Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Typy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? Z hľadiska kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". To znamená, že v rovnici Nevyhnutne tam musí byť x na druhú. Okrem toho rovnica môže (ale nemusí!) obsahovať len X (na prvú mocninu) a len číslo (voľný člen). A nemali by existovať žiadne X s mocninou väčšou ako dva.

Z matematického hľadiska je kvadratická rovnica rovnicou v tvare:

Tu a, b a c- nejaké čísla. b a c- úplne akékoľvek, ale A– čokoľvek iné ako nula. Napríklad:

Tu A =1; b = 3; c = -4

Tu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu A =-3; b = 6; c = -18

No chápeš...

V týchto kvadratických rovniciach vľavo je Plný setčlenov. X na druhú s koeficientom A, x na prvú mocninu s koeficientom b A voľný člen s.

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú plný.

A keď b= 0, čo získame? Máme X sa stratí pre prvú mocninu. To sa stane, keď sa vynásobí nulou.) Ukáže sa napríklad:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2+4x=0

A tak ďalej. A ak oba koeficienty b A c sa rovnajú nule, potom je to ešte jednoduchšie:

2x 2 = 0,

-0,3 x 2 = 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.Čo je celkom logické.) Upozorňujeme, že x na druhú je prítomné vo všetkých rovniciach.

Mimochodom, prečo A nemôže sa rovnať nule? A namiesto toho nahrádzate A nula.) Naša X na druhú zmizne! Rovnica sa stane lineárnou. A riešenie je úplne iné...

To sú všetky hlavné typy kvadratických rovníc. Úplné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa dajú ľahko vyriešiť. Podľa vzorcov a jasných, jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. do formulára:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu.) Hlavná vec je správne určiť všetky koeficienty, A, b A c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný. Ale viac o ňom nižšie. Ako vidíte, na nájdenie X používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c Počítame podľa tohto vzorca. Poďme nahradiť s vlastnými znakmi! Napríklad v rovnici:

A =1; b = 3; c= -4. Tu si to zapíšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo, myslíte si, že nie je možné urobiť chybu? No áno, ako...

Najčastejšími chybami je zámena s hodnotami znamienka a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa zmiasť?), ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu pomáha podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, urob to!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku a počtu chýb bude trvať asi 30 sekúnd sa prudko zníži. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké písať tak opatrne. Ale to sa len zdá. Pokúsiť sa. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo zapisovať. Vyjde to samo od seba. Najmä ak používate praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa dá vyriešiť jednoducho a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Spoznali ste to?) Áno! Toto neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené pomocou všeobecného vzorca. Len treba správne pochopiť, čomu sa tu rovnajú. a, b a c.

Už ste na to prišli? V prvom príklade a = 1; b = -4; A c? Vôbec to tam nie je! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto toho do vzorca nahraďte nulu c, a uspejeme. To isté s druhým príkladom. Len my tu nemáme nulu s, A b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zoberme si prvú neúplnú rovnicu. Čo môžete robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z tohto? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule práve vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš mi? Dobre, potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? to je všetko...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všetky. Toto budú korene našej rovnice. Obe sú vhodné. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako použitie všeobecného vzorca. Dovoľte mi poznamenať, ktoré X bude prvé a ktoré druhé - absolútne ľahostajné. Je vhodné písať v poradí, x 1- čo je menšie a x 2- to, čo je väčšie.

Aj druhá rovnica sa dá vyriešiť jednoducho. Presuňte 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva len extrahovať koreň z 9 a je to. Ukáže sa:

Tiež dva korene . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď umiestnením X mimo hranatých zátvoriek, alebo jednoduchým posunutím čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto techniky. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať odmocninu X, čo je akosi nezrozumiteľné a v druhom prípade nie je čo vyťahovať zo zátvoriek...

Diskriminačný. Diskriminačný vzorec.

Čarovné slovo diskriminačný ! Málokedy toto slovo nepočul stredoškolák! Fráza „riešime prostredníctvom diskriminátora“ vzbudzuje dôveru a istotu. Pretože od diskriminujúceho netreba očakávať triky! Je jednoduchý a bezproblémový na používanie.) Pripomínam najvšeobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminant. Typicky je diskriminant označený písmenom D. Diskriminačný vzorec:

D = b2-4ac

A čo je na tomto výraze také pozoruhodné? Prečo si zaslúžil špeciálne pomenovanie? Čo čo znamená diskriminant? Po všetkom -b, alebo 2a v tomto vzorci to konkrétne nenazývajú nijako... Písmená a písmená.

Tu je vec. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca je to možné len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej možno extrahovať koreň. Či sa koreň extrahuje dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je to, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom budete mať jedno riešenie. Keďže pripočítaním alebo odčítaním nuly v čitateli sa nič nemení. Presne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale v zjednodušenej verzii je zvykom hovoriť jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívny. Druhá odmocnina zo záporného čísla sa nedá vziať. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Aby som bol úprimný, pri jednoduchom riešení kvadratických rovníc nie je pojem diskriminant skutočne potrebný. Hodnoty koeficientov dosadíme do vzorca a počítame. Všetko sa tam deje samo, dva korene, jeden a žiadny. Pri riešení zložitejších úloh však bez znalostí význam a vzorec diskriminantu nedostatočné. Najmä v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobaciou pre štátnu skúšku a jednotnú štátnu skúšku!)

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez rozlišovač, ktorý si si spomenul. Alebo ste sa naučili, čo tiež nie je zlé.) Viete správne určiť a, b a c. Vieš ako? pozorne nahradiť ich do koreňového vzorca a pozorne spočítať výsledok. Chápete, že tu je kľúčové slovo pozorne?

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Tie isté, ktoré sú spôsobené nepozornosťou... Pre ktoré sa to neskôr stáva bolestivé a urážlivé...

Prvé stretnutie . Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice a priveďte ju do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Povedzme, že po všetkých transformáciách dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať koreňový vzorec! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv X na druhú, potom bez štvorca, potom voľný výraz. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred X na druhú vás môže poriadne rozčúliť. Je ľahké zabudnúť... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako sa učí v predchádzajúcej téme! Musíme vynásobiť celú rovnicu -1. Dostaneme:

Ale teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a dokončiť riešenie príkladu. Rozhodnite sa sami. Teraz by ste mali mať korene 2 a -1.

Recepcia ako druhá. Skontrolujte korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorý sme použili na zapisovanie koreňového vzorca. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, kontrola koreňov je jednoduchá. Stačí ich namnožiť. Výsledkom by mal byť voľný člen, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! Voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyjde, znamená to, že to už niekde pokazili. Hľadajte chybu.

Ak to funguje, musíte pridať korene. Posledná a posledná kontrola. Koeficient by mal byť b s opak známy. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred X, sa rovná -1. Takže všetko je správne!
Je škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale overte si aspoň takéto rovnice! Chýb bude čoraz menej.

Tretia recepcia . Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v lekcii "Ako riešiť rovnice? Transformácie identity." Pri práci so zlomkami sa z nejakého dôvodu neustále vkrádajú chyby...

Mimochodom, sľúbil som, že zlý príklad zjednoduším s kopou mínusov. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nenechali zmiasť mínusmi, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Riešenie je radosť!

Poďme si teda zhrnúť tému.

Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru a zostavíme ju Správny.

2. Ak je pred druhou mocninou X záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, jej koeficient sa rovná jednej, riešenie možno ľahko overiť pomocou Vietovej vety. Urob to!

Teraz sa môžeme rozhodnúť.)

Riešte rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x2 = -0,5

x - ľubovoľné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žiadne riešenia

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Sedí všetko? Skvelé! Kvadratické rovnice vás nebolí. Prvé tri fungovali, ale zvyšok nie? Potom problém nie je s kvadratickými rovnicami. Problém je v identických transformáciách rovníc. Pozrite si odkaz, je to užitočné.

Celkom to nevychádza? Alebo to vôbec nejde? Potom vám pomôže oddiel 555. Všetky tieto príklady sú tam rozpísané. Zobrazené Hlavná chyby v riešení. Samozrejme, hovoríme aj o použití identických transformácií pri riešení rôznych rovníc. Veľmi pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Vidiecka stredná škola Kopyevskaya

10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc

Vedúci: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteľ matematiky

obec Kopevo, 2007

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

1.2 Ako Diophantus skladal a riešil kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice od al-Khorezmiho

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

1.6 O Vietovej vete

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Záver

Literatúra

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa už v staroveku bola spôsobená potrebou riešiť problémy súvisiace so zisťovaním výmer pozemkov a s výkopovými prácami vojenského charakteru, ako aj ako s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Kvadratické rovnice sa dali vyriešiť okolo roku 2000 pred Kristom. e. Babylončania.

Pomocou modernej algebraickej notácie môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s tým moderným, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu dospeli. Takmer všetky doteraz nájdené klinopisné texty poskytujú len problémy s riešeniami položenými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu, akým boli nájdené.

Napriek vysokému stupňu rozvoja algebry v Babylone chýba v klinových textoch koncept záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1.2 Ako Diophantus skladal a riešil kvadratické rovnice.

Diophantusova aritmetika neobsahuje systematickú prezentáciu algebry, ale obsahuje systematickú sériu problémov sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa.

Pri skladaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie.

Tu je napríklad jedna z jeho úloh.

Problém 11.„Nájdite dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a ich súčin je 96“

Diophantus zdôvodňuje nasledovne: z podmienok úlohy vyplýva, že požadované čísla sa nerovnajú, keďže ak by sa rovnali, ich súčin by sa nerovnal 96, ale 100. Jedno z nich teda bude viac ako polovicu ich sumy, t.j. 10 + x, druhý je menej, t.j. 10-te roky. Rozdiel medzi nimi 2x.

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 – x 2 = 96

x 2 – 4 = 0 (1)

Odtiaľ x = 2. Jedno z požadovaných čísel sa rovná 12 , iné 8 . Riešenie x = -2 lebo Diophantus neexistuje, keďže grécka matematika poznala len kladné čísla.

Ak tento problém vyriešime výberom jedného z požadovaných čísel ako neznámeho, prídeme k riešeniu rovnice

y(20 - y) = 96,

r 2 - 20 r + 96 = 0. (2)

Je zrejmé, že výberom polovičného rozdielu požadovaných čísel ako neznámeho Diophantus zjednodušuje riešenie; podarí sa mu problém zredukovať na riešenie neúplnej kvadratickej rovnice (1).

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

Problémy s kvadratickými rovnicami sa nachádzajú už v astronomickom pojednaní „Aryabhattiam“, ktoré v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Aryabhatta. Ďalší indický vedec, Brahmagupta (7. storočie), načrtol všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jedinú kanonickú formu:

ach 2 +bx = c, a > 0. (1)

V rovnici (1) sú koeficienty okrem A, môže byť aj negatívny. Brahmaguptove pravidlo je v podstate rovnaké ako naše.

V starovekej Indii boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov bežné. V jednej zo starých indických kníh sa o takýchto súťažiach píše toto: „Ako slnko prežiari hviezdy svojou žiarou, tak učený človek zažiari slávu iného na verejných zhromaždeniach, kde navrhuje a rieši algebraické problémy.“ Problémy boli často prezentované v poetickej forme.

Toto je jeden z problémov slávneho indického matematika 12. storočia. Bhaskari.

Problém 13.

"Kŕdeľ šikovných opíc a dvanásť pozdĺž viníc...

Úrady sa po jedle bavili. Začali skákať, vešať sa...

Sú ich na námestí, časť 8. Koľko tam bolo opíc?

Zabával som sa na čistinke. Povedz mi, v tomto balení?

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že vedel, že korene kvadratických rovníc sú dvojhodnotové (obr. 3).

Rovnica zodpovedajúca problému 13 je:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara pod rúškom píše:

x 2 - 64x = -768

a na dokončenie ľavej strany tejto rovnice na štvorec sa pripočíta k obom stranám 32 2 , potom dostanete:

x 2 – 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratické rovnice v al - Khorezmi

V algebraickom pojednaní al-Khorezmiho je uvedená klasifikácia lineárnych a kvadratických rovníc. Autor počíta 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. ax 2 + c =bX.

2) „Štvorce sa rovnajú číslam“, t.j. ax 2 = c.

3) „Korene sa rovnajú číslu“, t.j. ah = s.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, t.j. ax 2 + c =bX.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslam“, t.j. ach 2 +bx= s.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j.bx+ c = ax2.

Pre al-Khorezmiho, ktorý sa vyhýbal používaniu záporných čísel, sú členy každej z týchto rovníc sčítaním a nie odčítaním. V tomto prípade sa zjavne neberú do úvahy rovnice, ktoré nemajú kladné riešenia. Autor uvádza metódy riešenia týchto rovníc pomocou techník al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutia sa, samozrejme, úplne nezhodujú s našimi. Nehovoriac o tom, že je to čisto rétorické, treba si napríklad uvedomiť, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého typu

al-Khorezmi, ako všetci matematici pred 17. storočím, neberie do úvahy nulové riešenie, zrejme preto, že v konkrétnych praktických problémoch na ňom nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc al-Khorezmi stanovuje pravidlá ich riešenia pomocou konkrétnych numerických príkladov a potom geometrických dôkazov.

Problém 14.„Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 odmocninám. Nájdite koreň" (implikuje koreň rovnice x 2 + 21 = 10x).

Autorovo riešenie znie asi takto: rozdeľte počet koreňov na polovicu, dostanete 5, vynásobte 5 samým sebou, odčítajte 21 od súčinu, zostane 4. Zoberte odmocninu zo 4, dostanete 2. Odčítajte 2 od 5 , dostanete 3, toto bude požadovaný koreň. Alebo pridajte 2 k 5, čo dáva 7, to je tiež koreň.

Traktát al-Khorezmiho je prvou knihou, ktorá sa k nám dostala a ktorá systematicky stanovuje klasifikáciu kvadratických rovníc a dáva vzorce na ich riešenie.

1.5 Kvadratické rovnice v EurópeXIII - XVIIbb

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc podľa línií al-Khwarizmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v knihe Abacus, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Toto rozsiahle dielo, ktoré odráža vplyv matematiky z krajín islamu aj zo starovekého Grécka, sa vyznačuje úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé problémy z Knihy Abacus boli použité takmer vo všetkých európskych učebniciach 16. – 17. storočia. a čiastočne XVIII.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jednu kanonickú formu:

x 2 +bx= c,

pre všetky možné kombinácie znakov koeficientov b, s sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice vo všeobecnom tvare je dostupné od Viète, ale Viète rozpoznal iba kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prvými v 16. storočí. Okrem pozitívnych sa berú do úvahy aj negatívne korene. Až v 17. storočí. Vďaka práci Girarda, Descartesa, Newtona a ďalších vedcov dostáva metóda riešenia kvadratických rovníc modernú podobu.

1.6 O Vietovej vete

Veta vyjadrujúca vzťah medzi koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi, pomenovaná po Vietovi, sformuloval po prvý raz v roku 1591 takto: „Ak B + D, vynásobeny A - A 2 , rovná sa BD, To A rovná sa IN a rovní D».

Aby sme porozumeli Viete, mali by sme si to pamätať A, ako každé samohláskové písmeno, znamenalo neznáme (naše X), samohlásky IN,D- koeficienty pre neznáme. V jazyku modernej algebry vyššie uvedená formulácia Vieta znamená: ak existuje

(a +b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecnými vzorcami napísanými pomocou symbolov Viète zaviedol jednotnosť v metódach riešenia rovníc. Symbolika Vietu má však k modernej podobe ešte ďaleko. Nepoznal záporné čísla a preto pri riešení rovníc uvažoval len o prípadoch, keď všetky odmocniny boli kladné.

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Kvadratické rovnice sú základom, na ktorom spočíva majestátna budova algebry. Kvadratické rovnice sa široko používajú pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc. Všetci vieme, ako riešiť kvadratické rovnice od školy (8. ročník) až po maturitu.

Osobitné miesto zaujíma riešenie rovníc v matematike. Tomuto procesu predchádza mnoho hodín štúdia teórie, počas ktorej sa študent naučí riešiť rovnice, určovať ich typ a prináša zručnosť úplnej automatizácie. Hľadanie koreňov však nie vždy dáva zmysel, pretože možno jednoducho neexistujú. Existujú špeciálne techniky na hľadanie koreňov. V tomto článku budeme analyzovať hlavné funkcie, ich domény definície, ako aj prípady, keď chýbajú ich korene.

Ktorá rovnica nemá korene?

Rovnica nemá korene, ak neexistujú žiadne reálne argumenty x, pre ktoré platí rovnica rovnako. Pre nešpecialistu vyzerá táto formulácia, podobne ako väčšina matematických teorémov a vzorcov, veľmi vágna a abstraktná, ale je to teoreticky. V praxi je všetko veľmi jednoduché. Napríklad: rovnica 0 * x = -53 nemá riešenie, pretože neexistuje žiadne číslo x, ktorého súčin s nulou by dával niečo iné ako nulu.

Teraz sa pozrieme na najzákladnejšie typy rovníc.

1. Lineárna rovnica

Rovnica sa nazýva lineárna, ak jej pravá a ľavá strana sú reprezentované ako lineárne funkcie: ax + b = cx + d alebo vo zovšeobecnenom tvare kx + b = 0. Kde a, b, c, d sú známe čísla a x je neznáme množstvo. Ktorá rovnica nemá korene? Príklady lineárnych rovníc sú uvedené na obrázku nižšie.

Lineárne rovnice sa v podstate riešia jednoduchým prenesením časti čísla do jednej časti a obsahu x do druhej. Výsledkom je rovnica v tvare mx = n, kde m a n sú čísla a x je neznáma. Ak chcete nájsť x, vydeľte obe strany číslom m. Potom x = n/m. Väčšina lineárnych rovníc má iba jeden koreň, ale existujú prípady, keď je koreňov buď nekonečne veľa alebo žiadne. Keď m = 0 an = 0, rovnica má tvar 0 * x = 0. Riešením takejto rovnice bude absolútne ľubovoľné číslo.

Ktorá rovnica však nemá korene?

Pre m = 0 an = 0 rovnica nemá korene v množine reálnych čísel. 0* x = -1; 0 * x = 200 - tieto rovnice nemajú korene.

2. Kvadratická rovnica

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0 pre a = 0. Najbežnejšie riešenie je cez diskriminant. Vzorec na nájdenie diskriminantu kvadratickej rovnice je: D = b 2 - 4 * a * c. Ďalej sú tu dva korene x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Pre D > 0 má rovnica dva korene, pre D = 0 má jeden koreň. Ale ktorá kvadratická rovnica nemá korene? Najjednoduchší spôsob, ako zistiť počet koreňov kvadratickej rovnice, je vykresliť funkciu, ktorou je parabola. Pre a > 0 sú vetvy nasmerované nahor, pre a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Počet koreňov môžete určiť aj vizuálne bez výpočtu diskriminantu. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť vrchol paraboly a určiť, ktorým smerom sú vetvy nasmerované. Súradnicu x vrcholu možno určiť pomocou vzorca: x 0 = -b / 2a. V tomto prípade sa súradnica y vrcholu nájde jednoduchým dosadením hodnoty x 0 do pôvodnej rovnice.

Kvadratická rovnica x 2 - 8x + 72 = 0 nemá korene, pretože má negatívny diskriminant D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. To znamená, že parabola sa nedotýka osi x a funkcia nikdy nenadobudne hodnotu 0, takže rovnica nemá žiadne skutočné korene.

3. Goniometrické rovnice

Goniometrické funkcie sú uvažované na goniometrickom kruhu, ale môžu byť reprezentované aj v karteziánskom súradnicovom systéme. V tomto článku sa pozrieme na dve základné goniometrické funkcie a ich rovnice: sinx a cosx. Keďže tieto funkcie tvoria trigonometrický kruh s polomerom 1, |sinx| a |cosx| nemôže byť väčšia ako 1. Takže, ktorá rovnica sinx nemá korene? Zvážte graf funkcie sinx zobrazený na obrázku nižšie.

Vidíme, že funkcia je symetrická a má periódu opakovania 2pi. Na základe toho môžeme povedať, že maximálna hodnota tejto funkcie môže byť 1 a minimálna -1. Napríklad výraz cosx = 5 nebude mať korene, pretože jeho absolútna hodnota je väčšia ako jedna.

Toto je najjednoduchší príklad goniometrických rovníc. V skutočnosti ich riešenie môže zabrať veľa strán, na konci ktorých si uvedomíte, že ste použili nesprávny vzorec a musíte začať odznova. Niekedy, aj keď nájdete korene správne, môžete zabudnúť vziať do úvahy obmedzenia OD, preto sa v odpovedi objaví extra koreň alebo interval a celá odpoveď sa zmení na chybu. Preto prísne dodržiavajte všetky obmedzenia, pretože nie všetky korene zapadajú do rozsahu úlohy.

4. Sústavy rovníc

Systém rovníc je súbor rovníc spojených zloženými alebo hranatými zátvorkami. Zložené zátvorky označujú, že všetky rovnice sú spustené spolu. To znamená, že ak aspoň jedna z rovníc nemá korene alebo je v rozpore s inou, celý systém nemá riešenie. Hranaté zátvorky označujú slovo „alebo“. To znamená, že ak aspoň jedna z rovníc systému má riešenie, potom má riešenie celý systém.

Odpoveďou sústavy c je množina všetkých koreňov jednotlivých rovníc. A systémy s kučeravými zátvorkami majú len spoločné korene. Sústavy rovníc môžu obsahovať úplne odlišné funkcie, takže takáto zložitosť nám neumožňuje okamžite povedať, ktorá rovnica nemá korene.

V problémových knihách a učebniciach sú rôzne typy rovníc: tie, ktoré majú korene, a tie, ktoré nemajú. Po prvé, ak nemôžete nájsť korene, nemyslite si, že tam vôbec nie sú. Možno ste niekde urobili chybu, potom musíte svoje rozhodnutie dôkladne skontrolovať.

Pozreli sme sa na najzákladnejšie rovnice a ich typy. Teraz môžete povedať, ktorá rovnica nemá korene. Vo väčšine prípadov to nie je ťažké. Dosiahnutie úspechu pri riešení rovníc si vyžaduje len pozornosť a sústredenie. Cvičte viac, pomôže vám to oveľa lepšie a rýchlejšie sa orientovať v látke.

Takže rovnica nemá korene, ak:

• v lineárnej rovnici mx = n je hodnota m = 0 an = 0;
• v kvadratickej rovnici, ak je diskriminant menší ako nula;
• v goniometrickej rovnici v tvare cosx = m / sinx = n, ak |m| > 0, |n| > 0;
• v sústave rovníc so zloženými zátvorkami, ak aspoň jedna rovnica nemá korene, a s hranatými zátvorkami, ak všetky rovnice nemajú korene.

Pokračujeme v štúdiu témy „ riešenie rovníc" S lineárnymi rovnicami sme sa už zoznámili a pokračujeme v zoznamovaní kvadratické rovnice.

Najprv sa pozrieme na to, čo je kvadratická rovnica, ako sa píše vo všeobecnom tvare a uvedieme súvisiace definície. Potom pomocou príkladov podrobne preskúmame, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice. Ďalej prejdeme k riešeniu úplných rovníc, získame koreňový vzorec, zoznámime sa s diskriminantom kvadratickej rovnice a zvážime riešenia typických príkladov. Nakoniec vystopujme súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Navigácia na stránke.

Čo je to kvadratická rovnica? Ich typy

Najprv musíte jasne pochopiť, čo je kvadratická rovnica. Preto je logické začať konverzáciu o kvadratických rovniciach definíciou kvadratickej rovnice, ako aj príbuzných definícií. Potom môžete zvážiť hlavné typy kvadratických rovníc: redukované a neredukované, ako aj úplné a neúplné rovnice.

Definícia a príklady kvadratických rovníc

Definícia.

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru a x 2 + b x + c = 0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a a je nenulové.

Povedzme hneď, že kvadratické rovnice sa často nazývajú rovnice druhého stupňa. Je to spôsobené tým, že kvadratická rovnica je algebraická rovnica druhého stupňa.

Uvedená definícia nám umožňuje uviesť príklady kvadratických rovníc. Takže 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0 atď. Toto sú kvadratické rovnice.

Definícia.

čísla a, b a c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice a·x 2 +b·x+c=0 a koeficient a sa nazýva prvý alebo najvyšší alebo koeficient x 2, b je druhý koeficient alebo koeficient x a c je voľný člen .

Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 −2 x −3=0, tu je vodiaci koeficient 5, druhý koeficient sa rovná −2 a voľný člen sa rovná −3. Upozorňujeme, že ak sú koeficienty b a/alebo c záporné, ako v práve uvedenom príklade, skrátená forma kvadratickej rovnice je 5 x 2 −2 x−3=0 , a nie 5 x 2 +(−2 ) ·x+(-3)=0.

Stojí za zmienku, že keď sa koeficienty a a/alebo b rovnajú 1 alebo -1, potom zvyčajne nie sú explicitne prítomné v kvadratickej rovnici, čo je spôsobené zvláštnosťami ich písania. Napríklad v kvadratickej rovnici y 2 −y+3=0 je vedúci koeficient jedna a koeficient y sa rovná −1.

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

V závislosti od hodnoty vedúceho koeficientu sa rozlišujú redukované a neredukované kvadratické rovnice. Uveďme zodpovedajúce definície.

Definícia.

Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej je vedúci koeficient 1 daná kvadratická rovnica. Inak platí kvadratická rovnica nedotknuté.

Podľa tejto definície kvadratické rovnice x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 atď. – daný, v každom z nich je prvý koeficient rovný jednej. A 5 x 2 −x−1=0 atď. - neredukované kvadratické rovnice, ich vodiace koeficienty sú odlišné od 1.

Z akejkoľvek neredukovanej kvadratickej rovnice vydelením oboch strán vodiacim koeficientom môžete prejsť k redukovanej. Táto akcia je ekvivalentnou transformáciou, to znamená, že takto získaná redukovaná kvadratická rovnica má rovnaké korene ako pôvodná neredukovaná kvadratická rovnica, alebo podobne ako ona nemá žiadne korene.

Pozrime sa na príklad, ako sa vykonáva prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad.

Z rovnice 3 x 2 +12 x−7=0 prejdite na zodpovedajúcu redukovanú kvadratickú rovnicu.

Riešenie.

Potrebujeme len vydeliť obe strany pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 3, je nenulový, aby sme mohli vykonať túto akciu. Máme (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, čo je rovnaké, (3x2):3+(12 x):3−7:3=0 a potom (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, odkiaľ . Takto sme získali redukovanú kvadratickú rovnicu, ktorá je ekvivalentná pôvodnej.

odpoveď:

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Definícia kvadratickej rovnice obsahuje podmienku a≠0. Táto podmienka je potrebná, aby rovnica a x 2 + b x + c = 0 bola kvadratická, pretože keď a = 0, stáva sa vlastne lineárnou rovnicou v tvare b x + c = 0.

Pokiaľ ide o koeficienty b a c, môžu sa rovnať nule, jednotlivo aj spolu. V týchto prípadoch sa kvadratická rovnica nazýva neúplná.

Definícia.

Kvadratická rovnica a x 2 +b x+c=0 sa nazýva neúplné, ak sa aspoň jeden z koeficientov b, c rovná nule.

Vo svojom poradí

Definícia.

Kompletná kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty odlišné od nuly.

Takéto mená neboli dané náhodou. To bude zrejmé z nasledujúcich diskusií.

Ak je koeficient b nula, potom má kvadratická rovnica tvar a·x 2 +0·x+c=0 a je ekvivalentná rovnici a·x 2 +c=0. Ak c=0, to znamená, že kvadratická rovnica má tvar a·x 2 +b·x+0=0, potom ju možno prepísať ako a·x 2 +b·x=0. A s b=0 ac=0 dostaneme kvadratickú rovnicu a·x 2 =0. Výsledné rovnice sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje. Odtiaľ pochádza ich názov – neúplné kvadratické rovnice.

Takže rovnice x 2 +x+1=0 a −2 x 2 −5 x+0,2=0 sú príklady úplných kvadratických rovníc a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sú neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Z informácií v predchádzajúcom odseku vyplýva, že existuje tri typy neúplných kvadratických rovníc:

• a·x 2 =0, tomu zodpovedajú koeficienty b=0 a c=0;
• ax2+c=0, keď b=0;
• a ax2+bx=0, keď c=0.

Pozrime sa v poradí, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice každého z týchto typov.

a x 2 = 0

Začnime riešením neúplných kvadratických rovníc, v ktorých sú koeficienty b a c rovné nule, teda rovnicami v tvare a x 2 =0. Rovnica a·x 2 =0 je ekvivalentná rovnici x 2 =0, ktorá sa získa z originálu delením oboch častí nenulovým číslom a. Je zrejmé, že koreň rovnice x 2 = 0 je nula, pretože 0 2 = 0. Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa vysvetľuje tým, že pre akékoľvek nenulové číslo p platí nerovnosť p 2 >0, čo znamená, že pre p≠0 sa nikdy nedosiahne rovnosť p 2 =0.

Neúplná kvadratická rovnica a·x 2 =0 má teda jeden koreň x=0.

Ako príklad uvedieme riešenie neúplnej kvadratickej rovnice −4 x 2 =0. Je ekvivalentná rovnici x 2 =0, jej jediný koreň je x=0, preto má pôvodná rovnica jeden koreň nula.

Krátke riešenie v tomto prípade možno napísať takto:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 + c = 0

Teraz sa pozrime, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice, v ktorých je koeficient b nula a c≠0, teda rovnice tvaru a x 2 +c=0. Vieme, že presun člena z jednej strany rovnice na druhú s opačným znamienkom, ako aj delenie oboch strán rovnice nenulovým číslom, dáva ekvivalentnú rovnicu. Preto môžeme vykonať nasledujúce ekvivalentné transformácie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 +c=0:

• presuňte c na pravú stranu, čím získate rovnicu a x 2 =−c,
• a obe strany vydelíme a, dostaneme .

Výsledná rovnica nám umožňuje vyvodiť závery o jej koreňoch. V závislosti od hodnôt a a c môže byť hodnota výrazu záporná (napríklad ak a=1 a c=2, potom ) alebo kladná (napríklad ak a=−2 a c=6, potom ), nie je nula , keďže podľa podmienky c≠0. Pozrime sa na prípady samostatne.

Ak , potom rovnica nemá korene. Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporné číslo. Z toho vyplýva, že keď , potom pre žiadne číslo p nemôže platiť rovnosť.

Ak , potom je situácia s koreňmi rovnice iná. V tomto prípade, ak si pamätáme asi , potom sa koreň rovnice okamžite stane zrejmým; je to číslo, pretože . Je ľahké uhádnuť, že číslo je tiež koreňom rovnice, skutočne, . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa dá ukázať napríklad protirečením. Poďme na to.

Označme korene práve oznámenej rovnice ako x 1 a −x 1 . Predpokladajme, že rovnica má ešte jeden koreň x 2, odlišný od uvedených koreňov x 1 a −x 1. Je známe, že dosadením jej koreňov do rovnice namiesto x sa rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť. Pre x 1 a −x 1 máme , a pre x 2 máme . Vlastnosti numerických rovníc nám umožňujú vykonávať odčítanie správnych numerických rovníc po členoch, takže odčítanie zodpovedajúcich častí rovnosti dáva x 1 2 −x 2 2 =0. Vlastnosti operácií s číslami nám umožňujú prepísať výslednú rovnosť ako (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Vieme, že súčin dvoch čísel sa rovná nule práve vtedy, ak sa aspoň jedno z nich rovná nule. Z výslednej rovnosti teda vyplýva, že x 1 −x 2 =0 a/alebo x 1 +x 2 =0, čo je rovnaké, x 2 =x 1 a/alebo x 2 =−x 1. Došli sme teda k rozporu, keďže na začiatku sme povedali, že koreň rovnice x 2 je odlišný od x 1 a −x 1. To dokazuje, že rovnica nemá iné korene ako a .

Zhrňme si informácie v tomto odseku. Neúplná kvadratická rovnica a x 2 +c=0 je ekvivalentná rovnici, ktorá

• nemá korene, ak,
• má dva korene a ak .

Uvažujme príklady riešenia neúplných kvadratických rovníc v tvare a·x 2 +c=0.

Začnime kvadratickou rovnicou 9 x 2 +7=0. Po presunutí voľného člena na pravú stranu rovnice bude mať tvar 9 x 2 =−7. Vydelením oboch strán výslednej rovnice číslom 9 sa dostaneme k . Keďže pravá strana má záporné číslo, táto rovnica nemá korene, preto pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 +7 = 0 nemá korene.

Vyriešme ďalšiu neúplnú kvadratickú rovnicu −x 2 +9=0. Presunieme deviatku na pravú stranu: −x 2 =−9. Teraz vydelíme obe strany −1, dostaneme x 2 =9. Na pravej strane je kladné číslo, z ktorého usudzujeme, že alebo . Potom zapíšeme konečnú odpoveď: neúplná kvadratická rovnica −x 2 +9=0 má dva korene x=3 alebo x=−3.

a x 2 + b x = 0

Zostáva sa zaoberať riešením posledného typu neúplných kvadratických rovníc pre c=0. Neúplné kvadratické rovnice tvaru a x 2 + b x = 0 umožňujú riešiť faktorizačná metóda. Je zrejmé, že môžeme, nachádzame sa na ľavej strane rovnice, pre ktorú stačí vyňať spoločný faktor x zo zátvoriek. To nám umožňuje prejsť od pôvodnej neúplnej kvadratickej rovnice k ekvivalentnej rovnici v tvare x·(a·x+b)=0. A táto rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc x=0 a a·x+b=0, z ktorých druhá je lineárna a má koreň x=−b/a.

Neúplná kvadratická rovnica a·x 2 +b·x=0 má teda dva korene x=0 a x=−b/a.

Pre konsolidáciu materiálu rozoberieme riešenie na konkrétnom príklade.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Vybratím x zo zátvoriek dostaneme rovnicu . Je ekvivalentom dvoch rovníc x=0 a . Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu: a delením zmiešaného čísla obyčajným zlomkom nájdeme . Preto korene pôvodnej rovnice sú x=0 a .

Po získaní potrebnej praxe môžu byť riešenia takýchto rovníc stručne napísané:

odpoveď:

x=0,.

Diskriminant, vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Na riešenie kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec. Poďme si to zapísať vzorec pre korene kvadratickej rovnice: , Kde D=b2-4a c- tzv diskriminant kvadratickej rovnice. Zápis v podstate znamená, že .

Je užitočné vedieť, ako bol odvodený koreňový vzorec a ako sa používa pri hľadaní koreňov kvadratických rovníc. Poďme na to.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu a·x 2 +b·x+c=0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• Obe strany tejto rovnice môžeme vydeliť nenulovým číslom a, výsledkom čoho je nasledujúca kvadratická rovnica.
• Teraz vyberte celý štvorec na jeho ľavej strane: . Potom bude mať rovnica tvar .
• V tejto fáze je možné preniesť posledné dva pojmy na pravú stranu s opačným znamienkom, máme .
• A tiež transformujme výraz na pravej strane: .

Výsledkom je, že dospejeme k rovnici, ktorá je ekvivalentná pôvodnej kvadratickej rovnici a·x 2 +b·x+c=0.

Rovnice podobného tvaru sme už riešili v predchádzajúcich odsekoch, keď sme skúmali. To nám umožňuje vyvodiť nasledujúce závery týkajúce sa koreňov rovnice:

• ak , potom rovnica nemá žiadne reálne riešenia;
• if , tak rovnica má tvar , teda , z ktorej je viditeľný jej jediný koreň;
• if , then or , čo je rovnaké ako alebo , to znamená, že rovnica má dva korene.

Prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice, a teda aj pôvodnej kvadratickej rovnice, závisí od znamienka výrazu na pravej strane. Znamienko tohto výrazu je zasa určené znamienkom čitateľa, keďže menovateľ 4·a 2 je vždy kladný, teda znamienkom výrazu b 2 −4·a·c. Tento výraz b 2 −4 a c bol nazvaný diskriminant kvadratickej rovnice a označený listom D. Odtiaľ je jasná podstata diskriminantu - na základe jeho hodnoty a znamienka usudzujú, či má kvadratická rovnica skutočné korene, a ak áno, aké je ich číslo - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici a prepíšme ju pomocou diskriminačného zápisu: . A vyvodíme závery:

• ak D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ak D=0, potom táto rovnica má jeden koreň;
• nakoniec, ak D>0, tak rovnica má dva korene alebo, ktoré môžeme prepísať do tvaru alebo a po rozšírení a privedení zlomkov na spoločného menovateľa dostaneme.

Odvodili sme teda vzorce pre korene kvadratickej rovnice, vyzerajú takto , kde diskriminant D vypočítame podľa vzorca D=b 2 −4·a·c.

S ich pomocou, s kladným diskriminantom, môžete vypočítať oba skutočné korene kvadratickej rovnice. Keď sa diskriminant rovná nule, oba vzorce dávajú rovnakú hodnotu koreňa, čo zodpovedá jedinečnému riešeniu kvadratickej rovnice. A so záporným diskriminantom, keď sa pokúšame použiť vzorec pre korene kvadratickej rovnice, čelíme extrakcii druhej odmocniny zo záporného čísla, čo nás posúva mimo rámec školských osnov. So záporným diskriminantom nemá kvadratická rovnica skutočné korene, ale má pár komplexný konjugát korene, ktoré možno nájsť pomocou rovnakých koreňových vzorcov, ktoré sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

V praxi pri riešení kvadratických rovníc môžete okamžite použiť koreňový vzorec na výpočet ich hodnôt. Ale to súvisí skôr s hľadaním zložitých koreňov.

V kurze školskej algebry však zvyčajne nehovoríme o komplexných, ale o skutočných koreňoch kvadratickej rovnice. V tomto prípade je vhodné pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najprv nájsť diskriminant, uistiť sa, že je nezáporný (v opačnom prípade môžeme konštatovať, že rovnica nemá skutočné korene), a až potom vypočítajte hodnoty koreňov.

Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje písať Algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice. Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0 potrebujete:

• pomocou diskriminačného vzorca D=b 2 −4·a·c vypočítajte jeho hodnotu;
• dospieť k záveru, že kvadratická rovnica nemá skutočné korene, ak je diskriminant záporný;
• vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca, ak D=0;
• nájdite dva skutočné korene kvadratickej rovnice pomocou koreňového vzorca, ak je diskriminant kladný.

Tu len poznamenávame, že ak je diskriminant rovný nule, môžete použiť aj vzorec; dá rovnakú hodnotu ako .

Môžete prejsť na príklady použitia algoritmu na riešenie kvadratických rovníc.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uvažujme riešenia troch kvadratických rovníc s kladným, záporným a nulovým diskriminantom. Po ich riešení bude možné analogicky vyriešiť akúkoľvek inú kvadratickú rovnicu. Poďme začať.

Príklad.

Nájdite korene rovnice x 2 +2·x−6=0.

Riešenie.

V tomto prípade máme tieto koeficienty kvadratickej rovnice: a=1, b=2 a c=−6. Podľa algoritmu musíte najskôr vypočítať diskriminant, na to dosadíme označené a, b a c do diskriminačného vzorca, máme D=b2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Keďže 28>0, teda diskriminant je väčší ako nula, má kvadratická rovnica dva reálne korene. Poďme ich nájsť pomocou koreňového vzorca, dostaneme , tu môžete zjednodušiť výsledné výrazy tým, že urobíte posunutie násobiteľa za koreňový znak nasleduje redukcia frakcie:

odpoveď:

Prejdime k ďalšiemu typickému príkladu.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Riešenie.

Začneme hľadaním diskriminačného prvku: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Preto má táto kvadratická rovnica jeden koreň, ktorý nájdeme ako , tj.

odpoveď:

x = 3,5.

Zostáva zvážiť riešenie kvadratických rovníc so záporným diskriminantom.

Príklad.

Riešte rovnicu 5·y 2 +6·y+2=0.

Riešenie.

Tu sú koeficienty kvadratickej rovnice: a=5, b=6 a c=2. Tieto hodnoty dosadíme do diskriminačného vzorca, máme D=b2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant je záporný, preto táto kvadratická rovnica nemá skutočné korene.

Ak potrebujete uviesť zložité korene, potom použijeme známy vzorec pre korene kvadratickej rovnice a vykonáme operácie s komplexnými číslami:

odpoveď:

neexistujú skutočné korene, zložité korene sú: .

Ešte raz si všimnime, že ak je diskriminant kvadratickej rovnice záporný, potom v škole zvyčajne okamžite zapíšu odpoveď, v ktorej naznačujú, že neexistujú žiadne skutočné korene a komplexné korene sa nenachádzajú.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice, kde D=b 2 −4·a·c vám umožňuje získať vzorec kompaktnejšieho tvaru, ktorý vám umožňuje riešiť kvadratické rovnice s párnym koeficientom pre x (alebo jednoducho s a koeficient, ktorý má napríklad tvar 2·n alebo 14·ln5=2·7·ln5). Poďme ju dostať von.

Povedzme, že potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare a x 2 +2 n x+c=0. Poďme nájsť jeho korene pomocou vzorca, ktorý poznáme. Na tento účel vypočítame diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) a potom použijeme koreňový vzorec:

Označme výraz n 2 −a c ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n bude mať tvar , kde D 1 = n 2 −a·c.

Je ľahké vidieť, že D=4·D1 alebo D1=D/4. Inými slovami, D 1 je štvrtá časť rozlišovacieho znaku. Je jasné, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D . To znamená, že znamienko D 1 je tiež indikátorom prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Takže na vyriešenie kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2·n potrebujete

• Vypočítajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ak D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ak D 1 = 0, potom vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca;
• Ak D 1 >0, potom pomocou vzorca nájdite dva skutočné korene.

Uvažujme o riešení príkladu pomocou koreňového vzorca získaného v tomto odseku.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu 5 x 2 −6 x −32=0 .

Riešenie.

Druhý koeficient tejto rovnice môže byť reprezentovaný ako 2·(−3) . To znamená, že môžete prepísať pôvodnú kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tu a=5, n=−3 a c=−32, a vypočítať štvrtú časť diskriminačný: D 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Keďže jej hodnota je kladná, rovnica má dva skutočné korene. Poďme ich nájsť pomocou príslušného koreňového vzorca:

Všimnite si, že bolo možné použiť obvyklý vzorec pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo potrebné vykonať viac výpočtovej práce.

odpoveď:

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy predtým, ako začnete počítať korene kvadratickej rovnice pomocou vzorcov, nezaškodí položiť si otázku: „Je možné zjednodušiť formu tejto rovnice? Súhlaste s tým, že z hľadiska výpočtov bude jednoduchšie vyriešiť kvadratickú rovnicu 11 x 2 −4 x−6=0 ako 1100 x 2 −400 x−600=0.

Typicky sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice dosiahne vynásobením alebo delením oboch strán určitým číslom. Napríklad v predchádzajúcom odseku bolo možné zjednodušiť rovnicu 1100 x 2 −400 x −600=0 vydelením oboch strán číslom 100.

Podobná transformácia sa vykonáva s kvadratickými rovnicami, ktorých koeficienty nie sú . V tomto prípade sú obe strany rovnice zvyčajne rozdelené absolútnymi hodnotami jej koeficientov. Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 12 x 2 −42 x+48=0. absolútne hodnoty jeho koeficientov: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Vydelením oboch strán pôvodnej kvadratickej rovnice číslom 6 dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 −7 x+8=0.

A násobenie oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne robí, aby sa zbavili zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa násobenie vykonáva menovateľmi jeho koeficientov. Napríklad, ak sú obe strany kvadratickej rovnice vynásobené LCM(6, 3, 1)=6, potom bude mať jednoduchší tvar x 2 +4·x−18=0.

Na záver tohto bodu poznamenávame, že takmer vždy sa zbavia mínusu pri najvyššom koeficiente kvadratickej rovnice zmenou znamienka všetkých členov, čo zodpovedá vynásobeniu (alebo deleniu) oboch strán −1. Napríklad zvyčajne sa prejde od kvadratickej rovnice −2 x 2 −3 x+7=0 k riešeniu 2 x 2 +3 x−7=0 .

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice vyjadruje korene rovnice prostredníctvom jej koeficientov. Na základe koreňového vzorca môžete získať ďalšie vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné vzorce z Vietovej vety sú tvaru a . Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu sa súčet koreňov rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad, keď sa pozrieme na tvar kvadratickej rovnice 3 x 2 −7 x + 22 = 0, môžeme okamžite povedať, že súčet jej koreňov sa rovná 7/3 a súčin koreňov sa rovná 22. /3.

Pomocou už napísaných vzorcov môžete získať množstvo ďalších spojení medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Napríklad súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice môžete vyjadriť prostredníctvom jej koeficientov: .

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. Za 2 hod.. Časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.

“, teda rovnice prvého stupňa. V tejto lekcii sa na to pozrieme čo sa nazýva kvadratická rovnica a ako to vyriešiť.

Čo je to kvadratická rovnica?

Dôležité!

Stupeň rovnice je určený najvyšším stupňom, v ktorom neznáma stojí.

Ak je maximálny výkon, v ktorom je neznáma „2“, potom máte kvadratickú rovnicu.

Príklady kvadratických rovníc

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0

Dôležité! Všeobecný tvar kvadratickej rovnice vyzerá takto:

A x 2 + b x + c = 0

„a“, „b“ a „c“ sú dané čísla.

• „a“ je prvý alebo najvyšší koeficient;
• „b“ je druhý koeficient;
• „c“ je voľný člen.

Ak chcete nájsť „a“, „b“ a „c“, musíte porovnať svoju rovnicu so všeobecným tvarom kvadratickej rovnice „ax 2 + bx + c = 0“.

Precvičme si určovanie koeficientov „a“, „b“ a „c“ v kvadratických rovniciach.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Rovnica	Odds
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25 x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Ako riešiť kvadratické rovnice

Na rozdiel od lineárnych rovníc sa na riešenie kvadratických rovníc používa špeciálna metóda. vzorec na hľadanie koreňov.

Pamätajte!

Na vyriešenie kvadratickej rovnice potrebujete:

• priveďte kvadratickú rovnicu do všeobecného tvaru „ax 2 + bx + c = 0“. To znamená, že na pravej strane by mala zostať iba „0“;
• použite vzorec pre korene:

Pozrime sa na príklad, ako použiť vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice. Poďme vyriešiť kvadratickú rovnicu.

X 2 − 3x − 4 = 0

Rovnica „x 2 − 3x − 4 = 0“ už bola zredukovaná na všeobecný tvar „ax 2 + bx + c = 0“ a nevyžaduje ďalšie zjednodušenia. Aby sme to vyriešili, musíme len podať žiadosť vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice.

Určme koeficienty „a“, „b“ a „c“ pre túto rovnicu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Môže sa použiť na riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice.

Vo vzorci „x 1;2 = “ sa radikálny výraz často nahrádza
„b 2 − 4ac“ pre písmeno „D“ a nazýva sa diskriminačný. Pojem diskriminant je podrobnejšie rozobraný v lekcii „Čo je diskriminant“.

Pozrime sa na ďalší príklad kvadratickej rovnice.

x 2 + 9 + x = 7x

V tejto forme je pomerne ťažké určiť koeficienty „a“, „b“ a „c“. Najprv zredukujme rovnicu na všeobecný tvar „ax 2 + bx + c = 0“.

X2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Teraz môžete použiť vzorec pre korene.

Xi;2=
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Odpoveď: x = 3

Sú chvíle, keď kvadratické rovnice nemajú korene. Táto situácia nastane, keď vzorec obsahuje pod koreňom záporné číslo.