लुखोव यू.पी. उच्च गणित पर व्याख्यान नोट्स। व्याख्यान संख्या 42 5

व्याख्यान 42

थीम: कार्यात्मक रैंक

योजना।

1. कार्यात्मक पंक्तियाँ। अभिसरण क्षेत्र।
2. एकसमान अभिसरण। वीयरस्ट्रैस चिन्ह।
3. समान रूप से अभिसरण श्रृंखला के गुण: एक श्रृंखला के योग की निरंतरता, शब्द-दर-अवधि एकीकरण और विभेदन।
4. बिजली की श्रृंखला। हाबिल का प्रमेय। शक्ति श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र। अभिसरण त्रिज्या।
5. शक्ति श्रृंखला के मूल गुण: एकसमान अभिसरण, निरंतरता और योग की अनंत भिन्नता। टर्म-बाय-टर्म इंटीग्रेशन और पावर सीरीज़ का विभेदन।

कार्यात्मक पंक्तियाँ। अभिसरण क्षेत्र

परिभाषा ४०.१. कार्यों का एक अनंत योग

यू १ (एक्स) + यू २ (एक्स) +… + यू एन (एक्स) +…, (४०.१)

जहाँ u n (x) = f (x, n) कहलाता है कार्यात्मक सीमा.

यदि आप एक विशिष्ट संख्यात्मक मान सेट करते हैंएन एस , श्रृंखला (40.1) एक संख्यात्मक श्रृंखला में बदल जाएगी, और मूल्य की पसंद के आधार परएन एस ऐसी श्रृंखला अभिसरण या विचलन कर सकती है। केवल अभिसारी श्रेणी ही व्यावहारिक महत्व की होती है, इसलिए उन मूल्यों को निर्धारित करना महत्वपूर्ण हैएन एस , जिस पर कार्यात्मक श्रृंखला एक अभिसारी संख्यात्मक श्रृंखला बन जाती है।

परिभाषा ४०.२. कई अर्थएन एस , जब कार्यात्मक श्रृंखला (40.1) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो एक अभिसारी संख्यात्मक श्रृंखला प्राप्त होती है, जिसे कहा जाता हैअभिसरण डोमेनकार्यात्मक सीमा।

परिभाषा ४०.३. समारोह एस (एक्स), श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र में परिभाषित किया गया है, जो प्रत्येक मान के लिएएन एस अभिसरण के क्षेत्र से किसी दिए गए मान के लिए (40.1) से प्राप्त संबंधित संख्यात्मक श्रृंखला के योग के बराबर हैएक्स कहा जाता है कार्यात्मक श्रृंखला का योग.

उदाहरण। अभिसरण का क्षेत्र और कार्यात्मक श्रृंखला का योग खोजें

1 + एक्स + एक्स ² + ... + एक्स एन + ...

कब | एक्स | ≥ 1 इसलिए संगत संख्यात्मक श्रृंखला विचलन करती है। अगर

| एक्स | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

नतीजतन, श्रृंखला के अभिसरण की सीमा अंतराल (-1, 1) है, और इसके योग में संकेतित रूप है।

टिप्पणी ... जैसे संख्यात्मक श्रृंखला के लिए, आप एक कार्यात्मक श्रृंखला के आंशिक योग की अवधारणा को पेश कर सकते हैं:

एस एन = 1 + एक्स + एक्स ² + ... + एक्स एन

और शेष पंक्ति: r n = s - s n।

एक कार्यात्मक श्रृंखला का समान अभिसरण

आइए पहले हम एक संख्यात्मक अनुक्रम के एकसमान अभिसरण की अवधारणा को परिभाषित करें।

परिभाषा ४०.४. कार्यात्मक अनुक्रमएफ एन (एक्स) कहा जाता है समारोह में समान रूप से परिवर्तित करना f समुच्चय X पर, यदि तथा

टिप्पणी 1. हम एक कार्यात्मक अनुक्रम और एकसमान अभिसरण के सामान्य अभिसरण को निरूपित करेंगे -।

टिप्पणी २ ... हम एक बार फिर समान अभिसरण और साधारण अभिसरण के बीच मूलभूत अंतर पर ध्यान देते हैं: साधारण अभिसरण के मामले में, के चुने हुए मूल्य के लिए, प्रत्येक के लिए मौजूद हैआपका नंबर एन, जिसके लिएएन> नहीं असमानता रखती है:

इस मामले में, यह पता चल सकता है कि किसी दिए गए के लिए, एक सामान्य संख्या चुनेंएन, किसी के लिए भी इस असमानता की पूर्ति सुनिश्चित करनाएन एस , असंभव। एकसमान अभिसरण के मामले में, ऐसी संख्यासभी x के लिए N उभयनिष्ठ मौजूद है।

आइए अब हम एक प्रकार्यात्मक श्रृंखला के एकसमान अभिसरण की अवधारणा को परिभाषित करें। चूंकि प्रत्येक श्रृंखला अपने आंशिक योगों के अनुक्रम से मेल खाती है, श्रृंखला का एकसमान अभिसरण इस अनुक्रम के एकसमान अभिसरण के माध्यम से निर्धारित होता है:

परिभाषा ४०.५. कार्यात्मक श्रेणी को कहा जाता हैसमान रूप से अभिसरणसेट X पर, यदि X पर है इसके आंशिक योगों का क्रम समान रूप से अभिसरण करता है।

वीयरस्ट्रैस साइन

प्रमेय 40.1। यदि संख्या श्रृंखला सभी के लिए और सभी के लिए अभिसरण करती हैएन = 1, 2, ... असमानता धारण करती है, फिर श्रृंखला सेट पर बिल्कुल और समान रूप से परिवर्तित होती हैएन.एस.

सबूत।

किसी भी > 0 c . के लिए एक ऐसा नंबर हैएन, यही कारण है कि

अवशेषों के लिए r n कई उचित अनुमान

इसलिए, श्रृंखला समान रूप से अभिसरण करती है।

टिप्पणी। प्रमेय ४०.१ की शर्तों को संतुष्ट करने वाली संख्यात्मक श्रृंखला के चयन की प्रक्रिया को आमतौर पर कहा जाता हैप्रमुखीकरण , और यह पंक्ति ही -मेजरेंट किसी दिए गए कार्यात्मक सीमा के लिए।

उदाहरण। एक कार्यात्मक श्रृंखला के लिए, किसी भी मूल्य के लिए एक प्रमुखएन एस एक अभिसरण सकारात्मक श्रृंखला है। इसलिए, मूल श्रृंखला समान रूप से (-∞, + ∞) पर अभिसरण करती है।

समान रूप से अभिसरण श्रृंखला के गुण

प्रमेय ४०.२. यदि फलन आप n (x) के लिए निरंतर हैं और श्रृंखला समान रूप से परिवर्तित होती है X, तो इसका योग s (x) बिंदु पर भी निरंतर हैएक्स 0.

सबूत।

हम ε> 0 चुनते हैं। फिर, इसलिए, एक ऐसी संख्या हैएन 0 कि

- निरंतर कार्यों की एक सीमित संख्या का योग, इसलिएबिंदु पर निरंतरएक्स 0. इसलिए, एक δ> 0 मौजूद है जैसे कितब हमें मिलता है:

अर्थात् फलन s (x) x = x 0 पर सतत है।

प्रमेय ४०.३. मान लीजिए फलन u n (x) खंड पर निरंतर हैं [ए, बी ] और श्रृंखला इस खंड पर समान रूप से अभिसरण करती है। फिर श्रृंखला भी समान रूप से परिवर्तित होती है [ए, बी] और (40.2)

(अर्थात, प्रमेय की शर्तों के तहत, श्रृंखला को शब्द-दर-अवधि एकीकृत किया जा सकता है)।

सबूत।

प्रमेय ४०.२ से, फलन s (x) = [a, b . पर सतत है ] और, इसलिए, इस पर अभिन्न है, यानी समानता के बाईं ओर का अभिन्न (40.2) मौजूद है। आइए हम दिखाते हैं कि श्रृंखला समान रूप से फ़ंक्शन में परिवर्तित होती है

हम निरूपित करते हैं

फिर किसी भी के लिए एक संख्या होती है N, जो n> N . के लिए

इसलिए, श्रृंखला समान रूप से अभिसरण करती है, और इसका योग σ के बराबर होता है (एक्स) =।

प्रमेय सिद्ध होता है।

प्रमेय ४०.४. मान लीजिए फलन u n (x) खंड पर लगातार भिन्न [ए, बी ] और उनके डेरिवेटिव से बनी एक श्रृंखला:

(40.3)

पर समान रूप से अभिसरण करता है [ए, बी ]. फिर, यदि श्रृंखला कम से कम एक बिंदु पर अभिसरण करती है, तो यह पूरे पर समान रूप से अभिसरण करती है [ a, b], इसका योग s (x) = एक सतत अवकलनीय फलन है और

(श्रृंखला को शब्द से अलग किया जा सकता है)।

सबूत।

हम फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं (एन एस ) कैसे। प्रमेय ४०.३ द्वारा, श्रृंखला (४०.३) को शब्द-दर-अवधि एकीकृत किया जा सकता है:

इस समानता के दाहिने हाथ की श्रृंखला समान रूप से परिवर्तित होती है [ए, बी ] प्रमेय ४०.३ द्वारा। लेकिन संख्या श्रृंखला प्रमेय की परिकल्पना द्वारा अभिसरण करती है, इसलिए, श्रृंखला भी समान रूप से अभिसरण करती है। तब समारोह (टी ) पर निरंतर कार्यों की एक समान रूप से अभिसरण श्रृंखला का योग है [ए, बी ] और इसलिए स्वयं निरंतर है। तब फ़ंक्शन लगातार भिन्न होता है [ए, बी ], और, आवश्यकतानुसार।

परिभाषा ४१.१. बिजली की श्रृंखला फॉर्म की एक कार्यात्मक श्रृंखला कहा जाता है

(41.1)

टिप्पणी। प्रतिस्थापित करकेएक्स - एक्स 0 = टी श्रृंखला (41.1) को रूप में कम किया जा सकता है; इसलिए, यह रूप की श्रृंखला के लिए शक्ति श्रृंखला के सभी गुणों को साबित करने के लिए पर्याप्त है

(41.2)

प्रमेय 41.1 (हाबिल का पहला प्रमेय)।यदि घात श्रेणी (41.2) के लिए अभिसरण होता है x = x 0, तो किसी भी x: | . के लिए एक्स |< | x 0 | श्रृंखला (41.2) बिल्कुल अभिसरण करती है। यदि श्रृंखला (41.2) पर विचलन होता हैएक्स = एक्स 0, तो यह किसी के लिए अलग हो जाता हैएक्स: | एक्स | > | एक्स 0 |.

सबूत।

यदि श्रृंखला अभिसरण करती है, तो एक अचर होता हैसी> 0:

नतीजतन, | . के लिए श्रृंखलाएक्स |<| x 0 | अभिसरण करता है, क्योंकि यह एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है। इसलिए | . के लिए श्रृंखलाएक्स |<| x 0 | बिल्कुल मिलती है।

यदि यह ज्ञात है कि श्रृंखला (41.2) के लिए विचलन करती हैएक्स = एक्स 0 , तो यह | . के लिए अभिसरण नहीं कर सकताएक्स | > | एक्स 0 | , क्योंकि जो पहले साबित हुआ था, उससे यह पता चलता है कि यह भी बिंदु पर अभिसरण करता हैएक्स 0.

इस प्रकार, यदि हम संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या पाते हैंएक्स 0 > 0 ऐसा है कि (41.2) के लिए अभिसरण करता हैएक्स = एक्स 0, तो इस श्रृंखला के अभिसरण का डोमेन, एबेल के प्रमेय से निम्नानुसार, अंतराल होगा (-एक्स 0, एक्स 0 ), संभवतः एक या दोनों सीमाओं सहित।

परिभाषा 41.2। संख्या आर 0 कहा जाता है अभिसरण की त्रिज्याशक्ति श्रृंखला (41.2) यदि यह श्रृंखला अभिसरण करती है, लेकिन विचलन करती है। मध्यान्तर (- आर, आर) कहा जाता है अभिसरण अंतरालश्रृंखला (41.2)।

उदाहरण।

1. श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण का अध्ययन करने के लिए, हम d'Alembert मानदंड का उपयोग करते हैं:। नतीजतन, श्रृंखला केवल के लिए अभिसरण करती हैएन एस = 0, और इसके अभिसरण की त्रिज्या 0 है:आर = 0।
2. उसी d'Alembert परीक्षण का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि श्रृंखला किसी के लिए अभिसरण करती हैएक्स, वह है
3. डी'अलेम्बर्ट पर आधारित एक श्रृंखला के लिए हम प्राप्त करते हैं:

इसलिए, -1 . पर< एक्स < 1 ряд сходится, при

एक्स< -1 и x > 1 विचलन। परएन एस = 1 हम एक हार्मोनिक श्रृंखला प्राप्त करते हैं, जैसा कि ज्ञात है, विचलन करता है, और के लिएएन एस = -1 श्रृंखला पारंपरिक रूप से लाइबनिज के आधार पर अभिसरण करती है। इस प्रकार, विचाराधीन श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या हैआर = 1, और अभिसरण अंतराल [-1, 1) है।

एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या निर्धारित करने के सूत्र।

1. डी'अलेम्बर्ट सूत्र।

एक शक्ति श्रृंखला पर विचार करें और उस पर डी'अलेम्बर्ट परीक्षण लागू करें: श्रृंखला के अभिसरण के लिए, यह आवश्यक है कि। यदि मौजूद है, तो अभिसरण का क्षेत्र असमानता से निर्धारित होता है, अर्थात

- (41.3)

• डी'अलेम्बर्ट सूत्रअभिसरण त्रिज्या की गणना करने के लिए।

1. कॉची-हैडमर्ड फॉर्मूला।

कट्टरपंथी कॉची मानदंड का उपयोग करते हुए और इसी तरह से बहस करते हुए, हम पाते हैं कि कोई एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण डोमेन को असमानता के समाधान के एक सेट के रूप में परिभाषित कर सकता है, बशर्ते कि यह सीमा मौजूद हो, और तदनुसार, अभिसरण त्रिज्या के लिए एक और सूत्र खोजें:

(41.4)

• कॉची-हैडमर्ड फॉर्मूला.

शक्ति श्रृंखला के गुण।

प्रमेय 41.2 (हाबिल का दूसरा प्रमेय)।अगर R श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या है (41.2) और यह श्रृंखला अभिसरण करती हैएक्स = आर , तो यह अंतराल पर समान रूप से अभिसरण करता है (-आर, आर)।

सबूत।

सकारात्मक श्रृंखला प्रमेय 41.1 द्वारा अभिसरण करती है। नतीजतन, श्रृंखला (41.2) प्रमेय 40.1 द्वारा अंतराल [-ρ, ] में समान रूप से अभिसरण करती है। के चुनाव से यह निष्कर्ष निकलता है कि एकसमान अभिसरण का अंतराल - (-आर, आर ), जैसी ज़रूरत।

कोरोलरी १ ... किसी भी खंड पर जो पूरी तरह से अभिसरण अंतराल के भीतर होता है, श्रृंखला का योग (41.2) एक सतत कार्य है।

सबूत।

श्रृंखला की शर्तें (४१.२) निरंतर कार्य हैं, और श्रृंखला विचाराधीन खंड पर समान रूप से अभिसरण करती है। तब इसके योग की निरंतरता प्रमेय 40.2 से अनुसरण करती है।

कोरोलरी २. यदि एकीकरण की सीमा α, β शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल के भीतर स्थित है, तो श्रृंखला के योग का अभिन्न अंग श्रृंखला की शर्तों के समाकलों के योग के बराबर है:

(41.5)

इस कथन का प्रमाण प्रमेय ४०.३ से मिलता है।

प्रमेय 41.3। यदि श्रृंखला (41.2) में अभिसरण अंतराल है (-आर, आर), फिर श्रृंखला

(एक्स) = ए 1 + 2 ए 2 एक्स + 3 ए 3 एक्स ² +… + ना एन एक्स एन -1 +…, (41.6)

श्रृंखला के पद-दर-अवधि विभेदन द्वारा प्राप्त (41.2), समान अभिसरण अंतराल (-आर, आर)। जिसमें

(x) = s΄ (x) | . के लिए एक्स |< R , (41.7)

अर्थात्, अभिसरण अंतराल के भीतर, घात श्रृंखला के योग का व्युत्पन्न इसके पद-दर-अवधि विभेदन द्वारा प्राप्त श्रृंखला के योग के बराबर होता है।

सबूत।

आइए चुनते हैं ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R ... तब श्रृंखला अभिसरण करती है, इसलिए, यदि| एक्स | , फिर

जहां इस प्रकार, श्रृंखला की शर्तें (41.6) सकारात्मक श्रृंखला के सदस्यों की तुलना में निरपेक्ष मूल्य में कम हैं, जो डी'अलेम्बर्ट संकेत के अनुसार परिवर्तित होती हैं:

अर्थात्, यह श्रृंखला (41.6) के लिए एक प्रमुख है इसलिए, श्रृंखला (41.6) [-ρ, ] पर समान रूप से अभिसरण करती है। नतीजतन, प्रमेय 40.4 द्वारा समानता (41.7) सत्य है। यह की पसंद से इस प्रकार है कि श्रृंखला (41.6) अंतराल के किसी भी आंतरिक बिंदु पर अभिसरण करती है (-आर, आर)।

आइए हम सिद्ध करें कि इस अंतराल के बाहर श्रृंखला (41.6) विचलन करती है। वास्तव में, अगर यह अभिसरण परएक्स 1> आर , फिर, इसे अंतराल (0,एक्स 2), आर< x 2 < x 1 , हम प्राप्त करेंगे कि श्रृंखला (41.2) बिंदु पर अभिसरण करती हैएक्स 2 , जो प्रमेय की परिकल्पना का खंडन करता है। तो, प्रमेय पूरी तरह से सिद्ध है।

टिप्पणी ... श्रृंखला (41.6), बदले में, शब्द के आधार पर विभेदित हो सकती है और इस ऑपरेशन को जितनी बार चाहें उतनी बार दोहरा सकती है।

आउटपुट: यदि शक्ति श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है (-आर, आर ), तो इसका योग एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसमें अभिसरण अंतराल के भीतर किसी भी क्रम का व्युत्पन्न होता है, जिनमें से प्रत्येक शब्द-दर-अवधि भेदभाव का उपयोग करके मूल एक से प्राप्त श्रृंखला का योग होता है; इस मामले में, किसी भी क्रम के डेरिवेटिव की एक श्रृंखला के लिए अभिसरण का अंतराल है (-आर, आर)।

सूचना विज्ञान और उच्च गणित विभाग KSPU

कार्यात्मक सीमा औपचारिक रूप से लिखित अभिव्यक्ति कहा जाता है

तुम1 (एक्स) + तुम 2 (एक्स) + तुम 3 (एक्स) + ... + तुमएन ( एक्स) + ... , (1)

कहां तुम1 (एक्स), तुम 2 (एक्स), तुम 3 (एक्स), ..., तुमएन ( एक्स), ... - स्वतंत्र चर पर कार्यों का क्रम एक्स.

सिग्मा के साथ एक कार्यात्मक श्रृंखला का संक्षिप्त संकेतन:।

उदाहरण कार्यात्मक पंक्तियाँसेवा कर सकता :

(2)

(3)

स्वतंत्र चर देकर एक्सकुछ अर्थ एक्स0 और इसे कार्यात्मक श्रृंखला (1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम संख्या श्रृंखला प्राप्त करते हैं

तुम1 (एक्स 0 ) + तुम 2 (एक्स 0 ) + तुम 3 (एक्स 0 ) + ... + तुमएन ( एक्स 0 ) + ...

यदि परिणामी संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, तो कार्यात्मक श्रृंखला (1) के लिए अभिसरण कहा जाता है एक्स = एक्स0 ; यदि यह विचलन करता है, जिसे वह श्रृंखला कहा जाता है (1) पर विचलन होता है एक्स = एक्स0 .

उदाहरण 1. एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें(2) मूल्यों के लिए एक्स= 1 और एक्स = - 1 .
समाधान। पर एक्स= 1 हमें एक संख्या श्रंखला मिलती है

जो लाइबनिज के आधार पर अभिसरण करता है। पर एक्स= - 1 हमें एक संख्या श्रंखला मिलती है

,

जो अपसारी हार्मोनिक श्रेणी के गुणनफल के रूप में - 1 द्वारा अपसारी हो जाती है एक्स= 1 और पर विचलन करता है एक्स = - 1 .

यदि कार्यात्मक श्रृंखला (1) के अभिसरण के लिए इस तरह की जाँच अपने सदस्यों के डोमेन से स्वतंत्र चर के सभी मूल्यों के संबंध में की जाती है, तो इस डोमेन के बिंदुओं को दो सेटों में विभाजित किया जाता है: मानों के लिए एक्सउनमें से एक में लिया गया, श्रृंखला (1) अभिसरण करता है, और दूसरे में यह विचलन करता है।

स्वतंत्र चर के मानों का समूह जिसके लिए कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरण करती है, उसे कहा जाता है अभिसरण डोमेन .

उदाहरण 2. एक प्रकार्यात्मक श्रेणी के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए

समाधान। श्रृंखला के सदस्यों को पूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित किया जाता है और हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं क्यू= पाप एक्स... इसलिए, श्रृंखला अभिसरण करती है यदि

और विचलन करता है यदि

(मान संभव नहीं हैं)। लेकिन मूल्यों के लिए और अन्य मूल्यों के लिए एक्स... नतीजतन, श्रृंखला सभी मूल्यों के लिए अभिसरण करती है एक्स, के अलावा । इन बिंदुओं को छोड़कर, इसके अभिसरण का क्षेत्र संपूर्ण संख्या रेखा है।

उदाहरण 3. एक प्रकार्यात्मक श्रेणी के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए

समाधान। श्रृंखला के सदस्य हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं क्यू= एलएन एक्स... इसलिए, श्रृंखला अभिसरण करती है, यदि, या, कहाँ से। यह इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र है।

उदाहरण 4. एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। आइए एक मनमाना मूल्य लें। इस मान के साथ, हमें एक संख्या श्रृंखला मिलती है

(*)

इसके उभयनिष्ठ पद की सीमा ज्ञात कीजिए

नतीजतन, श्रृंखला (*) मनमाने ढंग से चुने गए एक के लिए अलग हो जाती है, यानी। किसी भी मूल्य के लिए एक्स... इसका अभिसरण क्षेत्र एक रिक्त समुच्चय है।

एक कार्यात्मक श्रृंखला और उसके गुणों का एकसमान अभिसरण

आइए अवधारणा पर चलते हैं कार्यात्मक श्रृंखला का एकसमान अभिसरण ... रहने दो एस(एक्स) इस श्रृंखला का योग है, और एसएन ( एक्स) - योग एनइस श्रृंखला के पहले सदस्य। कार्यात्मक सीमा तुम1 (एक्स) + तुम 2 (एक्स) + तुम 3 (एक्स) + ... + तुमएन ( एक्स) + ... खंड पर समान रूप से अभिसरण कहा जाता है [ ए, बी] यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी संख्या के लिए ε > 0 ऐसी एक संख्या है एनकि सभी के लिए एन ≥ एनअसमानता

|एस(एक्स) − एसएन ( एक्स)| < ε

किसी के लिए भी एक्सखंड से [ ए, बी] .

उपरोक्त संपत्ति को निम्नानुसार ज्यामितीय रूप से चित्रित किया जा सकता है।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें आप = एस(एक्स) ... आइए इस वक्र के चारों ओर चौड़ाई 2 की एक पट्टी बनाएं। ε एन, अर्थात्, हम वक्रों का निर्माण करेंगे आप = एस(एक्स) + ε एनतथा आप = एस(एक्स) − ε एन(नीचे की तस्वीर में वे हरे हैं)।

फिर किसी के लिए ε एनफंक्शन ग्राफ एसएन ( एक्स) पूरी तरह से मानी गई पट्टी में झूठ होगा। उसी बैंड में बाद के सभी आंशिक योगों के ग्राफ़ होंगे।

कोई भी अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला जिसमें ऊपर वर्णित विशेषता नहीं है, गैर-समान रूप से अभिसरण है।

समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला की एक और संपत्ति पर विचार करें:

कुछ अंतराल पर समान रूप से परिवर्तित होने वाले निरंतर कार्यों की एक श्रृंखला का योग [ ए, बी], एक फ़ंक्शन है जो इस खंड पर निरंतर है.

उदाहरण 5.निर्धारित करें कि क्या एक कार्यात्मक श्रृंखला का योग निरंतर है

समाधान। राशि का पता लगाएं एनइस श्रृंखला के पहले सदस्य:

अगर एक्स> 0, तब

,

अगर एक्स < 0 , то

अगर एक्स= 0, तब

और इसलिए ।

हमारे शोध से पता चला है कि इस श्रृंखला का योग एक असंतत कार्य है। इसका ग्राफ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

फ़ंक्शन श्रृंखला के समान अभिसरण के लिए वीयरस्ट्रैस परीक्षण

हम अवधारणा के माध्यम से वीयरस्ट्रैस मानदंड तक पहुंचते हैं कार्यात्मक श्रृंखला की प्रमुखता ... कार्यात्मक सीमा

तुम1 (एक्स) + तुम 2 (एक्स) + तुम 3 (एक्स) + ... + तुमएन ( एक्स) + ...

अभिसरण का क्षेत्र एक कार्यात्मक श्रृंखला सदस्यों की एक श्रृंखला है जिसमें संख्यात्मक अक्ष के कुछ सेट ई पर कार्य / परिभाषित होते हैं। उदाहरण के लिए, श्रृंखला की शर्तों को एक अंतराल पर परिभाषित किया जाता है, और श्रृंखला की शर्तों को एक अंतराल पर परिभाषित किया जाता है कार्यात्मक श्रृंखला (1) को बिंदु X0 € E पर अभिसरण कहा जाता है यदि कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरण के डोमेन को अभिसरण करती है समान अभिसरण Weierstrass समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला संख्यात्मक श्रृंखला के परीक्षण गुण यदि श्रृंखला (1) सेट डीसीई के प्रत्येक बिंदु x पर अभिसरण करती है और प्रत्येक बिंदु पर विचलन करती है जो सेट डी से संबंधित नहीं है, तो श्रृंखला को सेट डी पर अभिसरण कहा जाता है, और D को श्रृंखला के अभिसरण का प्रांत कहा जाता है। श्रृंखला (1) को सेट डी पर बिल्कुल अभिसरण कहा जाता है यदि श्रृंखला इस सेट पर अभिसरण करती है। सेट डी पर श्रृंखला (1) के अभिसरण के मामले में, इसका योग एस डी पर परिभाषित एक फ़ंक्शन होगा, का क्षेत्र सकारात्मक शब्दों के साथ श्रृंखला के लिए स्थापित ज्ञात पर्याप्त मानदंडों का उपयोग करके कुछ कार्यात्मक श्रृंखलाओं का अभिसरण पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, डुपंबर का परीक्षण, कॉची का परीक्षण। उदाहरण 1. श्रृंखला M के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए क्योंकि संख्या श्रृंखला p> 1 के लिए अभिसरण करती है और p> 1 के लिए अपसारी होती है, इसलिए, p - Igx को सेट करने पर, हमें यह श्रृंखला प्राप्त होती है। जो Igx> यानी पर अभिसरण करेगा। अगर x> 10, और Igx ^ 1 पर विचलन करें, अर्थात। 0 . पर< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 पंक्ति विचलन करती है, क्योंकि =। x = 0 पर श्रृंखला का विचलन स्पष्ट है। उदाहरण 3. एक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए दी गई श्रृंखला के पद परिभाषित हैं और समुच्चय पर सतत हैं। मानदंड कोश और, हम किसी के लिए पाते हैं। नतीजतन, श्रृंखला x के सभी मानों के लिए विचलन करती है। हम Sn (x) द्वारा क्रियात्मक श्रेणी (1) का nवाँ आंशिक योग निरूपित करते हैं। यदि यह श्रृंखला सेट डी पर अभिसरण करती है और इसका योग 5 (जी) के बराबर है, तो इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है कि सेट डी पर अभिसरण करने वाली श्रृंखला का योग कहां है, जिसे कार्यात्मक श्रृंखला का nवां शेष कहा जाता है (1 ) € D के सभी मूल्यों के लिए संबंध है और इसलिए। अर्थात्, एक अभिसरण श्रृंखला का शेष Rn (x) शून्य हो जाता है, जो भी x 6 D. समान अभिसरण सभी अभिसारी फ़ंक्शन श्रृंखलाओं में, तथाकथित समान रूप से अभिसरण श्रृंखला द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है। मान लीजिए कि समुच्चय D पर अभिसारी एक क्रियात्मक श्रेणी दी गई है जिसका योग S (x) के बराबर है। इसकी n-वें आंशिक योग परिभाषा लीजिए। कार्यात्मक श्रृंखला कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरण डोमेन समान अभिसरण वीयरस्ट्रास परीक्षण समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला के गुणों को सेट पर समान रूप से अभिसरण कहा जाता है С1) यदि किसी संख्या के लिए ई> 0 एक संख्या λ> 0 है जैसे कि असमानता सभी संख्याओं के लिए रखती है n> N और समुच्चय f से सभी x के लिए। टिप्पणी। यहाँ संख्या N सभी x € 10 के लिए समान है, अर्थात। z पर निर्भर नहीं है, लेकिन संख्या e की पसंद पर निर्भर करता है, इसलिए वे N = N (e) लिखते हैं। सेट फीट पर फ़ंक्शन एस (एक्स) के लिए कार्यात्मक श्रृंखला / एन (®) का एकसमान अभिसरण अक्सर निम्नानुसार दर्शाया जाता है: श्रृंखला के समान अभिसरण की परिभाषा / सेट फीट पर एन (एक्स) लिखा जा सकता है तार्किक प्रतीकों की मदद से छोटा: आइए हम एकसमान अभिसरण कार्यात्मक सीमा के ज्यामितीय अर्थ की व्याख्या करें। हम खंड [ए, 6] को सेट फीट के रूप में लेते हैं और कार्यों के ग्राफ बनाते हैं। असमानता |, जो संख्या n> N और सभी a के लिए धारण करती है; जी [ए, बी], निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है प्राप्त असमानताएं दर्शाती हैं कि सभी कार्यों के ग्राफ y = Sn (x) संख्याओं के साथ n> N पूरी तरह से वक्रों से घिरे ζ-बैंड के भीतर संलग्न होंगे y = एस (एक्स) - ई और वाई = 5 (जी) + ई (छवि 1)। उदाहरण 1 खंड पर समान रूप से अभिसरण करता है यह श्रृंखला संकेतों के साथ बारी-बारी से है, किसी भी x € [-1,1] के लिए लीबनिज़ परीक्षण की शर्तों को संतुष्ट करती है और इसलिए, खंड (-1,1] पर अभिसरण करती है। चलो एस (x) ) इसका योग हो, और Sn (x) - इसका n-th आंशिक योग निरपेक्ष मान में श्रृंखला का शेष अपने पहले पद के निरपेक्ष मान से अधिक नहीं है: और चूंकि कोई भी लें। तब असमानता | संतुष्ट होगी यदि . इससे हम पाते हैं कि n> 1. यदि हम एक संख्या लेते हैं (यहाँ [a] सबसे बड़ा पूर्णांक है जो a से अधिक नहीं है), तो असमानता | f सभी नंबरों n> N और सभी x € [-1,1) के लिए किया जाएगा। इसका मतलब है कि यह श्रृंखला खंड [-1,1) पर समान रूप से अभिसरण करती है। I. समुच्चय D पर अभिसरण करने वाली प्रत्येक फलन श्रृंखला उदाहरण 2 पर एकसमान अभिसरण नहीं कर रही है। आइए हम दिखाते हैं कि श्रृंखला एक खंड पर अभिसरण करती है, लेकिन समान रूप से नहीं। 4 आइए श्रृंखला के nवें आंशिक योग £ (*) की गणना करें। हमारे पास है जहां यह श्रृंखला एक खंड और उसके योग पर अभिसरण करती है यदि अंतर S (x) - 5 (x) (श्रृंखला का शेष) का निरपेक्ष मान बराबर है। एक संख्या e लीजिए जो इस प्रकार है। आइए हम n के संबंध में असमानता को हल करें। हमारे पास है, जहां से (चूंकि, और जब Inx से विभाजित होता है, तो असमानता का चिन्ह उलट जाता है)। के लिए असमानता को पूरा किया जाएगा। इसलिए, इस तरह की संख्या एन (ई) एक्स से स्वतंत्र है जैसे कि असमानता प्रत्येक के लिए है) एक बार में सभी एक्स के लिए खंड से। , मौजूद नहीं होना। यदि हम खंड 0 को एक छोटे खंड से प्रतिस्थापित करते हैं, जहां, बाद में दी गई श्रृंखला समान रूप से फ़ंक्शन S0 में परिवर्तित हो जाएगी। दरअसल, के लिए, और इसलिए सभी एक्स के लिए एक बार §3। Weierstrass परीक्षण एक कार्यात्मक श्रृंखला के एकसमान अभिसरण के लिए एक पर्याप्त मानदंड Weierstrass प्रमेय द्वारा दिया गया है। प्रमेय 1 (वीयरस्ट्रास परीक्षण)। मान लीजिए कि समुच्चय Q से सभी x के लिए प्रकार्यात्मक श्रेणी के पद निरपेक्ष मान से अधिक नहीं हैं, अभिसारी संख्यात्मक श्रृंखला के संगत पद = 1 धनात्मक पदों के साथ, अर्थात सभी x Q के लिए। तब क्रियात्मक श्रृंखला (1 ) सेट पर बिल्कुल और समान रूप से अभिसरण होता है ... और टेक, प्रमेय की परिकल्पना के अनुसार, श्रृंखला की शर्तें (1) पूरे सेट क्यू पर स्थिति (3) को संतुष्ट करती हैं, फिर तुलना मानदंड द्वारा श्रृंखला 2 \ fn (x) \ किसी भी x U के लिए अभिसरण करती है , और, इसलिए, श्रृंखला (1) बिल्कुल पर अभिसरण करती है। आइए श्रृंखला (1) का एकसमान अभिसरण सिद्ध करें। मान लीजिए कि क्रमशः एसएन (एक्स) और श्रृंखला (1) और (2) के आंशिक योगों द्वारा निरूपित किया जाता है। हमारे पास कोई भी (मनमाने ढंग से छोटी) संख्या ई> 0 है। फिर संख्या श्रृंखला (2) का अभिसरण एक संख्या एन = एन (ई) के अस्तित्व को दर्शाता है, परिणामस्वरूप, -ई सभी संख्याओं के लिए n> N (e) ) और सभी xbn के लिए, अर्थात। श्रृंखला (1) सेट पी पर समान रूप से अभिसरण करती है। टिप्पणी। कार्यात्मक श्रृंखला (1) के लिए संख्या श्रृंखला (2) को अक्सर प्रमुख, या प्रमुख कहा जाता है। उदाहरण 1. समान अभिसरण के लिए श्रृंखला की जाँच करें। असमानता सभी के लिए है। और सभी के लिए। संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है। वीयरस्ट्रैस मानदंड के आधार पर, माना गया कार्यात्मक श्रृंखला संपूर्ण अक्ष पर बिल्कुल और समान रूप से परिवर्तित होती है। उदाहरण 2. एकसमान अभिसरण के लिए श्रृंखला की जाँच करें। श्रृंखला की शर्तें परिभाषित हैं और अंतराल पर निरंतर हैं [-2,2 |। चूंकि अंतराल [-2,2) पर किसी भी प्राकृतिक n के लिए, तो इस प्रकार, असमानता के लिए है। चूंकि संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, तो वीयरस्ट्रैस मानदंड के अनुसार, मूल कार्यात्मक श्रृंखला एक खंड पर बिल्कुल और समान रूप से परिवर्तित होती है। टिप्पणी। कार्यात्मक श्रृंखला (1) उस मामले में सेट पिव पर समान रूप से अभिसरण कर सकती है जब कोई संख्यात्मक प्रमुख श्रृंखला (2) नहीं होती है, यानी, वीयरस्ट्रैस परीक्षण केवल समान अभिसरण के लिए पर्याप्त मानदंड है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है। उदाहरण। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है (उदाहरण), श्रृंखला 1-1,1 खंड पर समान रूप से अभिसरण करती है]। हालांकि, इसके लिए कोई प्रमुख अभिसरण श्रृंखला (2) नहीं है। दरअसल, सभी प्राकृतिक n और सभी x [-1,1) के लिए, असमानता कायम है, और समानता प्राप्त की जाती है। इसलिए, आवश्यक प्रमुख श्रृंखला (2) की शर्तों को निश्चित रूप से शर्त को पूरा करना चाहिए लेकिन संख्या श्रृंखला कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरण क्षेत्र समान अभिसरण वीयरस्ट्रास परीक्षण समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला विचलन के गुण। इसका मतलब है कि श्रृंखला £ op भी अलग हो जाएगी। समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला के गुण समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं। प्रमेय २। यदि अंतराल [a, b] पर समान रूप से अभिसरण करने वाली एक श्रृंखला के सभी पदों को [a, ६] पर बंधे हुए समान फलन g (x) से गुणा किया जाता है, तो परिणामी प्रकार्यात्मक श्रृंखला समान रूप से पर अभिसरण करती है। मान लीजिए कि अंतराल पर [a, b \ श्रंखला £ fn (x) समान रूप से फलन 5 (x) में परिवर्तित हो जाती है, और फलन g (x) परिबद्ध है, अर्थात् एक स्थिर C> 0 मौजूद है, जिससे कि किसी भी संख्या e> 0 के लिए श्रृंखला के समान अभिसरण की परिभाषा, एक संख्या N मौजूद है जैसे कि सभी n> N और सभी x ∈ [a, b] के लिए, असमानता है जहां 5n (ar) आंशिक है विचाराधीन श्रृंखला का योग। इसलिए, हमारे पास किसी के लिए भी होगा। श्रृंखला [ए, बी | . पर समान रूप से अभिसरण करती है मान लीजिए कि एक प्रकार्य श्रृंखला के सभी पद fn (x) निरंतर हैं और श्रृंखला अंतराल [a, b \ पर समान रूप से अभिसरण करती है। फिर इस खंड पर श्रृंखला का योग S (x) निरंतर है। एम खंड [ओ, बी] पर दो मनमानी बिंदु रिग + कुल्हाड़ी लें। चूंकि यह श्रृंखला अंतराल [ए, बी] पर समान रूप से अभिसरण करती है, तो किसी भी संख्या ई> 0 के लिए एक संख्या एन = एन (ई) होती है, जैसे कि सभी एन> एन के लिए असमानताएं होती हैं जहां 5n (x) आंशिक योग होते हैं श्रृंखला एफएन (एक्स)। ये आंशिक योग Sn (x) अंतराल [a, ६] पर निरंतर होते हैं, क्योंकि [a, ६] पर निरंतर फलनों fn (x) की एक सीमित संख्या का योग होता है। इसलिए, एक निश्चित संख्या संख्या> एन (ई) और एक दी गई संख्या ई के लिए, एक संख्या 6 = 6 (ई)> 0 है, जैसे कि वृद्धि के लिए एक्स को संतुष्ट करने के लिए, असमानता है। की वृद्धि के रूप में योग S (x) को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है: जहाँ से। असमानताओं (१) और (२) को ध्यान में रखते हुए, वेतन वृद्धि एक्स के लिए शर्त को संतुष्ट करने के लिए, हम प्राप्त करते हैं इसका मतलब है कि योग छह) बिंदु एक्स पर निरंतर है। चूँकि x खंड [a, 6] का एक मनमाना बिंदु है, तो 5 (x) | a, 6 | पर सतत है। टिप्पणी। एक कार्यात्मक श्रृंखला जिसका पद खंड [ए, ६] पर निरंतर है, लेकिन जो (ए, ६] पर असमान रूप से परिवर्तित होता है, उदाहरण 1 के रूप में एक असंतत योग हो सकता है। खंड पर एक कार्यात्मक श्रृंखला पर विचार करें | 0,1) . आइए इसके n-वें आंशिक योग की गणना करें।इसलिए, यह एक खंड पर असंतत है, हालांकि इस पर श्रृंखला की शर्तें निरंतर हैं। सिद्ध प्रमेय के आधार पर, यह श्रृंखला एक अंतराल पर समान रूप से अभिसरण नहीं करती है। उदाहरण 2. श्रृंखला पर विचार करें जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, यह श्रृंखला के लिए अभिसरण करती है, श्रृंखला वीयरस्ट्रैस मानदंड के अनुसार समान रूप से अभिसरण करेगी, क्योंकि 1 और संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है। इसलिए, किसी भी x> 1 के लिए, इस श्रृंखला का योग निरंतर होता है। टिप्पणी। फ़ंक्शन को रोम फ़ंक्शन ऑन कहा जाता है (यह फ़ंक्शन संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है)। प्रमेय 4 (कार्यात्मक श्रृंखला के टर्म-बाय-टर्म इंटीग्रेशन पर)। मान लीजिए कि श्रृंखला के सभी पद fn (x) निरंतर हैं और श्रृंखला समान रूप से खंड [a, b] पर फलन S (x) में परिवर्तित होती है। तब समानता कायम रहती है।फलनों की निरंतरता [ए, ६] और अंतराल [ए, ६] पर इस श्रृंखला के एकसमान अभिसरण द्वारा, इसका योग एस (एक्स) निरंतर है और इसलिए, पर पूर्णांकीय है। अंतर पर विचार करें [o, b] पर श्रृंखला के एकसमान अभिसरण से यह इस प्रकार है कि किसी भी e> 0 के लिए एक संख्या N (e)> 0 है जैसे कि सभी संख्याओं के लिए n> N (e) और सभी x के लिए [ए, ६] यदि श्रृंखला fn (० समान रूप से अभिसरण नहीं है, तो, सामान्यतया, इसे शब्द-दर-अवधि को एकीकृत नहीं किया जा सकता है, अर्थात, प्रमेय ५ (कार्यात्मक श्रृंखला के पद-दर-अवधि विभेदन पर) मान लीजिए सभी अभिसरण श्रृंखला 00 के पदों में निरंतर व्युत्पन्न होते हैं और इन व्युत्पन्नों से बनी एक श्रृंखला, अंतराल [ए, बी] पर समान रूप से अभिसरण करती है। फिर किसी भी बिंदु पर समानता धारण करती है, अर्थात दी गई श्रृंखला को शब्द द्वारा विभेदित किया जा सकता है। आइए हम कोई दो बिंदु लें। फिर, प्रमेय 4 के अनुसार, हमारे पास फलन o- (x) निरंतर फलनों की एक समान अभिसारी श्रृंखला के योग के रूप में है। इसलिए, समानता को अलग करते हुए, हम अभ्यास प्राप्त करते हैं अभिसरण के क्षेत्रों का पता लगाएं इन कार्यात्मक श्रृंखलाओं में से: वीयरस्ट्रैस परीक्षण का उपयोग करके, संकेतित अंतराल पर इन कार्यात्मक श्रृंखलाओं के समान अभिसरण को साबित करें:

विषय 2. कार्यात्मक श्रृंखला। बिजली की श्रृंखला

२.१. कार्यात्मक रैंक

अब तक, हमने उस श्रृंखला पर विचार किया है जिसके सदस्य संख्याएँ थीं। अब हम श्रृंखला के अध्ययन की ओर मुड़ते हैं, जिसके सदस्य फलन हैं।

कार्यात्मक सीमा एक श्रृंखला कहा जाता है

जिनके सदस्य एक सेट ई पर परिभाषित एक ही तर्क के कार्य हैं।

उदाहरण के लिए,

1.
;

2.
;

तर्क को देखते हुए एन एसकुछ संख्यात्मक मान
,
, तो हमें एक संख्या श्रंखला मिलती है

जो अभिसरण (बिल्कुल अभिसरण) या विचलन कर सकता है।

मैं मोटा
परिणामी संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, फिर बिंदु
बुलायाअभिसरण बिंदु कार्यात्मक सीमा। अभिसरण के सभी बिंदुओं के संग्रह को कहा जाता हैअभिसरण डोमेन कार्यात्मक सीमा।हम अभिसरण के क्षेत्र को निरूपित करते हैं एन एस, स्पष्टतः,
.

यदि संख्यात्मक सकारात्मक श्रृंखला के लिए प्रश्न उठाया जाता है: "क्या पंक्ति अभिसरण या विचलन करती है?" किसके तहत एन एस?».

कार्यात्मक सीमा
कानून स्थापित करता है जिसके अनुसार तर्क का प्रत्येक मूल्य
,
, एक संख्या श्रृंखला के योग के बराबर एक संख्या को पत्राचार में रखा जाता है
... ऐसे में सेट पर एन एसफ़ंक्शन सेट है
, इससे कहते है कार्यात्मक श्रृंखला का योग.

उदाहरण 16.

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र खोजें

.

समाधान।

रहने दो एन एस- एक निश्चित संख्या, तो इस श्रृंखला को एक संख्यात्मक श्रृंखला के रूप में माना जा सकता है, साइन-पॉजिटिव at
और बारी-बारी से
.

आइए इस श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों की एक श्रृंखला की रचना करें:

यानी किसी भी मूल्य के लिए एन एसयह सीमा एक से कम है, जिसका अर्थ है कि यह श्रृंखला अभिसरण करती है, और पूरी संख्या अक्ष पर बिल्कुल (चूंकि श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों की एक श्रृंखला की जांच की गई थी)।

इस प्रकार, पूर्ण अभिसरण का क्षेत्र समुच्चय है
.

उदाहरण 17.

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र खोजें
.

समाधान।

रहने दो एन एस- निर्धारित अंक,
, तो इस श्रृंखला को एक संख्यात्मक श्रृंखला के रूप में माना जा सकता है, साइन-पॉजिटिव at
और बारी-बारी से
.

इस श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों की एक श्रृंखला पर विचार करें:

और उस पर DAlembert चिन्ह लगाएं।

डी अलेम्बर्ट के आधार पर, श्रृंखला अभिसरण करती है यदि सीमा का मान एक से कम है, अर्थात। यह श्रृंखला अभिसरण करेगी यदि
.

इस असमानता को हल करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:


.

इस प्रकार, के लिए, इस श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है, जिसका अर्थ है कि मूल श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है, और के लिए
यह श्रृंखला अलग हो जाती है।

पर
श्रृंखला अभिसरण या विचलन कर सकती है, क्योंकि इन मूल्यों पर एन एससीमा का मान एक के बराबर है। इसलिए, हम अतिरिक्त रूप से बिंदुओं की एक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करते हैं
तथा
.

इस पंक्ति में प्रतिस्थापित करना
, हमें एक संख्या श्रंखला मिलती है
, जिसके बारे में यह ज्ञात है कि यह एक हार्मोनिक अपसारी श्रृंखला है, जिसका अर्थ है कि बिंदु
- किसी दी गई श्रृंखला के विचलन का बिंदु।

पर
एक वैकल्पिक संख्या श्रृंखला प्राप्त होती है

जिसके बारे में यह ज्ञात है कि यह सशर्त रूप से परिवर्तित होता है (उदाहरण 15 देखें), जिसका अर्थ है कि बिंदु
- श्रृंखला के सशर्त अभिसरण का बिंदु।

इस प्रकार, इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र, और श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है।

कार्यात्मक सीमा

बुलायाप्रमुख x की भिन्नता वाले किसी क्षेत्र में, यदि ऐसी अभिसारी साइन-पॉजिटिव श्रृंखला है

,

कि दिए गए क्षेत्र से सभी x के लिए शर्त
पर
... पंक्ति
बुलायाप्रमुख

दूसरे शब्दों में, एक श्रृंखला को प्रमुख बनाया जाता है यदि निरपेक्ष मान में इसका प्रत्येक पद कुछ अभिसारी साइन-पॉजिटिव श्रृंखला के संबंधित पद से अधिक नहीं है।

उदाहरण के लिए, श्रृंखला

किसी के लिए प्रमुख है एन एसचूंकि सभी के लिए एन एसरिश्ता कायम है

पर
,

और एक नंबर अभिसरण के लिए जाना जाता है।

प्रमेयविअरस्ट्रास

एक निश्चित क्षेत्र में वर्चस्व वाली एक श्रृंखला इस क्षेत्र में पूरी तरह से परिवर्तित हो जाती है।

उदाहरण के लिए, कार्यात्मक श्रृंखला पर विचार करें
... इस श्रृंखला पर हावी है
चूंकि ए.टी
श्रृंखला के सदस्य सकारात्मक श्रृंखला के संबंधित सदस्यों से अधिक नहीं हैं ... नतीजतन, वीयरस्ट्रैस प्रमेय द्वारा, माना जाता है कि कार्यात्मक श्रृंखला पूरी तरह से परिवर्तित होती है
.

२.२. बिजली की श्रृंखला। हाबिल का प्रमेय। एक शक्ति श्रृंखला का अभिसरण डोमेन

सभी प्रकार की कार्यात्मक श्रृंखलाओं में, व्यावहारिक अनुप्रयोग के दृष्टिकोण से सबसे महत्वपूर्ण शक्ति और त्रिकोणमितीय श्रृंखलाएं हैं। आइए ऐसी पंक्तियों पर अधिक विस्तार से विचार करें।

बिजली की श्रृंखला डिग्री के अनुसार
फॉर्म की एक कार्यात्मक श्रृंखला कहा जाता है

कहां - कुछ निश्चित संख्या,
- संख्याओं को श्रृंखला के गुणांक कहा जाता है।

पर
हम शक्तियों में एक शक्ति श्रृंखला प्राप्त करते हैं एन एसजिसका रूप है

.

सरलता के लिए, हम घातों में घात श्रेणी पर विचार करेंगे एन एस, क्योंकि ऐसी श्रृंखला से घातों में श्रृंखला प्राप्त करना आसान होता है
इसके बजाय प्रतिस्थापन एन एसअभिव्यक्ति
.

शक्ति श्रृंखला के वर्ग की सादगी और महत्व मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण है कि शक्ति श्रृंखला का आंशिक योग

एक बहुपद है - एक ऐसा फलन जिसके गुणों का अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है और जिसके मूल्यों की गणना केवल अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके आसानी से की जाती है।

चूँकि घात श्रृंखला एक कार्यात्मक श्रृंखला का एक विशेष मामला है, इसलिए उनके लिए अभिसरण का क्षेत्र खोजना भी आवश्यक है। एक मनमानी कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र के विपरीत, जो मनमाना रूप का एक सेट हो सकता है, एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र में एक अच्छी तरह से परिभाषित रूप होता है। यह निम्नलिखित प्रमेय द्वारा इंगित किया गया है।

प्रमेयहाबिल।

यदि शक्ति श्रृंखला
कुछ मूल्य पर अभिसरण करता है
, तो यह अभिसरण करता है, और बिल्कुल, x के सभी मानों के लिए शर्त को संतुष्ट करता है
... यदि शक्ति श्रृंखला किसी मूल्य पर विचलन करती है
, तो यह स्थिति को संतुष्ट करने वाले मूल्यों के लिए विचलन करता है
.

यह हाबिल के प्रमेय से इस प्रकार है कि सबशक्तियों में एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के बिंदु एन एसमूल से स्थित नहीं हैं किसी भी विचलन बिंदु से आगे। जाहिर है, अभिसरण के बिंदु मूल पर केंद्रित एक निश्चित अंतर को भरते हैं। एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के डोमेन पर प्रमेय मान्य है।

प्रमेय।

किसी भी शक्ति श्रृंखला के लिए
एक संख्या हैआर (आर>0)ऐसा है कि सभी x अंतराल के अंदर झूठ बोल रहे हैं
, श्रृंखला बिल्कुल और अंतराल के बाहर पड़े सभी x के लिए अभिसरण करती है
, श्रृंखला अलग हो जाती है।

संख्याआरबुलायाअभिसरण की त्रिज्या शक्ति श्रृंखला, और अंतराल
– अभिसरण अंतराल x की घातों में घात श्रृंखला।

ध्यान दें कि प्रमेय अभिसरण अंतराल के सिरों पर श्रृंखला के अभिसरण के बारे में कुछ नहीं कहता है, अर्थात। अंक में
... इन बिंदुओं पर, अलग-अलग शक्ति श्रृंखला अलग-अलग व्यवहार करती हैं: श्रृंखला अभिसरण (बिल्कुल या सशर्त) हो सकती है, या यह अलग हो सकती है। इसलिए, इन बिंदुओं पर श्रृंखला के अभिसरण को सीधे परिभाषा द्वारा जांचा जाना चाहिए।

विशेष मामलों में, श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या शून्य या अनंत हो सकती है। अगर
, फिर शक्तियों में शक्ति श्रृंखला एन एसकेवल एक बिंदु पर अभिसरण होता है
; अगर
, तो शक्ति श्रृंखला संपूर्ण संख्या अक्ष पर अभिसरण करती है।

एक बार फिर ध्यान दें कि शक्ति श्रृंखला
डिग्री के अनुसार
एक शक्ति श्रृंखला में कम किया जा सकता है
प्रतिस्थापित करके
... यदि पंक्ति
पर अभिसरण करता है
, अर्थात। के लिये
, तो रिवर्स रिप्लेसमेंट के बाद हमें मिलता है

या
.

इस प्रकार, शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल
रूप है
... बिंदु कहा जाता है अभिसरण का केंद्र... स्पष्टता के लिए, संख्यात्मक अक्ष पर अभिसरण अंतराल को चित्रित करने की प्रथा है (चित्र 1)

इस प्रकार, अभिसरण डोमेन में अभिसरण अंतराल होता है, जिसमें अंक जोड़े जा सकते हैं
यदि श्रृंखला इन बिंदुओं पर अभिसरण करती है। किसी दी गई श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी श्रृंखला में डी'अलेम्बर्ट परीक्षण या रेडिकल कॉची परीक्षण को सीधे लागू करके अभिसरण अंतराल पाया जा सकता है।

उदाहरण 18.

श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र खोजें
.

समाधान।

यह श्रृंखला डिग्री में एक शक्ति श्रृंखला है एन एस, अर्थात।
... इस श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें, और डी'अलेम्बर्ट परीक्षण का उपयोग करें।

श्रृंखला अभिसरण होगी यदि सीमा का मान 1 से कम है, अर्थात।

, कहां
.

इस प्रकार, इस श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल
, अभिसरण की त्रिज्या
.

हम अंतराल के अंत में, बिंदुओं पर श्रृंखला के अभिसरण की जांच करते हैं
... इस पंक्ति में मूल्य प्रतिस्थापित करना
, हमें श्रृंखला मिलती है

.

परिणामी श्रृंखला एक हार्मोनिक अपसारी श्रृंखला है, इसलिए, बिंदु पर
पंक्ति अलग हो जाती है, इसलिए बिंदु
अभिसरण के क्षेत्र में शामिल नहीं है।

पर
हमें एक वैकल्पिक श्रृंखला मिलती है

,

जो सशर्त रूप से अभिसरण है (उदाहरण 15), इसलिए, बिंदु
– अभिसरण बिंदु (सशर्त)।

इस प्रकार, श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र
, और बिंदु पर
श्रृंखला सशर्त रूप से परिवर्तित होती है, और अन्य बिंदुओं पर - बिल्कुल।

उदाहरण को हल करने के लिए प्रयुक्त तर्क को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

शक्ति श्रृंखला पर विचार करें

आइए हम श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों की एक श्रृंखला की रचना करें और उस पर अलंबर चिह्न डी लागू करें।

यदि कोई (सीमित या अनंत) सीमा है, तो अलंबर विशेषता डी के लिए अभिसरण की स्थिति के अनुसार, श्रृंखला अभिसरण होगी यदि

,

,

.

इसलिए, अंतराल की परिभाषा और अभिसरण की त्रिज्या से, हमारे पास है

रेडिकल कॉची मानदंड और तर्क को समान रूप से लागू करने पर, अभिसरण की त्रिज्या को खोजने के लिए एक और सूत्र प्राप्त किया जा सकता है

उदाहरण 19

समाधान।

श्रृंखला डिग्री में घातीय है एन.एस.अभिसरण अंतराल को खोजने के लिए, हम उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके अभिसरण त्रिज्या की गणना करते हैं। किसी दी गई श्रृंखला के लिए, संख्यात्मक गुणांक के सूत्र का रूप होता है

, फिर

अत,

चूंकि आर = , फिर श्रृंखला सभी मानों के लिए (और बिल्कुल) अभिसरण करती है एन एस,वे। अभिसरण क्षेत्र एन एस (–; +).

ध्यान दें कि सूत्रों का उपयोग किए बिना अभिसरण के क्षेत्र को खोजना संभव होगा, लेकिन सीधे अलंबर्ट के परीक्षण डी को लागू करने से:

चूँकि सीमा का मान निर्भर नहीं करता है एन एसऔर 1 से कम, तो श्रृंखला सभी मानों के लिए अभिसरण करती है एन एस,वे। पर एन एस(-;+).

उदाहरण 20

श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र खोजें

1!(एन एस+5)+2!(एन एस + 5) 2 +3!(एन एस + 5) 3 +... + एन एस!(एन एस + 5) एन एस +...

समाधान .

एक्स + 5), वे। अभिसरण का केंद्र एन एस 0 = - 5. श्रृंखला का संख्यात्मक गुणांक ए एन एस = एन!.

श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात कीजिए

.

इस प्रकार, अभिसरण अंतराल में एक बिंदु होता है - अभिसरण अंतराल का केंद्र एक्स = - 5.

उदाहरण 21

श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र खोजें
.

समाधान।

यह श्रृंखला शक्तियों में एक शक्ति श्रृंखला है ( एन एस–2), वे।

अभिसरण का केंद्र एन एस 0 = 2. ध्यान दें कि श्रृंखला किसी निश्चित के लिए साइन-पॉजिटिव है एन एस,अभिव्यक्ति के बाद से ( एनएस- 2) 2 . की शक्ति तक बढ़ा एन.एस.आइए हम श्रृखंला पर मूलक कॉची मानदंड लागू करें।

श्रृंखला अभिसरण होगी यदि सीमा का मान 1 से कम है, अर्थात।

,
,
,

इसलिए अभिसरण की त्रिज्या
, फिर अभिसरण अभिन्न

,
.

इस प्रकार, श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण करती है एन एस
. ध्यान दें कि अभिसरण केंद्र के संबंध में अभिसरण अभिन्न सममित है एन एसहे = 2.

आइए हम अभिसरण अंतराल के सिरों पर श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें।

यह मानते हुए
, हमें एक संख्यात्मक सकारात्मक श्रृंखला मिलती है

आइए आवश्यक अभिसरण मानदंड का उपयोग करें:

इसलिए, संख्या श्रृंखला विचलन करती है, और बिंदु
विचलन का बिंदु है। ध्यान दें कि सीमा की गणना करते समय, दूसरी उल्लेखनीय सीमा का उपयोग किया गया था।

यह मानते हुए
, हमें समान संख्या श्रृंखला मिलती है (इसे स्वयं जांचें!), तो बिंदु
अभिसरण अंतराल में भी शामिल नहीं है।

तो, इस श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण का क्षेत्र एन एस
.

२.३. अभिसरण शक्ति श्रृंखला के गुण

हम जानते हैं कि निरंतर कार्यों का एक सीमित योग निरंतर है; अलग-अलग कार्यों का योग भिन्न होता है, और योग का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग के बराबर होता है; अंतिम योग को टर्म दर टर्म में एकीकृत किया जा सकता है।

यह पता चला है कि सामान्य स्थिति में गुण कार्यों के "अनंत रकम" के लिए नहीं होते हैं - कार्यात्मक श्रृंखला।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन श्रृंखला पर विचार करें

जाहिर है, श्रृंखला के सभी सदस्य निरंतर कार्य हैं। आइए हम इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र और इसका योग ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम श्रृंखला के आंशिक योग पाते हैं

फिर श्रृंखला का योग

इस प्रकार, योग एस(एन एस) किसी दी गई श्रृंखला का, आंशिक योगों के अनुक्रम की सीमा के रूप में मौजूद है और इसके लिए परिमित है एन एस (-1;1), इसलिए, यह अंतराल श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र है। इसके अलावा, इसका योग एक असंतत कार्य है, क्योंकि

तो, इस उदाहरण से पता चलता है कि सामान्य स्थिति में परिमित राशियों के गुणों का अनंत योग-श्रृंखला के लिए कोई एनालॉग नहीं होता है। हालांकि, कार्यात्मक श्रृंखला के विशेष मामले के लिए - शक्ति श्रृंखला - योग के गुण परिमित राशियों के समान होते हैं।

- शायद जटिल इतना कठिन नहीं होगा;) और इस लेख का शीर्षक भी बेतुका है - जिस श्रृंखला पर आज चर्चा की जाएगी, वह अधिक जटिल नहीं है, लेकिन "दुर्लभ पृथ्वी" है। हालाँकि, अंशकालिक छात्रों का भी उनके खिलाफ बीमा नहीं किया जाता है, और इसलिए, ऐसा प्रतीत होता है, अतिरिक्त गतिविधिअत्यंत गंभीरता से लिया जाना चाहिए। आखिरकार, इसे पूरा करने के बाद, आप लगभग किसी भी "जानवर" से निपटने में सक्षम होंगे!

आइए शैली के क्लासिक्स से शुरू करें:

उदाहरण 1

सबसे पहले, ध्यान दें कि यह एक शक्ति श्रृंखला नहीं है (मैं आपको याद दिलाता हूं कि ऐसा लगता है)... और, दूसरी बात, यहाँ अर्थ तुरंत आंख को पकड़ लेता है, जो स्पष्ट रूप से श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र में प्रवेश नहीं कर सकता है। और यह पहले से ही एक छोटी सी शोध सफलता है!

लेकिन फिर भी, बड़ी सफलता कैसे प्राप्त करें? मैं आपको खुश करने के लिए जल्दबाजी करता हूं - इस तरह की पंक्तियों को उसी तरह हल किया जा सकता है जैसे शक्ति नियम- डी'अलेम्बर्ट साइन या रैडिकल कॉची साइन पर निर्भर!

समाधान: मान श्रृंखला के अभिसरण श्रेणी में शामिल नहीं है। यह एक आवश्यक तथ्य है, और इस पर ध्यान दिया जाना चाहिए!

मूल एल्गोरिथ्म एक मानक तरीके से काम करता है। डी'अलेम्बर्ट परीक्षण का उपयोग करते हुए, हम श्रृंखला का अभिसरण अंतराल पाते हैं:

श्रृंखला पर अभिसरण करता है। आइए मॉड्यूल को ऊपर उठाएं:

आइए तुरंत "खराब" बिंदु की जाँच करें: मान ने श्रृंखला के अभिसरण क्षेत्र में प्रवेश नहीं किया।

आइए हम अंतराल के "आंतरिक" सिरों पर श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें:
तो अगर
तो अगर

दोनों संख्यात्मक श्रृंखलाएं अलग हो जाती हैं, क्योंकि यह पूरी नहीं होती है आवश्यक अभिसरण मानदंड.

उत्तर: अभिसरण का क्षेत्र:

आइए थोड़ा विश्लेषणात्मक जांच करें। आइए कुछ मान को सही अंतराल से फ़ंक्शन श्रृंखला में प्रतिस्थापित करें, उदाहरण के लिए:
- में अभिसरण करता है डी'अलेम्बर्ट.

बाएं अंतराल से मूल्यों के प्रतिस्थापन के मामले में, अभिसरण श्रृंखला भी प्राप्त की जाती है:
तो अगर।

और अंत में, यदि, तो श्रृंखला - वास्तव में अलग हो जाता है।

वार्म अप करने के लिए कुछ सरल उदाहरण:

उदाहरण 2

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र खोजें

उदाहरण 3

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र खोजें

"नए" के साथ विशेष रूप से अच्छे बनें मापांक- वह आज 100,500 बार मिलेंगे!

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

उपयोग किए गए एल्गोरिदम सार्वभौमिक और विश्वसनीय प्रतीत होते हैं, लेकिन वास्तव में ऐसा नहीं है - कई कार्यात्मक श्रृंखलाओं के लिए वे अक्सर "स्लिप" करते हैं या गलत निष्कर्ष भी ले जाते हैं (और मैं ऐसे उदाहरणों पर भी विचार करूंगा).

परिणामों की व्याख्या के स्तर पर खुरदरापन पहले से ही शुरू होता है: उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला पर विचार करें। यहाँ, सीमा में, हम प्राप्त करते हैं (इसे स्वयं जांचें), और सिद्धांत रूप में यह उत्तर देना आवश्यक है कि श्रृंखला एक बिंदु पर अभिसरण करती है। हालांकि, बिंदु "ओवरप्ले" है, जिसका अर्थ है कि हमारा "रोगी" हर जगह अलग हो जाता है!

और एक श्रृंखला के लिए, "स्पष्ट" समाधान "कॉची के अनुसार" कुछ भी नहीं देता है:
- किसी भी मान "x" के लिए।

और सवाल उठता है कि क्या किया जाए? आइए उस विधि का उपयोग करें जिसके लिए पाठ का मुख्य भाग समर्पित होगा! इसे निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

विभिन्न मूल्यों पर संख्यात्मक श्रृंखला का प्रत्यक्ष विश्लेषण

वास्तव में, हम पहले ही उदाहरण 1 में ऐसा करना शुरू कर चुके हैं। सबसे पहले, हम कुछ विशिष्ट "x" और संबंधित संख्या श्रृंखला की जांच करते हैं। यह मूल्य लेना चाहता है:
- परिणामी संख्या श्रृंखला विचलन करती है।

और यह तुरंत विचार को प्रेरित करता है: क्या होगा यदि वही बात अन्य बिंदुओं पर होती है?
चलो जांचते हैं एक श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक मानदंडके लिये मनमानामान:

बिंदु ऊपर के लिए जिम्मेदार है, अन्य सभी "एक्स" के लिएहम एक मानक नियुक्ति का आयोजन करते हैं दूसरी अद्भुत सीमा:

उत्पादन: श्रृंखला पूर्ण संख्या रेखा के अनुदिश विचलन करती है

और यह समाधान सबसे अधिक काम करने वाला विकल्प है!

व्यवहार में, कार्यात्मक सीमा की तुलना अक्सर से की जाती है सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला :

उदाहरण 4

समाधान: सबसे पहले, हम निपटते हैं दायरा: इस मामले में, कट्टरपंथी अभिव्यक्ति सख्ती से सकारात्मक होनी चाहिए, और इसके अलावा, श्रृंखला के सभी सदस्यों का अस्तित्व 1 से शुरू होना चाहिए। इससे यह होता है कि:
... इन मूल्यों के साथ, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला प्राप्त की जाती है:
आदि।

अन्य "एक्स" उपयुक्त नहीं हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, जब हमें एक अवैध मामला मिलता है जहां श्रृंखला के पहले दो सदस्य मौजूद नहीं होते हैं।

यह सब अच्छा है, यह सब स्पष्ट है, लेकिन एक और महत्वपूर्ण प्रश्न बना हुआ है - निर्णय को सही तरीके से कैसे तैयार किया जाए? मैं एक ऐसी योजना का प्रस्ताव करता हूं जिसे संख्यात्मक श्रृंखला में "तीर स्थानांतरित करना" कहा जा सकता है:

विचार करना मनमानाअर्थ और संख्या श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें। दिनचर्या लाइबनिज का चिन्ह:

1) यह पंक्ति बारी-बारी से है।

2) - श्रृंखला के सदस्य निरपेक्ष मूल्य में कमी करते हैं। श्रृंखला में प्रत्येक अगला पद पिछले एक की तुलना में निरपेक्ष मूल्य में कम है: इसलिए, कमी मोनोटोनिक है।

निष्कर्ष: श्रृंखला लाइबनिज के आधार पर अभिसरण करती है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यहां अभिसरण सशर्त है - इस कारण से कि श्रृंखला - विचलन।

ठीक वैसे ही - बड़े करीने से और सही ढंग से! "अल्फा" के पीछे हमने बड़ी चतुराई से सभी स्वीकार्य संख्या श्रृंखलाओं को छिपा दिया।

उत्तर: कार्यात्मक श्रृंखला मौजूद है और सशर्त रूप से परिवर्तित होती है।

स्टैंडअलोन समाधान के लिए एक समान उदाहरण:

उदाहरण 5

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का अन्वेषण करें

पाठ के अंत में असाइनमेंट पूरा करने का एक अनुमानित उदाहरण।

आपकी "कामकाजी परिकल्पना" के लिए बहुत कुछ! - कार्यात्मक श्रृंखला अंतराल पर परिवर्तित होती है!

2) एक सममित अंतराल के साथ, सब कुछ पारदर्शी है, हम मानते हैं मनमानामान और हम प्राप्त करते हैं: - संख्यात्मक श्रृंखला को पूरी तरह से परिवर्तित करना।

3) और, अंत में, "मध्य"। यहां भी, दो अंतरालों का चयन करना सुविधाजनक है।

विचार करना मनमानाअंतराल से मूल्य और हमें एक संख्या श्रृंखला मिलती है:

! फिर से - अगर मुश्किल हो , उदाहरण के लिए, किसी विशिष्ट संख्या को प्रतिस्थापित करें। हालाँकि, ... आप कठिनाइयाँ चाहते थे =)

"एन" के सभी मूल्यों के लिए , साधन:
- इस प्रकार, द्वारा तुलना मानदंडश्रृंखला एक असीम रूप से घटती प्रगति के साथ अभिसरण करती है।

हमें प्राप्त अंतराल से "x" के सभी मानों के लिए - संख्यात्मक श्रृंखला को पूरी तरह से परिवर्तित करना।

सभी एक्स की जांच की गई है, एक्स चले गए हैं!

उत्तर: श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र:

मुझे कहना होगा, एक अप्रत्याशित परिणाम! और यह भी जोड़ा जाना चाहिए कि यहां डी'अलेम्बर्ट या कॉची संकेतों का उपयोग निश्चित रूप से भ्रामक होगा!

प्रत्यक्ष मूल्यांकन गणितीय विश्लेषण का "एरोबेटिक्स" है, लेकिन इसके लिए, निश्चित रूप से, अनुभव की आवश्यकता होती है, और कहीं न कहीं अंतर्ज्ञान भी।

या हो सकता है कि किसी को रास्ता आसान मिल जाए? लिखना! वैसे, मिसालें हैं - कई बार पाठकों ने और सुझाव दिए हैं तर्कसंगत निर्णयऔर मैंने उन्हें मजे से प्रकाशित किया।

सफल लैंडिंग :)

उदाहरण 11

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र खोजें

समाधान का मेरा संस्करण बहुत करीब है।

अतिरिक्त कट्टर पाया जा सकता है खंड VI (पंक्तियाँ)कुज़नेत्सोव का संग्रह (समस्याएं 11-13)।इंटरनेट पर तैयार समाधान हैं, लेकिन यहां मैं आपका ऋणी हूं चेतावनी देना- उनमें से कई अधूरे, गलत या यहां तक ​​कि आम तौर पर गलत हैं। और, वैसे, यह इस लेख के जन्म का एक कारण था।

आइए तीन पाठों को संक्षेप में प्रस्तुत करें और हमारे टूलबॉक्स को व्यवस्थित करें। इसलिए:

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण अंतराल (ओं) को खोजने के लिए, कोई उपयोग कर सकता है:

१) डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह या कौची का चिन्ह... और अगर पंक्ति नहीं है गंभीर- विभिन्न मूल्यों के प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा प्राप्त परिणाम का विश्लेषण करते समय हम बहुत सावधानी बरतते हैं।

2) वीयरस्ट्रास के एकसमान अभिसरण के लिए मानदंड... यह हम ना भूलें!

3) विशिष्ट संख्यात्मक श्रृंखला के साथ तुलना- सामान्य मामले में नियम।

फिर पाए गए अंतराल के सिरों का पता लगाएं (अगर जरुरत हो)और हम श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र प्राप्त करते हैं।

अब आपके पास अपने निपटान में एक बहुत ही गंभीर शस्त्रागार है जो आपको लगभग किसी भी विषयगत कार्य से निपटने की अनुमति देगा।

आपकी सफलता की कामना करते है!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान: मान श्रृंखला के अभिसरण श्रेणी में शामिल नहीं है।
हम d'Alembert चिह्न का उपयोग करते हैं:


श्रृंखला के लिए अभिसरण करता है:

इस प्रकार, कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल हैं: .
आइए हम अंतिम बिंदुओं पर श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें:
तो अगर ;
तो अगर .
दोनों संख्यात्मक श्रृंखला विचलन, tk। आवश्यक अभिसरण मानदंड पूरा नहीं किया गया है।

उत्तर : अभिसरण का क्षेत्र: