>> Periodicita funkcií y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodicita funkcií y \u003d sin x, y \u003d cos x

V predchádzajúcich odsekoch sme použili sedem vlastností funkcie: definičný obor, párny alebo nepárny, monotónnosť, ohraničenosť, maximálne a minimálne hodnoty, spojitosť, rozsah funkcií. Tieto vlastnosti sme použili buď na zostrojenie funkčného grafu (ako to bolo napr. v § 9), alebo na prečítanie zostrojeného grafu (ako to bolo napr. v § 10). Teraz nadišla vhodná chvíľa predstaviť ešte jednu (ôsmu) vlastnosť funkcií, ktorá je dokonale viditeľná na vyššie skonštruovanom grafy funkcie y \u003d sin x (pozri obr. 37), y \u003d cos x (pozri obr. 41).

Definícia. Funkcia sa nazýva periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z množín je dvojité rovnosť:

Číslo T, ktoré spĺňa uvedenú podmienku, sa nazýva perióda funkcie y \u003d f (x).
Z toho vyplýva, že keďže pre ľubovoľné x sú rovnosti pravdivé:

potom funkcie y \u003d sin x, y \u003d cos x sú periodické a číslo 2 P slúži ako perióda oboch funkcií.
Periodicita funkcie je sľúbenou ôsmou vlastnosťou funkcií.

Teraz sa pozrite na graf funkcie y \u003d sin x (obr. 37). Na zostavenie sínusoidy stačí postaviť jednu z jej vĺn (na segmente a potom túto vlnu posunúť pozdĺž osi x o V dôsledku toho pomocou jednej vlny zostavíme celý graf.

Pozrime sa z rovnakého uhla pohľadu na graf funkcie y \u003d cos x (obr. 41). Vidíme, že aj tu na vykreslenie grafu stačí najskôr nakresliť jednu vlnu (napr. na segmente

A potom ho posuňte pozdĺž osi x o
Keď to zhrnieme, urobíme nasledujúci záver.

Ak má funkcia y \u003d f (x) periódu T, potom na vykreslenie grafu funkcie musíte najskôr nakresliť vetvu (vlnu, časť) grafu na ľubovoľnom intervale dĺžky T (najčastejšie zaberajú interval s koncami v bodoch a potom túto vetvu posunúť pozdĺž osi x doprava a doľava na T, 2T, ZT atď.
Periodická funkcia má nekonečne veľa periód: ak T je perióda, potom 2T je perióda a 3T je perióda a -T je perióda; vo všeobecnosti je perióda ľubovoľné číslo tvaru KT, kde k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Zvyčajne, ak je to možné, sa snažia vybrať najmenšiu kladnú periódu, nazýva sa to hlavné obdobie.
Akékoľvek číslo v tvare 2pc, kde k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, je perióda funkcií y \u003d sinn x, y \u003d cos x; 2p je hlavná perióda oboch funkcií.

Príklad. Nájdite hlavnú periódu funkcie:

A) Nech T je hlavná perióda funkcie y \u003d sin x. Položme

Aby číslo T bolo periódou funkcie, musí platiť identita Ho, keďže hovoríme o hľadaní hlavnej periódy, dostaneme
b) Nech T je hlavná perióda funkcie y = cos 0,5x. Nech f(x)=cos 0,5x. Potom f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

Aby číslo T bolo periódou funkcie, musí byť splnená identita cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

Takže 0,5t = 2pp. Ale keďže hovoríme o hľadaní hlavnej periódy, dostaneme 0,5T = 2 l, T = 4 l.

Zovšeobecnenie výsledkov získaných v príklade je nasledovné tvrdenie: hlavná perióda funkcie

A.G. Mordkovičova algebra 10. ročník

Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia samoskúšobné workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavých cheat sheets učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok metodické odporúčania programu diskusie Integrované lekcie

uspokojenie systému nerovností:

b) Uvažujme množinu čísel na číselnej osi, ktoré spĺňajú systém nerovností:

Nájdite súčet dĺžok segmentov, ktoré tvoria túto množinu.

§ 7. Najjednoduchšie formuly

V § 3 sme stanovili nasledujúci vzorec pre ostré uhly α:

			sin2α + cos2α = 1.
				Rovnaký vzorec			kedy,
				keď α je ľubovoľné			de-
				le, nech M je bod na trigonometrii
				kalický kruh zodpovedajúci
				číslo α (obr. 7.1). Potom		M má spolu-
				súradnice x = cos α, y
				Každý bod (x; y) však leží na
				kružnice s jednotkovým polomerom so stredom
				trom pri pôvode, uspokojujúci
				rieši rovnicu x2 + y2		1, odkiaľ
				cos2 α + sin2 α = 1, podľa potreby.

Takže vzorec cos2 α + sin2 α = 1 vyplýva z rovnice kruhu. Môže sa zdať, že týmto spôsobom sme podali nový dôkaz tohto vzorca pre ostré uhly (v porovnaní s tým, ktorý je uvedený v § 3, kde sme použili Pytagorovu vetu). Rozdiel je však čisto vonkajší: pri odvodení kruhovej rovnice x2 + y2 = 1 sa používa rovnaká Pytagorova veta.

Pre ostré uhly sme získali aj iné vzorce, napr

symbol, pravá strana je vždy nezáporná, zatiaľ čo ľavá strana môže byť záporná. Aby vzorec platil pre všetky α, musí byť odmocnený. Dostaneme rovnosť: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). Dokážme, že tento vzorec platí pre všetky α:1

1/(1 + tg2			sin2α			cos2α	Cos2α.
			cos2α			sin2α + cos2α

Problém 7.1. Všetky nižšie uvedené vzorce odvodzujte z definícií a vzorca sin2 α + cos2 α = 1 (niektoré z nich sme už dokázali):

sin2α + cos2α = 1;

tg2α =

tg2α

sin2α =

tg α ctg α = 1;

cos2α

1 + tg2α

ctg2α

Ctg2

cos2α =

1 + ctg2α

hriech2

Tieto vzorce umožňujú, keď poznáme hodnotu jednej z goniometrických funkcií daného čísla, takmer nájsť všetky ostatné

áno. Napríklad, vieme, že sin x = 1/2. Potom cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, takže cos x je buď 3/2 alebo − 3/2. Na zistenie, ktoré z týchto dvoch čísel sa rovná cos x, sú potrebné ďalšie informácie.

Problém 7.2. Ukážte na príkladoch, že oba vyššie uvedené prípady sú možné.

Problém 7.3. a) Nech tgx = −1. Nájdite sinx. Koľko odpovedí má tento problém?

b) Nech okrem podmienok bodu a) vieme, že hriech x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1, pre ktoré je definované tg α, t.j. cos α 6 = 0.

Problém 7.4. Nech sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Nájdite tgx.

Problém 7.5. Nech tg x = 3, cos x > sin x. Nájdite cos x, hriech x.

Problém 7.6. Nech tgx = 3/5. Nájdite hriech x + 2 cos x . cos x − 3 sin x

Problém 7.7. Dokážte totožnosť:

tgα − sinα

c) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α =

Problém 7.8. Zjednodušte výrazy:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg a + ctg a)2 + (tg a - ctg a)2;

c) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Periódy goniometrických funkcií

Čísla x, x+2π, x−2π zodpovedajú rovnakému bodu na trigonometrickej kružnici (ak prejdete cez trigonometrickú kružnicu navyše, skončíte tam, kde ste boli). Z toho vyplývajú tieto identity, o ktorých sa už hovorilo v § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sinx; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cosx.

V súvislosti s týmito identitami sme už použili termín „obdobie“. Teraz uvádzame presné definície.

Definícia. Číslo T 6= 0 sa nazýva perióda funkcie f, ak rovnosti f(x − T) = f(x + T) = f(x) platia pre všetky x (predpokladá sa, že x + T a x − T sú zahrnuté v definičnom obore funkcie , ak obsahuje x). Funkcia sa nazýva periodická, ak má bodku (aspoň jednu).

Periodické funkcie prirodzene vznikajú pri popise oscilačných procesov. O jednom z týchto procesov sa už hovorilo v § 5. Tu sú ďalšie príklady:

1) Nech ϕ = ϕ(t) je uhol odchýlky výkyvného kyvadla hodín od vertikály v okamihu t. Potom ϕ je periodická funkcia t.

2) Napätie („potenciálny rozdiel“, ako by povedal fyzik) medzi dvoma zásuvkami v zásuvke striedavého prúdu, napr.

či ju považovať za funkciu času je periodická funkcia1.

3) Počúvajme hudobný zvuk. Potom je tlak vzduchu v danom bode periodickou funkciou času.

Ak má funkcia periódu T , potom periódy tejto funkcie budú tiež čísla −T , 2T , −2T . . . - slovom všetky čísla nT , kde n je celé číslo, ktoré sa nerovná nule. Skutočne, skontrolujme napríklad, že f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Definícia. Najmenšia kladná perióda funkcie f je - v súlade s doslovným významom slov - kladné číslo T také, že T je perióda f a žiadne kladné číslo menšie ako T nie je perióda f.

Od periodickej funkcie sa nevyžaduje, aby mala najmenšiu kladnú periódu (napríklad funkcia, ktorá je konštantná, má vo všeobecnosti periódu ľubovoľného čísla, a preto nemá najmenšiu kladnú periódu). Možno uviesť aj príklady nekonštantných periodických funkcií, ktoré nemajú najmenšiu kladnú periódu. Napriek tomu vo väčšine zaujímavých prípadov majú periodické funkcie najmenšiu kladnú periódu.

1 Keď sa povie „napätie v sieti je 220 voltov“, myslia sa tým jeho „efektívna hodnota“, o ktorej budeme hovoriť v § 21. Samotné napätie sa neustále mení.

Ryža. 8.1. Obdobie tangens a kotangens.

Najmä najmenšia kladná perióda sínusu aj kosínusu je 2π. Dokážme to napríklad pre funkciu y = sin x. Nech, na rozdiel od toho, čo hovoríme, sínus má periódu T takú, že 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Najmenšia kladná perióda funkcie opisujúcej kmity (ako v našich príkladoch 1-3) sa jednoducho nazýva perióda týchto kmitov.

Keďže číslo 2π je perióda sínusu a kosínusu, bude to aj perióda dotyčnice a kotangens. Pre tieto funkcie však 2π nie je najmenšia perióda: najmenšia kladná perióda dotyčnice a kotangensu je π. Body zodpovedajúce číslam x a x + π na trigonometrickej kružnici sú totiž diametrálne odlišné: z bodu x do bodu x + 2π treba prejsť vzdialenosť π, ktorá sa presne rovná polovici kruhu. Teraz, ak použijeme definíciu dotyčnice a kotangens pomocou osí dotyčníc a kotangens, budú zrejmé rovnosti tg (x + π) = tg x a ctg (x + π) = ctg x (obr. 8.1). Je ľahké skontrolovať (navrhneme to urobiť v úlohách), že π je skutočne najmenšia kladná perióda dotyčnice a kotangens.

Jedna poznámka k terminológii. Slová „obdobie funkcie“ sa často používajú v zmysle „najmenšieho kladného obdobia“. Ak sa vás teda na skúške opýtajú: „Je 100π perióda sínusovej funkcie?“, odpovedzte si na čas, ale ujasnite si, či máte na mysli najmenšiu kladnú periódu alebo len jednu z periód.

Goniometrické funkcie sú typickým príkladom periodických funkcií: každá „nie veľmi zlá“ periodická funkcia môže byť v istom zmysle vyjadrená ako goniometrické funkcie.

Problém 8.1. Nájdite najmenšie kladné periódy funkcií:

				c) y = cos πx;

d) y = cosx + cos (1,01x).

Problém 8.2. Závislosť napätia v AC sieti od času je daná vzorcom U = U0 sin ωt (tu t je čas, U je napätie, U0 a ω sú konštanty). Frekvencia striedavého prúdu je 50 Hz (to znamená, že napätie robí 50 kmitov za sekundu).

a) Nájdite ω za predpokladu, že t sa meria v sekundách;

b) Nájdite (najmenšiu kladnú) periódu U ako funkciu t.

Problém 8.3. a) Dokážte, že najmenšia kladná perióda kosínusu je 2π;

b) Dokážte, že najmenšia kladná perióda dotyčnice je π.

Problém 8.4. Nech je najmenej kladná perióda funkcie f rovná T . Dokážte, že všetky ostatné obdobia sú v tvare nT pre niektoré celé čísla n.

Problém 8.5. Dokážte, že nasledujúce funkcie nie sú periodické.

Účel: zovšeobecniť a systematizovať vedomosti žiakov na tému „Periodika funkcií“; formovať zručnosti pri uplatňovaní vlastností periodickej funkcie, hľadaní najmenšej kladnej periódy funkcie, vykresľovaní periodických funkcií; podporovať záujem o štúdium matematiky; kultivovať pozorovanie, presnosť.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, kartičky s úlohami, diapozitívy, hodiny, stolíky na ozdoby, prvky ľudových remesiel

"Matematika je to, čo ľudia používajú na ovládanie prírody a seba."
A.N. Kolmogorov

Počas vyučovania

I. Organizačná etapa.

Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Prezentácia témy a cieľov lekcie.

II. Kontrola domácich úloh.

Kontrolujeme domáce úlohy podľa vzoriek, diskutujeme o najťažších bodoch.

III. Zovšeobecňovanie a systematizácia poznatkov.

1. Ústna frontálna práca.

Otázky teórie.

1) Vytvorte definíciu periódy funkcie
2) Aká je najmenšia kladná perióda funkcií y=sin(x), y=cos(x)
3). Aká je najmenšia kladná perióda funkcií y=tg(x), y=ctg(x)
4) Pomocou kruhu dokážte správnosť vzťahov:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Ako vykresliť periodickú funkciu?

ústne cvičenia.

1) Dokážte nasledujúce vzťahy

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Dokážte, že uhol 540º je jednou z periód funkcie y= cos(2x)

3. Dokážte, že uhol 360º je jednou z periód funkcie y=tg(x)

4. Transformujte tieto výrazy tak, aby uhly v nich obsiahnuté nepresiahli 90º v absolútnej hodnote.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Kde ste sa stretli so slovami OBDOBIE, PERIODICITA?

Odpovede študentov: Obdobie v hudbe je konštrukcia, v ktorej sa vyjadruje viac-menej úplná hudobná myšlienka. Geologické obdobie je súčasťou éry a delí sa na epochy s periódou 35 až 90 miliónov rokov.

Polčas rozpadu rádioaktívnej látky. Periodický zlomok. Periodiká sú tlačené publikácie, ktoré vychádzajú v presne stanovených dátumoch. Periodický systém Mendelejeva.

6. Obrázky znázorňujú časti grafov periodických funkcií. Definujte periódu funkcie. Určte periódu funkcie.

Odpoveď T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.

7. Kde ste sa v živote stretli s konštrukciou opakujúcich sa prvkov?

Žiaci odpovedajú: Prvky ornamentov, ľudové umenie.

IV. Kolektívne riešenie problémov.

(Riešenie problémov na snímkach.)

Uvažujme o jednom zo spôsobov, ako študovať funkciu pre periodicitu.

Táto metóda obchádza ťažkosti spojené s dokazovaním, že jedna alebo druhá perióda je najmenšia, a tiež nie je potrebné dotýkať sa otázok o aritmetických operáciách s periodickými funkciami a o periodicite komplexnej funkcie. Úvaha je založená len na definícii periodickej funkcie a na nasledujúcej skutočnosti: ak T je perióda funkcie, potom nT(n? 0) je jej perióda.

Úloha 1. Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie f(x)=1+3(x+q>5)

Riešenie: Predpokladajme, že T-perióda tejto funkcie. Potom f(x+T)=f(x) pre všetky x ∈ D(f), t.j.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Nech x=-0,25 dostaneme

(T) = 0<=>T=n, n ∈ Z

Zistili sme, že všetky periódy uvažovanej funkcie (ak existujú) sú medzi celými číslami. Vyberte z týchto čísel najmenšie kladné číslo. Toto 1 . Pozrime sa, či je to skutočne obdobie 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Keďže (T+1)=(T) pre ľubovoľné T, potom f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), t.j. 1 - obdobie f. Keďže 1 je najmenšie zo všetkých kladných celých čísel, potom T=1.

Úloha 2. Ukážte, že funkcia f(x)=cos 2 (x) je periodická a nájdite jej hlavnú periódu.

Úloha 3. Nájdite hlavnú periódu funkcie

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Predpokladajme T-periódu funkcie, potom pre ľubovoľnú X pomer

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Ak x = 0, potom

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ak x=-T, potom

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Pridaním dostaneme:

10 cos (0,75 T) = 10

2π n, n € Z

Vyberme zo všetkých čísel "podozrivých" pre obdobie najmenšie kladné a skontrolujme, či ide o bodku pre f. Toto číslo

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Preto je hlavná perióda funkcie f.

Úloha 4. Skontrolujte, či je funkcia f(x)=sin(x) periodická

Nech T je perióda funkcie f. Potom pre ľubovoľné x

sin|x+T|=sin|x|

Ak x=0, potom sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Predpokladajme. Že pre nejaké n je číslo π n bodka

uvažovaná funkcia π n>0. Potom sin|π n+x|=sin|x|

To znamená, že n musí byť párne aj nepárne súčasne, čo je nemožné. Preto táto funkcia nie je periodická.

Úloha 5. Skontrolujte, či je funkcia periodická

f(x)=

Nech T je obdobie f

, teda sinT=0, T=π n, n € Z. Predpokladajme, že pre nejaké n je číslo π n skutočne periódou danej funkcie. Potom číslo 2π n bude tiež bodka

Keďže čitatelia sú si rovní, rovnajú sa aj ich menovatelia, takže

Preto funkcia f nie je periodická.

Skupinová práca.

Úlohy pre skupinu 1.

Úlohy pre skupinu 2.

Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej hlavnú periódu (ak existuje).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Úlohy pre skupinu 3.

Na konci práce skupiny prezentujú svoje riešenia.

VI. Zhrnutie lekcie.

Reflexia.

Učiteľ rozdá žiakom kartičky s kresbami a ponúkne im premaľovať časť prvej kresby podľa toho, do akej miery, ako sa im zdá, zvládli metódy štúdia funkcie pre periodicitu a časť druhej kresby , v súlade s ich prínosom k práci na vyučovacej hodine.

VII. Domáca úloha

1). Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej hlavnú periódu (ak existuje)

b). f(x)=x2-2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcia y=f(x) má periódu T=2 a f(x)=x 2 +2x pre x € [-2; 0]. Nájdite hodnotu výrazu -2f(-3)-4f(3,5)

Literatúra/

1. Mordkovich A.G. Algebra a začiatok analýzy s hĺbkovým štúdiom.
2. Matematika. Príprava na skúšku. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Šeremetěva T.G. , Tarasová E.A. Algebra a počiatočná analýza pre ročníky 10-11.

Argument x, potom sa nazýva periodický, ak existuje číslo T také, že pre ľubovoľné x platí F(x + T) = F(x). Toto číslo T sa nazýva perióda funkcie.

Období môže byť niekoľko. Napríklad funkcia F = const má rovnakú hodnotu pre všetky hodnoty argumentu, a preto za jej periódu možno považovať akékoľvek číslo.

Zvyčajne sa zaujíma o najmenšiu nenulovú periódu funkcie. Pre stručnosť sa tomu hovorí jednoducho obdobie.

Klasickým príkladom periodických funkcií je goniometrické: sínus, kosínus a tangens. Ich perióda je rovnaká a rovná sa 2π, to znamená sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) atď. Samozrejme, goniometrické funkcie nie sú jediné periodické.

Pokiaľ ide o jednoduché základné funkcie, jediný spôsob, ako určiť ich periodicitu alebo neperiodicitu, sú výpočty. Ale pre zložité funkcie už existuje niekoľko jednoduchých pravidiel.

Ak je F(x) s periódou T a je pre ňu definovaná derivácia, potom táto derivácia f(x) = F′(x) je tiež periodická funkcia s periódou T. Koniec koncov, hodnota derivácie pri bod x sa rovná dotyčnici dotyčnice grafu jej primitívnej osi v tomto bode k osi x a keďže sa priraďovač periodicky opakuje, musí sa opakovať aj derivácia. Napríklad derivácia funkcie sin(x) je cos(x) a je periodická. Ak vezmete derivát cos(x), získate -sin(x). Periodicita zostáva nezmenená.

Opak však nie je vždy pravdou. Funkcia f(x) = const je teda periodická, ale jej primitívna funkcia F(x) = const*x + C nie je.

Ak je F(x) periodická funkcia s periódou T, potom G(x) = a*F(kx + b), kde a, b, a k sú konštanty a k sa nerovná nule – tiež periodická funkcia, a jeho perióda sa rovná T/k. Napríklad sin(2x) je periodická funkcia a jej perióda je π. Vizuálne to možno znázorniť takto: vynásobením x nejakým číslom sa zdá, že stlačíte graf funkcie horizontálne presne toľkokrát

Ak sú F1(x) a F2(x) periodické funkcie a ich periódy sa rovnajú T1 a T2, potom súčet týchto funkcií môže byť tiež periodický. Jeho obdobie však nebude jednoduchým súčtom období T1 a T2. Ak je výsledkom delenia T1/T2 racionálne číslo, potom súčet funkcií je periodický a jeho perióda sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku (LCM) periód T1 a T2. Napríklad, ak je perióda prvej funkcie 12 a perióda druhej 15, potom perióda ich súčtu bude LCM (12, 15) = 60.

Vizuálne to možno znázorniť takto: funkcie prichádzajú s rôznymi „šírkami krokov“, ale ak je pomer ich šírok racionálny, potom sa skôr alebo neskôr (alebo skôr presne prostredníctvom LCM krokov) opäť zrovnajú. , a ich súčet začne nové obdobie.

Ak je však pomer období iracionálny, potom celková funkcia nebude vôbec periodická. Napríklad nech F1(x) = x mod 2 (zvyšok x delený 2) a F2(x) = sin(x). T1 sa tu bude rovnať 2 a T2 sa rovná 2π. Pomer periód sa rovná π - iracionálne číslo. Preto funkcia sin(x) + x mod 2 nie je periodická.

Trigonometrické funkcie periodické, teda opakované po určitom období. Vo výsledku stačí naštudovať funkciu na tomto intervale a objavené vlastnosti rozšíriť na všetky ostatné obdobia.

Inštrukcia

1. Ak dostanete primitívny výraz, v ktorom existuje iba jedna goniometrická funkcia (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) a uhol vo vnútri funkcie nie je vynásobený žiadnym číslom a sám nie je zvýšený na žiadne moc - použite definíciu. Pre výrazy obsahujúce sin, cos, sec, cosec odvážne nastavte periódu na 2P a ak je v rovnici tg, ctg, potom P. Povedzme, že pre funkciu y \u003d 2 sinx + 5 bude perióda 2P .

2. Ak je uhol x pod znamienkom goniometrickej funkcie vynásobený nejakým číslom, potom, aby ste našli periódu tejto funkcie, vydeľte typickú periódu týmto číslom. Povedzme, že máte funkciu y = sin 5x. Typická perióda pre sínus je 2P, vydelením 5 dostanete 2P / 5 - to je požadovaná perióda tohto výrazu.

3. Ak chcete nájsť periódu goniometrickej funkcie umocnenej na mocninu, vyhodnoťte rovnomernosť mocniny. Pre rovnomerný stupeň skrátte periódu vzorkovania na polovicu. Povedzme, že ak dostanete funkciu y \u003d 3 cos ^ 2x, potom sa typická perióda 2P zníži 2-krát, takže perióda sa bude rovnať P. Upozorňujeme, že funkcie tg, ctg sú periodické v akomkoľvek rozsahu P .

4. Ak dostanete rovnicu obsahujúcu súčin alebo podiel 2 goniometrických funkcií, najskôr nájdite periódu pre všetky z nich samostatne. Potom nájdite minimálny počet, ktorý by vyhovoval celému počtu oboch období. Povedzme, že je daná funkcia y=tgx*cos5x. Pre dotyčnicu je perióda P, pre kosínus 5x je perióda 2P/5. Minimálny počet, ktorý je povolený pre obe tieto obdobia, je 2P, takže požadované obdobie je 2P.

5. Ak je pre vás ťažké urobiť navrhovaný spôsob alebo pochybujete o výsledku, skúste to urobiť podľa definície. Vezmite T ako periódu funkcie, je väčšia ako nula. Dosaďte do rovnice výraz (x + T) namiesto x a vyriešte výslednú rovnosť, ako keby T bol parameter alebo číslo. Výsledkom je, že nájdete hodnotu goniometrickej funkcie a budete si môcť vybrať najmenšiu periódu. Povedzme, že v dôsledku uľahčenia získate hriech identity (T / 2) \u003d 0. Minimálna hodnota T, pri ktorej sa vykonáva, je 2P a to bude výsledok úlohy.

Periodická funkcia je funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty po určitej nenulovej perióde. Perióda funkcie je číslo, ktorého pridanie do argumentu funkcie nemení hodnotu funkcie.

Budete potrebovať

• Znalosť elementárnej matematiky a začiatky prieskumu.

Inštrukcia

1. Označme periódu funkcie f(x) číslom K. Našou úlohou je nájsť túto hodnotu K. Aby sme to urobili, predstavme si, že funkcia f(x) pomocou definície periodickej funkcie rovná f (x+K)=f(x).

2. Výslednú rovnicu pre neznámu K riešime, ako keby x bola konštanta. V závislosti od hodnoty K bude niekoľko možností.

3. Ak K>0, potom je to perióda vašej funkcie. Ak K=0, funkcia f(x) nie je periodická. Ak riešenie rovnice f(x+K)=f(x) neexistuje pre akékoľvek K, ktoré sa nerovná nule, sa takáto funkcia nazýva aperiodická a tiež nemá periódu.

Podobné videá

Poznámka!
Všetky goniometrické funkcie sú periodické a všetky polynomické funkcie so stupňom väčším ako 2 sú aperiodické.

Užitočné rady
Perióda funkcie pozostávajúcej z 2 periodických funkcií je najmenším spoločným násobkom periód týchto funkcií.

Goniometrické rovnice sú rovnice, ktoré obsahujú goniometrické funkcie neznámeho argumentu (napríklad: 5sinx-3cosx =7). Aby ste sa naučili, ako ich vyriešiť, musíte poznať niektoré metódy.

Inštrukcia

1. Riešenie takýchto rovníc pozostáva z 2 etáp. Prvou je pretvorenie rovnice do jej najjednoduchšieho tvaru. Najjednoduchšie goniometrické rovnice sa nazývajú: Sinx=a; cosx=a atď.

2. Druhým je riešenie získanej najjednoduchšej goniometrickej rovnice. Existujú základné spôsoby riešenia rovníc tohto druhu: Riešenie algebraickým spôsobom. Táto metóda je známa už zo školy, z kurzu algebry. Inak sa nazýva metóda nahradenia premennej a dosadenia. Použitím redukčných vzorcov transformujeme, urobíme náhradu, po ktorej nájdeme korene.

3. Rozklad rovnice na faktory. Najprv prenesieme všetky pojmy doľava a rozložíme na faktory.

4. Uvedenie rovnice do homogénnej podoby. Rovnice sa nazývajú homogénne rovnice, ak sú všetky členy rovnakého stupňa a sínus a kosínus majú rovnaký uhol Aby ste to vyriešili, mali by ste: najprv preniesť všetky jej členy z pravej strany na ľavú; presunúť všetky spoločné faktory zo zátvoriek; prirovnať faktory a zátvorky k nule; zhodné zátvorky poskytujú homogénnu rovnicu menšieho stupňa, ktorá by sa mala deliť cos (alebo sin) vo vyššej miere; vyriešiť výslednú algebraickú rovnicu pre tan.

5. Ďalším spôsobom je ísť do polovičného rohu. Povedzte, vyriešte rovnicu: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Prejdime na polovičný uhol: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 hriechov? (x / 2) = 7 sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , potom zredukujeme všetky členy na jednu časť (inak doprava) a vyriešime rovnicu.

6. Pomocný rohový vstup. Keď nahradíme celočíselnú hodnotu cos(a) alebo sin(a). Znamienko "a" je pomocný uholník.

7. Spôsob, ako preformátovať produkt na sumu. Tu je potrebné použiť príslušné vzorce. Povedzme dané: 2 sin x sin 3x = cos 4x Riešime to tak, že ľavú stranu prevedieme na súčet, teda: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p/16 + pk/8.

8. Posledný spôsob, nazývaný multifunkčná substitúcia. Výraz transformujeme a urobíme substitúciu, povedzme Cos(x/2)=u, potom vyriešime rovnicu s parametrom u. Pri získavaní súčtu prevedieme hodnotu na opak.

Podobné videá

Ak uvažujeme body na kružnici, potom body x, x + 2π, x + 4π atď. zápas medzi sebou. Takže trigonometrické funkcie na priamke pravidelne zopakujte ich význam. Ak je obdobie slávne funkcie, je dovolené postaviť funkciu na tomto období a opakovať ho na iných.

Inštrukcia

1. Perióda je číslo T také, že f(x) = f(x+T). Ak chcete nájsť periódu, vyriešte zodpovedajúcu rovnicu a dosaďte x a x + T ako argument. V tomto prípade sa používajú dobre známe obdobia pre funkcie. Pre funkcie sínus a kosínus je perióda 2π a pre dotyčnicu a kotangens je to π.

2. Nech je daná funkcia f(x) = sin^2(10x). Uvažujme výraz sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Na zníženie stupňa použite vzorec: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Potom získajte 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) alebo cos 20x = cos (20x+20T). S vedomím, že perióda kosínusu je 2π, 20T = 2π. Preto T = π/10. T je minimálna správna perióda a funkcia sa zopakuje po 2T a po 3T a v opačnom smere pozdĺž osi: -T, -2T atď.

Užitočné rady
Použite vzorce na zníženie stupňa funkcie. Ak ste viac oboznámení s obdobiami niektorých funkcií, skúste existujúcu funkciu zredukovať na známe.

Nájdenie funkcie pre párne a nepárne pomáha vytvoriť graf funkcie a pochopiť povahu jej správania. Pre tento výskum je potrebné porovnať danú funkciu napísanú pre argument „x“ a pre argument „-x“.

Inštrukcia

1. Napíšte funkciu, ktorú chcete preskúmať, ako y=y(x).

2. Nahraďte argument funkcie znakom "-x". Dosaďte tento argument do funkčného výrazu.

3. Zjednodušte výraz.

4. Takto ste dostali rovnakú funkciu napísanú pre argumenty "x" a "-x". Pozrite sa na tieto dva záznamy. Ak y(-x)=y(x), ide o párnu funkciu. Ak y(-x)=-y(x), ide o nepárnu funkciu. Ak nie je možné povedzme o funkcii, že y (-x)=y(x) alebo y(-x)=-y(x), potom je to podľa vlastnosti parity funkcia univerzálneho tvaru. To znamená, že nie je párne ani nepárne.

5. Zapíšte si výsledky. Teraz ich môžete použiť pri vykresľovaní grafu funkcie alebo pri budúcom analytickom hľadaní vlastností funkcie.

6. O párnych a nepárnych funkciách možno hovoriť aj v prípade, keď je graf funkcie bližšie definovaný. Povedzme, že graf bol výsledkom fyzikálneho experimentu. Ak je graf funkcie symetrický okolo osi y, potom y(x) je párna funkcia. Ak je graf funkcie symetrický okolo osi x, potom x(y) ) je párna funkcia. x(y) je inverzná funkcia y(x).Ak je graf funkcie symetrický okolo počiatku (0,0), potom y(x) je nepárna funkcia. Inverzná funkcia x(y) bude tiež nepárna.

7. Je dôležité si uvedomiť, že koncept párnej a nepárnej funkcie má priamy vzťah s doménou funkcie. Ak povedzme párna alebo nepárna funkcia neexistuje pre x=5, potom neexistuje pre x=-5, čo sa nedá povedať o funkcii všeobecného tvaru. Pri zakladaní párnych a nepárnych dávajte pozor na doménu funkcie.

8. Vyhľadávanie párnych a nepárnych funkcií koreluje s hľadaním množiny hodnôt funkcií. Na nájdenie množiny hodnôt párnej funkcie stačí vidieť polovicu funkcie, vpravo alebo vľavo od nuly. Ak pre x>0 párna funkcia y(x) nadobúda hodnoty od A do B, potom bude mať rovnaké hodnoty pre x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 nepárna funkcia y(x) má rozsah hodnôt od A do B, potom pre x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

„Trigonometriou“ sa kedysi začali nazývať funkcie, ktoré sú určené závislosťou ostrých uhlov v pravouhlom trojuholníku od dĺžok jeho strán. Tieto funkcie zahŕňajú predovšetkým sínus a kosínus a po druhé sekans a kosekans, ktoré sú inverzné k týmto funkciám, ich tangens a kotangens deriváty, ako aj inverzné funkcie arcsínus, arkkozín atď. pozitívnejšie hovoriť nie o „riešení“ takýchto funkcií, ale o ich „výpočte“, teda o nájdení číselnej hodnoty.

Inštrukcia

1. Ak je argument goniometrickej funkcie neznámy, potom je dovolené vypočítať jej hodnotu nepriamou metódou založenou na definíciách týchto funkcií. Na to potrebujete poznať dĺžky strán trojuholníka, goniometrickú funkciu pre jeden z uhlov, ktoré chcete vypočítať. Povedzme, podľa definície, sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky nohy oproti tomuto uhlu k dĺžke prepony. Z toho vyplýva, že na nájdenie sínusu uhla stačí poznať dĺžky týchto 2 strán. Podobná definícia hovorí, že sínus ostrého uhla je pomer dĺžky nohy susediacej s týmto uhlom k dĺžke prepony. Tangenta ostrého uhla sa dá vypočítať vydelením dĺžky protiľahlého ramena dĺžkou susedného ramena a kotangens vyžaduje vydelenie dĺžky priľahlého ramena dĺžkou protiľahlého ramena. Ak chcete vypočítať sečnicu ostrého uhla, musíte nájsť pomer dĺžky prepony k dĺžke nohy susediacej s požadovaným uhlom a kosekans je určený pomerom dĺžky prepony k dĺžke. opačnej nohy.

2. Ak sa argument goniometrickej funkcie vykoná, potom nie je potrebné poznať dĺžky strán trojuholníka - je dovolené používať tabuľky hodnôt alebo kalkulačky goniometrických funkcií. Takáto kalkulačka patrí medzi štandardné programy operačného systému Windows. Ak ho chcete spustiť, stlačte kombináciu klávesov Win + R, zadajte príkaz calc a kliknite na tlačidlo OK. V rozhraní programu otvorte sekciu "Zobraziť" a vyberte položku "Inžinierstvo" alebo "Vedec". Neskôr je dovolené zaviesť argument goniometrickej funkcie. Ak chcete vypočítať funkcie sínus, kosínus a tangens, radšej po zadaní hodnoty kliknite na príslušné tlačidlo rozhrania (sin, cos, tg) a ak chcete zistiť ich prevrátené hodnoty arksínusu, arkkozínu a arkustangensu, vopred zaškrtnite políčko Inv.

3. Existujú aj alternatívne metódy. Jedným z nich je prejsť na stránku vyhľadávača Nigma alebo Google a zadať požadovanú funkciu a jej argument (povedzme sin 0,47) ako vyhľadávací dopyt. Tieto vyhľadávače majú zabudované kalkulačky, preto po odoslaní takejto požiadavky dostanete hodnotu vami zadanej goniometrickej funkcie.

Podobné videá

Tip 7: Ako zistiť hodnotu goniometrických funkcií

Goniometrické funkcie sa prvýkrát objavili ako nástroje na abstraktné matematické výpočty závislostí veľkostí ostrých uhlov v pravouhlom trojuholníku na dĺžkach jeho strán. Teraz sú široko používané vo vedeckých aj technických oblastiach ľudskej činnosti. Na utilitárne výpočty goniometrických funkcií z daných argumentov je dovolené používať rôzne nástroje - niektoré z najdostupnejších z nich sú popísané nižšie.

Inštrukcia

1. Použite, povedzme, program kalkulačky nainštalovaný štandardne s operačným systémom. Otvára sa výberom položky „Kalkulačka“ v priečinku „Pomôcky“ z podsekcie „Typické“, ktorá sa nachádza v časti „Všetky programy“. Túto časť nájdete otvorením hlavnej ponuky operačného systému kliknutím na tlačidlo "Štart". Ak používate verziu Windows 7, môžete primitívne zadať slovo „Kalkulačka“ do poľa „Rozpoznať programy a súbory“ v hlavnej ponuke a potom kliknúť na príslušný odkaz vo výsledkoch vyhľadávania.

2. Zadajte hodnotu uhla, pre ktorý chcete vypočítať trigonometrickú funkciu, a potom kliknite na tlačidlo zodpovedajúce tejto funkcii - sin, cos alebo tan. Ak vás znepokojujú inverzné goniometrické funkcie (arksínus, arkozínus alebo arkustangens), potom najskôr kliknite na tlačidlo označené Inv – obráti funkcie priradené k ovládacím tlačidlám kalkulačky.

3. V starších verziách operačného systému (povedzme Windows XP) musíte na prístup k trigonometrickým funkciám otvoriť časť „Zobraziť“ v ponuke kalkulačky a uprednostniť riadok „Inžinierstvo“. Okrem toho namiesto tlačidla Inv v rozhraní starých verzií programu je začiarkavacie políčko s rovnakým nápisom.

4. Ak máte prístup na internet, môžete sa zaobísť bez kalkulačky. Na webe je veľa služieb, ktoré ponúkajú rôzne usporiadané kalkulačky goniometrických funkcií. Jedna obzvlášť praktická možnosť je zabudovaná do vyhľadávacieho nástroja Nigma. Po prechode na hlavnú stránku primitívne zadajte do poľa vyhľadávacieho dopytu hodnotu, ktorá vás vzrušuje - povedzme „oblúkový tangens 30 stupňov“. Po stlačení tlačidla "Objaviť!" vyhľadávač vypočíta a zobrazí výsledok výpočtu - 0,482347907101025.

Podobné videá

Trigonometria je odvetvie matematiky na pochopenie funkcií, ktoré vyjadrujú rôzne závislosti strán pravouhlého trojuholníka od veľkostí ostrých uhlov v prepone. Takéto funkcie sa nazývajú goniometrické a na uľahčenie práce s nimi boli odvodené goniometrické funkcie. identity .

Výkon identity v matematike označuje rovnosť, ktorá je splnená pre všetky hodnoty argumentov funkcií, ktoré sú v nej zahrnuté. Trigonometrické identity- ide o rovnosti goniometrických funkcií, potvrdené a prijaté na zjednodušenie práce s goniometrickými vzorcami Goniometrická funkcia je elementárna funkcia závislosti jednej z ramien pravouhlého trojuholníka na veľkosti ostrého uhla v prepone. Častejšie sa používa šesť základných goniometrických funkcií: sin (sínus), cos (kosínus), tg (tangens), ctg (kotangens), sec (sekant) a cosec (kosekant). Tieto funkcie sa nazývajú priame, existujú aj inverzné funkcie, povedzme, sínus - arksínus, kosínus - arkkozín atď. Pôvodne sa trigonometrické funkcie odrazili v geometrii, potom sa rozšírili do ďalších oblastí vedy: fyzika, chémia, geografia, optika , teória pravdepodobnosti , ako aj akustika, hudobná teória, fonetika, počítačová grafika a mnohé ďalšie. Teraz je už ťažšie predstaviť si matematické výpočty bez týchto funkcií, hoci v dávnej minulosti sa používali len v astronómii a architektúre. identity sa používajú na zjednodušenie práce s dlhými trigonometrickými vzorcami a ich uvedenie do stráviteľnej podoby. Existuje šesť základných goniometrických identít, ktoré sú spojené s priamymi goniometrickými funkciami: tg ? = hriech?/cos?; hriech^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; hriech (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d hriech?. Tieto identityľahko potvrdiť z vlastností pomeru strán a uhlov v pravouhlom trojuholníku: sin ? = BC/AC = b/c; pretože = AB/AC = a/c; tg? = b/a Prvá identita tg ? = hriech?/čo? vyplýva z pomeru strán v trojuholníku a vylúčenia strany c (hypotenza) pri delení hriechu cos. Rovnakým spôsobom je definovaná identita ctg? = cos ?/sin ?, pretože ctg ? = 1/tg ?. Podľa Pytagorovej vety a^2 + b^2 = c^2. Vydelíme túto rovnosť c^2, dostaneme druhú identitu: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => hriech^2 ? + cos^2 ? = 1.Tretia a štvrtá identity dostane delením b^2 a a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?; 1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2? = 1/sin^ ? alebo 1 + ctg^2 ? \u003d 1 / hriech ^ 2?. Piaty a šiesty hlavný identity sa dokazujú určením súčtu ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka, ktorý sa rovná 90° alebo?/2. Náročnejšie trigonometrické identity: vzorce na sčítanie argumentov, dvojitých a trojitých uhlov, znižovanie stupňa, reformovanie súčtu alebo súčinu funkcií, ako aj goniometrické substitučné vzorce, konkrétne vyjadrenia hlavných goniometrických funkcií v polovičnom uhle tg: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Potreba nájsť minimum význam matematický funkcie má skutočný záujem na riešení aplikovaných problémov, povedzme v ekonómii. Obrovský význam pre podnikateľskú činnosť má minimalizáciu strát.

Inštrukcia

1. Aby ste našli minimum význam funkcie, treba určiť, pri akej hodnote argumentu x0 bude splnená nerovnosť y(x0)? y(x), kde x? x0. Ako obvykle, tento problém sa rieši v určitom intervale alebo v každom rozsahu hodnôt funkcie, ak jeden nie je nastavený. Jedným z aspektov riešenia je hľadanie pevných bodov.

2. Stacionárny bod sa nazýva význam argument, že derivát funkcie ide na nulu. Podľa Fermatovej vety, ak diferencovateľná funkcia naberie extrém význam v určitom bode (v tomto prípade lokálne minimum), potom je tento bod stacionárny.

3. Minimum význam funkcia často trvá presne v tomto bode, avšak nie vždy ju možno určiť. Navyše nie vždy sa dá presne povedať, čo je minimum funkcie alebo prijme nekonečne malý význam. Potom, ako obvykle, nájdu hranicu, ku ktorej to pri klesaní gravituje.

4. Aby bolo možné určiť minim význam funkcie, je potrebné vykonať postupnosť akcií pozostávajúcu zo štyroch etáp: nájdenie domény definície funkcie, získavanie pevných bodov, prehľad hodnôt funkcie v týchto bodoch a na koncoch medzery detekcia minima.

5. Ukazuje sa, že nech je daná nejaká funkcia y(x) na intervale s hranicami v bodoch A a B. Nájdite jej definičný obor a zistite, či je interval jej podmnožinou.

6. Vypočítať derivát funkcie. Prirovnajte výsledný výraz k nule a nájdite korene rovnice. Skontrolujte, či tieto stacionárne body spadajú do intervalu. Ak nie, potom sa v ďalšej fáze neberú do úvahy.

7. Pozrite sa na medzeru pre typ hraníc: otvorené, uzavreté, zložené alebo bezrozmerné. Záleží na tom, ako nájdete minimum význam. Povedzme, že segment [A, B] je uzavretý interval. Dosaďte ich do funkcie a vypočítajte hodnoty. Urobte to isté so stacionárnym bodom. Vyberte najmenší súčet.

8. S otvorenými a bezhraničnými intervalmi je situácia o niečo zložitejšia. Tu treba hľadať jednostranné limity, ktoré nedávajú vždy jednoznačný výsledok. Povedzme, že pre interval s jednou uzavretou a jednou prerušenou hranicou [A, B) by sme mali nájsť funkciu v x = A a jednostrannú limitnú hranicu y v x? B-0.