कार्यात्मक सीमा औपचारिक रूप से लिखित अभिव्यक्ति है

यू1 (एक्स) + यू2 (एक्स) + यू3 (एक्स) + ... + यूn ( एक्स) + ... , (1)

कहाँ पे यू1 (एक्स), यू2 (एक्स), यू3 (एक्स), ..., यूn ( एक्स), ... - स्वतंत्र चर के कार्यों का क्रम एक्स.

सिग्मा के साथ एक कार्यात्मक श्रृंखला की संक्षिप्त संकेतन:।

कार्यात्मक श्रृंखला के उदाहरण हैं :

(2)

(3)

स्वतंत्र चर देकर एक्स कुछ अर्थ एक्स0 और इसे कार्यात्मक श्रृंखला (1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम संख्या श्रृंखला प्राप्त करते हैं

यू1 (एक्स0 ) + यू2 (एक्स0 ) + यू3 (एक्स0 ) + ... + यूn ( एक्स0 ) + ...

यदि परिणामी संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, तो कार्यात्मक श्रृंखला (1) के लिए अभिसरण कहा जाता है एक्स = एक्स0 ; यदि यह विचलन करता है, जिसे कहा जाता है कि श्रृंखला (1) में विचलन करती है एक्स = एक्स0 .

उदाहरण 1. एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें (२) मूल्यों के लिए एक्स \u003d 1 और एक्स = - 1 .
फेसला। कब एक्स \u003d 1 हमें एक संख्या श्रृंखला मिलती है

जो लीबनिज के आधार पर परिवर्तित होता है। कब एक्स \u003d - 1 हमें एक संख्या श्रृंखला मिलती है

,

डायवर्जन हार्मोनिक श्रंखला के उत्पाद के रूप में किसके द्वारा परिवर्तित होता है - 1. तो, श्रृंखला (2) के लिए अभिसरण होता है एक्स \u003d 1 और पर बदलता है एक्स = - 1 .

यदि कार्यात्मक श्रृंखला (1) के अभिसरण के लिए ऐसा चेक अपने सदस्यों के डोमेन से स्वतंत्र चर के सभी मूल्यों के संबंध में किया जाता है, तो इस डोमेन के बिंदुओं को दो सेटों में विभाजित किया जाता है: मूल्यों के लिए एक्सउनमें से एक में लिया, श्रृंखला (1) धर्मान्तरित, और दूसरे में यह विचलन।

स्वतंत्र चर के मूल्यों का सेट जिसके लिए कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरण करती है, इसे कहा जाता है अभिसरण डोमेन .

उदाहरण 2. एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं

फेसला। श्रृंखला के सदस्य पूरी संख्या रेखा पर परिभाषित होते हैं और हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं क्यू \u003d पाप एक्स ... इसलिए, यदि श्रृंखला परिवर्तित होती है

और अगर बदल जाता है

(मान संभव नहीं हैं)। लेकिन मूल्यों के लिए और अन्य मूल्यों के लिए एक्स... नतीजतन, श्रृंखला सभी मूल्यों के लिए परिवर्तित होती है एक्स, के अतिरिक्त । इन अंकों को छोड़कर इसके अभिसरण का क्षेत्र पूरी संख्या रेखा है।

उदाहरण 3. एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं

फेसला। श्रृंखला के सदस्य हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं क्यू\u003d एलएन एक्स ... इसलिए, श्रृंखला अभिसरण, अगर, या, जहां। यह इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र है।

उदाहरण 4. एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

फेसला। चलो एक मनमाना मूल्य लेते हैं। इस मान के साथ, हमें एक संख्या श्रृंखला मिलती है

(*)

इसकी सामान्य अवधि की सीमा ज्ञात कीजिए

नतीजतन, श्रृंखला (*) एक मनमाने ढंग से चुने गए के लिए विचलन करती है, अर्थात्। किसी भी मूल्य के लिए एक्स... इसका अभिसरण का डोमेन एक खाली सेट है।

एक कार्यात्मक श्रृंखला और इसके गुणों का एकरूप अभिसरण

आइए अवधारणा पर आगे बढ़ते हैं कार्यात्मक श्रृंखला की वर्दी अभिसरण ... लश्कर रों(एक्स) इस श्रृंखला का योग है, और रोंn ( एक्स) - रकम n इस श्रृंखला के पहले सदस्य। कार्यात्मक सीमा यू1 (एक्स) + यू2 (एक्स) + यू3 (एक्स) + ... + यूn ( एक्स) + ... को समान रूप से सेगमेंट में परिवर्तित करना कहा जाता है [ ए, ख] अगर किसी भी मनमाने ढंग से छोटी संख्या के लिए ε \u003e 0 ऐसी संख्या है एन वह सब के लिए n ≥ एन असमानता

|रों(एक्स) − रोंn ( एक्स)| < ε

किसी के लिए भी एक्स सेगमेंट से [ ए, ख] .

