Extrémne body funkcie a ich nájdenie. Zvyšovanie, znižovanie a extrémy funkcie. Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Prechod v týchto nerovnostiach na limit pri Δ X→ 0 a berúc do úvahy, že derivácia f "(X 0) existuje, a preto limit vľavo nezávisí od toho, ako Δ X→ 0, dostaneme: pri Δ X → 0 – 0 f"(X 0) ≥ 0 a pri A X → 0 + 0 f"(X 0) ≤ 0. Keďže f"(X 0) definuje číslo, potom sú tieto dve nerovnosti kompatibilné iba vtedy, ak f"(X 0) = 0.

Osvedčená veta hovorí, že maximálne a minimálne body môžu byť iba medzi tými hodnotami argumentu, pri ktorých sa derivácia stáva nulou.

Uvažovali sme o prípade, keď funkcia má deriváciu vo všetkých bodoch určitého segmentu. Aká je situácia v prípadoch, keď derivát neexistuje? Pozrime sa na príklady.

r=|X|.

Funkcia nemá v bode žiadnu deriváciu X=0 (v tomto bode graf funkcie nemá definovanú dotyčnicu), ale v tomto bode má funkcia minimum, keďže r(0)=0 a pre všetkých X≠ 0r > 0.

Z uvedených príkladov a formulovanej vety je teda zrejmé, že funkcia môže mať extrém iba v dvoch prípadoch: 1) v bodoch, kde derivácia existuje a je rovná nule; 2) v bode, kde derivát neexistuje.

Ak však v určitom okamihu X 0 to vieme f "(x 0 ) = 0, potom z toho nemožno vyvodiť záver, že v bode X 0 funkcia má extrém.

Napríklad.

Ale bodka X=0 nie je extrémny bod, pretože naľavo od tohto bodu sú funkčné hodnoty umiestnené pod osou Vôl a vpravo hore.

Hodnoty argumentu z domény funkcie, v ktorej derivácia funkcie zaniká alebo neexistuje, sa nazývajú kritických bodov.

Zo všetkého uvedeného vyplýva, že extrémne body funkcie patria medzi kritické body a nie každý kritický bod je však extrémnym bodom. Preto, aby ste našli extrém funkcie, musíte nájsť všetky kritické body funkcie a potom v každom z týchto bodov samostatne preskúmať maximum a minimum. Na tento účel slúži nasledujúca veta.

Veta 2. (Postačujúca podmienka pre existenciu extrému.) Nech je funkcia spojitá na nejakom intervale obsahujúcom kritický bod X 0 a je diferencovateľná vo všetkých bodoch tohto intervalu (možno okrem samotného bodu X 0). Ak pri pohybe zľava doprava cez tento bod derivácia zmení znamienko z plus na mínus, potom v bode X = X Funkcia 0 má maximum. Ak pri prechode cez X 0 zľava doprava, derivácia zmení znamienko z mínus na plus, potom má funkcia v tomto bode minimum.

Teda ak

f "(x)>0 at X<X 0 a f "(x)< 0 pri x> x 0, teda X 0 – maximálny bod;

Dôkaz. Najprv predpokladajme, že pri prechode X 0 derivácia mení znamienko z plus na mínus, t.j. pred všetkými X, blízko k veci X 0 f "(x)> 0 pre X< x 0 , f "(x)< 0 pre x> x 0 Aplikujme na rozdiel Lagrangeovu vetu f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), kde c leží medzi X A X 0 .

Nechaj X< x 0 Potom c< x 0 a f "(c)> 0. Preto f "(c)(x-x 0)< 0 a teda

f(x) - f(x 0 )< 0, t.j. f(x)< f(x 0 ).

Nechaj x > x 0 Potom c>x 0 a f "(c)< 0. Prostriedky f "(c)(x-x 0)< 0. Preto f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Teda pre všetky hodnoty X dostatočne blízko X 0 f(x)< f(x 0 ) . A to znamená, že v bode X Funkcia 0 má maximum.

Druhá časť vety o minime je dokázaná podobným spôsobom.

Znázornime význam tejto vety na obrázku. Nechaj f "(x 1 ) =0 a pre ľubovoľné X, dostatočne blízko X 1, nerovnosti sú uspokojené

f "(x)< 0 pri X< x 1 , f "(x)> 0 pri x> x 1 .

Potom naľavo od bodu X 1 sa funkcia zvyšuje a znižuje vpravo, teda keď X = X 1 funkcia prechádza z rastúcej do klesajúcej, to znamená, že má maximum.

Podobne môžeme uvažovať o bodoch X 2 a X 3 .

Všetky vyššie uvedené môžu byť schematicky znázornené na obrázku:

Pravidlo pre štúdium funkcie y=f(x) pre extrém

Nájdite doménu funkcie f(x).

Nájdite prvú deriváciu funkcie f "(x).

Určte na to kritické body:

nájsť skutočné korene rovnice f "(x)=0;

nájsť všetky hodnoty X pre ktorý derivát f "(x) neexistuje.

Určite znamienko derivácie vľavo a vpravo od kritického bodu. Keďže znamienko derivácie zostáva konštantné medzi dvoma kritickými bodmi, stačí určiť znamienko derivácie v jednom bode vľavo a v jednom bode vpravo od kritického bodu.

Vypočítajte hodnotu funkcie v extrémnych bodoch.

Nech je funkcia $z=f(x,y)$ definovaná v nejakom okolí bodu $(x_0,y_0)$. Hovoria, že $(x_0,y_0)$ je (miestny) maximálny bod, ak pre všetky body $(x,y)$ v niektorom okolí bodu $(x_0,y_0)$ je nerovnosť $f(x,y) je spokojný< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, potom sa bod $(x_0,y_0)$ nazýva (lokálny) minimálny bod.

Maximálne a minimálne body sa často nazývajú všeobecný pojem - extrémne body.

Ak je $(x_0,y_0)$ maximálny bod, potom sa hodnota funkcie $f(x_0,y_0)$ v tomto bode nazýva maximum funkcie $z=f(x,y)$. Podľa toho sa hodnota funkcie v minimálnom bode nazýva minimum funkcie $z=f(x,y)$. Minimá a maximá funkcie spája spoločný pojem – extrémy funkcie.

Algoritmus na štúdium funkcie $z=f(x,y)$ pre extrém

1. Nájdite parciálne derivácie $\frac(\partial z)(\partial x)$ a $\frac(\partial z)(\partial y)$. Zostavte a vyriešte sústavu rovníc $ \left \( \begin(zarovnané) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 \ end(zarovnané) \right.$ Body, ktorých súradnice spĺňajú špecifikovaný systém, sa nazývajú stacionárne.
2. Nájsť $\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)$, $\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x\čiastočné y)$, $\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2)$ a vypočítajte hodnotu $\Delta=\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2)-\left( \frac (\čiastočné^2z)(\čiastočné x\čiastočné y) \vpravo)^2$ v každom stacionárnom bode. Potom použite nasledujúcu schému:
   1. Ak $\Delta > 0$ a $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (alebo $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), potom je bod, ktorý sa skúma, minimálny bod.
   2. Ak $\Delta > 0$ a $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Ak $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Ak $\Delta = 0$, potom nemožno povedať nič konkrétne o prítomnosti extrému; je potrebný ďalší výskum.

Poznámka (potrebná pre lepšie pochopenie textu): zobraziť\skryť

Ak $\Delta > 0$, potom $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ čiastočné^2z)(\čiastočné x\čiastočné y) \vpravo)^2 > 0$. A z toho vyplýva, že $\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2) > \left(\frac(\čiastočné^2z) ( \čiastočné x\čiastočné y)\vpravo)^2 ≥ 0$. Tie. $\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2) > 0$. Ak je súčin určitých veličín väčší ako nula, potom majú tieto veličiny rovnaké znamienko. To znamená, že ak napríklad $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, potom $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Stručne povedané, ak $\Delta > 0$, znamienka $\frac(\partial^2z)(\čiastočné x^2)$ a $\frac(\partial^2z)(\čiastočné y^2)$ sa zhodujú .

Príklad č.1

Preskúmajte funkciu $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ pre jej extrém.

$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=8x-6y-34; \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=-6x+10y+42. $$

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Znížime každú rovnicu tohto systému o $2$ a presunieme čísla na pravú stranu rovníc:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Získali sme sústavu lineárnych algebraických rovníc. V tejto situácii sa mi zdá najvýhodnejšie použiť na riešenie výsledného systému Cramerovu metódu.

$$ \začiatok(zarovnané) & \Delta=\vľavo| \začiatok(pole) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \koniec(pole)\vpravo|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \začiatok(pole) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \koniec (pole)\vpravo|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\vľavo| \začiatok(pole) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(pole)\vpravo|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(zarovnané) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Hodnoty ​​$x=2$, $y=-3$ sú súradnice stacionárneho bodu $(2;-3)$.

$$ \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)=8; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné y^2)=10; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x \čiastočné y)=-6. $$

Vypočítajme hodnotu $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2)-\left(\frac(\čiastočné^2z)( \čiastočné x\čiastočné y) \vpravo)^2= 8\cbodka 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Keďže $\Delta > 0$ a $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, potom podľa bodu $(2;-3)$ je minimálny bod funkcie $ z$. Minimum funkcie $z$ nájdeme dosadením súradníc bodu $(2;-3)$ do danej funkcie:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

Odpoveď: $(2;-3)$ - minimálny bod; $z_(min)=-90$.

Príklad č.2

Preskúmajte funkciu $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ pre jej extrém.

Budeme postupovať podľa vyššie uvedeného. Najprv nájdime parciálne deriváty prvého rádu:

$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=6xy-12. $$

Vytvorme si sústavu rovníc $ \left \( \begin(zarovnané) & \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=0;\\ & \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=0. \end( zarovnané) \right.$:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Znížime prvú rovnicu o 3 a druhú o 6.

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Ak $x=0$, potom nás druhá rovnica privedie k rozporu: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Preto záver: $x\neq 0$. Potom z druhej rovnice máme: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Nahradením $y=\frac(2)(x)$ do prvej rovnice dostaneme:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Dostali sme bikvadratickú rovnicu. Urobíme náhradu $t=x^2$ (čo znamená, že $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \začiatok(zarovnané) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(zarovnané) $$

Ak $t=1$, potom $x^2=1$. Máme teda dve hodnoty $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Ak $t=4$, potom $x^2=4$, t.j. $x_3=2$, $x_4=-2$. Pamätajúc si, že $y=\frac(2)(x)$, dostaneme:

\begin(zarovnané) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2) = -1. \end (zarovnané)

Takže máme štyri stacionárne body: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Tým sa dokončí prvý krok algoritmu.

Teraz začnime s algoritmom. Nájdite parciálne derivácie druhého rádu:

$$ \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)=6x; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné y^2)=6x; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x \čiastočné y)=6y. $$

Poďme nájsť $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2)-\left(\frac(\čiastočné^2z)( \čiastočné x\čiastočné y) \vpravo)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Teraz vypočítame hodnotu $\Delta$ v každom z predtým nájdených stacionárnych bodov. Začnime od bodu $M_1(1;2)$. V tomto bode máme: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Od $\Delta (M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Pozrime sa na bod $M_2(-1;-2)$. V tomto bode máme: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Od $\Delta (M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Pozrime sa na bod $M_3(2;1)$. V tomto bode dostaneme:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \vľavo.\frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)\pravé|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Keďže $\Delta(M_3) > 0$ a $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, potom podľa $M_3(2; 1)$ je minimálny bod funkcie $z$. Minimum funkcie $z$ nájdeme dosadením súradníc bodu $M_3$ do danej funkcie:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Zostáva preskúmať bod $M_4(-2;-1)$. V tomto bode dostaneme:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \vľavo.\frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)\pravé|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Keďže $\Delta(M_4) > 0$ a $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Štúdia extrému je dokončená. Zostáva už len zapísať odpoveď.

Odpoveď:

• $(2;1)$ - minimálny bod, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ – maximálny bod, $z_(max)=29$.

Poznámka

Vo všeobecnom prípade nie je potrebné počítať hodnotu $\Delta$, pretože nás zaujíma iba znamienko, a nie konkrétna hodnota tohto parametra. Napríklad, napríklad č. 2 uvažované vyššie, v bode $M_3(2;1)$ máme $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Tu je zrejmé, že $\Delta > 0$ (keďže oba faktory $36$ a $(2^2-1^2)$ sú kladné) a nie je možné nájsť konkrétnu hodnotu $\Delta$. Je pravda, že pre štandardné výpočty je táto poznámka zbytočná - tam vyžadujú, aby ste výpočty priniesli na číslo :)

Príklad č.3

Preskúmajte extrém funkcie $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$.

Budeme nasledovať. Najprv nájdime parciálne deriváty prvého rádu:

$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=4x^3-4x+4y; \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=4y^3+4x-4y. $$

Vytvorme si sústavu rovníc $ \left \( \begin(zarovnané) & \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=0;\\ & \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=0. \end( zarovnané) \right.$:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Znížime obe rovnice o 4 $:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Pridajme prvú rovnicu k druhej a vyjadrime $y$ v podmienkach $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Nahradením $y=-x$ do prvej rovnice systému dostaneme:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Z výslednej rovnice máme: $x=0$ alebo $x^2-2=0$. Z rovnice $x^2-2=0$ vyplýva, že $x=-\sqrt(2)$ alebo $x=\sqrt(2)$. Nájdeme teda tri hodnoty $x$, konkrétne: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Pretože $y=-x$, potom $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Prvý krok riešenia je dokončený. Máme tri stacionárne body: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Teraz začnime s algoritmom. Nájdite parciálne derivácie druhého rádu:

$$ \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)=12x^2-4; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné y^2)=12y^2-4; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x \čiastočné y)=4. $$

Poďme nájsť $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2)-\left(\frac(\čiastočné^2z)( \čiastočné x\čiastočné y) \vpravo)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Teraz vypočítame hodnotu $\Delta$ v každom z predtým nájdených stacionárnych bodov. Začnime od bodu $M_1(0;0)$. V tomto bode máme: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Pretože $\Delta(M_1) = 0$, je potrebný ďalší výskum, pretože o prítomnosti extrému v uvažovanom bode nemožno povedať nič konkrétne. Tento bod nechajme zatiaľ tak a prejdime k iným bodom.

Pozrime sa na bod $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. V tomto bode dostaneme:

\begin(zarovnané) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \vľavo.\frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)\vpravo|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end (zarovnané)

Keďže $\Delta(M_2) > 0$ a $\vľavo.\frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)\pravé|_(M_2) > 0$, potom podľa $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ je minimálny bod funkcie $z$. Minimum funkcie $z$ nájdeme dosadením súradníc bodu $M_2$ do danej funkcie:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Podobne ako v predchádzajúcom bode preskúmame bod $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. V tomto bode dostaneme:

\začiatok(zarovnané) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end (zarovnané)

Keďže $\Delta(M_3) > 0$ a $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, potom podľa $M_3(\sqrt (2),-\sqrt(2))$ je minimálny bod funkcie $z$. Minimum funkcie $z$ nájdeme dosadením súradníc bodu $M_3$ do danej funkcie:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Je čas vrátiť sa do bodu $M_1(0;0)$, v ktorom $\Delta(M_1) = 0$. Podľa toho je potrebný ďalší výskum. Táto vyhýbavá fráza znamená „rob si, čo chceš“ :). Neexistuje všeobecný spôsob riešenia takýchto situácií a je to pochopiteľné. Ak by takáto metóda existovala, bola by už dávno zaradená do všetkých učebníc. Medzitým musíme hľadať špeciálny prístup ku každému bodu, v ktorom $\Delta = 0 $. Poďme teda preskúmať správanie funkcie v blízkosti bodu $M_1(0;0)$. Hneď si všimnime, že $z(M_1)=z(0;0)=3$. Predpokladajme, že $M_1(0;0)$ je minimálny bod. Potom pre ľubovoľný bod $M$ z nejakého okolia bodu $M_1(0;0)$ dostaneme $z(M) > z(M_1)$, t.j. $z(M) > 3$. Čo ak ktorákoľvek štvrť obsahuje body, pri ktorých $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Uvažujme body, pre ktoré $y=0$, t.j. body tvaru $(x,0)$. V týchto bodoch bude mať funkcia $z$ nasledujúce hodnoty:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

Vo všetkých dostatočne malých štvrtiach $M_1(0;0)$ máme $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Ale možno je bod $M_1(0;0)$ maximálny bod? Ak je to tak, potom pre akýkoľvek bod $M$ z nejakého okolia bodu $M_1(0;0)$ dostaneme $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3 doláre? Potom v bode $M_1$ určite nebude žiadne maximum.

Uvažujme body, pre ktoré $y=x$, t.j. body tvaru $(x,x)$. V týchto bodoch bude mať funkcia $z$ nasledujúce hodnoty:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Keďže v ktoromkoľvek okolí bodu $M_1(0;0)$ máme $2x^4 > 0$, potom $2x^4+3 > 3$. Záver: každé okolie bodu $M_1(0;0)$ obsahuje body, v ktorých $z > 3$, preto bod $M_1(0;0)$ nemôže byť maximálnym bodom.

Bod $M_1(0;0)$ nie je maximálny ani minimálny bod. Záver: $M_1$ nie je vôbec extrémny bod.

Odpoveď: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ sú minimálne body funkcie $z$. V oboch bodoch $z_(min)=-5$.

Jednoduchý algoritmus na hľadanie extrémov..

• Nájdenie derivácie funkcie
• Túto deriváciu prirovnáme k nule
• Nájdeme hodnoty premennej výsledného výrazu (hodnoty premennej, pri ktorej sa derivácia prevedie na nulu)
• Pomocou týchto hodnôt rozdelíme súradnicovú čiaru na intervaly (nezabudnite na body zlomu, ktoré je tiež potrebné vykresliť na čiaru), všetky tieto body sa nazývajú „podozrivé“ body pre extrém
• Vypočítame, ktorý z týchto intervalov bude derivácia kladná a ktorá záporná. Aby ste to dosiahli, musíte nahradiť hodnotu z intervalu do derivácie.

Z bodov podozrivých z extrému je potrebné nájsť . Aby sme to dosiahli, pozrieme sa na naše intervaly na súradnicovej čiare. Ak sa pri prechode cez nejaký bod zmení znamienko derivácie z plus na mínus, potom bude tento bod maximálne, a ak z mínusu do plusu, tak minimálne.

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, musíte vypočítať hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v extrémnych bodoch. Potom vyberte najväčšiu a najmenšiu hodnotu.

Pozrime sa na príklad
Nájdeme deriváciu a prirovnáme ju k nule:

Získané hodnoty premenných vynesieme na súradnicovú čiaru a vypočítame znamienko derivácie na každom z intervalov. No, napríklad, pre prvý si vezmime-2 , potom bude derivácia rovnaká-0,24 , za druhé vezmeme0 , potom bude derivát2 , a do tretice berieme2 , potom bude derivát-0,24. Položili sme príslušné značky.

Vidíme, že pri prechode bodom -1 derivácia zmení znamienko z mínus na plus, to znamená, že toto bude minimálny bod a pri prechode cez 1 zmení znamienko z plus na mínus, resp. maximálny bod.

Dôležitým pojmom v matematike je funkcia. S jeho pomocou si môžete vizuálne predstaviť mnohé procesy prebiehajúce v prírode a odrážať vzťah medzi určitými veličinami pomocou vzorcov, tabuliek a obrázkov v grafe. Príkladom je závislosť tlaku vrstvy kvapaliny na teleso od hĺbky ponoru, zrýchlenie - od pôsobenia určitej sily na predmet, zvýšenie teploty - od odovzdanej energie a mnohé ďalšie procesy. Štúdium funkcie zahŕňa zostrojenie grafu, zistenie jeho vlastností, domény definície a hodnôt, intervalov nárastu a poklesu. Dôležitým bodom v tomto procese je nájdenie extrémnych bodov. Ďalej budeme hovoriť o tom, ako to urobiť správne.

O samotnom koncepte na konkrétnom príklade

V medicíne nám vykreslenie funkčného grafu môže povedať o postupe choroby v tele pacienta, čo jasne odráža jeho stav. Predpokladajme, že os OX predstavuje čas v dňoch a os OU predstavuje teplotu ľudského tela. Obrázok jasne ukazuje, ako tento ukazovateľ prudko stúpa a potom klesá. Je tiež ľahké si všimnúť špeciálne body odrážajúce momenty, keď funkcia, predtým rastúca, začne klesať a naopak. Toto sú extrémne body, to znamená kritické hodnoty (maximum a minimum) v tomto prípade teploty pacienta, po ktorých nastanú zmeny v jeho stave.

Uhol sklonu

Z obrázku ľahko určíte, ako sa derivácia funkcie mení. Ak priame čiary grafu časom stúpajú, potom je to pozitívne. A čím sú strmšie, tým väčšia je hodnota derivácie, pretože uhol sklonu sa zvyšuje. Počas periód poklesu nadobudne táto hodnota záporné hodnoty, v extrémnych bodoch sa zmení na nulu a graf derivácie v druhom prípade je nakreslený rovnobežne s osou OX.

S akýmkoľvek iným procesom by sa malo zaobchádzať rovnakým spôsobom. Ale najlepší spôsob, ako o tomto koncepte povedať, je pohyb rôznych telies, jasne znázornený v grafoch.

Pohyb

Predpokladajme, že sa objekt pohybuje v priamom smere a rovnomerne naberá rýchlosť. V tomto období je zmena súradníc telesa graficky znázornená určitou krivkou, ktorú by matematik nazval vetvou paraboly. Zároveň sa funkcia neustále zvyšuje, pretože súradnicové ukazovatele sa menia každú sekundu rýchlejšie a rýchlejšie. Graf rýchlosti ukazuje správanie sa derivácie, ktorej hodnota tiež rastie. To znamená, že pohyb nemá žiadne kritické body.

Takto by to pokračovalo donekonečna. Čo ak sa však telo zrazu rozhodne spomaliť, zastaviť sa a začať sa pohybovať iným smerom? V tomto prípade začnú klesať súradnicové ukazovatele. A funkcia prekročí kritickú hodnotu a zmení sa z rastúcej na klesajúcu.

Pomocou tohto príkladu opäť pochopíte, že extrémne body na grafe funkcie sa objavujú v momentoch, keď prestáva byť monotónna.

Fyzikálny význam derivátu

To, čo bolo opísané skôr, jasne ukázalo, že derivácia je v podstate rýchlosť zmeny funkcie. Toto objasnenie obsahuje jeho fyzikálny význam. Extrémne body sú kritické oblasti na grafe. Môžu byť identifikované a detekované výpočtom hodnoty derivátu, ktorý sa rovná nule.

Existuje ďalšie znamenie, ktoré je postačujúcou podmienkou pre extrém. Derivácia v takýchto inflexných bodoch mení svoje znamienko: z „+“ na „-“ v maximálnej oblasti a z „-“ na „+“ v minimálnej oblasti.

Pohyb pod vplyvom gravitácie

Predstavme si inú situáciu. Deti hrajúce sa s loptou ju hádzali tak, že sa začala pohybovať šikmo k horizontu. V počiatočnom momente bola rýchlosť tohto objektu najvyššia, ale vplyvom gravitácie začala klesať as každou sekundou o rovnakú hodnotu, rovnajúcu sa približne 9,8 m/s 2 . Ide o hodnotu zrýchlenia, ktoré vzniká vplyvom zemskej gravitácie pri voľnom páde. Na Mesiaci by bol asi šesťkrát menší.

Graf popisujúci pohyb telesa je parabola s vetvami smerujúcimi nadol. Ako nájsť extrémne body? V tomto prípade ide o vrchol funkcie, kde rýchlosť telesa (lopty) nadobúda nulovú hodnotu. Derivácia funkcie sa stáva nulou. V tomto prípade sa smer, a teda aj hodnota rýchlosti, zmení na opačný. Teleso letí dolu každú sekundu rýchlejšie a zrýchľuje sa o rovnakú hodnotu - 9,8 m/s 2 .

Druhá derivácia

V predchádzajúcom prípade je graf modulu rýchlosti nakreslený ako priamka. Táto čiara je spočiatku nasmerovaná nadol, pretože hodnota tejto hodnoty neustále klesá. Po dosiahnutí nuly v jednom okamihu sa ukazovatele tejto hodnoty začnú zvyšovať a smer grafického znázornenia rýchlostného modulu sa dramaticky zmení. Čiara teraz smeruje nahor.

Rýchlosť, ktorá je deriváciou súradníc vzhľadom na čas, má tiež kritický bod. V tejto oblasti sa funkcia, spočiatku klesajúca, začína zvyšovať. Toto je umiestnenie krajného bodu derivácie funkcie. V tomto prípade sa uhol sklonu dotyčnice stane nulovým. A zrýchlenie, ktoré je druhou deriváciou súradnice vzhľadom na čas, zmení znamienko z „-“ na „+“. A pohyb z rovnomerne pomalého sa stáva rovnomerne zrýchleným.

Graf zrýchlenia

Teraz sa pozrime na štyri obrázky. Každý z nich zobrazuje graf zmien v čase v takej fyzikálnej veličine, akou je zrýchlenie. V prípade „A“ zostáva jeho hodnota kladná a konštantná. To znamená, že rýchlosť tela, rovnako ako jeho súradnice, sa neustále zvyšuje. Ak si predstavíme, že sa objekt bude takto pohybovať nekonečne dlho, ukáže sa, že funkcia odrážajúca závislosť súradnice od času bude neustále narastať. Z toho vyplýva, že nemá kritické oblasti. Na grafe derivácie tiež nie sú žiadne extrémne body, to znamená lineárne sa meniaca rýchlosť.

To isté platí pre prípad „B“ s pozitívnym a neustále sa zvyšujúcim zrýchlením. Je pravda, že grafy súradníc a rýchlosti tu budú o niečo komplikovanejšie.

Keď zrýchlenie klesne na nulu

Pri pohľade na obrázok „B“ je možné pozorovať úplne iný obrázok charakterizujúci pohyb tela. Jeho rýchlosť bude graficky znázornená parabolou s vetvami smerujúcimi nadol. Ak budeme pokračovať v čiare opisujúcej zmenu zrýchlenia, až kým sa nepretne s osou OX a ďalej, vieme si predstaviť, že až do tejto kritickej hodnoty, kde zrýchlenie vyjde na nulu, bude rýchlosť objektu narastať stále pomalšie. . Extrémny bod derivácie súradnicovej funkcie bude presne vo vrchole paraboly, po ktorom telo radikálne zmení povahu svojho pohybu a začne sa pohybovať iným smerom.

V poslednom prípade „G“ nie je možné presne určiť povahu pohybu. Tu vieme len to, že na nejaké uvažované obdobie nie je žiadne zrýchlenie. To znamená, že objekt môže zostať na mieste alebo sa pohybovať konštantnou rýchlosťou.

Problém s pridávaním súradníc

Prejdime k úlohám, s ktorými sa často stretávame pri štúdiu algebry v škole a sú ponúkané na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku. Na obrázku nižšie je znázornený graf funkcie. Je potrebné vypočítať súčet extrémnych bodov.

Urobme to pre zvislú os určením súradníc kritických oblastí, kde je pozorovaná zmena charakteristík funkcie. Jednoducho povedané, nájdeme hodnoty pozdĺž osi OX pre inflexné body a potom pristúpime k pridávaniu výsledných výrazov. Podľa grafu je zrejmé, že nadobúdajú nasledovné hodnoty: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. To je výsledok -21, čo je odpoveď.

Optimálne riešenie

Nie je potrebné vysvetľovať, aký dôležitý môže byť výber optimálneho riešenia pri plnení praktických úloh. Koniec koncov, existuje veľa spôsobov, ako dosiahnuť cieľ, ale najlepšia cesta je spravidla iba jedna. To je mimoriadne potrebné napríklad pri navrhovaní lodí, kozmických lodí a lietadiel a architektonických štruktúr, aby sa našiel optimálny tvar týchto umelých predmetov.

Rýchlosť vozidiel do značnej miery závisí od správnej minimalizácie odporu, ktorý zažívajú pri pohybe vodou a vzduchom, od preťaženia, ktoré vzniká pod vplyvom gravitačných síl a mnohých ďalších ukazovateľov. Loď na mori vyžaduje také vlastnosti, ako je stabilita počas búrky, pre riečne plavidlo je dôležitý minimálny ponor. Pri výpočte optimálneho návrhu môžu extrémne body na grafe vizuálne poskytnúť predstavu o najlepšom riešení zložitého problému. Problémy tohto druhu sa často riešia v ekonomike, v obchodných oblastiach a v mnohých iných životných situáciách.

Z dávnej histórie

Dokonca aj starí mudrci sa zaoberali extrémnymi problémami. Grécki vedci úspešne odhalili záhadu plôch a objemov prostredníctvom matematických výpočtov. Ako prví pochopili, že na rovine rôznych útvarov, ktoré majú rovnaký obvod, má kruh vždy najväčšiu plochu. Podobne je guľa vybavená maximálnym objemom medzi ostatnými objektmi v priestore s rovnakou plochou. Riešeniu takýchto problémov sa venovali také slávne osobnosti ako Archimedes, Euclid, Aristoteles, Apollonius. Heron bol vynikajúci v hľadaní extrémnych bodov a pomocou výpočtov zostrojil dômyselné zariadenia. Patrili sem stroje pohybujúce sa parou, čerpadlá a turbíny fungujúce na rovnakom princípe.

Výstavba Kartága

Existuje legenda, ktorej dej je založený na riešení jedného z extrémnych problémov. Výsledkom obchodného prístupu, ktorý predviedla fénická princezná, ktorá sa obrátila o pomoc na mudrcov, bola výstavba Kartága. Pozemok pre toto starobylé a slávne mesto dostal Dido (tak sa volal vládca) od vodcu jedného z afrických kmeňov. Plocha pozemku sa mu spočiatku nezdala príliš veľká, keďže podľa zmluvy mala byť pokrytá volskou kožou. Ale princezná prikázala svojim vojakom, aby ho nakrájali na tenké pásiky a vytvorili z nich opasok. Ukázalo sa, že je taký dlhý, že pokrýva oblasť, kam sa zmestí celé mesto.

Počiatky matematickej analýzy

Teraz sa prenesme z dávnych čias do neskoršej doby. Je zaujímavé, že Keplera k pochopeniu základov matematickej analýzy podnietilo v 17. storočí stretnutie s predavačom vína. Obchodník bol vo svojej profesii natoľko znalý, že dokázal ľahko určiť objem nápoja v sude jednoduchým spustením železného lana do suda. Vzhľadom na takúto zvedavosť sa slávnemu vedcovi podarilo vyriešiť túto dilemu pre seba. Ukazuje sa, že šikovní debnári tých čias dostali chuť vyrábať nádoby tak, že pri určitej výške a polomere obvodu upevňovacích krúžkov mali maximálnu kapacitu.

To sa stalo pre Keplera dôvodom na ďalšie premýšľanie. K optimálnemu riešeniu bednári dospeli dlhým hľadaním, chybami a novými pokusmi, odovzdávaním skúseností z generácie na generáciu. Ale Kepler chcel proces urýchliť a naučiť sa robiť to isté v krátkom čase pomocou matematických výpočtov. Celý jeho vývoj, ktorý zachytili jeho kolegovia, sa zmenil na teraz slávne Fermatove a Newton-Leibnizove vety.

Problém maximálnej plochy

Predstavme si, že máme drôt, ktorého dĺžka je 50 cm.Ako z neho vytvoríme obdĺžnik, ktorý má najväčšiu plochu?

Pri rozhodovaní by ste mali vychádzať z jednoduchých právd známych každému. Je jasné, že obvod našej figúry bude 50 cm.Je tvorený dvojnásobnými dĺžkami oboch strán. To znamená, že po označení jedného z nich ako „X“ môže byť druhý vyjadrený ako (25 - X).

Odtiaľ dostaneme plochu rovnajúcu sa X (25 - X). Tento výraz si možno predstaviť ako funkciu, ktorá nadobúda viacero hodnôt. Riešenie problému si vyžaduje nájsť ich maximum, čo znamená, že musíte zistiť extrémne body.

Aby sme to dosiahli, nájdeme prvú deriváciu a prirovnáme ju k nule. Výsledkom je jednoduchá rovnica: 25 - 2X = 0.

Z nej sa dozvieme, že jedna zo strán je X = 12,5.

Preto ostatné: 25 - 12,5 = 12,5.

Ukazuje sa, že riešením problému bude štvorec so stranou 12,5 cm.

Ako zistiť maximálnu rýchlosť

Pozrime sa na ďalší príklad. Predstavme si, že existuje teleso, ktorého lineárny pohyb je opísaný rovnicou S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, kde prejdená vzdialenosť je vyjadrená v metroch a čas v sekundách. Musíme nájsť maximálnu rýchlosť. Ako to spraviť? Stiahnuté nájdeme rýchlosť, teda prvú deriváciu.

Dostaneme rovnicu: V = - 3t 2 + 18t - 24. Teraz, aby sme úlohu vyriešili, musíme opäť nájsť extrémne body. Toto sa musí vykonať rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcej úlohe. Nájdeme prvú deriváciu rýchlosti a prirovnáme ju k nule.

Dostaneme: - 6t + 18 = 0. Preto t = 3 s. Toto je čas, kedy rýchlosť tela nadobúda kritickú hodnotu. Výsledný údaj dosadíme do rýchlostnej rovnice a dostaneme: V = 3 m/s.

Ako však môžeme pochopiť, že ide o maximálnu rýchlosť, keďže kritickými bodmi funkcie môžu byť jej najväčšie alebo najmenšie hodnoty? Ak chcete skontrolovať, musíte nájsť druhú deriváciu rýchlosti. Vyjadruje sa číslom 6 so znamienkom mínus. To znamená, že nájdený bod je maximum. A v prípade kladnej hodnoty by mala druhá derivácia minimum. To znamená, že nájdené riešenie sa ukázalo ako správne.

Problémy uvedené ako príklad sú len časťou tých, ktoré možno vyriešiť, ak viete, ako nájsť extrémne body funkcie. V skutočnosti je ich oveľa viac. A takéto poznanie otvára ľudskej civilizácii neobmedzené možnosti.

S touto službou môžete nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie jedna premenná f(x) s riešením naformátovaným vo Worde. Ak je teda daná funkcia f(x,y), je potrebné nájsť extrém funkcie dvoch premenných. Môžete tiež nájsť intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií.

Pravidlá pre zadávanie funkcií:

Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Dostatočná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potom bod x * je lokálny (globálny) minimálny bod funkcie.

Ak je v bode x * splnená podmienka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Potom bod x * je lokálne (globálne) maximum.

Príklad č.1. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: na segmente.
Riešenie.

Kritický bod je jeden x 1 = 2 (f’(x) = 0). Tento bod patrí do segmentu. (Bod x=0 nie je kritický, pretože 0∉).
Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v kritickom bode.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpoveď: f min = 5 / 2 pri x = 2; f max = 9 pri x = 1

Príklad č.2. Pomocou derivácií vyššieho rádu nájdite extrém funkcie y=x-2sin(x) .
Riešenie.
Nájdite deriváciu funkcie: y’=1-2cos(x) . Nájdite kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nájdeme y’’=2sin(x), vypočítame , čo znamená x= π / 3 +2πk, k∈Z sú minimálne body funkcie; , čo znamená x=- π / 3 +2πk, k∈Z sú maximálne body funkcie.

Príklad č.3. Preskúmajte extrémnu funkciu v blízkosti bodu x=0.
Riešenie. Tu je potrebné nájsť extrémy funkcie. Ak extrém x=0, zistite jeho typ (minimum alebo maximum). Ak medzi nájdenými bodmi nie je x = 0, vypočítajte hodnotu funkcie f(x=0).
Treba si uvedomiť, že keď derivácia na každej strane daného bodu nemení svoje znamienko, nevyčerpajú sa možné situácie ani pre diferencovateľné funkcie: môže sa stať, že pre ľubovoľne malé okolie na jednej strane bodu x 0 resp. na oboch stranách derivácia mení znamienko. V týchto bodoch je potrebné použiť iné metódy na štúdium funkcií v extréme.

Príklad č.4. Rozdeľte číslo 49 na dva pojmy, ktorých súčin bude najväčší.
Riešenie. Označme x ako prvý člen. Potom (49-x) je druhý člen.
Produkt bude maximálne: x·(49-x) → max