कोई तर्कसंगत संख्या मान्य नहीं है। गणितीय तर्क के तत्व। विधेय बीजगणित की भाषा में सूचनाएं

समस्या 2.1

निम्नलिखित प्रतीकात्मक कथनों को शब्दों में व्यक्त करें यदि P (x) M पर निर्धारित एक अनिश्चित विधेय है:

समस्या 2.2

प्रेडिकेटेट A (x) के एक्सटर्नेशन का क्या होता है, जिसे असमानता x * x के रूप में परिभाषित किया गया है<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:

समस्या 2.3

R (x) "x-real संख्या" होने दें,

Q (x) एक "x -rational संख्या" है। इन प्रतीकों का उपयोग करते हुए, सूत्र लिखें:

1. सभी तर्कसंगत संख्याएं वास्तविक हैं

2. कोई तर्कसंगत संख्या वास्तविक नहीं है

3. कुछ तर्कसंगत संख्याएं वास्तविक हैं

4. कुछ तर्कसंगत संख्याएँ मान्य नहीं हैं

समस्या 2.4

निम्नलिखित विधेय पेश किए गए हैं:

J (x) - "x एक न्यायाधीश है",

L (x) - "x एक वकील है",

एस (एक्स) - "एक्स एक बदमाश है",

क्यू (एक्स) - "एक्स एक बूढ़ा आदमी है",

वी (एक्स) - "एक्स - हंसमुख",

P (x) - "x - राजनीतिज्ञ",

C (x) - "x संसद का सदस्य है",

डब्ल्यू (एक्स) - "एक्स एक महिला है",

U (x) - "x एक गृहिणी है",

A (x, y) - "x प्रशंसा करता है y",

जे - जोन्स।

मौखिक विवरण और सूत्रों के बीच एक मैच खोजें:

सभी जज वकील हैं

कुछ वकील बदमाश हैं

कोई भी न्यायाधीश बदमाश नहीं होता है

कुछ न्यायाधीश पुराने हैं, लेकिन हंसमुख हैं

जज जोन्स न तो बूढ़े हैं और न ही हंसमुख

सभी वकील जज नहीं हैं

कुछ वकील जो राजनेता हैं, संसद के सदस्य हैं

कोई सांसद नहीं जागा

संसद के सभी पुराने सदस्य वकील हैं

कुछ महिलाएं वकील और संसद सदस्य हैं

कोई भी महिला राजनेता और गृहिणी दोनों नहीं होती है

कुछ महिला वकील भी गृहिणी हैं

सभी महिलाएं वकील हैं, कुछ न्यायाधीशों की प्रशंसा करती हैं

कुछ वकील केवल न्यायाधीशों की प्रशंसा करते हैं

कुछ वकील महिलाओं की प्रशंसा करते हैं

कुछ बदमाश एक भी वकील की प्रशंसा नहीं करते

जज जोन्स कोई बदमाश की प्रशंसा करता है

जज जोन्स की प्रशंसा करने वाले वकील और बदमाश दोनों हैं

केवल न्यायाधीश ही न्यायाधीशों की प्रशंसा करते हैं

ए। $ x $ y (L (x) / \\ S (y) / \\ A (x, j) / \\ A (y, j) / \\ J (j):

बी "x (J (x) ®" y (A (x, y) ®J (y)))

सी। "x (C (x) ® ù" (x))

डी "x (C (x) / \\ Q (x) ®L (x))

इ। $ x (W (x) / \\ L (x) / \\ C (x))

एफ $ x (W (x) / \\ L (x) / \\ U (x))

जी "x (W (x )® ù (P (x) / \\ U (x)))

एच "x (W (x) / \\ L (x) ® $ y (J (y) / \\ A (x, y))

जे। "x (J (x) ®L (x))

क। $ x (L (x) / \\ $ y (W (y) / \\ A (x, y)))

एल $ x (L (x) / \\ S (x))

म। $ x (S (x) / \\ "y (L (y) / \\ (A (x, y)))

एन "x (J (x) ® (S (x))

ओ "x (J (j) / \\ ù A (j, x) / \\ S (x))

पी $ x (J (x) / \\ Q (x) / \\ "(x))

प्र $ x (L (x) / \\ $ y (W (y) / \\ A (x, y)))

आर J (i) / \\ ù Q (j) / \\ ("(j)

एस L "x (L (x )®J (x))

टी $ x (L (x) / \\ P (x) / \\ C (x))

टास्क 2.5

निम्नलिखित वाक्यांशों को सूत्र भाषा में अनुवाद करें:

यदि कोई संख्या किसी संख्या से विभाज्य है, तो वह भी है

प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए ऐसा है कि प्रत्येक k के लिए, यदि k और 1 का योग y से कम है, तो x और 2 का योग 4 से कम है

एक समान संख्या है जो किसी भी संख्या से विभाज्य है, यदि वह किसी भी संख्या में है - प्रधान

a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक किसी भी सामान्य भाजक द्वारा विभाज्य है

किसी भी संख्या के अभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक है कि यह किसी विषम संख्या से विभाजित न हो

किसी भी वास्तविक संख्या के लिए एक बड़ी वास्तविक संख्या होती है

वास्तविक संख्याएँ x, y, k ऐसी हैं कि संख्याएँ x और y का योग संख्याएँ x और k के उत्पाद से अधिक है।

यदि कारकों की एक परिमित संख्या का उत्पाद 0 है, तो कम से कम एक कारक 0 है

टास्क 2.6

निम्नलिखित विधेय पेश किए गए हैं:

P (x) - "x एक अभाज्य संख्या है"

E (x) - "x एक सम संख्या है"

O (x) - "x एक विषम संख्या है"

D (x, y) - "y x से विभाज्य है"

सूत्रों का रूसी में अनुवाद करें:

3. x (D (2, x )®E (x))

4. $ x (E (x) / \\ D (x, 6))

5. x ((E (x) ® 2 D (2, x))

6. "x (E (x) / \\" y (D (x, y )®E (y)))

7. (x (P (x) ® $ y (E (y) / \\ D (x, y)))

8. x (O (x) ® * y (P (y) ® x D (x, y)))

टास्क 2.7

निम्नलिखित समतुल्य सिद्ध करें:

1. "$ x (A (x )®B (x)) x®" x (A (x )® $ x B (x))

2. "$ x (A (x) $®B (x)) x®" x (A (x) \\ / B (x)) ® $ x (A (x) / \\ B (x)

समस्या 2.8

निम्नलिखित सूचनाओं को सिद्ध करें:

1. \u003d "x A (x) ® $ x A (x)

2. \u003d x "x A (x) x® $ x x A (x)

3. "$ x A (x) (® (" x x A (x)

समस्या 2.9

सही सामान्य रूप में विधेय भाव प्राप्त करें:

1. "x ((" y F (x, y) / \\ "y G (x, y, z)) \\ /" y $ z H (x, y, z))

2. $ x ($ ($ y P (x, y )® $ z Q (z )®R (x)))

समस्या 2.10

अभिव्यक्ति को सामान्य रूप में लाएँ:

"x (P (x) ® (" y (P (y )®P (f (x, y)))) / \\

/ \\, ("" y (Q (x, y )®P (y))))

समस्या 2.11

निम्न फ़ार्मुलों के लिए सत्य सारणी बनाएँ (विधेय दो तत्वों के समूह पर परिभाषित हैं):

1. x (P (x) ®Q) \\ / (Q / \\ P (y))

2. x (S (x) ®L) (® $ x (S (x) ®L)

3. "x $ y ((B (x) / \\ D (y)) \\ / (B (x) ®C)"

4. "x P (x) S®S) / \\ (P (y) \\ / S)

5. ($ x D (x) / \\ A) $® ($ x E (x) \\ / A)

6. ("x A (x )®Q) \\ / (Q® $ x A (x))

7. (A (y) \\ / Q) $® ($ x A (x) / \\ Q)

समस्या 2.12

दिया: डी \u003d (ए, बी), पी (ए) \u003d यू, पी (ए, बी) \u003d एल, पी (बी, ए) \u003d एल, पी (बी, बी) \u003d और सूत्रों के सत्य मूल्यों को निर्धारित करें:

1. "x $ y P (x, y)

2. $ x "y P \u200b\u200b(x, y)

3. "x" y (P (x, y )®P (y, x))

4. "x" y P (x, y)

5. $ y $ P (a, y)

7. "x $ y (P (x, y) / \\ P (y, x))

8. $ x "y (P (x, y )®P (y, x)) \\ / P (x, y)

समस्या 2.13

स्थिरता के लिए निम्नलिखित तर्क की जाँच करें:

हर छात्र ईमानदार है। जॉन ईमानदार नहीं है। इसलिए जॉन छात्र नहीं है।

सेंट फ्रांसिस को हर कोई प्यार करता है जो किसी को प्यार करता है। हर कोई किसी न किसी से प्यार करता है। इसलिए, हर कोई सेंट फ्रांसिस से प्यार करता है।

कोई भी जानवर अमर नहीं है। बिल्लियाँ जानवर हैं। इसका मतलब है कि कुछ बिल्लियां अमर नहीं हैं।

केवल पक्षियों के पंख होते हैं। कोई स्तनपायी पक्षी नहीं है। इसलिए, सभी स्तनधारी पंखों से रहित होते हैं।

सभी राजनेता अभिनेता हैं। कुछ कलाकार पाखंडी होते हैं। इसका मतलब है कि कुछ राजनेता पाखंडी हैं।

एक मूर्ख इसके लिए सक्षम होगा। मैं इसके लिए सक्षम नहीं हूं। तो मैं मूर्ख नहीं हूं।

अगर कोई भी इस समस्या को हल कर सकता है, तो कुछ गणितज्ञ कर सकते हैं। साशा एक गणितज्ञ है, लेकिन वह नहीं कर सकता। इसका मतलब है कि समस्या हल नहीं है।

कोई भी गणितज्ञ इस समस्या को हल कर सकता है अगर कोई इसे हल कर सकता है। साशा एक गणितज्ञ है, लेकिन वह हल नहीं कर सकता। इसका मतलब है कि समस्या अघुलनशील है।

जो कोई भी इस समस्या को हल कर सकता है वह एक गणितज्ञ है। साशा इसे हल नहीं कर सकती। इसलिए, साशा एक गणितज्ञ नहीं है।

जो कोई भी इस समस्या को हल कर सकता है वह एक गणितज्ञ है। कोई भी गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकता है। इसलिए, यह अघुलनशील है।

यदि कोई संख्या 1 और 101 के बीच कड़ाई से पड़ी हो तो 101 से विभाजित होती है, तो अभाज्य संख्या 11 से कम में विभाजित होती है 101। कोई अभाज्य संख्या 11 से कम में विभाजित नहीं होती है 101। इसलिए, 1 और 101 के बीच की कोई संख्या 101 से विभाजित नहीं होती है ...

यदि किसी दिए गए व्यक्ति के पूर्वज के प्रत्येक पूर्वज भी उसी व्यक्ति के पूर्वज हैं और कोई व्यक्ति स्वयं का पूर्वज नहीं है, तो कोई ऐसा व्यक्ति होना चाहिए जिसका कोई पूर्वज न हो।

किसी भी व्यक्ति के लिए एक ऐसा व्यक्ति होता है जो उससे उम्र में बड़ा होता है। यदि - x, y का वंशज है, तो x, y से अधिक पुराना नहीं है। सभी लोग आदम के वंशज हैं। इसलिए, आदम इंसान नहीं है।

किसी भी सेट x के लिए, एक y सेट है जैसे कि y की कार्डिनैलिटी x की कार्डिनैलिटी से अधिक है। यदि x को y में शामिल किया जाता है, तो x की कार्डिनैलिटी y की कार्डिनैलिटी से अधिक नहीं होती है। कोई भी सेट V में शामिल है। इसलिए, V एक सेट नहीं है।

सभी सरीसृपों में 4 पैर या कोई पैर नहीं है। मेंढक के 4 पैर हैं। तो वह सरीसृप है।

जो भी छात्र समय पर सत्र पास करता है उसे छात्रवृत्ति मिलती है। पेट्रोव को छात्रवृत्ति नहीं मिलती है। इसलिए, वह एक छात्र नहीं है।

सभी पक्षी अंडे देते हैं। कोई मगरमच्छ पक्षी नहीं है। नतीजतन, मगरमच्छ अंडे नहीं देते हैं।

यदि उसके सभी छात्र पहली कोशिश में परीक्षा पास कर लेते हैं, तो शिक्षक खुश होता है। कोई भी पहले प्रयास पर तर्क पारित नहीं कर सकता है। इसलिए, तर्क शिक्षक हमेशा दुखी रहता है।

प्रत्येक पांचवें वर्ष के छात्र को एक डिप्लोमा प्राप्त होता है यदि उसने सभी परीक्षाएं उत्तीर्ण की हैं। सभी को डिप्लोमा प्राप्त नहीं हुआ। इसका मतलब है कि किसी ने सभी परीक्षाएं पास नहीं कीं।

कोई भी आदमी कीड़े को पसंद नहीं करता है। मकड़ियों कीड़े नहीं हैं। तो कोई उनसे प्यार करता है।

सभी ड्राइंग शिक्षक पुरुष हैं। निचले ग्रेड के सभी पाठ महिलाओं द्वारा पढ़ाए जाते हैं। इसलिए, निचले ग्रेड में, ड्राइंग सिखाया नहीं जाता है।

हाई स्कूल से स्नातक करने वाला कोई भी व्यक्ति अंग्रेजी बोल सकता है। मुलर परिवार में कोई भी अंग्रेजी नहीं बोलता है। माध्यमिक शिक्षा के बिना लोगों को कॉलेज में भर्ती नहीं किया जाता है। नतीजतन, कोई भी म्यूलर्स कॉलेज नहीं जाता है।

सभी गैस स्टेशन लागत प्रभावी हैं। व्यंजनों की स्वीकृति के सभी बिंदु लाभहीन हैं। एक ही समय में एक उद्यम लाभदायक और लाभहीन दोनों नहीं हो सकता। इसलिए, कोई भी गैस स्टेशन बोतलों को स्वीकार नहीं करता है।

जो भी समझदार है वह गणित को समझ सकता है। टॉम का कोई भी बेटा गणित नहीं समझ सकता। पागल लोगों को वोट देने की अनुमति नहीं है। नतीजतन, टॉम के बेटों में से किसी को भी वोट देने की अनुमति नहीं है।

एन में हर हेयरड्रेसर उन सभी को और केवल उन लोगों को शेव करता है जो खुद को शेव नहीं करते हैं। इसलिए, एन में एक भी नाई नहीं है।

हर एथलीट मजबूत है। हर कोई जो मजबूत और स्मार्ट है वह जीवन में सफलता प्राप्त करता है। पीटर एक एथलीट है। पीटर होशियार है। इसलिए, वह जीवन में सफल होगा।

समस्या 2.14

मिस्ड परिसर या निष्कर्ष का पुनर्निर्माण करें ताकि निम्नलिखित तर्क तार्किक हो:

केवल बहादुर प्यार के योग्य हैं। वह प्यार में भाग्यशाली है। वह बहादुर नहीं है।

वयस्कों को केवल बच्चों के साथ अनुमति दी गई थी। उन्होंने मुझे अंदर जाने दिया। इसका मतलब है कि मैं या तो एक बच्चा हूं या मैं एक बच्चे के साथ आया हूं।

समस्या 2.15

निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

मन के अनुशासन को बेहतर बनाने के लिए डेटा संरचना का ज्ञान आवश्यक है;

केवल प्रोग्रामिंग अनुभव एक अनुशासित मन बना सकता है;

संकलक लिखने के लिए, किसी को कार्यों का विश्लेषण करने में सक्षम होना चाहिए;

एक अनुशासनहीन मन कार्यों का विश्लेषण नहीं कर सकता है;

जिस किसी ने भी संरचित कार्यक्रम लिखा है, उसे एक अनुभवी प्रोग्रामर माना जा सकता है।

क्या इन अनुमानों से यह निर्धारित करना संभव है कि निम्नलिखित कथनों की वैधता क्या है:

6. संकलक लिखने में सक्षम होने के लिए संरचित कार्यक्रमों को लिखने में अनुभव आवश्यक है;

7. डेटा संरचनाओं का ज्ञान प्रोग्रामिंग अनुभव का हिस्सा है;

8. डेटा संरचनाओं की उपेक्षा करने वालों के लिए कार्य विश्लेषण संभव नहीं है;

9. एक अनुभवी प्रोग्रामर जिसने संरचित कार्यक्रम लिखा है, समस्याओं का विश्लेषण करने में सक्षम है और एक अनुशासित दिमाग है, एक प्रोग्रामर है जो एक कंपाइलर लिख सकता है।

समस्या 2.16

सूत्रों के रूप में परिसर लिखें और निष्कर्ष की शुद्धता साबित करने के लिए सभी ज्ञात तरीकों को लागू करें।

Parcels: 1. ड्रैगन खुश है अगर उसके सभी बच्चे उड़ सकते हैं;

2. हरा ड्रैगन उड़ सकता है;

3. ड्रैगन हरा है अगर उसके माता-पिता में से कम से कम एक हरा है, अन्यथा यह उज्ज्वल गुलाबी है।

निष्कर्ष: 1. ग्रीन ड्रेगन खुश हैं।

2. चाइल्डलेस ड्रेगन खुश हैं (आपको यहां कुछ स्पष्ट मिस्ड परिसर की आवश्यकता हो सकती है)।

3. एक प्रसन्न गुलाबी अजगर को खुश रहने के लिए क्या करना चाहिए?

समस्या 2.17

विधेय और अंकगणितीय चिन्हों के लिए शुरू किए गए प्रतीकों का उपयोग करना (उदाहरण के लिए, "+" और "<"), перевести на язык формул:

1. यदि कारकों की एक परिमित संख्या का उत्पाद शून्य है, तो कम से कम कारकों में से एक शून्य है (Px का अर्थ "x एक कारक की परिमित संख्या का उत्पाद है", और Fxy - "x y के कारकों में से एक है")।

2. संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक a और b उनके किसी भी सामान्य भाजक द्वारा विभाजित है (Fxy का अर्थ है "x संख्या y के विभाजकों में से एक है", और Gxyz - "z संख्या x और y का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है")।

3. किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, एक बड़ा वास्तविक संख्या y (Rx) है।

4. वास्तविक संख्याएँ x, y, z हैं जैसे कि x और y की संख्या x और z के गुणनफल से अधिक है।

5. प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए ऐसा है कि प्रत्येक z के लिए, यदि z और 1 का योग y से कम है, तो x और 2 का योग 4 से कम है।

समस्या 2.18

A0, A1, ..., An, ... को वास्तविक संख्याओं का एक क्रम होने दें। प्रतीक के लिए विवश क्वांटिफायर का उपयोग करें:

1. कथन जो इस क्रम की सीमा है; 2. यह कथन कि इस अनुक्रम की एक सीमा है; 3. यह कथन कि यह अनुक्रम एक कौची अनुक्रम है (अर्थात, यदि 0\u003e 0 दिया गया है, तो एक सकारात्मक संख्या k मौजूद है जैसे n, m\u003e k का अर्थ है úAn - Amú< e).

प्रत्येक सूत्र का निषेध लिखिए।

समस्या 2.19

निम्नलिखित तर्क के अनुरूप निष्कर्ष निकालें:

कोई रिपब्लिकन या डेमोक्रेट समाजवादी नहीं है। नॉर्मन थॉमस एक समाजवादी हैं। इसलिए, वह एक रिपब्लिकन नहीं है।

हर तर्कसंगत संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। एक तर्कसंगत संख्या है। इसलिए, एक वास्तविक संख्या है।

कोई भी नवोदित व्यक्ति सोफ़े पसंद नहीं करता। डस्कॉम्बे में हर कोई परिष्कार है। इसलिए, कोई भी नया व्यक्ति डस्कॉम्बे में रहने वाले किसी व्यक्ति से प्यार नहीं करता है।

कुछ नए लोगों को सभी प्रकार के प्यार होते हैं। कोई भी नवसिखुआ किसी भी छात्र को पसंद नहीं करता है। इसलिए, कोई भी परिष्कार दूसरे से अंतिम वर्ष का छात्र नहीं है।

कुछ लोग एल्विस को पसंद करते हैं। कुछ लोग किसी को भी पसंद नहीं करते हैं जो एल्विस को पसंद करते हैं। नतीजतन, कुछ को हर किसी से प्यार नहीं है।

कोई भी ड्रग डीलर ड्रग एडिक्ट नहीं है। कुछ नशा करने वालों पर कार्रवाई की गई। इसलिए, जिन लोगों पर मुकदमा चला, उनमें से कुछ ड्रग डीलर नहीं हैं।

सभी नए लोगों के साथ सभी sophomores मिलते हैं। कोई भी फ्रेशमैन दूसरे से लेकर अंतिम वर्ष तक किसी भी छात्र से नहीं मिलता है। वहाँ सोमरस हैं। इसलिए, कोई भी परिष्कार दूसरे से अंतिम वर्ष का छात्र नहीं है।

सभी तर्कसंगत संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं। कुछ तर्कसंगत संख्या पूर्णांक हैं। नतीजतन, कुछ वास्तविक संख्या पूर्णांक हैं।

16. निम्नलिखित में से कौन सा वाक्य एक कथन है:

क) लोहा सीसे से भारी है;

बी) दलिया - एक स्वादिष्ट पकवान;

ग) गणित एक दिलचस्प विषय है;

d) आज मौसम खराब है।

17. निम्नलिखित में से कौन सा वाक्य एक गलत कथन है:

क) लोहा सीसे से भारी है;

बी) ऑक्सीजन - गैस;

ग) कंप्यूटर विज्ञान एक दिलचस्प विषय है;

d) लोहा सीसे से हल्का होता है।

18. उपरोक्त कथनों में से कौन सा कथन कथन की उपेक्षा है: "सभी अपराध विषम हैं":

क) "एक भी अभाज्य संख्या है";

बी) "एक अजीब अभाज्य संख्या है";

ग) "सभी अपराध समान हैं";

d) "सभी विषम संख्याएँ अभाज्य हैं"?

19. निम्न सत्य सारणी में कौन सा तार्किक संचालन निम्न के अनुरूप है:

ए) संयोजन;

ख) मतभेद;

ग) निहितार्थ;

घ) तुल्यता।

20. निम्नलिखित सत्य तालिका में कौन सा तार्किक संचालन निम्न के अनुरूप है:

क) तुल्यता;

बी) संयोजन;

ग) निहितार्थ;

घ) विघटन।

21. आइए एक कथन को निरूपित करें "यह त्रिकोण समद्विबाहु है", और जाने

बी - कहावत "यह त्रिकोण समबाहु है।" सही कहावत बताइए:

22. यदि कथनों A 1, A 2,… A n का समुच्चय है, जो कथनों के बीजगणित के सूत्र F (X 1, X 2, ..., X n) को सत्य कथन में बदल देता है, तो यह सूत्र कहलाता है:

क) संभव;

बी) टॉटोलॉजी;

ग) एक विरोधाभास;

d) प्रतिक्षेपनीय।

23. एक तानशास्त्र प्रपोजल बीजगणित एफ (एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन) का एक सूत्र है:

क) जो चर के सभी सेटों के लिए एक सच्चे कथन में बदल जाता है;

b) जिसके लिए बयानों का एक समूह है जो सूत्र को एक सच्चे कथन में बदल देता है;

ग) जो चर के सभी सेट के लिए एक गलत बयान में बदल जाता है;

d) जिसके लिए कथनों का एक समूह है जो सूत्र को एक गलत कथन में बदल देता है।

24. कौन-सा फॉर्मूला रिफ्यूटेबल है:

25. कौन सा सूत्र संभव है:

26. कथन किस कथन के अनुरूप है: "किसी भी संख्या के लिए एक संख्या ऐसी है जो":

27. कथन किस कथन से मेल खाता है:

क) “संख्या और ऐसे हैं;

बी) “समानता सभी के लिए उचित है;

ग) "सभी संख्याओं के लिए एक संख्या ऐसी है";

d) "किसी भी संख्या के लिए एक संख्या ऐसी है जो"।

28. कौन सा बयान गलत है:

29. विधेय के सत्य समुच्चय का संकेत दें " एक्स 3 से अधिक "सेट एम \u003d (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) पर परिभाषित:

a) टीपी \u003d (3, 6, 9);

c) टीपी \u003d (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

d) टीपी \u003d (3, 6, 9, 12)।

30. विधेय के सत्य समुच्चय का संकेत दें " एक्स 3 से अधिक "सेट एम \u003d (3, 6, 9, 12) पर परिभाषित:

a) टीपी \u003d (3, 6, 9, 12); बी) टीपी \u003d (3, 6, 9);

c) टीपी \u003d (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); d) टीपी \u003d Æ।

31. विधेय के सत्य समुच्चय का संकेत दें " x 2 + x + 6 \u003d 0"वास्तविक संख्याओं के सेट पर सेट करें:

ए) टीपी \u003d Æ; बी) टीपी \u003d (1, 6); c) टीपी \u003d (- 2, 3); d) टीपी \u003d (- 3, 2)।

32. विधेय के सत्य समुच्चय का संकेत दें:

33. विधेय के सत्य समुच्चय का संकेत दें:

38. हम निम्नलिखित एकात्मक विधेय का परिचय देते हैं:

क्यू (एक्स): « एक्स - एक तर्कसंगत संख्या ";

आर (एक्स): « एक्स - वास्तविक संख्या "।

तब विधेय को इस तरह के कथन की विधेय बीजगणित की भाषा में अनुवाद माना जा सकता है:

क) कुछ तर्कसंगत संख्याएं वास्तविक हैं;

बी) कुछ तर्कसंगत संख्याएं वास्तविक नहीं हैं;

ग) कोई तर्कसंगत संख्या वास्तविक नहीं है;

घ) सभी तर्कसंगत संख्याएं वास्तविक हैं।

10 - गणितीय तर्क और) xy → x (x (y; z); a) * xy z xz; j) (x | y) → (x | z); बी) x ~ y; l) (x) y) (x ∨ z) x xy; ग) * xy; m) (x) y) x (z; घ) xyz; e) x (y) z) → (xy; z); n) (x x y) ~ (x; y); o) (x ~ y) ~ (x ~ z); g) (x → y → c) ⊕ c; n) (x ~ y) ⊕ (x ~ z); h) * x → (y → x); p) (x) y) (x (z) (x। w)। 17. SDNF प्राप्त करें, और फिर SKNF पर जाएं: b) * (x → y) → (y → x); 18. * तीन तर्कों (प्रारंभिक कथनों) x, y, z और f (x, y, z) \u003d x को एक फ़ंक्शन f (जटिल कथन) दें। दिए गए फ़ंक्शन के लिए SDNF का निर्माण करें। 19. SKNF प्राप्त करें, और फिर SDNF पर जाएं: d) * (x | y) xy; 20. सूत्र के लिए MDNF प्राप्त करें: a) * ((x ~ y) ~ z) → x; b) * ((1 ⊕ xy)) xz) 1 (z → y); c) * (x) y) → z; y; d) * ((A → B) ~ (C ~ D)) A B → A ((C ~ D); ई) * (ए ∨ बी ∨ सी) डी) (ए ∨ बी (सी ∨ डी); च) * x z yz x xz; g) * (x → y) → z * x; ज) * xy ∨ xy * xz; 22. * कॉन्टैक्ट्स x, y, z से एक सर्किट तैयार होता है, ताकि यह बंद हो जाए और यदि केवल तीन कॉन्टैक्ट x, y, z में से कोई दो बंद हो जाएं। 24. * चित्र 1, ए और बी के आरेखों को सरल बनाएं। ए) बी) अंजीर। 1 - 11 - गणितीय तर्क 25. * विधेय भाषा में लिखें: ए) सभी छात्र अध्ययन करते हैं; b) कुछ छात्र उत्कृष्ट छात्र हैं; ग) किसी भी संख्या के लिए, आप एक बड़ी संख्या पा सकते हैं; d) x + y \u003d z; ई) प्रत्येक वस्तु में संपत्ति ए है; च) कुछ के पास संपत्ति ए है; छ) किसी भी वस्तु में संपत्ति ए नहीं है; ज) कुछ के पास संपत्ति ए नहीं है; i) प्रत्येक तर्कसंगत संख्या एक वास्तविक संख्या है; j) कुछ वास्तविक संख्याएँ तर्कसंगत हैं; k) कोई तर्कसंगत संख्या वास्तविक नहीं है; l) कुछ तर्कसंगत संख्याएँ वास्तविक नहीं हैं। 26. * समझाने की कोशिश करें कि क्यों 25a और 25i में निहितार्थ का उपयोग किया गया था, और 25b और 25k में संयोजन का उपयोग किया गया था। 27. * विधेय भाषा में लिखें: ए) 16 वर्ष से कम उम्र के बच्चों (डी (एक्स)) और एक रोबोट (आर (एक्स)) को प्रवेश करने से प्रतिबंधित किया जाता है (बी (एक्स)); बी) 16 (डी (एक्स)) और एक रोबोट (आर (एक्स)) के तहत सभी बच्चों को एक प्रमाण पत्र (सी (एक्स)) प्राप्त करना होगा। 28. * विधेय की भाषा में लिखें: a) 12 से कोई भी विभाज्य 2, 4 और 6 से विभाज्य है; बी) प्रत्येक छात्र ने कम से कम एक प्रयोगशाला काम पूरा कर लिया है; c) एक सीधी रेखा दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। 29. विधेय भाषा में लिखें: e) * प्रत्येक छात्र (C (x)) - एथलीट (S (x)) में फिल्म अभिनेताओं (K (y)) के बीच कुछ मूर्ति (y) (B (x, y)) है ; f) * यदि कुछ मेनफ्रेम कंप्यूटर (B (x)) एक अन्य मेनफ्रेम (B (y)) से जुड़े हुए हैं (C (x, y)), तो कोई मिनिकॉम्प्यूटर (M (x)) नहीं है, जिसमें इंटरफ़ेस का साधन हो (एस (एक्स)); तीस। * किन शर्तों के तहत: ए) पीएक्स (एक्स) ∃x पी (एक्स); बी) )x पी (एक्स) ∃ ओ, एक एक्स पी (एक्स); 1; 33. * यह अब एक क्लासिक उदाहरण है जो इनकार की गयी जटिलता को दर्शाता है: यह ज्ञात है कि वाक्य "फ्रांस का वर्तमान राजा गंजा है" सच नहीं है। इसे विधेय की भाषा में कैसे लिखें। समाधान और उत्तर। - 12 - गणितीय तर्क 1 ए। आइए प्राथमिक बयानों को एक सेवा तरीके से चुनें: ए - छात्र एक उत्कृष्ट छात्र है; बी - छात्र सामाजिक कार्य में लगा हुआ है; सी - छात्र के उल्लंघन हैं; डी - छात्र को छात्रवृत्ति मिलती है। तब एक जटिल कथन के प्रतीकात्मक रूप में A ⋅B →C → D होगा। 1b। प्रतीकात्मक संकेतन निम्नानुसार हो सकते हैं: Пic → С →Р → P. () 3. बयानों के तर्क में, "यह सच नहीं है कि पेट्या कॉलेज गई थी" के बयानों को सही माना जाना चाहिए, क्योंकि कथन विभाज्य नहीं हैं। 8. ए A बी ≡ ए → बी ∨ (ए → बी) → बी, ए और बी → ए → बी। 11. ए एबीसी ∨ ए बीसी ∨ एबीसी the एबीसी या एक ही है, लेकिन एक सरल रूप में एबी ∨ एसी ∨ बीसी। 11b। А В ∨ ВС С АС। 13a। xy z 13c। सूत्र पहले से ही डीएनएफ में है। क्यों? 14A। (x) z) (y) z)। 14b। सूत्र CNF में पहले से ही है। क्यों? 15a। xyz y x yz z xyz z xyz। 15b। xyz y xyz y x yz z xyz z x yz y x yz ∨ xzz 15d। xy y x y ∨ xy (x y (। 1)। 16A। () () () xy y xy ∨ xy x x (xy) z) x x ∨ xx ∨ y (x) z) (y) z) ≡ (x ∨ y ∨ zz) (x ∨ z ∨ yy) ( y x z x xx) ∨ (x ∨ y (z) (x ∨ y ∨ z) (x (y ∨ z) (x ∨ y ∨ z)। 16c। (x x y) (x ∨ z) (x। y)। 16h। SKNF अनुपस्थित है, क्योंकि यह एक तनातनी है। - 13 - गणितीय तर्क 17 बी। यह एक तनातनी है, इसलिए इसके लिए कोई SKNF नहीं है। 18.xyz y xy z xy x yz z x yz। 19g। यह एक विरोधाभास है, इसलिए इसके लिए कोई SKNF नहीं है। 20a। ((x (y) ~ z) → x x (x z y) z ⊕ (x ∨ y) z) x ∨ () (x ⊕ y) z ⋅ (x) y) z ≡ x ≡ (x ⊕ y) ∨ z) x ∨ y ∨ z ≡ x x (xy ∨ xy) z) (xy x xy) z) ≡ x z xyz y x yz y xy z ∨ xyz ∨ x yz ∨ xy z - SDNF x ∨ yz ⊕ yz - SKDNF और MDNF। 20b। ((1 (xy) z xz) z (z → y) ⊕ (xy ⊕ xz) z yz ⊕ xyxz y xy xz z yz ≡ () () xyz ∨ x ∨ yx ⊕ z ∨ yz ≡ xyz ∨ xzz ∨ yz y xyz ∨ x yz z x yz z xyz y xyz ∨ xyz y x yz - SDNF x ∨ y - z - MDNF। 20C। xyz y xyz y x yz z x yz z x yz - SDNF xy ∨ x y z yz - MDNF। 20 ग्राम। ए बीसीडी CD ए बीसीडी CD ए बी सी डी ∨ ए बी सी डी ∨ ए बी सी डी B ए बी सी डी ∨ ए बी सी डी ∨ ए बी सी डी B ए बी सी डी B ए बीसीडी SK ए बी सी डी - SKNF ए बी ∨ सीडी - सीडी - एमडीएनएफ 20D। A∨C∨ D. 20 से। x∨z। 20 ग्राम। x∨z। 20h। xy ∨ x y z xz या xy ∨ x y। yz। 21c। xy z xz। 21g। 1. 22. अंजीर देखें। 2. - 14 - गणितीय तर्क अंजीर। २ २ ए। अंजीर देखें। 3. ए) बी) अंजीर। 3 23. सरल आरेखों में अंजीर में दिखाया गया रूप होगा। 4. ए) बी) अंजीर। ४ २५ क। ∀x (C (x) → Y (x)), जहां C (x) "x एक छात्र है" और Y (x) "x एक छात्र है"। 25b। ∃x (C (x) & O (x))। 25c। हम एक साधारण संबंध के रूप में डबल विधेय लिखते हैं: ∃х xy (x)< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает следующие решения: а) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , что равносильно ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ; б) ошибкой была бы запись ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , так как D(x) & R(x) – пусто. Правильным решением будет ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) . 28a. ∀x (А(х) → Д(х) & Ч(х) & Ш(х)). 28б. ∀x ∃y B(x,y) . 28в. ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) . 29д. ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) . 29е. ∃x Б(х) & ∀y (C(x,y) → Б(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) . 30а. Когда х определён на предметной области из одного элемента. 30б. Когда предметная область пуста (но здесь можно и возразить). 31. Отрицаниями будут предложения в и г. Ответ можно получить фор- мально, если для предиката ∀х ∃y B(x,y) взять отрицание и совершить равносильное преобразования: ¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y) 32. Само исходное предложение на языке предикатов запишется как: ∃x K(x) & ∀x (K(x)→Л(х)) . В литературе обычно не обсуждается вариант «огульного» отрицания, т.е. ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→Л(х)) , поскольку здесь следовало уточнить, что всё таки отрицается: факт лысости короля или факт существования короля во Франции. В связи с этим предлагается два варианта отрицания: - 16 - Математическая логика ∃х К(х) & ∀x (K(x) → ¬ Л(х)) ; ¬ ∃х К(х) & ∀x (K(x) → Л(х)) . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Клини С. Математическая логика. – М. : Мир, 1973, с. 11 – 126. 2. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М. : Просве- щение, 1968, с. 71 – 93, 108 – 132. 3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М. : МГУ, 1982, с. 1 – 95. 4. Гильберг Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. – М. : Наука, т. 1, с. 23 – 45, 74 – 141. 5. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М. : Наука, 1973, с 36 – 65, 123 – 135. 6. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М. : Наука, 1972.

यह लेख "तर्कसंगत संख्या" विषय के अध्ययन के लिए समर्पित है। नीचे तर्कसंगत संख्याओं की परिभाषा दी गई है, उदाहरण दिए गए हैं, और यह निर्धारित करने के लिए कि संख्या तर्कसंगत है या नहीं।

परिमेय संख्या। परिभाषाएं

परिमेय संख्याओं की परिभाषा देने से पहले, आइए याद करते हैं कि संख्याओं के अन्य सेट क्या हैं, और वे एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं।

प्राकृतिक संख्याएं, उनके विपरीत और संख्या शून्य के साथ, पूर्णांक का एक सेट बनाती हैं। बदले में, पूरे भिन्नात्मक संख्याओं का संग्रह तर्कसंगत संख्याओं का समूह बनाता है।

परिभाषा 1. परिमेय संख्या

परिमेय संख्या वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें एक धनात्मक भिन्न a b, ऋणात्मक भिन्न a b या शून्य के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस प्रकार, हम तर्कसंगत संख्याओं के कई गुणों को छोड़ सकते हैं:

1. कोई भी प्राकृतिक संख्या एक परिमेय संख्या है। जाहिर है, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n को भिन्न 1 n के रूप में दर्शाया जा सकता है।
2. संख्या 0 सहित कोई भी पूर्णांक, एक परिमेय संख्या है। वास्तव में, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक और ऋणात्मक पूर्णांक को क्रमशः एक सकारात्मक या नकारात्मक साधारण अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 15 \u003d 15 1, - 352 \u003d - 352 1।
3. कोई भी धनात्मक या ऋणात्मक सामान्य भिन्न a b एक परिमेय संख्या है। यह सीधे ऊपर दी गई परिभाषा से है।
4. कोई भी मिश्रित संख्या तर्कसंगत है। दरअसल, आखिरकार, मिश्रित संख्या को एक साधारण अनुचित अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।
5. किसी भी अंतिम या आवधिक दशमलव अंश को साधारण अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, प्रत्येक आवधिक या अंतिम दशमलव अंश एक परिमेय संख्या है।
6. अनंत और गैर-आवधिक दशमलव तर्कसंगत संख्याएं नहीं हैं। उन्हें साधारण अंशों के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

आइए तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरण दें। संख्या 5, 105, 358, 1100055 प्राकृतिक, सकारात्मक और संपूर्ण संख्याएं हैं। इसलिए, ये तर्कसंगत संख्याएं हैं। संख्या - 2, - 358, - 936 संपूर्ण ऋणात्मक संख्याएँ हैं और वे परिभाषा के अनुसार तर्कसंगत भी हैं। सामान्य अंश 3 5, 8 7, - 35 8 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं।

परिमेय संख्याओं की उपरोक्त परिभाषा को अधिक संक्षेप में तैयार किया जा सकता है। एक बार फिर, हम इस सवाल का जवाब देंगे कि एक तर्कसंगत संख्या क्या है।

परिभाषा 2. परिमेय संख्या

परिमेय संख्याएं वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें एक भिन्न, z n के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ z एक पूर्णांक होता है और n एक प्राकृतिक संख्या होती है।

यह दिखाया जा सकता है कि यह परिभाषा तर्कसंगत संख्याओं की पिछली परिभाषा के बराबर है। ऐसा करने के लिए, याद रखें कि एक अंश का एक बार एक विभाजन चिह्न के बराबर है। पूर्णांकों के विभाजन के नियमों और गुणों को ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित निष्पक्ष असमानताओं को लिखा जा सकता है:

0 एन \u003d 0 n एन \u003d 0; - एम एन \u003d (- एम) - एन \u003d - एम एन।

इस प्रकार, हम लिख सकते हैं:

z n \u003d z n, n p और z\u003e 0 0, n p और z \u003d 0 - z n, n p और z< 0

दरअसल, यह रिकॉर्ड सबूत है। आइए दूसरी परिभाषा के आधार पर परिमेय संख्याओं के उदाहरण दें। संख्याओं पर विचार करें - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 और - 1 3 5। ये सभी संख्याएँ तर्कसंगत हैं, क्योंकि इन्हें एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक भाजक के साथ एक अंश के रूप में लिखा जा सकता है: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5।

यहाँ तर्कसंगत संख्याओं की परिभाषा के लिए एक और समकक्ष रूप है।

परिभाषा 3. परिमेय संख्या

एक तर्कसंगत संख्या एक संख्या है जिसे एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है।

यह परिभाषा सीधे इस खंड की पहली परिभाषा से आती है।

आइए संक्षेप में और इस बिंदु पर एक सारांश तैयार करें:

1. सकारात्मक और नकारात्मक भिन्नात्मक और पूरी संख्याएं तर्कसंगत संख्याओं का समूह बनाती हैं।
2. प्रत्येक परिमेय संख्या को एक साधारण अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसका अंश एक पूर्णांक है और हर एक प्राकृतिक संख्या है।
3. प्रत्येक परिमेय संख्या को दशमलव अंश के रूप में भी दर्शाया जा सकता है: परिमित या अनंत आवधिक।

कौन सी संख्या तर्कसंगत है?

जैसा कि हमने पहले ही पता लगा लिया है कि कोई भी प्राकृतिक संख्या, पूरी संख्या, सही और गलत साधारण अंश, आवधिक और अंतिम दशमलव अंश तर्कसंगत संख्याएं हैं। इस ज्ञान के साथ सशस्त्र, आप आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि क्या कोई संख्या तर्कसंगत है।

हालांकि, व्यवहार में, आपको अक्सर संख्याओं से नहीं, बल्कि संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से निपटना पड़ता है, जिसमें जड़ें, डिग्री और लघुगणक होते हैं। कुछ मामलों में, सवाल का जवाब "एक संख्या तर्कसंगत है?" स्पष्ट से बहुत दूर है। आइए इस प्रश्न का उत्तर देने के तरीकों पर विचार करें।

यदि एक संख्या को एक अभिव्यक्ति के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है जिसमें केवल तर्कसंगत संख्या और उनके बीच अंकगणितीय संचालन होते हैं, तो अभिव्यक्ति का परिणाम एक तर्कसंगत संख्या है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 2 · 3 1 8 - 0.25 0, (3) एक तर्कसंगत संख्या है और 18 के बराबर है।

इस प्रकार, एक जटिल संख्यात्मक अभिव्यक्ति को सरल करना आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि क्या इसके द्वारा दी गई संख्या तर्कसंगत है।

अब हम रूट साइन से निपटते हैं।

यह पता चला है कि संख्या m n, संख्या n की डिग्री n की जड़ के रूप में दी गई है, केवल तर्कसंगत है यदि m कुछ प्राकृतिक संख्या की n -th शक्ति है।

एक उदाहरण लेते हैं। संख्या 2 तर्कसंगत नहीं है। जबकि 9, 81 तर्कसंगत संख्या हैं। 9 और 81 क्रमशः संख्या 3 और 9 के पूर्ण वर्ग हैं। 199, 28, 15 1 संख्याएँ तर्कसंगत संख्याएँ नहीं हैं, क्योंकि रूट चिन्ह के नीचे की संख्याएँ किसी भी प्राकृतिक संख्या के सही वर्ग नहीं हैं।

अब एक और जटिल मामला लेते हैं। 243 5 तर्कसंगत है? यदि आप 5 वीं शक्ति को 3 बढ़ाते हैं, तो आपको 243 मिलते हैं, इसलिए मूल अभिव्यक्ति को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: 243 5 \u003d 3 5 5 \u003d 3। इसलिए, यह संख्या तर्कसंगत है। अब आइए 121 5 नंबर लें। यह संख्या अपरिमेय है, क्योंकि कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है, पाँचवीं शक्ति तक बढ़ाने पर 121 मिलेगा।

यह पता लगाने के लिए कि क्या किसी संख्या का आधार b से लघुगणक एक परिमेय संख्या है, विरोधाभास द्वारा विधि को लागू करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, आइए जानें कि संख्या 2 2 5 तर्कसंगत है या नहीं। मान लीजिए कि दी गई संख्या तर्कसंगत है। यदि ऐसा है, तो यह एक साधारण अंश के रूप में लिखा जा सकता है 2 5 \u003d m n लघुगणक के गुण और डिग्री के गुणों के अनुसार, निम्नलिखित समानताएं सत्य हैं:

5 \u003d 2 लॉग 2 5 \u003d 2 मीटर एन 5 एन \u003d 2 मीटर

जाहिर है, अंतिम समानता असंभव है, क्योंकि बाईं और दाईं ओर क्रमशः विषम और समान संख्याएं हैं। इसलिए, यह धारणा सही नहीं है, और संख्या 2 2 5 तर्कसंगत संख्या नहीं है।

यह ध्यान देने योग्य है कि संख्याओं की तर्कसंगतता और तर्कहीनता का निर्धारण करते समय, आपको जल्दबाजी में निर्णय नहीं लेना चाहिए। उदाहरण के लिए, अपरिमेय संख्याओं का गुणन हमेशा अपरिमेय संख्या नहीं होती है। एक उदाहरण: 2 2 \u003d 2।

अपरिमेय संख्याएँ भी हैं, जो एक अपरिमेय शक्ति की ओर बढ़ती हैं और एक परिमेय संख्या देती है। फॉर्म 2 की शक्तियों में 2 2 3, आधार और प्रतिपादक अपरिमेय संख्या हैं। हालांकि, संख्या स्वयं तर्कसंगत है: 2 लॉग 2 3 \u003d 3।

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धारा 3 के लिए व्यावहारिक कार्य

उन पर एक विधेय और संचालन की अवधारणा।

3.1. निम्नलिखित में से कौन सा भाव विधेय है:

ए) " एक्स5 से विभाज्य है "( एक्स Î एन);

b) “नदी एक्स बैकाल झील में बहती है "( एक्स सभी प्रकार की नदियों के कई नामों से चलता है);

में " x2 + 2 एक्स + 4 "( एक्सÎ आर) ;

घ) "( एक्स + पर)2 = x2 + 2 एक्सy + y2 "( एक्स, yÎ आर);

इ) " एक्स एक भाई है पर» ( एक्स, वाई सभी लोग बहुत से भागते हैं);

च) " एक्सतथा पर» ( एक्स, पर इस समूह के सभी छात्र बहुत से भागते हैं);

जी) " एक्सतथा पर के विपरीत पक्षों पर झूठ बोलते हैं जेड» ( एक्स, पर सभी बिंदुओं के सेट के माध्यम से चलाते हैं, और जेड - एक विमान की सभी लाइनें);

h) "ctg 45 ° \u003d 1";

तथा) " एक्स सीधा पर» ( एक्स, पर एक ही विमान के सभी सीधे लाइनों के सेट के माध्यम से चलाएं)।

3.2. निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक के लिए, एक विधेय (एकल या गुणक) ढूंढें जो दिए गए कथन में बदल जाता है जब विषय चर को संबंधित क्षेत्रों से उपयुक्त मानों से बदल दिया जाता है:

a) "3 + 4 \u003d 7";

बी) "विश्वास और आशा बहनें हैं";

ग) "आज मंगलवार है";

घ) “सारातोव शहर वोल्गा नदी के तट पर स्थित है;

ई) "पाप 30 ° \u003d 1/2";

च) "- महान रूसी कवि";

छ) “32 + 42 \u003d 52;

ज) "इंडिगीरका नदी बैकाल झील में बहती है";

इस तरह के एक विधेय का निर्माण करने के बाद, या तो इसकी सत्यता के क्षेत्र को इंगित करने का प्रयास करें, या किसी तरह इसे रेखांकित करें।

फेसला। i) आप तीन विधेयकों को निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक उचित प्रतिस्थापन के साथ दिए गए कथन में बदल जाता है। पहला विधेय एकल है:

"Https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" चौड़ाई \u003d "181" ऊंचाई \u003d "48"\u003e यह प्रतिस्थापित किए जाने पर दिए गए कथन में बदल जाता है। परिणामी कथन सत्य है। निर्दिष्ट मान सेट को समाप्त नहीं करता है। निर्मित विधेय की सच्चाई। यह स्थापित करना आसान है, यह सेट निम्नानुसार है: ... दूसरा विधेय भी एकल है: "" (yÎ आर)... यह दिए गए कथन में बदल दिया जाता है जब प्रतिस्थापित किया जाता है य \u003d 1. यह स्पष्ट है कि यह मान इस विधेय के सत्य समुच्चय को समाप्त कर देता है..प्राण "चौड़ाई \u003d" 240 "ऊँचाई \u003d 48"\u003e। यह प्रतिस्थापित किए जाने पर दिए गए कथन में बदल जाता है। पर\u003d 1. इसकी सत्य सीमा, क्रमबद्ध युग्मों का एक समूह है, जिसके समुच्चय को रेखाचित्रों के अनंत परिवार के रूप में चित्रित किया गया है।

3.3. निम्नलिखित कथनों को पढ़ें और निर्धारित करें कि उनमें से कौन सा सही है और कौन सा गलत है, यह मानते हुए कि सभी चर कई वास्तविक संख्याओं के माध्यम से चलते हैं:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png "चौड़ाई \u003d" 135 "ऊँचाई \u003d" 21 src \u003d "\u003e

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png "चौड़ाई \u003d" 136 "ऊंचाई \u003d" 21 src \u003d "\u003e

ई) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png "चौड़ाई \u003d" 232 "ऊंचाई \u003d" 24 src \u003d "\u003e

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png "चौड़ाई \u003d" 204 "ऊँचाई \u003d" 24 src \u003d "\u003e

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png "चौड़ाई \u003d" 201 "ऊंचाई \u003d" 24 src \u003d "\u003e

k) https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png "चौड़ाई \u003d" 101 ऊँचाई \u003d 21 "ऊँचाई \u003d" 21 "\u003e" चर के सापेक्ष एक्सयह सेट R के माध्यम से चलता है। यह कहा जाता है कि चर प्राप्त करने वाले अभिव्यक्ति में पर बद्ध है और परिवर्तनशील है एक्स नि: शुल्क। एक चर के बजाय पर हम अब कुछ भी स्थानापन्न नहीं कर सकते हैं, जबकि इसके बजाय एक्स वास्तविक संख्याओं को प्रतिस्थापित किया जा सकता है, परिणामस्वरूप, एक एकल विधेय बयानों में बदल जाएगा। उदाहरण के लिए, बयान " "इस तरह पढ़ा जा सकता है:" एक वास्तविक संख्या है पर, ऐसा है कि एक्स) ($ y) ( एक्स+ पर\u003d 7) “सच है। इसे निम्नानुसार पढ़ा जा सकता है: "किसी भी वास्तविक संख्या के लिए ऐसी वास्तविक संख्या होती है, जिसका योग पहले 7 के बराबर हो"। अभिव्यक्ति में "" ( एक्स) ($ y) ( एक्स+ पर\u003d 7) "कोई और अधिक मुक्त चर नहीं हैं। दोनों चर एक्सतथा परक्वांटिफायर के संकेतों के तहत खड़े होते हैं और इसलिए संबंधित होते हैं। अभिव्यक्ति स्वयं एक विधेय नहीं है, यह एक कथन है, सच है, जैसा कि हमने स्थापित किया है। हालाँकि, यदि हम चाहते हैं, तो, एक विधेय की अवधारणा को विकसित करते हुए, हम यह मान सकते हैं कि एक कथन एक 0-स्थान विधेय है, अर्थात्, बिना चरों के एक विधेय। लेकिन हमें इस बात की जानकारी होनी चाहिए कि एक अनियंत्रित से एक 0-स्थान के लिए एक मात्रात्मक संक्रमण के लिए एक गुणात्मक संक्रमण एक गुणात्मक छलांग की ओर जाता है, ताकि एक 0-स्थान की विधेय वस्तु एक-स्थान की विधेय से गुणात्मक रूप से भिन्न हो, हालांकि यह "विधेय" की अवधारणा के तहत हमारे द्वारा सशर्त रूप से निर्वाहित है।

बी) कथन "($ y) (" एक्स)(एक्स+ पर\u003d 7) "इस तरह पढ़ा जा सकता है:" एक ऐसी वास्तविक संख्या है जो किसी भी वास्तविक संख्या में जोड़े जाने पर, 7 तक जुड़ जाती है "। यह देखना कठिन नहीं है कि यह कथन गलत है। वास्तव में, एकल-स्थान पर विचार करें "(" एक्स)(एक्स+ पर\u003d 7) "चर के संबंध में y,वह अनुप्रयोग जिसके लिए अस्तित्वमान मात्रात्मक दिए गए कथन को प्राप्त करता है। यह स्पष्ट है कि विषय चर के लिए कोई वास्तविक संख्या नहीं है y,उदा "(" एक्स)(एक्स+ 4 \u003d 7) ”, विधेय एक गलत कथन में बदल जाएगा। (कहावत "(" एक्स)(एक्स+ 4 \u003d 7) "गलत है, क्योंकि एकात्मक विधेय" (" एक्स+ 4 \u003d 7) "एक गलत कथन में बदल जाता है, उदाहरण के लिए, जब एक चर के बजाय प्रतिस्थापित किया जाता है एक्ससंख्या 5.) इसलिए, बयान "($ y) (" एक्स)(एक्स+ पर\u003d 7) ", एकात्मक विधेय के परिणामस्वरूप" (" एक्स)(एक्स+ पर\u003d 7) "द्वारा अस्तित्वमान क्वांटिफायर लेने के संचालन का उपयोग करना y,असत्य।

i) इस कथन को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है: "कोई भी वास्तविक संख्या स्वयं के बराबर है यदि और केवल यदि यह 1 या उससे अधिक है तो" यह पता लगाने के लिए कि यह कथन सही है या गलत, हम ऐसे वास्तविक नंबर की तलाश करने की कोशिश करेंगे x0,जो एकात्मक विधेय को चालू करेगा

एक गलत बयान में। यदि हम ऐसी संख्या का पता लगाने का प्रबंधन करते हैं, तो दिए गए कथन, जो कि "फांसी" द्वारा इस विधेय से प्राप्त किया जाता है (जो कि, ऑपरेशन के उपयोग से) सामान्यता मात्रा का, झूठा है। यदि हम एक विरोधाभास पर आते हैं, तो यह मानते हुए कि क्या है x 0मौजूद है, तो यह कथन सत्य है।

यह स्पष्ट है कि विधेय " x \u003d x"के बजाय प्रतिस्थापित करने पर एक सच्चे कथन में बदल जाता है एक्सकोई भी वास्तविक संख्या, अर्थात यह पहचान के अनुसार सत्य है। सवाल यह है कि क्या यह एक वास्तविक संख्या इंगित करना संभव है जो विधेय को बदल देगा " “एक गलत बयान में? नहीं, क्योंकि हम जो भी वास्तविक संख्या लेते हैं, वह 1 से अधिक या 2 से कम है (या साथ ही 1 से अधिक और 2 से कम है, जो हमारे मामले में निषिद्ध नहीं है)। इसलिए, विधेय " »सर्वथा सत्य है। फिर विधेय

और इसका मतलब है कि यह कथन

एक समुदाय की मात्रा लेने वाले के संचालन की परिभाषा से यह सच है।

3.4. P (x) और Q (x) को सेट M पर परिभाषित की गई अनिश्चित विधेयकों के रूप में परिभाषित किया जाए जैसे कि https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png "width \u003d" 63 height - 23 "ऊँचाई \u003d" 23 "\u003e झूठी है।

3.5. निर्धारित करें कि क्या वास्तविक संख्याओं के सेट पर दिए गए विधेय में से एक दूसरे का परिणाम है:

a) «| x |< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;

b) "x4 \u003d 16", "x2 \u003d - 2";

c) "x - 1\u003e 0", "(x - 2) (x + 5) \u003d 0";

d) "पाप x \u003d 3", "x2 + 5 \u003d 0";

ई) "x2 + 5x - 6\u003e 0", "x + 1 \u003d 1 + x";

च) "x2 £ 0", "x \u003d पाप पी";

g) "x3 - 2x2 - 5h + 6 \u003d 0", "| x - 2 | \u003d 1 ”है।

फेसला। छ) दूसरा विधेय केवल दो प्रतिस्थापनों के साथ एक सच्चे कथन में बदल जाता है: x \u003d 1 और x \u003d 3. यह जांचना आसान है कि ये प्रतिस्थापन पहले विधेय को एक सच्चे कथन में बदल देते हैं (वे दिए गए घन समीकरण की जड़ें हैं)। इसलिए, पहला विधेय दूसरे का परिणाम है।

3.6. विषय चर के मानों के सेट M को निर्दिष्ट करें ताकि इस सेट पर दूसरा विधेय पहले का परिणाम हो:

ए) " एक्स 3 "," एक्स यहाँ तक की ";

बी) " एक्स 2 \u003d 1 "," एक्स -1 \u003d 0 ";

में " एक्स अजीब "," एक्स- प्राकृतिक संख्या का वर्ग ";

घ) " एक्स - रोम्बस "," एक्स - समांतर चतुर्भुज ";

इ) " एक्स - समांतर चतुर्भुज "," एक्स - रोम्बस ";

च) " एक्स - रूसी वैज्ञानिक "," एक्स - गणितज्ञ ";

जी) " एक्स - वर्ग "," एक्स - समांतर चतुर्भुज ”।

फेसला। छ) चूंकि प्रत्येक वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है, सभी चतुर्भुजों के सेट को उस सेट के रूप में लिया जा सकता है जिस पर दूसरा विधेय पहले का परिणाम है।

3.7. सिद्ध करें कि समान चर के आधार पर किसी अन्य विधेय के साथ एक समान रूप से सत्य विधेय का संयोजन बाद के बराबर है।

3.8. साबित करें कि एक समान रूप से गलत परिणाम के साथ, एक ही चर के आधार पर दो विधेयकों का निहितार्थ इसके आधार को नकारने के बराबर है।

PREDICATES के ALGEBRA के भाषा में रिकॉर्ड

और विधेय बीजगणित के माध्यम से तर्क का विश्लेषण

उदाहरण 1... "लाइन ए और बी समानांतर नहीं हैं" कथन का क्या मतलब है?

सूत्र Ø (a (b)) के अर्थ को प्रकट करने के लिए, सूत्र $ a (a (a & b Ì a) & (Ç b \u003d Æ Ú a \u003d b) के सूत्र का निषेध ज्ञात करना आवश्यक है। हमारे पास Ø (a (b) \u003d Ø ($ a (a Ì a & b Ì) a) और (a Æ b \u003d a \u003d a \u003d b)) \u003d a $ a (Ì a & b Ì a) Ú a (ए) बी \u003d Æ Ú ए \u003d बी) \u003d \u003d \u003d $ a (Ì a & b Ú a) Ç \u003d ¹ b ¹ \u003d & ¹ b।

लेकिन सूत्र the $ a (Ì a & b) a), जिसका अर्थ है कि रूसी में "a और b दोनों रेखाओं वाला कोई विमान नहीं है", क्रॉसिंग लाइनों के अनुपात को बताता है, और सूत्र Ç b Æ Æ & & ¹ b, का अनुवाद करता है। रूसी में, वाक्य "लाइन्स ए और बी में सामान्य अंक हैं, लेकिन संयोग नहीं है," सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन के संबंध को व्यक्त करता है।

इस प्रकार, सीधी रेखाओं के गैर-समानांतरवाद का अर्थ है उनके चौराहे या क्रॉसिंग। उदाहरण 2... तथाकथित "अरिस्टोटेलियन श्रेणीबद्ध निर्णय" को अक्सर पूर्व तर्क में प्रयुक्त करने वाले बीजगणित की भाषा में लिखिए: "सभी रों तत्व आर"," कुछ रों तत्व आर"," कोई नहीं रोंबात नहीं है आर"," कुछ रों बात नहीं है आर».

रिकॉर्ड तालिका में दिया गया है। 1.1। इस तालिका का पहला कॉलम उस प्रकार के निर्णय को इंगित करता है, जो एक जटिल मानदंड के अनुसार श्रेणीबद्ध निर्णयों को वर्गीकृत करते समय उत्पन्न होता है, जो मात्रात्मक (सामान्य और विशेष निर्णय) को ध्यान में रखते हुए, मात्रात्मक शब्दों "सभी", "कुछ", और गुणवत्ता (सकारात्मक और नकारात्मक निर्णयों) द्वारा तैयार किए गए हैं। बंडलों द्वारा प्रेषित "सार", "सार नहीं", "है।"

दूसरा स्तंभ पारंपरिक तर्क में निर्णयों का मानक मौखिक सूत्रीकरण देता है, और पाँचवाँ - विधेय बीजगणित की भाषा में उनकी रिकॉर्डिंग, जबकि एस (एक्स) समझना चाहिए "x के पास संपत्ति है रों", ए पी (एक्स) - कैसे "x के पास संपत्ति है आर».

चौथा स्तंभ अवधारणाओं के संस्करणों बनाम बनाम वील के बीच के संबंध को दर्शाता है रों तथा आर, यदि निर्णयों को सबसे सामान्य रूप में समझा जाता है, जब वे केवल विषय के बारे में व्यापक जानकारी प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, निर्णय "सभी से रों तत्व आर»यह स्पष्ट है कि हम सभी के बारे में बात कर रहे हैं रोंविधेय के दायरे को परिभाषित नहीं किया गया है: क्या हम संपत्ति के साथ सभी वस्तुओं के बारे में बात कर रहे हैं पी, या बस कुछ; केवल रों तत्व पी, या अन्य वस्तुएं भी हैं आर... कभी-कभी यह अनिश्चितता के दायरे के बारे में अनिश्चितता है आर संदर्भ को हटा देता है, कभी-कभी इस उन्मूलन की आवश्यकता नहीं होती है। वॉल्यूम बनाम वॉल्यूम के अनुपात पर जोर देने के लिए, बनाम अधिक विशिष्ट सूत्रीकरण का उपयोग करें "ऑल रों और न केवल रों तत्व आर“या सब रों और केवल वे ही हैं आर"। दूसरा सूत्रीकरण कहा जाता है सामान्य एक सकारात्मक निर्णय। पहले कथन का उत्तर अंजीर में दिखाए गए वेन आरेख द्वारा दिया गया है। 1, एक, अंजीर में दूसरा। 1, बी। उस के साथ कहा, निर्णय "कुछ रों तत्व आर"आम तौर पर समझा जाता है" कुछ रों और केवल वे ही नहीं हैं आर», जो अंजीर में आरेख से मेल खाती है। 2, ए, लेकिन इसका मतलब भी हो सकता है “कुछ रों और केवल वे ही हैं रों"(छवि 2, बी)। निर्णय "सभी रों बात नहीं है आर», सामान्य शब्दों में समझे, अंजीर में आरेख से मेल खाती है। 3, ए। विशिष्ट रूप में एक ही निर्णय "सभी रों और केवल वे ही नहीं हैं आर"अंजीर में आरेख का उत्तर देता है। 3, बी। यह सूत्रीकरण बीच के संबंध के वर्णन के अनुरूप है परस्पर विरोधी अवधारणाएँ , वह है, जिनकी मात्रा अधिक सामान्य सामान्य अवधारणा की मात्रा को प्रतिच्छेद और समाप्त नहीं करती है। अंत में, निर्णय "कुछ रों मत खाओ आर»आम तौर पर अंजीर में आरेख से मेल खाती है। 4, ए, और हाइलाइटिंग रूप में "कुछ रों और केवल वे ही नहीं हैं आर»- अंजीर में आरेख। 4, बी। तालिका 3.1

निर्णय का प्रकार	मौखिक योगों के पारंपरिक तर्क में लेखन	विधेय बीजगणित की भाषा में अंकन	वॉल्यूम बनाम और वीआर के बीच का संबंध
आम तौर पर सकारात्मक	सब रों तत्व पी		चित्र एक
निजी पुष्टि	कुछ रों तत्व आर		चित्र: 2
आम तौर पर नकारात्मक	कोई नहीं रोंबात नहीं है आर
अक्सर नकारात्मक	कुछ रों बात नहीं है आर		चित्र 4

उदाहरण 3... तर्क का विश्लेषण करें “सभी लोग नश्वर हैं; सुकरात एक आदमी है; इसलिए सुकरात नश्वर है। ” तर्क का पहला आधार आम तौर पर सकारात्मक निर्णय है (उदाहरण 2 देखें)। आइए अंकन का परिचय दें: एच (एक्स): एक्स - व्यक्ति; सी (एक्स): एक्स - नश्वर; c - सुकरात।

तर्क संरचना:

"x (H (x) ÞC (x)), H (s) s C (s)। (3.1)

निम्नलिखित (3.1) को विफल होने दें। फिर कुछ डोमेन में क्या वहाँ (c, H (x), C (x)) के लिए एक सेट (a, li (x), lj (x)) मौजूद होना चाहिए, जिसके तहत निम्नलिखित शर्तें पूरी होंगी:

"x (ली (x) (lj (x)) \u003d И; ली; (a) \u003d И; lj (ए) \u003d एन।

लेकिन फिर निहितार्थ ली (ए) a एलजे (ए) का मूल्य ए है, और इसलिए, सामान्य क्वांटिफायर की परिभाषा के अनुसार, "एक्स (ली (एक्स) (एलजे (एक्स)) \u003d ए, जो पहली शर्त का खंडन करता है। इसलिए, कोरोलरी 2.8 सच है। और मूल तर्क सही है।

उदाहरण 4... तर्क का विश्लेषण करें: “कोई भी हॉकी टीम जो CSKA को हरा सकती है, एक प्रमुख लीग टीम है। कोई भी बड़ी लीग टीम CSKA को हरा नहीं सकती। इसलिए CSKA अजेय है। "

पदनामों के बारे में: पी (एक्स): टीम एक्स सीएसकेए को हरा सकती है; B (x): प्रमुख लीग से टीम x।

तर्क संरचना:

"x (P (x) Þ B (x))," x (B (x) x (P (x))) P $ xP (x)

हम यह स्थापित करते हैं कि प्राप्त परिणाम समकक्ष परिवर्तनों की पद्धति का उपयोग करके सही है या नहीं। प्रस्ताव 1.10 के सामान्यीकरण के कोरोलरी बी) का उपयोग करते हुए, हम सूत्र "x (P (x)) B (x)) और" x (B (x) P tP (x)) $ t $ xP (x) को रूपांतरित करते हैं।

हमारे पास: "x (P (x): B (x)) और" x (B (x) Þ )P (x)) Þ P $ xP (x) \u003d "x (P (x) (B (x) ) और (बी (x) x (P (x)) Þ P $ xP (x) \u003d (("x (ØP (x) (B (x)) और ((B (x) x ØP (x)) ) और $ xP (x)) \u003d

\u003d \u003d ("X (ØP (x) B (B (x) और (B (x))) और $ xP (x) \u003d ØL \u003d I।

इन समतुल्य संरचनाओं में, संयोजन गुण A & ,A \u003d A का उपयोग दो बार किया गया था, और एक बार Disjunction A unction A \u003d A की संपत्ति।

इस प्रकार, मूल सूत्र आमतौर पर मान्य होता है, जिसका अर्थ है कि तर्क सही है।

उदाहरण 5... तर्क का विश्लेषण करें: “यदि कोई भी टीम CSKA को हरा सकती है, तो कुछ प्रमुख लीग टीम हो सकती है। डायनमो (मिन्स्क) एक प्रमुख लीग टीम है, और CSKA को हरा नहीं सकती है। इसका मतलब है कि CSKA अजेय है। ”

किंवदंती: पी (एक्स): टीम एक्स CSKA को हरा सकती है; बी (एक्स): मेजर लीग टीम एक्स; ई - डायनमो (मिन्स्क)।

तर्क संरचना:

"एक्सपी ( एक्स) Þ $ एक्स(IN ( एक्स) और पी ( एक्स)), बी (डी) और ØP (डी) d B $ एक्सपी ( एक्स). (3.2)

टिप्पणी। तर्क को औपचारिक रूप देते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि प्राकृतिक भाषा में, समान शब्दों या वाक्यांशों के लगातार दोहराव से बचने के लिए, पर्यायवाची वाक्यांशों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह स्पष्ट है कि जब अनुवाद किया जाता है, तो उन्हें उसी सूत्र द्वारा अवगत कराया जाना चाहिए। हमारे उदाहरण में, इस तरह के पर्यायवाची शब्द "कमांड" हैं एक्स CSKA "और" टीम को हरा सकते हैं एक्स CSKA जीत सकते हैं ", और दोनों को सूत्र पी द्वारा अवगत कराया गया है ( एक्स).

निम्नलिखित (3.2) गलत है। यह साबित करने के लिए, यह परिसर और निष्कर्ष को व्यक्त करने वाले सूत्रों की कम से कम एक व्याख्या को इंगित करने के लिए पर्याप्त है, जिसमें परिसर मूल्य लेगा और, और निष्कर्ष - मूल्य एल। ऐसी व्याख्या, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित है: डी \u003d (1, 2, 3, 4) ... इस व्याख्या में, हमारे पास, गणना के बाद,

I ├ I, I & ØL Þ II, या I, I Þ L.

तो, इस व्याख्या में, दोनों परिसरों का अर्थ I है, और निष्कर्ष का अर्थ L है। इसका अर्थ है कि निम्नलिखित (3.2) गलत है, और तर्क गलत है।

3.9. संबंधित डोमेन पर उपयुक्त एकात्मक विधेयकों को प्रस्तुत करने के बाद, निम्नलिखित कथनों को विधेय बीजगणित की भाषा में अनुवादित करें:

क) सभी तर्कसंगत संख्याएं वास्तविक हैं।

बी) कोई तर्कसंगत संख्या वास्तविक नहीं है।

ग) कुछ तर्कसंगत संख्याएं वास्तविक हैं।

d) कुछ तर्कसंगत संख्याएँ वास्तविक नहीं हैं।

फेसला। हम निम्नलिखित एकात्मक विधेय का परिचय देते हैं

क्यू (एक्स): « एक्स- एक तर्कसंगत संख्या ";

आर (एक्स): « एक्स- वास्तविक संख्या "।

फिर विधेय बीजगणित की भाषा में उपरोक्त कथनों का अनुवाद इस प्रकार होगा:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png "width \u003d" 144 "height \u003d" 21 src \u003d "\u003e

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png "width \u003d" 137 "height \u003d" 21 src \u003d "\u003e

3.10. संबंधित क्षेत्रों पर एकात्मक भविष्यवाणी दर्ज करें और उन्हें विधेय बीजगणित सूत्रों के रूप में निम्नलिखित कथनों को लिखने के लिए उपयोग करें:

a) 12 द्वारा विभाज्य कोई भी प्राकृतिक संख्या 2, 4 और 6 से विभाज्य है।

b) स्विट्जरलैंड के निवासी आवश्यक रूप से फ्रेंच, इतालवी या जर्मन बोलते हैं।

ग) एक ऐसा कार्य जो किसी खंड पर निरंतर होता है, अपने चिन्ह को बनाए रखता है या शून्य मान लेता है।

d) कुछ सांप जहरीले होते हैं।

ई) सभी कुत्तों को गंध की अच्छी समझ है।

3.11. निम्नलिखित उदाहरणों में, पिछली समस्या की तरह ही करें, जरूरी नहीं कि खुद को एकात्मक विधेयकों तक सीमित कर लें:

a) यदि वास्तविक गुणांक वाले एक चर में बहुपद की एक जड़ है, तो इस बहुपद की भी जड़ है।

b) एक सीधी रेखा पर किसी भी दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच कम से कम एक बिंदु है जो उनके साथ मेल नहीं खाता है।

c) एक सीधी रेखा दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है।

d) प्रत्येक छात्र ने कम से कम एक प्रयोगशाला का काम पूरा किया है।

e) यदि प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल अभाज्य संख्या से विभाज्य है, तो कम से कम एक कारक इसके द्वारा विभाज्य है।

च) एक एकल विमान तीन बिंदुओं से गुजरता है जो एक सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोलते हैं।

छ) सबसे बड़ी संख्या के सामान्य भाजक ए तथा ख किसी भी सामान्य भाजक द्वारा विभाज्य।

ज) प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए एक्स ऐसा है परसबके लिए क्या जेडअगर राशि जेडऔर 1 कम पर, फिर राशि एक्स और 2 4 से कम है।

तथा) एक्स - अभाज्य संख्या।

j) चार से अधिक हर संख्या दो primes (Goldbach's अनुमान) का योग है।

3.12. निम्नलिखित कथनों को बीजगणित भाषा में लिखें:

क) बिल्कुल एक है एक्सऐसा है कि पी (एक्स).

बी) कम से कम दो अलग-अलग हैं एक्सऐसा है कि पी (एक्स).

c) दो से अधिक नहीं हैं एक्सऐसा है कि पी (एक्स)।

d) दो बिल्कुल अलग हैं एक्सऐसा है कि पी (एक्स)।

3.13. यदि किसी विधेय के लिए सेट M के बारे में क्या कहा जा सकता है बी (एक्स) क्या M के सेट पर कथन सही है?

3.14. लश्कर पी (एक्स) माध्यम " एक्स - अभाज्य संख्या", ई (एक्स) माध्यम " एक्स - सम संख्या", ओह (x) - « एक्स एक विषम संख्या है ", D ( एक्स,y) - « एक्स विभाजित पर"या" पर द्वारा विभाजित एक्स"। निम्नलिखित प्रतीकात्मक बीजगणित की भाषा में रूसी में अनुवाद करते हुए, चर को ध्यान में रखते हुए अनुवाद करें एक्स तथा पर कई प्राकृतिक संख्याओं पर दौड़ें:

ए) पी (7) ;

ख) इ (2) & पी (2) ;

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png "चौड़ाई \u003d" 136 "ऊंचाई \u003d" 21 src \u003d "\u003e;

ई) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png "चौड़ाई \u003d" 237 "ऊंचाई \u003d" 23 src \u003d "\u003e;

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png "चौड़ाई \u003d" 248 "ऊँचाई \u003d" 23 src \u003d "\u003e;

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png "चौड़ाई \u003d" 109 "ऊंचाई \u003d" 21 src \u003d "\u003e। पीएनजी" चौड़ाई \u003d "127" ऊंचाई \u003d "23"\u003e। png "चौड़ाई \u003d" 108 "ऊँचाई \u003d" 23 "\u003e"?

अनुक्रम की शुद्धता का सत्यापन भी वेन आरेखों का उपयोग करके किया जा सकता है यदि परिसर और निष्कर्ष एक चर के आधार पर एकात्मक विधेय हैं। स्पष्ट निर्णयों के लिए, जो हमारे उदाहरण परिसर और निष्कर्ष में हैं, अवधारणाओं के संस्करणों के बीच संबंध रों तथा आर उदाहरण में वर्णित हैं। हम इस विवरण का उपयोग करेंगे।

एक आधार के साथ मामले के लिए वेन आरेख विधि इस प्रकार है। हम अवधारणाओं के संस्करणों के बीच संबंधों के सभी संभावित मामलों को चित्र के साथ चित्रित करते हैं रों तथा आरपार्सल के समान।

यदि प्राप्त प्रत्येक आरेख पर निष्कर्ष सही निकला, तो निम्नलिखित सही है। यदि निष्कर्ष कम से कम एक आरेख में गलत है, तो निम्नलिखित गलत है।.

(a) चूंकि आधार एक नकारात्मक प्रस्ताव है, चित्र में दिखाए गए आरेख। 5।

इनमें से किसी भी आरेख में निर्णय https://pandia.ru/text/78/081/images/image030_13.png "चौड़ाई \u003d" 108 "ऊंचाई \u003d" 23 "\u003e आंशिक रूप से सकारात्मक निर्णय है, तो संभव चित्र में दिखाए गए हैं। ६।