Pytagorova veta: Druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhej mocniny nôh. Začnite vo vede formulácia Pytagorovej vety a dôkaz Pytagorových trojuholníkov

Pytagorova veta hovorí:

V pravouhlom trojuholníku sa súčet štvorcov nôh rovná štvorcu prepony:

a2 + b2 = c2,

• a A b– nohy zvierajúce pravý uhol.
• s– prepona trojuholníka.

Vzorce Pytagorovej vety

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Dôkaz Pytagorovej vety

Plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca:

S = \frac(1)(2) ab

Na výpočet plochy ľubovoľného trojuholníka je vzorec oblasti:

• p– poloobvod. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
• r– polomer vpísanej kružnice. Pre obdĺžnik r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Potom vyrovnáme pravé strany oboch vzorcov pre oblasť trojuholníka:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Premeňte Pytagorovu vetu:

Ak sa štvorec jednej strany trojuholníka rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán, potom je trojuholník pravouhlý. Teda pre akúkoľvek trojicu kladných čísel a, b A c, také že

a2 + b2 = c2,

existuje pravouhlý trojuholník s nohami a A b a preponu c.

Pytagorova veta- jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie, stanovujúca vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Dokázal to učený matematik a filozof Pytagoras.

Význam vety Ide o to, že sa dá použiť na dokazovanie iných teorémov a riešenie problémov.

Dodatočný materiál:

Uistite sa, že zadaný trojuholník je pravouhlý, pretože Pytagorova veta platí len pre pravouhlé trojuholníky. V pravouhlých trojuholníkoch má jeden z troch uhlov vždy 90 stupňov.

• Pravý uhol v pravouhlom trojuholníku je označený štvorcovou ikonou a nie krivkou, ktorá predstavuje šikmé uhly.

Označte strany trojuholníka. Označte nohy ako „a“ a „b“ (nohy sú strany, ktoré sa pretínajú v pravom uhle) a preponu ako „c“ (prepona je najväčšia strana pravouhlého trojuholníka, ktorá leží oproti pravému uhlu).

Určite, ktorú stranu trojuholníka chcete nájsť. Pytagorova veta vám umožňuje nájsť ľubovoľnú stranu pravouhlého trojuholníka (ak sú známe ďalšie dve strany). Určite, ktorú stranu (a, b, c) potrebujete nájsť.

• Napríklad, ak je prepona rovná 5 a noha je rovná 3. V tomto prípade je potrebné nájsť druhú vetvu. K tomuto príkladu sa vrátime neskôr.
• Ak sú ďalšie dve strany neznáme, musíte nájsť dĺžku jednej z neznámych strán, aby ste mohli použiť Pytagorovu vetu. Na to použite základné goniometrické funkcie (ak je vám daná hodnota jedného zo šikmých uhlov).

Dosaďte hodnoty, ktoré ste dostali (alebo hodnoty, ktoré ste našli) do vzorca a 2 + b 2 = c 2. Pamätajte, že a a b sú nohy a c je prepona.

• V našom príklade napíšte: 3² + b² = 5².

Štvorte každú známu stranu. Alebo nechajte mocniny – čísla môžete odmocniť neskôr.

• V našom príklade napíšte: 9 + b² = 25.

Izolujte neznámu stranu na jednej strane rovnice. Za týmto účelom preneste známe hodnoty na druhú stranu rovnice. Ak nájdete preponu, tak v Pytagorovej vete je už izolovaná na jednej strane rovnice (takže nemusíte nič robiť).

• V našom príklade presuňte 9 na pravú stranu rovnice, aby ste izolovali neznámu b². Dostanete b² = 16.

Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice. V tomto štádiu je na jednej strane rovnice neznáma (druhá mocnina) a na druhej strane neznámy člen (číslo).

• V našom príklade je b² = 16. Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice a získajte b = 4. Takže druhá vetva sa rovná 4 .

Použite Pytagorovu vetu vo svojom každodennom živote, pretože ju možno aplikovať na širokú škálu praktických situácií. Aby ste to dosiahli, naučte sa rozpoznávať pravouhlé trojuholníky v každodennom živote - v akejkoľvek situácii, v ktorej sa dva predmety (alebo čiary) pretínajú v pravom uhle a tretí predmet (alebo čiara) spája (diagonálne) vrcholy prvých dvoch predmetov (alebo čiary), môžete použiť Pytagorovu vetu na nájdenie neznámej strany (ak sú ostatné dve strany známe).

• Príklad: dané schodisko opreté o budovu. Spodná časť schodiska je 5 metrov od základne steny. Horná časť schodiska je 20 metrov od zeme (hore po stene). Aká je dĺžka schodov?
  • „5 metrov od základne steny“ znamená, že a = 5; „umiestnené 20 metrov od zeme“ znamená, že b = 20 (to znamená, že máte dve nohy pravouhlého trojuholníka, pretože stena budovy a povrch Zeme sa pretínajú v pravom uhle). Dĺžka schodiska je dĺžka prepony, ktorá nie je známa.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Takže približná dĺžka rebríka je 20,6 metra.

Príbeh

Chu-pei 500-200 pred Kristom. Vľavo je nápis: súčet druhých mocnín dĺžok výšky a základne je druhá mocnina dĺžky prepony.

V starej čínskej knihe Chu-pei ( Angličtina) (čínsky 周髀算經) hovorí o pytagorejskom trojuholníku so stranami 3, 4 a 5. Tá istá kniha ponúka kresbu, ktorá sa zhoduje s jednou z nákresov hinduistickej geometrie Bashara.

Okolo roku 400 pred Kr. BC, podľa Prokla, Platón dal metódu na nájdenie pytagorejských trojíc, kombinovaním algebry a geometrie. Okolo roku 300 pred Kr. e. Najstarší axiomatický dôkaz Pytagorovej vety sa objavil v Euklidových Prvkoch.

Formulácie

Geometrické zloženie:

Pôvodne bola veta formulovaná takto:

Algebraická formulácia:

To znamená, že dĺžku prepony trojuholníka označíme a dĺžky nôh označíme a:

Obe formulácie vety sú ekvivalentné, ale druhá formulácia je elementárnejšia, nevyžaduje pojem plochy. To znamená, že druhé tvrdenie možno overiť bez toho, aby sme vedeli čokoľvek o ploche a meraním iba dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.

Premeňte Pytagorovu vetu:

Pre každú trojicu kladných čísel , a , Tak, že , existuje pravouhlý trojuholník s nohami a a prepona .

Dôkaz

V súčasnosti je vo vedeckej literatúre zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne je Pytagorova veta jedinou vetou s takým pôsobivým počtom dôkazov. Takáto rozmanitosť sa dá vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.

Samozrejme, koncepčne všetky možno rozdeliť do malého počtu tried. Najznámejšie z nich: dôkazy plošnou metódou, axiomatické a exotické dôkazy (napríklad pomocou diferenciálnych rovníc).

Cez podobné trojuholníky

Nasledujúci dôkaz algebraickej formulácie je najjednoduchší z dôkazov, skonštruovaný priamo z axióm. Najmä nepoužíva pojem plochy postavy.

Nechaj ABC existuje pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C. Nakreslíme výšku od C a jeho základňu označíme H. Trojuholník ACH podobný trojuholníku ABC v dvoch rohoch. Rovnako aj trojuholník CBH podobný ABC. Zavedením notového zápisu

dostaneme

Čo je ekvivalentné

Keď to zrátame, dostaneme

, čo bolo potrebné dokázať

Dôkazy plošnou metódou

Nižšie uvedené dôkazy, napriek ich zjavnej jednoduchosti, nie sú vôbec také jednoduché. Všetky využívajú vlastnosti plochy, ktorých dôkaz je zložitejší ako dôkaz samotnej Pytagorovej vety.

Dôkaz prostredníctvom ekvikomplementácie

1. Usporiadajme štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, ako je znázornené na obrázku 1.
2. Štvoruholník so stranami c je štvorec, pretože súčet dvoch ostrých uhlov je 90° a priamy uhol je 180°.
3. Plocha celého obrázku sa rovná na jednej strane ploche štvorca so stranou (a + b) a na druhej strane súčtu plôch štyroch trojuholníkov a plocha vnútorného námestia.

Q.E.D.

Euklidov dôkaz

Myšlienka Euklidovho dôkazu je nasledovná: skúsme dokázať, že polovica plochy štvorca postaveného na prepone sa rovná súčtu polovičných plôch štvorcov postavených na nohách a potom plôch veľké a dva malé štvorce sú rovnaké.

Pozrime sa na nákres vľavo. Na ňom sme zostrojili štvorce na stranách pravouhlého trojuholníka a nakreslili lúč s z vrcholu pravého uhla C kolmo na preponu AB, rozreže štvorec ABIK, postavený na prepone, na dva obdĺžniky - BHJI a HAKJ, resp. Ukazuje sa, že plochy týchto obdĺžnikov sú presne rovnaké ako plochy štvorcov postavených na zodpovedajúcich nohách.

Skúsme dokázať, že plocha štvorca DECA sa rovná ploche obdĺžnika AHJK. Na to použijeme pomocné pozorovanie: Plocha trojuholníka s rovnakou výškou a základňou ako daný obdĺžnik sa rovná polovici plochy daného obdĺžnika. Je to dôsledok definovania plochy trojuholníka ako polovice súčinu základne a výšky. Z tohto pozorovania vyplýva, že plocha trojuholníka ACK sa rovná ploche trojuholníka AHK (na obrázku nie je znázornená), čo sa zase rovná polovici plochy obdĺžnika AHJK.

Dokážme teraz, že plocha trojuholníka ACK sa tiež rovná polovici plochy štvorca DECA. Jediná vec, ktorú je potrebné urobiť, je dokázať rovnosť trojuholníkov ACK a BDA (pretože plocha trojuholníka BDA sa rovná polovici plochy štvorca podľa vyššie uvedenej vlastnosti). Táto rovnosť je zrejmá: trojuholníky sú rovnaké na oboch stranách a uhol medzi nimi. Totiž - AB=AK, AD=AC - rovnosť uhlov CAK a BAD sa dá ľahko dokázať metódou pohybu: trojuholník CAK otočíme o 90° proti smeru hodinových ručičiek, potom je zrejmé, že zodpovedajúce strany dvoch trojuholníkov v otázka sa bude zhodovať (vzhľadom na skutočnosť, že uhol vo vrchole štvorca je 90°).

Zdôvodnenie rovnosti plôch štvorca BCFG a obdĺžnika BHJI je úplne podobné.

Dokázali sme teda, že plocha štvorca postaveného na prepone je zložená z plôch štvorcov postavených na nohách. Myšlienku tohto dôkazu ďalej ilustruje animácia vyššie.

Dôkaz Leonarda da Vinciho

Hlavnými prvkami dôkazu sú symetria a pohyb.

Zoberme si výkres, ako je zrejmé zo symetrie, segment rozreže štvorec na dve rovnaké časti (pretože trojuholníky sú v konštrukcii rovnaké).

Použitím 90-stupňového otočenia proti smeru hodinových ručičiek okolo bodu vidíme rovnosť tieňovaných číslic a.

Teraz je jasné, že plocha postavy, ktorú sme zatienili, sa rovná súčtu polovice plôch malých štvorcov (postavených na nohách) a plochy pôvodného trojuholníka. Na druhej strane sa rovná polovici plochy veľkého štvorca (postaveného na prepone) plus plocha pôvodného trojuholníka. Polovica súčtu plôch malých štvorcov sa teda rovná polovici plochy veľkého štvorca, a preto sa súčet plôch štvorcov postavených na nohách rovná ploche štvorca postaveného na hypotenzia.

Dôkaz infinitezimálnou metódou

Nasledujúci dôkaz pomocou diferenciálnych rovníc sa často pripisuje slávnemu anglickému matematikovi Hardymu, ktorý žil v prvej polovici 20. storočia.

Pri pohľade na výkres zobrazený na obrázku a pozorovaní zmeny strany a, môžeme napísať nasledujúci vzťah pre infinitezimálne prírastky strán s A a(pomocou podobnosti trojuholníkov):

Pomocou metódy separácie premenných nájdeme

Všeobecnejšie vyjadrenie pre zmenu prepony v prípade prírastkov na oboch stranách

Integráciou tejto rovnice a použitím počiatočných podmienok dostaneme

Tak sa dostávame k želanej odpovedi

Ako je ľahké vidieť, kvadratická závislosť v konečnom vzorci sa objavuje v dôsledku lineárnej úmernosti medzi stranami trojuholníka a prírastkami, zatiaľ čo súčet je spojený s nezávislými príspevkami z prírastku rôznych častí.

