Derivácia exponentu k mocnine x. Derivácia e na mocninu x a exponenciálna funkcia Derivácia logaritmickej funkcie

Dôkaz a odvodenie vzorcov pre deriváciu exponenciály (e na mocninu x) a exponenciálnej funkcie (a na mocninu x). Príklady výpočtu derivácií e^2x, e^3x a e^nx. Vzorce pre deriváty vyšších rádov.

Obsah

Pozri tiež: Exponenciálna funkcia - vlastnosti, vzorce, graf
Exponent, e mocnina x - vlastnosti, vzorce, graf

Základné vzorce

Derivácia exponentu sa rovná samotnému exponentu (derivácia e mocniny x sa rovná e mocniny x):
(1) (e x)' = e x.

Derivácia exponenciálnej funkcie so základom stupňa a sa rovná samotnej funkcii, vynásobenej prirodzeným logaritmom a:
(2) .

Exponent je exponenciálna funkcia, ktorej základ exponentu sa rovná číslu e, čo je nasledujúca limita:
.
Tu to môže byť prirodzené alebo reálne číslo. Ďalej odvodíme vzorec (1) pre deriváciu exponentu.

Odvodenie vzorca pre deriváciu exponentu

Zvážte exponent e na mocninu x :
y = e x.
Táto funkcia je definovaná pre všetkých. Nájdite jeho deriváciu vzhľadom na x . Podľa definície je derivát nasledujúci limit:
(3) .

Transformujme tento výraz, aby sme ho zredukovali na známe matematické vlastnosti a pravidlá. Na to potrebujeme nasledujúce fakty:
A) Vlastnosť exponentu:
(4) ;
B) Vlastnosť logaritmu:
(5) ;
IN) Spojitosť logaritmu a vlastnosť limity pre spojitú funkciu:
(6) .
Tu je nejaká funkcia, ktorá má limit a tento limit je pozitívny.
G) Význam druhej nádhernej hranice:
(7) .

Tieto skutočnosti aplikujeme na naše limity (3). Používame majetok (4):
;
.

Urobme náhradu. Potom ; .
Vzhľadom na kontinuitu exponentu,
.
Preto o , . V dôsledku toho dostaneme:
.

Urobme náhradu. Potom . O , . A máme:
.

Použijeme vlastnosť logaritmu (5):
. Potom
.

Použime vlastnosť (6). Pretože existuje kladný limit a logaritmus je spojitý, potom:
.
Tu sme použili aj druhú pozoruhodnú hranicu (7). Potom
.

Získali sme teda vzorec (1) pre deriváciu exponentu.

Odvodenie vzorca pre deriváciu exponenciálnej funkcie

Teraz odvodíme vzorec (2) pre deriváciu exponenciálnej funkcie so základom stupňa a. Veríme, že a . Potom exponenciálna funkcia
(8)
Definované pre každého.

Transformujme vzorec (8). Na to používame vlastnosti exponenciálnej funkcie a logaritmu.
;
.
Vzorec (8) sme teda transformovali do nasledujúceho tvaru:
.

Deriváty vyššieho rádu e na mocninu x

Teraz nájdime deriváty vyšších rádov. Najprv sa pozrime na exponent:
(14) .
(1) .

Vidíme, že derivácia funkcie (14) sa rovná samotnej funkcii (14). Diferencovaním (1) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.

To ukazuje, že derivácia n-tého rádu sa tiež rovná pôvodnej funkcii:
.

Derivácie vyššieho rádu exponenciálnej funkcie

Teraz zvážte exponenciálnu funkciu so základňou stupňa a:
.
Našli sme jeho derivát prvého rádu:
(15) .

Diferencovaním (15) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.

Vidíme, že každá diferenciácia vedie k vynásobeniu pôvodnej funkcie číslom . Preto má n-tá derivácia nasledujúci tvar:
.

Pozri tiež:

Základné pojmy

Predtým, ako zvážime deriváciu exponentu na mocninu $x$, pripomenieme si definície

1. funkcie;
2. limit sekvencie;
3. derivát;
4. vystavovateľov.

Je to potrebné pre jasné pochopenie derivácie exponentu na mocninu $x$.

Definícia 1

Funkcia je vzťah medzi dvoma premennými.

