Čo je parabola. Parabola a jej vlastnosti Aká rovnica definuje parabolu

ODA 1.parabola je ťažisko bodov v rovine, pričom vzdialenosti od ktorých k určitému bodu, nazývanému ohnisko, ak nejakej priamke, nazývanej smerová čiara, sú rovnaké.

Na odvodenie parabolickej rovnice zavedieme do roviny pravouhlý súradnicový systém tak, že os vodorovnej polohy prechádza ohniskom kolmo na priamku a jej kladný smer budeme považovať za smer od smerovej osy k ohnisku. Počiatok súradníc sa nachádza v strede medzi ohniskom a riadiacou čiarou. Odvoďme rovnicu paraboly vo zvolenom súradnicovom systéme.

Nechaj M ( X; pri) je ľubovoľný bod roviny.

Označiť podľa r vzdialenosť od bodu M k ohnisku F, nech r= FM,

cez d je vzdialenosť od bodu po smerovú čiaru a cez R vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru.

hodnota R sa nazýva parameter paraboly, jeho geometrický význam je popísaný nižšie.

Bod M bude ležať na danej parabole vtedy a len vtedy r = d.

V tomto prípade máme

Rovnica

r 2 = 2 p x

volal kanonická rovnica paraboly .

Vlastnosti paraboly

1. Parabola prechádza počiatkom, pretože počiatočné súradnice spĺňajú parabolickú rovnicu.

2. Parabola je symetrická okolo osi OX, pretože body so súradnicami ( X, r) A ( X, − r) splniť rovnicu paraboly.

3. Ak R> 0, potom vetvy paraboly smerujú doprava a parabola je v pravej polrovine.

4. Bod O sa nazýva vrchol paraboly, os symetrie (os Oh) je os paraboly.

Parabola je ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialené od daného bodu F

a daná priamka dd neprechádza daným bodom. Táto geometrická definícia vyjadruje vlastnosť adresára parabola.

Vlastnosť adresára parabol

Bod F sa nazýva ohnisko paraboly, čiara d sa nazýva smerová čiara paraboly, stred kolmice O spadnutej z ohniska na smerovú čiaru je vrchol paraboly, vzdialenosť p od ohniska k smerovej čiare je parameter paraboly a vzdialenosť p2 od vrcholu paraboly k jej ohnisku je ohnisková vzdialenosť. Priamka kolmá na smerovú čiaru a prechádzajúca ohniskom sa nazýva os paraboly (ohnisková os paraboly). Úsek FM spájajúci ľubovoľný bod M paraboly s jeho ohniskom sa nazýva ohniskový polomer bodu

M. Úsečka spájajúca dva body paraboly sa nazýva tetiva paraboly.

Pre ľubovoľný bod paraboly je pomer vzdialenosti k ohnisku k vzdialenosti k priamke rovný jednej. Porovnaním adresárových vlastností elipsy, hyperboly a paraboly sme dospeli k záveru, že excentricita paraboly sa podľa definície rovná jednej

Geometrická definícia paraboly, vyjadrujúci jeho adresárovú vlastnosť, je ekvivalentný jeho analytickej definícii - priamka daná kanonickou rovnicou paraboly:

Vlastnosti

• Má os symetrie tzv os paraboly. Os prechádza ohniskom a vrcholom kolmo na smerovú čiaru.
• optická vlastnosť. Lúč lúčov rovnobežných s osou paraboly, odrazených v parabole, sa zhromažďuje v jej ohnisku. Naopak, svetlo zo zdroja, ktorý je zaostrený, sa odráža parabolou do zväzku lúčov rovnobežných s jej osou.
• Ak sa ohnisko paraboly odráža vzhľadom na dotyčnicu, potom jej obraz bude ležať na priamke.
• Úsečka spájajúca stred ľubovoľnej tetivy paraboly a priesečník dotyčníc k nej na koncoch tejto tetivy je kolmá na priamku a jej stred leží na parabole.
• Parabola je antipodéra línie.
• Všetky paraboly sú podobné. Vzdialenosť medzi ohniskom a smerovou osou určuje mierku.

Funkcia jednej reálnej premennej: základné pojmy, príklady.

Definícia: Ak každá hodnota x číselnej množiny X podľa pravidla f zodpovedá jednému číslu množiny Y, potom hovoria, že funkcia y \u003d f (x) je daná na číselnej množine X, hodnoty ​z x sú určené množinou hodnôt zahrnutých v doméne definície funkcie (X).
V tomto prípade sa x nazýva argument a y sa nazýva hodnota funkcie. Množina X sa nazýva doména definície funkcie, Y sa nazýva množina hodnôt funkcie.
Často je toto pravidlo dané vzorcom; napríklad y \u003d 2x + 5. Uvedená metóda špecifikácie funkcie pomocou vzorca sa nazýva analytická.
Funkciu je možné nastaviť aj grafom - Graf funkcie y - f (x) je množina bodov v rovine, súradnice x, ktoré spĺňajú vzťah y \u003d f (x).

Funkcia formulára , kde je tzv kvadratickej funkcie.

Graf kvadratickej funkcie − parabola.

Zvážte prípady:

PRÍPAD I, KLASICKÁ PARABOLA

To je,,

Ak chcete zostaviť, vyplňte tabuľku dosadením hodnôt x do vzorca:

Označiť body (0;0); (1;1); (-1;1) atď. na súradnicovej rovine (čím menší krok vezmeme hodnoty x (v tomto prípade krok 1) a čím viac hodnôt x vezmeme, tým hladšia krivka), dostaneme parabolu:

Je ľahké vidieť, že ak vezmeme prípad , , , to znamená, že dostaneme parabolu, ktorá je symetrická podľa osi (x). Je ľahké to overiť vyplnením podobnej tabuľky:

PRÍPAD II, "a" ODLIŠNÉ OD JEDNÉHO

Čo sa stane, ak vezmeme , , ? Ako sa zmení správanie paraboly? S title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Prvý obrázok (pozri vyššie) jasne ukazuje, že body z tabuľky pre parabolu (1;1), (-1;1) boli transformované na body (1;4), (1;-4), tj. pri rovnakých hodnotách sa ordináta každého bodu vynásobí 4. Toto sa stane so všetkými kľúčovými bodmi pôvodnej tabuľky. Podobne argumentujeme aj v prípade obrázkov 2 a 3.

A keď sa parabola „stane širšou“ parabolou:

Zopakujme si:

1)Znamienko koeficientu je zodpovedné za smer vetiev. S title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolútna hodnota koeficient (modul) je zodpovedný za „expanziu“, „stlačenie“ paraboly. Čím väčšia , tým užšia je parabola, tým menšie |a|, tým širšia parabola.

ZOBRAZÍ SA PRÍPAD III, "C".

Teraz poďme do hry (to znamená, že uvažujeme o prípade, keď ), budeme uvažovať o parabolách tvaru . Je ľahké uhádnuť (vždy sa môžete pozrieť na tabuľku), že parabola sa bude pohybovať nahor alebo nadol pozdĺž osi v závislosti od znamienka:

ZOBRAZÍ SA IV PRÍPAD, „b“.

Kedy sa parabola „odtrhne“ od osi a konečne „prejde“ po celej súradnicovej rovine? Keď to prestane byť rovné.

Tu, aby sme vytvorili parabolu, potrebujeme vzorec na výpočet vrcholu: , .

Takže v tomto bode (ako v bode (0; 0) nového súradnicového systému) postavíme parabolu, ktorá je už v našich silách. Ak sa zaoberáme prípadom , tak zhora vyčleníme jeden jednotkový segment doprava, jeden nahor, - výsledný bod je náš (podobne, krok doľava, krok hore je náš bod); ak máme do činenia napríklad s, tak zhora odložíme jeden segment doprava, dva hore atď.

Napríklad vrchol paraboly:

Teraz treba hlavne pochopiť, že v tomto vrchole postavíme parabolu podľa šablóny paraboly, pretože v našom prípade.

Pri konštrukcii paraboly po zistení súradníc vrcholu je veľmiJe vhodné zvážiť nasledujúce body:

1) parabola musí prejsť cez bod . Skutočne, dosadením x=0 do vzorca dostaneme, že . To znamená, že ordináta priesečníka paraboly s osou (oy), to je. V našom príklade (vyššie) parabola pretína os y v , pretože .

2) os symetrie paraboly je priamka, takže všetky body paraboly budú okolo nej symetrické. V našom príklade okamžite zoberieme bod (0; -2) a postavíme parabolu symetrickú podľa osi symetrie, dostaneme bod (4; -2), cez ktorý bude parabola prechádzať.

3) Rovnaké k , zistíme priesečníky paraboly s osou (ox). Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu. V závislosti od diskriminantu dostaneme jeden (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . V predchádzajúcom príklade máme koreň diskriminantu - nie celé číslo, pri jeho zostavovaní nemá zmysel hľadať korene, ale jasne vidíme, že budeme mať dva priesečníky s (oh) axis (keďže title = " Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Tak poďme cvičiť

Algoritmus na zostavenie paraboly, ak je daný vo forme

1) určiť smer vetiev (a>0 - hore, a<0 – вниз)

2) nájdite súradnice vrcholu paraboly podľa vzorca , .

3) bod priesečníka paraboly s osou (oy) nájdeme voľným členom, postavíme bod symetrický k danému vzhľadom na os súmernosti paraboly (treba si uvedomiť, že sa stáva, že je nerentabilné označiť tento bod, napríklad, pretože hodnota je veľká ... tento bod preskočíme ...)

4) V nájdenom bode - vrchole paraboly (ako v bode (0; 0) nového súradnicového systému) postavíme parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Nájdeme priesečníky paraboly s osou (oy) (ak sa samy ešte „nevynorili“) a vyriešime rovnicu

Príklad 1

Príklad 2

Poznámka 1. Ak dostaneme parabolu na začiatku v tvare , kde sú nejaké čísla (napríklad ), potom bude ešte jednoduchšie ju postaviť, pretože súradnice vrcholu sme už dostali. prečo?

Zoberme si štvorcovú trojčlenku a označme v nej celý štvorec: Pozri, tu to máme , . Predtým sme nazývali vrchol paraboly, teda teraz.

Napríklad, . Na rovine označíme vrchol paraboly, chápeme, že vetvy smerujú nadol, parabola je rozšírená (relatívne). To znamená, že vykonáme kroky 1; 3; 4; 5 z algoritmu na konštrukciu paraboly (pozri vyššie).

Poznámka 2. Ak je parabola daná v podobnom tvare (teda reprezentovaná ako súčin dvoch lineárnych faktorov), potom okamžite vidíme priesečníky paraboly s osou (x). V tomto prípade - (0;0) a (4;0). Vo zvyšku konáme podľa algoritmu a otvárame zátvorky.

Lekcia: ako zostaviť parabolu alebo kvadratickú funkciu?

TEORETICKÁ ČASŤ

Parabola je graf funkcie opísanej vzorcom ax 2 +bx+c=0.
Ak chcete vytvoriť parabolu, musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu akcií:

1) Vzorec paraboly y=ax 2 +bx+c,
Ak a>0 potom smerujú vetvy paraboly hore,
a potom sú smerované vetvy paraboly dole.
voľný člen c tento bod pretína parabolu s osou OY;

2) sa zistí podľa vzorca x=(-b)/2a, nájdené x dosadíme do rovnice paraboly a nájdeme r;

3)Funkčné nuly alebo inými slovami, priesečníky paraboly s osou OX, nazývajú sa aj korene rovnice. Aby sme našli korene, prirovnáme rovnicu k 0 ax2+bx+c=0;

Typy rovníc:

a) Úplná kvadratická rovnica je ax2+bx+c=0 a rieši ho diskriminant;
b) Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax2+bx=0. Aby ste to vyriešili, musíte zo zátvoriek vyňať x a potom prirovnať každý faktor k 0:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 a ax+b=0;
c) Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax2+c=0. Aby ste to vyriešili, musíte presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú. x =±√(c/a);

4) Nájdite niekoľko ďalších bodov na vytvorenie funkcie.

PRAKTICKÁ ČASŤ

A tak teraz s príkladom analyzujeme všetko podľa akcií:
Príklad č. 1:
y = x 2 + 4 x + 3
c=3 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=3. Vetvy paraboly sa pozerajú hore, pretože a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 vrchol je v bode (-2;-1)
Nájdite korene rovnice x 2 +4x+3=0
Korene nájdeme podľa diskriminantu
a = 1 b = 4 c = 3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

Zoberme si nejaké ľubovoľné body, ktoré sú blízko vrcholu x=-2

x-4-3-10
y 3 0 0 3

Namiesto x dosadíme do rovnice y \u003d x 2 + 4x + 3 hodnoty
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)2+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2+4*(0)+3=0-0+3=3
Z hodnôt funkcie je zrejmé, že parabola je symetrická okolo priamky x \u003d -2

Príklad č. 2:
y=-x2+4x
c=0 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=0. Vetvy paraboly sa pozerajú dole, pretože a=-1 -1 Nájdite korene rovnice -x 2 +4x=0
Neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 +bx=0. Aby ste to vyriešili, musíte zo zátvoriek vyňať x a potom prirovnať každý faktor k 0.
x(-x+4)=0, x=0 a x=4.

Zoberme si nejaké ľubovoľné body, ktoré sú blízko vrcholu x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Namiesto x dosadíme do rovnice y \u003d -x 2 +4x hodnoty
y=02 +4*0=0
y=-(1)2+4*1=-1+4=3
y=-(3)2+4*3=-9+13=3
y=-(4)2+4*4=-16+16=0
Z hodnôt funkcie je zrejmé, že parabola je symetrická okolo priamky x \u003d 2

Príklad č. 3
y=x2-4
c=4 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=4. Vetvy paraboly sa pozerajú hore, pretože a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 vrchol je v bode (0;-4 )
Nájdite korene rovnice x 2 -4=0
Neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 +c=0. Aby ste to vyriešili, musíte presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2

Zoberme si nejaké ľubovoľné body, ktoré sú blízko vrcholu x=0
x -2 -1 1 2
y 0-3-3 0
Namiesto x dosadíme do rovnice y \u003d x 2 -4 hodnoty
y=(-2)2-4=4-4=0
y=(-1)2-4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=22-4=4-4=0
Z hodnôt funkcie je vidieť, že parabola je symetrická podľa priamky x=0

Prihlásiť sa na odber na kanál na YOUTUBE držať krok so všetkými novinkami a pripravovať sa s nami na skúšky.

Bod sa nazýva ohnisko paraboly, priama čiara je smerová čiara paraboly, stred kolmice spadnutá z ohniska na smerovú čiaru je vrchol paraboly, vzdialenosť od ohniska k smerovej čiare je ​​parabola a vzdialenosť od vrcholu paraboly k jej ohnisku je ohnisková vzdialenosť (obr. 3.45, a). Priamka kolmá na smerovú čiaru a prechádzajúca ohniskom sa nazýva os paraboly (ohnisková os paraboly). Úsečka spájajúca ľubovoľný bod paraboly s jej ohniskom sa nazýva ohniskový polomer bodu. Úsečka spájajúca dva body paraboly sa nazýva tetiva paraboly.

Pre ľubovoľný bod paraboly je pomer vzdialenosti k ohnisku k vzdialenosti k priamke rovný jednej. Porovnaním adresárových vlastností elipsy, hyperboly a paraboly sme dospeli k záveru, že excentricita paraboly sa podľa definície rovná jednej.

Geometrická definícia paraboly, vyjadrujúca jej direktívnu vlastnosť, je ekvivalentná jej analytickej definícii - priamka daná kanonickou rovnicou paraboly:

(3.51)

Skutočne si predstavme pravouhlý súradnicový systém (obr.3.45,6). Zoberme si vrchol paraboly ako počiatok súradnicového systému; priamku prechádzajúcu ohniskom kolmo na smerovú čiaru berieme ako os x (kladný smer na nej z bodu do bodu); priamku kolmú na súradnicovú os a prechádzajúcu vrcholom paraboly, berieme ako ordinátnu os (smer na osi y je zvolený tak, aby pravouhlý súradnicový systém bol správny).

Zostavme rovnicu paraboly pomocou jej geometrickej definície, ktorá vyjadruje direktívnu vlastnosť paraboly. Vo vybranom súradnicovom systéme určíme súradnice ohniska a rovnicu smerovej čiary. Pre ľubovoľný bod patriaci do paraboly máme:

kde je ortogonálny priemet bodu na priamku. Túto rovnicu napíšeme v súradnicovom tvare:

Odmocnime obe strany rovnice: . Prinášame podobné podmienky, dostávame rovnica kanonickej paraboly

tie. zvolený súradnicový systém je kanonický.

Úvahou v opačnom poradí možno ukázať, že všetky body, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (3.51), a iba oni, patria do ťažiska bodov, ktoré sa nazýva parabola. Analytická definícia paraboly je teda ekvivalentná jej geometrickej definícii, ktorá vyjadruje adresárovú vlastnosť paraboly.

Parabole dávame tieto vlastnosti:

Nehnuteľnosť 10.10.

Parabola má os symetrie.

Dôkaz

Premenná y vstupuje do rovnice len do druhej mocniny. Ak teda súradnice bodu M (x; y) vyhovujú rovnici paraboly, tak súradnice bodu N (x; - y) ju budú spĺňať. Bod N je symetrický s bodom M vzhľadom na os Ox. Preto je os Ox osou symetrie paraboly v kanonickom súradnicovom systéme.

Os symetrie sa nazýva os paraboly. Priesečník paraboly s osou sa nazýva vrchol paraboly. Vrchol paraboly v kanonickom súradnicovom systéme je v počiatku.

Nehnuteľnosť 10.11.

Parabola sa nachádza v polrovine x ≥ 0.

Dôkaz

Pretože parameter p je kladný, rovnicu môžu spĺňať iba body s nezápornými úsečkami, teda body polroviny x ≥ 0.

Pri zmene súradnicového systému bude mať bod A so súradnicami zadanými v podmienke nové súradnice určené zo vzťahov. Teda bod A bude mať súradnice v kanonickom systéme. Tento bod sa nazýva ohnisko paraboly a označuje sa ako písmeno F.

Priamka l, daná v starom súradnicovom systéme rovnicou v novom súradnicovom systéme, bude vidieť, bez šrafovania,

Táto priamka v kanonickom súradnicovom systéme sa nazýva priamka paraboly. Vzdialenosť od nej k ohnisku sa nazýva ohniskový parameter paraboly. Je zrejmé, že sa rovná p. Podľa definície sa predpokladá, že excentricita paraboly sa rovná jednej, teda ε = k = 1.

Vlastnosť, prostredníctvom ktorej sme definovali parabolu, možno teraz formulovať novými pojmami takto: ktorýkoľvek bod paraboly je rovnako vzdialený od jej ohniska a smerovej čiary.

Tvar paraboly v kanonickom súradnicovom systéme a umiestnenie jej smerovej čiary sú znázornené na obr. 10.10.1.

Obrázok 10.10.1.

Nad poľom P existuje lineárny operátor, ak 1) pre ľubovoľné vektory2) pre ľubovoľný vektor a ľubovoľný.

1) Lineárna matica operátorov: Nech φ-L.O. vektorový priestor V nad poľom P a jednou z báz V: Nechaj Potom matica L.O.φ: 2) Vzťah medzi maticami lineárneho operátora v rôznych základoch: M(φ) - matica L.O φ v starom základe. M1(φ) - matica L.O φ v novom základe. T je prechodová matica zo staršieho základu na nový základ. 2) Akcie na lineárnych operátoroch: Nech φ a f sú rôzne L.O. vektorový priestor V. Potom φ+f je súčet lineárnych operátorov φ a f. k·φ - násobenie L.O. do skalárneho k. φ f je súčin lineárnych operátorov φ a f. Tiež som L.O. vektorový priestor V.

4) Jadro lineárneho operátora: d(φ) - rozmer L.O. φ (defekt). 5) Obrázok lineárneho operátora: ranφ - hodnosť L.O φ (rozmer Jmφ). 6) Vlastné vektory a vlastné hodnoty lineárneho vektora:  Nech φ je L.O. vektorový priestor V nad poľom P a uIf potom λ je vlastná hodnota - vlastný vektor φ zodpovedajúce λ.  Charakteristická rovnica L.O. φ:  Množina vlastných vektorov zodpovedajúcich vlastnej hodnote λ:  L.O. vektorový priestor sa nazývajú L.O. s jednoduchým spektrom ak φ ak φ má práve n vlastných hodnôt.  Ak φ - L.O. s jednoduchým spektrom, potom má základ vlastných vektorov, vzhľadom na ktoré L.O. φ je uhlopriečka.

2) Poloha priamky v priestore je úplne určená nastavením ktoréhokoľvek z jej pevných bodov M 1 a vektor rovnobežný s touto čiarou.

Vektor rovnobežný s priamkou sa nazýva vedenie vektor tejto čiary.

Tak nech rovno l prechádza cez bod M 1 (X 1 , r 1 , z 1 ) ležiace na priamke rovnobežnej s vektorom .

Zvážte svojvoľný bod M(x,y,z) na priamke. Z obrázku je vidieť, že .

Vektory sú kolineárne, takže existuje číslo t, čo , kde je násobiteľ t môže nadobudnúť akúkoľvek číselnú hodnotu v závislosti od polohy bodu M na priamke. Faktor t sa nazýva parameter. Označenie vektorov polomerov bodov M 1 A M respektíve cez a, dostaneme. Táto rovnica sa nazýva vektor priamka rovnica. Ukazuje, že hodnota každého parametra t zodpovedá vektoru polomeru nejakého bodu M ležiace na priamke.

Túto rovnicu zapíšeme v súradnicovom tvare. Všimnite si, že odtiaľto

Výsledné rovnice sú tzv parametrické priamkové rovnice.

Pri zmene parametra t zmena súradníc X, r A z a bodka M sa pohybuje v priamom smere.

KANONICKÉ ROVNICE PRIAME

Nechaj M 1 (X 1 , r 1 , z 1 ) je bod ležiaci na priamke l, A je jeho smerový vektor. Opäť vezmite ľubovoľný bod na priamke M(x,y,z) a zvážte vektor .

Je jasné, že vektory a sú kolineárne, takže ich príslušné súradnice musia byť proporcionálne

– kanonický priamkové rovnice.

Poznámka 1. Všimnite si, že kanonické rovnice priamky možno získať z parametrických rovníc odstránením parametra t. Z parametrických rovníc totiž získame resp .

Príklad. Napíšte rovnicu priamky parametrickým spôsobom.

Označiť , teda X = 2 + 3t, r = –1 + 2t, z = 1 –t.

Poznámka 2. Nech je čiara kolmá na jednu zo súradnicových osí, napríklad na os Vôl. Potom je smerový vektor priamky kolmý Vôl, teda, m=0. V dôsledku toho nadobúdajú tvar parametrické rovnice priamky

Vylúčenie parametra z rovníc t, dostaneme rovnice priamky v tvare

Aj v tomto prípade však súhlasíme s formálnym zápisom kanonických rovníc priamky do formulára . Ak je teda menovateľ jedného zo zlomkov nula, znamená to, že čiara je kolmá na príslušnú súradnicovú os.

Podobne aj kanonické rovnice zodpovedá priamke kolmej na osi Vôl A Oj alebo rovnobežná os Oz.

Príklady.

Kanonické rovnice: .

Parametrické rovnice:

Napíšte rovnice priamky prechádzajúcej dvoma bodmi M 1 (-2;1;3), M 2 (-1;3;0).

Zostavme kanonické rovnice priamky. Aby sme to dosiahli, nájdeme smerový vektor . Potom l:.

VŠEOBECNÉ ROVNICE PRIAMA ČIARA AKO PRIESTOROVÁ ČIARA DVOCH ROVINEK

Cez každú priamku v priestore prechádza nekonečný počet rovín. Akékoľvek dva z nich, ktoré sa pretínajú, ho definujú v priestore. Preto rovnice akýchkoľvek dvoch takýchto rovín, uvažované spolu, sú rovnicami tejto priamky.

Vo všeobecnosti akékoľvek dve nerovnobežné roviny dané všeobecnými rovnicami

určiť ich priesečník. Tieto rovnice sa nazývajú všeobecné rovnice rovno.

Príklady.

Zostrojte priamku danú rovnicami

Na zostrojenie priamky stačí nájsť dva ľubovoľné jej body. Najjednoduchším spôsobom je vybrať priesečníky úsečky so súradnicovými rovinami. Napríklad priesečník s rovinou xOy získame z rovníc priamky za predpokladu z= 0:

Pri riešení tohto systému nachádzame pointu M 1 (1;2;0).

Podobne za predpokladu r= 0, dostaneme priesečník priamky s rovinou xOz:

Zo všeobecných rovníc priamky možno prejsť k jej kanonickým alebo parametrickým rovniciam. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť nejaký bod M 1 na priamke a smerovom vektore priamky.

Súradnice bodu M 1 z tohto systému rovníc získame tak, že jednej zo súradníc priradíme ľubovoľnú hodnotu. Ak chcete nájsť smerový vektor, všimnite si, že tento vektor musí byť kolmý na normálové vektory a. Preto pre smerový vektor l môžete vziať krížový súčin normálnych vektorov:

.

Príklad. Uveďte všeobecné rovnice priamky na kánonickú formu.

Nájdite bod na priamke. Aby sme to dosiahli, zvolíme ľubovoľne jednu zo súradníc, napr. r= 0 a vyriešte sústavu rovníc:

Normálne vektory rovín, ktoré definujú priamku, majú súradnice, preto bude smerovací vektor priamky taký

. teda l: .

1) Dovoliť a byť dve základne v R n .

Definícia. prechodová matica od základu na základ volá sa matica C, ktorej stĺpce sú súradnicami vektorov v základe :

Matica prechodu je invertibilná, pretože základné vektory sú lineárne nezávislé, a preto

Vektor je lineárne vyjadrený v zmysle vektorov oboch báz. Vzťah vektorových súradníc v rôznych bázach je stanovený v nasledujúcej vete.

Veta. Ak

potom súradnice vektory v zákl a jeho súradnice v základe súvisiacimi vzťahmi

Kde - prechodová matica zo zákl na základ , - stĺpcové vektory vektorových súradníc v základniach A resp.

2)Vzájomné usporiadanie dvoch priamych línií

Ak sú čiary dané rovnicami, potom sú:

1) paralelné (ale nie rovnaké)

2) zápas

3) pretínajú sa

4) krížiť sa

Ak potom nastanú prípady 1 - 4, keď (- znak negácie stavu):

3)

4)

Vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

V súradniciach

Vzdialenosť medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami

V súradniciach

Uhol medzi dvoma čiarami

Nevyhnutná a postačujúca podmienka, aby dve čiary boli kolmé

Alebo

Vzájomné usporiadanie priamky a roviny

Rovina a čiara

1) pretínajú sa

2) priamka leží v rovine

3) paralelné

Ak potom nastanú prípady 1 - 3, keď:

1)

Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežnosť priamky a roviny

Uhol medzi čiarou a rovinou

Priesečník priamky s rovinou

V súradniciach:

Rovnice priamky prechádzajúcej bodom kolmo na rovinu

V súradniciach:

1) Je zrejmé, že systém lineárnych rovníc možno zapísať ako:

x 1 + x 2 + … + x n

Dôkaz.

1) Ak existuje riešenie, tak stĺpec voľných členov je lineárnou kombináciou stĺpcov matice A, čo znamená, že pridanie tohto stĺpca do matice, t.j. prechod АА * nemeňte hodnosť.

2) Ak RgA = RgA * , znamená to, že majú rovnakú základnú moll. Stĺpec voľných členov je lineárnou kombináciou stĺpcov základnej moll, vyššie uvedený zápis je správny.

2) rovina vo vesmíre.

Najprv získame rovnicu roviny prechádzajúcej bodom M 0 (X 0 ,y 0 , z 0 ) kolmo na vektor n = {A, B, C), nazývaná normála k rovine. Pre akýkoľvek bod v rovine M(x, y,z) vektor M 0 M = {X - X 0 , r - r 0 , z - z 0 ) je ortogonálny k vektoru n , preto sa ich skalárny súčin rovná nule:

A(X - X 0 ) + B(r - r 0 ) + C(z - z 0 ) = 0. (8.1)

Získa sa rovnica, ktorá je splnená ľubovoľným bodom danej roviny - rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor.

Po zmenšení podobných je možné rovnicu (8.1) zapísať v tvare:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

Kde D = -Ax 0 - Podľa 0 -Cz 0 . Táto lineárna rovnica v troch premenných sa nazýva všeobecná rovnica roviny.

Neúplné rovinné rovnice.

Ak aspoň jedno z čísel A, B, C,D sa rovná nule, rovnica (8.2) sa nazýva neúplná.

Zvážte možné typy neúplných rovníc:

1) D= 0 - rovina Ax + Autor: + cz= 0 prechádza cez počiatok.

2) A = 0 – n = {0,B, C} Vôl, teda lietadlo Autor: + cz + D= 0 je rovnobežná s osou Oh.

3) IN= 0 - rovina Ax + cz + D = 0 je rovnobežná s osou OU.

4) S= 0 - rovina Ax + Autor: + D= 0 je rovnobežná s osou Oz.

5) A = B= 0 - rovina cz + D Oh(pretože je rovnobežná s osami Oh A OU).

6) A = C= 0 - rovina Wu +D= 0 rovnobežne s rovinou súradníc Ohz.

7) B = C= 0 - rovina Ax + D= 0 rovnobežne s rovinou súradníc OUz.

8) A =D= 0 - rovina Autor: + cz= 0 prechádza cez os Oh.

9) B = D= 0 - rovina Ah + Cz= 0 prechádza cez os OU.

10) C = D= 0 - rovina Ax + Autor:= 0 prechádza cez os Oz.

11) A = B = D= 0 - rovnica Sz= 0 určuje rovinu súradníc Oh.

12) A = C = D= 0 – dostaneme Wu= 0 je rovnica súradnicovej roviny Ohz.

13) B = C = D= 0 - rovina Oh= 0 je rovina súradníc OUz.

Ak je všeobecná rovnica roviny úplná (to znamená, že žiadny z koeficientov sa nerovná nule), možno ju zredukovať do tvaru:

volal rovinná rovnica v segmentoch. Spôsob prevodu je uvedený v prednáške 7. Parametre A,b A s sa rovnajú hodnotám segmentov odrezaných rovinou na súradnicových osiach.

1) Homogénne sústavy lineárnych rovníc

Homogénna sústava lineárnych rovníc AX = 0 vždy spolu. Má netriviálne (nenulové) riešenia, ak r= hodnosť A< n .

Pre homogénne systémy sú základné premenné (koeficienty, pri ktorých tvoria minoritnú bázu) vyjadrené ako voľné premenné vzťahmi v tvare:

Potom n - r lineárne nezávislé vektorové riešenia budú:

a akékoľvek iné riešenie je ich lineárna kombinácia. Rozhodovací vektor vytvoriť normalizovaný základný systém.

V lineárnom priestore tvorí množina riešení homogénneho systému lineárnych rovníc podpriestor dimenzie n - r; je základom tohto podpriestoru.