Jednoduchší dôkaz možno získať, ak predpokladáme, že jedna z nôh nezaznamená prírastok (v tomto prípade noha). Potom pre integračnú konštantu dostaneme

Variácie a zovšeobecnenia

Podobné geometrické tvary na troch stranách

Zovšeobecnenie pre podobné trojuholníky, plocha zelených tvarov A + B = plocha modrej C

Pytagorova veta s použitím podobných pravouhlých trojuholníkov

Euklides vo svojom diele zovšeobecnil Pytagorovu vetu Začiatky, rozšírenie plôch štvorcov po stranách na plochy podobných geometrických útvarov:

Ak zostrojíme podobné geometrické útvary (pozri euklidovská geometria) na stranách pravouhlého trojuholníka, potom sa súčet dvoch menších útvarov bude rovnať ploche väčšieho útvaru.

Hlavnou myšlienkou tohto zovšeobecnenia je, že plocha takéhoto geometrického útvaru je úmerná štvorcu ľubovoľného z jeho lineárnych rozmerov a najmä štvorcu dĺžky ktorejkoľvek strany. Preto pre podobné čísla s plochami A, B A C postavené na stranách s dĺžkou a, b A c, máme:

Ale podľa Pytagorovej vety, a 2 + b 2 = c 2 potom A + B = C.

A naopak, ak to dokážeme A + B = C pre tri podobné geometrické útvary bez použitia Pytagorovej vety, potom dokážeme samotnú vetu, ktorá sa pohybuje v opačnom smere. Napríklad začiatočný stredový trojuholník možno znova použiť ako trojuholník C na prepone a dva podobné pravouhlé trojuholníky ( A A B), postavené na ďalších dvoch stranách, ktoré sú tvorené delením stredového trojuholníka jeho výškou. Súčet plôch dvoch menších trojuholníkov sa teda zjavne rovná ploche tretieho A + B = C a vykonaním predchádzajúceho dôkazu v opačnom poradí dostaneme Pytagorovu vetu a 2 + b 2 = c 2 .

Kosínusová veta

Pytagorova veta je špeciálnym prípadom všeobecnejšej kosínusovej vety, ktorá spája dĺžky strán v ľubovoľnom trojuholníku:

kde θ je uhol medzi stranami a A b.

Ak je θ 90 stupňov, potom cos θ = 0 a vzorec sa zjednoduší na obvyklú Pytagorovu vetu.

Voľný trojuholník

Do ľubovoľného vybraného rohu ľubovoľného trojuholníka so stranami a, b, c Opíšme rovnoramenný trojuholník tak, že rovnaké uhly na jeho základni θ sa rovnajú zvolenému uhlu. Predpokladajme, že zvolený uhol θ leží oproti označenej strane c. V dôsledku toho sme dostali trojuholník ABD s uhlom θ, ktorý je umiestnený oproti strane a a večierky r. Druhý trojuholník tvorí uhol θ, ktorý sa nachádza oproti strane b a večierky s dĺžka s, ako je znázornené na obrázku. Thabit Ibn Qurra tvrdil, že strany v týchto troch trojuholníkoch spolu súvisia takto:

Keď sa uhol θ približuje k π/2, základňa rovnoramenného trojuholníka sa zmenšuje a dve strany r a s sa čoraz menej prekrývajú. Keď θ = π/2, ADB sa zmení na pravouhlý trojuholník, r + s = c a získame počiatočnú Pytagorovu vetu.

Pozrime sa na jeden z argumentov. Trojuholník ABC má rovnaké uhly ako trojuholník ABD, ale v opačnom poradí. (Dva trojuholníky majú spoločný uhol vo vrchole B, oba majú uhol θ a tiež majú rovnaký tretí uhol na základe súčtu uhlov trojuholníka) V súlade s tým je ABC podobný odrazu ABD trojuholníka DBA, pretože znázornené na spodnom obrázku. Zapíšme si vzťah medzi protiľahlými stranami a stranami susediacimi s uhlom θ,

Tiež odraz iného trojuholníka,

Vynásobme zlomky a sčítajme tieto dva pomery:

Q.E.D.

