10 में से 2 का संयोजन बनाएं। कॉम्बिनेटरिक्स: बुनियादी नियम और सूत्र। संयोजन। संयोजनों की संख्या की गणना

सबसे पहले, आइए हम कॉम्बिनेटरिक्स की बुनियादी अवधारणाओं का विश्लेषण करें - चयन और उनके प्रकार: क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट और संयोजन। दोनों स्तरों के गणित में परीक्षा 2020 के एक बड़े हिस्से को हल करने के लिए उन्हें जानना आवश्यक है, साथ ही ओजीई पास करने के लिए नौवीं कक्षा के छात्र भी हैं। आइए एक उदाहरण से शुरू करते हैं।

क्रमपरिवर्तन। क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना।

कल्पना कीजिए कि आपने एक ऐसा पेशा चुना है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है, उदाहरण के लिए, एक इंटीरियर डिजाइनर। कल्पना कीजिए कि ग्राहक ने आपसे एक अनुरोध किया है:

"शेल्फ़ पर 4 किताबें व्यवस्थित करें ताकि बरगंडी और नीले रंग एक साथ न हों। मुझे दिखाओ सबप्लेसमेंट विकल्प। मैं सबसे पसंदीदा को चुनूंगा।"

तुम क्या करने वाले हो? सबसे अधिक संभावना है, आप व्यवस्था करना और दिखाना शुरू कर देंगे। हालांकि, भ्रमित न होने के लिए, किसी भी संभावित विकल्प को याद न करने और दोहराने के लिए नहीं, आपको कुछ सिस्टम के अनुसार ऐसा करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, सबसे पहले हम बरगंडी वॉल्यूम को पहले स्थान पर छोड़ देते हैं, इसके आगे एक हरा या नारंगी हो सकता है। यदि हरे रंग की मात्रा दूसरे स्थान पर है, तो या तो नारंगी और नीला, या नीला और नारंगी अगला खड़ा हो सकता है। यदि नारंगी का आयतन दूसरे स्थान पर है, तो या तो हरा और नीला, या नीला और हरा अगला स्थान ले सकता है। कुल मिलाकर, 4 संभावित विकल्प हैं।

पहली जगह में 4 खंडों में से कोई भी हो सकता है, जिसका अर्थ है कि वर्णित प्रक्रिया को 3 बार दोहराया जाना चाहिए। वह मामला जहां नीला आयतन पहले स्थान पर है, उसी तर्क से प्राप्त होता है।

और अगले दो मामलों में अंतर है कि शेष तीन स्थानों में बरगंडी और नीले रंग की मात्रा होनी चाहिए, लेकिन एक दूसरे के बगल में नहीं। उदाहरण के लिए, जब हरे रंग की मात्रा पहले आती है, तो बरगंडी और नीले संस्करणों को अलग करने के लिए नारंगी मात्रा तीसरे स्थान पर होनी चाहिए, जो क्रमशः दूसरे और चौथे, या चौथे और दूसरे स्थान पर हो सकती है।

परिणामस्वरूप, हमें दी गई सीमा के साथ शेल्फ पर 4 पुस्तकों को व्यवस्थित करने के लिए केवल 12 विकल्प मिले। यह बहुत है या थोड़ा? यदि आप पुस्तकों को स्थानांतरित करने और ग्राहक के साथ परिणामी संस्करण पर चर्चा करने में एक मिनट बिताते हैं, तो, शायद, ठीक है। 12 मिनट के लिए आप किताबें ले जा सकते हैं और बात कर सकते हैं। (यह गिनने की कोशिश करें कि 4 पुस्तकों के कितने क्रमपरिवर्तन बिना किसी प्रतिबंध के निकले होंगे?)

अब कल्पना कीजिए कि ग्राहक के पास ४ से अधिक पुस्तकें हैं। ठीक है, कम से कम ५। यह स्पष्ट है कि व्यवस्था के लिए अधिक विकल्प होंगे, और उन्हें एक स्थान से दूसरे स्थान पर पुनर्व्यवस्थित करने में वास्तव में अधिक समय लगता है, और भ्रमित होना आसान है और दोहराना शुरू करें ... बिना तैयारी के लड़ाई अब इसके लायक नहीं है। आपको पहले कागज पर अपने विकल्पों की योजना बनानी होगी। संक्षिप्तता के लिए, हम अपने रंगीन आयतनों को क्रमांकित करेंगे और उनकी संख्याओं को कागज पर पुनर्व्यवस्थित करेंगे। कम गलतियाँ करने के लिए, पहले हम सभी क्रमपरिवर्तन विकल्पों को लिखते हैं, और फिर उनमें से जो प्रतिबंध के अंतर्गत आते हैं उन्हें हटा देते हैं। इसलिए:

"5 पुस्तकों को शेल्फ पर व्यवस्थित करें ताकि पहले और दूसरे खंड एक साथ न हों। दिखाएँ सबक्रमपरिवर्तन विकल्प।"

हमारे पास 5 किताबें (या 5 नंबर) हैं, जिनमें से प्रत्येक पहले आ सकती है। आइए इन 5 मामलों में से प्रत्येक के लिए अपनी प्लेट बनाएं। दूसरे स्थान पर शेष 4 अंकों में से कोई भी हो सकता है, उनमें से प्रत्येक के लिए हम प्लेट में एक कॉलम आरक्षित करेंगे।

प्रत्येक कॉलम में हम पंक्तियों के जोड़े रखते हैं, जिसमें शेष 3 अंकों में से एक तीसरे स्थान पर होता है, और अंतिम दो अंक आपस में बदल जाते हैं। इस प्रकार, हम ध्यान से लिखते हैं सबक्रमपरिवर्तन विकल्प। आइए उनकी कुल संख्या गिनें।

5 (टेबल) × 4(स्तंभ) × 3(पंक्तियों के जोड़े) × 2(तार) × 1 (विकल्प) = 120 (विकल्प)।

और अंत में, सभी तालिकाओं से "12" या "21" वाले विकल्पों को हटा दें। उनमें से पहली और दूसरी प्लेट में ६ और शेष ३ में १२ थे, कुल ४८ विकल्प जो प्रतिबंध को पूरा नहीं करते थे। इसका मतलब है कि ग्राहक को 5 किताबों की व्यवस्था के 120 - 48 = 72 वेरिएंट दिखाने होंगे। इसमें एक घंटे से अधिक समय लगेगा, भले ही प्रत्येक विकल्प पर चर्चा करने में केवल एक मिनट लगे।

लेकिन आपने एक ऐसे व्यक्ति को कहाँ देखा है जो पाँच पुस्तकों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए एक डिज़ाइनर को काम पर रखता है? वास्तव में, ऐसे कार्य पुस्तकालयों में उत्पन्न होते हैं जहाँ आपको आगंतुकों की सुविधा के लिए पुस्तकों की व्यवस्था करने की आवश्यकता होती है, बड़े किताबों की दुकानों में जहाँ आपको इस तरह से पुस्तकों की व्यवस्था करने की आवश्यकता होती है ताकि माँग में वृद्धि सुनिश्चित हो सके, आदि। यानी जहां चंद किताबें ही नहीं, दर्जनों भी नहीं, बल्कि सैकड़ों-हजारों हैं।

यह सिर्फ किताबें नहीं हैं जिन्हें क्रमपरिवर्तन गिनना है। गतिविधि के लगभग किसी भी क्षेत्र में बड़ी संख्या में किसी भी वस्तु के लिए इसकी आवश्यकता हो सकती है। इसका मतलब यह है कि दोनों डिजाइनरों और अन्य व्यवसायों के लोगों को प्रारंभिक चरण को सुविधाजनक बनाने, संभावित परिणामों का विश्लेषण करने और अनुत्पादक श्रम की मात्रा को कम करने के लिए एक सहायक, या इससे भी बेहतर उपकरण की आवश्यकता हो सकती है। इस तरह के उपकरण वैज्ञानिकों-गणितज्ञों द्वारा बनाए और बनाए गए, और फिर उन्हें तैयार किए गए फॉर्मूलों के रूप में समाज को देते हैं। गणितज्ञों ने क्रमपरिवर्तन से संबंधित मुद्दों के साथ-साथ विभिन्न तत्वों के स्थान और संयोजन की उपेक्षा नहीं की है। संबंधित सूत्र सदियों से मौजूद हैं। ये सूत्र बहुत सरल हैं, स्कूली गणित के पाठों में समाज के बढ़ते हिस्से को "सौंपा" जाता है। इसलिए, ऊपर जो कुछ भी लिखा गया था वह अनिवार्य रूप से "साइकिल का आविष्कार" है, जिसे इस धारणा के कारण सहारा लेना पड़ा कि एक इंटीरियर डिजाइनर को कभी भी गणित की आवश्यकता नहीं होगी। खैर, आइए इस धारणा को छोड़ दें। आइए गणित की अवधारणाओं की समीक्षा करें, और फिर बुकशेल्फ़ समस्या पर वापस जाएँ।

साहचर्य गणित का क्षेत्र कहा जाता है, जिसमें प्रश्नों का अध्ययन किया जाता है कि कितने अलग-अलग संयोजन, कुछ शर्तों के अधीन, किसी दिए गए सेट के तत्वों से बने हो सकते हैं। संयोजन बनाते समय, हम वास्तव में इस सेट से विभिन्न तत्वों का चयन करते हैं और उन्हें अपनी आवश्यकताओं के अनुसार समूहों में जोड़ते हैं, इसलिए, "संयोजन" शब्द के बजाय, अक्सर तत्वों के "चयन" शब्द का उपयोग किया जाता है।

क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए सूत्र।

क्रमपरिवर्तन तत्वों के चयन को कहा जाता है जो केवल तत्वों के क्रम में भिन्न होते हैं, लेकिन स्वयं तत्वों में नहीं।

यदि क्रमपरिवर्तन एक सेट पर किया जाता है एनतत्व, उनकी संख्या सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
पी न = एन·( एन-1) ( एन−2) ... 3 2 1 = एन!

एन! - एक पदनाम जिसका उपयोग सभी के काम को संक्षिप्त रूप से रिकॉर्ड करने के लिए किया जाता है प्राकृतिक संख्याएं 1 से . तक एनसमावेशी और बुलाया " एन-फैक्टोरियल "(अंग्रेजी से अनुवादित" कारक "-" गुणक ")।

इस प्रकार, 5 पुस्तकों के क्रमपरिवर्तन की कुल संख्या पी 5 = 5! = १ · २ · ३ · ४ · ५ = १२०, जो हमें ऊपर मिला है। वास्तव में, हमने इस सूत्र को के लिए व्युत्पन्न किया है छोटा उदाहरण... अब एक बड़ा उदाहरण हल करते हैं।

समस्या १.

बुकशेल्फ़ में 30 खंड हैं। उन्हें कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि खंड 1 और 2 एक साथ न खड़े हों?

समाधान।

सूत्र द्वारा 30 तत्वों के क्रमपरिवर्तन की कुल संख्या निर्धारित करें पी 30=30!
"अतिरिक्त" क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना करने के लिए, पहले यह निर्धारित करें कि कितने विकल्प हैं जिनमें दूसरा वॉल्यूम 1 के दाईं ओर है। इस तरह के क्रमपरिवर्तन में, पहला खंड पहले से २९वें तक और दूसरे से ३०वें तक के स्थान पर कब्जा कर सकता है - इस जोड़ी की पुस्तकों के लिए केवल २९ स्थान। और पहले दो खंडों की प्रत्येक ऐसी स्थिति के लिए, शेष 28 पुस्तकें मनमाने क्रम में शेष 28 स्थानों पर कब्जा कर सकती हैं। २८ पुस्तकों के लिए पुनर्व्यवस्था विकल्प पी 28= 28! कुल मिलाकर, यदि दूसरा खंड 1 के दाईं ओर स्थित है, तो यह 29 · 28 हो जाएगा! = 29!.
इसी तरह, उस मामले पर विचार करें जब दूसरा खंड 1 के बगल में स्थित हो, लेकिन इसके बाईं ओर। यह 29 · 28 विकल्पों की संख्या समान है! = 29!.
इसका मतलब है कि 2 · 29! "अनावश्यक" क्रमपरिवर्तन हैं! आइए इस मान की गणना करें।
तीस! = 29! 30; ३०! −२ · २९! = 29! (30−2) = 29! 28।
इसलिए, हमें सभी प्राकृत संख्याओं को 1 से 29 तक गुणा करना होगा और फिर से 28 से गुणा करना होगा।
उत्तर:२.४७५७३३५ १० ३२.

यह एक बहुत बड़ी संख्या है (2 के बाद 32 और अंक हैं)। यदि प्रत्येक क्रमपरिवर्तन के लिए एक सेकंड भी लगता है, तो भी इसमें अरबों वर्ष लगेंगे। क्या ऐसे ग्राहक की आवश्यकता को पूरा करना उचित है, या क्या उस पर उचित रूप से आपत्ति करने और अतिरिक्त प्रतिबंधों को लागू करने पर जोर देने में सक्षम होना बेहतर है?

क्रमपरिवर्तन और संभाव्यता सिद्धांत।

इससे भी अधिक बार, प्रायिकता के सिद्धांत में विकल्पों की संख्या गिनने की आवश्यकता उत्पन्न होती है। आइए अगले कार्य के साथ पुस्तक विषय को जारी रखें।

टास्क 2.

बुकशेल्फ़ पर 30 खंड थे। बच्चे ने किताबों को शेल्फ से गिरा दिया और फिर उन्हें यादृच्छिक क्रम में व्यवस्थित किया। क्या संभावना है कि वह नहींपहले और दूसरे खंड को साथ-साथ रखें?

समाधान।

सबसे पहले, हम घटना ए की संभावना निर्धारित करते हैं, जिसमें इस तथ्य को शामिल किया जाता है कि बच्चे ने पहले और दूसरे खंडों को एक साथ रखा है।
एक प्राथमिक घटना शेल्फ पर पुस्तकों की एक निश्चित व्यवस्था है। यह स्पष्ट है कि कुल संख्या के सभीप्राथमिक घटनाएँ सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों की कुल संख्या के बराबर होंगी पी 30=30!.
घटना ए के अनुकूल प्राथमिक घटनाओं की संख्या क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है जिसमें पहले और दूसरे खंड एक साथ हैं। हमने पिछली समस्या को हल करते हुए इस तरह के क्रमपरिवर्तन पर विचार किया, और 2 · 29 प्राप्त किया! क्रमपरिवर्तन।
सभी संभावित प्राथमिक घटनाओं की संख्या से अनुकूल प्राथमिक घटनाओं की संख्या को विभाजित करके संभाव्यता निर्धारित की जाती है:
पी (ए) = २ २९! / ३०! = २ २९!/ (२९! ३०) = २/३० = १/१५।
घटना बी - बच्चा नहींपहले और दूसरे खंडों को एक साथ रखें - घटना ए के विपरीत, इसलिए इसकी संभावना पी (बी) = 1 - पी (ए) = 1-1 / 15 = 14/15 = 0.9333
उत्तर: 0,9333.

ध्यान दें:यदि यह स्पष्ट नहीं है कि भाज्य के साथ भिन्नों को कैसे रद्द किया जा सकता है, तो याद रखें कि भाज्य उत्पाद का एक संक्षिप्त संकेतन है। इसे हमेशा लंबा लिखा जा सकता है और अंश और हर में दोहराए जाने वाले कारकों को पार किया जा सकता है।

उत्तर एक संख्या के करीब निकला, जिसका अर्थ है कि इतनी सारी पुस्तकों के साथ, गलती से दो दिए गए खंडों को एक साथ रखना अधिक कठिन है।

निवास स्थान। नियुक्तियों की संख्या की गणना।

अब मान लीजिए कि ग्राहक के पास बहुत सारी किताबें हैं और उन सभी को खुली अलमारियों पर रखना असंभव है। उनका अनुरोध है कि आपको किन्हीं पुस्तकों की एक निश्चित संख्या का चयन करके उन्हें सुंदर ढंग से रखने की आवश्यकता है। यह खूबसूरती से निकला या बदसूरत ग्राहक के स्वाद का मामला है, अर्थात। वह फिर से देखना चाहता है सबविकल्प और अपने लिए निर्णय लें। हमारा काम सभी संभावित बुक प्लेसमेंट विकल्पों की संख्या की गणना करना, उन्हें उचित रूप से मनाना और उचित प्रतिबंध लगाना है।

स्थिति को समझने के लिए, आइए पहले मान लें कि "कई" 5 पुस्तकें हैं, कि हमारे पास केवल एक शेल्फ है, और इसमें केवल 3 खंड हैं। हम क्या करेंगे?
हम 5 पुस्तकों में से एक चुनते हैं और इसे पहले स्थान पर शेल्फ पर रखते हैं। इसे हम 5 तरीकों से कर सकते हैं। अब शेल्फ पर दो स्थान बचे हैं और हमारे पास 4 पुस्तकें शेष हैं। हम दूसरी पुस्तक को 4 तरीकों से चुन सकते हैं और इसे पहले संभावित 5 में से किसी एक के आगे रख सकते हैं। ऐसे ५ · ४ जोड़े हो सकते हैं। 3 किताबें और एक जगह बाकी है। ३ में से एक पुस्तक को ३ तरीकों से चुना जा सकता है और संभावित ५ · ४ जोड़े में से किसी एक के बगल में रखा जा सकता है। आपको ५ · ४ · ३ अलग-अलग ट्रिपल मिलते हैं। इसका मतलब है कि ५ ५ · ४ · ३ = ६० में से ३ पुस्तकों को रखने के कुल तरीके हैं।

यह आंकड़ा ६० में से केवल ४ प्लेसमेंट विकल्प दिखाता है। चित्रों की तुलना करें। कृपया ध्यान दें कि प्लेसमेंट एक दूसरे से या तो केवल तत्वों के क्रम में भिन्न हो सकते हैं, जैसा कि पहले दो समूहों में है, या तत्वों की संरचना में, जैसा कि निम्नलिखित में है।

नियुक्तियों की संख्या के लिए सूत्र।

आवास से एनतत्वों द्वारा एम(स्थान) ऐसे नमूने कहलाते हैं, जिनमें एमडेटा की संख्या से चयनित आइटम एनतत्व एक दूसरे से या तो तत्वों की संरचना में या उनकी व्यवस्था के क्रम में भिन्न होते हैं।

से नियुक्तियों की संख्या एनपर एम लक्षित एएन एमऔर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
एएन एम = एन·( एन- 1) ( एन- 2) ... ( एन − एम + 1) = एन!/(एन - एम)!

आइए इस सूत्र का उपयोग करके गणना करने का प्रयास करें एक और नहीं, अर्थात। से नियुक्तियों की संख्या एनपर एन.
एक और नहीं = एन·( एन-1)·( एन-2) ... ( एन-एन + 1) = एन·( एन-1)·( एन-2) ... 1 = एन!
इस प्रकार, एक और नहीं = पी न = एन!

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि प्लेसमेंट की संख्या एनपर एनक्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर निकला एनतत्वों, क्योंकि हमने प्लेसमेंट बनाने के लिए तत्वों के पूरे सेट का उपयोग किया, जिसका अर्थ है कि वे अब तत्वों की संरचना में एक दूसरे से भिन्न नहीं हो सकते हैं, केवल उनकी व्यवस्था के क्रम में, और ये क्रमपरिवर्तन हैं।

समस्या 3.

यदि आप 30 उपलब्ध पुस्तकों में से चुनते हैं तो बुकशेल्फ़ पर 15 खंडों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समाधान।

सूत्र द्वारा १५ के ३० तत्वों के प्लेसमेंट की कुल संख्या निर्धारित करें
ए 30 15= 30 29 28 ... (30−15 + 1) = 30 29 28 ... 16 = 202843204931727360000।
उत्तर: 202843204931727360000.

पोस्ट करेंगे असली किताबें? आपको कामयाबी मिले! गणना करें कि सभी विकल्पों के माध्यम से जाने में कितने जीवन लगेंगे।

समस्या 4.

दो अलमारियों पर 30 पुस्तकों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है यदि उनमें से प्रत्येक में केवल 15 खंड हैं?

समाधान।

विधि मैं।
आइए कल्पना करें कि हम पहले शेल्फ को उसी तरह भरते हैं जैसे पिछले कार्य में। फिर 30 किताबों से लेकर 15 तक के आवास विकल्प होंगे ए 30 15= 30 29 28 ... (30−15 + 1) = 30 29 28 ... 16.
और हर बार जब हम किताबों को पहली शेल्फ पर रखते हैं, तब भी हम पी 15= १५! जिस तरह से हम दूसरी शेल्फ पर किताबों की व्यवस्था कर सकते हैं। आखिरकार, हमारे पास 15 सीटों वाली दूसरी शेल्फ के लिए 15 किताबें बची हैं, यानी। केवल क्रमपरिवर्तन संभव हैं।
कुल तरीके होंगे ए 30 15 पी 15, इस मामले में, 30 से 16 तक की सभी संख्याओं के गुणनफल को अभी भी 1 से 15 तक की सभी संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने की आवश्यकता होगी, आपको 1 से 30 तक सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल प्राप्त होता है, अर्थात। तीस!
विधि II।
अब आइए कल्पना करें कि हमारे पास 30 सीटों वाली एक लंबी शेल्फ थी। हमने उस पर सभी 30 किताबें रखीं, और फिर समस्या की स्थिति को पूरा करने के लिए शेल्फ को दो बराबर भागों में देखा। प्लेसमेंट के कितने विकल्प हो सकते हैं? 30 पुस्तकों से जितना संभव हो उतने क्रमपरिवर्तन, अर्थात्। पी 30 = 30!
उत्तर: 30!.

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप गणित की समस्या को कैसे हल करते हैं। आप इसे हल करते हैं जैसे आप अपने कार्यों की कल्पना करते हैं जीवन की स्थिति... वैसे भी सही उत्तर पाने के लिए अपने तर्क में तर्क से विचलित न होना महत्वपूर्ण है।

प्लेसमेंट और संभाव्यता सिद्धांत।

संभाव्यता सिद्धांत में, अन्य प्रकार के नमूनों की समस्याओं की तुलना में प्लेसमेंट की समस्याएं कुछ हद तक कम होती हैं, क्योंकि प्लेसमेंट में अधिक पहचान की विशेषताएं होती हैं - तत्वों का क्रम और संरचना दोनों, और इसलिए यादृच्छिक चयन के लिए कम संवेदनशील होते हैं।

समस्या 5.

बुकशेल्फ़ में एक लेखक द्वारा 6 खंडों में कार्यों का संग्रह है। एक ही प्रारूप की पुस्तकों को किसी विशेष क्रम में व्यवस्थित नहीं किया जाता है। पाठक बिना देखे 3 पुस्तकें लेता है। क्या संभावना है कि उसने पहले तीन खंड लिए?

समाधान।

घटना ए - पाठक के पास पहले तीन खंड हैं। चयन के क्रम को ध्यान में रखते हुए, वह उन्हें 6 तरीकों से ले सकता था। (ये 3 तत्वों के क्रमपरिवर्तन हैं पी ३ = ३! = १ २ ३ = ६, जो १२३, १३२, २१३, २३१, ३१२, ३२१ को सूचीबद्ध करना आसान है।)
इस प्रकार, अनुकूल प्रारंभिक घटनाओं की संख्या 6 है।
संभावित प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या 6 से 3 तक की नियुक्तियों की संख्या के बराबर है, अर्थात। ए६ ३ = ६ ... (६−३ + १) = ६ ५ ४ = १२०।
पी (ए) = 6/120 = 1/20 = 0.05।
उत्तर: 0,05.

संयोजन। संयोजनों की संख्या की गणना।

और आखिरी मामला - ग्राहक की सभी किताबें एक ही रंग और एक ही आकार की हैं, लेकिन उनमें से केवल एक हिस्सा ही शेल्फ पर रखा जा सकता है। ऐसा लगता है कि डिजाइनर को कोई समस्या नहीं है, कुल में से जितनी किताबें आपको चाहिए उतनी ही चुनें, और उन्हें बिना किसी विशेष क्रम में शेल्फ पर व्यवस्थित करें, क्योंकि किताबें बाहरी रूप से अप्रभेद्य हैं। लेकिन वे अलग हैं, और महत्वपूर्ण रूप से! ये पुस्तकें सामग्री में भिन्न हैं। और ग्राहक इस बात की परवाह नहीं कर सकते कि शेक्सपियर की त्रासदी कहाँ हैं, और रेक्स स्टाउट के जासूस कहाँ हैं, एक खुली शेल्फ पर या एक कोठरी में। इस प्रकार, हमारे पास एक ऐसी स्थिति है जब नमूना तत्वों की संरचना महत्वपूर्ण है, लेकिन उनकी व्यवस्था का क्रम महत्वहीन है।

यह आंकड़ा "5 खंडों में एक लेखक के एकत्रित कार्यों" से दो चयन दिखाता है। पहला ग्राहक को और अधिक खुश करेगा यदि वह अक्सर इस लेखक के शुरुआती कार्यों को पहले तीन खंडों में रखा जाता है, दूसरा - यदि वह अक्सर अंतिम संस्करणों में रखे गए बाद के कार्यों को संदर्भित करता है। दोनों समूह समान रूप से सुंदर (या समान रूप से बदसूरत) दिखते हैं और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि समूह 123 या 321 के रूप में स्थित है ...

संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र।

अनियंत्रित चयन कहलाते हैंसे एनतत्वों द्वारा एमऔर निरूपित साथएन एम.
संयोजनों की संख्या सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है साथएन एम = एन!/(एन- एम)! / एम!

इस सूत्र में दो भाजक हैं और प्रतीक " / "जो अधिक वेब पेज के अनुकूल है। लेकिन डिवीजनों को कोलन द्वारा भी दर्शाया जा सकता है" : "या एक क्षैतिज पट्टी" −−− "। बाद वाले मामले में, सूत्र इस तरह दिखता है सामान्य अंश, जिसमें हर में दो कारकों द्वारा क्रमिक विभाजन का प्रतिनिधित्व किया जाता है ... जो लोग भिन्नात्मक निरूपण को अधिक स्पष्ट रूप से समझते हैं, उनके लिए सभी सूत्र पृष्ठ के आरंभ में और अंत में दोहराए जाते हैं। समस्या समाधान का विश्लेषण करते समय, मेरी प्रविष्टि की तुलना उस प्रविष्टि से करें जिसके आप अभ्यस्त हैं।
इसके अतिरिक्त, इस सूत्र के सभी गुणनखंड और भाजक क्रमागत प्राकृत संख्याओं के गुणनफल होते हैं, इसलिए यदि अंश को विस्तार से लिखा जाए तो उसे अच्छी तरह से घटाया जा सकता है। लेकिन मैं समस्याओं में विस्तृत कमी को छोड़ देता हूं, इसे स्वयं जांचना आसान है।

यह स्पष्ट है कि समान प्रारंभिक सेटों के लिए एनतत्व और समान नमूना आकार (द्वारा एमतत्व) संयोजनों की संख्या नियुक्तियों की संख्या से कम होनी चाहिए। दरअसल, प्रत्येक चयनित समूह के लिए प्लेसमेंट की गणना करते समय, हम चयनित के सभी क्रमपरिवर्तन को भी ध्यान में रखते हैं एमतत्वों, और संयोजनों की गणना करते समय, क्रमपरिवर्तन को ध्यान में नहीं रखा जाता है: सी एन एम = ए एन एम/पी एम = एन!/(एन - एम)!/एम!

समस्या 6.

यदि आप उन्हें बाहरी रूप से अलग-अलग उपलब्ध 30 पुस्तकों में से चुनते हैं तो आप बुकशेल्फ़ पर 15 खंडों को कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?

समाधान।

हम इस समस्या को एक इंटीरियर डिजाइनर के काम के संदर्भ में हल करते हैं, इसलिए शेल्फ पर चयनित 15 समान रूप से समान पुस्तकों का क्रम कोई मायने नहीं रखता। सूत्र द्वारा 15 के 30 तत्वों के संयोजन की कुल संख्या निर्धारित करना आवश्यक है
साथ 30 15 = 30! /(30 − 15)!/15! = 155117520.
उत्तर: 155117520.

समस्या 7.

दो अलमारियों पर 30 प्रतीत होने वाली अप्रभेद्य पुस्तकों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि उनमें से प्रत्येक में केवल 15 खंड हैं?

अगर हम एक इंटीरियर डिजाइनर के नजरिए से इस सवाल का फिर से जवाब दें, तो प्रत्येक शेल्फ पर किताबों का क्रम अप्रासंगिक है। लेकिन ग्राहक इस बात की परवाह कर सकता है या नहीं भी कर सकता है कि किताबों को अलमारियों के बीच कैसे वितरित किया जाता है।
1) उदाहरण के लिए, यदि दोनों अलमारियां अगल-बगल हैं, दोनों खुली हैं, दोनों एक ही ऊंचाई पर हैं, तो ग्राहक कह सकता है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। तब उत्तर स्पष्ट है - 1 तरीका, क्योंकि व्यवस्था 30 पुस्तकों के पूरे सेट का उपयोग करती है, और किसी भी क्रमपरिवर्तन को ध्यान में नहीं रखा जाता है।
2) लेकिन जब अलमारियों में से एक बहुत अधिक है, तो ग्राहक के लिए यह महत्वपूर्ण है कि कौन सी किताबें उस पर स्थित हैं। इस मामले में, उत्तर पिछली समस्या की तरह ही होगा - 155117520 तरीके, क्योंकि हम पहले शेल्फ को 30 से 15 के संयोजन चयनों से भरते हैं, और दूसरे पर हम शेष 15 पुस्तकों को क्रमपरिवर्तन को ध्यान में रखे बिना रखते हैं।

तो, समस्याओं के ऐसे सूत्र हैं जिनके उत्तर अस्पष्ट हो सकते हैं। एक सटीक समाधान के लिए, आपको चाहिए अतिरिक्त जानकारीजो हम आमतौर पर स्थिति के संदर्भ से प्राप्त करते हैं। परीक्षा असाइनमेंट के निर्माता, एक नियम के रूप में, समस्या की स्थिति की दोहरी व्याख्या की अनुमति नहीं देते हैं, वे इसे कुछ हद तक लंबे समय तक तैयार करते हैं। हालांकि, यदि संदेह है, तो अपने शिक्षक से पूछना सबसे अच्छा है।

संयोजन और संभाव्यता सिद्धांत।

संभाव्यता सिद्धांत में, संयोजन समस्याएं सबसे आम हैं, क्योंकि बिना क्रम के समूह बनाना अप्रभेद्य तत्वों के लिए अधिक महत्वपूर्ण है। यदि कुछ तत्व एक दूसरे से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होते हैं, तो उन्हें यादृच्छिक रूप से चुनना मुश्किल होता है, गैर-यादृच्छिक चयन के लिए दिशानिर्देश हैं।

समस्या 8.

बुकशेल्फ़ में एक लेखक द्वारा 6 खंडों में कार्यों का संग्रह है। पुस्तकों को समान रूप से सजाया गया है और किसी विशेष क्रम में व्यवस्थित नहीं किया गया है। पाठक यादृच्छिक रूप से 3 पुस्तकें उठाता है। क्या संभावना है कि उसने पहले तीन खंड लिए?

समाधान।

घटना ए - पाठक के पास पहले तीन खंड हैं। ये पहले, दूसरे और तीसरे खंड हैं। पुस्तकों को किस क्रम में चुना, इस पर विचार किए बिना, लेकिन केवल अंतिम परिणाम के अनुसार, वह उन्हें एक तरह से ले सकता था। अनुकूल प्राथमिक घटनाओं की संख्या 1 है।
संभावित प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या समूह में तत्वों के क्रम की परवाह किए बिना गठित 6 से 3 के समूहों की संख्या के बराबर है, अर्थात। संयोजनों की संख्या के बराबर एस 6 3= ६! / ३! / (६ - ३)! = ४ ५ ६/(१ २३) = ४ ५ = २०।
पी (ए) = 1/20 = ०.०५।
उत्तर: 0,05.

इस समस्या की तुलना समस्या 5 (स्थापना पर) से करें। दोनों समस्याओं में बहुत समान स्थितियां और बहुत समान उत्तर हैं। संक्षेप में, यह सिर्फ एक और एक ही रोजमर्रा की स्थिति है और, तदनुसार, एक और एक ही कार्य, जिसे एक या दूसरे तरीके से व्याख्या किया जा सकता है। मुख्य बात यह है कि प्राथमिक घटनाओं की गणना करते समय, अनुकूल और सभी संभव दोनों, स्थिति की एक ही समझ होती है।

समापन टिप्पणी।

सभी सूत्रों की सख्त व्युत्पत्ति के लिए (जो मैंने यहां नहीं दिया), उपयोग करें कॉम्बिनेटरिक्स के दो बुनियादी नियम:

गुणन नियम (नियम " तथा")। इसके अनुसार, यदि तत्व A को चुना जा सकता है एनतरीके, और ए के किसी भी विकल्प के लिए, तत्व बी का चयन किया जा सकता है एमतरीके, फिर जोड़ी A तथाबी चुना जा सकता है एन एम तरीके।

यह नियम अनुक्रम की मनमानी लंबाई के लिए सामान्यीकृत है।

जोड़ नियम (नियम " या")। इसमें कहा गया है कि यदि तत्व A को चुना जा सकता है एनतरीके, और तत्व बी का चयन किया जा सकता है एमतरीके, फिर A . चुनें याबी कैन एन + एम तरीके।

समस्याओं को हल करने के लिए भी इन नियमों की आवश्यकता होती है।

संकल्पना कारख़ाने काशून्य पर भी लागू होता है: 0! = 1 , क्योंकि यह माना जाता है कि खाली सेट को अनोखे तरीके से ऑर्डर किया जा सकता है।

कैलकुलेटर पर सीधे गुणा करके बड़ी संख्या के भाज्य की गणना करना बहुत लंबा है, और बहुत बड़ी संख्या - यहां तक ​​कि कंप्यूटर पर भी तेज नहीं है। कंप्यूटर और कैलकुलेटर बनने से पहले आपने इससे कैसे निपटा? 18वीं शताब्दी की शुरुआत में, जे. स्टर्लिंग और उनसे स्वतंत्र रूप से ए. मोइवरे ने फैक्टोरियल की अनुमानित गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया, जो जितना अधिक सटीक होगा, संख्या उतनी ही अधिक होगी। एन... इस सूत्र को अब कहा जाता है स्टर्लिंग सूत्र द्वारा:

अंतिम चुनौती।

संयोजन विधियों का उपयोग करके संभाव्यता सिद्धांत में समस्याओं को हल करते समय, सही प्रकार के नमूने का चयन करने के लिए प्रस्तावित स्थिति का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करना आवश्यक है। निम्न समस्या के साथ इसे आजमाएं। इसे हल करें, उत्तर की तुलना करें, और फिर मेरा समाधान खोलने के लिए बटन पर क्लिक करें।

समस्या 9.

एक्वेरियम से, जिसमें 6 कार्प और 4 कार्प ने जाल से 5 मछलियाँ पकड़ीं। क्या संभावना है कि उनमें से 2 कार्प और 3 कार्प होंगे?

समाधान।

एक प्राथमिक घटना - "जाल में 5 मछलियों का समूह"। घटना ए - "पकड़ी गई 5 मछलियों में से 3 कार्प थीं तथा 2 कार्प "।
रहने दो एन- सभी संभावित प्राथमिक घटनाओं की कुल संख्या, यह समूह 5 मछलियों के तरीकों की संख्या के बराबर है। एक्वेरियम में मछलियों की कुल संख्या 6 + 4 = 10 है। जाल से पकड़ने की प्रक्रिया में, मछलियाँ बाहरी रूप से अप्रभेद्य होती हैं। (हमें नहीं पता कि हमने बस्का या कोस्का नाम की मछली पकड़ी है या नहीं। इसके अलावा, जब तक हमने जाल को खींचकर उसमें नहीं देखा, तब तक हम यह भी नहीं जानते कि यह कार्प है या कार्प।) इस प्रकार, "10 में से 5 मछलियाँ पकड़ें। "का अर्थ है 10 से 5 तक के संयोजन प्रकार का चयन करना।
एन = एस 10 5 = 10!/5!/(10 - 5)!
जाल को बाहर निकालकर उसमें देखने पर, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि यह एक अनुकूल परिणाम है या नहीं, अर्थात। क्या कैच में दो समूह होते हैं - 2 कार्प और 3 कार्प?
कार्प का एक समूह 6 कार्प बाय 2 की पसंद से बनाया जा सकता है। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनमें से कौन पहले जाल में चढ़ने वाला था, और दूसरा कौन था, इस प्रकार। यह 6 से 2 के संयोजन के प्रकार का एक नमूना है। आइए हम ऐसे नमूनों की कुल संख्या को निरूपित करें एम 1और इसकी गणना करें।
एम 1 = एस 6 2 = 6!/2!/(6 - 2)!
इसी तरह, 3 कार्प के संभावित समूहों की कुल संख्या 4 से 3 के संयोजनों की संख्या से निर्धारित होती है। आइए इसे निरूपित करें। मी 2.
मी 2 = एस 4 3 = 4!/3!/(4 - 3)!
कार्प और कार्प के समूह एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से जाल में बनते हैं, इसलिए, घटना ए के अनुकूल प्राथमिक घटनाओं की संख्या की गणना करने के लिए, हम कॉम्बिनेटरिक्स के गुणन नियम ("और" -नियम) का उपयोग करते हैं। तो, अनुकूल प्राथमिक घटनाओं की कुल संख्या
एम = एम 1 एम 2 = एस 6 2· एस 4 3
घटना ए की संभावना सूत्र पी (ए) = . द्वारा निर्धारित की जाती है एम / एन = 6 2 С 4 3 / 10 5
हम इस सूत्र में सभी मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, भाज्य लिखते हैं, भिन्न को रद्द करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:
पी (ए) = ६! ४! ५! (१० - ५)! / २! / (६ - २)! / ३! / (४ - ३)! / १०! = 5/21 0.238

टिप्पणियां।
1) संयोजन आमतौर पर उन कार्यों में पाए जाते हैं जहां समूह बनाने की प्रक्रिया महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन केवल परिणाम महत्वपूर्ण है। साज़न बस्के के लिए, यह मायने नहीं रखता कि उसने पहले नेट मारा या आखिरी, लेकिन उसके लिए यह बहुत महत्वपूर्ण है कि वह किस समूह में समाप्त हुआ - नेट में या बड़े लोगों में से।
2) कृपया ध्यान दें कि हम "आई-रूल" का उपयोग करते हैं, क्योंकि संघ "और" सीधे घटना ए के विवरण में है, जिसके लिए हमें दो समूहों के संयुक्त पकड़ की संभावना की गणना करने की आवश्यकता है। हालाँकि, हम इसे तभी लागू करते हैं जब हम नमूनों की स्वतंत्रता के बारे में आश्वस्त हो जाते हैं। वास्तव में, कार्प, जाल तक तैरते हुए, वहाँ अपने भाइयों की गिनती नहीं कर सकता, और कार्प से कह सकता है: "यह तुम्हारी बारी है, हमारे पहले से ही दो हैं।" और क्या कार्प कार्प को खुश करने के लिए जाल में चढ़ने के लिए सहमत होगा? लेकिन अगर वे सहमत होते तो यह नियम अब लागू नहीं होता। सशर्त संभाव्यता की अवधारणा की ओर मुड़ना आवश्यक होगा।

उत्तर: 0,238.

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यदि आप एक स्कूल स्नातक हैं और यूएसई लेंगे, तो इस खंड का अध्ययन करने के बाद, वापसी (मूल के लिए 10 और गणित में यूएसई 2020 के प्रोफाइल स्तरों के लिए 4), जिसे कॉम्बीनेटरियल तत्वों का उपयोग करके और इसके बिना (के लिए) हल किया जा सकता है उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालना)। समस्या को हल करने के संभावित तरीकों में से कौन सा अब आपको सबसे अच्छा लगता है?

और यदि आप चयन के प्रकार को शीघ्रता से निर्धारित करने और आवश्यक सूत्र खोजने का तरीका जानने के लिए संयोजन संबंधी समस्याओं को हल करने में थोड़ा और अभ्यास करना चाहते हैं, तो पृष्ठ पर जाएं

मित्र! चूंकि मेरे पास यह मृत नोटबुक है, इसलिए मैं इसका उपयोग आपसे एक समस्या पूछने के लिए करता हूं कि कल तीन भौतिक विज्ञानी, दो अर्थशास्त्री, एक पॉलिटेक्निक विश्वविद्यालय और एक मानवतावादी संघर्ष कर रहे थे। हमने अपना पूरा दिमाग तोड़ दिया है और हमें लगातार अलग-अलग परिणाम मिल रहे हैं। हो सकता है कि आपके बीच प्रोग्रामर और गणितीय प्रतिभाएं हों, इसके अलावा, काम आम तौर पर स्कूल का होता है और बहुत आसान होता है, हम बस एक सूत्र नहीं निकालते हैं। क्योंकि हम सटीक विज्ञान का अध्ययन छोड़ देते हैं और इसके बजाय, किसी कारण से, किताबें लिखते हैं और चित्र बनाते हैं। माफ़ करना।

तो, पृष्ठभूमि।

मुझे एक नया बैंक कार्ड दिया गया और हमेशा की तरह, मैंने आसानी से इसके पिन कोड का अनुमान लगा लिया। लेकिन एक पंक्ति में नहीं। मेरा मतलब है, मान लीजिए, पिन कोड 8794 था, और मैंने इसे 9748 कहा। यानी, मैं विजयी हूं सभी नंबरों का अनुमान लगायाजो इस चार अंकों की संख्या में निहित थे। सही है, नंबर ही नहीं, लेकिन केवल इसके घटक हैंआश्चर्य हुआ। लेकिन सभी आंकड़े सही हैं! नोट - मैंने यादृच्छिक रूप से कार्य किया, अर्थात, मुझे पहले से ज्ञात संख्याओं को सही क्रम में व्यवस्थित करने की आवश्यकता नहीं थी, मैंने केवल आत्मा में कार्य किया: यहाँ मेरे लिए चार संख्याएँ अज्ञात हैं, और मुझे विश्वास है कि उनमें से कोई भी हो सकता है 9, 7, 4 और 8, और उनका क्रम महत्वपूर्ण नहीं है।हमने तुरंत सोचा मेरे पास कितने विकल्प थे(शायद यह समझने के लिए कि यह कितना अच्छा है कि मैंने इसे अभी लिया और अनुमान लगाया)। अर्थात्, मुझे चार संख्याओं के कितने संयोजनों में से चुनना था? और फिर, स्वाभाविक रूप से, नरक शुरू हुआ। पूरी शाम हमारे सिर फट गए, और परिणामस्वरूप, सभी के पास पूरी तरह से अलग उत्तर थे! मैंने इन सभी संयोजनों को एक नोटबुक में एक पंक्ति में लिखना शुरू कर दिया क्योंकि वे बढ़े, लेकिन चार सौ में मुझे एहसास हुआ कि उनमें से चार सौ से अधिक थे (किसी भी मामले में, इसने भौतिक विज्ञानी थ्रेश के जवाब का खंडन किया, जिन्होंने आश्वासन दिया मुझे लगता है कि चार सौ संयोजन थे, लेकिन फिर भी यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं था) - और छोड़ दिया।

वास्तव में, प्रश्न का सार।चार अंकों की संख्या में निहित चार संख्याओं (किसी भी क्रम में) का अनुमान लगाने की संभावना क्या है?

या नहीं, हम इसे स्पष्ट और स्पष्ट करने के लिए सुधार करेंगे (मैं एक मानवतावादी हूं, मुझे क्षमा करें, हालांकि मुझे हमेशा गणित के लिए एक बड़ी कमजोरी रही है)। कितने गैर आवर्ती 0 से 9999 तक की क्रमसूचक संख्याओं की श्रृंखला में संख्याओं के संयोजन समाहित हैं? ( कृपया इसे इस प्रश्न के साथ भ्रमित न करें "कितने संयोजन" गैर आवर्तीअंक "!!! संख्या दोहराई जा सकती है! मेरा मतलब है, 2233 और 3322 इस मामले में एक ही संयोजन हैं !!)

या अधिक विशेष रूप से। मुझे दस चार बार में से एक संख्या का अनुमान लगाने की आवश्यकता है। लेकिन एक पंक्ति में नहीं।

खैर, या कुछ और। सामान्य तौर पर, आपको यह पता लगाना होगा कि मेरे पास संख्यात्मक संयोजन के लिए कितने विकल्प थे जिनसे कार्ड का पिन कोड बनाया गया था। मदद करो, अच्छे लोग! केवल, कृपया, मदद करें, तुरंत लिखना शुरू न करें कि ये 9999 विकल्प हैं(कल यह सबसे पहले सभी के साथ हुआ), क्योंकि यह बकवास है - आखिरकार, उस दृष्टिकोण से जो हमें चिंतित करता है, संख्या १२३४, संख्या ३४२१, संख्या ४३१२ और इसी तरह हैं वही! ठीक है, हाँ, संख्याओं को दोहराया जा सकता है, क्योंकि पिन-कोड 1111 या वहाँ है, उदाहरण के लिए, 0007। आप पिन-कोड के बजाय कार नंबर का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। आइए कहें, कार संख्या बनाने वाले सभी एकल अंकों का अनुमान लगाने की संभावना क्या है? या, संभाव्यता के सिद्धांत को पूरी तरह से हटाने के लिए - मुझे कितने संख्यात्मक संयोजनों को चुनना पड़ा?

कृपया कुछ सटीक सूत्रों के साथ अपने उत्तरों और तर्क का समर्थन करें, क्योंकि कल हम लगभग कल पागल हो गए थे। अग्रिम में बहुत बहुत धन्यवाद!

पी.एस. एक चालाक इंसान, एक प्रोग्रामर, कलाकार और आविष्कारक, ने बहुत ही सही ढंग से समस्या का सही समाधान सुझाया, जिससे मुझे कुछ मिनटों का अच्छा मूड मिला: " समस्या का समाधान यह है: उसे जुनूनी-बाध्यकारी विकार है, इलाज है: शादी करो और टमाटरों को गले लगाओ। मैं उसके स्थान पर "संभावना क्या है" प्रश्न से अधिक चिंतित नहीं होगा, बल्कि इस प्रश्न से "क्या मैं इन सभी संख्याओं पर ध्यान देता हूं"?सामान्य तौर पर, जोड़ने के लिए कुछ भी नहीं है :)

नीचे दिए गए कैलकुलेटर को n से m तत्वों के सभी संयोजनों को उत्पन्न करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
ऐसे संयोजनों की संख्या की गणना कॉम्बिनेटोरियल एलिमेंट्स कैलकुलेटर का उपयोग करके की जा सकती है। क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट, संयोजन।

कैलकुलेटर के तहत पीढ़ी एल्गोरिथ्म का विवरण।

कलन विधि

संयोजन लेक्सिकोग्राफिक क्रम में उत्पन्न होते हैं। एल्गोरिथ्म सेट के तत्वों के क्रमिक सूचकांकों के साथ काम करता है।
आइए एल्गोरिथ्म के एक उदाहरण पर विचार करें।
सरलता के लिए, पाँच तत्वों के एक समूह पर विचार करें, जिसके सूचकांक 1 से शुरू होते हैं, अर्थात् 1 2 3 4 5।
यह आकार m = 3 के सभी संयोजनों को उत्पन्न करने के लिए आवश्यक है।
सबसे पहले, दिए गए आकार m का पहला संयोजन प्रारंभ किया गया है - आरोही क्रम में सूचकांक
1 2 3
अगला, अंतिम तत्व की जाँच की जाती है, अर्थात i = 3। यदि इसका मान n - m + i से कम है, तो इसे 1 से बढ़ाया जाता है।
1 2 4
अंतिम तत्व की फिर से जाँच की जाती है, और फिर से इसे बढ़ाया जाता है।
1 2 5
अब तत्व का मान अधिकतम संभव के बराबर है: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, i = 2 के साथ पिछले तत्व की जाँच की जाती है।
यदि इसका मान n - m + i से कम है, तो यह 1 से बढ़ जाता है, और निम्नलिखित सभी तत्वों के लिए, मान पिछले तत्व प्लस 1 के मान के बराबर होता है।
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
फिर फिर से i = 3 के लिए एक चेक होता है।
1 3 5
फिर - i = 2 की जाँच करें।
1 4 5
फिर आई = 1 की बारी आती है।
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
और आगे,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - अंतिम संयोजन, क्योंकि इसके सभी तत्व n - m + i के बराबर हैं।

दुनिया के बुनियादी ढांचे में पिन की महत्वपूर्ण भूमिका के बावजूद, इस पर कोई अकादमिक शोध नहीं हुआ है कि लोग वास्तव में पिन कैसे चुनते हैं।

कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के शोधकर्ता सोरेन प्रीबुश और रॉस एंडरसन ने 4 अंकों के बैंक पिन का अनुमान लगाने की कठिनाई के दुनिया के पहले मात्रात्मक विश्लेषण के साथ स्थिति का समाधान किया है।

गैर-बैंक स्रोतों और ऑनलाइन प्रश्नावली से पासवर्ड लीक पर डेटा का उपयोग करते हुए, शोधकर्ताओं ने पाया कि उपयोगकर्ता वेबसाइटों के लिए पासवर्ड की पसंद की तुलना में पिन-कोड की पसंद को अधिक गंभीरता से लेते हैं: अधिकांश कोड में संख्याओं का लगभग यादृच्छिक सेट होता है। फिर भी, प्रारंभिक आंकड़ों में सरल संयोजन और जन्मदिन दोनों हैं - अर्थात, कुछ भाग्य के साथ, एक हमलावर केवल प्रतिष्ठित कोड का अनुमान लगा सकता है।

अध्ययन का प्रारंभिक बिंदु रॉकयू डेटाबेस (1.7 मिलियन) से 4-अंकीय पासवर्ड अनुक्रमों का एक सेट था, और आईफोन स्क्रीन लॉक प्रोग्राम से 200 हजार पिन कोड का डेटाबेस था (डेटाबेस एप्लिकेशन के डेवलपर द्वारा प्रदान किया गया था डेनियल अमिताय)। इस डेटा के आधार पर ग्राफ़ में दिलचस्प पैटर्न उभर कर आते हैं - दिनांक, वर्ष, दोहराव संख्या, और यहां तक ​​कि 69 में समाप्त होने वाले पिन-कोड भी। इन अवलोकनों के आधार पर, वैज्ञानिकों ने एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल बनाया जो प्रत्येक पिन-कोड की लोकप्रियता का अनुमान लगाता है 25 कारक जैसे कि क्या कोड एक डीडीएमएम तिथि है, क्या यह एक आरोही क्रम है, और इसी तरह। इन सामान्य शर्तों को प्रत्येक सेट में 79% और 93% पिन-कोड से पूरा किया जाता है।

इसलिए, उपयोगकर्ता केवल कुछ सरल कारकों के आधार पर 4-अंकीय कोड चुनते हैं। यदि बैंक पिन-कोड इस तरह से चुने गए, तो उनमें से 8-9% का अनुमान केवल तीन प्रयासों में लगाया जा सकता है! लेकिन, ज़ाहिर है, लोग बैंक कोड के प्रति अधिक चौकस हैं। वास्तविक बैंकिंग डेटा के किसी भी बड़े सेट की अनुपस्थिति में, शोधकर्ताओं ने 1,300 से अधिक लोगों का साक्षात्कार लिया ताकि यह आकलन किया जा सके कि वास्तविक पिन-कोड पहले से समीक्षा किए गए लोगों से कैसे भिन्न हैं। अध्ययन की बारीकियों को ध्यान में रखते हुए, उत्तरदाताओं से स्वयं कोड के बारे में नहीं पूछा गया, बल्कि उपरोक्त कारकों (वृद्धि, डीडीएमएम प्रारूप, आदि) में से किसी के साथ उनके पत्राचार के बारे में पूछा गया।

यह पता चला कि बैंक पिन-कोड चुनते समय लोग वास्तव में अधिक सावधान रहते हैं। सर्वेक्षण में शामिल लोगों में से लगभग एक चौथाई बैंक द्वारा उत्पन्न एक यादृच्छिक पिन का उपयोग करते हैं। एक तिहाई से अधिक अपने पुराने फोन नंबर, छात्र आईडी नंबर, या यादृच्छिक दिखने वाले नंबरों के किसी अन्य सेट का उपयोग करके अपना पिन चुनते हैं। प्राप्त परिणामों के अनुसार, ६४% कार्डधारक छद्म यादृच्छिक पिन-कोड का उपयोग करते हैं, जो गैर-बैंक कोड के साथ पिछले प्रयोगों में २३-२७% से अधिक है। अन्य 5% एक संख्यात्मक पैटर्न का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, 4545), और 9% एक कीबोर्ड पैटर्न पसंद करते हैं (उदाहरण के लिए, 2684)। सामान्य तौर पर, छह प्रयासों वाले एक हमलावर (तीन एटीएम के साथ और तीन भुगतान टर्मिनल के साथ) के पास किसी और के कार्ड के पिन का अनुमान लगाने का 2% से कम मौका होता है।

फ़ैक्टर	उदाहरण	हिला देेंगे	आई - फ़ोन	सर्वेक्षण
पिंड खजूर
डीडीएमएम	2311	5.26	1.38	3.07
डीएमवाईवाई	3876	9.26	6.46	5.54
एमएमडीडी	1123	10.00	9.35	3.66
महीना साल	0683	0.67	0.20	0.94
YYYY	1984	33.39	7.12	4.95
कुल		58.57	24.51	22.76
कीबोर्ड पैटर्न
सटा हुआ	6351	1.52	4.99	-
वर्ग	1425	0.01	0.58	-
कोने	9713	0.19	1.06	-
पार करना	8246	0.17	0.88	-
विकर्ण की रेखा	1590	0.10	1.36	-
क्षैतिज रेखा	5987	0.34	1.42	-
शब्द	5683	0.70	8.39	-
ऊर्ध्वाधर रेखा	8520	0.06	4.28	-
कुल		3.09	22.97	8.96
डिजिटल पैटर्न
69 . पर समाप्त होता है	6869	0.35	0.57	-
केवल संख्या 0-3	2000	3.49	2.72	-
केवल संख्या 0-6	5155	4.66	5.96	-
दोहराए जाने वाले जोड़े	2525	2.31	4.11	-
समान संख्या	6666	0.40	6.67	-
अवरोही क्रम	3210	0.13	0.29	-
बढ़ता क्रम	4567	3.83	4.52	-
कुल		15.16	24.85	4.60
संख्याओं का यादृच्छिक सेट		23.17	27.67	63.68

सब कुछ ठीक हो जाएगा, लेकिन, दुर्भाग्य से, उत्तरदाताओं का एक महत्वपूर्ण हिस्सा (23%) एक तिथि के रूप में पिन-कोड का चयन करता है, और उनमें से लगभग एक तिहाई अपनी जन्म तिथि का उपयोग करते हैं। इससे बहुत फर्क पड़ता है, क्योंकि लगभग सभी (99%) उत्तरदाताओं ने उत्तर दिया कि वे इस तिथि के साथ विभिन्न आईडी अपने वॉलेट में बैंक कार्ड के साथ रखते हैं। यदि कोई हमलावर कार्डधारक का जन्मदिन जानता है, तो सही दृष्टिकोण के साथ, पिन का अनुमान लगाने की संभावना 9% तक बढ़ जाती है।

100 सबसे लोकप्रिय पिन कोड

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

पी.एस.व्यवहार में, निश्चित रूप से, किसी हमलावर के लिए आपके पिन की जासूसी करना अनुमान लगाने की तुलना में बहुत आसान है। लेकिन आप खुद को झाँकने से भी बचा सकते हैं - यहाँ तक कि, यह एक निराशाजनक स्थिति में प्रतीत होगा:

साहचर्य

कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जो दिए गए नियमों के अनुसार एक निश्चित मूल सेट से तत्वों को चुनने और व्यवस्थित करने की समस्याओं का अध्ययन करती है। संभाव्यता की गणना के लिए संभाव्यता सिद्धांत में संयोजन सूत्रों और सिद्धांतों का उपयोग किया जाता है यादृच्छिक घटनाएंऔर, तदनुसार, वितरण कानून प्राप्त करना यादृच्छिक चर... यह, बदले में, बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करना संभव बनाता है, जो प्रकृति और प्रौद्योगिकी में प्रकट सांख्यिकीय पैटर्न की सही समझ के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।

कॉम्बिनेटरिक्स में जोड़ और गुणा नियम

योग नियम। यदि दो क्रियाएं ए और बी परस्पर अनन्य हैं, और क्रिया ए को एम तरीकों से किया जा सकता है, और बी - एन तरीकों से किया जा सकता है, तो इनमें से कोई भी क्रिया (या तो ए या बी) एन + एम तरीकों से की जा सकती है।

उदाहरण 1।

कक्षा में 16 लड़के और 10 लड़कियां हैं। एक परिचारक को कितने प्रकार से नियुक्‍त किया जा सकता है?

समाधान

या तो लड़के या लड़की को ड्यूटी पर सौंपा जा सकता है, अर्थात। ड्यूटी ऑफिसर 16 लड़कों या 10 लड़कियों में से कोई भी हो सकता है।

योग नियम के अनुसार, हम पाते हैं कि एक परिचारक को 16 + 10 = 26 तरीकों से सौंपा जा सकता है।

प्रॉडक्ट नियम। इसे क्रमिक रूप से k क्रियाएँ करने की आवश्यकता होने दें। यदि पहली क्रिया n 1 तरीकों से की जा सकती है, दूसरी क्रिया n 2 तरीकों से, तीसरी n 3 तरीकों से, और इसी तरह kth क्रिया तक, जिसे nk तरीके से किया जा सकता है, तो सभी k क्रियाएं एक साथ हो सकती हैं प्रदर्शन किया:

तरीके।

उदाहरण २।

कक्षा में 16 लड़के और 10 लड़कियां हैं। दो परिचारकों को कितने तरीकों से नियुक्त किया जा सकता है?

समाधान

पहले चौकीदार के रूप में किसी लड़के या लड़की को नियुक्त किया जा सकता है। चूंकि 16 लड़के और 10 लड़कियां कक्षा में पढ़ते हैं, तो आप 16 + 10 = 26 तरीकों से प्रथम कर्तव्य अधिकारी नियुक्त कर सकते हैं।

पहले अटेंडेंट को चुनने के बाद, हम बाकी 25 लोगों में से दूसरे को चुन सकते हैं, यानी। 25 तरह से।

गुणन प्रमेय के अनुसार 26*25=650 तरीकों से दो परिचारकों का चयन किया जा सकता है।

दोहराव के बिना संयोजन। दोहराव के साथ संयोजन

कॉम्बिनेटरिक्स की शास्त्रीय समस्या दोहराव के बिना संयोजनों की संख्या की समस्या है, जिसकी सामग्री को प्रश्न द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: कितने तरीके कर सकते हैं चुनते हैं मैं वहां से हूँ एन विभिन्न विषय ?

उदाहरण 3.

आपको उपहार के रूप में उपलब्ध १० में से ४ विभिन्न पुस्तकों को चुनना होगा। आप इसे कितने तरीकों से कर सकते हैं?

समाधान

हमें १० में से ४ पुस्तकों को चुनना है, और चयन का क्रम मायने नहीं रखता। इस प्रकार, आपको 4 के 10 तत्वों के संयोजनों की संख्या ज्ञात करनी होगी:

.

दोहराव के साथ संयोजनों की संख्या की समस्या पर विचार करें: प्रत्येक n विभिन्न प्रकार की समान वस्तुएं हैं; कितने तरीके कर सकते हैं चुनते हैं मैं वहां से हूँ इनमे से (एन * आर) आइटम?

.

उदाहरण 4.

कन्फेक्शनरी की दुकान ने 4 प्रकार के केक बेचे: नेपोलियन, एक्लेयर्स, रेत और पफ पेस्ट्री। आप कितने तरीकों से 7 केक खरीद सकते हैं?

समाधान

चूंकि 7 केक में एक ही प्रकार के केक हो सकते हैं, फिर 7 केक खरीदने के तरीकों की संख्या 7 से 4 के दोहराव वाले संयोजनों की संख्या से निर्धारित होती है।

.

दोहराव के बिना प्लेसमेंट। दोहराव के साथ प्लेसमेंट

कॉम्बिनेटरिक्स की शास्त्रीय समस्या बिना दोहराव के प्लेसमेंट की संख्या की समस्या है, जिसकी सामग्री को प्रश्न द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: कितने तरीके कर सकते हैं चुनते हैं तथा जगह पर मी अलग स्थानों मैं वहां से हूँ एन अलग आइटम?

उदाहरण 5.

कुछ समाचार पत्रों में 12 पृष्ठ होते हैं। इस अखबार के पन्नों पर चार तस्वीरें लगाना जरूरी है। आप इसे कितने तरीकों से कर सकते हैं यदि किसी अखबार के पृष्ठ में एक से अधिक फोटोग्राफ नहीं होने चाहिए?

समाधान।

इस कार्य में, हम केवल फ़ोटो का चयन नहीं करते हैं, बल्कि उन्हें समाचार पत्र के कुछ पृष्ठों पर रखते हैं, और समाचार पत्र के प्रत्येक पृष्ठ में एक से अधिक फ़ोटो नहीं होनी चाहिए। इस प्रकार, समस्या 12 तत्वों की पुनरावृत्ति के बिना प्लेसमेंट की संख्या निर्धारित करने की शास्त्रीय समस्या में कम हो जाती है, प्रत्येक में 4 तत्व:

इस प्रकार, 12 पृष्ठों पर 4 तस्वीरों को 11880 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

साथ ही, कॉम्बिनेटरिक्स की शास्त्रीय समस्या दोहराव के साथ प्लेसमेंट की संख्या की समस्या है, जिसकी सामग्री को प्रश्न द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: कितने तरीके कर सकते हैं आपबीमेज़बान तथा जगह पर मी अलग स्थानों मैं वहां से हूँ एन आइटम,साथके बीच में कौन वहाँ है वही?

उदाहरण 6.

लड़के के पास बोर्ड गेम के लिए एक सेट से बचे हुए नंबर 1, 3 और 7 के साथ टिकटें थीं। उसने इन टिकटों का उपयोग सभी पुस्तकों पर पांच अंकों की संख्या डालने के लिए करने का फैसला किया - एक कैटलॉग संकलित करने के लिए। एक लड़का पाँच अंकों की कितनी भिन्न संख्याएँ बना सकता है?

दोहराव के बिना क्रमपरिवर्तन. दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन

कॉम्बिनेटरिक्स की शास्त्रीय समस्या पुनरावृत्ति के बिना क्रमपरिवर्तन की संख्या की समस्या है, जिसकी सामग्री को प्रश्न द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: कितने तरीके कर सकते हैं जगह एन विभिन्न आइटम पर एन अलग जगहें?

उदाहरण 7.

"विवाह" शब्द के अक्षरों से कितने चार अक्षर "शब्द" बनाए जा सकते हैं?

समाधान

सामान्य जनसंख्या शब्द "विवाह" (बी, पी, ए, के) के 4 अक्षर हैं। "शब्दों" की संख्या इन 4 अक्षरों के क्रमपरिवर्तन द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात।

मामले के लिए जब चयनित n तत्वों (वापसी के साथ चयन) के बीच समान तत्व होते हैं, तो पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या पर समस्या प्रश्न द्वारा व्यक्त की जा सकती है: आप n . पर स्थित n वस्तुओं को कितने तरीकों से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं विभिन्न स्थानयदि n वस्तुओं में k विभिन्न प्रकार हैं (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

उदाहरण 8.

आप "मिसिसिपी" शब्द के अक्षरों से कितने अलग अक्षर संयोजन बना सकते हैं?

समाधान

1 अक्षर "m", 4 अक्षर "और", 3 अक्षर "c" और 1 अक्षर "p", कुल 9 अक्षर हैं। इसलिए, दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या है

खंड "संयोजन" की पृष्ठभूमि

सभी एन तत्व, और कोई भी दोहराया नहीं जाता है, तो यह क्रमपरिवर्तन की संख्या की समस्या है। समाधान सरल पाया जा सकता है। एन तत्वों में से कोई भी पंक्ति में पहले स्थान पर हो सकता है, इसलिए, एन वेरिएंट प्राप्त होते हैं। दूसरे स्थान पर - कोई भी, सिवाय उस को छोड़कर जो पहले से ही पहले स्थान पर इस्तेमाल किया जा चुका है। इसलिए, पहले से पाए गए प्रत्येक एन वेरिएंट के लिए, दूसरे स्थान के (एन -1) वेरिएंट हैं, और संयोजनों की कुल संख्या एन * (एन -1) हो जाती है।
श्रृंखला के बाकी तत्वों के लिए भी यही दोहराया जा सकता है। अंतिम स्थान के लिए, केवल एक ही विकल्प बचा है - अंतिम शेष तत्व। अंतिम एक के लिए, दो विकल्प हैं, और इसी तरह।
इसलिए, संभावित क्रमपरिवर्तन के N गैर-दोहराए जाने वाले तत्वों की एक श्रृंखला के लिए, यह 1 से N तक के सभी पूर्णांकों के गुणनफल के बराबर है। इस उत्पाद को संख्या N का भाज्य कहा जाता है और इसे N द्वारा दर्शाया जाता है! ("एन फैक्टोरियल" पढ़ता है)।

पिछले मामले में, संभावित तत्वों की संख्या और पंक्ति में स्थानों की संख्या मेल खाती थी, और उनकी संख्या एन के बराबर थी। लेकिन ऐसी स्थिति संभव है जब पंक्ति में संभावित तत्वों की तुलना में कम स्थान हों। दूसरे शब्दों में, नमूने में तत्वों की संख्या कुछ संख्या एम के बराबर है, और एम< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
सबसे पहले, संभावित तरीकों की कुल संख्या की गणना करना आवश्यक हो सकता है जिसमें एन से एम तत्वों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जा सकता है। ऐसी विधियों को प्लेसमेंट कहा जाता है।
दूसरा, शोधकर्ता की रुचि उन तरीकों की संख्या में हो सकती है जिनमें एम तत्वों को एन से चुना जा सकता है। इस मामले में, तत्वों का क्रम अब महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन किन्हीं दो विकल्पों को एक दूसरे से कम से कम एक तत्व से भिन्न होना चाहिए। . ऐसी विधियों को संयोजन कहा जाता है।

N से M तत्वों पर प्लेसमेंट की संख्या का पता लगाने के लिए, कोई उसी तर्क का सहारा ले सकता है जैसे क्रमपरिवर्तन के मामले में। यहां पहला स्थान अभी भी एन तत्व हो सकता है, दूसरा (एन -1), और इसी तरह। लेकिन अंतिम स्थान के लिए, संभावित विकल्पों की संख्या एक के बराबर नहीं है, लेकिन (एन - एम + 1), क्योंकि जब प्लेसमेंट पूरा हो जाता है, तब भी (एन - एम) अप्रयुक्त तत्व होंगे।
इस प्रकार, N से M तत्वों पर प्लेसमेंट की संख्या (N - M + 1) से N तक के सभी पूर्णांकों के गुणनफल के बराबर है, या, जो कि भागफल N! / (N - M) ! के समान है।

जाहिर है, एन से एम तत्वों के संयोजन की संख्या प्लेसमेंट की संख्या से कम होगी। हर संभव संयोजन के लिए, एक एम है! इस संयोजन के तत्वों के क्रम के आधार पर संभावित प्लेसमेंट। इसलिए, इस संख्या को खोजने के लिए, आपको एन से एम तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या को एन से विभाजित करने की आवश्यकता है! दूसरे शब्दों में, एन से एम तत्वों के संयोजन की संख्या एन के बराबर है! / (एम! * (एन - एम)!)।

कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जो प्रश्नों का अध्ययन करती है कि दिए गए वस्तुओं से कितने अलग-अलग संयोजन, कुछ शर्तों के अधीन बनाए जा सकते हैं। यादृच्छिक घटनाओं की संभावनाओं का आकलन करने के लिए कॉम्बिनेटरिक्स की मूल बातें बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि यह वे हैं जो घटनाओं के विकास के लिए विभिन्न परिदृश्यों की मौलिक रूप से संभव संख्या की गणना करना संभव बनाते हैं।

कॉम्बिनेटरिक्स का मूल सूत्र

मान लीजिए कि तत्वों के k समूह हैं, तथा मैं-वें समूह n i तत्वों से मिलकर बनता है। आइए प्रत्येक समूह से एक आइटम का चयन करें। फिर इस तरह का चुनाव करने के तरीकों की कुल संख्या N, N = n 1 * n 2 * n 3 * ... * n k के अनुपात से निर्धारित होती है।

उदाहरण 1।आइए इस नियम को एक सरल उदाहरण से समझाते हैं। मान लें कि तत्वों के दो समूह हैं, और पहले समूह में n 1 तत्व हैं, और दूसरे में n 2 तत्व हैं। आप इन दो समूहों से कितने अलग-अलग तत्वों के जोड़े बना सकते हैं ताकि आप प्रत्येक समूह से एक तत्व के साथ जुड़ सकें? मान लीजिए कि हमने पहले समूह से पहला तत्व लिया और इसे बदले बिना, सभी संभावित जोड़े के माध्यम से चला गया, केवल दूसरे समूह के तत्वों को बदल दिया। इस तत्व के लिए ऐसे जोड़े n 2 हो सकते हैं। फिर हम पहले समूह से दूसरा तत्व लेते हैं और इसके लिए सभी संभव जोड़े भी बनाते हैं। ऐसे n 2 जोड़े भी होंगे। चूंकि पहले समूह में केवल n 1 तत्व हैं, इसलिए n 1 * n 2 संभावित विकल्प होंगे।

उदाहरण २। 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 अंकों से कितनी तीन अंकों की सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं यदि संख्याओं को दोहराया जा सकता है?
समाधान: n 1 = 6 (चूंकि पहले अंक के रूप में आप 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई भी अंक ले सकते हैं), n 2 = 7 (क्योंकि दूसरे अंक के रूप में आप 0, 1, 2 में से कोई भी अंक ले सकते हैं) , ३, ४, ५, ६), n ३ = ४ (चूंकि आप ०, २, ४, ६ में से कोई भी अंक तीसरे अंक के रूप में ले सकते हैं)।
तो, एन = एन 1 * एन 2 * एन 3 = 6 * 7 * 4 = 168।

मामले में जब सभी समूहों में समान संख्या में तत्व होते हैं, अर्थात। n 1 = n 2 = ... n k = n हम मान सकते हैं कि प्रत्येक विकल्प एक ही समूह से बना है, और चयन के बाद तत्व समूह में वापस आ जाता है। तब सभी चयन विधियों की संख्या n k के बराबर होती है। कॉम्बिनेटरिक्स में पसंद की इस विधि को कहा जाता है वापसी के साथ नमूना।

उदाहरण 3.अंक 1, 5, 6, 7, 8 से सभी चार अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
समाधान।चार अंकों की संख्या के प्रत्येक अंक के लिए पांच संभावनाएं हैं, इसलिए एन = 5 * 5 * 5 * 5 = 5 4 = 625।

n तत्वों से युक्त एक सेट पर विचार करें। संयोजक शब्दों में, इस सेट को कहा जाता है सामान्य जनसंख्या.

n तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या, m प्रत्येक

परिभाषा 1.से आवास एनतत्वों द्वारा एमकॉम्बिनेटरिक्स में, कोई भी आदेश दिया सेटसे एममें सामान्य जनसंख्या से चयनित विभिन्न तत्व एनतत्व

उदाहरण 4.दो के तीन तत्वों (1, 2, 3) के विभिन्न स्थान समुच्चय (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) होंगे। , २)। प्लेसमेंट तत्वों और उनके क्रम दोनों में एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं।

कॉम्बिनेटरिक्स में प्लेसमेंट की संख्या को ए एन एम द्वारा दर्शाया जाता है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

टिप्पणी: n! = 1 * 2 * 3 * ... * n (पढ़ें: "एंटो-फैक्टोरियल"), इसके अलावा, यह माना जाता है कि 0! = 1.

उदाहरण 5... दो अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनमें दहाई और इकाई भिन्न और विषम हैं?
समाधान:जबसे पाँच विषम अंक हैं, अर्थात् १, ३, ५, ७, ९, तो यह कार्य दो अलग-अलग पदों पर पांच अलग-अलग अंकों में से दो के चयन और नियुक्ति के लिए कम हो जाता है, अर्थात। निर्दिष्ट संख्या होगी:

परिभाषा 2. संयोजनसे एनतत्वों द्वारा एमकॉम्बिनेटरिक्स में, कोई भी अव्यवस्थित सेटसे एममें सामान्य जनसंख्या से चयनित विभिन्न तत्व एनतत्व

उदाहरण 6... समुच्चय (1, 2, 3) के लिए, संयोजन (1, 2), (1, 3), (2, 3) हैं।

n तत्वों के संयोजन की संख्या प्रत्येक m

संयोजनों की संख्या को C n m द्वारा निरूपित किया जाता है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण 7.एक पाठक छह उपलब्ध पुस्तकों में से दो पुस्तकों को कितने तरीकों से चुन सकता है?

समाधान:तरीकों की संख्या दो की छह पुस्तकों के संयोजन की संख्या के बराबर है, अर्थात। बराबर:

n तत्वों का क्रमपरिवर्तन

परिभाषा 3. क्रमपरिवर्तनसे एनतत्वों को कोई भी कहा जाता है आदेश दिया सेटइन तत्वों।

उदाहरण 7क.तीन तत्वों (1, 2, 3) वाले सेट के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन हैं: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2)।

n तत्वों के विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या को P n द्वारा दर्शाया जाता है और सूत्र P n = n! द्वारा परिकलित किया जाता है।

उदाहरण 8.विभिन्न लेखकों द्वारा सात पुस्तकों को एक शेल्फ पर एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समाधान:यह समस्या सात के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बारे में है अलग किताबें... पी 7 = 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040 तरीके किताबों की व्यवस्था करने के लिए हैं।

विचार - विमर्श।हम देखते हैं कि संभावित संयोजनों की संख्या की गणना की जा सकती है अलग नियम(क्रमपरिवर्तन, संयोजन, प्लेसमेंट) और परिणाम अलग होगा, क्योंकि गिनती का सिद्धांत और सूत्र स्वयं भिन्न हैं। परिभाषाओं को ध्यान से देखने पर, आप देख सकते हैं कि परिणाम एक ही समय में कई कारकों पर निर्भर करता है।

सबसे पहले, हम कितने तत्वों से उनके सेट जोड़ सकते हैं (तत्वों की सामान्य आबादी कितनी बड़ी है)।

दूसरा, परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि आइटमसेट कितने बड़े हैं।

अंत में, यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या समुच्चय में तत्वों का क्रम हमारे लिए आवश्यक है। आइए हम निम्नलिखित उदाहरण के साथ अंतिम कारक की व्याख्या करें।

उदाहरण 9.पर अभिभावक बैठक 20 लोग हैं। मूल समिति के गठन के लिए कितने अलग-अलग विकल्प हैं, यदि इसमें 5 लोग शामिल हों?
समाधान:इस उदाहरण में, हमें समिति सूची में नामों के क्रम में कोई दिलचस्पी नहीं है। यदि, परिणामस्वरूप, वही लोग इसमें शामिल हैं, तो हमारे लिए अर्थ के संदर्भ में यह वही विकल्प है। इसलिए, हम संख्या की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं संयोजनों 20 तत्वों में से 5 प्रत्येक।

चीजें अलग होंगी यदि समिति का प्रत्येक सदस्य शुरू में काम की एक निश्चित दिशा के लिए जिम्मेदार है। फिर समिति के समान पेरोल के साथ, उसके अंदर 5 हो सकते हैं! विकल्प क्रमपरिवर्तनवह मामला। इस मामले में अलग-अलग (रचना और जिम्मेदारी के क्षेत्र में) विकल्पों की संख्या संख्या द्वारा निर्धारित की जाती है प्लेसमेंट 20 तत्वों में से प्रत्येक 5।

स्व-परीक्षण कार्य
1. अंकों 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी तीन अंकों वाली सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि संख्याओं को दोहराया जा सकता है?
चूंकि तीसरे स्थान पर एक सम संख्या 0, 2, 4, 6, अर्थात् हो सकती है। चार अंकों। सात अंकों में से कोई भी दूसरे स्थान पर हो सकता है। शून्य को छोड़कर सात अंकों में से कोई भी पहले स्थान पर हो सकता है, अर्थात 6 संभावनाएं। परिणाम = 4 * 7 * 6 = 168।
2. पाँच अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ समान पढ़ती हैं?
0 के अलावा कोई भी अंक पहले स्थान पर हो सकता है, अर्थात 9 संभावनाएं। कोई भी संख्या दूसरे स्थान पर हो सकती है, अर्थात। 10 संभावनाएं। से कोई भी संख्या तीसरे स्थान पर भी हो सकती है, अर्थात। 10 संभावनाएं। चौथे और पांचवें अंक पूर्व निर्धारित हैं, वे पहले और दूसरे के साथ मेल खाते हैं, इसलिए ऐसी संख्याओं की संख्या 9 * 10 * 10 = 900 है।
3. कक्षा में प्रतिदिन दस विषय और पाँच पाठ हैं। आप एक दिन को कितने तरीके से शेड्यूल कर सकते हैं?

4. यदि एक समूह में २० लोग हों तो सम्मेलन के लिए ४ प्रतिनिधियों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

एन = सी 20 4 = (20!) / (4! * (20-4)!) = (16! * 17 * 18 * 19 * 20) / ((1 * 2 * 3 * 4) * (16! )) = (17 * 18 * 19 * 20) / (1 * 2 * 3 * 4) = 4845।
5. आठ . कितने प्रकार से हो सकते हैं? विभिन्न पत्रआठ अलग-अलग लिफाफे यदि प्रत्येक लिफाफे में केवल एक अक्षर है?
आप पहले लिफाफे में आठ में से 1 अक्षर, दूसरे में शेष सात में से एक, तीसरे में छह में से एक आदि डाल सकते हैं। एन = 8! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 = 40320।
6. तीन गणितज्ञों और दस अर्थशास्त्रियों से दो गणितज्ञों और छह अर्थशास्त्रियों का एक आयोग बनाया जाना चाहिए। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?