उम्मीद चटाई। अपेक्षित मूल्य। गणितीय अपेक्षा के सरलतम गुण

DSV विशेषताएँ और उनके गुण। गणितीय अपेक्षा, विचरण, मानक विचलन

वितरण कानून पूरी तरह से यादृच्छिक चर की विशेषता है। हालांकि, जब वितरण कानून को खोजना असंभव है, या इसकी आवश्यकता नहीं है, तो कोई खुद को मूल्यों को खोजने के लिए प्रतिबंधित कर सकता है, जिसे यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं कहा जाता है। ये मान कुछ औसत मूल्य निर्धारित करते हैं जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को समूहीकृत किया जाता है, और इस औसत मूल्य के आसपास उनके फैलाव की डिग्री।

गणितीय अपेक्षाएक असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों की उनकी संभावनाओं का योग है।

गणितीय अपेक्षा मौजूद है यदि समानता के दाईं ओर की श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण करती है।

प्रायिकता की दृष्टि से हम कह सकते हैं कि गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर होती है।

उदाहरण। असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम ज्ञात है। अपेक्षित मान ज्ञात कीजिए।

एक्स
पी	0.2	0.3	0.1	0.4

समाधान:

9.2 गणितीय अपेक्षा के गुण

1. एक स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा सर्वाधिक स्थिरांक के बराबर होती है।

2. अचर गुणक को गणितीय अपेक्षा के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के गुणनफल के बराबर होती है।

यह गुण यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या के लिए मान्य है।

4. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।

यह गुण यादृच्छिक चरों की एक मनमानी संख्या के लिए भी मान्य है।

मान लीजिए n स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, घटना A के घटित होने की प्रायिकता जिसमें p बराबर है।

प्रमेय। n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा M (X) परीक्षणों की संख्या और प्रत्येक परीक्षण में घटना के घटित होने की प्रायिकता के गुणनफल के बराबर है।

उदाहरण। एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ ज्ञात हैं: M (X) = 3, M (Y) = 2, Z = 2X + 3Y।

समाधान:

9.3 असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

हालाँकि, गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक प्रक्रिया को पूरी तरह से चित्रित नहीं कर सकती है। गणितीय अपेक्षा के अलावा, एक मान दर्ज करना आवश्यक है जो गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के मूल्यों के विचलन की विशेषता है।

यह विचलन यादृच्छिक चर और इसकी गणितीय अपेक्षा के बीच के अंतर के बराबर है। इस मामले में, विचलन की गणितीय अपेक्षा शून्य है। यह इस तथ्य के कारण है कि कुछ संभावित विचलन सकारात्मक हैं, अन्य नकारात्मक हैं, और उनके पारस्परिक पुनर्भुगतान के परिणामस्वरूप, शून्य प्राप्त होता है।

फैलाव (फैलाव)एक असतत यादृच्छिक चर को उसकी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है।

व्यवहार में, प्रसरण की गणना करने की यह विधि असुविधाजनक है, क्योंकि एक यादृच्छिक चर के बड़ी संख्या में मूल्यों के लिए बोझिल गणना की ओर जाता है।

इसलिए, एक अलग विधि का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय। विचरण यादृच्छिक चर X के वर्ग की गणितीय अपेक्षा और उसकी गणितीय अपेक्षा के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है.

सबूत। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि गणितीय अपेक्षा M (X) और गणितीय अपेक्षा M 2 (X) का वर्ग स्थिर मान हैं, हम लिख सकते हैं:

उदाहरण। वितरण नियम द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

एन एस
एक्स 2
आर	0.2	0.3	0.1	0.4

समाधान: ।

9.4 परिक्षेपण के गुण

1. अचर का प्रसरण शून्य होता है। ...

2. अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से वर्ग करके निकाला जा सकता है। .

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण इन मानों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। ...

4. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण इन मानों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। ...

प्रमेय। स्वतंत्र परीक्षणों में एक घटना ए की घटनाओं की संख्या का विचरण, जिनमें से प्रत्येक में एक घटना के घटित होने की संभावना पी स्थिर है, परीक्षणों की संख्या और घटना की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है और गैर- प्रत्येक परीक्षण में एक घटना की घटना।

9.5 असतत यादृच्छिक चर का मानक विचलन

माध्य वर्ग विचलनयादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है।

प्रमेय। परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की एक परिमित संख्या के योग का मानक विचलन इन मानों के मानक विचलनों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है।

अपेक्षित मूल्य- एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य (एक स्थिर यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण) जब नमूनों की संख्या या माप की संख्या (कभी-कभी वे कहते हैं - परीक्षणों की संख्या) अनंत तक जाती है।

परिमित संख्या में परीक्षणों के एक-आयामी यादृच्छिक चर के अंकगणितीय माध्य को आमतौर पर कहा जाता है गणितीय अपेक्षा का अनुमान... जब एक स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया के परीक्षणों की संख्या अनंत हो जाती है, तो गणितीय अपेक्षा का अनुमान गणितीय अपेक्षा की ओर जाता है।

उम्मीद संभाव्यता सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाओं में से एक है)।

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अपेक्षा और विचरण - bezbotvy

प्रायिकता सिद्धांत १५: अपेक्षा

अपेक्षित मूल्य

गणितीय अपेक्षा और विचरण। सिद्धांत

ट्रेडिंग में अपेक्षित मूल्य

उपशीर्षक

परिभाषा

माना प्रायिकता स्थान दिया गया है (Ω, ए, पी) (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ ओमेगा, (\ मैथफ्रैक (ए)), \ मैथबीबी (पी)))और उस पर परिभाषित एक यादृच्छिक चर एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स)... यानी परिभाषा के अनुसार, एक्स: Ω → आर (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स \ कोलन \ ओमेगा \ से \ मैथबीबी (आर))एक मापने योग्य कार्य है। यदि कोई लेबेसेग इंटीग्रल है एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स)अंतरिक्ष में (\ डिस्प्लेस्टाइल \ ओमेगा), तो इसे गणितीय अपेक्षा, या औसत (अपेक्षित) मान कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है एम [एक्स] (\ डिस्प्लेस्टाइल एम [एक्स])या ई [एक्स] (\ डिस्प्लेस्टाइल \ मैथबीबी (ई) [एक्स]).

एम [एक्स] = एक्स (ω) पी (डी ω)। (\ डिस्प्लेस्टाइल एम [एक्स] = \ int \ सीमाएं _ (\ ओमेगा) \! एक्स (\ ओमेगा) \, \ mathbb (पी) (डी \ ओमेगा)।)

गणितीय अपेक्षा के लिए बुनियादी सूत्र

एम [एक्स] = - एक्स डी एफ एक्स (एक्स); x ∈ R (\ displaystyle M [X] = \ int \ Limits _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! x \, dF_ (X) (x); x \ in \ mathbb (R)).

असतत वितरण की गणितीय अपेक्षा

P (X = xi) = pi, ∑ i = 1 pi = 1 (\ डिस्प्लेस्टाइल \ mathbb (P) (X = x_ (i)) = p_ (i), \; \ योग \ सीमा _ (i = 1 ) ^ (\ infty) p_ (i) = १),

तब यह लेबेस्ग इंटीग्रल की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है कि

एम [एक्स] = ∑ i = १ x i p i (\ डिस्प्लेस्टाइल एम [एक्स] = \ योग \ सीमाएं _ (i = १) ^ (\ infty) x_ (i) \, p_ (i)).

पूर्णांक मान का अपेक्षित मान

पी (एक्स = जे) = पी जे, जे = 0, 1,। ... ... ; जे = 0 ∞ पीजे = 1 (\ डिस्प्लेस्टाइल \ मैथबीबी (पी) (एक्स = जे) = पी_ (जे), \; जे = 0,1, ...; \ क्वाड \ योग \ सीमाएं _ (जे = 0 ) ^ (\ infty) p_ (जे) = १)

तब इसकी गणितीय अपेक्षा को अनुक्रम के जनक फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (पी i) (\ डिस्प्लेस्टाइल \ (पी_ (i) \))

पी (एस) = ∑ के = 0 ∞ पी के एस के (\ डिस्प्लेस्टाइल पी (एस) = \ योग _ (के = 0) ^ (\ infty) \; पी_ (के) एस ^ (के))

इकाई में पहले व्युत्पन्न के मूल्य के रूप में: एम [एक्स] = पी ′ (1) (\ डिस्प्लेस्टाइल एम [एक्स] = पी "(1))... यदि गणितीय अपेक्षा एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स)अंतहीन तो लिम एस → 1 पी ′ (एस) = ∞ (\ डिस्प्लेस्टाइल \ लिम _ (एस \ से 1) पी "(एस) = \ infty)और हम लिखेंगे पी ′ (1) = एम [एक्स] = ∞ (\ डिस्प्लेस्टाइल पी "(1) = एम [एक्स] = \ infty)

अब जनरेटिंग फंक्शन लेते हैं क्यू (एस) (\ डिस्प्लेस्टाइल क्यू (एस))वितरण पूंछ अनुक्रम (क्यू के) (\ डिस्प्लेस्टाइल \ (क्यू_ (के) \))

क्यू के = पी (एक्स> के) = ∑ जे = के + 1 ∞ पी जे; क्यू (एस) = ∑ के = 0 क्यू के एस के। (\ डिस्प्लेस्टाइल q_ (के) = \ गणितबीबी (पी) (एक्स> के) = \ योग _ (जे = के + 1) ^ (\ infty) (पी_ (जे)); \ क्वाड क्यू (एस) = \ योग _ (के = 0) ^ (\ infty) \; q_ (के) एस ^ (के)।)

यह जनरेटिंग फ़ंक्शन पहले से परिभाषित फ़ंक्शन के साथ जुड़ा हुआ है पी (एस) (\ डिस्प्लेस्टाइल पी (एस))संपत्ति: क्यू (एस) = 1 - पी (एस) 1 - एस (\ डिस्प्लेस्टाइल क्यू (एस) = (\ फ्रैक (1-पी (एस)) (1-एस)))पर | एस |< 1 {\displaystyle |s|<1} ... इससे, माध्य मान प्रमेय द्वारा, यह इस प्रकार है कि गणितीय अपेक्षा एकता में इस फ़ंक्शन के मान के बराबर है:

एम [एक्स] = पी ′ (1) = क्यू (1) (\ डिस्प्लेस्टाइल एम [एक्स] = पी "(1) = क्यू (1))

बिल्कुल निरंतर वितरण की अपेक्षा

एम [एक्स] = ∫ - ∞ एक्सएफ एक्स (एक्स) डीएक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल एम [एक्स] = \ int \ सीमाएं _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! Xf_ (एक्स) (एक्स) \, डीएक्स ).

एक यादृच्छिक वेक्टर की गणितीय अपेक्षा

रहने दो एक्स = (एक्स 1,…, एक्स एन) : Ω → आर एन (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स = (एक्स_ (1), \ डॉट्स, एक्स_ (एन)) ^ (\ टॉप) \ कोलन \ ओमेगा \ से \ मैथबीबी ( आर) ^ (एन))एक यादृच्छिक वेक्टर है। फिर परिभाषा के अनुसार

एम [एक्स] = (एम [एक्स 1],…, एम [एक्स एन]) ⊤ (\ डिस्प्लेस्टाइल एम [एक्स] = (एम, \ डॉट्स, एम) ^ (\ शीर्ष)),

अर्थात्, एक सदिश की गणितीय अपेक्षा घटक के आधार पर निर्धारित की जाती है।

एक यादृच्छिक चर के परिवर्तन की गणितीय अपेक्षा

रहने दो जी: आर → आर (\ डिस्प्लेस्टाइल जी \ कोलन \ मैथबीबी (आर) \ से \ मैथबीबी (आर))एक बोरेल फ़ंक्शन ऐसा है कि यादृच्छिक चर वाई = जी (एक्स) (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई = जी (एक्स))एक सीमित गणितीय अपेक्षा है। तब सूत्र इसके लिए मान्य है

एम [जी (एक्स)] = ∑ i = 1 ∞ जी (xi) पीआई, (\ डिस्प्लेस्टाइल एम \ बाएं = \ योग \ सीमाएं _ (i = 1) ^ (\ infty) जी (x_ (i)) p_ ( मैं),)

अगर एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स)एक असतत वितरण है;

एम [जी (एक्स)] = ∫ - ∞ जी (एक्स) एफ एक्स (एक्स) डीएक्स, (\ डिस्प्लेस्टाइल एम \ बाएं = \ int \ सीमाएं _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! जी (एक्स ) f_ (एक्स) (एक्स) \, डीएक्स,)

अगर एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स)बिल्कुल निरंतर वितरण है।

यदि वितरण पी एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल \ मैथबीबी (पी) ^ (एक्स))अनियमित चर एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स)सामान्य रूप, फिर

एम [जी (एक्स)] = - जी (एक्स) पी एक्स (डी एक्स)। (\ डिस्प्लेस्टाइल एम \ बाएं = \ int \ सीमाएं _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! g (x) \, \ mathbb (P) ^ (X) (dx)।)

विशेष मामले में जब जी (एक्स) = एक्स के (\ डिस्प्लेस्टाइल जी (एक्स) = एक्स ^ (के)), अपेक्षित मूल्य एम [जी (एक्स)] = एम [एक्स के] (\ डिस्प्लेस्टाइल एम = एम)बुलाया k (\ डिस्प्लेस्टाइल k)यादृच्छिक चर का -वाँ क्षण।

गणितीय अपेक्षा के सरलतम गुण

• किसी संख्या की गणितीय अपेक्षा ही वह संख्या होती है।

एम [ए] = ए (\ डिस्प्लेस्टाइल एम [ए] = ए) a R (\ displaystyle a \ in \ mathbb (R))- लगातार;

• गणितीय अपेक्षा रैखिक है, अर्थात्

एम [ए एक्स + बी वाई] = ए एम [एक्स] + बी एम [वाई] (\ डिस्प्लेस्टाइल एम = एएम [एक्स] + बीएम [वाई]), कहां एक्स, वाई (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स, वाई)परिमित गणितीय अपेक्षा के साथ यादृच्छिक चर हैं, और a, b ∈ R (\ displaystyle a, b \ in \ mathbb (R))- मनमाना स्थिरांक; 0 ⩽ एम [एक्स] ⩽ एम [वाई] (\ डिस्प्लेस्टाइल 0 \ लेक्स्लैंट एम [एक्स] \ लेक्स्लैंट एम [वाई]); एम [एक्स] = एम [वाई] (\ डिस्प्लेस्टाइल एम [एक्स] = एम [वाई]). एम [एक्स वाई] = एम [एक्स] एम [वाई] (\ डिस्प्लेस्टाइल एम = एम [एक्स] एम [वाई]).

असतत प्रायिकता स्थान पर दिए गए यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा (माध्य मान) संख्या m = M [X] = x i p i है, यदि श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण करती है।

सेवा उद्देश्य... ऑनलाइन सेवा का उपयोग करना गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना की जाती है(उदाहरण देखें)। इसके अतिरिक्त, वितरण फलन F (X) का एक आलेख आलेखित किया जाता है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के गुण

1. एक स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं के बराबर है: M [C] = C, C एक स्थिरांक है;
2. एम = सी एम [एक्स]
3. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है: M = M [X] + M [Y]
4. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: M = M [X] M [Y], यदि X और Y स्वतंत्र हैं।

फैलाव गुण

1. स्थिरांक का प्रसरण शून्य है: D (c) = 0.
2. अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से वर्ग करके निकाला जा सकता है: D (k * X) = k 2 D (X)।
3. यदि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, तो योग का विचरण प्रसरणों के योग के बराबर होता है: D (X + Y) = D (X) + D (Y)।
4. यदि यादृच्छिक चर X और Y आश्रित हैं: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
5. गणना सूत्र विचरण के लिए मान्य है:
   डी (एक्स) = एम (एक्स 2) - (एम (एक्स)) 2

एक उदाहरण। दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ और प्रसरण ज्ञात हैं: M (x) = 8, M (Y) = 7, D (X) = 9, D (Y) = 6। यादृच्छिक चर Z = 9X-8Y + 7 की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। गणितीय अपेक्षा के गुणों के आधार पर: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23 ...
फैलाव गुणों के आधार पर: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = ८१ * ९ - ६४ * ६ = ३४५

अपेक्षित मूल्य की गणना के लिए एल्गोरिदम

असतत यादृच्छिक चर के गुण: उनके सभी मूल्यों को प्राकृतिक संख्याओं के साथ पुन: क्रमांकित किया जा सकता है; प्रत्येक मान के लिए एक गैर-शून्य संभावना असाइन करें।

1. हम युग्मों को गुणा करते हैं: x i को p i से बारी-बारी से।
2. प्रत्येक जोड़ी x i p i का गुणनफल जोड़ें।
   उदाहरण के लिए, n = 4 के लिए: m = x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यकदमवार, यह उन बिंदुओं पर अचानक बढ़ जाता है, जिनकी संभावनाएं सकारात्मक हैं।

उदाहरण 1।

एक्स मैं	1	3	4	7	9
पी मैं	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

हम गणितीय अपेक्षा को सूत्र m = x i p i द्वारा ज्ञात करते हैं।
गणितीय अपेक्षा एम [एक्स].
एम [एक्स] = 1 * 0.1 + 3 * 0.2 + 4 * 0.1 + 7 * 0.3 + 9 * 0.3 = 5.9
हम सूत्र d = ∑x 2 i p i - M [x] 2 द्वारा प्रसरण पाते हैं।
फैलाव डी [एक्स].
डी [एक्स] = 1 2 * 0.1 + 3 2 * 0.2 + 4 2 * 0.1 + 7 2 * 0.3 + 9 2 * 0.3 - 5.9 2 = 7.69
मानक विचलन (एक्स).
σ = वर्ग (डी [एक्स]) = वर्ग (7.69) = 2.78

उदाहरण # २। एक असतत यादृच्छिक चर में निम्नलिखित वितरण श्रृंखला होती है:

एन एस	-10	-5	0	5	10
आर	ए	0,32	2ए	0,41	0,03

इस यादृच्छिक चर का मान a, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम संबंध से मान पाते हैं: p i = 1
p i = a + ०.३२ + २ a + ०.४१ + ०.०३ = ०.७६ + ३ a = १
0.76 + 3 ए = 1 या 0.24 = 3 ए, जहां से ए = 0.08

उदाहरण संख्या 3. एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून का निर्धारण करें, यदि इसका विचरण ज्ञात है, और x 1 एक्स 1 = 6; एक्स 2 = 9; एक्स 3 = एक्स; एक्स 4 = 15
पी 1 = 0.3; पी २ = ०.३; पी ३ = ०.१; पी 4 = 0.3
डी (एक्स) = 12.96

समाधान।
यहाँ प्रसरण d (x) ज्ञात करने के लिए एक सूत्र बनाना आवश्यक है:
डी (एक्स) = एक्स 1 2 पी 1 + एक्स 2 2 पी 2 + एक्स 3 2 पी 3 + एक्स 4 2 पी 4 -एम (एक्स) 2
जहां उम्मीद एम (एक्स) = एक्स 1 पी 1 + एक्स 2 पी 2 + एक्स 3 पी 3 + एक्स 4 पी 4
हमारे डेटा के लिए
एम (एक्स) = 6 * 0.3 + 9 * 0.3 + x 3 * 0.1 + 15 * 0.3 = 9 + 0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3 + 9 2 0.3 + x 3 2 0.1 + 15 2 0.3- (9 + 0.1x 3) 2
या -9/100 (x 2 -20x + 96) = 0
तदनुसार, समीकरण की जड़ों को खोजना आवश्यक है, और उनमें से दो होंगे।
एक्स ३ = ८, एक्स ३ = १२
हम उसे चुनते हैं जो शर्त को संतुष्ट करता है x 1 एक्स 3 = 12

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
एक्स 1 = 6; एक्स 2 = 9; एक्स ३ = १२; एक्स 4 = 15
पी 1 = 0.3; पी २ = ०.३; पी ३ = ०.१; पी 4 = 0.3

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है

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गणितीय अपेक्षा है, परिभाषा

गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, एक यादृच्छिक चर के मूल्यों या संभावनाओं के वितरण की विशेषता है। आमतौर पर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह तकनीकी विश्लेषण, संख्यात्मक श्रृंखला के अध्ययन, निरंतर और दीर्घकालिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह जोखिमों का आकलन करने, वित्तीय बाजारों में व्यापार करते समय मूल्य संकेतकों की भविष्यवाणी करने में महत्वपूर्ण है, और जुआ के सिद्धांत में रणनीतियों और गेमिंग रणनीति के तरीकों के विकास में उपयोग किया जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर का माध्य मान, एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण को संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का एक उपाय। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्सलक्षित एम (एक्स).

गणितीय अपेक्षा है

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मूल्यों का भारित औसत जो यह यादृच्छिक चर ले सकता है।

गणितीय अपेक्षा हैइन मानों की प्रायिकताओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के गुणनफल का योग।

गणितीय अपेक्षा हैएक समाधान या दूसरे से औसत लाभ, बशर्ते कि इस तरह के समाधान को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे के भीतर माना जा सकता है।

गणितीय अपेक्षा हैजुए के सिद्धांत में, एक खिलाड़ी जितनी जीत या हार सकता है, औसतन, प्रत्येक दांव के लिए। जुआरी की भाषा में, इसे कभी-कभी "खिलाड़ी लाभ" (यदि यह खिलाड़ी के लिए सकारात्मक है) या "कैसीनो लाभ" (यदि यह खिलाड़ी के लिए नकारात्मक है) कहा जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैजीत पर लाभ का प्रतिशत औसत लाभ से गुणा किया जाता है, घटा नुकसान की संभावना को औसत नुकसान से गुणा किया जाता है।

गणितीय सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

एक यादृच्छिक चर की महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक गणितीय अपेक्षा है। आइए हम यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली की अवधारणा का परिचय दें। यादृच्छिक चर के एक संग्रह पर विचार करें जो एक ही यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं। यदि - सिस्टम के संभावित मूल्यों में से एक, तो घटना एक निश्चित संभावना से मेल खाती है जो कोलमोगोरोव स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है। यादृच्छिक चर के किसी भी संभावित मूल्यों के लिए परिभाषित एक फ़ंक्शन को संयुक्त वितरण कानून कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आपको किसी भी घटना की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के वितरण का संयुक्त कानून और, जो सेट से मान लेते हैं और संभावनाओं द्वारा दिया जाता है।

शब्द "गणितीय अपेक्षा" पियरे साइमन द मार्क्विस डी लाप्लास (1795) द्वारा पेश किया गया था और "एक अदायगी के अपेक्षित मूल्य" की अवधारणा से उत्पन्न हुआ था, जो पहली बार 17 वीं शताब्दी में ब्लेज़ पास्कल के कार्यों में जुए के सिद्धांत में दिखाई दिया था। और क्रिश्चियन हाइजेंस। हालाँकि, इस अवधारणा की पहली पूर्ण सैद्धांतिक समझ और मूल्यांकन Pafnutii Lvovich Chebyshev (19 वीं शताब्दी के मध्य) द्वारा दिया गया था।

यादृच्छिक संख्यात्मक मानों का वितरण नियम (वितरण फ़ंक्शन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का पूरी तरह से वर्णन करता है। लेकिन कई समस्याओं में प्रश्न का उत्तर देने के लिए जांच की गई मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और इससे संभावित विचलन) जानना पर्याप्त है। यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं गणितीय अपेक्षा, विचरण, मोड और माध्यिका हैं।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा संबंधित संभावनाओं द्वारा इसके संभावित मूल्यों के उत्पादों का योग है। कभी-कभी गणितीय अपेक्षा को भारित औसत कहा जाता है, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर होता है। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि इसका मान यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभव मूल्य से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) मान है।

गणितीय अपेक्षा का एक सरल भौतिक अर्थ है: यदि एक इकाई द्रव्यमान को कुछ बिंदुओं पर (एक असतत वितरण के लिए) कुछ द्रव्यमान रखकर एक सीधी रेखा पर रखा जाता है, या इसे एक निश्चित घनत्व (बिल्कुल निरंतर वितरण के लिए) के साथ "स्मीयरिंग" किया जाता है। तो गणितीय अपेक्षा के अनुरूप बिंदु समन्वय होगा "गुरुत्वाकर्षण का केंद्र" सीधा है।

एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य एक निश्चित संख्या है, जो कि, जैसा कि यह था, इसका "प्रतिनिधि" है और इसे अनुमानित अनुमानित गणनाओं में बदल देता है। जब हम कहते हैं: "दीपक का औसत संचालन समय 100 घंटे के बराबर होता है" या "प्रभाव का मध्य बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर विस्थापित होता है", हम एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत दे रहे हैं जो संख्यात्मक अक्ष पर इसके स्थान का वर्णन करता है, अर्थात "स्थिति की विशेषता"।

संभाव्यता के सिद्धांत में स्थिति की विशेषताओं से, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी यादृच्छिक चर का औसत मान कहा जाता है।

एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एन एससंभावित मूल्यों के साथ x1, x2, ..., xnसंभावनाओं के साथ पी1, पी2, ..., पीएन... हमें इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मूल्यों की अलग-अलग संभावनाएं हैं, हमें एब्सिस्सा अक्ष पर एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की स्थिति को कुछ संख्याओं द्वारा चिह्नित करने की आवश्यकता है। इस प्रयोजन के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है ग्यारहवीं, और औसत के दौरान xi के प्रत्येक मान को इस मान की संभावना के अनुपात में "वजन" के साथ ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के माध्य की गणना करेंगे एक्सजिसे हम निरूपित करेंगे एम | एक्स |:

इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक को ध्यान में रखा है - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इन मूल्यों की संभावनाओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों का योग है।

एन एसबड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक अजीबोगरीब संबंध से जुड़ा हुआ है। यह निर्भरता उसी प्रकार की होती है जैसे आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता, अर्थात्: बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य इसकी गणितीय अपेक्षा के लिए दृष्टिकोण (संभाव्यता में अभिसरण) करता है। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच संबंध की उपस्थिति से, एक परिणाम के रूप में अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध की उपस्थिति का अनुमान लगाया जा सकता है। दरअसल, यादृच्छिक चर पर विचार करें एन एसएक वितरण श्रृंखला द्वारा विशेषता:

इसे उत्पादित होने दें एनस्वतंत्र प्रयोग, जिनमें से प्रत्येक में मूल्य एक्सएक निश्चित अर्थ लेता है। मान लीजिए मान x1दिखाई दिया एम1समय, मूल्य x2दिखाई दिया एम2समय, आम तौर पर अर्थ ग्यारहवींमील बार दिखाई दिया। हम एक्स के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं, जो गणितीय अपेक्षा के विपरीत है एम | एक्स |हम नामित करेंगे एम * | एक्स |:

प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एनआवृत्ति अनुकरणीयसंगत प्रायिकताओं की ओर (संभाव्यता में अभिसरण) करेंगे। नतीजतन, यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों का अंकगणितीय माध्य एम | एक्स |प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, यह अपनी गणितीय अपेक्षा तक पहुंच जाएगा (संभाव्यता में अभिसरण)। अंकगणित माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच उपरोक्त संबंध बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री है।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के कानून के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए कुछ औसत स्थिर होते हैं। यहां हम समान मात्रा के प्रेक्षणों की एक श्रृंखला से अंकगणितीय माध्य की स्थिरता के बारे में बात कर रहे हैं। प्रयोगों की एक छोटी संख्या के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग यादृच्छिक" हो जाता है और स्थिर हो जाता है, एक स्थिर मूल्य तक पहुंचता है - गणितीय अपेक्षा।

बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ औसत की स्थिरता की संपत्ति को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, किसी वस्तु को प्रयोगशाला में एक सटीक संतुलन पर तौलना, तोलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मान मिलता है; अवलोकन त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह विश्वास करना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम और कम प्रतिक्रिया करता है, और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ यह व्यावहारिक रूप से बदलना बंद कर देता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चरों के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन। हालांकि, अभ्यास के लिए, ऐसे मामले महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर हम जिन यादृच्छिक चरों से निपटते हैं, उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, एक गणितीय अपेक्षा होती है।

एक यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा - स्थिति की अन्य विशेषताओं को कभी-कभी व्यवहार में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, एक यादृच्छिक चर के मोड और माध्यिका।

यादृच्छिक चर का बहुलक इसका सबसे संभावित मान है। शब्द "सबसे संभावित मूल्य", कड़ाई से बोलते हुए, केवल असंतुलित मात्रा पर लागू होता है; एक सतत मात्रा के लिए, बहुलक वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है। आंकड़े क्रमशः असंतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "पॉलीमॉडल" कहा जाता है।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें बीच में अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होता है। इस तरह के वितरण को "एंटी-मोडल" कहा जाता है।

सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल (यानी, एक मोड होता है) और गणितीय अपेक्षा होती है, तो यह वितरण के समरूपता के केंद्र और मोड के साथ मेल खाता है।

स्थिति की एक अन्य विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि औपचारिक रूप से इसे एक असंतत चर के लिए निर्धारित किया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र आधा हो जाता है।

एक सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्य गणितीय अपेक्षा और मोड के साथ मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर का माध्य मान है - यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण की संख्यात्मक विशेषता। सबसे सामान्य तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स (डब्ल्यू)संभाव्यता माप के संबंध में लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है आरमूल संभाव्यता स्थान में:

गणितीय अपेक्षा की गणना Lebesgue अभिन्न के रूप में की जा सकती है एन एससंभाव्यता वितरण द्वारा पिक्सलपरिमाण एक्स:

स्वाभाविक रूप से, आप एक अनंत गणितीय अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर की अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैं। कुछ रैंडम वॉक में वापसी का समय विशिष्ट उदाहरण हैं।

गणितीय अपेक्षा का उपयोग करते हुए, वितरण की कई संख्यात्मक और कार्यात्मक विशेषताओं को निर्धारित किया जाता है (एक यादृच्छिक चर के संबंधित कार्यों की गणितीय अपेक्षा के रूप में), उदाहरण के लिए, एक जनरेटिंग फ़ंक्शन, एक विशेषता फ़ंक्शन, किसी भी क्रम के क्षण, विशेष रूप से, विचरण , सहप्रसरण।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर (इसके वितरण का औसत मूल्य) के मूल्यों के स्थान की विशेषता है। इस क्षमता में, गणितीय अपेक्षा एक निश्चित "विशिष्ट" वितरण पैरामीटर के रूप में कार्य करती है और इसकी भूमिका स्थिर क्षण की भूमिका के समान होती है - बड़े पैमाने पर वितरण के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक - यांत्रिकी में। गणितीय अपेक्षा अन्य स्थान विशेषताओं से भिन्न होती है, जिसकी सहायता से वितरण को सामान्य शब्दों, माध्यिकाओं, विधाओं में वर्णित किया जाता है, अधिक मूल्य से कि यह और संबंधित प्रकीर्णन विशेषता - फैलाव - में संभाव्यता सिद्धांत के सीमा प्रमेय होते हैं। सबसे बड़ी पूर्णता के साथ, गणितीय अपेक्षा का अर्थ बड़ी संख्या के कानून (चेबीशेव की असमानता) और बड़ी संख्या के मजबूत कानून द्वारा प्रकट होता है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

मान लीजिए कि कुछ यादृच्छिक चर हैं जो कई संख्यात्मक मानों में से एक ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, पासा फेंकते समय अंकों की संख्या 1, 2, 3, 4, 5, या 6) हो सकती है। व्यवहार में, इस तरह के मूल्य के लिए अक्सर सवाल उठता है: बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ "औसतन" क्या मूल्य लेता है? प्रत्येक जोखिम भरे संचालन से हमारी औसत आय (या हानि) क्या होगी?

मान लीजिए कि किसी प्रकार की लॉटरी है। हम यह समझना चाहते हैं कि इसमें भाग लेना लाभदायक है या नहीं (या बार-बार भाग लेना, नियमित रूप से)। मान लीजिए कि हर चौथा जीतने वाला टिकट है, पुरस्कार 300 रूबल है, और किसी भी टिकट की कीमत 100 रूबल है। असीम रूप से बड़ी संख्या में भागीदारी के साथ, ऐसा ही होता है। तीन तिमाहियों में हम हारेंगे, हर तीन नुकसान में 300 रूबल की लागत आएगी। हर चौथे मामले में हम 200 रूबल जीतेंगे। (पुरस्कार माइनस कॉस्ट), यानी चार भागीदारी के लिए हम औसतन 100 रूबल खो देते हैं, एक के लिए - औसतन 25 रूबल। कुल मिलाकर, हमारे बर्बाद होने की औसत दर प्रति टिकट 25 रूबल होगी।

हम पासा फेंकते हैं। यदि यह धोखा नहीं है (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में कोई बदलाव नहीं, आदि), तो हमारे पास एक समय में औसतन कितने अंक होंगे? चूंकि प्रत्येक विकल्प समान रूप से संभावित है, हम एक बेवकूफ अंकगणितीय माध्य लेते हैं और 3.5 प्राप्त करते हैं। चूंकि यह औसत है, इसलिए नाराज होने की कोई आवश्यकता नहीं है कि कोई विशिष्ट थ्रो 3.5 अंक नहीं देगा - ठीक है, इस घन में इतनी संख्या के साथ कोई बढ़त नहीं है!

आइए अब हमारे उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

आइए अभी दिखाई गई तस्वीर को देखें। बाईं ओर एक यादृच्छिक चर के वितरण की एक तालिका है। मान X, n संभावित मानों में से एक ले सकता है (शीर्ष पंक्ति में दिखाया गया है)। कोई अन्य मूल्य नहीं हो सकता। नीचे दिए गए प्रत्येक संभावित मान को इसकी प्रायिकता के साथ लेबल किया गया है। दाईं ओर सूत्र है, जहाँ M (X) को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस मान का अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों (बड़े नमूने के साथ) के साथ, औसत मान इसी गणितीय अपेक्षा की ओर अग्रसर होगा।

चलिए वापस उसी प्लेइंग क्यूब पर चलते हैं। फेंकते समय अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा 3.5 है (यदि आप विश्वास नहीं करते हैं तो सूत्र का उपयोग करके स्वयं की गणना करें)। मान लीजिए कि आपने इसे एक-दो बार फेंका। उन्होंने 4 और 6 गिराए। औसतन, यह 5 निकला, यानी 3.5 से बहुत दूर। उन्होंने इसे एक बार और फेंक दिया, 3 गिरा दिया, यानी औसतन (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... गणितीय अपेक्षा से किसी तरह दूर। अब करें ये क्रेजी एक्सपेरिमेंट - क्यूब को 1000 बार रोल करें! और अगर औसत बिल्कुल 3.5 नहीं है, तो यह उसके करीब होगा।

आइए ऊपर वर्णित लॉटरी के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करें। प्लेट इस तरह दिखेगी:

तब गणितीय अपेक्षा होगी, जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है।

एक और बात यह है कि इसे सिर्फ उंगलियों पर करना मुश्किल होगा, बिना सूत्र के, अगर और विकल्प होते। ठीक है, मान लें कि टिकट खोने का 75%, जीतने वाले टिकटों का 20% और अतिरिक्त जीतने वाले टिकटों का 5% होगा।

अब गणितीय अपेक्षा के कुछ गुण।

यह सिद्ध करना सरल है:

गणितीय अपेक्षा के संकेत से एक स्थिर कारक निकालने की अनुमति है, जो है:

यह गणितीय अपेक्षा की रैखिकता संपत्ति का एक विशेष मामला है।

गणितीय अपेक्षा की रैखिकता का एक और परिणाम:

अर्थात्, यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।

मान लीजिए X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, फिर:

यह साबित करना भी आसान है) XYअपने आप में एक यादृच्छिक चर है, जबकि यदि प्रारंभिक मान ले सकते हैं एनतथा एममान क्रमशः, तब XYएनएम मान ले सकते हैं। प्रत्येक मान की संभावना की गणना इस तथ्य के आधार पर की जाती है कि स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा किया जाता है। परिणामस्वरूप, हमें यह मिलता है:

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

निरंतर यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व (संभाव्यता घनत्व) जैसी विशेषता होती है। यह, वास्तव में, इस स्थिति की विशेषता है कि एक यादृच्छिक चर वास्तविक संख्याओं के सेट से कुछ मान अधिक बार लेता है, कुछ कम बार। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित ग्राफ पर विचार करें:

यहां एक्सएक यादृच्छिक चर ही है, च (एक्स)- वितरण घनत्व। इस ग्राफ को देखते हुए, प्रयोगों में, मान एक्सअक्सर शून्य के करीब एक संख्या होगी। अधिक होने की संभावना 3 या कम हो -3 बल्कि विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक समान वितरण है:

यह सहज ज्ञान युक्त समझ के अनुरूप है। मान लीजिए, अगर हमें एक समान वितरण के साथ बहुत सारी यादृच्छिक वास्तविक संख्याएँ मिलती हैं, तो प्रत्येक खंड |0; 1| , तो अंकगणितीय माध्य लगभग 0.5 होना चाहिए।

गणितीय अपेक्षा के गुण - रैखिकता, आदि, असतत यादृच्छिक चर के लिए लागू होते हैं, यहां भी लागू होते हैं।

गणितीय अपेक्षा और अन्य सांख्यिकीय संकेतकों के बीच संबंध

सांख्यिकीय विश्लेषण में, गणितीय अपेक्षा के साथ, अन्योन्याश्रित संकेतकों की एक प्रणाली होती है जो घटना की एकरूपता और प्रक्रियाओं की स्थिरता को दर्शाती है। विविधता संकेतकों का अक्सर कोई स्वतंत्र अर्थ नहीं होता है और आगे के डेटा विश्लेषण के लिए उपयोग किया जाता है। अपवाद भिन्नता का गुणांक है, जो डेटा की एकरूपता की विशेषता है, जो एक मूल्यवान आँकड़ा है।

सांख्यिकीय विज्ञान में प्रक्रियाओं की परिवर्तनशीलता या स्थिरता की डिग्री को कई संकेतकों का उपयोग करके मापा जा सकता है।

एक यादृच्छिक चर की परिवर्तनशीलता को दर्शाने वाला सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है फैलाव, जो गणितीय अपेक्षा से निकटता से और सीधे तौर पर संबंधित है। यह पैरामीटर अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण (परिकल्पना परीक्षण, कारण-और-प्रभाव संबंधों का विश्लेषण, आदि) में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। रैखिक माध्य की तरह, विचरण भी माध्य के चारों ओर डेटा के प्रसार के माप को दर्शाता है।

संकेतों की भाषा को शब्दों की भाषा में अनुवाद करना उपयोगी है। यह पता चला है कि विचलन विचलन का औसत वर्ग है। अर्थात्, पहले औसत की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत के बीच के अंतर को लिया जाता है, चुकता किया जाता है, जोड़ा जाता है, और फिर जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है। व्यक्तिगत मूल्य और माध्य के बीच का अंतर विचलन के माप को दर्शाता है। इसे इस तरह से चुकता किया जाता है कि सभी विचलन अनन्य रूप से धनात्मक संख्याएँ बन जाते हैं और धनात्मक और ऋणात्मक विचलनों का योग करने पर पारस्परिक विनाश से बचने के लिए। फिर, विचलन के वर्गों के साथ, हम केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। औसत - वर्ग - विचलन। विचलन चुकता है और औसत माना जाता है। जादू शब्द "भिन्नता" का समाधान सिर्फ तीन शब्दों में है।

हालाँकि, अपने शुद्ध रूप में, जैसे कि अंकगणितीय माध्य, या सूचकांक, विचरण का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जिसका उपयोग अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए किया जाता है। उसके पास माप की एक सामान्य इकाई भी नहीं है। सूत्र को देखते हुए, यह मूल डेटा के माप की इकाई का वर्ग है।

आइए हम एक यादृच्छिक चर को मापें एनउदाहरण के लिए, हम हवा की गति को दस गुना मापते हैं और औसत मान ज्ञात करना चाहते हैं। माध्य वितरण फलन से किस प्रकार संबंधित है?

या हम पासे को कई बार घुमाएंगे। प्रत्येक रोल के साथ पासे पर गिरने वाले अंकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है और 1 से 6 तक कोई भी प्राकृतिक मान ले सकता है। सभी पासा रोल के लिए गणना किए गए गिराए गए बिंदुओं का अंकगणितीय माध्य भी एक यादृच्छिक मान है। , लेकिन बड़े के लिए एनयह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या की ओर जाता है - गणितीय अपेक्षा एमएक्स... इस मामले में, एमएक्स = 3.5।

यह मूल्य कैसे आया? भीतर आएं एनपरीक्षणों एन 1एक बार 1 अंक गिरा, एन 2बार - 2 अंक और इसी तरह। फिर परिणामों की संख्या जिसमें एक बिंदु गिर गया:

इसी तरह परिणामों के लिए जब 2, 3, 4, 5 और 6 अंक लुढ़के।

मान लीजिए कि अब हम एक यादृच्छिक चर x के वितरण नियम को जानते हैं, अर्थात, हम जानते हैं कि एक यादृच्छिक चर x मान x1, x2, ..., xk के साथ p1, p2, ..., pk मान ले सकता है।

एक यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा Mx है:

गणितीय अपेक्षा हमेशा कुछ यादृच्छिक चर का उचित अनुमान नहीं होती है। इसलिए, औसत वेतन का अनुमान लगाने के लिए, माध्यिका की अवधारणा का उपयोग करना अधिक उचित है, अर्थात ऐसा मूल्य कि औसत वेतन से कम और अधिक प्राप्त करने वाले लोगों की संख्या समान हो।

प्रायिकता p1 कि यादृच्छिक चर x, x1 / 2 से कम होगा, और प्रायिकता p2 कि यादृच्छिक चर x, x1 / 2 से बड़ा होगा, समान और 1/2 के बराबर है। माध्यिका सभी वितरणों के लिए स्पष्ट रूप से निर्धारित नहीं होती है।

मानक या मानक विचलनआँकड़ों में, अवलोकन संबंधी डेटा या सेट का औसत मान से विचलन की डिग्री कहलाती है। इसे s या s अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। एक छोटा मानक विचलन इंगित करता है कि डेटा माध्य के आसपास क्लस्टर किया गया है, जबकि एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि मूल डेटा इससे बहुत दूर है। मानक विचलन विचरण नामक मात्रा के वर्गमूल के बराबर होता है। यह माध्य से विचलन वाले प्रारंभिक डेटा के वर्ग अंतर के योग का औसत है। यादृच्छिक चर के मूल-माध्य-वर्ग विचलन को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है:

उदाहरण। एक लक्ष्य पर शूटिंग करते समय परीक्षण स्थितियों के तहत, एक यादृच्छिक चर के विचरण और मानक विचलन की गणना करें:

उतार - चढ़ाव- परिवर्तनशीलता, जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता के मूल्य की परिवर्तनशीलता। किसी विशेषता के व्यक्तिगत संख्यात्मक मान जो अध्ययन की गई जनसंख्या में पाए जाते हैं, मान विकल्प कहलाते हैं। जनसंख्या की एक पूर्ण विशेषता के लिए औसत मूल्य की अपर्याप्तता औसत मूल्यों को संकेतकों के साथ पूरक करना आवश्यक बनाती है जो अध्ययन के तहत विशेषता की परिवर्तनशीलता (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करना संभव बनाता है। भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

स्वाइप वेरिएशन(आर) अध्ययन की गई आबादी में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है। यह संकेतक अध्ययन के तहत विशेषता की परिवर्तनशीलता का सबसे सामान्य विचार देता है, क्योंकि यह केवल विकल्पों के सीमित मूल्यों के बीच का अंतर दिखाता है। विशेषता के चरम मूल्यों पर निर्भरता भिन्नता की सीमा को एक अस्थिर, यादृच्छिक चरित्र देती है।

औसत रैखिक विचलनउनके औसत मूल्य से विश्लेषित जनसंख्या के सभी मूल्यों के निरपेक्ष (मॉड्यूलो) विचलन का अंकगणितीय माध्य है:

जुआ के सिद्धांत में अपेक्षित मूल्य

गणितीय अपेक्षा हैएक जुआरी किसी दिए गए दांव पर जीत या हार की औसत राशि। यह खिलाड़ी के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है, क्योंकि यह अधिकांश खेल स्थितियों के आकलन के लिए मौलिक है। बुनियादी कार्ड लेआउट और खेल स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए उम्मीद भी एक इष्टतम उपकरण है।

मान लीजिए कि आप एक दोस्त के साथ एक सिक्का खेल रहे हैं, हर बार समान रूप से $ 1 की शर्त लगा रहे हैं चाहे कुछ भी आए। पूंछ - तुम जीतते हो, सिर - तुम हारते हो। टेल आने की संभावनाएं एक-से-एक हैं, और आप $ 1 से $ 1 तक शर्त लगाते हैं। इस प्रकार, आपकी गणितीय अपेक्षा शून्य है, क्योंकि गणितीय रूप से कहें तो आप यह नहीं जान सकते कि आप दो टॉस के बाद आगे चल रहे हैं या हार रहे हैं या 200 के बाद।

आपका प्रति घंटा लाभ शून्य है। एक घंटे की जीत वह राशि है जो आप एक घंटे में जीतने की उम्मीद करते हैं। आप एक घंटे में एक सिक्के को 500 बार पलट सकते हैं, लेकिन आप न तो जीतेंगे और न ही हारेंगे, क्योंकि आपकी संभावनाएं न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। एक गंभीर खिलाड़ी की दृष्टि से इस तरह की सट्टेबाजी प्रणाली खराब नहीं है। लेकिन यह सिर्फ समय की बर्बादी है।

लेकिन मान लीजिए कि कोई उसी गेम में आपके $ 1 के खिलाफ $ 2 का दांव लगाना चाहता है। फिर आपको तुरंत प्रत्येक बेट से 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद है। 50 सेंट क्यों? औसतन, आप एक बेट जीतते हैं और दूसरा हार जाते हैं। पहले डॉलर पर दांव लगाएं और $ 1 हारें, दूसरे पर दांव लगाएं और $ 2 जीतें। आप $ 1 को दो बार शर्त लगाते हैं और $ 1 आगे हैं। तो आपके प्रत्येक एक डॉलर के दांव ने आपको ५० सेंट दिए।

यदि सिक्का एक घंटे में 500 बार गिरता है, तो आपकी प्रति घंटा जीत पहले से ही $ 250 होगी, क्योंकि औसतन, आप $ 1 250 बार हारे और $ 2 250 बार जीते। $ ५०० माइनस $ २५० बराबर $ २५० है, जो कुल जीत है। कृपया ध्यान दें कि अपेक्षित मूल्य, जो कि वह राशि है जो आपने एक बेट पर औसतन जीती है, 50 सेंट है। आपने 500 बार एक डॉलर की शर्त लगाकर 250 डॉलर जीते, जो कि हिस्सेदारी से 50 सेंट के बराबर है।

उम्मीद का अल्पकालिक परिणामों से कोई लेना-देना नहीं है। आपका प्रतिद्वंद्वी, जिसने आपके खिलाफ $ 2 की शर्त लगाने का फैसला किया है, आपको लगातार पहले दस टॉस पर हरा सकता है, लेकिन आप 2: 1 सट्टेबाजी का लाभ रखते हुए, अन्य सभी चीजें समान होने पर, किसी भी परिस्थिति में, प्रत्येक से 50 सेंट कमाते हैं। $ 1 शर्त। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक शर्त या कई दांव जीतते हैं या हारते हैं, लेकिन केवल तभी जब आपके पास लागतों की शांति से क्षतिपूर्ति करने के लिए पर्याप्त नकदी हो। यदि आप इसी तरह से दांव लगाना जारी रखते हैं, तो लंबी अवधि में आपकी जीत व्यक्तिगत थ्रो में आपकी उम्मीदों के योग तक पहुंच जाएगी।

हर बार जब आप सबसे अच्छे परिणाम के साथ एक शर्त लगाते हैं (एक शर्त जो लंबे समय में लाभदायक हो सकती है), जब ऑड्स आपके पक्ष में हैं, तो आप निश्चित रूप से उस पर कुछ जीतेंगे, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप हार गए इस हाथ में है या नहीं। इसके विपरीत, यदि आप सबसे खराब परिणाम के साथ एक शर्त लगाते हैं (एक शर्त जो लंबे समय में लाभदायक नहीं है), जब ऑड्स आपके पक्ष में नहीं हैं, तो आप कुछ खो रहे हैं चाहे आप दिए गए हाथ में जीतें या हारें।

यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप सर्वोत्तम परिणाम के साथ एक शर्त लगाते हैं, और यदि ऑड्स आपके पक्ष में हैं तो यह सकारात्मक है। सबसे खराब परिणाम के साथ दांव लगाते समय, आप नकारात्मक उम्मीद रखते हैं, जो तब होता है जब ऑड्स आपके खिलाफ होते हैं। गंभीर जुआरी केवल सर्वोत्तम परिणाम के साथ दांव लगाते हैं; सबसे खराब स्थिति में, वे गुना करते हैं। ऑड्स का आपके पक्ष में क्या मतलब है? आप वास्तविक बाधाओं से अधिक जीत हासिल कर सकते हैं। टेल आने की वास्तविक संभावना 1 से 1 है, लेकिन दांव के अनुपात के कारण आपको 2 से 1 मिल रहा है। इस मामले में संभावनाएं आपके पक्ष में हैं। 50 सेंट प्रति दांव की सकारात्मक उम्मीद के साथ आपको निश्चित रूप से सबसे अच्छा परिणाम मिलेगा।

यहां अपेक्षित मूल्य का अधिक जटिल उदाहरण दिया गया है। आपका दोस्त एक से पांच तक की संख्या लिखता है और आपके $ 1 के खिलाफ $ 5 की शर्त लगाता है कि आप छिपी हुई संख्या का निर्धारण नहीं करेंगे। क्या आपको ऐसी शर्त के लिए सहमत होना चाहिए? यहाँ क्या उम्मीद है?

औसतन, आप चार बार गलत होंगे। इसके आधार पर, आपके द्वारा संख्या का अनुमान लगाने की संभावना 4 से 1 है। संभावना यह है कि आप एक प्रयास में एक डॉलर खो देते हैं। हालांकि, आप 5 से 1 जीतते हैं, यदि आप 4 से 1 हार सकते हैं। तो ऑड्स आपके पक्ष में हैं, आप दांव लगा सकते हैं और बेहतर परिणाम की उम्मीद कर सकते हैं। यदि आप यह दांव पांच बार लगाते हैं, तो आप औसतन चार गुना $ 1 खो देंगे और $ 5 एक बार जीतेंगे। इसके आधार पर, सभी पांच प्रयासों के लिए, आप प्रति दांव 20 सेंट के सकारात्मक अपेक्षित मूल्य के साथ $ 1 अर्जित करेंगे।

एक खिलाड़ी जो दांव से अधिक जीतने वाला है, जैसा कि ऊपर के उदाहरण में है, बाधाओं को पकड़ता है। इसके विपरीत, जब वह दांव से कम जीतने की उम्मीद करता है तो वह बाधाओं को बर्बाद कर देता है। बेट लगाने वाले खिलाड़ी की या तो सकारात्मक या नकारात्मक अपेक्षा हो सकती है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि वह ऑड्स को पकड़ता है या बर्बाद करता है।

यदि आप जीतने की 4 से 1 संभावना के साथ $ 10 जीतने के लिए $ 50 का दांव लगाते हैं, तो आपको $ 2 की नकारात्मक उम्मीद मिलेगी, क्योंकि औसतन, आप $ 10 का चार गुना जीतते हैं और $ 50 एक बार हारते हैं, जो दर्शाता है कि एक शर्त के लिए नुकसान $ 10 है। लेकिन अगर आप $30 जीतने के लिए $10 की शर्त लगाते हैं, 4 से 1 जीतने की समान संभावना के साथ, तो इस मामले में आपको $ 2 की सकारात्मक उम्मीद है, क्योंकि आप $ 10 के लिए फिर से चार बार जीतते हैं और $ 10 के लाभ के लिए एक बार $ 30 खो देते हैं। इन उदाहरणों से पता चलता है कि पहला दांव खराब है और दूसरा अच्छा है।

उम्मीद किसी भी खेल की स्थिति का केंद्र है। जब एक सट्टेबाज फुटबॉल प्रशंसकों को $ 10 जीतने के लिए $ 11 की शर्त लगाने के लिए प्रोत्साहित करता है, तो उन्हें प्रत्येक $ 10 के लिए 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद होती है। यदि कैसिनो क्रेप्स में पासिंग लाइन से समान धन का भुगतान करता है, तो कैसीनो की सकारात्मक अपेक्षा प्रत्येक $ 100 के लिए लगभग $ 1.40 है, क्योंकि इस गेम को इस तरह से संरचित किया गया है कि इस लाइन पर दांव लगाने वाला हर व्यक्ति औसतन 50.7% हारता है और कुल समय का 49.3% जीतता है। निस्संदेह, यह प्रतीत होता है कि न्यूनतम सकारात्मक अपेक्षा है जो दुनिया भर के कैसीनो मालिकों के लिए भारी मुनाफा लाती है। जैसा कि वेगास वर्ल्ड कैसीनो के मालिक बॉब स्टुपक ने टिप्पणी की, "एक लंबी पर्याप्त दूरी पर एक प्रतिशत नकारात्मक संभावना का एक हजारवां हिस्सा दुनिया के सबसे अमीर आदमी को बर्बाद कर देगा।"

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा के सिद्धांत और गुणों का उपयोग करने के मामले में पोकर का खेल सबसे अधिक उदाहरण और उदाहरण है।

पोकर में अपेक्षित मूल्य एक विशेष निर्णय से औसत लाभ है, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे के भीतर माना जा सकता है। एक सफल पोकर गेम हमेशा सकारात्मक उम्मीद के साथ कदमों को स्वीकार करने के बारे में है।

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा का गणितीय अर्थ यह है कि निर्णय लेते समय हम अक्सर यादृच्छिक चरों में आते हैं (हमें नहीं पता कि हमारे प्रतिद्वंद्वी के हाथों में कौन से कार्ड हैं, कौन से कार्ड बाद के बेटिंग राउंड में आएंगे)। हमें प्रत्येक समाधान पर बड़ी संख्या के सिद्धांत के दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए, जिसमें कहा गया है कि पर्याप्त रूप से बड़े नमूने के साथ, एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के अनुरूप होगा।

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए विशेष सूत्रों में, पोकर में निम्नलिखित सबसे अधिक लागू होता है:

पोकर खेलते समय, दांव और कॉल दोनों के लिए अपेक्षित मूल्य की गणना की जा सकती है। पहले मामले में, फोल्ड इक्विटी को ध्यान में रखा जाना चाहिए, दूसरे में - पॉट की अपनी बाधाओं को। एक चाल की गणितीय अपेक्षा का मूल्यांकन करते समय, यह याद रखना चाहिए कि एक गुना हमेशा शून्य अपेक्षा रखता है। इस प्रकार, किसी भी नकारात्मक कदम की तुलना में कार्ड छोड़ना हमेशा अधिक लाभदायक निर्णय होगा।

उम्मीद आपको बताती है कि आप जोखिम वाले प्रत्येक डॉलर के लिए आप क्या उम्मीद कर सकते हैं (लाभ या हानि)। केसिनो पैसे कमाते हैं क्योंकि उन सभी खेलों की अपेक्षा कैसीनो के पक्ष में होती है। खेलों की पर्याप्त लंबी श्रृंखला के साथ, कोई उम्मीद कर सकता है कि ग्राहक अपना पैसा खो देगा, क्योंकि "संभावना" कैसीनो के पक्ष में है। हालांकि, पेशेवर कैसीनो खिलाड़ी अपने खेल को कम समय तक सीमित रखते हैं, जिससे उनके पक्ष में संभावनाएं बढ़ जाती हैं। वही निवेश के लिए जाता है। यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप कम समय में कई ट्रेड करके अधिक पैसा कमा सकते हैं। उम्मीद औसत लाभ से गुणा की गई जीत पर आपके लाभ का प्रतिशत घटाकर औसत नुकसान से आपके नुकसान की संभावना को गुणा किया जाता है।

पोकर को गणितीय अपेक्षा के संदर्भ में भी देखा जा सकता है। आप मान सकते हैं कि एक निश्चित चाल लाभदायक है, लेकिन कुछ मामलों में यह सर्वोत्तम से दूर हो सकती है, क्योंकि दूसरा कदम अधिक लाभदायक है। मान लें कि आपने पांच-कार्ड ड्रा पोकर में एक पूरा घर मारा है। आपका प्रतिद्वंद्वी दांव लगाता है। आप जानते हैं कि यदि आप अपनी बोली बढ़ाते हैं, तो वह उत्तर देगा। इसलिए, उठाना सबसे अच्छी रणनीति की तरह दिखता है। लेकिन अगर आप बेट बढ़ाते हैं, तो बाकी के दो खिलाड़ी जरूर फोल्ड हो जाएंगे। लेकिन अगर आप कॉल करेंगे तो आपको पूरा यकीन हो जाएगा कि आपके बाद दो और खिलाड़ी भी ऐसा ही करेंगे। जब आप बेट बढ़ाते हैं, तो आपको एक यूनिट मिलती है, और बस कॉल करें - दो। इस प्रकार, बराबरी करना आपको एक उच्च सकारात्मक गणितीय अपेक्षा देता है और यह सबसे अच्छी रणनीति है।

गणितीय अपेक्षा इस बात का भी अंदाजा लगा सकती है कि पोकर में कौन सी रणनीति कम लाभदायक है और कौन सी अधिक। उदाहरण के लिए, एक निश्चित हाथ खेलते समय, आप मानते हैं कि आपके नुकसान का औसत 75 सेंट होगा, जिसमें एंट्स भी शामिल है, तो यह हाथ खेला जाना चाहिए क्योंकि यह तह से बेहतर है जब पूर्व $ 1 हो।

गणितीय अपेक्षा के सार को समझने का एक अन्य महत्वपूर्ण कारण यह है कि यह आपको शांति की भावना देता है कि आपने एक शर्त जीती है या नहीं: यदि आपने समय पर एक अच्छा दांव या मोड़ लिया है, तो आपको पता चल जाएगा कि आपने एक निश्चित राशि अर्जित की है या बचाई है पैसे की, जिसे कमजोर खिलाड़ी नहीं बचा सका। यदि आप इस बात से परेशान हैं कि आपके प्रतिद्वंद्वी ने एक्सचेंज पर एक मजबूत हाथ बना लिया है, तो इसे मोड़ना अधिक कठिन है। इस सब के साथ, जो पैसा आपने बिना खेले, सट्टेबाजी के बजाय बचाया, वह आपकी जीत में प्रति रात या प्रति माह जुड़ जाता है।

बस याद रखें कि यदि आप अपने हाथ बदलते हैं, तो आपका विरोधी आपको कॉल करेगा, और जैसा कि आप "पोकर की मौलिक प्रमेय" लेख में देखेंगे, यह आपके लाभों में से एक है। ऐसा होने पर आपको खुश होना चाहिए। आप हारने वाले हाथ का आनंद लेना भी सीख सकते हैं, क्योंकि आप जानते हैं कि आपके स्थान पर अन्य खिलाड़ियों ने और भी बहुत कुछ खो दिया होगा।

जैसा कि शुरुआत में सिक्का-खेल के उदाहरण में बताया गया है, प्रति घंटा वापसी की दर अपेक्षित मूल्य से संबंधित है, और यह अवधारणा पेशेवर खिलाड़ियों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। जब आप पोकर खेलने जा रहे हों, तो आपको मानसिक रूप से यह अनुमान लगाना होगा कि आप एक घंटे के खेल में कितना जीत सकते हैं। ज्यादातर मामलों में, आपको अपने अंतर्ज्ञान और अनुभव पर भरोसा करने की आवश्यकता होगी, लेकिन आप कुछ गणित का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप ड्रा लोबॉल खेल रहे हैं और आप देखते हैं कि तीन खिलाड़ी $ 10 की शर्त लगाते हैं और फिर दो कार्डों का आदान-प्रदान करते हैं, जो एक बहुत ही खराब रणनीति है, आप सोच सकते हैं कि हर बार जब वे $ 10 की शर्त लगाते हैं, तो वे लगभग $ 2 खो देते हैं। उनमें से प्रत्येक इसे एक घंटे में आठ बार करता है, जिसका अर्थ है कि तीनों प्रति घंटे लगभग $ 48 का नुकसान करते हैं। आप शेष चार खिलाड़ियों में से एक हैं, जो लगभग बराबर हैं, इसलिए इन चार खिलाड़ियों (और आप उनमें से) को $ 48 का विभाजन करना होगा, और प्रत्येक का लाभ $ 12 प्रति घंटा होगा। इस मामले में आपकी प्रति घंटा की दर केवल एक घंटे में तीन खराब खिलाड़ियों द्वारा खोए गए धन का आपका हिस्सा है।

लंबे समय तक, खिलाड़ी का कुल भुगतान व्यक्तिगत हाथों में उसकी गणितीय अपेक्षाओं का योग होता है। जितना अधिक आप सकारात्मक उम्मीद के साथ खेलते हैं, उतना ही आप जीतते हैं, और इसके विपरीत, आप जितने अधिक नकारात्मक उम्मीद वाले हाथ खेलते हैं, उतना ही आप हारते हैं। परिणामस्वरूप, आपको एक ऐसा खेल चुनना चाहिए जो आपकी सकारात्मक उम्मीदों को अधिकतम कर सके या नकारात्मक को नकार सके ताकि आप अपनी प्रति घंटा जीत को अधिकतम कर सकें।

खेल रणनीति में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा

यदि आप कार्ड गिनना जानते हैं, तो आप कैसीनो पर बढ़त प्राप्त कर सकते हैं यदि वे इसे नहीं देखते हैं और आपको बाहर निकाल देते हैं। कैसीनो नशे में जुआरी से प्यार करते हैं और कार्ड काउंटर नहीं खड़े हो सकते हैं। लाभ आपको समय के साथ हारने की तुलना में अधिक बार जीतने की अनुमति देगा। गणितीय अपेक्षा गणनाओं का उपयोग करके अच्छा धन प्रबंधन आपको अपने लाभ से अधिक लाभ उठाने और हानियों को कम करने में मदद कर सकता है। एक लाभ के बिना, आप दान में पैसे दान करने से बेहतर हैं। स्टॉक एक्सचेंज में ट्रेडिंग में, गेम सिस्टम द्वारा लाभ दिया जाता है, जो नुकसान, मूल्य अंतर और कमीशन की तुलना में अधिक लाभ पैदा करता है। धन प्रबंधन की कोई भी राशि खराब गेमिंग सिस्टम को नहीं बचाएगी।

एक सकारात्मक अपेक्षा को शून्य से अधिक मान द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह संख्या जितनी बड़ी होगी, सांख्यिकीय अपेक्षा उतनी ही मजबूत होगी। यदि मान शून्य से कम है, तो गणितीय अपेक्षा भी ऋणात्मक होगी। ऋणात्मक मान का मापांक जितना बड़ा होगा, स्थिति उतनी ही खराब होगी। यदि परिणाम शून्य है, तो उम्मीद टूट जाती है। आप तभी जीत सकते हैं जब आपके पास सकारात्मक गणितीय अपेक्षा हो, खेल की एक उचित प्रणाली हो। अंतर्ज्ञान से खेलने से आपदा आती है।

उम्मीद और विनिमय व्यापार

वित्तीय बाजारों में विनिमय व्यापार के कार्यान्वयन में गणितीय अपेक्षा काफी व्यापक रूप से मांग और लोकप्रिय सांख्यिकीय संकेतक है। सबसे पहले, इस पैरामीटर का उपयोग किसी व्यापार की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि दिए गए मूल्य जितना अधिक होगा, अध्ययन किए गए व्यापार को सफल मानने का कारण उतना ही अधिक होगा। बेशक, केवल इस पैरामीटर की मदद से किसी ट्रेडर के काम का विश्लेषण नहीं किया जा सकता है। हालांकि, गणना मूल्य, काम की गुणवत्ता का आकलन करने के अन्य तरीकों के संयोजन में, विश्लेषण की सटीकता में काफी सुधार कर सकता है।

गणितीय अपेक्षा की गणना अक्सर व्यापारिक खातों की निगरानी की सेवाओं में की जाती है, जो आपको जमा पर किए गए कार्य का शीघ्रता से आकलन करने की अनुमति देती है। अपवाद के रूप में, कोई ऐसी रणनीतियों का हवाला दे सकता है जो लाभहीन ट्रेडों के "बैठने" का उपयोग करती हैं। एक व्यापारी कुछ समय के लिए भाग्यशाली हो सकता है, और इसलिए, उसके काम में, बिल्कुल भी नुकसान नहीं हो सकता है। इस मामले में, केवल अपेक्षा से नेविगेट करना संभव नहीं होगा, क्योंकि कार्य में उपयोग किए जाने वाले जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाएगा।

बाजार पर व्यापार में, व्यापारिक रणनीति की लाभप्रदता की भविष्यवाणी करते समय या अपने पिछले ट्रेडों के सांख्यिकीय आंकड़ों के आधार पर किसी व्यापारी की आय की भविष्यवाणी करते समय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

धन प्रबंधन के संदर्भ में, यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि नकारात्मक अपेक्षा के साथ व्यापार करते समय, कोई धन प्रबंधन योजना नहीं है जो निश्चित रूप से उच्च लाभ ला सके। यदि आप इन शर्तों के तहत स्टॉक एक्सचेंज में खेलना जारी रखते हैं, तो आप अपने पैसे का प्रबंधन कैसे भी करें, आप अपना पूरा खाता खो देंगे, चाहे वह शुरुआत में कितना भी बड़ा क्यों न हो।

यह स्वयंसिद्ध न केवल नकारात्मक अपेक्षा वाले खेलों या ट्रेडों के लिए सही है, यह समान बाधाओं वाले खेलों के लिए भी सही है। इसलिए, एकमात्र मामला जहां आपको लंबी अवधि में लाभ का मौका मिलता है, जब आप सकारात्मक अपेक्षित मूल्य के साथ सौदे करते हैं।

नकारात्मक अपेक्षा और सकारात्मक अपेक्षा के बीच का अंतर जीवन और मृत्यु के बीच का अंतर है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अपेक्षा कितनी सकारात्मक या कितनी नकारात्मक है; क्या मायने रखता है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक। इसलिए, धन प्रबंधन के मुद्दों पर विचार करने से पहले, आपको सकारात्मक उम्मीद के साथ एक खेल खोजना चाहिए।

यदि आपके पास ऐसा कोई खेल नहीं है, तो दुनिया में कोई भी राशि प्रबंधन आपको नहीं बचाएगा। दूसरी ओर, यदि आपके पास सकारात्मक उम्मीद है, तो आप अच्छे धन प्रबंधन के माध्यम से इसे एक घातीय वृद्धि समारोह में बदल सकते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक अपेक्षा कितनी कम है! दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एकल अनुबंध व्यापार प्रणाली कितनी लाभदायक है। यदि आपके पास एक प्रणाली है जो एक व्यापार पर $ 10 प्रति अनुबंध जीतती है (कमीशन और स्लिपेज में कटौती के बाद), तो आप इसे एक सिस्टम की तुलना में अधिक लाभदायक बनाने के लिए धन प्रबंधन तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं जो प्रति व्यापार $ 1000 का औसत लाभ दिखाता है (कटौती के बाद) कमीशन और फिसलन)।

महत्वपूर्ण यह नहीं है कि प्रणाली कितनी लाभदायक थी, बल्कि यह कितना निश्चित है कि यह प्रणाली भविष्य में कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाएगी। इसलिए, एक व्यापारी जो सबसे महत्वपूर्ण तैयारी कर सकता है, वह यह सुनिश्चित करना है कि सिस्टम भविष्य में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा दिखाता है।

भविष्य में एक सकारात्मक गणितीय अपेक्षा रखने के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप अपने सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित न करें। यह न केवल अनुकूलित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या को समाप्त या कम करके प्राप्त किया जाता है, बल्कि यथासंभव अधिक से अधिक सिस्टम नियमों को कम करके भी प्राप्त किया जाता है। आपके द्वारा जोड़े गए प्रत्येक पैरामीटर, आपके द्वारा बनाए गए प्रत्येक नियम, आपके द्वारा सिस्टम में किए गए प्रत्येक छोटे परिवर्तन, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को कम कर देता है। आदर्श रूप से, आपको एक काफी आदिम और सरल प्रणाली बनाने की जरूरत है जो लगभग किसी भी बाजार में लगातार छोटे लाभ उत्पन्न करेगी। फिर, यह महत्वपूर्ण है कि आप यह समझें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सिस्टम कितना लाभदायक है, जब तक यह लाभदायक है। ट्रेडिंग में आप जो पैसा कमाते हैं वह प्रभावी धन प्रबंधन के माध्यम से अर्जित किया जाएगा।

एक व्यापार प्रणाली केवल एक उपकरण है जो आपको सकारात्मक गणितीय अपेक्षा देता है ताकि धन प्रबंधन का उपयोग किया जा सके। सिस्टम जो केवल एक या कुछ बाजारों में काम करते हैं (कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाते हैं), या अलग-अलग बाजारों के लिए अलग-अलग नियम या पैरामीटर हैं, संभवतः वास्तविक समय में लंबे समय तक काम नहीं करेंगे। अधिकांश तकनीक-प्रेमी व्यापारियों के साथ समस्या यह है कि वे व्यापार प्रणाली के विभिन्न नियमों और पैरामीटर मूल्यों को अनुकूलित करने में बहुत अधिक समय और प्रयास खर्च करते हैं। यह बिल्कुल विपरीत परिणाम देता है। ट्रेडिंग सिस्टम के मुनाफे को बढ़ाने के लिए ऊर्जा और कंप्यूटर का समय बर्बाद करने के बजाय, अपनी ऊर्जा को न्यूनतम लाभ कमाने की विश्वसनीयता के स्तर को बढ़ाने पर केंद्रित करें।

यह जानते हुए कि धन प्रबंधन केवल एक संख्यात्मक खेल है जिसमें सकारात्मक अपेक्षाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, एक व्यापारी स्टॉक ट्रेडिंग के "पवित्र कब्र" की तलाश करना बंद कर सकता है। इसके बजाय, वह अपनी ट्रेडिंग पद्धति की जांच शुरू कर सकता है, पता लगा सकता है कि यह तरीका कितना तार्किक है, क्या यह सकारात्मक उम्मीदें देता है। किसी भी, यहां तक ​​​​कि औसत दर्जे के व्यापारिक तरीकों पर लागू होने वाली सही धन प्रबंधन विधियां, शेष कार्य स्वयं ही करेंगी।

किसी भी व्यापारी को अपने काम में सफल होने के लिए तीन सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को हल करना आवश्यक है: सुनिश्चित करें कि सफल सौदों की संख्या अपरिहार्य गलतियों और गलत अनुमानों से अधिक है; अपना ट्रेडिंग सिस्टम सेट करें ताकि जितनी बार संभव हो पैसा कमाने का अवसर मिले; अपने कार्यों के सकारात्मक परिणाम की स्थिरता प्राप्त करने के लिए।

और यहां हम, कामकाजी व्यापारी, गणितीय अपेक्षा से मदद कर सकते हैं। संभाव्यता के सिद्धांत में यह शब्द प्रमुखों में से एक है। इसकी सहायता से आप एक निश्चित यादृच्छिक मान का औसत अनुमान दे सकते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समान है यदि हम विभिन्न द्रव्यमान वाले बिंदुओं के रूप में सभी संभावित संभावनाओं की कल्पना करते हैं।

जैसा कि एक व्यापारिक रणनीति पर लागू होता है, इसकी प्रभावशीलता का आकलन करने के लिए, लाभ (या हानि) की गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इस पैरामीटर को लाभ और हानि के दिए गए स्तरों के उत्पादों के योग और उनके घटित होने की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, विकसित ट्रेडिंग रणनीति मानती है कि सभी लेनदेन का 37% लाभ लाएगा, और बाकी - 63% - लाभहीन होगा। वहीं, एक सफल सौदे से औसत आय 7 डॉलर होगी और औसत नुकसान 1.4 डॉलर होगा। आइए निम्नलिखित प्रणाली का उपयोग करके व्यापार की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

इस अंक का क्या अर्थ है? इसमें कहा गया है कि, इस प्रणाली के नियमों का पालन करते हुए, हमें प्रत्येक बंद व्यापार से औसतन $1.708 प्राप्त होंगे। चूंकि प्राप्त दक्षता अनुमान शून्य से अधिक है, इसलिए वास्तविक कार्य के लिए ऐसी प्रणाली का अच्छी तरह से उपयोग किया जा सकता है। यदि, गणना के परिणामस्वरूप, गणितीय अपेक्षा नकारात्मक हो जाती है, तो यह पहले से ही औसत नुकसान की बात करता है और इस तरह के व्यापार से बर्बादी होगी।

प्रति व्यापार लाभ की मात्रा को सापेक्ष मूल्य के रूप में% के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

- प्रति 1 सौदे में आय का प्रतिशत - 5%;

- सफल व्यापारिक संचालन का प्रतिशत - 62%;

- प्रति 1 सौदे में नुकसान का प्रतिशत - 3%;

- असफल लेनदेन का प्रतिशत - 38%;

यानी औसत ट्रेड 1.96 फीसदी पैदा करेगा।

एक ऐसी प्रणाली विकसित करना संभव है, जो लाभहीन ट्रेडों की व्यापकता के बावजूद, सकारात्मक परिणाम देगी, क्योंकि इसका MO> 0 है।

हालांकि, अकेले इंतजार करना काफी नहीं है। अगर सिस्टम बहुत कम ट्रेडिंग सिग्नल देता है तो पैसा कमाना मुश्किल है। इस मामले में, इसकी लाभप्रदता बैंक ब्याज के बराबर होगी। प्रत्येक लेनदेन को औसतन केवल $ 0.50 दें, लेकिन क्या होगा यदि सिस्टम प्रति वर्ष 1000 लेनदेन मानता है? यह अपेक्षाकृत कम समय में बहुत गंभीर राशि होगी। यह तार्किक रूप से इसका अनुसरण करता है कि एक अच्छी ट्रेडिंग सिस्टम की एक और विशिष्ट विशेषता को होल्डिंग पोजीशन की एक छोटी अवधि माना जा सकता है।

स्रोत और लिंक

dic.academic.ru - अकादमिक इंटरनेट शब्दकोश

math.ru - गणित में शैक्षिक साइट

nsu.ru - नोवोसिबिर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी की शैक्षिक वेबसाइट

webmath.ru छात्रों, आवेदकों और स्कूली बच्चों के लिए एक शैक्षिक पोर्टल है।

exponenta.ru शैक्षिक गणितीय वेबसाइट

ru.tradimo.com - मुफ्त ऑनलाइन ट्रेडिंग स्कूल

Crypto.hut2.ru - एक बहु-विषयक सूचना संसाधन

poker-wiki.ru - पोकर का मुक्त विश्वकोश

sernam.ru - चयनित प्राकृतिक विज्ञान प्रकाशनों का वैज्ञानिक पुस्तकालय

reshim.su - वेबसाइट आइए पाठ्यक्रम नियंत्रण कार्यों को हल करें

unfx.ru - यूएनएफएक्स में विदेशी मुद्रा: प्रशिक्षण, व्यापारिक संकेत, विश्वास प्रबंधन

slovopedia.com - स्लोवोपीडिया का बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

pokermansion.3dn.ru - पोकर वर्ल्ड के लिए आपका गाइड

statanaliz.info - सूचना ब्लॉग "सांख्यिकीय डेटा विश्लेषण"

forex-trader.rf - विदेशी मुद्रा-व्यापारी पोर्टल

megafx.ru - अप-टू-डेट विदेशी मुद्रा विश्लेषण

fx-by.com - व्यापारी के लिए सब कुछ

- 10 नवजात शिशुओं में लड़कों की संख्या।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह संख्या पहले से ज्ञात नहीं है, और अगले दस बच्चों का जन्म हो सकता है:

या लड़के - एक और केवल एकसूचीबद्ध विकल्पों में से।

और, आकार में रहने के लिए, थोड़ी शारीरिक शिक्षा:

- लंबी कूद रेंज (कुछ इकाइयों में).

यहां तक ​​कि खेल का मास्टर भी उसकी भविष्यवाणी नहीं कर सकता :)

हालाँकि, आपकी परिकल्पना?

2) सतत यादृच्छिक चर - लेता है सबकुछ परिमित या अनंत सीमा से संख्यात्मक मान।

ध्यान दें : शैक्षिक साहित्य में, संक्षिप्त रूप DSV और NSV लोकप्रिय हैं

पहले, आइए एक असतत यादृच्छिक चर का विश्लेषण करें, फिर - निरंतर.

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम

- यह है पत्र - व्यवहारइस मात्रा के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच। सबसे अधिक बार, कानून एक तालिका में लिखा जाता है:

अक्सर शब्द पंक्ति वितरणलेकिन कुछ स्थितियों में यह अस्पष्ट लगता है, और इसलिए मैं "कानून" पर कायम रहूंगा।

और अब बहुत महत्वपूर्ण बिंदु: यादृच्छिक चर के बाद से आवश्यक रूप सेस्वीकार करेंगे अर्थों में से एक, फिर संबंधित घटनाएँ बनती हैं पूरा समूहऔर उनके घटित होने की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है:

या, यदि लिखा हुआ संक्षिप्त हो गया है:

इसलिए, उदाहरण के लिए, पासे पर गिराए गए बिंदुओं की प्रायिकताओं के वितरण का नियम इस प्रकार है:

कोई टिप्पणी नहीं।

आप इस धारणा के तहत हो सकते हैं कि एक असतत यादृच्छिक चर केवल "अच्छे" पूर्णांक मान ले सकता है। आइए भ्रम को दूर करें - वे कुछ भी हो सकते हैं:

उदाहरण 1

कुछ गेम में निम्नलिखित विजेता वितरण कानून हैं:

... आपने शायद लंबे समय से ऐसे कार्यों का सपना देखा है :) मैं आपको एक रहस्य बताता हूँ - मैं भी। खासकर काम खत्म करने के बाद क्षेत्र सिद्धांत.

समाधान: चूंकि एक यादृच्छिक चर तीन में से केवल एक मान ले सकता है, संबंधित घटनाएँ बनती हैं पूरा समूह, जिसका अर्थ है कि उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है:

हम "पक्षपातपूर्ण" का पर्दाफाश करेंगे:

- इस प्रकार, पारंपरिक इकाइयों के जीतने की संभावना 0.4 है।

नियंत्रण: आश्वस्त होने के लिए क्या आवश्यक था।

उत्तर:

यह असामान्य नहीं है जब वितरण कानून को स्वतंत्र रूप से तैयार करने की आवश्यकता होती है। ऐसा करने के लिए, उपयोग करें संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा, घटना की संभावनाओं के लिए गुणा/जोड़ प्रमेयऔर अन्य चिप्स तरवेरा:

उदाहरण 2

बॉक्स में 50 लॉटरी टिकट हैं, जिनमें से 12 जीत रहे हैं, जिनमें से 2 प्रत्येक को 1,000 रूबल जीत रहे हैं, और बाकी - 100 रूबल प्रत्येक। एक यादृच्छिक चर के वितरण कानून को तैयार करें - अदायगी का आकार, यदि एक टिकट बॉक्स से यादृच्छिक रूप से लिया जाता है।

समाधान: जैसा कि आपने देखा, यह एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को व्यवस्थित करने के लिए प्रथागत है आरोही क्रम... इसलिए, हम सबसे छोटी जीत से शुरू करते हैं, अर्थात् रूबल।

कुल ५० - १२ = ३८ ऐसे टिकट हैं, और शास्त्रीय परिभाषा:
- संभावना है कि यादृच्छिक रूप से निकाला गया टिकट हारने वाला हो।

बाकी मामले साधारण हैं। रूबल जीतने की संभावना है:

जाँच करें: - और यह ऐसे कार्यों का विशेष रूप से सुखद क्षण है!

उत्तर: अदायगी का आवश्यक वितरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए अगला कार्य:

उदाहरण 3

निशानेबाज के निशाने पर लगने की संभावना है। एक यादृच्छिक चर का वितरण नियम तैयार करें - 2 शॉट्स के बाद हिट की संख्या।

... मुझे पता था कि तुमने उसे याद किया :) याद रखें गुणन और जोड़ प्रमेय... पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

वितरण कानून पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर का वर्णन करता है, लेकिन व्यवहार में यह केवल कुछ को जानने के लिए उपयोगी (और कभी-कभी अधिक उपयोगी) है। संख्यात्मक विशेषताएं .

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

सरल शब्दों में, यह है औसत अपेक्षित मूल्यपरीक्षणों की कई पुनरावृत्ति के साथ। एक यादृच्छिक चर को संभावनाओं के साथ मान लेने दें क्रमश। तब दिए गए यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है उत्पादों का योगइसके सभी मूल्यों की संबंधित संभावनाओं के लिए:

या ढह गया:

आइए गणना करें, उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा - एक पासे पर गिराए गए अंकों की संख्या:

आइए अब अपने काल्पनिक खेल को याद करें:

सवाल उठता है: क्या इस खेल को खेलना बिल्कुल फायदेमंद है? ... किसके पास क्या इंप्रेशन हैं? तो आखिर "ऑफहैंड" और आप नहीं कहेंगे! लेकिन इस प्रश्न का उत्तर अपेक्षित मूल्य की गणना करके आसानी से दिया जा सकता है, वास्तव में - भारित औसतजीतने की संभावनाओं से:

इस प्रकार, इस खेल की गणितीय अपेक्षा हारी.

छापों पर भरोसा न करें - संख्याओं पर भरोसा करें!

हां, यहां आप लगातार 10 या 20-30 बार जीत सकते हैं, लेकिन लंबे समय में हम अनिवार्य रूप से बर्बाद हो जाएंगे। और मैं आपको ऐसे खेल खेलने की सलाह नहीं दूंगा :) ठीक है, शायद बस मजे के लिए.

उपरोक्त सभी से, यह इस प्रकार है कि गणितीय अपेक्षा अब एक यादृच्छिक मान नहीं है।

स्व-अध्ययन के लिए रचनात्मक कार्य:

उदाहरण 4

मिस्टर एक्स निम्नलिखित प्रणाली के अनुसार यूरोपीय रूले खेलता है: "लाल" पर लगातार 100 रूबल का दांव लगाता है। एक यादृच्छिक चर का वितरण नियम बनाइए - इसका लाभ। एक जीत की गणितीय अपेक्षा की गणना करें और इसे निकटतम कोपेक में गोल करें। कितने औसतखिलाड़ी हर सौ दांव पर हारता है?

संदर्भ : यूरोपीय रूले में 18 लाल, 18 काले और 1 हरे रंग के क्षेत्र ("शून्य") शामिल हैं। "लाल" हिट की स्थिति में, खिलाड़ी को दोगुनी बेट का भुगतान किया जाता है, अन्यथा यह कैसीनो की आय में चला जाता है

कई अन्य रूलेट प्रणालियाँ हैं जिनके लिए आप अपनी स्वयं की संभाव्यता तालिकाएँ बना सकते हैं। लेकिन यह मामला है जब हमें किसी वितरण कानून और तालिकाओं की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि यह निश्चित रूप से स्थापित किया गया है कि खिलाड़ी की गणितीय अपेक्षा बिल्कुल वही होगी। सिस्टम से सिस्टम में केवल परिवर्तन होता है