Zoberme si $y=f(x)$, kde $x$ a $y$ sú premenné. Tu sa $x$ nazýva argument a $y$ sa nazýva funkcia. Argument môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Premenná $y$ sa zase mení podľa určitého zákona v závislosti od argumentu. To znamená, že argument $x$ je nezávislá premenná a funkcia $y$ je závislá premenná. Akákoľvek hodnota $x$ zodpovedá jedinej hodnote $y$.

Ak je každému prirodzenému číslu $n=1, 2, 3, ...$ priradené číslo $x_n$ na základe nejakého zákona, potom hovoríme, že postupnosť čísel $x_1,x_2,...,x_n$ je definované. V opačnom prípade sa takáto postupnosť zapíše ako $\(x_n\)$. Všetky čísla $x_n$ sa nazývajú členy alebo prvky postupnosti.

Definícia 2

Limita postupnosti je koncový bod alebo bod v nekonečne na reálnej čiare. Limit je napísaný takto: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Tento záznam znamená, že premenná $x_n$ má tendenciu k $a$ $x_n\to a$.

Derivácia funkcie $f$ v bode $x_0$ sa nazýva nasledujúca limita:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Označuje sa $f"(x_0)$.

Číslo $e$ sa rovná nasledujúcemu limitu:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\približne 2,718281828459045...$

V danom limite je $n$ prirodzené alebo reálne číslo.

Keď poznáme pojmy limita, derivácia a exponent, môžeme pristúpiť k dôkazu vzorca $(e^x)"=e^x$.

Odvodenie derivácie exponentu na mocninu $x$

Máme $e^x$, kde $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

Vlastnosťou exponentu $e^(a+bx)=e^a*e^b$ môžeme transformovať čitateľa limity:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

To znamená $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ na 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

Označte $t=e^(\Delta x)-1$. Dostaneme $e^(\Delta x)=t+1$ a podľa vlastnosti logaritmu sa ukáže, že $\Delta x = ln(t+1)$.

Keďže exponent je spojitý, máme $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Preto ak $\Delta x\to 0$, potom $ t \ na 0 $.

V dôsledku toho ukážeme transformáciu:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

Označte $n=\frac (1)(t)$, potom $t=\frac(1)(n)$. Ukazuje sa, že ak $t\to 0$, potom $n\to\infty$.

Transformujme náš limit:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

Vlastnosťou logaritmu $b\cdot ln c=ln c^b$ máme

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

Limit sa prepočíta takto:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

Podľa vlastnosti spojitosti logaritmu a vlastnosti limity pre spojitú funkciu: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, kde $f(x)$ má kladný limit $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Takže vzhľadom na skutočnosť, že logaritmus je spojitý a existuje kladný limit $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, môžeme odvodiť:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

Použime hodnotu druhej nádhernej limity $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Dostaneme:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Takto sme odvodili vzorec pre deriváciu exponentu a môžeme tvrdiť, že derivácia exponentu k mocnine $x$ je ekvivalentná k mocnine $x$:

Existujú aj iné spôsoby odvodenia tohto vzorca pomocou iných vzorcov a pravidiel.

Príklad 1

Uvažujme o príklade hľadania derivácie funkcie.

Podmienka: Nájdite deriváciu funkcie $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.

Riešenie: Použite vzorec $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ na výrazy $2^x, 3^x$ a $10^x$. Podľa odvodeného vzorca $(e^x)"= e^x$ štvrtý člen $e^x$ sa nemení.

Odpoveď: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Odvodili sme teda vzorec $(e^x)"=e^x$, pričom pri definovaní základných pojmov sme analyzovali príklad nájdenia derivácie funkcie s exponentom ako jedným z pojmov.

Mnohé čísla nadobudli svoju veľkosť a poverčivý význam v staroveku. V súčasnosti sa k nim pridávajú nové mýty. O čísle pí koluje veľa legiend, o niečo menej známe sú slávne Fibonacciho čísla. Ale možno najprekvapivejšie je číslo e, bez ktorej sa to nezaobíde moderná matematika, fyzika a dokonca aj ekonómia.

Aritmetická hodnota e je približne 2,718. Prečo nie presne, ale približne? Pretože toto číslo je iracionálne a transcendentálne, nemôže byť vyjadrené ako zlomok s prirodzenými celými číslami alebo ako polynóm s racionálnymi koeficientmi. Pre väčšinu výpočtov špecifikovanej presnosti je dostatočná hodnota 2,718, hoci súčasná úroveň výpočtovej techniky umožňuje určiť jej hodnotu s presnosťou na viac ako bilión desatinných miest.

Hlavnou črtou čísla e je, že derivácia jeho exponenciálnej funkcie f (x) \u003d e x sa rovná hodnote samotnej funkcie e x. Žiadny iný matematický vzťah nemá takú nezvyčajnú vlastnosť. Povedzme si o tom trochu podrobnejšie.

Čo je limit

Najprv sa pozrime na pojem limit. Zvážte nejaký matematický výraz, napríklad i = 1/n. Vidím, že s nárastom „n“, hodnota „i“ sa zníži, a keďže „n“ smeruje k nekonečnu (čo je označené znamienkom ∞), „i“ bude smerovať k limitnej hodnote (častejšie nazývanej jednoducho limit) rovnej nule. Limitný výraz (označený ako lim) pre uvažovaný prípad možno zapísať ako lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Existujú rôzne limity pre rôzne výrazy. Jednou z takýchto limitov, zahrnutou v sovietskych a ruských učebniciach ako druhá pozoruhodná limita, je výraz lim n →∞ (1+1/ n) n . Už v stredoveku sa ustálilo, že limitom tohto výrazu je číslo e.

Prvá pozoruhodná hranica zahŕňa výraz lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Ako nájsť deriváciu e x - v tomto videu.

Čo je derivácia funkcie

Aby sme odhalili koncept derivácie, mali by sme si spomenúť, čo je funkcia v matematike. Aby sme text nezahlcovali zložitými definíciami, zastavme sa pri intuitívnom matematickom koncepte funkcie, ktorý spočíva v tom, že jedna alebo viacero veličín v nej úplne určuje hodnotu inej veličiny, ak sú navzájom prepojené. Napríklad vo vzorci S = π ∙ r 2 plochy kruhu hodnota polomeru r úplne a jednoznačne určuje plochu kruhu S.

V závislosti od typu môžu byť funkcie algebraické, trigonometrické, logaritmické atď. Môžu v nich byť prepojené dva, tri alebo viac argumentov. Napríklad prejdená vzdialenosť S, ktorú objekt prekonal rovnomerne zrýchlenou rýchlosťou, je opísaná funkciou S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, kde „t“ je čas pohybu, argument „a ” je zrýchlenie (môže byť kladné alebo záporné) a „V“ je počiatočná rýchlosť pohybu. Množstvo prejdenej vzdialenosti teda závisí od hodnôt troch argumentov, z ktorých dva („a“ a „V“) sú konštantné.

Využime tento príklad na ukážku elementárneho konceptu derivácie funkcie. Charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v danom bode. V našom príklade to bude rýchlosť objektu v určitom časovom bode. Pri konštantách "a" a "V" to závisí iba od času "t", to znamená, že z vedeckého hľadiska musíte vziať deriváciu funkcie S vzhľadom na čas "t".

Tento proces sa nazýva diferenciácia, ktorá sa vykonáva výpočtom limitu pomeru rastu funkcie k rastu jej argumentu o zanedbateľnú hodnotu. Riešenie takýchto problémov pre jednotlivé funkcie často nie je ľahká úloha a tu sa s ním nepočíta. Za zmienku tiež stojí, že niektoré funkcie v určitých bodoch takéto limity vôbec nemajú.

V našom príklade derivát S v čase "t" bude mať tvar S" = ds / dt = a ∙ t + V, z čoho je zrejmé, že rýchlosť S" sa mení lineárne v závislosti od "t".

Derivácia exponentu

Exponenciálna funkcia sa nazýva exponenciálna funkcia, ktorej základom je číslo e. Zvyčajne sa zobrazuje ako F (x) \u003d e x, kde exponent x je premenná. Táto funkcia má úplnú diferencovateľnosť v celom rozsahu reálnych čísel. Keď sa x zvyšuje, neustále sa zvyšuje a je vždy väčšie ako nula. Jeho inverzná funkcia je logaritmus.

Slávnemu matematikovi Taylorovi sa podarilo túto funkciu rozšíriť do radu pomenovaného po ňom e x = 1 + x/1! + 2/2! + x 3/3! + … v rozsahu x od - ∞ do + ∞.

Zákon založený na tejto funkcii, sa nazýva exponenciálny. Opisuje:

• zvýšenie zloženého bankového úroku;
• zvýšenie populácie zvierat a populácie planéty;
• rigor mortis time a oveľa viac.

Zopakujme si ešte raz pozoruhodnú vlastnosť tejto závislosti - hodnota jej derivácie v ktoromkoľvek bode sa vždy rovná hodnote funkcie v tomto bode, teda (e x)" = e x .

Tu sú deriváty pre najvšeobecnejšie prípady exponentu:

• (e ax)" = a ∙ e ax;
• (e f (x))" = f "(x) ∙ e f (x) .

Pomocou týchto závislostí je ľahké nájsť deriváty pre iné konkrétne typy tejto funkcie.

Niekoľko zaujímavých faktov o čísle e

S týmto číslom sa spájajú mená vedcov ako Napier, Otred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler a ďalší. Ten v skutočnosti zaviedol pre toto číslo označenie e a našiel aj prvých 18 znakov, pričom na výpočet použil ním objavenú sériu e = 1 + 1/1! +2/2! + 3/3! …

Číslo e sa vyskytuje na najneočakávanejších miestach. Napríklad je zahrnutá v rovnici trolejového vedenia, ktorá opisuje priehyb lana vlastnou váhou, keď sú jeho konce upevnené na podperách.

Video

Témou video lekcie je derivácia exponenciálnej funkcie.

Pri odvodení úplne prvého vzorca tabuľky budeme vychádzať z definície derivácie funkcie v bode. Vezmime kam X- akékoľvek reálne číslo, tj. X– ľubovoľné číslo z oblasti definície funkcie . Napíšme limit pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu na:

Treba poznamenať, že pod znamienkom limity sa získa výraz, ktorý nie je neistota nuly delená nulou, pretože čitateľ neobsahuje nekonečne malú hodnotu, ale práve nulu. Inými slovami, prírastok konštantnej funkcie je vždy nula.

teda derivácia konštantnej funkciesa rovná nule na celej doméne definície.

Derivácia mocninovej funkcie.

Vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie má tvar , kde exponent p je akékoľvek reálne číslo.

Dokážme najprv vzorec pre prirodzený exponent, teda pre p = 1, 2, 3, ...

Použijeme definíciu derivátu. Napíšme limitu pomeru prírastku mocninnej funkcie k prírastku argumentu:

Aby sme zjednodušili výraz v čitateli, obrátime sa na Newtonov binomický vzorec:

teda

To dokazuje vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie pre prirodzený exponent.

Derivácia exponenciálnej funkcie.

Odvodený vzorec odvodíme na základe definície:

Došlo k neistote. Na jej rozšírenie uvádzame novú premennú , a pre . Potom . Pri poslednom prechode sme použili vzorec na prechod na nový základ logaritmu.

Vykonajte substitúciu v pôvodnom limite:

Ak si spomenieme na druhú pozoruhodnú limitu, dostaneme sa k vzorcu pre deriváciu exponenciálnej funkcie:

Derivácia logaritmickej funkcie.

Dokážme vzorec pre deriváciu logaritmickej funkcie pre všetkých X z rozsahu a všetkých platných základných hodnôt a logaritmus. Podľa definície derivátu máme:

Ako ste si všimli, v dôkaze boli transformácie vykonané pomocou vlastností logaritmu. Rovnosť platí kvôli druhej pozoruhodnej hranici.

Derivácie goniometrických funkcií.

Aby sme odvodili vzorce pre derivácie goniometrických funkcií, budeme si musieť pripomenúť niektoré trigonometrické vzorce, ako aj prvú pozoruhodnú limitu.

Podľa definície derivácie funkcie sínus máme .

Na rozdiel sínusov používame vzorec:

Zostáva sa obrátiť na prvý pozoruhodný limit:

Takže derivácia funkcie hriech x Existuje cos x.

Vzorec pre kosínusový derivát je dokázaný presne rovnakým spôsobom.

Preto derivácia funkcie cos x Existuje - hriech x.

Odvodenie vzorcov pre tabuľku derivácií pre tangens a kotangens sa uskutoční pomocou osvedčených pravidiel diferenciácie (derivácia zlomku).

Deriváty hyperbolických funkcií.

Pravidlá diferenciácie a vzorec pre deriváciu exponenciálnej funkcie z tabuľky derivácií nám umožňujú odvodiť vzorce pre derivácie hyperbolického sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Derivácia inverznej funkcie.

Aby v prezentácii nedošlo k zámene, označme v dolnom indexe argument funkcie, ktorou sa derivácia vykonáva, teda je to derivácia funkcie. f(x) Autor: X.

Teraz formulujeme pravidlo na nájdenie derivácie inverznej funkcie.

Nechajte funkcie y = f(x) A x = g(y) vzájomne inverzné, definované na intervaloch resp. Ak v určitom bode existuje konečná nenulová derivácia funkcie f(x), potom v bode existuje konečná derivácia inverznej funkcie g(y), a . V inom zázname .

Toto pravidlo je možné preformulovať pre kohokoľvek X z intervalu , potom dostaneme .

Overme si platnosť týchto vzorcov.

Nájdite inverznú funkciu pre prirodzený logaritmus (Tu r je funkcia a X- argument). Riešenie tejto rovnice pre X, dostaneme (tu X je funkcia a r jej argument). teda a vzájomne inverzné funkcie.

Z tabuľky derivátov to vidíme A .

Uistime sa, že vzorce na nájdenie derivácií inverznej funkcie nás vedú k rovnakým výsledkom:

Tu je súhrnná tabuľka pre pohodlie a prehľadnosť pri štúdiu témy.

Neustáley=C Mocninná funkcia y = x p (x p)" = p x p - 1	Exponenciálna funkciay = x (a x)" = a x ln a Najmä vtedy, keďa = emáme y = e x (e x)" = e x
logaritmická funkcia (log a x) " = 1 x ln a Najmä vtedy, keďa = emáme y = log x (ln x)" = 1 x	Goniometrické funkcie (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 hriech 2 x
Inverzné goniometrické funkcie (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hyperbolické funkcie (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 h 2 x

Analyzujme, ako sa získali vzorce uvedenej tabuľky, alebo, inými slovami, dokážeme odvodenie vzorcov pre derivácie pre každý typ funkcie.

Derivácia konštanty

Dôkaz 1

Aby sme odvodili tento vzorec, berieme ako základ definíciu derivácie funkcie v bode. Používame x 0 = x, kde X nadobúda hodnotu akéhokoľvek reálneho čísla, alebo inými slovami, X je ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie f (x) = C . Napíšme limitu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu ako ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Upozorňujeme, že výraz 0 ∆ x spadá pod medzné znamienko. Nie je to neistota „nula delená nulou“, keďže čitateľ neobsahuje nekonečne malú hodnotu, ale nulu. Inými slovami, prírastok konštantnej funkcie je vždy nula.

Derivácia konštantnej funkcie f (x) = C sa teda rovná nule v celom definičnom obore.

Príklad 1

Dané konštantné funkcie:

f1 (x) = 3, f2 (x) = a, a ∈ R, f3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Riešenie

Opíšme si dané podmienky. V prvej funkcii vidíme deriváciu prirodzeného čísla 3 . V nasledujúcom príklade musíte vziať derivát z A, Kde A- akékoľvek skutočné číslo. Tretí príklad nám dáva deriváciu iracionálneho čísla 4 . 13 7 22 , štvrtý - derivácia nuly (nula je celé číslo). Nakoniec v piatom prípade máme deriváciu racionálneho zlomku - 8 7 .

odpoveď: derivácie daných funkcií sú nulové pre akýkoľvek reál X(v celej doméne definície)

f 1 " (x) = (3) " = 0, f 2 " (x) = (a) " = 0, a ∈ R, f 3 " (x) = 4. 13 7 22" = 0, f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivácia výkonovej funkcie

Obrátime sa na mocninovú funkciu a vzorec pre jej deriváciu, ktorá má tvar: (x p) " = p x p - 1, kde exponent p je akékoľvek reálne číslo.

Dôkaz 2

Tu je dôkaz vzorca, keď je exponent prirodzené číslo: p = 1, 2, 3, …

Opäť sa spoliehame na definíciu derivátu. Napíšme limitu pomeru prírastku mocninnej funkcie k prírastku argumentu:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Na zjednodušenie výrazu v čitateli použijeme Newtonov binomický vzorec:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Takto:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + Cp 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Takže sme dokázali vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie, keď je exponent prirodzené číslo.

Dôkaz 3

Podať dôkaz pre prípad, kedy p- akékoľvek iné reálne číslo ako nula, používame logaritmickú deriváciu (tu by sme mali pochopiť rozdiel od derivácie logaritmickej funkcie). Pre úplnejšie pochopenie je žiaduce študovať deriváciu logaritmickej funkcie a dodatočne sa zaoberať deriváciou implicitne danej funkcie a deriváciou komplexnej funkcie.

Zvážte dva prípady: kedy X pozitívne a kedy X sú negatívne.

Takže x > 0. Potom: x p > 0 . Zoberieme logaritmus rovnosti y \u003d x p k základu e a použijeme vlastnosť logaritmu:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

V tomto štádiu bola získaná implicitne definovaná funkcia. Definujme jeho derivát:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Teraz zvážime prípad, kedy X- záporné číslo.

Ak indikátor p je párne číslo, potom je pre x definovaná aj mocninná funkcia< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Potom xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ak p je nepárne číslo, potom je funkcia mocniny definovaná pre x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Posledný prechod je možný, pretože ak p je teda nepárne číslo p - 1 buď párne číslo alebo nula (pre p = 1), teda pre zápor X platí rovnosť (- x) p - 1 = x p - 1.

Dokázali sme teda vzorec pre deriváciu mocninovej funkcie pre akékoľvek reálne p.

Príklad 2

Dané funkcie:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Určite ich deriváty.

Riešenie

Časť daných funkcií transformujeme do tabuľkového tvaru y = x p , na základe vlastností stupňa a potom použijeme vzorec:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivácia exponenciálnej funkcie

Dôkaz 4

Vzorec pre deriváciu odvodíme na základe definície:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Dostali sme neistotu. Na jej rozšírenie napíšeme novú premennú z = a ∆ x - 1 (z → 0 ako ∆ x → 0). V tomto prípade a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Pri poslednom prechode sa používa vzorec na prechod na nový základ logaritmu.

Vykonajte substitúciu v pôvodnom limite:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln limit ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Pripomeňme si druhú úžasnú limitu a potom dostaneme vzorec pre deriváciu exponenciálnej funkcie:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Príklad 3

Exponenciálne funkcie sú dané:

f 1 (x) = 2 3 x, f 2 (x) = 5 3 x, f 3 (x) = 1 (e) x

Musíme nájsť ich deriváty.

Riešenie

Na deriváciu exponenciálnej funkcie a vlastnosti logaritmu používame vzorec:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivácia logaritmickej funkcie

Dôkaz 5

Uvádzame dôkaz vzorca pre deriváciu logaritmickej funkcie pre ľubovoľnú X v doméne definície a všetky platné hodnoty základu a logaritmu. Na základe definície derivátu dostaneme:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Zo špecifikovaného reťazca rovnosti je možné vidieť, že transformácie boli postavené na základe vlastnosti logaritmu. Rovnosť lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e platí v súlade s druhou pozoruhodnou hranicou.

Príklad 4

Logaritmické funkcie sú dané:

f1 (x) = log log3 x, f2 (x) = log x

Musíme vypočítať ich deriváty.

Riešenie

Aplikujme odvodený vzorec:

f1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3); f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Takže derivácia prirodzeného logaritmu je jedna delená X.

Derivácie goniometrických funkcií

Dôkaz 6

Na odvodenie vzorca pre deriváciu goniometrickej funkcie používame niektoré trigonometrické vzorce a prvú úžasnú limitu.

Podľa definície derivácie funkcie sínus dostaneme:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Vzorec pre rozdiel sínusov nám umožní vykonať nasledujúce akcie:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Nakoniec použijeme prvý úžasný limit:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Takže derivácia funkcie hriech x bude cos x.

Rovnakým spôsobom dokážeme aj vzorec pre kosínusový derivát:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Tie. derivácia funkcie cos x bude – hriech x.

Vzorce pre derivácie tangens a kotangens odvodíme na základe pravidiel diferenciácie:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x hriech 2 x = - 1 hriech 2 x

Derivácie inverzných goniometrických funkcií

Časť o derivácii inverzných funkcií poskytuje komplexné informácie o dôkaze vzorcov pre derivácie arksínusu, arkkozínu, arkustangensu a arkotangensu, preto tu látku nebudeme duplikovať.

Deriváty hyperbolických funkcií

Dôkaz 7

Vzorce pre derivácie hyperbolického sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu môžeme odvodiť pomocou pravidla diferenciácie a vzorca pre deriváciu exponenciálnej funkcie:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x h 2 x = h 2 x - c h 2 x h 2 x = - 1 h 2 x

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter