(1) a m ⋅ a n \u003d a m + n

उदाहरण:

$ $ (^ ^ 2) \\ cdot (a ^ 5) \u003d (^ 7) $ $ (2) a m a n \u003d a m - n

उदाहरण:

$$ \\ frac (((a ^ 4)) (((a ^ 3)) \u003d \u003d (a ^ (4 - 3)) \u003d (a ^ 1) \u003d a $$ (3) (a) b) n \u003d n bn

उदाहरण:

$$ ((a a cdot b) ^ 3) \u003d (a ^ 3) \\ cdot (b ^ 3) $$ (4) (a) n \u003d n a n n

उदाहरण:

$ $ (\\ बाएं ((\\ frac (a) (b)) \\ \u200b\u200bराइट) ^ 8) \u003d \\ frac ((a ^ 8)) (((b ^ 8)) $$ (5) (हूँ ) n \u003d am ⋅ n

उदाहरण:

$$ (((a ^ 2)) ^ 5) \u003d (a (2 \\ _ cdot 5)) \u003d (a ^ (10)) $$ (6) a - n \u003d 1 a n

उदाहरण:

$ $ (एक ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) ((a (2))); \\; \\; \\? \\; (a ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) () (ए ^ 1)) \u003d \\ frac (1) (ए) $ $

गुण वर्गमूल:

(1) ए बी \u003d ए, बी, के लिए \u003d 0, बी \u003d 0

उदाहरण:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) ए बी \u003d ए,, 0, बी\u003e 0 के लिए

उदाहरण:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (ए) 2 \u003d ए,) 0 के लिए

उदाहरण:

(४) एक २ \u003d | ए | किसी के लिए

उदाहरण:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

तर्कसंगत और अपरिमेय संख्या

परिमेय संख्या - संख्याएँ जिनका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है सामान्य अंश m n जहाँ m एक पूर्णांक है (ℤ \u003d 0, ± 1, ± 2,… 3…), n एक प्राकृतिक संख्या है (ℕ \u003d 1, 2, 3, 4…)।

तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरण:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

अपरिमेय संख्या - जिन संख्याओं को एक साधारण भिन्न m n के रूप में दर्शाया नहीं जा सकता है, ये अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश हैं।

अपरिमेय संख्या के उदाहरण:

e \u003d 2.71828182845 ...

π \u003d 3.1415926 ...

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

सीधे शब्दों में कहें तो अपरिमेय संख्या वे संख्याएँ होती हैं जिनमें एक वर्गमूल चिह्न होता है। लेकिन यह इतना आसान नहीं है। कुछ तर्कसंगत संख्याएं तर्कहीन के रूप में प्रच्छन्न हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 4 में इसके अंकन में वर्गमूल चिह्न है, लेकिन हम अच्छी तरह से जानते हैं कि संकेतन 4 \u003d 2 को सरल करना संभव है। इसका अर्थ है कि संख्या 4 एक परिमेय संख्या है।

इसी तरह, संख्या 4 81 \u003d 4 81 \u003d 2 9 एक परिमेय संख्या है।

कुछ समस्याओं में यह निर्धारित करना आवश्यक है कि कौन सी संख्या तर्कसंगत हैं और कौन सी तर्कहीन हैं। यह समझने के लिए कार्य कम हो जाता है कि कौन सी संख्या अपरिमेय है और कौन से उनके रूप में प्रच्छन्न हैं। ऐसा करने के लिए, आपको एक कारक को स्क्वायर रूट साइन के नीचे से निकालने और रूट साइन के तहत एक फैक्टर में प्रवेश करने के संचालन करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

वर्गमूल चिह्न के लिए गुणक में प्रवेश करना और निकालना

एक कारक को वर्गमूल चिह्न से आगे बढ़ाकर, आप कुछ गणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बना सकते हैं।

उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल कीजिए 2 8 2।

1 तरीका (रूट साइन से फैक्टर को हटाते हुए): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

विधि 2 (रूट चिह्न के तहत गुणक में प्रवेश करना): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

संक्षिप्त गुणन सूत्र (FSF)

योग चुकता

(1) (ए + बी) 2 \u003d एक 2 + 2 ए बी + बी 2

उदाहरण:

(3 x + 4 y) 2 \u003d (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x + 4 y + (4 y) 2 \u003d 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

अंतर चुकता

(२) (ए - बी) २ \u003d २ - २ ए बी + बी २

उदाहरण:

(5 x - 2 y) 2 \u003d (5 x) 2 - 2 ⋅ 5 x - 2 y + (2 y) 2 \u003d 25 x 2 - 20 x y + 4 y 2

वर्गों का योग कारक नहीं है

वर्गों का अंतर

(३) ए २ - बी २ \u003d (ए - बी) (ए + बी)

उदाहरण:

25 x 2 - 4 y 2 \u003d (5 x) 2 - (2 y) 2 \u003d (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

सम घन

(4) (a + b) 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

उदाहरण:

(x + 3 y) 3 \u003d (x) 3 + 3 x (x) 2 3 (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 \u003d x 3 + 3 2 x 2 ⋅ 3 y + 3 x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 \u003d x 3 + 9 x 2 y + 27 xy 2 + 27 y 3

अंतर घन

(5) (a - b) 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3

उदाहरण:

(x 2 - 2 y) 3 \u003d (x 2) 3 - 3 x (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3) (x 2) ⋅ (2 y) 2 - (2 y) 3 \u003d x 2 y 3 - 3 - x 2 ⋅ 2 + 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 - 8 y 3 \u003d x 6 - 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 - 8 y 3

घन का योग

(६) ए ३ + बी ३ \u003d (ए + बी) (ए २ - ए बी + बी २)

उदाहरण:

8 + x 3 \u003d 2 3 + x 3 \u003d (2 + x) (2 2 - 2 + x + x 2) \u003d (x + 2) (4 - 2 x + x 2)

अंतर घन

(() ए ३ - बी ३ \u003d (ए - बी) (ए २ + ए बी + बी २)

उदाहरण:

x 6 - 27 y 3 \u003d (x 2) 3 - (3 y) 3 \u003d (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) \u003d ( x 2 - 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

मानक संख्या दृश्य

यह समझने के लिए कि एक मनमाना कैसे लाया जाए परिमेय संख्या मानक रूप में, आपको यह जानना होगा कि किसी संख्या का पहला महत्वपूर्ण अंक क्या है।

किसी संख्या का पहला महत्वपूर्ण अंक इसे बाईं ओर का पहला नॉनजेरो अंक कहें।

उदाहरण:
2 5; 3.05; 0.143; 0, 00 1 2। पहला महत्वपूर्ण अंक लाल रंग में हाइलाइट किया गया है।

संख्या को मानक रूप में लाने के लिए, आपको आवश्यकता है:

1. कॉमा को शिफ्ट करें ताकि यह पहले महत्वपूर्ण अंक के तुरंत बाद हो।
2. परिणामी संख्या को 10 n से गुणा किया जाता है, जहां n एक संख्या है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
3. n\u003e 0, यदि अल्पविराम को बाईं ओर स्थानांतरित किया गया था (10 n से गुणा, इंगित करता है कि वास्तव में अल्पविराम दाईं ओर होना चाहिए);
4. n< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. संख्या n का निरपेक्ष मान उन अंकों की संख्या के बराबर है जिनके द्वारा अल्पविराम को स्थानांतरित किया गया था।

उदाहरण:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

अल्पविराम को 1 अंक से बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। चूंकि अल्पविराम को बाईं ओर स्थानांतरित किया गया है, इसलिए प्रतिपादक सकारात्मक है।

पहले से ही मानक रूप में लाया गया है, आपको इसके साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है। इसे 3.05 0 10 0 के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन 10 0 \u003d 1 के बाद से, हम संख्या को उसके मूल रूप में छोड़ देते हैं।

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

अल्पविराम को 1 अंक द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है। चूंकि अल्पविराम को दाईं ओर स्थानांतरित किया गया है, इसलिए घातांक नकारात्मक है।

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

अल्पविराम तीन स्थानों पर दाईं ओर चला गया है। चूंकि अल्पविराम को दाईं ओर स्थानांतरित किया गया है, इसलिए घातांक नकारात्मक है।

बीजगणतीय अभिव्यक्ति

अक्षरों और संख्याओं से बना एक अभिव्यक्ति, इसके अलावा, घटाव, गुणा, भाग, एक पूर्णांक शक्ति तक बढ़ाने और जड़ निकालने (घातांक और जड़ें निरंतर संख्या होनी चाहिए) के संकेतों से बना है। ए में। उदाहरण के लिए, रूट निष्कर्षण संकेत के तहत उन्हें शामिल नहीं करने पर इसमें शामिल कुछ अक्षरों के संबंध में तर्कसंगत कहा जाता है

ए, बी और सी के संबंध में तर्कसंगत। ए में। कुछ अक्षरों के संबंध में एक पूर्णांक कहा जाता है यदि इसमें इन अक्षरों वाले भाग में विभाजन नहीं है, उदाहरण के लिए 3a / c + bc 2 - 3ac / 4 एक और बी के संबंध में पूर्णांक है। यदि कुछ अक्षरों (या सभी) को चर माना जाता है, तो ए। सी। एक बीजीय कार्य है।

महान सोवियत विश्वकोश। - एम ।: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .

देखें कि "बीजगणितीय अभिव्यक्ति" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

बीजीय कार्यों के संकेतों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं से बना एक अभिव्यक्ति: इसके अलावा, घटाव, गुणा, भाग, एक शक्ति को बढ़ाने, एक जड़ को निकालने ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

बीजगणतीय अभिव्यक्ति - - विषय तेल और गैस उद्योग एन बीजीय अभिव्यक्ति ... तकनीकी अनुवादक का मार्गदर्शक

एक बीजीय अभिव्यक्ति एक या कई बीजीय मात्रा (संख्या और अक्षर) है जो बीजीय कार्यों के संकेतों से जुड़ी होती है: इसके अलावा, घटाव, गुणन और विभाजन, साथ ही एक जड़ का निष्कर्षण और एक पूरे को बढ़ाने के लिए ... विकिपीडिया

बीजगणितीय क्रियाओं के संकेतों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं से बना एक अभिव्यक्ति: इसके अलावा, घटाव, गुणा, भाग, घातांक, एक मूल का निष्कर्षण। * * * ALGEBRAIC EXPRESSION ALGEBRAIC EXPRESSION, अभिव्यक्ति, ... विश्वकोश शब्दकोश

बीजगणतीय अभिव्यक्ति - बीजगणित išraiška स्टेटस T sritis fizika atitikmenys: angl। बीजीय अभिव्यक्ति vok। बीजगणित आउश्रुक, एम रस। बीजीय अभिव्यक्ति, एन प्रैंक। अभिव्यक्ति algébrique, f ... Fizikos termž žodynas

बीजीय संकेतों द्वारा जुड़े अक्षरों और संख्याओं से बना एक अभिव्यक्ति। क्रियाएँ: इसके अलावा, घटाव, गुणा, भाग, एक शक्ति को बढ़ाने, एक जड़ निकालने ... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

किसी दिए गए चर के संबंध में एक बीजीय अभिव्यक्ति, एक ट्रान्सेंडैंटल एक के विपरीत, एक अभिव्यक्ति है जिसमें किसी मात्रा के अन्य कार्यों को शामिल नहीं किया जाता है, इस मात्रा के उत्पादों, शक्तियों या शक्तियों को छोड़कर, और शर्तें ... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रोकहॉस और आई। ए। एफ्रोन

अभिव्यक्ति, भाव, cf. 1. Ch के अनुसार क्रिया। व्यक्त एक्सप्रेस। मुझे आभार व्यक्त करने के लिए शब्द नहीं मिले। 2. अधिक बार इकाइयाँ। कुछ कला (फिलोस) के रूपों में एक विचार का अवतार। केवल एक महान कलाकार ही ऐसी अभिव्यक्ति बनाने में सक्षम है ... ... उशाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

दो बीजीय अभिव्यक्तियों (बीजगणितीय अभिव्यक्ति देखें) के समीकरण के परिणामस्वरूप समीकरण। ए पर। यदि अज्ञात को हर में शामिल किया जाता है, और एक अज्ञात को भिन्नात्मक कहा जाता है, और यदि अज्ञात को इसके अंतर्गत शामिल किया जाता है, तो ... ... महान सोवियत विश्वकोश

EXPRESSION - एक प्राथमिक गणितीय अवधारणा, जिसका अर्थ है अंकगणितीय संचालन के संकेतों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं का रिकॉर्ड, जबकि कोष्ठक, फ़ंक्शन पदनाम, आदि का उपयोग किया जा सकता है; आमतौर पर सूत्र mln में। इसका हिस्सा। भेद बी (1) ... ... बिग पॉलिटेक्निक विश्वकोश

बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ जोड़ और घटाव, घटाव, गुणा, भाग, घातांक और मूल निष्कर्षण और कोष्ठक का उपयोग करते हुए संख्याओं और चर से बनी होती हैं।

आइए बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के कुछ उदाहरण देखें:

2a 2 b - 3ab 2 (a + b)

(१ / ए + १ / बी - सी / ३) ३।

बीजीय अभिव्यक्तियों के कई प्रकार हैं।

पूर्णांक एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें चर में विभाजन और जड़ से चर का निष्कर्षण शामिल नहीं है (एक भिन्नात्मक घातांक के साथ घातांक सहित)।

2a 2 b - 3ab 2 (a + b) पूर्णांक बीजीय अभिव्यक्ति है।

(1 / a + 1 / b - c / 3) 3 संपूर्ण बीजगणितीय अभिव्यक्ति नहीं है, क्योंकि चर द्वारा विभाजन होता है।

एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जो प्राकृतिक घातांक और विभाजन के साथ जोड़, घटाव, गुणन, घातांक के कार्यों का उपयोग करके संख्याओं और चर से बना है।

(1 / a + 1 / b - c / 3) 3 एक भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है।

पूर्णांक और भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को तर्कसंगत बीजगणितीय अभिव्यक्ति कहा जाता है।

इसलिए, दोनों 2a 2 b - 3ab 2 (a + b) और (1 / a + 1 / b - c / 3) 3 तर्कसंगत बीजीय भाव हैं।

एक अपरिमेय बीजगणितीय अभिव्यक्ति एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जो चर से मूल निष्कर्षण का उपयोग करती है (या एक भिन्न शक्ति के लिए चर बढ़ाती है)।

एक 2/3 - बी 2/3 एक अपरिमेय बीजगणितीय अभिव्यक्ति है।

दूसरे शब्दों में, सभी बीजीय अभिव्यक्तियों को दो बड़े समूहों में विभाजित किया गया है: तर्कसंगत और अपरिमेय बीजगणितीय अभिव्यक्ति। बदले में, तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को पूरे और आंशिक लोगों में विभाजित किया जाता है।

चर का स्वीकार्य मूल्य चर का ऐसा मूल्य है जिसके लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति समझ में आती है। एक चर के सभी मान्य मूल्यों का सेट एक बीजीय अभिव्यक्ति का डोमेन है।

पूर्णांक अभिव्यक्तियाँ इसके चर के किसी भी मूल्य के लिए समझ में आती हैं। उदाहरण के लिए, 2a 2 b - 3ab 2 (a + b) दोनों को एक \u003d 0, b \u003d 1, और a \u003d 3, b \u003d 6, आदि के लिए समझ में आता है।

मान लीजिए कि एक \u003d 0, बी \u003d 1, और अभिव्यक्ति का समाधान खोजने का प्रयास करें

2 ए 2 बी - 3 ए बी 2 (ए + बी)।

यदि a \u003d 0, b \u003d 1, तो 2 ∙ 0 2 - 1 - 3 0 0 2 1 2 1 (0 + 1) \u003d 0 ∙ 0 \u003d 0।

इसलिए, एक \u003d 0, बी \u003d 1 के लिए, अभिव्यक्ति 0 है।

आंशिक अभिव्यक्ति केवल तभी समझ में आती है जब मान चर को शून्य नहीं बनाते हैं: हमारे "सुनहरा नियम" को याद रखें - आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

अभिव्यक्ति (1 / a + 1 / b - c / 3) 3 समझ में आता है जब a और b शून्य के बराबर नहीं होते हैं (a ≠ 0, b) 0)। अन्यथा, हम शून्य से विभाजन प्राप्त करते हैं।

एक तर्कहीन अभिव्यक्ति चर मानों के लिए समझ में नहीं आएगी जो एक समान रूट संकेत या एक भिन्नात्मक घातांक चिह्न के तहत निहित अभिव्यक्ति को नकारात्मक करते हैं।

अभिव्यक्ति 2/3 - b 2/3 3 0 और b 2 0. के लिए समझ में आता है। अन्यथा, हम एक नकारात्मक संख्या को एक भिन्नात्मक शक्ति बढ़ाने के साथ सामना करेंगे।

बीजगणितीय अभिव्यक्ति का मूल्य एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है, जिसके परिणामस्वरूप चर को वैध मान दिए गए हैं।

बीजगणितीय अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए

a + 6 + के लिए a + b + c / 5, b \u003d 3, c \u003d 5।

1. अभिव्यक्ति a + b + c / 5 एक पूर्ण बीजगणितीय अभिव्यक्ति है → सभी मान मान्य हैं।

2. चर के संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

6 + 3 + 5/5 = 9 + 1 = 10.

तो जवाब है 10।

एक पहचान एक समानता है जो इसमें शामिल चर के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए सच है।

अभिव्यक्तियों को समान रूप से समान कहा जाता है यदि उनके संबंधित मूल्य चर के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए मेल खाते हैं। इस प्रकार, एक्स 5 एक्स और एक्स 2 expressions एक्स 3, ए + बी + सी और बी + सी + एक दूसरे के समान हैं।

समान रूप से समान अभिव्यक्ति की अवधारणा हमें एक और महत्वपूर्ण अवधारणा की ओर ले जाती है - अभिव्यक्ति के समान परिवर्तन।

एक अभिव्यक्ति का एक समान परिवर्तन एक अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन दूसरे के साथ, समान रूप से समान है।

इसका मतलब है कि एक्स 5 एक्स को एक्सप्रेशन एक्स 2। एक्स 3 में पहचाना जा सकता है।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक की आवश्यकता होती है।

बीजगणतीय अभिव्यक्ति अक्षरों, संख्याओं, अंकगणित के संकेतों और कोष्ठकों का कोई भी रिकॉर्ड है, जिसका अर्थ है रचना। अनिवार्य रूप से, एक बीजीय अभिव्यक्ति एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जो संख्याओं के अलावा अक्षरों का उपयोग करती है। इसलिए, बीजीय अभिव्यक्तियों को शाब्दिक अभिव्यक्ति भी कहा जाता है।

मूल रूप से, लैटिन वर्णमाला के अक्षर शाब्दिक अभिव्यक्तियों में उपयोग किए जाते हैं। ये पत्र किस लिए हैं? इसके बजाय, हम विभिन्न संख्याओं को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इसलिए, इन अक्षरों को चर कहा जाता है। यानी वे अपना अर्थ बदल सकते हैं।

बीजीय अभिव्यक्तियों के उदाहरण।

$ \\ start (संरेखित करें) और x + 5; \\, \\, \\, \\, \\, (x + y) \\ centerdot (xy), \\ _, \\, \\, \\, \\, \\ frac (ab) (2) ; \\\\ & \\\\ & \\ sqrt (((बी) ^ (2)) - 4ac); \\ _, \\ _, \\ _, \\, \\ frac (2) (z) + \\ frac (1) (एच); \\, \\, \\, \\, \\, (a (x) ^ (2)) + bx + c; \\\\ \\ end (संरेखित) $

यदि, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति x + 5 में हम चर x के बजाय कुछ संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति मिलती है। इस मामले में, इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य चर के दिए गए मूल्य के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति x + 5 का मूल्य होगा। अर्थात्, x \u003d 10, x + 5 \u003d 10 + 5 \u003d 15. और x \u003d 2, x + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7 पर।

एक चर के मूल्य हैं जिसमें एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यह होगा, यदि अभिव्यक्ति 1: x में हम x के बजाय मान 0 को प्रतिस्थापित करते हैं।
चूंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

एक बीजीय अभिव्यक्ति का डोमेन।

चर मानों का वह सेट जिसके लिए अभिव्यक्ति अपना अर्थ नहीं खोती है, कहा जाता है क्षेत्र यह अभिव्यक्ति। आप यह भी कह सकते हैं कि एक अभिव्यक्ति का दायरा एक चर के सभी वैध मूल्यों का सेट है।

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

1. y + 5 - दायरा कोई भी y मान होगा।
2. 1: x - एक्स के सिवाय एक्स के सभी मूल्यों के लिए अभिव्यक्ति सार्थक होगी। इसलिए, स्कोप शून्य को छोड़कर एक्स का कोई भी मान होगा।
3. (x + y) :( x-y) - डोमेन - x और y का कोई भी मान, जिसके लिए x। y।

बीजीय अभिव्यक्तियों के प्रकार।

तर्कसंगत बीजगणितीय अभिव्यक्ति पूरे और भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं।

1. पूरे बीजगणितीय अभिव्यक्ति - एक अंशीय घातांक के साथ घातांक नहीं होता है, एक चर से जड़ का निष्कर्षण, और एक चर द्वारा विभाजन। संपूर्ण बीजीय अभिव्यक्तियों में, सभी परिवर्तनीय मूल्य मान्य हैं। उदाहरण के लिए, ax + bx + c पूर्णांक बीजीय अभिव्यक्ति है।
2. आंशिक - चर द्वारा विभाजन होता है। $ \\ frac (1) (ए) + बीएक्स + सी $ एक भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है। भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में, चर के सभी मान जिनके लिए शून्य से विभाजन नहीं होता है, स्वीकार्य हैं।

अपरिमेय बीजगणितीय भाव एक चर की जड़ को निकालने या एक अंश को एक भिन्नात्मक शक्ति में शामिल करना।

$ \\ sqrt ((ए) ^ (2)) + ((बी) ^ (2)), \\ _, \\, \\ _, \\ _, \\ _, ((ए) ^ (\\ frac (2)) (3))) + ((b) ^ (\\ frac (1) (3))); $ - अपरिमेय बीजगणितीय भाव। तर्कहीन बीजीय अभिव्यक्तियों में, चर के सभी मूल्य स्वीकार्य हैं, जिसके लिए सम चिह्न के तहत अभिव्यक्ति नकारात्मक नहीं है।

हम कुछ गणितीय अभिव्यक्तियों को विभिन्न तरीकों से लिख सकते हैं। हमारे लक्ष्यों के आधार पर, चाहे हमारे पास पर्याप्त डेटा हो, आदि। संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ इसमें भिन्नता है कि हम केवल अंक को अंकगणितीय संकेतों (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) और अभिभावकों का उपयोग करके संयुक्त रूप से लिखते हैं।

यदि, संख्याओं के बजाय, आप लैटिन अक्षरों (चर) को अभिव्यक्ति में दर्ज करते हैं, तो यह बीजगणितीय हो जाएगा। बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में अक्षरों, संख्याओं, जोड़ और घटाव, गुणा और भाग के संकेतों का उपयोग किया जाता है। और रूट, डिग्री, कोष्ठक के चिह्न का भी उपयोग किया जा सकता है।

किसी भी मामले में, चाहे वह संख्यात्मक अभिव्यक्ति हो या बीजगणितीय, यह केवल संकेतों, संख्याओं और अक्षरों का एक यादृच्छिक संग्रह नहीं हो सकता है - इसका अर्थ होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि अक्षरों, संख्याओं, संकेतों को किसी तरह से जोड़ा जाना चाहिए। सही उदाहरण: 7x + 2: (y + 1)। खराब उदाहरण): + 7x - * 1।

शब्द "चर" ऊपर उल्लेख किया गया था - इसका क्या मतलब है? यह एक लैटिन पत्र है, जिसके बजाय आप एक नंबर स्थानापन्न कर सकते हैं। और अगर हम चर के बारे में बात कर रहे हैं, तो इस मामले में, बीजीय अभिव्यक्तियों को बीजीय कार्य कहा जा सकता है।

चर ले सकते हैं विभिन्न अर्थ... और इसके स्थान पर कुछ संख्या को प्रतिस्थापित करके, हम चर के उस विशेष मूल्य पर बीजीय अभिव्यक्ति का मूल्य पा सकते हैं। जब चर का मूल्य अलग होता है, तो अभिव्यक्ति का मूल्य होगा।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को कैसे हल करें?

मूल्यों की गणना करने के लिए, आपको करने की आवश्यकता है बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन... और इसके लिए आपको अभी भी कुछ नियमों पर विचार करने की आवश्यकता है।

पहला: बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का डोमेन एक चर के सभी संभावित मूल्य हैं जिनके लिए अभिव्यक्ति समझ में आ सकती है। इसका क्या मतलब है? उदाहरण के लिए, आप एक चर के लिए एक मूल्य का विकल्प नहीं दे सकते हैं जिसे शून्य से विभाजन की आवश्यकता होगी। अभिव्यक्ति 1 / (x - 2) में, 2 को परिभाषा के क्षेत्र से बाहर रखा जाना चाहिए।

दूसरा, याद रखें कि अभिव्यक्तियों को कैसे सरल बनाया जाए: कारक, समान चर बाहर कारक, आदि। उदाहरण के लिए: यदि आप शर्तों को स्वैप करते हैं, तो राशि नहीं बदलेगी (y + x \u003d x + y)। इसी तरह, गुणक के उलट होने पर उत्पाद नहीं बदलेगा (x * y \u003d y * x)।

सामान्य तौर पर, बीजीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए, वे पूरी तरह से सेवा करते हैं संक्षिप्त गुणन सूत्र... जिन लोगों ने अभी तक उन्हें नहीं सीखा है, उनके लिए यह करना अनिवार्य है - यह अभी भी एक से अधिक बार उपयोगी होगा:

हम वर्गों के अंतर को पाते हैं: x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y);

हमें राशि चुकता लगती है: (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2;

अंतर की गणना करें: (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2;

हम एक घन में योग बनाते हैं: (x + y) 3 \u003d x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 या (x + y) 3 \u003d x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

घन अंतर: (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 या (x - y) 3 \u003d x 3 - y 3 - 3xy (x - y);

हम चर का योग पाते हैं, जिसे एक घन में रखा जाता है: x 3 + y 3 \u003d (x + y) (x 2 - xy + y 2);

हम चर के अंतर की गणना करते हैं, एक घन के लिए उठाया गया: x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2);

हम जड़ों का उपयोग करते हैं: xa 2 + ya + z \u003d x (a - a 1) (a - a 2), और 1 and a 2 अभिव्यक्ति की जड़ें xa 2 + ya + z हैं।

आपको बीजीय अभिव्यक्तियों के प्रकारों से भी परिचित होना चाहिए। वो हैं:

तर्कसंगत, और वे, बदले में, में विभाजित हैं:

पूर्णांक (उनके पास चर में विभाजन नहीं है, चर से जड़ों की कोई निकासी नहीं है और एक भिन्नात्मक शक्ति तक नहीं है): 3 ए 3 बी + 4 ए 2 बी * (ए - बी)। परिभाषा का डोमेन चर के सभी संभावित मान हैं;

भिन्नात्मक (अन्य गणितीय संक्रियाओं को छोड़कर, जैसे कि जोड़, घटाव, गुणा, इन अभिव्यक्तियों में वे एक चर द्वारा विभाजित होते हैं और एक शक्ति के साथ उठाए जाते हैं: (एक प्राकृतिक घातांक के साथ): (2 / b - 3 / a + c / 4) 2. ढलान - सभी मान चर जिसके लिए अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है;

अपरिमेय - एक बीजीय अभिव्यक्ति के लिए इस तरह के रूप में माना जाता है, इसमें एक भिन्नात्मक घातांक और / या चर से जड़ें निकालने वाली शक्ति के साथ चर को शामिल करना चाहिए: +а + b 3/4। स्कोप - चर के सभी मूल्य, उन लोगों को छोड़कर, जिनमें एक समान मूल या आंशिक शक्ति के तहत अभिव्यक्ति एक नकारात्मक संख्या बन जाती है।

बीजीय भावों की पहचान परिवर्तन उन्हें हल करने के लिए एक और उपयोगी चाल है। पहचान एक अभिव्यक्ति है जो उस परिभाषा के दायरे में शामिल किसी भी चर के लिए सही होगी जो इसमें प्रतिस्थापित हैं।

एक अभिव्यक्ति जो कुछ चरों पर निर्भर करती है, वह समान रूप से यदि एक ही चर पर निर्भर करती है और यदि दोनों अभिव्यक्तियों के मूल्य समान हैं, तो कोई भी अभिव्यक्ति के बराबर नहीं हो सकती है। दूसरे शब्दों में, यदि एक अभिव्यक्ति को दो अलग-अलग तरीकों (अभिव्यक्तियों) में व्यक्त किया जा सकता है, जिसके मूल्य समान हैं, ये अभिव्यक्तियां समान रूप से समान हैं। उदाहरण के लिए: y + y \u003d 2y, या x 7 \u003d x 4 * x 3, या x + y + z \u003d z + x + y।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के साथ कार्य करते समय, समान परिवर्तन कार्य करता है ताकि एक अभिव्यक्ति को दूसरे के द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सके, इसके समान। उदाहरण के लिए, x 9 को उत्पाद x 5 * x 4 से बदलें।

समाधान के उदाहरण

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें। बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना... इस स्तर के कार्य परीक्षा में किम्स में पकड़े जा सकते हैं।

कार्य 1: अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 -1)।

समाधान: ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 - 1) \u003d (12x - 12x)) / x * (12x - 1) \u003d 12।

कार्य 2: अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x3/3)।

हल: (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x +3) \u003d (2x - 3) (2x + 3) (2x + 3 - 2x + 3) / (2x - 3) ) (2x + 3) \u003d 6।

निष्कर्ष

स्कूल परीक्षणों की तैयारी में, परीक्षा के प्रश्न और जीआईए आप इस सामग्री को हमेशा संकेत के रूप में उपयोग कर सकते हैं। ध्यान रखें कि बीजीय अभिव्यक्ति लैटिन अक्षरों में व्यक्त संख्याओं और चर का संयोजन है। और अंकगणितीय संचालन (इसके अलावा, घटाव, गुणा, भाग), कोष्ठक, डिग्री, जड़ के संकेत भी।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए संक्षिप्त समीकरणों और पहचान समीकरणों के ज्ञान का उपयोग करें।

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