Zovšeobecnenie pre ľubovoľné trojuholníky pomocou rovnobežníkov

Zovšeobecnenie pre ľubovoľné trojuholníky,
zelená plocha parcela = plocha Modrá

Dôkaz tézy, že na obrázku vyššie

Urobme ďalšie zovšeobecnenie pre iné ako pravouhlé trojuholníky použitím rovnobežníkov na troch stranách namiesto štvorcov. (štvorčeky sú špeciálny prípad.) Horný obrázok ukazuje, že pre ostrý trojuholník sa plocha rovnobežníka na dlhej strane rovná súčtu rovnobežníkov na ostatných dvoch stranách za predpokladu, že rovnobežník na dlhej strane strana je konštruovaná tak, ako je znázornené na obrázku (rozmery označené šípkami sú rovnaké a určujú strany spodného rovnobežníka). Toto nahradenie štvorcov rovnobežníkmi má jasnú podobnosť s pôvodnou Pythagorovou vetou, o ktorej sa predpokladá, že ju sformuloval Pappus z Alexandrie v roku 4 nášho letopočtu. e.

Spodný obrázok ukazuje priebeh dôkazu. Pozrime sa na ľavú stranu trojuholníka. Ľavý zelený rovnobežník má rovnakú plochu ako ľavá strana modrého rovnobežníka, pretože majú rovnakú základňu b a výška h. Navyše, ľavý zelený rovnobežník má rovnakú plochu ako ľavý zelený rovnobežník na hornom obrázku, pretože majú spoločnú základňu (ľavá horná strana trojuholníka) a spoločnú výšku kolmú na túto stranu trojuholníka. Použitím podobného uvažovania pre pravú stranu trojuholníka dokážeme, že spodný rovnobežník má rovnakú plochu ako dva zelené rovnobežníky.

Komplexné čísla

Pytagorova veta sa používa na nájdenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi v karteziánskom súradnicovom systéme a táto veta platí pre všetky skutočné súradnice: vzdialenosť s medzi dvoma bodmi ( a, b) A ( c,d) sa rovná

So vzorcom nie sú žiadne problémy, ak sa s komplexnými číslami zaobchádza ako s vektormi s reálnymi zložkami X + ja y = (X, r). . Napríklad vzdialenosť s medzi 0 + 1 i a 1 + 0 i vypočítaný ako modul vektora (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), alebo

Pri operáciách s vektormi so zložitými súradnicami je však potrebné vykonať určité vylepšenia Pytagorovho vzorca. Vzdialenosť medzi bodmi s komplexnými číslami ( a, b) A ( c, d); a, b, c, A d všetko zložité, formulujeme pomocou absolútnych hodnôt. Vzdialenosť s na základe rozdielu vektorov (a − c, b − d) v nasledujúcom tvare: nech rozdiel a − c = p+i q, Kde p- skutočná časť rozdielu, q je imaginárna časť a i = √(−1). Rovnako tak nech b − d = r+i s. potom:

kde je komplexne konjugované číslo pre . Napríklad vzdialenosť medzi bodmi (a, b) = (0, 1) A (c, d) = (i, 0) , vypočítajme rozdiel (a − c, b − d) = (−i, 1) a výsledok by bol 0, ak by sa nepoužili komplexné konjugáty. Preto pomocou vylepšeného vzorca dostaneme

Modul je definovaný nasledovne:

Stereometria

Významným zovšeobecnením Pytagorovej vety pre trojrozmerný priestor je de Goyova veta, pomenovaná po J.-P. de Gois: ak má štvorsten pravý uhol (ako v kocke), potom sa štvorec plochy oproti pravému uhlu rovná súčtu štvorcov plôch ostatných troch plôch. Tento záver možno zhrnúť ako „ n-rozmerná Pytagorova veta":

Pytagorova veta v trojrozmernom priestore spája uhlopriečku AD s tromi stranami.

Ďalšie zovšeobecnenie: Pytagorovu vetu možno aplikovať na stereometriu v nasledujúcej forme. Zvážte pravouhlý rovnobežnosten, ako je znázornené na obrázku. Nájdite dĺžku uhlopriečky BD pomocou Pytagorovej vety:

kde tri strany tvoria pravouhlý trojuholník. Na zistenie dĺžky uhlopriečky AD použijeme vodorovnú uhlopriečku BD a zvislú hranu AB, na to opäť použijeme Pytagorovu vetu:

alebo ak všetko napíšeme do jednej rovnice:

Tento výsledok je trojrozmerným vyjadrením na určenie veľkosti vektora v(uhlopriečka AD), vyjadrená ako jej kolmé zložky ( v k ) (tri vzájomne kolmé strany):

Túto rovnicu možno považovať za zovšeobecnenie Pytagorovej vety pre viacrozmerný priestor. Výsledkom však v skutočnosti nie je nič iné ako opakovaná aplikácia Pytagorovej vety na postupnosť pravouhlých trojuholníkov v postupne kolmých rovinách.

Vektorový priestor

V prípade ortogonálneho systému vektorov existuje rovnosť, ktorá sa nazýva aj Pytagorova veta:

Ak - toto sú projekcie vektora na súradnicové osi, potom sa tento vzorec zhoduje s euklidovskou vzdialenosťou - a znamená, že dĺžka vektora sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín jeho zložiek.

Analóg tejto rovnosti v prípade nekonečného systému vektorov sa nazýva Parsevalova rovnosť.

Neeuklidovská geometria

Pytagorova veta je odvodená z axióm euklidovskej geometrie a v skutočnosti neplatí pre neeuklidovskú geometriu v podobe, v akej je napísaná vyššie. (To znamená, že Pytagorova veta je akýmsi ekvivalentom Euklidovho postulátu rovnobežnosti) Inými slovami, v neeuklidovskej geometrii bude vzťah medzi stranami trojuholníka nevyhnutne vo forme odlišnej od Pytagorovej vety. Napríklad v sférickej geometrii sú všetky tri strany pravouhlého trojuholníka (povedzme a, b A c), ktoré obmedzujú oktant (ôsmu časť) jednotkovej gule, majú dĺžku π/2, čo je v rozpore s Pytagorovou vetou, pretože a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Uvažujme tu o dvoch prípadoch neeuklidovskej geometrie – sférickej a hyperbolickej geometrii; v oboch prípadoch, čo sa týka euklidovského priestoru pre pravouhlé trojuholníky, výsledok, ktorý nahrádza Pytagorovu vetu, vyplýva z kosínusovej vety.

Pytagorova veta však zostáva v platnosti pre hyperbolickú a eliptickú geometriu, ak sa požiadavka, že trojuholník je pravouhlý, nahradí podmienkou, že súčet dvoch uhlov trojuholníka sa musí rovnať tretiemu, povedzme A+B = C. Potom vzťah medzi stranami vyzerá takto: súčet plôch kruhov s priemermi a A b rovná ploche kruhu s priemerom c.

Sférická geometria

Pre ľubovoľný pravouhlý trojuholník na gule s polomerom R(napríklad ak je uhol γ v trojuholníku pravý) so stranami a, b, c Vzťah medzi stranami bude vyzerať takto:

Túto rovnosť možno odvodiť ako špeciálny prípad sférickej kosínusovej vety, ktorá platí pre všetky sférické trojuholníky:

kde cosh je hyperbolický kosínus. Tento vzorec je špeciálnym prípadom hyperbolickej kosínusovej vety, ktorá platí pre všetky trojuholníky:

kde γ je uhol, ktorého vrchol je oproti strane c.

Kde g ij nazývaný metrický tenzor. Môže to byť funkcia polohy. Takéto zakrivené priestory zahŕňajú Riemannovu geometriu ako všeobecný príklad. Táto formulácia je vhodná aj pre euklidovský priestor pri použití krivočiarych súradníc. Napríklad pre polárne súradnice:

Vektorové umelecké dielo

Pytagorova veta spája dva výrazy pre veľkosť vektorového súčinu. Jeden prístup k definovaniu krížového produktu vyžaduje, aby spĺňal rovnicu:

Tento vzorec používa bodkový produkt. Pravá strana rovnice sa nazýva Gramov determinant pre a A b, ktorá sa rovná ploche rovnobežníka tvoreného týmito dvoma vektormi. Na základe tejto požiadavky, ako aj požiadavky, aby vektorový súčin bol kolmý na jeho zložky a A b z toho vyplýva, že okrem triviálnych prípadov z 0- a 1-rozmerného priestoru je krížový súčin definovaný len v troch a siedmich dimenziách. Používame definíciu uhla v n-rozmerný priestor:

Táto vlastnosť krížového produktu dáva jeho veľkosť takto:

Prostredníctvom základnej trigonometrickej identity Pytagoras získavame inú formu zápisu jej hodnoty:

Alternatívnym prístupom k definovaniu krížového produktu je použitie výrazu pre jeho veľkosť. Potom, uvažovaním v opačnom poradí, získame spojenie so skalárnym súčinom:

pozri tiež

Poznámky

1. Téma histórie: Pytagorova veta v babylonskej matematike
2. ( , s. 351) s. 351
3. ( , zväzok I, s. 144)
4. Diskusia o historických faktoch je uvedená v (, S. 351) S. 351
5. Kurt von Fritz (apríl 1945). "Objav nesúmerateľnosti Hippasom z Metaponta". The Annals of Mathematics, druhá séria(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, „Príbeh s uzlami“, M., Mir, 1985, s. 7
7. Asger Aaboe Epizódy z ranej histórie matematiky. - Mathematical Association of America, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
8. Návrh Pythonu od Elisha Scott Loomis
9. Euklidove Prvky: Kniha VI, výrok VI 31: „V pravouhlých trojuholníkoch sa obrazec na strane zvierajúcej pravý uhol rovná podobným a podobne opísaným obrazcom na stranách obsahujúcich pravý uhol.“
10. Lawrence S. Leff citované dielo. - Barron's Educational Series. - S. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley Eves§4.8:...zovšeobecnenie Pytagorovej vety // Veľké momenty v matematike (pred 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (celým menom Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 nl) bol lekár žijúci v Bagdade, ktorý veľa písal o Euklidových prvkoch a iných matematických predmetoch.
13. Aydin Sayili (marec 1960). "Zobecnenie Pytagorovej vety Thâbit ibn Qurra." Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Cvičenie 2.10 (ii) // Citovaná práca. - S. 62. - ISBN 0821844032
15. Podrobnosti o takejto konštrukcii pozri George Jennings Obrázok 1.32: Zovšeobecnená Pytagorova veta // Moderná geometria s aplikáciami: so 150 obrazcami. - 3. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Položka C: Norma pre ľubovoľné n-tuple ... // Úvod do analýzy . - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Pozri tiež strany 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderná diferenciálna geometria kriviek a plôch s Mathematica. - 3. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Maticová analýza. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking citované dielo. - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229

Pytagorova veta hovorí:

V pravouhlom trojuholníku sa súčet štvorcov nôh rovná štvorcu prepony:

a2 + b2 = c2,

• a A b– nohy zvierajúce pravý uhol.
• s– prepona trojuholníka.

Vzorce Pytagorovej vety

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Dôkaz Pytagorovej vety

Plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca:

S = \frac(1)(2) ab

Na výpočet plochy ľubovoľného trojuholníka je vzorec oblasti:

• p– poloobvod. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
• r– polomer vpísanej kružnice. Pre obdĺžnik r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Potom vyrovnáme pravé strany oboch vzorcov pre oblasť trojuholníka:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Premeňte Pytagorovu vetu:

Ak sa štvorec jednej strany trojuholníka rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán, potom je trojuholník pravouhlý. Teda pre akúkoľvek trojicu kladných čísel a, b A c, také že

a2 + b2 = c2,

existuje pravouhlý trojuholník s nohami a A b a preponu c.

Pytagorova veta- jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie, stanovujúca vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Dokázal to učený matematik a filozof Pytagoras.

Význam vety Ide o to, že sa dá použiť na dokazovanie iných teorémov a riešenie problémov.

Dodatočný materiál:

Pytagorova veta- jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie, zakladajúca vzťah

medzi stranami pravouhlého trojuholníka.

Predpokladá sa, že to dokázal grécky matematik Pytagoras, po ktorom bol pomenovaný.

Geometrická formulácia Pytagorovej vety.

Pôvodne bola veta formulovaná takto:

V pravouhlom trojuholníku sa plocha štvorca postaveného na prepone rovná súčtu plôch štvorcov,

postavené na nohách.

Algebraická formulácia Pytagorovej vety.

V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh.

Teda označenie dĺžky prepony trojuholníka o c, a dĺžky nôh cez a A b:

Obe formulácie Pytagorova veta sú ekvivalentné, ale druhá formulácia je elementárnejšia, nie

vyžaduje koncepciu oblasti. To znamená, že druhé tvrdenie je možné overiť bez toho, aby sme vedeli čokoľvek o oblasti a

meraním iba dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.

Obrátiť Pytagorovu vetu.

Ak sa štvorec jednej strany trojuholníka rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán, potom

správny trojuholník.

Alebo inak povedané:

Pre každú trojicu kladných čísel a, b A c, také že

existuje pravouhlý trojuholník s nohami a A b a preponu c.

Pytagorova veta pre rovnoramenný trojuholník.

Pytagorova veta pre rovnostranný trojuholník.

Dôkazy Pytagorovej vety.

V súčasnosti je vo vedeckej literatúre zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne teorém

Pytagoras je jediná veta s takým pôsobivým počtom dôkazov. Taká rozmanitosť

možno vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.

Samozrejme, koncepčne všetky možno rozdeliť do malého počtu tried. Najznámejší z nich:

dôkaz plošná metóda, axiomatická A exotické dôkazy(Napríklad,

používaním diferenciálne rovnice).

1. Dôkaz Pytagorovej vety pomocou podobných trojuholníkov.

Nasledujúci dôkaz algebraickej formulácie je najjednoduchším zo skonštruovaných dôkazov

priamo z axióm. Najmä nepoužíva pojem plochy postavy.

Nechaj ABC existuje pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C. Nakreslíme výšku od C a označujú

jeho základ cez H.

Trojuholník ACH podobný trojuholníku AB C v dvoch rohoch. Rovnako aj trojuholník CBH podobný ABC.

Zavedením notácie:

dostaneme:

,

čo zodpovedá -

Zložené a 2 a b 2, dostaneme:

alebo , čo je potrebné dokázať.

2. Dôkaz Pytagorovej vety plošnou metódou.

Nižšie uvedené dôkazy, napriek ich zjavnej jednoduchosti, nie sú vôbec také jednoduché. Všetky

využívať vlastnosti plochy, ktorých dôkazy sú zložitejšie ako dôkazy samotnej Pytagorovej vety.

• Dôkaz prostredníctvom ekvikomplementarity.

Usporiadame štyri rovnaké obdĺžnikové

trojuholník, ako je znázornené na obrázku

napravo.

Štvoruholník so stranami c- námestie,

keďže súčet dvoch ostrých uhlov je 90°, a

rozložený uhol - 180°.

Plocha celej postavy je na jednej strane rovnaká,

plocha štvorca so stranou ( a+b), a na druhej strane súčet obsahov štyroch trojuholníkov a

Q.E.D.

3. Dôkaz Pytagorovej vety infinitezimálnou metódou.

​

Pri pohľade na výkres zobrazený na obrázku a

sleduje zmenu stranya, môžeme

napíšte nasledujúci vzťah pre nekonečno

malý bočné prírastkys A a(pomocou podobnosti

trojuholníky):

Pomocou metódy variabilnej separácie zistíme:

Všeobecnejšie vyjadrenie pre zmenu prepony v prípade prírastkov na oboch stranách:

Integráciou tejto rovnice a použitím počiatočných podmienok dostaneme:

Dostávame sa teda k požadovanej odpovedi:

Ako je ľahké vidieť, kvadratická závislosť v konečnom vzorci sa javí ako lineárna

úmernosť medzi stranami trojuholníka a prírastkami, pričom súčet súvisí s nezávislou

príspevky z prírastku rôznych nôh.

Jednoduchší dôkaz možno získať, ak predpokladáme, že jedna z nôh nezaznamená zvýšenie

(v tomto prípade nohu b). Potom pre integračnú konštantu dostaneme: