vyberte kontrolný bod v jednej z týchto častí. Určte znamienko výrazu f (x; y)

7. Značky usporiadame v iných častiach roviny, berúc do úvahy striedanie (ako pri metóde intervalov)

8. Vyberieme diely, ktoré potrebujeme podľa znamienka nerovnosti, ktorú riešime a aplikujeme šrafovanie

Nechaj f(x,y) A g(x, y)- dva výrazy s premennými X A pri a doména definície X. Potom nerovnosti formy f(x, y) > g(x, y) alebo f(x, y) < g(x, y) volal nerovnosť s dvoma premennými .

Význam premenných x, y od mnohých X, pod ktorým sa nerovnosť mení na skutočnú číselnú nerovnosť, sa nazýva jeho rozhodnutie a označené (x, y). Vyriešte nerovnosť je nájsť množinu takýchto párov.

Ak každá dvojica čísel (x, y) z množiny riešení na nerovnosť vložte do korešpondencie bod M(x, y), získame množinu bodov na rovine danej touto nerovnicou. Volá sa graf tejto nerovnosti . Graf nerovnosti je zvyčajne plocha na rovine.

Znázorniť množinu riešení nerovnosti f(x, y) > g(x, y), postupujte nasledovne. Najprv nahraďte znak nerovnosti znakom rovnosti a nájdite riadok s rovnicou f(x,y) = g(x,y). Táto čiara rozdeľuje rovinu na niekoľko častí. Potom už stačí v každej časti zobrať jeden bod a skontrolovať, či nerovnosť v tomto bode platí f(x, y) > g(x, y). Ak sa vykoná v tomto bode, vykoná sa aj v celej časti, kde tento bod leží. Kombináciou takýchto častí získame súbor riešení.

Úloha. r > X.

Riešenie. Najprv nahradíme znamienko nerovnosti znamienkom rovnosti a zostrojíme čiaru v pravouhlom súradnicovom systéme, ktorý má rovnicu r = X.

Táto čiara rozdeľuje rovinu na dve časti. Potom v každej časti vezmeme jeden bod a skontrolujeme, či nerovnosť v tomto bode platí r > X.

Úloha. Vyriešte graficky nerovnosť
X 2 + pri 2 25 £.

Ryža. 18.

Riešenie. Najprv nahraďte znak nerovnosti znakom rovnosti a nakreslite čiaru X 2 + pri 2 = 25. Ide o kružnicu so stredom v počiatku a polomerom 5. Výsledná kružnica rozdeľuje rovinu na dve časti. Kontrola platnosti nerovnosti X 2 + pri 2 £ 25 v každej časti, dostaneme, že graf je množina bodov kružnice a časti roviny vnútri kružnice.

Nech sú dané dve nerovnosti f 1(x, y) > g 1(x, y) A f 2(x, y) > g 2(x, y).

Sústavy množín nerovníc s dvoma premennými

Systém nerovností je seba spojenie týchto nerovností. Systémové riešenie je akákoľvek hodnota (x, y), ktorý zmení každú z nerovností na skutočnú číselnú nerovnosť. Veľa riešení systémov nerovnice je priesečníkom množín riešení nerovníc, ktoré tvoria daný systém.

Sada nerovností je seba disjunkcia týchto nerovnosti. Stanovte rozhodnutie je akákoľvek hodnota (x, y), ktorá premení na skutočnú číselnú nerovnosť aspoň jednu z nerovností v množine. Veľa riešení agregátov je spojenie množín riešení nerovností tvoriacich množinu.

Úloha. Vyriešte graficky systém nerovností

Riešenie. y = x A X 2 + pri 2 = 25. Riešime každú nerovnosť sústavy.

Grafom sústavy bude množina bodov v rovine, ktoré sú priesečníkom (dvojitým tieňovaním) množín riešení prvej a druhej nerovnice.

Úloha. Vyriešte graficky množinu nerovností

Riešenie. Najprv nahradíme znamienko nerovnosti znamienkom rovnosti a nakreslíme čiary v rovnakom súradnicovom systéme y = x+ 4 a X 2 + pri 2 = 16. Vyriešte každú populačnú nerovnosť. Súhrnným grafom bude množina bodov v rovine, ktoré sú zjednotením množín riešení prvej a druhej nerovnice.

Cvičenia na samostatnú prácu

1. Vyriešte graficky nerovnosti: a) pri> 2X; b) pri< 2X + 3;

V) X 2+y 2 > 9; G) X 2+y 2 4 £.

2. Riešte graficky sústavy nerovníc:

a) c)

, a ešte viac sústavy nerovností s dvoma premennýmizdá sa dosť náročná úloha. Existuje však jednoduchý algoritmus, ktorý pomáha ľahko a bez námahy riešiť zdanlivo veľmi zložité problémy tohto druhu. Skúsme na to prísť.

Predpokladajme, že máme nerovnosť s dvoma premennými jedného z nasledujúcich typov:

y > f(x); y > f(x); r< f(x); y ≤ f(x).

Ak chcete zobraziť množinu riešení takejto nerovnosti v rovine súradníc, postupujte takto:

Zostrojíme graf funkcie y = f(x), ktorý rozdelí rovinu na dve oblasti.
Vyberieme si ktorúkoľvek zo získaných oblastí a zvažujeme v nej ľubovoľný bod. Pre tento bod skontrolujeme splniteľnosť pôvodnej nerovnosti. Ak sa v dôsledku kontroly získa správna číselná nerovnosť, potom usúdime, že pôvodná nerovnosť je splnená v celej oblasti, do ktorej patrí vybraný bod. Množina riešení nerovnosti je teda oblasť, do ktorej patrí vybraný bod. Ak sa v dôsledku kontroly zistí nesprávna číselná nerovnosť, potom množina riešení nerovnosti bude druhou oblasťou, do ktorej vybraný bod nepatrí.
Ak je nerovnosť striktná, potom hranice oblasti, teda body grafu funkcie y = f(x), nie sú zahrnuté v množine riešení a hranica je znázornená bodkovanou čiarou. Ak nerovnosť nie je striktná, potom sú hranice oblasti, teda body grafu funkcie y = f(x), zahrnuté do množiny riešení tejto nerovnosti a hranica je v tomto prípade znázornené ako plná čiara. Teraz sa pozrime na niekoľko problémov na túto tému.

Úloha 1.

Aká množina bodov je daná nerovnicou x · y ≤ 4?

Riešenie.

1) Zostavíme graf rovnice x · y = 4. Aby sme to dosiahli, najprv ho transformujeme. Je zrejmé, že x sa v tomto prípade nezmení na 0, pretože inak by sme mali 0 · y = 4, čo nie je pravda. Takže našu rovnicu môžeme rozdeliť x. Dostaneme: y = 4/x. Graf tejto funkcie je hyperbola. Rozdeľuje celú rovinu na dve oblasti: jednu medzi dvoma vetvami hyperboly a tú mimo nich.

2) Vyberieme si ľubovoľný bod z prvej oblasti, nech je to bod (4; 2). Kontrola nerovnosti: 4 2 ≤ 4 je nepravda.

To znamená, že body tohto regiónu nespĺňajú pôvodnú nerovnosť. Potom môžeme konštatovať, že množina riešení nerovnice bude druhou oblasťou, do ktorej vybraný bod nepatrí.

3) Keďže nerovnosť nie je prísna, hraničné body, teda body grafu funkcie y \u003d 4 / x, nakreslíme plnou čiarou.

Množinu bodov, ktorá definuje počiatočnú nerovnosť, vyfarbíme žltou farbou (obr. 1).

Úloha 2.

Nakreslite oblasť definovanú v súradnicovej rovine systémom

Riešenie.

Na začiatok zostavíme grafy nasledujúcich funkcií (obr. 2):

y \u003d x 2 + 2 - parabola,

y + x = 1 - priamka

x 2 + y 2 \u003d 9 je kruh.

Teraz sa zaoberáme každou nerovnosťou samostatne.

1) y > x 2 + 2.

Zoberieme bod (0; 5), ktorý leží nad grafom funkcie. Kontrola nerovnosti: 5 > 0 2 + 2 je správne.

Preto všetky body ležiace nad danou parabolou y = x 2 + 2 vyhovujú prvej nerovnici sústavy. Zafarbíme ich na žlto.

2) y + x > 1.

Zoberieme bod (0; 3), ktorý leží nad grafom funkcie. Kontrola nerovnosti: 3 + 0 > 1 je správne.

Preto všetky body nad priamkou y + x = 1 spĺňajú druhú nerovnosť sústavy. Vyfarbíme ich na zeleno.

3) x2 + y2 ≤ 9.

Zoberieme bod (0; -4), ktorý leží mimo kružnice x 2 + y 2 = 9. Skontrolujte nerovnosť: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 je nesprávna.

Preto všetky body mimo kružnice x 2 + y 2 = 9 nespĺňajú tretiu nerovnosť sústavy. Potom môžeme konštatovať, že všetky body ležiace vo vnútri kruhu x 2 + y 2 = 9 spĺňajú tretiu nerovnosť systému. Namaľujeme ich fialovým tieňovaním.

Nezabudnite, že ak je nerovnosť prísna, potom by mala byť zodpovedajúca hraničná čiara nakreslená bodkovanou čiarou. Dostaneme nasledujúci obrázok (obr. 3).

Požadovaná oblasť je oblasť, kde sa všetky tri farebné oblasti navzájom pretínajú (obr. 4).

Otázky pre abstrakty

Napíšte nerovnicu, ktorej riešením je kruh a body vnútri kruhu:

Nájdite body, ktoré sú riešením nerovnosti:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

1. Nerovnosti s dvoma premennými. Metódy riešenia systému dvoch nerovníc s dvoma premennými: analytická metóda a grafická metóda.

2. Sústavy dvoch nerovníc s dvoma premennými: zaznamenávanie výsledku riešenia.

3. Množiny nerovností s dvoma premennými.

NEROVNOSTI A SYSTÉMY NEROVNOSTÍ S DVOMA PREMENNÝMI. Predikát tvaru f₁(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - sa volajú výrazy s premennými x a y definovanými na množine XxY nerovnosť s dvoma premennými (s dvoma neznámymi) x a y. Je jasné, že akúkoľvek dvojpremennú nerovnosť možno zapísať ako f(x, y) > 0, хОХ, уО U. Riešenie nerovnosti s dvoma premennými je dvojica hodnôt premenných, ktorá mení nerovnosť na skutočnú číselnú nerovnosť. Je známe, že dvojica reálnych čísel (x, y) jednoznačne definuje bod v rovine súradníc. To umožňuje znázorniť riešenia nerovnice alebo sústavy nerovníc s dvoma premennými geometricky vo forme určitej množiny bodov na súradnicovej rovine. Ak rovnica.

f(x, y)= 0 definuje nejakú priamku na rovine súradníc, potom množina bodov roviny, ktoré neležia na tejto priamke, pozostáva z konečného počtu oblastí С₁, C 2,..., C str(obr. 17.8). V každej z oblastí C je funkcia f(x, y) sa líši od nuly, pretože body, kde f(x, y)= 0 patrí k hraniciam týchto regiónov.

Riešenie. Transformujme nerovnosť do tvaru x > y 2 + 2 r - 3. Zostrojte parabolu na rovine súradníc X= r 2 + 2 r - 3. Rozdelí rovinu na dve oblasti G1 a G 2 (obr. 17.9). Od úsečky ľubovoľného bodu ležiaceho vpravo od paraboly X= r 2 + 2 r- 3, väčšia ako úsečka bodu, ktorý má rovnakú ordinátu, ale leží na parabole atď. nerovnosť x>y z + 2y -3 nie je striktné, potom geometrickým zobrazením riešení tejto nerovnosti bude množina bodov roviny ležiacich na parabole X= o 2+ 2r - 3 a vpravo od neho (obr. 17.9).

Ryža. 17.9

Ryža. 17.10

Príklad 17.15. Nakreslite na súradnicovú rovinu množinu riešení sústavy nerovníc

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

Riešenie. Geometrické znázornenie riešenia sústavy nerovníc x > 0, y > 0 je množina bodov prvého súradnicového uhla. Geometrické znázornenie riešení nerovnice x + y< 6 resp pri< 6 - X je množina bodov pod priamkou a na samotnej priamke, ktorá slúži ako graf funkcie y= 6 - X. Geometrické znázornenie riešení nerovnice xy > 5 alebo preto X> 0 nerovností y > 5/x je množina bodov ležiacich nad vetvou hyperboly, ktorá slúži ako graf funkcie y = 5/x. V dôsledku toho získame množinu bodov súradnicovej roviny ležiacich v prvom súradnicovom uhle pod priamkou slúžiacou ako graf funkcie y \u003d 6 - x a nad vetvou hyperboly slúžiacou ako graf funkcia y = 5x(obr. 17.10).

Kapitola III. PRIRODZENÉ ČÍSLA A NULA

Predmet: Rovnice a nerovnice. Sústavy rovníc a nerovníc

lekcia:Rovnice a nerovnice s dvoma premennými

Uvažujme vo všeobecnosti rovnicu a nerovnosť s dvoma premennými.

Rovnica s dvoma premennými;

Nerovnosť s dvoma premennými, znamienko nerovnosti môže byť ľubovoľné;

Tu x a y sú premenné, p je výraz, ktorý od nich závisí

Dvojica čísel () sa nazýva konkrétne riešenie takejto rovnice alebo nerovnice, ak pri dosadení tejto dvojice do výrazu dostaneme správnu rovnicu alebo nerovnicu.

Problémom je nájsť alebo znázorniť na rovine množinu všetkých riešení. Tento problém môžete preformulovať – nájdite lokus bodov (GMT), nakreslite rovnicu alebo nerovnosť.

Príklad 1 - vyriešte rovnicu a nerovnicu:

Inými slovami, úloha zahŕňa nájdenie GMT.

Zvážte riešenie rovnice. V tomto prípade môže byť hodnota premennej x ľubovoľná, v súvislosti s tým máme:

Je zrejmé, že riešením rovnice je množina bodov, ktoré tvoria priamku

Ryža. 1. Graf rovnice Príklad 1

Riešeniami danej rovnice sú najmä body (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Riešením danej nerovnosti je polrovina umiestnená nad priamkou vrátane samotnej priamky (pozri obrázok 1). Skutočne, ak vezmeme akýkoľvek bod x 0 na priamke, potom máme rovnosť . Ak vezmeme bod v polrovine nad priamkou, máme . Ak zoberieme bod v polrovine pod priamkou, tak to nesplní našu nerovnosť: .

Teraz zvážte problém s kruhom a kruhom.

Príklad 2 - vyriešte rovnicu a nerovnicu:

Vieme, že daná rovnica je rovnica kruhu so stredom v počiatku a s polomerom 1.

Ryža. 2. Príklad 2

V ľubovoľnom bode x 0 má rovnica dve riešenia: (x 0; y 0) a (x 0; -y 0).

Riešením danej nerovnosti je množina bodov umiestnených vo vnútri kruhu, pričom sa neberie do úvahy samotný kruh (pozri obrázok 2).

Zvážte rovnicu s modulmi.

Príklad 3 - vyriešte rovnicu:

V tomto prípade by bolo možné moduly rozšíriť, ale zvážime špecifiká rovnice. Je ľahké vidieť, že graf tejto rovnice je symetrický okolo oboch osí. Potom ak bod (x 0; y 0) je riešením, potom bod (x 0; -y 0) je tiež riešením, body (-x 0; y 0) a (-x 0; -y 0 ) sú tiež riešením .

Stačí teda nájsť riešenie, kde sú obe premenné nezáporné a majú symetriu okolo osí:

Ryža. 3. Príklad príkladu 3

Takže, ako vidíme, riešením rovnice je štvorec.

Uvažujme na konkrétnom príklade takzvanú plošnú metódu.

Príklad 4 - znázornite množinu riešení nerovnosti:

Podľa metódy regiónov najskôr uvažujeme o funkcii na ľavej strane, ak je pravá strana nulová. Toto je funkcia dvoch premenných:

Podobne ako pri metóde intervalov sa dočasne vzdialime od nerovnosti a študujeme vlastnosti a vlastnosti zloženej funkcie.

ODZ: čo znamená, že os x je prepichnutá.

Teraz označíme, že funkcia je nula, keď je čitateľ zlomku nula, máme:

Zostavíme graf funkcie.

Ryža. 4. Graf funkcie, vzhľadom na ODZ

Teraz zvážte oblasti stálosti funkcie, sú tvorené priamkou a prerušovanou čiarou. vnútri prerušovanej čiary je plocha D 1 . Medzi segmentom lomenej čiary a priamkou - oblasť D 2, pod priamkou - oblasť D 3, medzi segmentom lomenej čiary a priamkou - oblasť D 4

V každej z vybraných oblastí si funkcia zachováva svoje znamienko, čo znamená, že v každej oblasti stačí skontrolovať ľubovoľný testovací bod.

Zoberme si bod (0;1) v oblasti. Máme: