दशमलव को साधारण के रूप में कैसे दर्शाया जाए। एक साधारण अंश को दशमलव में बदलना और इसके विपरीत, नियम, उदाहरण। दशमलव अंशों को अंशों में बदलना

इस लेख में, हम विश्लेषण करेंगे कि कैसे साधारण अंशों को दशमलव अंशों में परिवर्तित करनाऔर भी विचार करें रिवर्स प्रक्रिया - दशमलव अंशों को साधारण अंशों में बदलना। यहां हम भिन्नों के व्युत्क्रम के लिए नियमों को आवाज देंगे और विशिष्ट उदाहरणों के लिए विस्तृत समाधान देंगे।

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दशमलव में भिन्नता परिवर्तित करना

हम उस क्रम को निरूपित करते हैं जिसमें हम निपटेंगे साधारण अंशों को दशमलव अंशों में परिवर्तित करना.

सबसे पहले, हम देखेंगे कि हर 10, 100, 1,000, ... वाले साधारण भिन्नों को दशमलव अंशों के रूप में कैसे दर्शाया जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि दशमलव अंश अनिवार्य रूप से हर 10, 100,… के साथ सामान्य अंश लिखने का एक कॉम्पैक्ट रूप है।

उसके बाद हम आगे बढ़ेंगे और यह दिखाएंगे कि दशमलव अंश के रूप में किसी भी साधारण अंश (केवल 10, 100, ...) के साथ कैसे लिखें। भिन्नों का यह रूपांतरण परिमित दशमलव अंश और अनंत आवधिक दशमलव अंश दोनों पैदा करता है।

अब क्रम में सब कुछ के बारे में।

दशमलव, 10, 100, ... के साथ साधारण भिन्नों को दशमलव अंशों में बदलना

कुछ नियमित सामान्य अंशों को दशमलव अंशों में बदलने से पहले "प्रारंभिक तैयारी" की आवश्यकता होती है। यह साधारण अंशों पर लागू होता है, जिसके अंश में अंकों की संख्या हर में शून्य की संख्या से कम होती है। उदाहरण के लिए, साधारण अंश 2/100 को पहले दशमलव अंश में रूपांतरण के लिए तैयार किया जाना चाहिए, और अंश 9/10 की तैयारी की आवश्यकता नहीं है।

दशमलव अंशों में अनुवाद के लिए नियमित साधारण अंशों की "प्रारंभिक तैयारी" को अंश में बाईं ओर इतनी संख्या में शून्य जोड़ना है ताकि कुल अंकों की संख्या भाजक में शून्य की संख्या के बराबर हो जाए। उदाहरण के लिए, शून्य जोड़ने के बाद, एक अंश जैसा दिखेगा।

सही सामान्य अंश तैयार करने के बाद, आप इसे दशमलव अंश में परिवर्तित करना शुरू कर सकते हैं।

चलो हम देते है 10, या 100, या 1,000, ... के दशमलव के साथ एक नियमित अंश बदलने के लिए नियम... इसमें तीन चरण होते हैं:

• लिखना 0;
• इसके बाद हमने एक दशमलव बिंदु रखा;
• हम अंश से संख्या को जोड़ते हैं (साथ में जोड़ा शून्य, अगर हमने उन्हें जोड़ा)।

आइए उदाहरणों को हल करते समय इस नियम के आवेदन पर विचार करें।

उदाहरण।

नियमित अंश 37/100 को दशमलव में बदलें।

फेसला।

हर में 100 नंबर होता है, जिसमें दो शून्य होते हैं। अंश में संख्या 37 होती है, इसमें दो अंक होते हैं, इसलिए, इस अंश को दशमलव अंश में परिवर्तित करने के लिए तैयार होने की आवश्यकता नहीं है।

अब हम 0 लिखते हैं, दशमलव बिंदु लगाते हैं, और संख्या 37 को अंश से लिखते हैं, और हमें दशमलव अंश 0.37 मिलता है।

उत्तर:

0,37 .

अंक 10, 100, ... दशमलव अंशों में नियमित साधारण अंशों के अनुवाद के कौशल को समेकित करने के लिए, हम एक और उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

दशमलव अंश के रूप में सही अंश 107/10 000 000 लिखिए।

फेसला।

अंश में अंकों की संख्या 3 है, और हर में शून्य की संख्या 7 है, इसलिए इस साधारण अंश को दशमलव में रूपांतरण के लिए तैयार करने की आवश्यकता है। हमें अंश में 7-3 \u003d 4 शून्य को बाईं ओर जोड़ने की आवश्यकता है ताकि कुल अंकों की संख्या भाजक में शून्य की संख्या के बराबर हो जाए। हमें मिलता है।

यह वांछित दशमलव अंश की रचना करने के लिए रहता है। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम नीचे 0 लिखते हैं, दूसरे, हम एक अल्पविराम लगाते हैं, और तीसरा, हम शून्य से 0000107 के साथ अंश से संख्या को लिखते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमारे पास एक दशमलव अंश 0.0000107 है।

उत्तर:

0,0000107 .

दशमलव में परिवर्तित होने पर अनियमित भिन्नों को तैयारी की आवश्यकता नहीं होती है। निम्नलिखित का पालन किया जाना चाहिए दशमलव १०, १००, ... के साथ अनियमित साधारण अंशों को दशमलव अंशों में परिवर्तित करने के नियम:

• अंक से नीचे संख्या लिखें;
• हम दशमलव बिंदु को दाईं ओर के कई अंकों को अलग करते हैं क्योंकि मूल अंश के हर में शून्य होते हैं।

आइए एक उदाहरण को हल करते समय इस नियम के अनुप्रयोग का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

अनियमित सामान्य अंश 56 888 038 009/100 000 को दशमलव अंश में बदलें।

फेसला।

सबसे पहले, हम संख्या को 56888038009 से नीचे लिखते हैं, और दूसरी बात, हम दशमलव बिंदु 5 अंक को दाईं ओर अलग करते हैं, क्योंकि मूल अंश के हर में 5 शून्य हैं। नतीजतन, हमारे पास एक दशमलव अंश 568 880.38009 है।

उत्तर:

568 880,38009 .

मिश्रित संख्या को दशमलव अंश में बदलने के लिए, जिसके भिन्न भाग के भाजक का मान 10, या 100, या 1,000, ... है, आप मिश्रित संख्या को अनुचित सामान्य भिन्न में बदल सकते हैं, जिसके बाद परिणामी अंश को दशमलव अंश में परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन आप निम्नलिखित का उपयोग कर सकते हैं दशमलव भाग में 10, या 100, या 1,000, ... के मिश्रित के साथ मिश्रित संख्याओं को बदलने के लिए नियम:

• यदि आवश्यक हो, तो हम मूल मिश्रित संख्या के अंश के आंशिक भाग की "प्रारंभिक तैयारी" करते हैं, अंश में बाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ते हैं;
• मूल मिश्रित संख्या के पूरे भाग को लिखें;
• दशमलव बिंदु लगाओ;
• संख्या में शून्य से जोड़ के साथ संख्या लिखें।

एक उदाहरण पर विचार करें, जिसे हल करने में हम एक दशमलव संख्या के रूप में मिश्रित संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए सभी आवश्यक कदमों का प्रदर्शन करेंगे।

उदाहरण।

मिश्रित संख्या को दशमलव में बदलें।

फेसला।

भिन्नात्मक भाग के हर में 4 शून्य होते हैं, अंश में संख्या 17 होती है, जिसमें 2 अंक शामिल होते हैं, इसलिए, हमें अंश में दो शून्य को बाईं ओर जोड़ने की आवश्यकता होती है, ताकि भाजक में संख्याओं की संख्या शून्य के बराबर हो जाए। ऐसा करने से, अंक 0017 होगा।

अब हम मूल संख्या के पूरे भाग को लिखते हैं, अर्थात् संख्या 23, एक दशमलव बिंदु डालते हैं, जिसके बाद हम संख्या के साथ संख्या को जोड़कर शून्य के साथ लिखते हैं, अर्थात् 0017, और हमें वांछित दशमलव भाग 00.0017 मिलता है।

आइए संक्षेप में संपूर्ण समाधान लिखें: .

निस्संदेह, मिश्रित संख्या को अनुचित अंश के रूप में दर्शाना पहले संभव था, और फिर इसे दशमलव अंश में बदल दिया। इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखता है:।

उत्तर:

23,0017 .

साधारण अंशों को परिमित और अनंत आवधिक दशमलव में परिवर्तित करना

10, 100, ... के साथ केवल साधारण भिन्न नहीं, लेकिन अन्य भाजक के साथ साधारण भिन्न को दशमलव अंश में परिवर्तित किया जा सकता है। अब हम यह पता लगाएंगे कि यह कैसे किया जाता है।

कुछ मामलों में, मूल सामान्य अंश 10, या 100, या 1,000 में से एक को आसानी से कम कर दिया जाता है, ... (नए भाजक के लिए सामान्य अंश की कमी देखें), जिसके बाद दशमलव अंश के रूप में परिणामी अंश का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल नहीं है। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि अंश 2/5 को 10 के हर के साथ एक अंश तक घटाया जा सकता है, इसके लिए आपको अंश और हर को 2 से गुणा करना होगा, जो कि अंश को 4/10 देगा, जो कि पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों के अनुसार, दशमलव अंश 0 में आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है। ४।

अन्य मामलों में, आपको एक साधारण अंश को दशमलव में बदलने के एक अलग तरीके का उपयोग करना होगा, जिसे अब हम बदल देते हैं।

साधारण अंश को दशमलव अंश में बदलने के लिए, अंश के अंश को भाजक से विभाजित किया जाता है, अंश को दशमलव बिंदु के बाद किसी भी संख्या के शून्य के साथ बराबर दशमलव अंश से बदला जाता है (हमने खंड और समान और असमान दशमलव अंश में इस बारे में बात की थी)। इस मामले में, विभाजन को उसी तरह से किया जाता है जैसे विभाजन प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा किया जाता है, और भागफल में पूर्णांक के भाग के विभाजन को समाप्त होने पर एक दशमलव बिंदु रखा जाता है। यह सब नीचे के उदाहरणों के समाधान से स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण।

सामान्य अंश 621/4 को दशमलव में बदलें।

फेसला।

हम दशमलव संख्या के रूप में अंश 621 में संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, एक दशमलव बिंदु और उसके बाद कुछ शून्य जोड़ते हैं। शुरू करने के लिए, हम 2 अंक 0 जोड़ते हैं, बाद में, यदि आवश्यक हो, तो हम हमेशा अधिक शून्य जोड़ सकते हैं। तो, हमारे पास 621.00 हैं।

अब 4 से 621,000 का कॉलम विभाजन करते हैं। पहले तीन चरण एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने से अलग नहीं हैं, जिसके बाद हम निम्नलिखित चित्र पर आते हैं:

इसलिए हम डिविडेंड में दशमलव बिंदु पर पहुंच गए, और शेष नॉनजेरो है। इस मामले में, हम भागफल में एक दशमलव बिंदु रखते हैं, और एक कॉलम के साथ विभाजन जारी रखते हैं, अल्पविराम की अनदेखी करते हैं:

यह विभाजन को पूरा करता है, और परिणामस्वरूप, हमें एक दशमलव अंश 155.25 मिला, जो मूल साधारण अंश से मेल खाता है।

उत्तर:

155,25 .

सामग्री को मजबूत करने के लिए, दूसरे उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

सामान्य अंश 21/800 को दशमलव में बदलें।

फेसला।

इस सामान्य अंश को दशमलव में बदलने के लिए, हम दशमलव अंश 21,000 के कॉलम ... 800 से विभाजित करेंगे। पहले चरण के बाद, हमें भागफल में एक दशमलव बिंदु रखना होगा, और फिर विभाजन जारी रखना होगा:

अंत में, हमें 0 का शेष भाग मिला, साधारण अंश के 21/400 के दशमलव अंश के इस रूपांतरण पर, और हम दशमलव अंश 0.02625 पर आ गए।

उत्तर:

0,02625 .

ऐसा हो सकता है कि अंश को साधारण अंश के हर से विभाजित करते समय, हम अभी भी शेष 0 प्राप्त नहीं करते हैं। इन मामलों में, जब तक आप चाहें तब तक विभाजन जारी रखा जा सकता है। हालांकि, एक निश्चित कदम से शुरू होने पर, बाएं को समय-समय पर दोहराया जाता है, और भागफल में संख्या भी दोहराई जाती है। इसका अर्थ है कि मूल अंश एक अनंत आवधिक दशमलव अंश में बदल जाता है। इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं।

उदाहरण।

दशमलव अंश के रूप में 19/44 अंश लिखिए।

फेसला।

साधारण अंश को दशमलव में बदलने के लिए, हम स्तंभ विभाजन करते हैं:

यह पहले से ही स्पष्ट है कि विभाजन के दौरान अवशेष 8 और 36 दोहराए जाने लगे हैं, जबकि भागफल में संख्या 1 और 8 दोहराई जाती है। इस प्रकार, मूल साधारण अंश 19/44 एक आवधिक दशमलव अंश 0.43181818 ... \u003d 0.43 (18) में बदल जाता है।

उत्तर:

0,43(18) .

इस अनुच्छेद के अंत में, हम यह पता लगाएंगे कि कौन से साधारण अंशों को अंतिम दशमलव अंशों में परिवर्तित किया जा सकता है, और जो - केवल आवधिक लोगों में।

आइए हमारे सामने एक इर्रिदेबल साधारण अंश है (यदि अंश रद्द होता है, तो हम पहले अंश की कमी को पूरा करते हैं), और हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि इसे किस दशमलव अंश में बदला जा सकता है - एक अंतिम या आवधिक एक।

यह स्पष्ट है कि यदि एक साधारण अंश को हर 10, 100, 1,000, ... में से किसी एक में घटाया जा सकता है, तो परिणामी अंश को पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों के अनुसार आसानी से अंतिम दशमलव अंश में बदला जा सकता है। लेकिन हर 10, 100, 1,000, आदि के लिए। सभी साधारण अंशों से दूर हैं। इस तरह के हर को केवल भिन्नों तक ही कम किया जा सकता है, जिसके भाजक 10, 100, ... की संख्याओं में से कम से कम एक होते हैं ... और संख्याओं को 10, 100, ... के विभाजक कहा जा सकता है? संख्या 10, 100,… हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति देगा, और वे इस प्रकार हैं: 10 \u003d 2 · 5, 100 \u003d 2 · 2 · 5 · 5, 1,000 \u003d 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5,…। यह इस प्रकार है कि भाजक 10, 100, 1,000 आदि हैं। केवल वही संख्याएँ हो सकती हैं जिनके अभाज्य गुणनखंडों में केवल संख्याएँ 2 और (या) 5 हों।

अब हम साधारण अंशों को दशमलव अंशों में बदलने के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

• यदि भाजक के मुख्य कारकों में विस्तार में केवल संख्या 2 और (या) 5 हैं, तो इस अंश को अंतिम दशमलव अंश में बदला जा सकता है;
• यदि, दो और पत्नियों के अलावा, अन्य प्रमुख संख्या हर के विस्तार में मौजूद हैं, तो यह अंश अनंत दशमलव आवधिक अंश में बदल जाता है।

उदाहरण।

साधारण अंशों को दशमलव में परिवर्तित किए बिना, मुझे बताएं कि 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 में से कौन सा अंश अंतिम दशमलव अंश में परिवर्तित हो सकता है, और जो - केवल एक आवधिक के लिए।

फेसला।

47/20 के हर का मुख्य गुणनखण्ड 20 \u003d 2 · 2 · 5 है। इस विस्तार में केवल दो और पांच हैं, इसलिए इस अंश को 10, 100, 1,000, ... (इस उदाहरण में, हर 100 तक) में से एक में घटाया जा सकता है, इसलिए, इसे अंतिम दशमलव अंश में परिवर्तित किया जा सकता है।

7/12 के भाजक का मुख्य गुणनखण्ड 12 \u003d 2 · 2 · 3 है। चूंकि इसमें 2 और 5 के अलावा 3 का एक प्रमुख कारक है, इस अंश को अंतिम दशमलव अंश के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है, लेकिन इसे एक आवधिक दशमलव अंश में बदला जा सकता है।

अंश 21/56 सिकुड़ा हुआ है, संकुचन के बाद यह फॉर्म 3/8 लेता है। प्रमुख कारकों में हर के गुणन में 2 के बराबर तीन कारक होते हैं, इसलिए, साधारण अंश 3/8, और इसलिए इसके बराबर 21/56 का अंश, अंतिम दशमलव अंश में परिवर्तित किया जा सकता है।

अंत में, 31/17 अंश के हर का विस्तार 17 ही है, इसलिए, इस अंश को अंतिम दशमलव अंश में नहीं बदला जा सकता है, लेकिन इसे एक अनंत आवधिक अंश में परिवर्तित किया जा सकता है।

उत्तर:

47/20 और 21/56 को अंतिम दशमलव में परिवर्तित किया जा सकता है, और 7/12 और 31/17 को केवल आवधिक में परिवर्तित किया जा सकता है।

अंश अनंत गैर-आवधिक दशमलव में परिवर्तित नहीं होते हैं

पिछले पैराग्राफ में जानकारी सवाल उठाती है: "हर के अंश के अंश को विभाजित करने पर एक अनंत गैर-आवधिक अंश प्राप्त किया जा सकता है?"

जवाब न है। एक साधारण अंश का अनुवाद करते समय, आप या तो परिमित दशमलव अंश या अनंत आवधिक दशमलव अंश प्राप्त कर सकते हैं। आइए हम बताते हैं कि ऐसा क्यों है।

शेष के साथ विभाज्यता पर प्रमेय से यह स्पष्ट है कि शेष हमेशा भाजक से कम होता है, अर्थात् यदि हम किसी पूर्णांक q द्वारा कुछ पूर्णांक को विभाजित करते हैं, तो शेष संख्या 0, 1, 2,…, q - 1 में से केवल एक हो सकती है। यह निम्नानुसार है कि भाजक q के साधारण अंश के पूर्णांक के पूर्णांक वाले भाग के विभाजन के बाद, q चरणों से अधिक नहीं, निम्न दो स्थितियों में से एक उत्पन्न होगी:

• या हमें 0 का शेष भाग मिलेगा, इस विभाजन पर समाप्त हो जाएगा, और हमें अंतिम दशमलव अंश मिलेगा;
• या हमें एक शेष राशि मिलेगी जो पहले ही प्रकट हो चुकी है, जिसके बाद पिछले उदाहरण के रूप में अवशेष दोहराए जाने लगेंगे (चूंकि q द्वारा समान संख्याओं को विभाजित करते हुए, समान अवशेष प्राप्त किए जाते हैं, जो पहले से उल्लेखित विभाजन प्रमेय से निम्नानुसार है), इसलिए एक अनंत आवधिक दशमलव अंश प्राप्त किया जाएगा।

कोई अन्य विकल्प नहीं हो सकता है, इसलिए, जब एक साधारण अंश को दशमलव अंश में परिवर्तित करते हैं, तो एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

इस पैराग्राफ में दिए गए तर्क से यह भी इस प्रकार है कि दशमलव अंश की अवधि हमेशा संबंधित सामान्य अंश के हर के मान से कम होती है।

दशमलव अंशों को अंशों में बदलना

अब आइए जानें कि दशमलव को साधारण अंश में कैसे परिवर्तित किया जाए। आइए अंतिम दशमलव अंशों को अंशों में परिवर्तित करके शुरू करें। उसके बाद, अनंत आवधिक दशमलव अंशों को निकालने की विधि पर विचार करें। अंत में, आइए, अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों को साधारण अंशों में परिवर्तित करने की असंभवता के बारे में बताते हैं।

अंतिम दशमलव अंशों को भिन्न में बदलना

एक साधारण अंश प्राप्त करना काफी आसान है, जिसे अंतिम दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है। अंतिम दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए नियम तीन चरण होते हैं:

• सबसे पहले, दिए गए दशमलव अंश को अंश में लिखें, पहले दशमलव बिंदु और बाईं ओर सभी शून्य को छोड़ दिया है, यदि कोई हो;
• दूसरी बात, हर में एक इकाई लिखिए और उसमें जितने शून्य जोड़िए, उतने ही अंक मूल दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद होंगे;
• तीसरा, यदि आवश्यक हो, परिणामी अंश को कम करें।

आइए उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

दशमलव 3.025 को अंश में बदलें।

फेसला।

यदि हम मूल दशमलव अंश में दशमलव बिंदु हटाते हैं, तो हमें संख्या 3 025 मिलती है। बाईं ओर कोई शून्य नहीं है जिसे हम त्याग देंगे। तो, वांछित अंश के अंश में, 3 025 लिखिए।

हम भाजक में संख्या 1 को लिखते हैं और दाईं ओर 3 शून्य जोड़ते हैं, क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद मूल दशमलव अंश में 3 अंक हैं।

इसलिए हमें सामान्य अंश 3 025/1000 मिला। यह अंश 25 तक रद्द किया जा सकता है .

उत्तर:

.

उदाहरण।

दशमलव अंश 0.0017 को एक सामान्य अंश में बदलें।

फेसला।

दशमलव बिंदु के बिना, मूल दशमलव अंश 00017 की तरह दिखता है, बाईं ओर शून्य को छोड़ने पर, हमें 17 नंबर मिलता है, जो वांछित साधारण अंश का अंश है।

हम भाजक में चार शून्य के साथ एक इकाई लिखते हैं, क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद मूल दशमलव अंश में 4 अंक होते हैं।

नतीजतन, हमारे पास 17/10 000 का एक साधारण अंश है। यह अंश अप्रतिबंधित है, और दशमलव अंश का साधारण से रूपांतरण पूर्ण है।

उत्तर:

.

जब मूल अंतिम दशमलव अंश का पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न होता है, तो इसे साधारण अंश को दरकिनार कर तुरंत मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है। चलो हम देते है अंतिम दशमलव को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए नियम:

• दशमलव बिंदु की संख्या को वांछित मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग के रूप में लिखा जाना चाहिए;
• अंश भाग के अंश में, आपको बाईं ओर से सभी शून्य को छोड़ने के बाद मूल दशमलव अंश के आंशिक भाग से प्राप्त संख्या लिखने की आवश्यकता है;
• भिन्नात्मक भाग के हर में, आपको संख्या 1 लिखने की आवश्यकता होती है, जिसमें दाईं ओर के रूप में कई शून्य जोड़ते हैं क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद मूल दशमलव अंश में अंक होते हैं;
• यदि आवश्यक हो, परिणामी मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग को कम करें।

आइए एक दशमलव को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

दशमलव 152.06005 को मिश्रित संख्या के रूप में भेजें

दशमलव अंश एक अंश होता है जिसमें हर 10 की एक प्राकृतिक शक्ति होती है। उदाहरण के लिए, यह एक अंश है। इस अंश को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है: अंश अंकों को एक स्ट्रिंग में लिखें और दाईं ओर एक अल्पविराम के साथ अलग करें, क्योंकि भाजक में शून्य हैं। :

इस तरह के रिकॉर्ड में, कॉमा के बाईं ओर के भाग पूरे भाग का निर्माण करते हैं, और कॉमा के दाईं ओर दिए गए दशमलव अंश के भिन्नात्मक भाग का निर्माण करते हैं।

पी / क्यू किसी भी सकारात्मक हो परिमेय संख्या... अंकगणित से, विभाजन प्रक्रिया अच्छी तरह से ज्ञात है, जो एक संख्या को दशमलव अंश के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है। विभाजन प्रक्रिया का सार यह है कि पहले पाएं में सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या q समाहित होती है; यदि p q का एक गुणक है, तो यह वह जगह है जहां विभाजन प्रक्रिया समाप्त होती है। अन्यथा, शेष दिखाई देता है। इसके बाद, वे पाते हैं कि इस शेष में कितने दसवां भाग q समाहित है, और इस चरण में प्रक्रिया समाप्त हो सकती है, या एक नया शेष दिखाई देता है। उत्तरार्द्ध मामले में, वे पाते हैं कि क्यू के कितने सौवां भाग इसमें निहित हैं, और इसी तरह।

यदि भाजक q में 2 या 5 के अलावा कोई अन्य प्रधान भाजक नहीं है, तो चरणों की एक सीमित संख्या के बाद शेष शून्य होगा, विभाजन की प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी और दिए गए अंश को अंतिम दशमलव अंश में बदल दिया जाएगा। दरअसल, इस मामले में, आप हमेशा एक पूर्णांक चुन सकते हैं जैसे कि किसी अंश के अंश और हर को गुणा करने के बाद, आपको एक समान अंश मिलता है, जिसमें भाजक दस की एक प्राकृतिक शक्ति का प्रतिनिधित्व करेगा। उदाहरण के लिए, ऐसा अंश है

जिसका प्रतिनिधित्व इस प्रकार किया जा सकता है:

हालांकि, इन परिवर्तनों को बनाने के बिना, भाजक द्वारा अंश को विभाजित करके, पाठक को एक ही परिणाम मिलेगा:

यदि किसी अप्रासंगिक अंश के हर में 2 या 5 के अलावा कम से कम एक प्रधान भाजक होता है, तो q द्वारा विभाजन की प्रक्रिया कभी समाप्त नहीं होगी (क्रमिक अवशेषों में से कोई भी गायब नहीं होगा)।

विभाजन करने के बाद, हम पाते हैं

इस उदाहरण में प्राप्त परिणाम को रिकॉर्ड करने के लिए, समय-समय पर अंक 0 और 6 को दोहराते हुए कोष्ठकों में संलग्न किया जाता है और लिखा जाता है:

इस उदाहरण में और इसी तरह के अन्य मामलों में, विभाजन कार्रवाई दशमलव के रूप में अंतिम परिणाम नहीं देती है। दशमलव अंश की अवधारणा को सामान्य बनाना संभव है, फिर भी यह कहना कि भागफल 965/132 को एक अनंत आवधिक अंश द्वारा दर्शाया जाता है। दोहराए गए संख्या 06 को इस अंश की अवधि कहा जाता है, और उनकी संख्या, जो हमारे उदाहरण के बराबर है, की अवधि है।

एक अंश की आवधिकता की घटना के कारण को समझने के लिए, आइए हम विश्लेषण करें, उदाहरण के लिए 7. विभाजन की प्रक्रिया। यदि विभाजन पूरी तरह से नहीं किया गया है, तो एक शेष दिखाई देता है, जिसमें निम्न में से केवल एक मान हो सकता है: 1, 2, 3, 4, 5, 6. और प्रत्येक पर अगले चरणों से शेष में फिर से इन छह मूल्यों में से एक होगा। इसलिए, सातवें चरण पर बाद में नहीं, हम अनिवार्य रूप से शेष के मूल्यों में से एक का सामना करेंगे, जो पहले ही सामने आ चुके हैं। इस बिंदु पर, विभाजन प्रक्रिया एक आवधिक चरित्र का अधिग्रहण करेगी। अवशिष्टों के मान और भागफल को समय-समय पर दोहराया जाएगा। यह तर्क किसी अन्य विभाजक पर लागू होता है।

इस प्रकार, किसी भी सामान्य अंश को परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश द्वारा दर्शाया जाता है। यह उल्लेखनीय है कि, इसके विपरीत, किसी भी आवधिक दशमलव अंश को एक साधारण अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। आइए दिखाते हैं कि यह क्रिया कैसे की जाती है। इस मामले में, एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है (धारा 92)।

इस प्रकार समझा जा सकता है:

यहाँ, दाईं ओर की शर्तें, दूसरे से शुरू होकर, हर के साथ अनंत ज्यामितीय प्रगति बनाती हैं और पहला शब्द

सूत्र का उपयोग करते हुए (92.2):

यह स्पष्ट है कि एक ही प्रक्रिया किसी भी दिए गए अनंत आवधिक अंश को एक साधारण अंश के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देगा (और, जैसा कि दिखाया जा सकता है, ठीक उसी से जिसमें विभाजन की प्रक्रिया में, यह अनंत आवधिक अंश प्राप्त होता है)। हालाँकि, एक अपवाद है। अंश पर विचार करें

और इसे एक साधारण अंश में परिवर्तित करने की प्रक्रिया पर लागू होते हैं:

हम 1/2 नंबर पर आए, जिसे अंतिम दशमलव अंश द्वारा दर्शाया गया है

जब भी किसी दिए गए अनंत अंश की अवधि के रूप में एक समान परिणाम प्राप्त होगा (9)। इसलिए, हम उदाहरण के लिए, संख्याओं के ऐसे जोड़ों की पहचान करते हैं,

कभी-कभी यह सूचनाओं को अनुमति देने के लिए भी उपयोगी होता है

अवधि (0) के साथ अनंत के रूप में औपचारिक रूप से परिमित दशमलव अंशों का प्रतिनिधित्व करना।

एक साधारण अंश को दशमलव आवधिक अंश में बदलने के बारे में जो कुछ भी कहा गया है और इसके विपरीत सकारात्मक तर्कसंगत संख्याओं को संदर्भित करता है। ऋणात्मक संख्या के मामले में, आप दो काम कर सकते हैं।

1) किसी दिए गए ऋणात्मक के विपरीत एक सकारात्मक संख्या लें, इसे दशमलव अंश में बदलें, और फिर इसके सामने एक शून्य चिह्न डालें। उदाहरण के लिए, 5/3 हमें मिलता है

2) इस ऋणात्मक परिमेय संख्या को इसके पूर्णांक भाग (ऋणात्मक) और इसके भिन्नात्मक भाग (गैर-ऋणात्मक) के योग के रूप में दर्शाया गया है, और फिर संख्या के इस भिन्नात्मक भाग को दशमलव अंश में परिवर्तित करें। उदाहरण के लिए:

उनके नकारात्मक पूर्णांक भाग और एक परिमित या अनंत दशमलव अंश के योग के रूप में प्रस्तुत संख्या लिखने के लिए, निम्नलिखित पदनाम को अपनाया जाता है (एक नकारात्मक संख्या लिखने का एक कृत्रिम रूप):

यहां माइनस साइन पूरे अंश के सामने नहीं, बल्कि उसके ऊपर होता है पूरा हिस्साइस बात पर जोर देने के लिए कि केवल पूर्णांक भाग ऋणात्मक है और दशमलव बिंदु का अनुसरण करने वाला भिन्नात्मक भाग सकारात्मक है।

यह अंकन सकारात्मक और नकारात्मक दशमलव अंशों के अंकन में एकरूपता बनाता है और भविष्य में दशमलव लघुगणक के सिद्धांत में उपयोग किया जाएगा (पृष्ठ 28)। अभ्यास के लिए, हम पाठक को उदाहरण में एक रिकॉर्ड से दूसरे रिकॉर्ड में संक्रमण की जांच करने का सुझाव देते हैं:

अब हम अंतिम निष्कर्ष तैयार कर सकते हैं: किसी भी परिमेय संख्या को अनंत दशमलव आवधिक अंश द्वारा दर्शाया जा सकता है, और, इसके विपरीत, ऐसा कोई भी अंश परिमेय संख्या को परिभाषित करता है। अंतिम दशमलव अंश भी अनंत दशमलव अंश के रूप में दो संकेतन की अनुमति देता है: एक अवधि (0) और एक अवधि (9) के साथ।

दशमलव अंश के रूप में परिमेय संख्या m / n लिखने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करने की आवश्यकता है। इस मामले में, भागफल को परिमित या अनंत दशमलव अंश में लिखा जाता है।

दी गई संख्या को दशमलव अंश के रूप में लिखिए।

फेसला। हर अंश के अंश को एक स्तंभ में विभाजित करें इसके हर के द्वारा: तथा) 25 से 6 विभाजित करें; ख) 2 को 3 से विभाजित करें; में) 1 को 2 से विभाजित करें, और फिर परिणामी अंश को एक - इस मिश्रित संख्या के पूरे भाग को असाइन करें।

इर्रिडिएबल साधारण फ्रैक्चर, जिनमें से सभी को छोड़कर अन्य प्रमुख कारक नहीं होते हैं 2 तथा 5 , अंतिम दशमलव अंश में लिखे गए हैं।

में उदाहरण 1 कब तथा) हर 25 \u003d 5 · 5; कब में) भाजक 2 है, इसलिए हमें अंतिम दशमलव 0.24 और 1.5 मिला। कब ख) हर 3 है, इसलिए परिणाम को अंतिम दशमलव अंश के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

क्या यह संभव है कि एक कॉलम में विभाजन के बिना, दशमलव अंश को ऐसे साधारण अंश में परिवर्तित किया जाए, जिसके हर में 2 और 5 के अलावा अन्य कारक न हों? चलो यह पता लगाने! क्या अंश एक दशमलव कहलाता है और एक आंशिक बार के बिना लिखा जाता है? उत्तर: हर 10 के साथ अंश; 100; 1000, आदि। और इनमें से प्रत्येक संख्या एक उत्पाद है बराबरी का "ट्वोस" और "फाइव्स" की संख्या। वास्तव में: 10 \u003d 2 · 5; 100 \u003d 2 5 2 5; 1000 \u003d 2 5 2 5 2 5, आदि।

नतीजतन, एक अप्रासंगिक साधारण अंश के हर को "ट्वोस" और "फाइव्स" के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए, और फिर 2 से गुणा किया जाएगा और (या) 5 से ताकि "ट्वोस" और "फाइव" बराबर हो जाएं। तब अंश का भाजक 10 या 100 या 1000 होगा, आदि। ताकि अंश का मान न बदले, हम अंश के अंश को उसी संख्या से गुणा करते हैं जिसके द्वारा हर को गुणा किया गया था।

दशमलव के रूप में निम्नलिखित अंशों को प्रस्तुत करें:

फेसला। इनमें से प्रत्येक भिन्नात्मक अप्रासंगिक है। आइए प्रत्येक अंश के हर को मुख्य कारकों में विभाजित करते हैं।

20 \u003d 2 2 5। निष्कर्ष: एक "पांच" गायब है।

\u003d २ २ २। निष्कर्ष: तीन "फाइव" गायब हैं।

२५ \u003d ५ ५। निष्कर्ष: दो "दो" गायब हैं।

टिप्पणी। व्यवहार में, वे अक्सर हर के कारक का उपयोग नहीं करते हैं, लेकिन बस सवाल पूछते हैं: भाजक को कितना गुणा करने की आवश्यकता है ताकि परिणाम शून्य (10 या 100 या 1000, आदि) के साथ एक इकाई हो। और फिर अंश को उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

तो, मामले में तथा) (उदाहरण 2) संख्या 20 से आप 100 को 5 से गुणा करके प्राप्त कर सकते हैं, इसलिए, 5 से आपको अंश और हर को गुणा करना होगा।

कब ख)(उदाहरण 2) संख्या 8 से 100 नंबर काम नहीं करेगा, लेकिन संख्या 1000 को 125 से गुणा किया जाएगा। अंश के 3 (3) और हर (8) दोनों को 125 से गुणा किया जाता है।

कब में) (उदाहरण 2) 25 में से आपको 100 मिलते हैं यदि आप 4 से गुणा करते हैं। इसलिए, अंश 8 को 4 से गुणा किया जाना चाहिए।

एक अनंत दशमलव अंश जिसमें एक या एक से अधिक अंक को एक ही क्रम में दोहराया जाता है, कहा जाता है सामयिकदशमलव अंश। दोहराव संख्याओं के संग्रह को इस अंश की अवधि कहा जाता है। संक्षिप्तता के लिए, अंश की अवधि को एक बार दर्ज किया जाता है, इसे कोष्ठक में संलग्न किया जाता है।

कब ख) (उदाहरण 1) दोहराव अंक एक और 6 के बराबर है। इसलिए, हमारा परिणाम 0.66 ... इस तरह लिखा जाएगा: 0, (6)। पढ़ें: शून्य अंक, एक अवधि में छह

यदि अल्पविराम और पहली अवधि के बीच एक या अधिक गैर-दोहराए जाने वाले अंक हैं, तो ऐसे आवधिक अंश को मिश्रित आवधिक अंश कहा जाता है।

एक अप्रासंगिक साधारण अंश, जिसका हर होता है दूसरों के साथ गुणक में कारक होता है 2 या 5 , बन जाता है मिश्रित आवधिक अंश।

दशमलव अंश के रूप में संख्याएँ लिखिए।

पहले से मौजूद प्राथमिक विद्यालय छात्रों का सामना भिन्नों से होता है। और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। आप इन नंबरों वाली कार्रवाइयों को नहीं भूल सकते। इसलिए, आपको साधारण और दशमलव अंशों के बारे में सभी जानकारी जानने की आवश्यकता है। ये अवधारणाएं सरल हैं, मुख्य बात क्रम में सब कुछ समझना है।

किसके लिए अंश हैं?

हमारे आस-पास की दुनिया में संपूर्ण वस्तुएं हैं। इसलिए, शेयरों की कोई आवश्यकता नहीं है। परंतु दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगी लगातार वस्तुओं और चीजों के साथ काम करने के लिए लोगों को धक्का देता है।

उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई स्लाइस होते हैं। ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां इसकी टाइल बारह आयतों द्वारा बनाई गई है। यदि आप इसे दो में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। वह तीन में अच्छी तरह से विभाजित हो जाएगी। लेकिन पांच पूरी तरह से चॉकलेट वेजेज नहीं दे पाएंगे।

वैसे, ये स्लाइस पहले से ही फ्रैक्चर हैं। और उनका आगे का विभाजन अधिक जटिल संख्याओं की उपस्थिति की ओर जाता है।

अंश क्या है?

यह एक संख्या है जो एक के कुछ हिस्सों से बना है। बाह्य रूप से, यह एक क्षैतिज या तिरछी रेखा द्वारा अलग किए गए दो नंबरों की तरह दिखता है। इस सुविधा को भिन्नात्मक कहा जाता है। शीर्ष (बाएं) पर लिखे गए अंक को अंश कहा जाता है। नीचे (दाएं) हर होता है।

वास्तव में, भिन्नात्मक पट्टी एक विभाजन संकेत है। यही है, अंश को विभाज्य कहा जा सकता है, और भाजक को भाजक कहा जा सकता है।

क्या अंश हैं?

गणित में, उनमें से केवल दो प्रकार हैं: साधारण और दशमलव अंश। पहले स्कूली बच्चों में मिलते हैं प्राथमिक ग्रेडउन्हें बस "अंश" कहना। दूसरा 5 वीं कक्षा में मान्यता देगा। यह तब है कि ये नाम दिखाई देते हैं।

साधारण अंश वे सभी होते हैं जो एक बार द्वारा अलग किए गए दो नंबरों के रूप में लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, 4/7। दशांश एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में स्थिति संकेतन होता है और इसे अल्पविराम द्वारा पूरे से अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4.7। छात्रों को यह स्पष्ट करने की आवश्यकता है कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग संख्या हैं।

प्रत्येक अंश को दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। यह कथन विपरीत दिशा में लगभग हमेशा सच है। ऐसे नियम हैं जो आपको एक साधारण अंश के साथ दशमलव अंश लिखने की अनुमति देते हैं।

इस प्रकार के भिन्नों की उप-प्रजातियाँ क्या हैं?

कालानुक्रमिक क्रम में शुरू करना बेहतर है क्योंकि उनका अध्ययन किया जाता है। भग्न पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियां प्रतिष्ठित की जा सकती हैं।

सही बात। इसका अंश हमेशा भाजक से कम होता है।

गलत। इसका अंश भाजक से अधिक या उसके बराबर होता है।

संविदात्मक / अप्रासंगिक। यह सही और गलत दोनों हो सकता है। एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि हर के साथ अंश के सामान्य कारक हैं। यदि हैं, तो वे अंश के दोनों भागों को विभाजित करने वाले हैं, अर्थात् इसे कम करने के लिए।

मिश्रित। पूर्णांक को इसके सामान्य सही (गलत) अंशों को सौंपा गया है। इसके अलावा, यह हमेशा बाईं ओर खड़ा होता है।

समग्र। यह एक दूसरे से अलग दो भिन्नों से बनता है। यानी एक साथ इसमें तीन भिन्नात्मक रेखाएँ होती हैं।

दशमलव अंशों में केवल दो उप-प्रजातियां होती हैं:

अंतिम, अर्थात्, वह अंश जिसमें अंश आंशिक होता है (अंत होता है);

अनंत - एक संख्या जिसका दशमलव बिंदु के बाद अंक समाप्त नहीं होता है (वे अंतहीन लिखा जा सकता है)।

दशमलव को भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह एक परिमित संख्या है, तो नियम के आधार पर संघ को लागू किया जाता है - जैसा कि मैंने सुना है, इसलिए मैं लिखता हूं। यही है, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और इसे लिखने की आवश्यकता है, लेकिन अल्पविराम के बिना, लेकिन एक भिन्नात्मक रेखा के साथ।

आवश्यक भाजक के बारे में संकेत के रूप में, आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि यह हमेशा एक और कई शून्य है। उत्तरार्द्ध को लिखा जाना चाहिए, क्योंकि प्रश्न में संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंक हैं।

दशमलव अंशों को साधारण अंशों में कैसे परिवर्तित किया जाए यदि उनका पूर्णांक भाग अनुपस्थित हो, अर्थात शून्य के बराबर हो? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05। निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चला है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन यह संकेत नहीं है। यह केवल आंशिक भागों को लिखने के लिए बना हुआ है। पहले नंबर में भाजक 10, दूसरा - 100 होगा। अर्थात्, दिए गए उदाहरणों की संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, यह पता चला है कि उत्तरार्द्ध को 5 से कम किया जा सकता है। इसलिए, इसके लिए परिणाम 1/20 लिखा जाना चाहिए।

दशमलव से एक साधारण अंश कैसे बनाया जाए यदि इसका पूर्णांक भाग नॉनजरो है? उदाहरण के लिए, 5.23 या 13.00108। दोनों उदाहरणों में, पूर्णांक भाग पढ़ा जाता है और इसका मूल्य लिखा जाता है। पहले मामले में यह है - 5, दूसरे में - 13. फिर आपको भिन्नात्मक भाग में जाने की आवश्यकता है। उन्हें उसी ऑपरेशन को अंजाम देना चाहिए। पहले नंबर पर 23/100, दूसरा - 108/100000 है। दूसरा मान फिर से घटाया जाना चाहिए। उत्तर निम्नलिखित मिश्रित अंश हैं: 5 23/100 और 13 27/25000।

अनंत दशमलव को भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन विफल हो जाएगा। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश को हमेशा अंतिम या आवधिक में अनुवाद किया जाता है।

केवल एक चीज जिसे आप इस तरह के अंश के साथ कर सकते हैं, वह है इसे गोल करना। लेकिन तब दशमलव लगभग उस अनंत के बराबर होगा। यह पहले से ही एक साधारण में बदल सकता है। लेकिन रिवर्स प्रक्रिया: दशमलव में परिवर्तित करना - कभी भी प्रारंभिक मूल्य नहीं देगा। यही है, अनंत गैर-आवधिक अंशों को सामान्य लोगों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। यह याद रखना चाहिए।

एक साधारण आवधिक अंश के रूप में अनंत आवधिक अंश कैसे लिखें?

इन नंबरों में, एक या अधिक अंक हमेशा दशमलव बिंदु के बाद दिखाई देते हैं, जिन्हें दोहराया जाता है। उन्हें एक अवधि कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 0.3 (3)। यहां "3" अवधि में। उन्हें तर्कसंगत के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, क्योंकि उन्हें अंशों में बदला जा सकता है।

जिन लोगों को समय-समय पर फ्रैक्चर हुए हैं, वे जानते हैं कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि अल्पविराम से तुरंत शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग किसी भी संख्या से शुरू होता है, और फिर पुनरावृत्ति शुरू होती है।

वह नियम जिसके द्वारा आपको एक साधारण अंश के रूप में एक अनंत दशमलव लिखने की आवश्यकता है, संकेतित दो प्रकार की संख्याओं के लिए अलग-अलग होगा। सामान्य लोगों के साथ शुद्ध आवधिक अंश लिखना काफी आसान है। अंतिम लोगों के साथ, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अवधि को अंश में लिखें, और हर संख्या 9 होगी, जितनी बार अवधि होती है।

उदाहरण के लिए, 0, (5)। संख्या में पूर्णांक भाग नहीं है, इसलिए आपको तुरंत आंशिक भाग के साथ शुरू करने की आवश्यकता है। अंक में 5 लिखें, और हर में एक। यही कारण है कि उत्तर 5/9 अंश होगा।

मिश्रित होने वाले साधारण दशमलव आवधिक अंश को लिखने के नियम।

अवधि की लंबाई को देखें। इतने 9 के पास हर होगा।

हर लिखें: पहले नाइन, फिर शून्य।

अंश को निर्धारित करने के लिए, आपको दो संख्याओं के बीच के अंतर को लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंक, साथ में, अवधि के साथ घटाए जाएंगे। घटाया - यह एक अवधि के बिना है।

उदाहरण के लिए, 0.5 (8) - एक साधारण के रूप में आवधिक दशमलव अंश लिखिए। अवधि से पहले आंशिक भाग में एक अंक होता है। तो शून्य एक होगा। अवधि में केवल एक संख्या भी है - 8. अर्थात्, केवल एक नौ है। यही है, आपको हर में 90 लिखने की आवश्यकता है।

58 से अंश का निर्धारण करने के लिए, आपको 5. घटाना होगा। यह 53 निकला है। उदाहरण के लिए, 53/90 लिखना होगा।

आम भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है?

सबसे सरल विकल्प एक संख्या के रूप में निकलता है, जिसका भाजक 10, 100 और इसी तरह है। तब भाजक को केवल त्याग दिया जाता है, और एक अल्पविराम को भिन्नात्मक और पूर्णांक भागों के बीच रखा जाता है।

ऐसी परिस्थितियाँ होती हैं जब भाजक आसानी से 10, 100 आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 20, 25। यह क्रमशः उन्हें 2, 5 और 4 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है। केवल हर को गुणक माना जाता है, लेकिन एक ही संख्या से अंश भी।

अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम काम में आता है: भाजक को अंश से विभाजित करें। इस मामले में, आपको उत्तर के लिए दो विकल्प मिल सकते हैं: एक अंतिम या एक आवधिक दशमलव अंश।

आंशिक क्रिया

जोड़ और घटाव

छात्र दूसरों से पहले उन्हें जान पाते हैं। इसके अलावा, पहले अंशों में समान भाजक होते हैं, और फिर वे भिन्न होते हैं। सामान्य नियम इस तरह की योजना को कम किया जा सकता है।

हर कम से कम कई गुणकों का पता लगाएं।

सभी सामान्य अंशों के लिए अतिरिक्त कारक लिखें।

उनके लिए परिभाषित कारकों द्वारा संख्या और हर को गुणा करें।

अंशों के अंशों को जोड़ें (घटाएं), और सामान्य हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

यदि घटाई जाने वाली संख्या का अंश घटाए जाने वाली संख्या से कम है, तो आपको यह पता लगाना होगा कि क्या हमारे पास मिश्रित संख्या है या एक नियमित अंश है।

पहले मामले में, पूरे हिस्से को एक पर कब्जा करने की आवश्यकता होती है। भाजक को अंश के अंश में जोड़ें। और फिर घटाव करें।

दूसरे में, छोटी संख्या से बड़े को घटाने का नियम लागू करना आवश्यक है। यही है, घटाए गए मापांक के घटते मापांक को घटाएं, और प्रतिक्रिया में संकेत "-" डालें।

जोड़ (घटाव) के परिणाम को ध्यान से देखें। यदि आपको एक गलत अंश मिलता है, तो यह पूरे भाग का चयन करना है। यही है, अंश को हर से विभाजित करें।

गुणन और भाग

उन्हें पूरा करने के लिए, अंशों को कम करने की आवश्यकता नहीं है आम विभाजक... इससे कार्रवाई करने में आसानी होती है। लेकिन उन्हें अभी भी नियमों का पालन करना होगा।

साधारण अंशों को गुणा करते समय, आपको संख्याओं और हर में संख्याओं पर विचार करने की आवश्यकता होती है। यदि किसी भी अंश और भाजक में एक समान कारक है, तो उन्हें रद्द किया जा सकता है।

अंकधारियों को गुणा करें।

हर को गुणा करें।

यदि आपको रद्द करने योग्य अंश मिलता है, तो इसे फिर से सरल किया जाना चाहिए।

विभाजित करते समय, आपको पहले विभाजन को गुणन के साथ बदलना होगा, और भाजक (दूसरा अंश) को पारस्परिक के साथ (अंश और हर को स्वैप करें)।

फिर गुणा (बिंदु 1 से शुरू) के रूप में आगे बढ़ें।

उन कार्यों में जहां आपको पूर्णांक द्वारा गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, बाद वाले को अनुचित अंश के रूप में लिखा जाना चाहिए। जो कि 1. के हर के साथ है। फिर ऊपर वर्णित अनुसार आगे बढ़ें।



दशमलव क्रिया

जोड़ और घटाव

बेशक, आप हमेशा दशमलव को एक अंश में बदल सकते हैं। और पहले से वर्णित योजना के अनुसार कार्य करने के लिए। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर उन्हें जोड़ने और घटाने के नियम बिल्कुल समान होंगे।

दशमलव बिंदु के बाद, संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंकों की संख्या को बराबर करें। इसमें शून्य संख्या की अनुपलब्धता जोड़ें।

अंश लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम से नीचे हो।

प्राकृतिक संख्याओं के रूप में जोड़ें (घटाएँ)।

अल्पविराम निकालें।

गुणन और भाग

यह महत्वपूर्ण है कि आपको यहां शून्य जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरणों में दिए गए अंशों को छोड़ दिया जाना चाहिए। और फिर योजना के अनुसार चलें।

गुणा करने के लिए, आपको कॉमा पर ध्यान न देते हुए, एक के नीचे एक अंश लिखने की आवश्यकता है।

प्राकृतिक संख्या के रूप में गुणा करें।

उत्तर में अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाहिने छोर से गिनती के रूप में कई अंकों के रूप में वे दोनों कारकों के आंशिक भागों में हैं।

विभाजित करने के लिए, आपको पहले विभाजक को बदलने की आवश्यकता है: इसे बनाएं प्राकृतिक संख्या... यही है, विभाजक के अंश में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100, आदि से गुणा करें।

उसी संख्या से लाभांश को गुणा करें।

दशमलव को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

उत्तर में उस समय अल्पविराम लगाएं जब पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।



क्या होगा यदि एक उदाहरण में दोनों प्रकार के भिन्न होते हैं?

हां, गणित में, अक्सर ऐसे उदाहरण होते हैं जिनमें आपको साधारण और दशमलव अंशों पर कार्रवाई करने की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में, दो समाधान संभव हैं। आपको वस्तुनिष्ठ रूप से संख्याओं को तौलने और सर्वश्रेष्ठ चुनने की आवश्यकता है।

पहला तरीका: साधारण दशमलव का प्रतिनिधित्व करने के लिए

यह उपयुक्त है जब विभाजन या अनुवाद परिमित अंशों में परिणत होता है। यदि कम से कम एक संख्या आवधिक भाग देती है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, भले ही आप साधारण अंशों के साथ काम करना पसंद न करें, आपको उन्हें गिनना होगा।

दूसरा तरीका: दशमलव अंशों को साधारण के साथ लिखें

दशमलव बिंदु के बाद भाग में 1-2 अंक होने पर यह तकनीक सुविधाजनक हो जाती है। यदि उनमें से अधिक हैं, तो एक बहुत बड़ा सामान्य अंश निकल सकता है और दशमलव अंकन से कार्य को तेजी से और आसानी से गिनना संभव होगा। इसलिए, आपको हमेशा कार्य का मूल्यांकन करने और सबसे सरल समाधान विधि चुनने की आवश्यकता है।