सांख्यिकीय गणितीय अपेक्षा। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा। साथी उम्मीद है

पासा फेंकने के उदाहरण का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा की अवधारणा पर विचार किया जा सकता है। गिराए गए अंक प्रत्येक थ्रो के साथ दर्ज किए जाते हैं। उन्हें व्यक्त करने के लिए 1 - 6 की सीमा में प्राकृतिक मूल्यों का उपयोग किया जाता है।

थ्रो की एक निश्चित संख्या के बाद, सरल गणनाओं का उपयोग करके, आप गिराए गए बिंदुओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कर सकते हैं।

किसी भी श्रेणी मान से बाहर निकलने के साथ-साथ, यह मान यादृच्छिक होगा।

और अगर आप कई बार थ्रो की संख्या बढ़ाते हैं? बड़ी संख्या में थ्रो के साथ, अंकों का अंकगणितीय माध्य एक विशिष्ट संख्या तक पहुंच जाएगा, जिसे संभाव्यता सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा कहा जाता है।

तो, गणितीय अपेक्षा को एक यादृच्छिक चर के औसत मान के रूप में समझा जाता है। इस सूचक को संभावित मूल्य के मूल्यों के भारित योग के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है।

इस अवधारणा के कई समानार्थी शब्द हैं:

• अर्थ;
• औसत मूल्य;
• केंद्रीय प्रवृत्ति का सूचक;
• पहला क्षण।

दूसरे शब्दों में, यह एक संख्या से अधिक कुछ नहीं है जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के मान वितरित किए जाते हैं।

मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में, गणितीय अपेक्षा को समझने के दृष्टिकोण थोड़े भिन्न होंगे।

इसे इस प्रकार देखा जा सकता है:

• निर्णय लेने से प्राप्त औसत लाभ, उस स्थिति में जब इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या के सिद्धांत के दृष्टिकोण से माना जाता है;
• जीतने या हारने की संभावित राशि (जुआ सिद्धांत), प्रत्येक दांव के लिए औसतन गणना की जाती है। कठबोली में, वे "खिलाड़ी के लाभ" (खिलाड़ी के लिए सकारात्मक) या "कैसीनो लाभ" (खिलाड़ी के लिए नकारात्मक) की तरह लगते हैं;
• जीत से प्राप्त लाभ का प्रतिशत।

बिल्कुल सभी यादृच्छिक चर के लिए अपेक्षा की आवश्यकता नहीं है। यह उन लोगों के लिए अनुपस्थित है जिनके पास संबंधित योग या अभिन्न के बीच विसंगति है।

गणितीय अपेक्षा गुण

किसी भी सांख्यिकीय पैरामीटर की तरह, गणितीय अपेक्षा में निम्नलिखित गुण हैं:

गणितीय अपेक्षा के लिए बुनियादी सूत्र

गणितीय अपेक्षा की गणना निरंतरता (सूत्र ए) और विसंगति (सूत्र बी) दोनों की विशेषता वाले यादृच्छिक चर के लिए की जा सकती है:

1. एम (एक्स) = ∑i = 1nxi⋅pi, जहां xi एक यादृच्छिक चर के मान हैं, पीआई संभावनाएं हैं:
2. एम (एक्स) = ∫ + ∞ - ∞f (एक्स) xdx, जहां एफ (एक्स) एक संभावना घनत्व है।

अपेक्षित मूल्य की गणना के उदाहरण

उदाहरण ए.

क्या स्नो व्हाइट की कहानी में बौनों की औसत ऊंचाई का पता लगाना संभव है। यह ज्ञात है कि 7 बौनों में से प्रत्येक की एक निश्चित ऊंचाई थी: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; ०.९५ और ०.८१ मी.

गणना एल्गोरिथ्म काफी सरल है:

• हम विकास संकेतक (यादृच्छिक चर) के सभी मूल्यों का योग पाते हैं:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• परिणामी राशि को सूक्ति की संख्या से विभाजित किया जाता है:
  6,31:7=0,90.

इस प्रकार, एक परी कथा में सूक्ति की औसत ऊंचाई 90 सेमी है। दूसरे शब्दों में, यह सूक्ति के विकास की गणितीय अपेक्षा है।

कार्य सूत्र - एम (एक्स) = 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 = 6

गणितीय अपेक्षा का व्यावहारिक कार्यान्वयन

गणितीय अपेक्षा के सांख्यिकीय संकेतक की गणना अभ्यास के विभिन्न क्षेत्रों में की जाती है। सबसे पहले, हम वाणिज्यिक क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। वास्तव में, हाइजेंस द्वारा इस सूचक का परिचय संभावनाओं के निर्धारण से जुड़ा है, जो किसी घटना के लिए अनुकूल, या, इसके विपरीत, प्रतिकूल हो सकता है।

इस पैरामीटर का व्यापक रूप से जोखिमों का आकलन करने के लिए उपयोग किया जाता है, खासकर जब वित्तीय निवेश की बात आती है।
इसलिए, उद्यमिता में, गणितीय अपेक्षा की गणना कीमतों की गणना करते समय जोखिम का आकलन करने के लिए एक विधि के रूप में कार्य करती है।

इसके अलावा, इस सूचक का उपयोग कुछ उपायों की प्रभावशीलता की गणना करने के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, श्रम सुरक्षा पर। उसके लिए धन्यवाद, आप किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना कर सकते हैं।

इस पैरामीटर के आवेदन का एक अन्य क्षेत्र प्रबंधन है। इसकी गणना उत्पाद गुणवत्ता नियंत्रण के दौरान भी की जा सकती है। उदाहरण के लिए, चटाई का उपयोग करना। उम्मीदों, आप दोषपूर्ण भागों के निर्माण की संभावित संख्या की गणना कर सकते हैं।

वैज्ञानिक अनुसंधान के दौरान प्राप्त परिणामों का सांख्यिकीय प्रसंस्करण करते समय अपेक्षा अपरिहार्य हो जाती है। यह आपको लक्ष्य की उपलब्धि के स्तर के आधार पर किसी प्रयोग या शोध के वांछित या अवांछनीय परिणाम की संभावना की गणना करने की अनुमति देता है। आखिरकार, इसकी उपलब्धि लाभ और लाभ से जुड़ी हो सकती है, न कि इसे प्राप्त करने से - हानि या हानि के रूप में।

विदेशी मुद्रा में गणितीय अपेक्षा का उपयोग करना

विदेशी मुद्रा बाजार में संचालन करते समय इस सांख्यिकीय पैरामीटर का व्यावहारिक अनुप्रयोग संभव है। इसका उपयोग व्यापार लेनदेन की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, अपेक्षा के मूल्य में वृद्धि उनकी सफलता में वृद्धि का संकेत देती है।

यह भी याद रखना महत्वपूर्ण है कि गणितीय अपेक्षा को एक व्यापारी के प्रदर्शन का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले एकमात्र सांख्यिकीय पैरामीटर के रूप में नहीं माना जाना चाहिए। औसत मूल्य के साथ-साथ कई सांख्यिकीय मापदंडों के उपयोग से कई बार विश्लेषण की सटीकता बढ़ जाती है।

ट्रेडिंग खातों की निगरानी में इस पैरामीटर ने खुद को अच्छी तरह साबित कर दिया है। उसके लिए धन्यवाद, जमा खाते पर किए गए कार्यों का त्वरित मूल्यांकन किया जाता है। ऐसे मामलों में जहां व्यापारी की गतिविधि सफल होती है और वह नुकसान से बचता है, केवल गणितीय अपेक्षा की गणना का उपयोग करने की अनुशंसा नहीं की जाती है। इन मामलों में, जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाता है, जो विश्लेषण की प्रभावशीलता को कम करता है।

व्यापारियों की रणनीति पर किए गए शोध से पता चलता है कि:

• यादृच्छिक इनपुट पर आधारित रणनीति सबसे प्रभावी हैं;
• संरचित प्रविष्टियों पर आधारित रणनीति सबसे कम प्रभावी हैं।

सकारात्मक परिणाम प्राप्त करने में, यह समान रूप से महत्वपूर्ण है:

• धन प्रबंधन रणनीति;
• बाहर निकलने की रणनीतियाँ।

गणितीय अपेक्षा के रूप में इस तरह के एक संकेतक का उपयोग करके, कोई यह मान सकता है कि 1 डॉलर का निवेश करने पर लाभ या हानि क्या होगी। यह ज्ञात है कि कैसीनो में अभ्यास किए जाने वाले सभी खेलों के लिए गणना की गई यह सूचक संस्था के पक्ष में है। यह वही है जो आपको पैसा बनाने की अनुमति देता है। खेलों की एक लंबी श्रृंखला के मामले में, ग्राहक के पैसे खोने की संभावना काफी बढ़ जाती है।

पेशेवर खिलाड़ियों के खेल कम समय के अंतराल तक सीमित होते हैं, जिससे जीतने की संभावना बढ़ जाती है और हारने का जोखिम कम हो जाता है। निवेश संचालन करते समय एक ही पैटर्न देखा जाता है।

एक निवेशक सकारात्मक अपेक्षा और कम समय में बड़ी संख्या में लेनदेन के साथ एक महत्वपूर्ण राशि कमा सकता है।

उम्मीद को लाभ के प्रतिशत (पीडब्लू) के औसत लाभ (एडब्ल्यू) के प्रतिशत और नुकसान की संभावना (पीएल) के औसत नुकसान (एएल) के बीच के अंतर के रूप में माना जा सकता है।

एक उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित पर विचार करें: स्थिति - $ 12.5 हजार, पोर्टफोलियो - $ 100 हजार, जमा जोखिम - 1%। लेनदेन की लाभप्रदता 20% के औसत लाभ के साथ 40% मामलों में है। हानि की स्थिति में, औसत हानि 5% है। किसी ट्रेड के लिए अपेक्षित मूल्य की गणना करने पर $625 का मान मिलता है।

वितरण कानूनों के अलावा, यादृच्छिक चर का भी वर्णन किया जा सकता है संख्यात्मक विशेषताएं .

गणितीय अपेक्षाकिसी यादृच्छिक चर का M (x) उसका माध्य मान कहलाता है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

कहां – एक यादृच्छिक चर के मान, p मैं -उनकी संभावनाएं।

अपेक्षित मूल्य के गुणों पर विचार करें:

1. एक स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है

2. यदि एक यादृच्छिक चर को किसी संख्या k से गुणा किया जाता है, तो गणितीय अपेक्षा को उसी संख्या से गुणा किया जाएगा

एम (केएक्स) = केएम (एक्स)

3. यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है

एम (एक्स 1 + एक्स 2 +… + एक्स एन) = एम (एक्स 1) + एम (एक्स 2) +… + एम (एक्स एन)

4.एम (एक्स 1 - एक्स 2) = एम (एक्स 1) - एम (एक्स 2)

5. स्वतंत्र यादृच्छिक चर x 1, x 2, ... x n के लिए उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के गुणनफल के बराबर है

एम (एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन) = एम (एक्स 1) एम (एक्स 2) ... एम (एक्स एन)

6.एम (एक्स - एम (एक्स)) = एम (एक्स) - एम (एम (एक्स)) = एम (एक्स) - एम (एक्स) = 0

आइए उदाहरण 11 से यादृच्छिक चर के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करें।

एम (एक्स) = = .

उदाहरण 12.मान लीजिए यादृच्छिक चर x 1, x 2 क्रमशः वितरण नियमों द्वारा दिए गए हैं:

एक्स 1 टेबल 2

एक्स 2 टेबल 3

एम (एक्स 1) और एम (एक्स 2) की गणना करें

एम (एक्स 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

एम (एक्स 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

दोनों यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - वे शून्य के बराबर हैं। हालांकि, उनके वितरण की प्रकृति अलग है। यदि x 1 का मान उनकी गणितीय अपेक्षा से थोड़ा भिन्न होता है, तो x 2 के मान उनकी गणितीय अपेक्षा से काफी हद तक भिन्न होते हैं, और ऐसे विचलन की संभावनाएं छोटी नहीं होती हैं। इन उदाहरणों से पता चलता है कि औसत मूल्य से यह निर्धारित करना असंभव है कि इसमें से कौन से विचलन ऊपर और नीचे दोनों जगह होते हैं। इसलिए प्रति वर्ष दो क्षेत्रों में समान औसत वर्षा के साथ, यह नहीं कहा जा सकता है कि ये क्षेत्र कृषि कार्य के लिए समान रूप से अनुकूल हैं। इसी तरह, औसत मजदूरी के संकेतक के अनुसार, उच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिकों के अनुपात का न्याय करना संभव नहीं है। इसलिए, एक संख्यात्मक विशेषता पेश की जाती है - फैलावडी (एक्स) , जो किसी यादृच्छिक चर के माध्य मान से विचलन की डिग्री को दर्शाता है:

डी (एक्स) = एम (एक्स - एम (एक्स)) 2. (2)

विचरण गणितीय अपेक्षा से एक यादृच्छिक चर के विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा है। असतत यादृच्छिक चर के लिए, विचरण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

डी (एक्स) = = (3)

यह प्रसरण की परिभाषा से इस प्रकार है कि D (x) 0.

फैलाव गुण:

1. अचर का प्रसरण शून्य है

2. यदि किसी यादृच्छिक चर को किसी संख्या k से गुणा किया जाता है, तो प्रसरण को इस संख्या के वर्ग से गुणा किया जाता है

डी (केएक्स) = के 2 डी (एक्स)

3. डी (एक्स) = एम (एक्स 2) - एम 2 (एक्स)

4. जोड़ीवार स्वतंत्र यादृच्छिक चर x 1, x 2,… x n के लिए, योग का प्रसरण, प्रसरणों के योग के बराबर होता है।

डी (एक्स 1 + एक्स 2 +… + एक्स एन) = डी (एक्स 1) + डी (एक्स 2) +… + डी (एक्स एन)

आइए उदाहरण 11 से यादृच्छिक चर के लिए प्रसरण की गणना करें।

गणितीय अपेक्षा (x) = 1. इसलिए, सूत्र (3) के अनुसार, हमारे पास है:

डी (एक्स) = (0 - 1) 2 1/4 + (1 - 1) 2 1/2 + (2 - 1) 2 1/4 = 1 1/4 + 1 1/4 = 1/2

ध्यान दें कि यदि हम संपत्ति 3 का उपयोग करते हैं तो विचरण की गणना करना आसान है:

डी (एक्स) = एम (एक्स 2) - एम 2 (एक्स)।

आइए इस सूत्र का उपयोग करके उदाहरण 12 से यादृच्छिक चर x 1, x 2 के लिए प्रसरण की गणना करें। दोनों यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाएँ शून्य के बराबर हैं।

डी (एक्स 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

डी (एक्स 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

विचरण मान शून्य के जितना निकट होगा, माध्य मान के सापेक्ष यादृच्छिक चर का प्रकीर्णन उतना ही छोटा होगा।

मात्रा कहलाती है मानक विचलन. यादृच्छिक चर मोडएक्स असतत प्रकार Mdयादृच्छिक चर का ऐसा मान कहलाता है, जो उच्चतम प्रायिकता से मेल खाता है।

यादृच्छिक चर मोडएक्स निरंतर प्रकार एमडी, एक वास्तविक संख्या कहलाती है, जिसे प्रायिकता वितरण घनत्व f (x) के अधिकतम बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है।

यादृच्छिक चर का माध्यकएक्स निरंतर प्रकार Mnसमीकरण को संतुष्ट करने वाली वास्तविक संख्या कहलाती है

असतत और निरंतर यादृच्छिक चर की बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएं: गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन। उनके गुण और उदाहरण।

वितरण कानून (वितरण फलन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का पूरी तरह से वर्णन करता है। लेकिन कई समस्याओं में, प्रश्न का उत्तर देने के लिए जांच की गई मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और इससे संभावित विचलन) जानना पर्याप्त है। असतत यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताओं पर विचार करें।

परिभाषा 7.1.गणितीय अपेक्षाएक असतत यादृच्छिक चर संबंधित संभावनाओं द्वारा इसके संभावित मूल्यों के उत्पादों का योग है:

एम(एन एस) = एन एस 1 आर 1 + एन एस 2 आर 2 + … + एक्स पी पी पी।(7.1)

यदि किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अनंत है, तो यदि परिणामी श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है।

टिप्पणी 1.गणितीय अपेक्षा को कभी-कभी कहा जाता है भारित औसत, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर है।

टिप्पणी २.गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि इसका मान यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभव मूल्य से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है।

टिप्पणी 3.असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है कोई संयोग नहीं(लगातार। निम्नलिखित में, हम देखेंगे कि निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी यही सच है।

उदाहरण 1. एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एन एस- 10 भागों के एक बैच से चुने गए तीन में से मानक भागों की संख्या, जिनमें से 2 दोषपूर्ण हैं। आइए हम इसके लिए एक वितरण श्रृंखला की रचना करें एन एस... यह समस्या कथन से इस प्रकार है कि एन एस 1, 2, 3 मान ले सकते हैं। फिर

उदाहरण 2. एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का निर्धारण करें एन एस- हथियारों के कोट की पहली उपस्थिति से पहले सिक्के की संख्या। यह मान अनंत संख्या में मान ले सकता है (संभावित मानों का समुच्चय प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है)। इसकी वितरण श्रृंखला इस प्रकार है:

एन एस			…	एन एस	…
आर	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)एन एस	…

+ (गणना करते समय, एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र का उपयोग दो बार किया गया था:, कहाँ से)।

गणितीय अपेक्षा गुण।

1) एक स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा सबसे अधिक स्थिरांक के बराबर होती है:

एम(साथ) = साथ।(7.2)

सबूत। मानते हुए साथकेवल एक मान लेने वाले असतत यादृच्छिक चर के रूप में साथसंभावना के साथ आर= 1, तो एम(साथ) = साथ?1 = साथ.

2) स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा के संकेत से निकाला जा सकता है:

एम(श्री) = से। मी(एन एस). (7.3)

सबूत। यदि एक यादृच्छिक चर एन एसएक वितरण श्रृंखला द्वारा दिया गया

फिर एम(श्री) = सीएक्स 1 आर 1 + सीएक्स 2 आर 2 + … + सीएक्स पी पी पी = साथ(एन एस 1 आर 1 + एन एस 2 आर 2 + … + एक्स पी पी पी) = से। मी(एन एस).

परिभाषा 7.2.दो यादृच्छिक चर कहलाते हैं स्वतंत्र, यदि उनमें से एक का वितरण कानून इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि दूसरे ने क्या मूल्य लिया है। अन्यथा, यादृच्छिक चर आश्रित.

परिभाषा 7.3.चलो कॉल करो स्वतंत्र यादृच्छिक चर का उत्पाद एन एसतथा यू अनियमित चर XY, जिसके संभावित मूल्य सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों के बराबर हैं एन एससभी संभावित मूल्यों के लिए यू, और संबंधित संभावनाएं कारकों की संभावनाओं के उत्पादों के बराबर हैं।

3) दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के गुणनफल के बराबर होती है:

एम(XY) = एम(एक्स)एम(यू). (7.4)

सबूत। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, हम खुद को उस स्थिति तक सीमित रखते हैं जब एन एसतथा यूकेवल दो संभावित मान लें:

अत, एम(XY) = एक्स 1 आप 1 ?पी 1 जी 1 + एक्स 2 आप 1 ?पी 2 जी 1 + एक्स 1 आप 2 ?पी 1 जी 2 + एक्स 2 आप 2 ?पी 2 जी 2 = आप 1 जी 1 (एक्स 1 पी 1 + एक्स 2 पी 2) + + आप 2 जी 2 (एक्स 1 पी 1 + एक्स 2 पी 2) = (आप 1 जी 1 + आप 2 जी 2) (एक्स 1 पी 1 + एक्स 2 पी 2) = एम(एक्स)?एम(यू).

टिप्पणी 1.इसी प्रकार, यह गुण गुणनखंडों के संभावित मानों की अधिक संख्या के लिए सिद्ध किया जा सकता है।

टिप्पणी २.गुण 3 स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की किसी भी संख्या के गुणनफल के लिए मान्य है, जो गणितीय प्रेरण की विधि से सिद्ध होता है।

परिभाषा 7.4.हम परिभाषित करते हैं यादृच्छिक चर का योग एन एसतथा यू एक यादृच्छिक चर के रूप में एक्स + वाई, जिसके संभावित मूल्य प्रत्येक संभावित मूल्य के योग के बराबर हैं एन एसहर संभव मूल्य के साथ यू; ऐसे योगों की प्रायिकता पदों की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है (आश्रित यादृच्छिक चरों के लिए, एक पद की प्रायिकता के गुणनफल और दूसरे की सशर्त प्रायिकता)।

4) दो यादृच्छिक चर (आश्रित या स्वतंत्र) के योग की गणितीय अपेक्षा, पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है:

एम (एक्स + वाई) = एम (एक्स) + एम (यू). (7.5)

सबूत।

संपत्ति के प्रमाण में दिए गए वितरण श्रृंखला द्वारा दिए गए यादृच्छिक चरों पर फिर से विचार करें। फिर संभावित मान एक्स + वाईहैं एन एस 1 + पर 1 , एन एस 1 + पर 2 , एन एस 2 + पर 1 , एन एस 2 + पर 2. आइए उनकी प्रायिकताओं को क्रमशः इस प्रकार निरूपित करें आर 11 , आर 12 , आर२१ और आर 22. पाना एम(एन एस+यू) = (एक्स 1 + आप 1)पी 11 + (एक्स 1 + आप 2)पी 12 + (एक्स 2 + आप 1)पी 21 + (एक्स 2 + आप 2)पी 22 =

= एक्स 1 (पी 11 + पी 12) + एक्स 2 (पी 21 + पी 22) + आप 1 (पी 11 + पी 21) + आप 2 (पी 12 + पी 22).

आइए साबित करें कि आर 11 + आर 22 = आर१. दरअसल, घटना है कि एक्स + वाईमान लेंगे एन एस 1 + पर 1 या एन एस 1 + पर 2 और जिसकी प्रायिकता है आर 11 + आर 22 घटना के साथ मेल खाता है कि एन एस = एन एस 1 (इसकी प्रायिकता है आर१) । इसी प्रकार, यह सिद्ध होता है कि पी 21 + पी 22 = आर 2 , पी 11 + पी 21 = जी 1 , पी 12 + पी 22 = जी 2. माध्यम,

एम(एक्स + वाई) = एक्स 1 पी 1 + एक्स 2 पी 2 + आप 1 जी 1 + आप 2 जी 2 = एम (एक्स) + एम (यू).

टिप्पणी... गुण 4 का तात्पर्य है कि किसी भी यादृच्छिक चर की संख्या का योग शर्तों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है।

उदाहरण। पाँच पासे फेंकने पर गिराए गए अंकों के योग की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

आइए हम एक पासे को फेंकने से गिराए गए अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें:

एम(एन एस१) = (१ + २ + ३ + ४ + ५ + ६) वही संख्या किसी भी पासे पर गिराए गए अंकों की गणितीय अपेक्षा के बराबर होती है। इसलिए, संपत्ति द्वारा 4 एम(एन एस)=

फैलाव.

यादृच्छिक चर के व्यवहार का अंदाजा लगाने के लिए, केवल इसकी गणितीय अपेक्षा को जानना पर्याप्त नहीं है। दो यादृच्छिक चर पर विचार करें: एन एसतथा यूप्रपत्र की वितरण श्रृंखला द्वारा दिया गया

एन एस
आर	0,1	0,8	0,1

यू
पी	0,5	0,5

पाना एम(एन एस) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, एम(यू) = ०? ०.५ + १००? ०.५ = ५०। जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों मात्राओं की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं, लेकिन यदि के लिए एचएम(एन एस) एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का अच्छी तरह से वर्णन करता है, इसका सबसे संभावित संभावित मूल्य है (इसके अलावा, अन्य मान 50 से बहुत अलग नहीं हैं), फिर मान यूसे काफी दूर एम(यू) इसलिए, गणितीय अपेक्षा के साथ, यह जानना वांछनीय है कि यादृच्छिक चर के मान इससे कितना विचलित होते हैं। इस सूचक को चिह्नित करने के लिए विचरण का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 7.5.फैलाव (बिखरने)एक यादृच्छिक चर को इसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है:

डी(एक्स) = एम (एक्स - एम(एक्स)) . (7.6)

यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए एन एस(चयनित लोगों में मानक भागों की संख्या) इस व्याख्यान के उदाहरण 1 में। आइए गणितीय अपेक्षा से प्रत्येक संभावित मूल्य के वर्ग विचलन के मूल्यों की गणना करें:

(१ - २.४) २ = १.९६; (२ - २.४) २ = ०.१६; (३ - २.४) २ = ०.३६। अत,

टिप्पणी 1.विचरण का निर्धारण करने में, इसका मूल्यांकन स्वयं माध्य से विचलन नहीं होता है, बल्कि इसका वर्ग होता है। ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि विभिन्न चिन्हों के विचलन एक दूसरे की क्षतिपूर्ति न करें।

टिप्पणी २.विचरण की परिभाषा से यह पता चलता है कि यह मात्रा केवल गैर-ऋणात्मक मान लेती है।

टिप्पणी 3.प्रसरण की गणना के लिए एक अधिक सुविधाजनक सूत्र है, जिसकी वैधता निम्नलिखित प्रमेय में सिद्ध होती है:

प्रमेय 7.1.डी(एक्स) = एम(एक्स²) - एम²( एक्स). (7.7)

सबूत।

क्या का उपयोग करना एम(एन एस) एक स्थिरांक है, और गणितीय अपेक्षा के गुण, हम सूत्र (7.6) को रूप में बदलते हैं:

डी(एक्स) = एम(एक्स - एम(एक्स))² = एम(एक्स- २ एक्स? एम(एक्स) + एम²( एक्स)) = एम(एक्स) - 2 एम(एक्स)?एम(एक्स) + एम²( एक्स) =

= एम(एक्स) - 2 एम²( एक्स) + एम²( एक्स) = एम(एक्स²) - एम²( एक्स), जैसी ज़रूरत।

उदाहरण। हम यादृच्छिक चर के प्रसरणों की गणना करते हैं एन एसतथा यूइस खंड की शुरुआत में चर्चा की। एम(एन एस) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

एम(यू) = (0 2? 0.5 + 100²? 0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500। तो, दूसरे यादृच्छिक चर का विचरण पहले के विचरण से कई हजार गुना अधिक है। इस प्रकार, इन मात्राओं के वितरण नियमों को जाने बिना भी, हम ज्ञात परिक्षेपण मूल्यों से यह दावा कर सकते हैं कि एन एसअपनी गणितीय अपेक्षा से बहुत कम विचलित होता है, जबकि यूयह विचलन काफी महत्वपूर्ण है।

फैलाव गुण।

1) नियतांक का विक्षेपण साथशून्य है:

डी (सी) = 0. (7.8)

सबूत। डी(सी) = एम((से। मी(सी))²) = एम((सी - सी)²) = एम(0) = 0.

2) अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है:

डी(सीएक्स) = सी² डी(एक्स). (7.9)

सबूत। डी(सीएक्स) = एम((सीएक्स - एम(सीएक्स))²) = एम((सीएक्स - सीएम(एक्स))²) = एम(सी²( एक्स - एम(एक्स))²) =

= सी² डी(एक्स).

3) दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है:

डी(एक्स + वाई) = डी(एक्स) + डी(यू). (7.10)

सबूत। डी(एक्स + वाई) = एम(एक्स+ 2 XY + यू²) - ( एम(एक्स) + एम(यू))² = एम(एक्स) + २ एम(एक्स)एम(यू) +

+ एम(यू²) - एम²( एक्स) - 2एम(एक्स)एम(यू) - एम²( यू) = (एम(एक्स²) - एम²( एक्स)) + (एम(यू²) - एम²( यू)) = डी(एक्स) + डी(यू).

कोरोलरी १.कई परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है।

कोरोलरी २.एक स्थिरांक और एक यादृच्छिक चर के योग का प्रसरण यादृच्छिक चर के प्रसरण के बराबर होता है।

4) दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है:

डी(एक्स - वाई) = डी(एक्स) + डी(यू). (7.11)

सबूत। डी(एक्स - वाई) = डी(एक्स) + डी(-यू) = डी(एक्स) + (-1) डी(यू) = डी(एक्स) + डी(एक्स).

प्रसरण एक यादृच्छिक चर के माध्य से विचलन के वर्ग का माध्य देता है; विचलन का अनुमान लगाने के लिए, मानक विचलन नामक मात्रा का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 7.6.माध्य वर्ग विचलनयादृच्छिक चर का एन एसविचरण का वर्गमूल कहा जाता है:

उदाहरण। पिछले उदाहरण में, मानक विचलन एन एसतथा यूक्रमशः बराबर

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है

उम्मीद, परिभाषा, असतत और निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, नमूना, सशर्त अपेक्षा, गणना, गुण, कार्य, अपेक्षा का अनुमान, विचरण, वितरण फ़ंक्शन, सूत्र, गणना के उदाहरण

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गणितीय अपेक्षा है, परिभाषा

गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों या संभावनाओं के वितरण की विशेषता है। आमतौर पर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह तकनीकी विश्लेषण, संख्यात्मक श्रृंखला के अध्ययन, निरंतर और दीर्घकालिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह जोखिमों का आकलन करने, वित्तीय बाजारों में व्यापार करते समय मूल्य संकेतकों की भविष्यवाणी करने में महत्वपूर्ण है, और जुआ के सिद्धांत में रणनीतियों और गेमिंग रणनीति के तरीकों के विकास में उपयोग किया जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर का माध्य मान, एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का एक उपाय। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्सलक्षित एम (एक्स).

गणितीय अपेक्षा है

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मूल्यों का भारित औसत जो यह यादृच्छिक चर ले सकता है।

गणितीय अपेक्षा हैइन मानों की प्रायिकताओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के गुणनफल का योग।

गणितीय अपेक्षा हैएक समाधान या किसी अन्य से औसत लाभ, बशर्ते कि इस तरह के समाधान को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे के भीतर माना जा सकता है।

गणितीय अपेक्षा हैजुए के सिद्धांत में, एक खिलाड़ी जितनी जीत या हार सकता है, औसतन, प्रत्येक दांव के लिए। जुआरी की भाषा में, इसे कभी-कभी "खिलाड़ी लाभ" (यदि यह खिलाड़ी के लिए सकारात्मक है) या "कैसीनो लाभ" (यदि यह खिलाड़ी के लिए नकारात्मक है) कहा जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैजीत पर लाभ का प्रतिशत औसत लाभ से गुणा करके नुकसान की संभावना को औसत नुकसान से गुणा किया जाता है।

गणितीय सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

एक यादृच्छिक चर की महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक गणितीय अपेक्षा है। आइए हम यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली की अवधारणा का परिचय दें। यादृच्छिक चर के एक संग्रह पर विचार करें जो एक ही यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं। यदि - सिस्टम के संभावित मूल्यों में से एक, तो घटना एक निश्चित संभावना से मेल खाती है जो कोलमोगोरोव स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है। यादृच्छिक चर के किसी भी संभावित मूल्यों के लिए परिभाषित एक फ़ंक्शन को संयुक्त वितरण कानून कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आपको किसी भी घटना की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के वितरण का संयुक्त कानून और, जो सेट से मान लेते हैं और संभावनाओं द्वारा दिया जाता है।

शब्द "गणितीय अपेक्षा" पियरे साइमन द मार्क्विस डी लाप्लास (1795) द्वारा पेश किया गया था और "एक अदायगी के अपेक्षित मूल्य" की अवधारणा से उत्पन्न हुआ था, जो पहली बार 17 वीं शताब्दी में ब्लेज़ पास्कल के कार्यों में जुए के सिद्धांत में दिखाई दिया था। और क्रिश्चियन हाइजेंस। हालाँकि, इस अवधारणा की पहली पूर्ण सैद्धांतिक समझ और मूल्यांकन Pafnutii Lvovich Chebyshev (19 वीं शताब्दी के मध्य) द्वारा दिया गया था।

यादृच्छिक संख्यात्मक मानों का वितरण नियम (वितरण फ़ंक्शन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का पूरी तरह से वर्णन करता है। लेकिन कई समस्याओं में प्रश्न का उत्तर देने के लिए जांच की गई मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और इससे संभावित विचलन) जानना पर्याप्त है। यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं गणितीय अपेक्षा, विचरण, मोड और माध्यिका हैं।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा संबंधित संभावनाओं द्वारा इसके संभावित मूल्यों के उत्पादों का योग है। कभी-कभी गणितीय अपेक्षा को भारित औसत कहा जाता है, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर होता है। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि इसका मान यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभव मूल्य से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) मान है।

गणितीय अपेक्षा का एक सरल भौतिक अर्थ है: यदि एक इकाई द्रव्यमान को कुछ बिंदुओं पर (एक असतत वितरण के लिए) कुछ द्रव्यमान रखकर एक सीधी रेखा पर रखा जाता है, या इसे एक निश्चित घनत्व (बिल्कुल निरंतर वितरण के लिए) के साथ "स्मीयरिंग" किया जाता है। तो गणितीय अपेक्षा के अनुरूप बिंदु समन्वय होगा "गुरुत्वाकर्षण का केंद्र" सीधा है।

एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य एक निश्चित संख्या है, जो कि, जैसा कि यह था, इसका "प्रतिनिधि" है और इसे अनुमानित अनुमानित गणनाओं में बदल देता है। जब हम कहते हैं: "दीपक का औसत संचालन समय 100 घंटे के बराबर होता है" या "प्रभाव का मध्य बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर विस्थापित होता है", तो हम एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत दे रहे हैं। संख्यात्मक अक्ष पर इसके स्थान का वर्णन करता है, अर्थात "स्थिति की विशेषता"।

संभाव्यता के सिद्धांत में स्थिति की विशेषताओं से, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी यादृच्छिक चर का औसत मान कहा जाता है।

एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एन एससंभावित मूल्यों के साथ x1, x2, ..., xnसंभावनाओं के साथ पी1, पी2, ..., पीएन... हमें इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मूल्यों की अलग-अलग संभावनाएं हैं, हमें कुछ संख्या में एब्सिस्सा अक्ष पर एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की स्थिति को चिह्नित करने की आवश्यकता है। इस प्रयोजन के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है ग्यारहवीं, और औसत के दौरान xi के प्रत्येक मान को इस मान की प्रायिकता के समानुपाती "वजन" के साथ ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के माध्य की गणना करेंगे एक्स, जिसे हम निरूपित करेंगे एम | एक्स |:

इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक को ध्यान में रखा है - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इन मूल्यों की संभावनाओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों का योग है।

एन एसबड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक अजीबोगरीब संबंध से जुड़ा हुआ है। यह निर्भरता उसी प्रकार की होती है जैसे आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता, अर्थात्: बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, एक यादृच्छिक चर दृष्टिकोण के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य (संभावना में अभिसरण) इसकी गणितीय अपेक्षा के लिए। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच एक संबंध की उपस्थिति से, एक परिणाम के रूप में अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध की उपस्थिति का अनुमान लगाया जा सकता है। दरअसल, यादृच्छिक चर पर विचार करें एन एसएक वितरण श्रृंखला द्वारा विशेषता:

इसे उत्पादित होने दें एनस्वतंत्र प्रयोग, जिनमें से प्रत्येक में मूल्य एक्सएक निश्चित अर्थ लेता है। मान लीजिए x1दिखाई दिया एम1समय, मूल्य x2दिखाई दिया एम2समय, आम तौर पर अर्थ ग्यारहवींमील बार दिखाई दिया। हम एक्स के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं, जो गणितीय अपेक्षा के विपरीत है एम | एक्स |हम नामित करेंगे एम * | एक्स |:

प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एनआवृत्ति अनुकरणीयसंगत प्रायिकताओं की ओर (संभाव्यता में अभिसरण) करेंगे। नतीजतन, यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों का अंकगणितीय माध्य एम | एक्स |प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, यह अपनी गणितीय अपेक्षा तक पहुंच जाएगा (संभाव्यता में अभिसरण)। अंकगणित माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच उपरोक्त संबंध बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री है।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के कानून के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए कुछ औसत स्थिर होते हैं। यहां हम समान मात्रा के प्रेक्षणों की एक श्रृंखला से अंकगणितीय माध्य की स्थिरता के बारे में बात कर रहे हैं। प्रयोगों की एक छोटी संख्या के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग यादृच्छिक नहीं" हो जाता है और स्थिर हो जाता है, स्थिर मूल्य - गणितीय अपेक्षा तक पहुंचता है।

बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ औसत की स्थिरता की संपत्ति को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, किसी वस्तु को प्रयोगशाला में एक सटीक संतुलन पर तौलना, तोलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मान मिलता है; अवलोकन त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय औसत का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम और कम प्रतिक्रिया करता है, और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, यह व्यावहारिक रूप से बदलना बंद कर देता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चरों के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन। हालांकि, अभ्यास के लिए, ऐसे मामले महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर हम जिन यादृच्छिक चरों से निपटते हैं, उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, एक गणितीय अपेक्षा होती है।

एक यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा - स्थिति की अन्य विशेषताओं को कभी-कभी व्यवहार में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, एक यादृच्छिक चर के मोड और माध्यिका।

यादृच्छिक चर का बहुलक इसका सबसे संभावित मान है। शब्द "सबसे संभावित मूल्य", कड़ाई से बोलते हुए, केवल असंतुलित मात्रा पर लागू होता है; एक सतत मात्रा के लिए बहुलक वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है। आंकड़े क्रमशः असंतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "पॉलीमॉडल" कहा जाता है।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें बीच में अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होता है। इस तरह के वितरण को "एंटी-मोडल" कहा जाता है।

सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल (यानी, एक मोड होता है) और गणितीय अपेक्षा होती है, तो यह वितरण के समरूपता के केंद्र और मोड के साथ मेल खाता है।

स्थिति की एक और विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतत चर के लिए परिभाषित किया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र आधा हो जाता है।

एक सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्य गणितीय अपेक्षा और मोड के साथ मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर का माध्य मान है - यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण की संख्यात्मक विशेषता। सबसे सामान्य तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स (डब्ल्यू)संभाव्यता माप के संबंध में लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है आरमूल संभाव्यता स्थान में:

गणितीय अपेक्षा की गणना Lebesgue अभिन्न के रूप में की जा सकती है एन एससंभाव्यता वितरण द्वारा पिक्सलपरिमाण एक्स:

स्वाभाविक रूप से, आप एक अनंत गणितीय अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर की अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैं। कुछ रैंडम वॉक में वापसी का समय विशिष्ट उदाहरण हैं।

गणितीय अपेक्षा का उपयोग करते हुए, वितरण की कई संख्यात्मक और कार्यात्मक विशेषताओं को निर्धारित किया जाता है (एक यादृच्छिक चर के संबंधित कार्यों की गणितीय अपेक्षा के रूप में), उदाहरण के लिए, एक जनरेटिंग फ़ंक्शन, एक विशेषता फ़ंक्शन, किसी भी क्रम के क्षण, विशेष रूप से विचरण में, सहप्रसरण

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर (इसके वितरण का औसत मूल्य) के मूल्यों के स्थान की विशेषता है। इस क्षमता में, गणितीय अपेक्षा कुछ "विशिष्ट" वितरण पैरामीटर के रूप में कार्य करती है और इसकी भूमिका स्थिर क्षण की भूमिका के समान होती है - बड़े पैमाने पर वितरण के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक - यांत्रिकी में। गणितीय अपेक्षा अन्य स्थान विशेषताओं से भिन्न होती है, जिसकी सहायता से वितरण को सामान्य शब्दों, माध्यिकाओं, विधाओं में वर्णित किया जाता है, अधिक मूल्य से कि यह और संबंधित प्रकीर्णन विशेषता - फैलाव - में संभाव्यता सिद्धांत के सीमा प्रमेय होते हैं। सबसे बड़ी पूर्णता के साथ, गणितीय अपेक्षा का अर्थ बड़ी संख्या के कानून (चेबीशेव की असमानता) और बड़ी संख्या के मजबूत कानून द्वारा प्रकट होता है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

मान लीजिए कि कुछ यादृच्छिक चर हैं जो कई संख्यात्मक मानों में से एक ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, पासा फेंकते समय अंकों की संख्या 1, 2, 3, 4, 5, या 6) हो सकती है। व्यवहार में, इस तरह के मूल्य के लिए, अक्सर सवाल उठता है: बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ "औसतन" क्या मूल्य लेता है? प्रत्येक जोखिम भरे संचालन से हमारी औसत आय (या हानि) क्या होगी?

मान लीजिए कि किसी प्रकार की लॉटरी है। हम यह समझना चाहते हैं कि इसमें भाग लेना लाभदायक है या नहीं (या बार-बार भाग लेना, नियमित रूप से)। मान लीजिए कि हर चौथा जीतने वाला टिकट, पुरस्कार 300 रूबल है, और किसी भी टिकट की कीमत 100 रूबल है। असीम रूप से बड़ी संख्या में भागीदारी के साथ, ऐसा ही होता है। तीन चौथाई मामलों में, हम हारेंगे, हर तीन नुकसान में 300 रूबल खर्च होंगे। हर चौथे मामले में हम 200 रूबल जीतेंगे। (पुरस्कार माइनस कॉस्ट), यानी चार भागीदारी के लिए हम औसतन 100 रूबल खो देते हैं, एक के लिए - औसतन 25 रूबल। कुल मिलाकर, हमारे बर्बाद होने की औसत दर प्रति टिकट 25 रूबल होगी।

हम पासा फेंकते हैं। यदि यह धोखा नहीं है (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में कोई बदलाव नहीं, आदि), तो हमारे पास एक समय में औसतन कितने अंक होंगे? चूंकि प्रत्येक विकल्प समान रूप से संभावित है, हम एक बेवकूफ अंकगणितीय माध्य लेते हैं और 3.5 प्राप्त करते हैं। चूंकि यह औसत है, इसलिए नाराज होने की कोई आवश्यकता नहीं है कि कोई विशिष्ट थ्रो 3.5 अंक नहीं देगा - ठीक है, इस घन में इतनी संख्या के साथ कोई बढ़त नहीं है!

आइए अब हमारे उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:

आइए अभी दिखाई गई तस्वीर को देखें। बाईं ओर एक यादृच्छिक चर के वितरण की एक तालिका है। मान X, n संभावित मानों में से एक ले सकता है (शीर्ष पंक्ति में दिखाया गया है)। कोई अन्य मूल्य नहीं हो सकता। नीचे दिए गए प्रत्येक संभावित मान को इसकी प्रायिकता के साथ लेबल किया गया है। दाईं ओर सूत्र है, जहाँ M (X) को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस मूल्य का अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों (बड़े नमूने के साथ) के साथ, औसत मूल्य इस गणितीय अपेक्षा की ओर अग्रसर होगा।

चलिए वापस उसी प्लेइंग क्यूब पर चलते हैं। फेंकते समय अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा 3.5 है (यदि आप विश्वास नहीं करते हैं तो सूत्र का उपयोग करके स्वयं की गणना करें)। मान लीजिए कि आपने इसे एक-दो बार फेंका। उन्होंने 4 और 6 गिराए। औसतन, यह 5 निकला, यानी 3.5 से बहुत दूर। उन्होंने इसे एक बार और फेंक दिया, 3 गिरा दिया, यानी औसतन (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... गणितीय अपेक्षा से किसी तरह दूर। अब करें ये क्रेजी एक्सपेरिमेंट - क्यूब को 1000 बार रोल करें! और अगर औसत बिल्कुल 3.5 नहीं है, तो यह उसके करीब होगा।

आइए ऊपर वर्णित लॉटरी के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करें। प्लेट इस तरह दिखेगी:

तब गणितीय अपेक्षा होगी, जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है।

एक और बात यह है कि "उंगलियों पर" एक सूत्र के बिना, यदि अधिक विकल्प थे, तो इसका उपयोग करना मुश्किल होगा। ठीक है, मान लें कि टिकट खोने का 75%, जीतने वाले टिकटों का 20% और अतिरिक्त जीतने वाले टिकटों का 5% होगा।

अब गणितीय अपेक्षा के कुछ गुण।

यह सिद्ध करना सरल है:

गणितीय अपेक्षा के संकेत से एक स्थिर कारक को निकालने की अनुमति है, जो है:

यह गणितीय अपेक्षा की रैखिकता संपत्ति का एक विशेष मामला है।

गणितीय अपेक्षा की रैखिकता का एक और परिणाम:

अर्थात्, यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।

मान लीजिए X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, फिर:

यह साबित करना भी आसान है) XYअपने आप में एक यादृच्छिक चर है, जबकि यदि प्रारंभिक मान ले सकते हैं एनतथा एममान क्रमशः, तब XYएनएम मान ले सकते हैं। प्रत्येक मान की संभावना की गणना इस तथ्य के आधार पर की जाती है कि स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा किया जाता है। परिणामस्वरूप, हमें यह मिलता है:

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

निरंतर यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व (संभाव्यता घनत्व) जैसी विशेषता होती है। यह, वास्तव में, इस स्थिति की विशेषता है कि एक यादृच्छिक चर वास्तविक संख्याओं के सेट से कुछ मान अधिक बार लेता है, कुछ कम बार। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित ग्राफ पर विचार करें:

यहां एक्सएक यादृच्छिक चर ही है, च (एक्स)- वितरण घनत्व। इस ग्राफ को देखते हुए, प्रयोगों में, मान एक्सअक्सर शून्य के करीब एक संख्या होगी। अधिक होने की संभावना 3 या कम हो -3 बल्कि विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक समान वितरण है:

यह सहज ज्ञान युक्त समझ के अनुरूप है। मान लीजिए, अगर हमें एक समान वितरण के साथ बहुत सारी यादृच्छिक वास्तविक संख्याएँ मिलती हैं, तो प्रत्येक खंड |0; 1| , तो अंकगणितीय माध्य लगभग 0.5 होना चाहिए।

गणितीय अपेक्षा के गुण - रैखिकता, आदि, असतत यादृच्छिक चर के लिए लागू होते हैं, यहां भी लागू होते हैं।

गणितीय अपेक्षा और अन्य सांख्यिकीय संकेतकों के बीच संबंध

सांख्यिकीय विश्लेषण में, गणितीय अपेक्षा के साथ, अन्योन्याश्रित संकेतकों की एक प्रणाली होती है जो घटना की एकरूपता और प्रक्रियाओं की स्थिरता को दर्शाती है। विविधता संकेतकों का अक्सर कोई स्वतंत्र अर्थ नहीं होता है और आगे के डेटा विश्लेषण के लिए उपयोग किया जाता है। अपवाद भिन्नता का गुणांक है, जो डेटा की एकरूपता की विशेषता है, जो एक मूल्यवान आँकड़ा है।

सांख्यिकीय विज्ञान में प्रक्रियाओं की परिवर्तनशीलता या स्थिरता की डिग्री को कई संकेतकों का उपयोग करके मापा जा सकता है।

एक यादृच्छिक चर की परिवर्तनशीलता को दर्शाने वाला सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है फैलाव, जो गणितीय अपेक्षा से निकटता से और सीधे तौर पर संबंधित है। यह पैरामीटर अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण (परिकल्पना परीक्षण, कारण-और-प्रभाव संबंधों का विश्लेषण, आदि) में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। रैखिक माध्य की तरह, विचरण भी माध्य के चारों ओर डेटा के प्रसार के माप को दर्शाता है।

संकेतों की भाषा को शब्दों की भाषा में अनुवाद करना उपयोगी है। यह पता चला है कि विचलन विचलन का औसत वर्ग है। अर्थात्, पहले औसत की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत के बीच के अंतर को लिया जाता है, चुकता किया जाता है, जोड़ा जाता है, और फिर जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है। व्यक्तिगत मूल्य और माध्य के बीच का अंतर विचलन के माप को दर्शाता है। इसे इस तरह से चुकता किया जाता है कि सभी विचलन अनन्य रूप से धनात्मक संख्याएँ बन जाते हैं और धनात्मक और ऋणात्मक विचलनों का योग करने पर पारस्परिक विनाश से बचने के लिए। फिर, विचलन के वर्गों के साथ, हम केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। औसत - वर्ग - विचलन। विचलन चुकता है और औसत माना जाता है। जादू शब्द "भिन्नता" का समाधान सिर्फ तीन शब्दों में है।

हालाँकि, अपने शुद्ध रूप में, जैसे कि अंकगणितीय माध्य, या सूचकांक, विचरण का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जिसका उपयोग अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए किया जाता है। उसके पास माप की एक सामान्य इकाई भी नहीं है। सूत्र को देखते हुए, यह मूल डेटा के माप की इकाई का वर्ग है।

आइए हम एक यादृच्छिक चर को मापें एनउदाहरण के लिए, हम हवा की गति को दस गुना मापते हैं और औसत मान ज्ञात करना चाहते हैं। माध्य वितरण फलन से किस प्रकार संबंधित है?

या हम पासा को कई बार घुमाएंगे। प्रत्येक रोल के साथ पासे पर गिरने वाले अंकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है और 1 से 6 तक कोई भी प्राकृतिक मान ले सकता है। सभी पासा रोल के लिए गणना किए गए गिराए गए बिंदुओं का अंकगणितीय माध्य भी एक यादृच्छिक मान है, लेकिन बड़े के लिए एनयह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या की ओर जाता है - गणितीय अपेक्षा एमएक्स... इस मामले में, एमएक्स = 3.5।

यह मूल्य कैसे आया? भीतर आएं एनपरीक्षणों एन 1एक बार 1 अंक गिरा, एन 2बार - 2 अंक और इसी तरह। फिर परिणामों की संख्या जिसमें एक बिंदु गिर गया:

इसी तरह परिणामों के लिए जब 2, 3, 4, 5 और 6 अंक लुढ़के।

मान लीजिए कि अब हम एक यादृच्छिक चर x के वितरण नियम को जानते हैं, अर्थात, हम जानते हैं कि एक यादृच्छिक चर x मान x1, x2, ..., xk के साथ p1, p2, ..., pk मान ले सकता है।

एक यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा Mx है:

गणितीय अपेक्षा हमेशा कुछ यादृच्छिक चर का उचित अनुमान नहीं होती है। इसलिए, औसत वेतन का अनुमान लगाने के लिए, माध्यिका की अवधारणा का उपयोग करना अधिक उचित है, अर्थात ऐसा मूल्य कि औसत वेतन से कम और अधिक प्राप्त करने वाले लोगों की संख्या समान हो।

प्रायिकता p1 कि यादृच्छिक चर x, x1 / 2 से कम होगा, और प्रायिकता p2 कि यादृच्छिक चर x, x1 / 2 से बड़ा होगा, समान और 1/2 के बराबर है। माध्यिका सभी वितरणों के लिए स्पष्ट रूप से निर्धारित नहीं होती है।

मानक या मानक विचलनआँकड़ों में, वह डिग्री है जिस तक अवलोकन संबंधी डेटा या सेट माध्य से विचलित होते हैं। इसे s या s अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। एक छोटा मानक विचलन इंगित करता है कि डेटा माध्य के आसपास क्लस्टर किया गया है, जबकि एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि प्रारंभिक डेटा इससे बहुत दूर है। मानक विचलन विचरण नामक मात्रा के वर्गमूल के बराबर होता है। यह माध्य से विचलन वाले प्रारंभिक डेटा के वर्ग अंतर के योग का औसत है। यादृच्छिक चर के मूल-माध्य-वर्ग विचलन को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है:

उदाहरण। एक लक्ष्य पर शूटिंग करते समय परीक्षण स्थितियों के तहत, एक यादृच्छिक चर के विचरण और मानक विचलन की गणना करें:

उतार - चढ़ाव- परिवर्तनशीलता, जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता के मूल्य की परिवर्तनशीलता। किसी विशेषता के व्यक्तिगत संख्यात्मक मान जो अध्ययन की गई जनसंख्या में पाए जाते हैं, मूल्यों के रूप कहलाते हैं। जनसंख्या की एक पूर्ण विशेषता के लिए औसत मूल्य की अपर्याप्तता औसत मूल्यों को संकेतकों के साथ पूरक करना आवश्यक बनाती है जो अध्ययन के तहत विशेषता की परिवर्तनशीलता (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करना संभव बनाता है। भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

स्वाइप वेरिएशन(आर) अध्ययन की गई आबादी में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है। यह सूचक अध्ययन के तहत विशेषता की परिवर्तनशीलता का सबसे सामान्य विचार देता है, क्योंकि यह केवल विकल्पों के सीमित मूल्यों के बीच का अंतर दिखाता है। विशेषता के चरम मूल्यों पर निर्भरता भिन्नता की सीमा को एक अस्थिर, यादृच्छिक चरित्र देती है।

औसत रैखिक विचलनउनके औसत मूल्य से विश्लेषित जनसंख्या के सभी मूल्यों के निरपेक्ष (मॉड्यूलो) विचलन का अंकगणितीय माध्य है:

जुआ के सिद्धांत में अपेक्षित मूल्य

गणितीय अपेक्षा हैएक जुआरी किसी दिए गए दांव पर जीत या हार की औसत राशि। यह खिलाड़ी के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है, क्योंकि यह अधिकांश खेल स्थितियों के आकलन के लिए मौलिक है। बुनियादी कार्ड लेआउट और खेल स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए उम्मीद भी एक इष्टतम उपकरण है।

मान लीजिए कि आप एक दोस्त के साथ एक सिक्का खेल रहे हैं, हर बार समान रूप से $ 1 की शर्त लगा रहे हैं चाहे कुछ भी आए। पूंछ - तुम जीतते हो, सिर - तुम हारते हो। टेल आने की संभावनाएं एक-से-एक हैं, और आप $ 1 से $ 1 तक शर्त लगाते हैं। इस प्रकार, आपकी गणितीय अपेक्षा शून्य है, क्योंकि गणितीय रूप से कहें तो आप यह नहीं जान सकते कि आप दो टॉस के बाद आगे चल रहे हैं या हार रहे हैं या 200 के बाद।

आपका प्रति घंटा लाभ शून्य है। एक घंटे की जीत वह राशि है जो आप एक घंटे में जीतने की उम्मीद करते हैं। आप एक घंटे के भीतर एक सिक्के को 500 बार पलट सकते हैं, लेकिन आप न तो जीतेंगे और न ही हारेंगे, क्योंकि आपकी संभावनाएं न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। एक गंभीर खिलाड़ी की दृष्टि से इस तरह की सट्टेबाजी प्रणाली खराब नहीं है। लेकिन यह सिर्फ समय की बर्बादी है।

लेकिन मान लीजिए कि कोई उसी गेम में आपके $ 1 के खिलाफ $ 2 का दांव लगाना चाहता है। फिर आपको तुरंत प्रत्येक बेट से 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद है। 50 सेंट क्यों? औसतन, आप एक बेट जीतते हैं और दूसरा हार जाते हैं। पहले डॉलर पर दांव लगाएं और $ 1 हारें, दूसरे पर दांव लगाएं और $ 2 जीतें। आप $ 1 को दो बार शर्त लगाते हैं और $ 1 आगे हैं। तो आपके प्रत्येक एक डॉलर के दांव ने आपको ५० सेंट दिए।

यदि सिक्का एक घंटे में 500 बार गिरता है, तो आपकी प्रति घंटा जीत पहले से ही $ 250 होगी, क्योंकि औसतन, आप $ 1 250 बार हारे और $ 2 250 बार जीते। $ ५०० माइनस $ २५० बराबर $ २५० है, जो कुल जीत है। कृपया ध्यान दें कि अपेक्षित मूल्य, जो कि एक बेट पर आपके द्वारा औसतन जीती गई राशि है, 50 सेंट है। आपने 500 बार एक डॉलर की शर्त लगाकर 250 डॉलर जीते, जो कि हिस्सेदारी से 50 सेंट के बराबर है।

उम्मीद का अल्पकालिक परिणामों से कोई लेना-देना नहीं है। आपका प्रतिद्वंद्वी, जिसने आपके खिलाफ $ 2 की शर्त लगाने का फैसला किया है, आपको लगातार पहले दस टॉस पर हरा सकता है, लेकिन आप 2: 1 सट्टेबाजी का लाभ रखते हुए, अन्य सभी चीजें समान होने पर, किसी भी परिस्थिति में, प्रत्येक से 50 सेंट कमाते हैं। $ 1 शर्त। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक शर्त या कई दांव जीतते हैं या हारते हैं, लेकिन केवल तभी जब आपके पास लागतों की शांति से क्षतिपूर्ति करने के लिए पर्याप्त नकदी हो। यदि आप इसी तरह से दांव लगाना जारी रखते हैं, तो लंबी अवधि में आपकी जीत व्यक्तिगत थ्रो में आपकी उम्मीदों के योग तक पहुंच जाएगी।

हर बार जब आप सबसे अच्छे परिणाम के साथ एक शर्त लगाते हैं (एक शर्त जो लंबे समय में लाभदायक हो सकती है), जब ऑड्स आपके पक्ष में हैं, तो आप निश्चित रूप से उस पर कुछ जीतेंगे, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप हार गए इस हाथ में है या नहीं। इसके विपरीत, यदि आप सबसे खराब परिणाम के साथ एक शर्त लगाते हैं (एक शर्त जो लंबे समय में लाभदायक नहीं है), जब ऑड्स आपके पक्ष में नहीं हैं, तो आप कुछ खो रहे हैं चाहे आप दिए गए हाथ में जीतें या हारें।

यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप सर्वोत्तम परिणाम के साथ एक शर्त लगाते हैं, और यदि ऑड्स आपके पक्ष में हैं तो यह सकारात्मक है। सबसे खराब परिणाम के साथ दांव लगाते समय, आप नकारात्मक उम्मीद रखते हैं, जो तब होता है जब ऑड्स आपके खिलाफ होते हैं। गंभीर जुआरी केवल सर्वोत्तम परिणाम के साथ दांव लगाते हैं; सबसे खराब स्थिति में, वे गुना करते हैं। ऑड्स का आपके पक्ष में क्या मतलब है? आप वास्तविक बाधाओं से अधिक जीत हासिल कर सकते हैं। टेल आने की वास्तविक संभावना 1 से 1 है, लेकिन दांव के अनुपात के कारण आपको 2 से 1 मिल रहा है। इस मामले में संभावनाएं आपके पक्ष में हैं। 50 सेंट प्रति दांव की सकारात्मक उम्मीद के साथ आपको निश्चित रूप से सबसे अच्छा परिणाम मिलेगा।

यहां अपेक्षित मूल्य का अधिक जटिल उदाहरण दिया गया है। आपका दोस्त एक से पांच तक की संख्या लिखता है और आपके $ 1 के खिलाफ $ 5 की शर्त लगाता है कि आप छिपी हुई संख्या का निर्धारण नहीं करेंगे। क्या आपको ऐसी शर्त के लिए सहमत होना चाहिए? यहाँ क्या उम्मीद है?

औसतन, आप चार बार गलत होंगे। इसके आधार पर, आपके द्वारा संख्या का अनुमान लगाने की संभावना 4 से 1 है। संभावना यह है कि आप एक प्रयास में एक डॉलर खो देते हैं। हालाँकि, आप 5 से 1 जीतते हैं, यदि आप 4 से 1 हार सकते हैं। तो ऑड्स आपके पक्ष में हैं, आप दांव लगा सकते हैं और बेहतर परिणाम की उम्मीद कर सकते हैं। यदि आप यह दांव पांच बार लगाते हैं, तो आप औसतन चार गुना $ 1 खो देंगे और $ 5 एक बार जीतेंगे। इसके आधार पर, सभी पांच प्रयासों के लिए, आप प्रति दांव 20 सेंट के सकारात्मक अपेक्षित मूल्य के साथ $ 1 अर्जित करेंगे।

एक खिलाड़ी जो दांव से अधिक जीतने वाला है, जैसा कि ऊपर के उदाहरण में है, बाधाओं को पकड़ता है। इसके विपरीत, जब वह दांव से कम जीतने की उम्मीद करता है तो वह बाधाओं को बर्बाद कर देता है। बेट लगाने वाले खिलाड़ी की या तो सकारात्मक या नकारात्मक अपेक्षा हो सकती है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि वह ऑड्स को पकड़ता है या बर्बाद करता है।

यदि आप जीतने की 4 से 1 संभावना के साथ $ 10 जीतने के लिए $ 50 का दांव लगाते हैं, तो आपको $ 2 की नकारात्मक उम्मीद मिलेगी, क्योंकि औसतन, आप $ 10 का चार गुना जीतते हैं और $ 50 एक बार हारते हैं, जो दर्शाता है कि एक शर्त के लिए नुकसान $ 10 है। लेकिन अगर आप $30 जीतने के लिए $10 की शर्त लगाते हैं, 4 से 1 जीतने की समान संभावना के साथ, तो इस मामले में आपको $ 2 की सकारात्मक उम्मीद है, क्योंकि आप $ 10 के लिए चार बार फिर से जीतते हैं और $ 10 के लाभ के लिए एक बार $ 30 खो देते हैं। इन उदाहरणों से पता चलता है कि पहला दांव खराब है और दूसरा अच्छा है।

उम्मीद किसी भी खेल की स्थिति का केंद्र है। जब एक सट्टेबाज फुटबॉल प्रशंसकों को $ 10 जीतने के लिए $ 11 की शर्त लगाने के लिए प्रोत्साहित करता है, तो उन्हें प्रत्येक $ 10 के लिए 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद होती है। यदि कैसिनो क्रेप्स में पासिंग लाइन से समान पैसे का भुगतान करता है, तो कैसीनो की सकारात्मक अपेक्षा प्रत्येक $ 100 के लिए लगभग $ 1.40 है, क्योंकि इस गेम को इस तरह से संरचित किया गया है कि हर कोई जो इस लाइन पर दांव लगाता है वह औसतन 50.7% खो देता है और कुल समय का 49.3% जीत जाता है। निस्संदेह, यह प्रतीत होता है कि न्यूनतम सकारात्मक अपेक्षा है जो दुनिया भर के कैसीनो मालिकों के लिए भारी मुनाफा लाती है। जैसा कि वेगास वर्ल्ड कैसीनो के मालिक बॉब स्टुपक ने टिप्पणी की, "एक लंबी पर्याप्त दूरी पर एक प्रतिशत नकारात्मक संभावना का एक हजारवां हिस्सा दुनिया के सबसे अमीर आदमी को बर्बाद कर देगा।"

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा के सिद्धांत और गुणों का उपयोग करने के मामले में पोकर का खेल सबसे अधिक उदाहरण और उदाहरण है।

पोकर में अपेक्षित मूल्य एक विशेष समाधान से औसत लाभ है, बशर्ते कि इस तरह के समाधान को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे के भीतर माना जा सकता है। एक सफल पोकर गेम हमेशा सकारात्मक उम्मीद के साथ कदमों को स्वीकार करने के बारे में है।

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा का गणितीय अर्थ यह है कि निर्णय लेते समय हम अक्सर यादृच्छिक चरों में आते हैं (हमें नहीं पता कि हमारे प्रतिद्वंद्वी के हाथों में कौन से कार्ड हैं, कौन से कार्ड बाद के बेटिंग राउंड में आएंगे)। हमें प्रत्येक समाधान पर बड़ी संख्या के सिद्धांत के दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए, जिसमें कहा गया है कि पर्याप्त रूप से बड़े नमूने के साथ, एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के अनुरूप होगा।

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए विशेष सूत्रों में, पोकर में निम्नलिखित सबसे अधिक लागू होता है:

पोकर खेलते समय, दांव और कॉल दोनों के लिए अपेक्षित मूल्य की गणना की जा सकती है। पहले मामले में, फोल्ड इक्विटी को ध्यान में रखा जाना चाहिए, दूसरे में - पॉट की अपनी बाधाओं को। एक चाल की गणितीय अपेक्षा का मूल्यांकन करते समय, याद रखें कि एक गुना में हमेशा शून्य अपेक्षा होती है। इस प्रकार, किसी भी नकारात्मक कदम की तुलना में कार्ड छोड़ना हमेशा अधिक लाभदायक निर्णय होगा।

उम्मीद आपको बताती है कि आप जोखिम वाले प्रत्येक डॉलर के लिए आप क्या उम्मीद कर सकते हैं (लाभ या हानि)। केसिनो पैसे कमाते हैं क्योंकि उन सभी खेलों की अपेक्षा कैसीनो के पक्ष में होती है। खेलों की पर्याप्त लंबी श्रृंखला के साथ, कोई उम्मीद कर सकता है कि ग्राहक अपना पैसा खो देगा, क्योंकि "संभावना" कैसीनो के पक्ष में है। हालांकि, पेशेवर कैसीनो खिलाड़ी अपने खेल को कम समय तक सीमित रखते हैं, जिससे उनके पक्ष में संभावनाएं बढ़ जाती हैं। वही निवेश के लिए जाता है। यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप कम समय में कई ट्रेड करके अधिक पैसा कमा सकते हैं। उम्मीद औसत लाभ से आपके लाभ का प्रतिशत गुणा करके औसत नुकसान से आपके नुकसान की संभावना को गुणा किया जाता है।

पोकर को गणितीय अपेक्षा के संदर्भ में भी देखा जा सकता है। आप मान सकते हैं कि एक निश्चित चाल लाभदायक है, लेकिन कुछ मामलों में यह सबसे अच्छे से दूर हो सकता है, क्योंकि एक और कदम अधिक लाभदायक है। मान लें कि आपने पांच-कार्ड ड्रा पोकर में एक पूरा घर मारा है। आपका प्रतिद्वंद्वी दांव लगाता है। आप जानते हैं कि यदि आप अपनी बोली बढ़ाते हैं, तो वह उत्तर देगा। इसलिए, उठाना सबसे अच्छी रणनीति की तरह दिखता है। लेकिन अगर आप बेट बढ़ाते हैं, तो बाकी के दो खिलाड़ी जरूर फोल्ड हो जाएंगे। लेकिन अगर आप कॉल करेंगे तो आपको पूरा यकीन हो जाएगा कि आपके बाद दो और खिलाड़ी भी ऐसा ही करेंगे। जब आप बेट बढ़ाते हैं, तो आपको एक यूनिट मिलती है, लेकिन केवल कॉल करने पर - दो। इस प्रकार, बराबरी करना आपको एक उच्च सकारात्मक गणितीय अपेक्षा देता है और यह सबसे अच्छी रणनीति है।

गणितीय अपेक्षा इस बात का भी अंदाजा लगा सकती है कि पोकर में कौन सी रणनीति कम लाभदायक है और कौन सी अधिक। उदाहरण के लिए, एक निश्चित हाथ खेलते समय, आप मानते हैं कि आपके नुकसान का औसत 75 सेंट होगा, जिसमें एंट्स भी शामिल है, तो यह हाथ खेला जाना चाहिए क्योंकि यह फोल्डिंग से बेहतर है जब पूर्व $ 1 हो।

गणितीय अपेक्षा के सार को समझने का एक अन्य महत्वपूर्ण कारण यह है कि यह आपको शांति की भावना देता है कि आपने शर्त जीती है या नहीं: यदि आपने समय पर एक अच्छा दांव या मोड़ लिया है, तो आपको पता चल जाएगा कि आपने एक निश्चित राशि अर्जित की है या बचाई है पैसे की, जिसे कमजोर खिलाड़ी नहीं बचा सका। यदि आप इस बात से परेशान हैं कि आपके प्रतिद्वंद्वी ने एक्सचेंज पर एक मजबूत हाथ बना लिया है, तो इसे मोड़ना अधिक कठिन है। इस सब के साथ, जो पैसा आपने बिना खेले, सट्टेबाजी के बजाय बचाया, वह आपकी जीत में प्रति रात या प्रति माह जुड़ जाता है।

बस याद रखें कि यदि आपने अपना हाथ बदल दिया है, तो आपका विरोधी आपको कॉल करेगा, और जैसा कि आप "पोकर की मौलिक प्रमेय" लेख में देखेंगे, यह आपके लाभों में से एक है। ऐसा होने पर आपको खुश होना चाहिए। आप हारने वाले हाथ का आनंद लेना भी सीख सकते हैं, क्योंकि आप जानते हैं कि आपके स्थान पर अन्य खिलाड़ियों ने और भी बहुत कुछ खो दिया होगा।

जैसा कि शुरुआत में सिक्का-खेल के उदाहरण में बताया गया है, प्रति घंटा वापसी की दर अपेक्षित मूल्य से संबंधित है, और यह अवधारणा पेशेवर खिलाड़ियों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। जब आप पोकर खेलने जा रहे हों, तो आपको मानसिक रूप से यह अनुमान लगाना होगा कि आप एक घंटे के खेल में कितना जीत सकते हैं। ज्यादातर मामलों में, आपको अपने अंतर्ज्ञान और अनुभव पर भरोसा करने की आवश्यकता होगी, लेकिन आप कुछ गणित का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप ड्रा लोबॉल खेल रहे हैं और आप देखते हैं कि तीन खिलाड़ी $ 10 की शर्त लगाते हैं और फिर दो कार्डों का आदान-प्रदान करते हैं, जो एक बहुत ही खराब रणनीति है, आप सोच सकते हैं कि हर बार जब वे $ 10 की शर्त लगाते हैं, तो वे लगभग $ 2 खो देते हैं। उनमें से प्रत्येक इसे एक घंटे में आठ बार करता है, जिसका अर्थ है कि तीनों प्रति घंटे लगभग $ 48 का नुकसान करते हैं। आप शेष चार खिलाड़ियों में से एक हैं, जो लगभग बराबर हैं, इसलिए इन चार खिलाड़ियों (और आप उनमें से) को $ 48 का विभाजन करना होगा, और प्रत्येक लाभ $ 12 प्रति घंटा होगा। इस मामले में आपकी प्रति घंटा की दर केवल एक घंटे में तीन खराब खिलाड़ियों द्वारा खोए गए धन का आपका हिस्सा है।

एक लंबी अवधि में, खिलाड़ी का कुल भुगतान व्यक्तिगत हाथों में उसकी गणितीय अपेक्षाओं का योग होता है। जितना अधिक आप सकारात्मक उम्मीद के साथ खेलते हैं, उतना ही आप जीतते हैं, और इसके विपरीत, आप जितने अधिक नकारात्मक उम्मीद वाले हाथ खेलते हैं, उतना ही आप हारते हैं। परिणामस्वरूप, आपको एक ऐसा खेल चुनना चाहिए जो आपकी सकारात्मक उम्मीदों को अधिकतम कर सके या नकारात्मक को नकार सके ताकि आप अपनी प्रति घंटा जीत को अधिकतम कर सकें।

खेल रणनीति में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा

यदि आप कार्डों की गिनती करना जानते हैं, तो आप कैसीनो पर बढ़त प्राप्त कर सकते हैं यदि वे इसे नहीं देखते हैं और आपको बाहर निकाल देते हैं। कैसीनो नशे में जुआरी से प्यार करते हैं और कार्ड काउंटर नहीं खड़े हो सकते हैं। लाभ आपको समय के साथ हारने की तुलना में अधिक बार जीतने की अनुमति देगा। गणितीय अपेक्षा गणनाओं का उपयोग करके अच्छा धन प्रबंधन आपको अपने लाभ से अधिक लाभ उठाने और हानियों को कम करने में मदद कर सकता है। एक लाभ के बिना, आप दान में पैसे दान करने से बेहतर हैं। स्टॉक एक्सचेंज पर ट्रेडिंग में, गेम सिस्टम द्वारा लाभ दिया जाता है, जो नुकसान, मूल्य अंतर और कमीशन की तुलना में अधिक लाभ पैदा करता है। धन प्रबंधन की कोई भी राशि खराब गेमिंग सिस्टम को नहीं बचाएगी।

एक सकारात्मक अपेक्षा शून्य से अधिक मूल्य द्वारा परिभाषित की जाती है। यह संख्या जितनी बड़ी होगी, सांख्यिकीय अपेक्षा उतनी ही मजबूत होगी। यदि मान शून्य से कम है, तो गणितीय अपेक्षा भी ऋणात्मक होगी। ऋणात्मक मान का मापांक जितना बड़ा होगा, स्थिति उतनी ही खराब होगी। यदि परिणाम शून्य है, तो उम्मीद टूट जाती है। आप तभी जीत सकते हैं जब आपके पास सकारात्मक गणितीय अपेक्षा, खेल की एक उचित प्रणाली हो। अंतर्ज्ञान से खेलने से आपदा आती है।

उम्मीद और विनिमय व्यापार

वित्तीय बाजारों में विनिमय व्यापार के कार्यान्वयन में गणितीय अपेक्षा काफी व्यापक रूप से मांग और लोकप्रिय सांख्यिकीय संकेतक है। सबसे पहले, इस पैरामीटर का उपयोग किसी व्यापार की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि दिए गए मूल्य जितना अधिक होगा, अध्ययन किए गए व्यापार को सफल मानने का कारण उतना ही अधिक होगा। बेशक, केवल इस पैरामीटर की मदद से किसी ट्रेडर के काम का विश्लेषण नहीं किया जा सकता है। हालांकि, गणना मूल्य, काम की गुणवत्ता का आकलन करने के अन्य तरीकों के संयोजन में, विश्लेषण की सटीकता में काफी सुधार कर सकता है।

गणितीय अपेक्षा की गणना अक्सर व्यापारिक खातों की निगरानी की सेवाओं में की जाती है, जो आपको जमा पर किए गए कार्य का शीघ्रता से आकलन करने की अनुमति देती है। अपवाद के रूप में, कोई ऐसी रणनीतियों का हवाला दे सकता है जो लाभहीन ट्रेडों के "बैठने" का उपयोग करती हैं। एक व्यापारी कुछ समय के लिए भाग्यशाली हो सकता है, और इसलिए, उसके काम में, बिल्कुल भी नुकसान नहीं हो सकता है। इस मामले में, केवल अपेक्षा से नेविगेट करना संभव नहीं होगा, क्योंकि कार्य में उपयोग किए जाने वाले जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाएगा।

बाजार पर व्यापार में, व्यापारिक रणनीति की लाभप्रदता की भविष्यवाणी करते समय या अपने पिछले ट्रेडों के सांख्यिकीय आंकड़ों के आधार पर किसी व्यापारी की आय की भविष्यवाणी करते समय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

धन प्रबंधन के संदर्भ में, यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि नकारात्मक अपेक्षा के साथ व्यापार करते समय, कोई धन प्रबंधन योजना नहीं है जो निश्चित रूप से उच्च लाभ ला सके। यदि आप इन शर्तों के तहत स्टॉक एक्सचेंज में खेलना जारी रखते हैं, तो आप अपने पैसे का प्रबंधन कैसे भी करें, आप अपना पूरा खाता खो देंगे, चाहे वह शुरुआत में कितना भी बड़ा क्यों न हो।

यह स्वयंसिद्ध न केवल नकारात्मक अपेक्षा वाले खेलों या ट्रेडों के लिए सही है, यह समान बाधाओं वाले खेलों के लिए भी सही है। इसलिए, एकमात्र मामला जहां आपको लंबी अवधि में लाभ का मौका मिलता है, जब आप सकारात्मक अपेक्षित मूल्य के साथ सौदे करते हैं।

नकारात्मक अपेक्षा और सकारात्मक अपेक्षा के बीच का अंतर जीवन और मृत्यु के बीच का अंतर है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अपेक्षा कितनी सकारात्मक या कितनी नकारात्मक है; क्या मायने रखता है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक। इसलिए, धन प्रबंधन के मुद्दों पर विचार करने से पहले, आपको सकारात्मक उम्मीद के साथ एक खेल खोजना चाहिए।

यदि आपके पास ऐसा कोई खेल नहीं है, तो दुनिया में कोई भी राशि प्रबंधन आपको नहीं बचाएगा। दूसरी ओर, यदि आपके पास सकारात्मक उम्मीद है, तो आप अच्छे धन प्रबंधन के माध्यम से इसे एक घातीय वृद्धि समारोह में बदल सकते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक अपेक्षा कितनी कम है! दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एकल अनुबंध व्यापार प्रणाली कितनी लाभदायक है। यदि आपके पास एक प्रणाली है जो एक व्यापार पर $ 10 प्रति अनुबंध जीतती है (कमीशन और स्लिपेज में कटौती के बाद), तो आप इसे एक सिस्टम की तुलना में अधिक लाभदायक बनाने के लिए धन प्रबंधन तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं जो प्रति व्यापार $ 1000 का औसत लाभ दिखाता है (कटौती के बाद) कमीशन और फिसलन)।

महत्वपूर्ण यह नहीं है कि प्रणाली कितनी लाभदायक थी, बल्कि यह कितना निश्चित है कि यह प्रणाली भविष्य में कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाएगी। इसलिए, एक व्यापारी जो सबसे महत्वपूर्ण तैयारी कर सकता है, वह यह सुनिश्चित करना है कि सिस्टम भविष्य में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा दिखाता है।

भविष्य में एक सकारात्मक गणितीय अपेक्षा रखने के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप अपने सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित न करें। यह न केवल अनुकूलित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या को समाप्त या कम करके प्राप्त किया जाता है, बल्कि यथासंभव अधिक से अधिक सिस्टम नियमों को कम करके भी प्राप्त किया जाता है। आपके द्वारा जोड़े गए प्रत्येक पैरामीटर, आपके द्वारा बनाए गए प्रत्येक नियम, आपके द्वारा सिस्टम में किए गए प्रत्येक छोटे परिवर्तन, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को कम कर देता है। आदर्श रूप से, आपको एक काफी आदिम और सरल प्रणाली बनाने की जरूरत है जो लगभग किसी भी बाजार में लगातार छोटे लाभ उत्पन्न करेगी। फिर, यह महत्वपूर्ण है कि आप यह समझें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सिस्टम कितना लाभदायक है, जब तक यह लाभदायक है। ट्रेडिंग में आप जो पैसा कमाते हैं वह प्रभावी धन प्रबंधन के माध्यम से अर्जित किया जाएगा।

एक व्यापार प्रणाली केवल एक उपकरण है जो आपको सकारात्मक गणितीय अपेक्षा देता है ताकि धन प्रबंधन का उपयोग किया जा सके। सिस्टम जो केवल एक या कुछ बाजारों में काम करते हैं (कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाते हैं), या अलग-अलग बाजारों के लिए अलग-अलग नियम या पैरामीटर हैं, सबसे अधिक संभावना वास्तविक समय में लंबे समय तक काम नहीं करेगी। अधिकांश तकनीक-प्रेमी व्यापारियों के साथ समस्या यह है कि वे व्यापार प्रणाली के विभिन्न नियमों और पैरामीटर मूल्यों को अनुकूलित करने में बहुत अधिक समय और प्रयास खर्च करते हैं। यह बिल्कुल विपरीत परिणाम देता है। ट्रेडिंग सिस्टम के मुनाफे को बढ़ाने के लिए ऊर्जा और कंप्यूटर का समय बर्बाद करने के बजाय, अपनी ऊर्जा को न्यूनतम लाभ कमाने की विश्वसनीयता के स्तर को बढ़ाने पर केंद्रित करें।

यह जानते हुए कि धन प्रबंधन केवल एक संख्यात्मक खेल है जिसमें सकारात्मक अपेक्षाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, एक व्यापारी स्टॉक ट्रेडिंग के "पवित्र कब्र" की तलाश करना बंद कर सकता है। इसके बजाय, वह अपनी ट्रेडिंग पद्धति का परीक्षण शुरू कर सकता है, पता लगा सकता है कि यह तरीका कितना तार्किक है, क्या यह सकारात्मक उम्मीदें देता है। किसी भी, यहां तक ​​​​कि औसत दर्जे के व्यापारिक तरीकों पर लागू होने वाली सही धन प्रबंधन विधियां, शेष कार्य स्वयं ही करेंगी।

किसी भी व्यापारी को अपने काम में सफल होने के लिए तीन सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को हल करना आवश्यक है: सुनिश्चित करें कि सफल सौदों की संख्या अपरिहार्य गलतियों और गलत अनुमानों से अधिक है; अपना ट्रेडिंग सिस्टम सेट करें ताकि जितनी बार संभव हो पैसा कमाने का अवसर मिले; अपने कार्यों के सकारात्मक परिणाम की स्थिरता प्राप्त करने के लिए।

और यहां हम, कामकाजी व्यापारी, गणितीय अपेक्षा से मदद कर सकते हैं। संभाव्यता के सिद्धांत में यह शब्द प्रमुखों में से एक है। इसकी सहायता से आप एक निश्चित यादृच्छिक मान का औसत अनुमान दे सकते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समान है यदि हम विभिन्न द्रव्यमान वाले बिंदुओं के रूप में सभी संभावित संभावनाओं की कल्पना करते हैं।

जैसा कि एक व्यापारिक रणनीति पर लागू होता है, इसकी प्रभावशीलता का आकलन करने के लिए, लाभ (या हानि) की गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इस पैरामीटर को लाभ और हानि के दिए गए स्तरों के उत्पादों के योग और उनके घटित होने की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, विकसित ट्रेडिंग रणनीति मानती है कि सभी परिचालनों का 37% लाभ लाएगा, और शेष - 63% - लाभहीन होगा। वहीं, एक सफल सौदे से औसत आय 7 डॉलर होगी और औसत नुकसान 1.4 डॉलर होगा। आइए निम्नलिखित प्रणाली का उपयोग करके व्यापार की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

इस अंक का क्या अर्थ है? इसमें कहा गया है कि, इस प्रणाली के नियमों का पालन करते हुए, हमें औसतन प्रत्येक बंद व्यापार से $1.708 प्राप्त होंगे। चूंकि प्राप्त दक्षता अनुमान शून्य से अधिक है, इसलिए वास्तविक कार्य के लिए ऐसी प्रणाली का अच्छी तरह से उपयोग किया जा सकता है। यदि, गणना के परिणामस्वरूप, गणितीय अपेक्षा नकारात्मक हो जाती है, तो यह पहले से ही औसत नुकसान की बात करता है और ऐसा व्यापार बर्बादी की ओर ले जाएगा।

प्रति व्यापार लाभ की मात्रा को सापेक्ष मूल्य के रूप में% के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

- प्रति 1 सौदे में आय का प्रतिशत - 5%;

- सफल व्यापारिक संचालन का प्रतिशत - 62%;

- प्रति 1 सौदे में नुकसान का प्रतिशत - 3%;

- असफल लेनदेन का प्रतिशत - 38%;

यानी औसत ट्रेड 1.96 फीसदी पैदा करेगा।

एक ऐसी प्रणाली विकसित करना संभव है, जो लाभहीन ट्रेडों की व्यापकता के बावजूद, सकारात्मक परिणाम देगी, क्योंकि इसका MO> 0 है।

हालांकि, अकेले इंतजार करना काफी नहीं है। अगर सिस्टम बहुत कम ट्रेडिंग सिग्नल देता है तो पैसा कमाना मुश्किल है। इस मामले में, इसकी लाभप्रदता बैंक ब्याज के बराबर होगी। प्रत्येक लेनदेन को औसतन केवल $ 0.50 दें, लेकिन क्या होगा यदि सिस्टम प्रति वर्ष 1000 लेनदेन मानता है? यह अपेक्षाकृत कम समय में बहुत गंभीर राशि होगी। यह तार्किक रूप से इसका अनुसरण करता है कि एक अच्छी ट्रेडिंग सिस्टम की एक और विशिष्ट विशेषता को होल्डिंग पोजीशन की एक छोटी अवधि माना जा सकता है।

स्रोत और लिंक

dic.academic.ru - अकादमिक इंटरनेट शब्दकोश

math.ru - गणित में शैक्षिक साइट

nsu.ru - नोवोसिबिर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी की शैक्षिक वेबसाइट

webmath.ru छात्रों, आवेदकों और स्कूली बच्चों के लिए एक शैक्षिक पोर्टल है।

exponenta.ru शैक्षिक गणितीय वेबसाइट

ru.tradimo.com - मुफ्त ऑनलाइन ट्रेडिंग स्कूल

Crypto.hut2.ru - एक बहु-विषयक सूचना संसाधन

poker-wiki.ru - पोकर का मुक्त विश्वकोश

sernam.ru - चयनित प्राकृतिक विज्ञान प्रकाशनों का वैज्ञानिक पुस्तकालय

reshim.su - वेबसाइट आइए पाठ्यक्रम नियंत्रण कार्यों को हल करें

unfx.ru - यूएनएफएक्स में विदेशी मुद्रा: प्रशिक्षण, व्यापारिक संकेत, विश्वास प्रबंधन

slovopedia.com - स्लोवोपीडिया का बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

pokermansion.3dn.ru - पोकर वर्ल्ड के लिए आपका गाइड

statanaliz.info - सूचना ब्लॉग "सांख्यिकीय डेटा विश्लेषण"

forex-trader.rf - विदेशी मुद्रा-व्यापारी पोर्टल

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अपेक्षित मूल्य

फैलावनिरंतर यादृच्छिक चर X, जिसके संभावित मान संपूर्ण ऑक्स अक्ष से संबंधित हैं, समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

सेवा उद्देश्य... ऑनलाइन कैलकुलेटर उन समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिनमें या तो वितरण घनत्व f (x), या वितरण फलन F (x) (उदाहरण देखें)। आमतौर पर ऐसे कार्यों में आपको खोजने की आवश्यकता होती है गणितीय अपेक्षा, मानक विचलन, फलन f (x) और F (x) के आलेखों का निर्माण.

निर्देश। स्रोत डेटा के प्रकार का चयन करें: घनत्व वितरण f (x) या वितरण फ़ंक्शन F (x)।

वितरण घनत्व f (x) दिया गया है:

वितरण फलन F (x) दिया गया है:

संभाव्यता घनत्व द्वारा एक सतत यादृच्छिक चर दिया जाता है
(रेले वितरण कानून - रेडियो इंजीनियरिंग में प्रयुक्त)। एम (एक्स), डी (एक्स) खोजें।

यादृच्छिक चर X कहलाता है निरंतर यदि इसका वितरण फलन F (X) = P (X .)< x) непрерывна и имеет производную.
एक निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किसी दिए गए अंतराल में एक यादृच्छिक चर को मारने की संभावनाओं की गणना करने के लिए किया जाता है:
पी (α< X < β)=F(β) - F(α)
और एक सतत यादृच्छिक चर के लिए यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसकी सीमाएं इस अंतराल में शामिल हैं या नहीं:
पी (α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
वितरण का घनत्व निरंतर यादृच्छिक चर को फ़ंक्शन कहा जाता है
f (x) = F '(x), वितरण फलन का अवकलज।

वितरण घनत्व गुण

1. एक यादृच्छिक चर के वितरण का घनत्व x के सभी मानों के लिए गैर-ऋणात्मक (f (x) 0) है।
2. सामान्यीकरण की स्थिति:

सामान्यीकरण की स्थिति का ज्यामितीय अर्थ: वितरण घनत्व वक्र के तहत क्षेत्र एक के बराबर है।
3. α से β के अंतराल में एक यादृच्छिक चर X से टकराने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

ज्यामितीय रूप से, एक निरंतर यादृच्छिक चर X के अंतराल (α, β) में गिरने की संभावना इस अंतराल के आधार पर वितरण घनत्व वक्र के तहत वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर होती है।
4. वितरण फलन को घनत्व के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

बिंदु x पर वितरण घनत्व का मान इस मान को स्वीकार करने की संभावना के बराबर नहीं है; एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, हम केवल एक निश्चित अंतराल में गिरने की संभावना के बारे में बात कर सकते हैं। रहने दो )