उपरोक्त संपत्ति ज्यामितीय रूप से निम्नानुसार चित्रित की जा सकती है।

फ़ंक्शन के ग्राफ पर विचार करें y = रों(एक्स) ... आइए इस वक्र के चारों ओर चौड़ाई 2 की एक पट्टी बनाएँ ε n, अर्थात्, हम घटता का निर्माण करेंगे y = रों(एक्स) + ε n तथा y = रों(एक्स) − ε n (नीचे के चित्र में वे हरे हैं)।

फिर किसी के लिए ε n फंक्शन ग्राफ रोंn ( एक्स) पूरी तरह से माना पट्टी में झूठ होगा। एक ही बैंड में सभी आंशिक आंशिक रकम के ग्राफ होंगे।

कोई भी अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला जिसमें ऊपर वर्णित विशेषता नहीं है, असमान रूप से परिवर्तित हो रही है।

समान रूप से परिवर्तित कार्यात्मक श्रृंखला की एक और संपत्ति पर विचार करें:

कुछ अंतरालों पर समान रूप से परिवर्तित होने वाले निरंतर कार्यों की एक श्रृंखला का योग [ ए, ख], एक ऐसा कार्य है जो इस सेगमेंट में निरंतर होता है.

उदाहरण 5। निर्धारित करें कि क्या एक कार्यात्मक श्रृंखला का योग निरंतर है

फेसला। राशि ज्ञात कीजिए n इस श्रृंखला के पहले सदस्य:

अगर एक्स \u003e 0, फिर

,

अगर एक्स < 0 , то

अगर एक्स \u003d 0, फिर

और इसीलिए ।

हमारे शोध से पता चला है कि इस श्रृंखला का योग एक असंतोषजनक कार्य है। इसका ग्राफ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

फ़ंक्शन श्रृंखला की वर्दी अभिसरण के लिए वीयरस्ट्रैस परीक्षण

हम अवधारणा के माध्यम से वीयरस्ट्रैस कसौटी पर पहुंचते हैं कार्यात्मक श्रृंखला की प्रमुखता ... कार्यात्मक सीमा

यू1 (एक्स) + यू2 (एक्स) + यू3 (एक्स) + ... + यूn ( एक्स) + ...

- शायद जटिल इतना मुश्किल नहीं होगा;) और इस लेख का शीर्षक भी विघटनकारी है - श्रृंखला, जिस पर आज चर्चा की जाएगी, अधिक संभावना जटिल नहीं है, लेकिन "दुर्लभ पृथ्वी" है। हालांकि, यहां तक \u200b\u200bकि अंशकालिक छात्रों को उनके खिलाफ बीमा नहीं किया जाता है, और इसलिए, यह प्रतीत होता है, अतिरिक्त गतिविधि अत्यंत गंभीरता के साथ लिया जाना चाहिए। आखिरकार, इसके माध्यम से काम करने के बाद, आप लगभग किसी भी "जानवर" से निपट सकते हैं!

चलो शैली के क्लासिक्स से शुरू करते हैं:

उदाहरण 1

सबसे पहले, ध्यान दें कि यह एक शक्ति श्रृंखला नहीं है (मैं आपको याद दिलाता हूं कि ऐसा लगता है)... और, दूसरी बात, यहाँ अर्थ तुरंत आंख को पकड़ता है, जो स्पष्ट रूप से श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र में प्रवेश नहीं कर सकता है। और यह पहले से ही एक छोटी शोध सफलता है!

लेकिन फिर भी, महान सफलता कैसे प्राप्त करें? मैं आपको खुश करने की जल्दबाजी करता हूं - इस तरह की पंक्तियों को उसी तरह से हल किया जा सकता है गंभीर - डीलेबर्ट संकेत या कट्टरपंथी कैची संकेत पर निर्भर!

फेसला: मान श्रृंखला के अभिसरण श्रेणी में नहीं है। यह एक आवश्यक तथ्य है, और इस पर ध्यान दिया जाना चाहिए!

बुनियादी एल्गोरिथ्म एक मानक तरीके से काम करता है। डी 'एलेबर्ट परीक्षण का उपयोग करके, हम श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल को पाते हैं:

श्रृंखला में परिवर्तित होता है। चलो मॉड्यूल को ऊपर उठाएं:

आइए तुरंत "खराब" बिंदु की जांच करें: मूल्य श्रृंखला के अभिसरण क्षेत्र में प्रवेश नहीं किया।

आइए हम अंतराल के "आंतरिक" छोर पर श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें:
तो अगर
तो अगर

दोनों संख्यात्मक श्रृंखला विचलन करते हैं, क्योंकि यह पूरा नहीं हुआ है आवश्यक अभिसरण मानदंड.

उत्तर: अभिसरण का क्षेत्र:

चलिए थोड़ा विश्लेषणात्मक जाँच करते हैं। चलो उदाहरण श्रृंखला में, सही अंतराल से कुछ मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
- में परिवर्तित करता है d 'Alembert.

बाएं अंतराल से मूल्यों के प्रतिस्थापन के मामले में, अभिसरण श्रृंखला भी प्राप्त की जाती है:
तो अगर।

और अंत में, यदि, फिर श्रृंखला - वास्तव में विचलन।

गर्म करने के लिए सरल उदाहरणों के एक जोड़े:

उदाहरण 2

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं

उदाहरण 3

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं

"नया" के साथ विशेष रूप से अच्छा हो मापांक - वह आज 100,500 बार मिलेंगे!

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

उपयोग किए गए एल्गोरिदम सार्वभौमिक और विश्वसनीय लगते हैं, लेकिन वास्तव में ऐसा नहीं है - कई कार्यात्मक श्रृंखलाओं के लिए वे अक्सर "पर्ची" करते हैं, या यहां तक \u200b\u200bकि गलत निष्कर्ष तक ले जाते हैं। (और मैं भी ऐसे उदाहरणों पर विचार करूंगा).

परिणाम की व्याख्या के स्तर पर पहले से ही खुरदरापन शुरू होता है: उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला। यहां, सीमा में, हम प्राप्त करते हैं (इसे स्वयं जांचें), और सिद्धांत में यह उत्तर देना आवश्यक है कि श्रृंखला एक बिंदु पर परिवर्तित होती है। हालांकि, बिंदु "ओवरप्लेड" है, जिसका अर्थ है कि हमारे "रोगी" हर जगह विचलन करते हैं!

और एक श्रृंखला के लिए, कॉची के अनुसार "स्पष्ट" समाधान "कुछ भी नहीं देता है:
- किसी भी मूल्य के लिए "x"।

और सवाल उठता है, क्या करें? हम उस विधि का उपयोग करते हैं जो पाठ के मुख्य भाग के लिए समर्पित होगी! इसे निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

विभिन्न मूल्यों पर संख्यात्मक श्रृंखला का प्रत्यक्ष विश्लेषण

वास्तव में, हमने पहले से ही उदाहरण 1 में ऐसा करना शुरू कर दिया है। सबसे पहले, हम कुछ विशिष्ट "x" और संबंधित संख्या श्रृंखला की जांच करेंगे। यह मूल्य लेने के लिए भीख माँगता है:
- परिणामी संख्यात्मक श्रृंखला गोताखोर।

और यह तुरंत विचार को बढ़ावा देता है: क्या होगा अगर वही बात अन्य बिंदुओं पर होती है?
चलो देखते है एक श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक मानदंड के लिये मनमाना मान:

ऊपर दिए गए बिंदु, अन्य सभी "x" के लिए हम एक मानक नियुक्ति का आयोजन करते हैं दूसरी अद्भुत सीमा:

निष्कर्ष: श्रृंखला पूरी संख्या रेखा के साथ विचलन करती है

और यह समाधान सबसे काम का विकल्प है!

व्यवहार में, कार्यात्मक सीमा की तुलना अक्सर की जाती है सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला :

उदाहरण 4

फेसला: सबसे पहले, हम निपटते हैं क्षेत्र: इस मामले में, कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सख्ती से सकारात्मक होना चाहिए, और, इसके अलावा, श्रृंखला के सभी सदस्यों को 1 से शुरू होना चाहिए। यह इस प्रकार है कि:
... इन मूल्यों के साथ, सशर्त रूप से परिवर्तित श्रृंखला प्राप्त की जाती है:
आदि।

अन्य "एक्स" उपयुक्त नहीं हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, जब हमें एक अवैध मामला मिलता है जहां श्रृंखला के पहले दो सदस्य मौजूद नहीं होते हैं।

यह सब अच्छा है, यह सब समझ में आता है, लेकिन एक और महत्वपूर्ण सवाल बना हुआ है - कैसे सही ढंग से एक निर्णय लेना है? मैं एक ऐसी योजना का प्रस्ताव करता हूं जिसे शब्द संख्या में "तीर को स्थानांतरित करना" कहा जा सकता है:

विचार करें मनमाना मूल्य और संख्या श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें। सामान्य लाइबनिट्स संकेत:

1) यह पंक्ति वैकल्पिक है।

2) - श्रृंखला के सदस्य निरपेक्ष मूल्य में कमी करते हैं। श्रृंखला में प्रत्येक अगला पद पिछले वाले की तुलना में पूर्ण मूल्य में कम है: इसलिए, कमी मोनोटोनिक है।

निष्कर्ष: श्रृंखला Leibniz के आधार पर परिवर्तित होती है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यहां अभिसरण सशर्त है - इस कारण से कि श्रृंखला - विचलन।

बस ऐसे ही - स्वच्छ और सही! "अल्फा" के पीछे हमने बड़ी चतुराई से सभी स्वीकार्य संख्या श्रृंखला को छिपा दिया।

उत्तर: कार्यात्मक श्रृंखला मौजूद है और सशर्त रूप से परिवर्तित होती है।

एक अकेले खड़े समाधान के लिए एक समान उदाहरण:

उदाहरण 5

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

पाठ के अंत में असाइनमेंट को पूरा करने का एक अनुमानित उदाहरण।

आपके "काम की परिकल्पना" के लिए बहुत कुछ! - कार्यात्मक श्रृंखला अंतराल पर धर्मान्तरित!

2) एक सममित अंतराल के साथ, सब कुछ पारदर्शी है, हम विचार करते हैं मनमाना मान और हम प्राप्त करते हैं: - संख्यात्मक श्रृंखला को पूर्ण रूप से परिवर्तित करना।

3) और, अंत में, "मध्य"। यहां दो अंतरालों का चयन करना भी सुविधाजनक है।

विचार करें मनमाना अंतराल से मूल्य और हमें एक श्रृंखला मिलती है:

! फिर से - अगर मुश्किल , किसी भी विशिष्ट संख्या को प्रतिस्थापित करें, उदाहरण के लिए। हालाँकि, ... आप कठिनाइयों \u003d) चाहते थे

"एन" के सभी मूल्यों के लिए माध्यम:
- इस प्रकार, द्वारा तुलना की सुविधा श्रृंखला एक असीम रूप से घटती हुई प्रगति के साथ परिवर्तित होती है।

हम प्राप्त अंतराल से "x" के सभी मूल्यों के लिए - संख्यात्मक श्रृंखला को पूर्ण रूप से परिवर्तित करना।

सभी एक्स की जांच की गई है, एक्स चले गए हैं!

उत्तर: श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र:

मुझे कहना होगा, एक अप्रत्याशित परिणाम! और यह जोड़ा जाना चाहिए कि यहाँ डी 'एलेम्बर्ट या कॉची संकेत का उपयोग निश्चित रूप से भ्रामक होगा!

प्रत्यक्ष मूल्यांकन गणितीय विश्लेषण का "एरोबेटिक्स" है, लेकिन यह, ज़ाहिर है, अनुभव की आवश्यकता है, और कहीं न कहीं अंतर्ज्ञान भी।

शायद किसी को रास्ता आसान लगेगा? लिखो! वैसे, इसके उदाहरण हैं - कई बार पाठकों ने अधिक सुझाव दिए तर्कसंगत निर्णयऔर मैंने उन्हें आनंद से प्रकाशित किया।

सफल लैंडिंग :)

उदाहरण ११

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं

समाधान का मेरा संस्करण बहुत करीब है।

अतिरिक्त कट्टर पर पाया जा सकता है धारा VI (पंक्तियाँ)कुज़नेत्सोव का संग्रह (समस्या 11-13)।इंटरनेट पर तैयार किए गए समाधान हैं, लेकिन यहां मैं आपका एहसानमंद हूं चेतावनी देना - उनमें से कई अधूरे हैं, गलत हैं, या आमतौर पर गलत भी हैं। और, वैसे, यह एक कारण था कि यह लेख क्यों पैदा हुआ।

आइए इन तीन पाठों को संक्षेप में प्रस्तुत करें और हमारे टूलबॉक्स को व्यवस्थित करें। इसलिए:

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण अंतराल (एस) को खोजने के लिए, कोई भी उपयोग कर सकता है:

1) डी 'एलेबर्ट साइन या कॉची साइन... और अगर पंक्ति नहीं है गंभीर - प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा परिणाम का विश्लेषण करते समय हम बहुत ध्यान रखते हैं विभिन्न अर्थ.

2) वीयरस्ट्रैस की वर्दी अभिसरण की कसौटी... मत भूलना!

3) ठेठ संख्यात्मक श्रृंखला के साथ तुलना - सामान्य रूप से नियम।

फिर पाया अंतराल के अंत का पता लगाएं (अगर जरुरत हो) और हम श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र को प्राप्त करते हैं।

अब आपके पास अपने निपटान में एक बहुत गंभीर शस्त्रागार है, जो आपको लगभग किसी भी विषयगत कार्य से निपटने की अनुमति देगा।

आप शुभकामनाएँ!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: फेसला: मान श्रृंखला के अभिसरण श्रेणी में नहीं है।
हम डीलेबर्ट संकेत का उपयोग करते हैं:


श्रृंखला इसके लिए परिवर्तित होती है:

इस प्रकार, कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल: .
हम अंतिम बिंदुओं पर श्रृंखला के अभिसरण की जांच करते हैं:
तो अगर ;
तो अगर .
दोनों संख्यात्मक श्रृंखला विचलन, क्योंकि आवश्यक अभिसरण मानदंड पूरा नहीं हुआ है।

उत्तर : अभिसरण का क्षेत्र:

अभिसरण का डोमेन एक कार्यात्मक श्रृंखला उन सदस्यों की एक श्रृंखला है, जो कार्य करते हैं / संख्यात्मक अक्ष के कुछ सेट ई पर परिभाषित होते हैं। उदाहरण के लिए, श्रृंखला की शर्तों को एक अंतराल पर परिभाषित किया जाता है, और श्रृंखला की शर्तों को एक अंतराल कार्यात्मक श्रृंखला पर परिभाषित किया जाता है (1) को बिंदु X0 € E पर अभिसरण कहा जाता है यदि FUNCTIONAL श्रृंखलाएँ अभिसरण के डोमेन को एकीकृत करती हैं यूनिफॉर्म अभिसरण Weierstrass परीक्षण गुण समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला संख्यात्मक श्रृंखला के गुण (1)। सेट D C E के प्रत्येक बिंदु पर x और प्रत्येक बिंदु पर भिन्न होता है जो सेट D से संबंधित नहीं होता है, फिर श्रृंखला को सेट D पर अभिसरण करने के लिए कहा जाता है, और D को श्रृंखला के अभिसरण का डोमेन कहा जाता है। श्रृंखला (1) को सेट डी पर पूरी तरह से अभिसरण कहा जाता है यदि श्रृंखला इस सेट पर परिवर्तित होती है। सेट डी पर श्रृंखला (1) के अभिसरण के मामले में, इसका योग एस डी पर परिभाषित एक फ़ंक्शन होगा, कुछ कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात पर्याप्त मानदंडों का उपयोग करके पाया जा सकता है। सकारात्मक शब्दों के साथ श्रृंखला के लिए स्थापित किया गया है, उदाहरण के लिए, डुप्बर का परीक्षण, कॉची का परीक्षण। उदाहरण 1. श्रृंखला M के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात करें क्योंकि संख्या श्रृंखला p\u003e 1 के लिए अभिसरण करती है और p\u003e 1 के लिए विचलन करती है, तब p - Igx को सेट करते हुए, हम इस श्रृंखला को प्राप्त करते हैं। जब Igx\u003e conver अर्थात् अगर x\u003e 10, और Igx ^ 1, अर्थात 0 पर< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 पंक्ति विचलन, तब से \u003d \u003d। एक्स \u003d 0 पर श्रृंखला का विचलन स्पष्ट है। उदाहरण 3. किसी श्रृंखला के अभिसरण का डोमेन ज्ञात करें दी गई श्रृंखला की शर्तें निर्धारित पर निर्धारित और निरंतर हैं। कसौटी Kosh लगाने और, हम किसी भी के लिए पाते हैं। नतीजतन, श्रृंखला एक्स के सभी मूल्यों के लिए विचलन करती है। हम Sn (x) द्वारा कार्यात्मक श्रृंखला के nth आंशिक योग (1) को दर्शाते हैं। यदि यह श्रृंखला सेट D पर परिवर्तित होती है और इसका योग 5 (g) के बराबर है, तो इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है कि सेट D पर श्रृंखला का योग कहां है, जिसे कार्यात्मक श्रृंखला का nth शेष कहा जाता है (1)। All € डी के सभी मूल्यों के लिए संबंध रखता है और इसलिए। अर्थात्, एक अभिसारी श्रृंखला का शेष Rn (x) n oo के रूप में शून्य हो जाता है, जो भी x 6 D. यूनिफॉर्म अभिसरण सभी अभिसरण फलन श्रृंखला के बीच, एक महत्वपूर्ण भूमिका तथाकथित समान रूप से अभिसरण श्रृंखला द्वारा निभाई जाती है। बता दें कि सेट D पर एक कार्यात्मक श्रृंखला दी गई है जिसका योग S (x) के बराबर है। आइए इसकी n-th आंशिक योग परिभाषा लेते हैं। फ़ंक्शनल सीरीज़ फ़ंक्शनल सीरीज़ कन्वर्जेंस रीजन यूनिफ़ॉर्म कन्वर्सेशन वीयरस्ट्रैस टेस्ट यूनिफ़ॉर्म कन्वर्सेशनल फ़ंक्शनल सीरीज़ के गुणों को समान रूप से सेट ПС1 पर कहा जाता है) यदि किसी भी संख्या e\u003e 0 के लिए कोई संख्या λ 0 है तो ऐसी असमानता सभी संख्याओं के लिए धारण करती है n\u003e N और सभी के लिए। x से fI सेट करें। टिप्पणी। यहां संख्या N सभी x € 10 के लिए समान है, अर्थात। z पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन संख्या e की पसंद पर निर्भर करता है, इसलिए वे N \u003d N (e) लिखते हैं। सेट फ़ुट पर फ़ंक्शन S (x) के कार्यात्मक श्रृंखला / n (®) के समान अभिसरण को अक्सर निम्नानुसार निरूपित किया जाता है: सेट फ़ुट पर श्रृंखला / n (x) के समरूप अभिसरण की परिभाषा को तार्किक प्रतीकों की सहायता से छोटा लिखा जा सकता है: आइए हम समान रूप से समरूप अभिसरण के ज्यामितीय अर्थ बताते हैं। कार्यात्मक सीमा। हम सेगमेंट के रूप में [a, 6] सेगमेंट लेते हैं और फ़ंक्शंस के ग्राफ़ का निर्माण करते हैं। असमानता |, जो संख्या n\u003e N और सभी के लिए रखती है a; जी [ए, बी], निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है प्राप्त असमानताएं दर्शाती हैं कि संख्या n \u003d N के साथ सभी फ़ंक्शन y \u003d Sn (x) के ग्राफ पूरी तरह से \u003d- बैंड के भीतर घुसे हुए होंगे, जो घटता \u003d \u003d S (x) - e से घिरा हुआ है और y \u003d 5 (जी) + ई (छवि 1)। उदाहरण 1 समान रूप से खंड पर अभिसरण करता है। यह श्रृंखला संकेतों के साथ बारी-बारी से चलती है, किसी भी x € [-1,1] के लिए लिबनिज परीक्षण की शर्तों को संतुष्ट करती है और इसलिए, खंड (-1,1) पर अभिसरण करती है। S (x) का योग और Sn है। (x) - इसका n-th आंशिक योग पूर्ण मूल्य में श्रृंखला का शेष भाग अपने पहले कार्यकाल के निरपेक्ष मान से अधिक नहीं है: और जब से हम कोई ई लेते हैं। तब असमानता | संतुष्ट हो जाएगी। इससे हम पाते हैं कि n\u003e 1। यदि हम एक संख्या लेते हैं (यहाँ [a] सबसे बड़े पूर्णांक को निरूपित करता है a), तो असमानता | f सभी संख्याओं n\u003e N और सभी x € [-1,1) के लिए होगा। इसका अर्थ है कि यह श्रृंखला समान रूप से खंड [-1,1) पर परिवर्तित होती है। I. D पर सेट D में कनवर्ट होने वाली प्रत्येक फ़ंक्शन श्रृंखला समान रूप से उदाहरण 2 पर परिवर्तित नहीं हो रही है। बता दें कि श्रृंखला एक सेगमेंट में परिवर्तित होती है, लेकिन समान रूप से नहीं। 4 आइए श्रृंखला के n-th आंशिक योग £ (*) की गणना करें। हमारे पास जहां यह श्रृंखला एक खंड और उसके योग में परिवर्तित होती है यदि अंतर का पूर्ण मान S (x) - 5 ((x) (श्रृंखला के शेष) के बराबर है। एक नंबर ऐसा लो कि। आइए हम n के संबंध में असमानता को हल करते हैं। हमारे पास (जब से, और जब Inx द्वारा विभाजित किया जाता है, तो असमानता विपरीत में बदल जाती है)। असमानता पकड़ लेगी। इसलिए, इस तरह की संख्या एन (ई) x से स्वतंत्र है कि असमानता प्रत्येक के लिए रखती है) एक बार खंड से सभी एक्स के लिए। , अस्तित्व में नहीं है। यदि हम खंड 0 को एक छोटे खंड के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, जहां, तो बाद में दी गई श्रृंखला S0 समान रूप से फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाएगी। दरअसल, सभी के लिए और इसलिए एक बार therefore3 पर। Weierstrass परीक्षण एक समारोह श्रृंखला की वर्दी अभिसरण के लिए एक पर्याप्त मानदंड Weierstrass प्रमेय द्वारा दिया गया है। प्रमेय 1 (वीरस्ट्रैस परीक्षण)। मान लीजिए कि सेट क्यू से सभी x के लिए कार्यात्मक श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मान से अधिक नहीं हैं, धनात्मक संख्या के साथ अभिसरण संख्या \u003d 1 के समान शब्द हैं, अर्थात्, सभी x। के लिए। फिर कार्यात्मक श्रृंखला (1) सेट पर पूर्ण और समान रूप से परिवर्तित होती है। ... और टेक, प्रमेय की परिकल्पना के अनुसार, पूरे सेट क्यू पर श्रृंखला की शर्तें (1) संतुष्ट स्थिति (3), फिर तुलना मानदंड द्वारा श्रृंखला 2 \\ fn (x) \\ किसी भी x ∈ यू के लिए अभिसरण होती है, और, परिणामस्वरूप, श्रृंखला (1) पर परिवर्तित होती है पूर्ण रूप से। आइए हम श्रृंखला (1) के समरूप अभिसरण को सिद्ध करें। क्रमशः, Sn (x) और एक आंशिक श्रृंखला (1) और (2) के आधार पर बताएं। हमारे पास कोई भी (मनमाने ढंग से छोटा) नंबर e\u003e 0. है। फिर संख्या श्रृंखला (2) का अभिसरण एक संख्या N \u003d N (e) के अस्तित्व का तात्पर्य करता है, जैसे, - सभी संख्याओं के लिए n\u003e N (e) और सभी xbn के लिए , अर्थात। श्रृंखला (1) सेट पी। रिमार्क पर समान रूप से परिवर्तित होती है। संख्या श्रृंखला (2) को अक्सर कार्यात्मक श्रृंखला (1) के लिए प्रमुख या प्रमुख कहा जाता है। उदाहरण 1. समान अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें। असमानता सभी के लिए है। और सभी के लिए। संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है। वेरिएस्ट्रास कसौटी के आधार पर, माना कार्यात्मक श्रृंखला संपूर्ण अक्ष पर बिल्कुल और समान रूप से परिवर्तित होती है। उदाहरण 2. समरूप अभिसरण के लिए श्रृंखला की जाँच करें। श्रृंखला की शर्तें परिभाषित हैं और अंतराल पर जारी हैं [-2,2 | चूंकि किसी भी प्राकृतिक n के लिए अंतराल [-2,2) पर है, तो इस प्रकार, असमानता पकड़ में आती है। चूंकि नंबर श्रृंखला अभिसरण करती है, वीयरस्ट्रैस मानदंड के अनुसार, मूल कार्यात्मक श्रृंखला एक खंड पर बिल्कुल और समान रूप से परिवर्तित होती है। टिप्पणी। कार्यात्मक श्रृंखला (1) इस मामले में सेट पिव पर समान रूप से अभिसरण कर सकती है जब कोई संख्यात्मक प्रमुख श्रृंखला (2) नहीं होती है, अर्थात, वीयरस्ट्रैस परीक्षण वर्दी अभिसरण के लिए केवल एक पर्याप्त मानदंड है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है। उदाहरण। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है (उदाहरण), श्रृंखला 1-1,1] खंड पर समान रूप से परिवर्तित होती है। हालांकि, इसके लिए कोई प्रमुख अभिसरण श्रृंखला (2) नहीं है। वास्तव में, सभी प्राकृतिक n के लिए और सभी x, [-1,1) के लिए, असमानता रखती है, और समानता प्राप्त की जाती है। इसलिए, आवश्यक प्रमुख श्रृंखला (2) की शर्तों को निश्चित रूप से इस शर्त को पूरा करना चाहिए, लेकिन संख्या श्रृंखला FUNCTIONAL SERIES कन्वर्जेंस क्षेत्र यूनिफॉर्म अभिसरण Weierstrass परीक्षण गुण समान रूप से कार्यात्मक श्रृंखला डाइवर्ज को परिवर्तित करने का गुण। इसका मतलब है कि श्रृंखला £ op भी विचलन करेगा। समान रूप से परिवर्तित फ़ंक्शन श्रृंखला के गुण समान रूप से परिवर्तित फ़ंक्शन श्रृंखला में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं। प्रमेय 2. यदि एक श्रृंखला के सभी शब्द समान रूप से अंतराल [a, b] पर समान कार्य जी (x) से गुणा किए जाते हैं, [a, 6] पर, तो परिणामी कार्यात्मक श्रृंखला समान रूप से परिवर्तित होती है। मान लीजिए कि अंतराल पर [a, b \\ _ श्रृंखला £ fn (x) समान रूप से फ़ंक्शन 5 (x) में परिवर्तित हो जाती है, और फ़ंक्शन g (x) बाउंड हो जाता है, अर्थात, निरंतर C\u003e 0 ऐसा मौजूद होता है, जो श्रृंखला के समरूप अभिसरण की परिभाषा से होता है। किसी भी संख्या e\u003e 0 के लिए, एक संख्या N मौजूद है जैसे कि n\u003e N और सभी x a [a, b] के लिए, असमानता 5n (ar) पर विचार के तहत श्रृंखला का आंशिक योग है। इसलिए, हम किसी के लिए भी होगा। श्रृंखला समान रूप से [ए, बी | एक समारोह के लिए प्रमेय 3. मान लीजिए कि एक कार्यात्मक श्रृंखला के सभी शब्द fn (x) निरंतर हैं और श्रृंखला अंतराल [a, b \\ "पर समान रूप से परिवर्तित होती है। फिर इस खंड पर श्रृंखला का योग (x) निरंतर है। M सेगमेंट पर दो मनमाना पॉइंट लेते हैं रिग + Ax [o, b]। चूंकि यह श्रृंखला समान रूप से खंड [a, b] पर परिवर्तित होती है, फिर किसी भी संख्या e\u003e 0 के लिए एक संख्या N \u003d N (e) होती है, जैसे कि n\u003e N असमानता के लिए जहां 5n (x) श्रृंखला fn के आंशिक योग हैं। (एक्स)। ये आंशिक रकम एस.एन. (x) अंतराल [ए, ६] पर निरंतर हैं क्योंकि सूक्ष्म रूप से कई कार्य fn (x) का योग [ए, ६) पर जारी है। इसलिए, एक निश्चित संख्या no\u003e N (e) और एक दी गई संख्या e के लिए, एक संख्या है 6 \u003d 6 (e)\u003e 0 ऐसी है कि वेतन वृद्धि के लिए स्थिति को संतुष्ट करने वाला Ax।, असमानता जगह लेती है। S का योग वृद्धि वेतन (x) निम्नलिखित में दर्शाया जा सकता है। फार्म: कहां से एक्सिस की वेतन वृद्धि की स्थिति के लिए असमानताओं (1) और (2) को ध्यान में रखते हुए, हमें यह प्राप्त होता है कि सिक्स का योग) बिंदु x पर निरंतर है। चूंकि x सेगमेंट का एक मनमाना बिंदु है [a, 6], तो 5 (x) निरंतर है | a, 6 | टिप्पणी। एक कार्यात्मक श्रृंखला जिसकी शर्तें खंड [a, 6) पर निरंतर होती हैं, लेकिन जो (समान, 6) गैर-समान रूप से परिवर्तित होती हैं, उदाहरण के रूप में एक असंगत योग हो सकता है। खंड पर एक कार्यात्मक श्रृंखला पर विचार करें। 0,1)। आइए इसकी n-th आंशिक राशि की गणना करें। इसलिए, यह एक खंड पर बंद है, हालांकि श्रृंखला की शर्तें इस पर निरंतर हैं। सिद्ध प्रमेय द्वारा, यह श्रृंखला एक अंतराल पर समान रूप से अभिसरण नहीं है। उदाहरण 2. एक श्रृंखला पर विचार करें जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, इस श्रृंखला के लिए अभिसरण होता है, श्रृंखला 1 और नंबर श्रृंखला के अभिसरण होने के बाद से, वीयरस्ट्रैस मानदंड के अनुसार समान रूप से परिवर्तित हो जाएगी। इसलिए, किसी भी x\u003e 1 के लिए, इस श्रृंखला का योग निरंतर है। टिप्पणी। फ़ंक्शन को रोम फ़ंक्शन कहा जाता है (यह फ़ंक्शन संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है)। प्रमेय 4 (एक कार्यात्मक श्रृंखला के टर्म-बाय-टर्म एकीकरण पर)। मान लीजिए कि श्रृंखला के सभी शब्द fn (x) निरंतर हैं और श्रृंखला फ़ंक्शन S (x) के अंतराल [a, b] पर समान रूप से परिवर्तित होती है। तब समानता रखती है। फ़ंक्शंस की निरंतरता द्वारा fn (x) और दिए गए सीरीज़ के समरूप अभिसरण [a, 6] पर, इसका योग S (x) निरंतर होता है और इसलिए, पूर्णांक पर। इस अंतर पर विचार करें कि यह [o, b] श्रृंखला के एकरूप अभिसरण से निकला है कि किसी भी ε\u003e 0 के लिए एक संख्या N (e)\u003e 0 है, जो सभी संख्याओं n\u003e N (e) और सभी x a [a, 6] के लिए है। यदि श्रृंखला fn (0 समान रूप से अभिसरण नहीं है, तो, आम तौर पर बोलते हुए, यह एकीकृत टर्म-बाय-टर्म नहीं हो सकता है, अर्थात् प्रमेय 5 (एक कार्यात्मक श्रृंखला के टर्म-बाय-टर्म भेदभाव पर) चलिए श्रृंखला 00 के सभी शब्दों में निरंतर व्युत्पन्न और एक श्रृंखला होती है। इन व्युत्पत्तियों में, समान रूप से अंतराल [a, b] पर अभिसरण होता है। फिर किसी भी बिंदु पर समानता रखती है, अर्थात, इस श्रृंखला को शब्द द्वारा विभेदित किया जा सकता है। हमें कोई भी दो अंक लेने चाहिए। फिर, प्रमेय 4 द्वारा, हमारे पास फ़ंक्शन o- (x) निरंतर है। निरंतर कार्यों के एक समान रूप से परिवर्तित श्रृंखला के योग के रूप में। समानता से अंतर करते हुए, हम अभ्यास प्राप्त करते हैं इन कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्रों का पता लगाएं: वीयरस्ट्रैस परीक्षण का उपयोग करके, संकेतित अंतराल पर इन कार्यात्मक श्रृंखला के समान अभिसरण को साबित करें:

क्रियात्मक पंक्तियाँ। बिजली की श्रृंखला।
श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र

बिना किसी कारण के हँसी डीलेबर्ट का संकेत है

कार्यात्मक पंक्तियों का घंटा मारा गया है। विषय को सफलतापूर्वक मास्टर करने के लिए, और, विशेष रूप से, इस पाठ को, आपको सामान्य संख्या श्रृंखला में अच्छी तरह से वाकिफ होना चाहिए। यह अच्छी तरह से समझा जाना चाहिए कि एक श्रृंखला क्या है, अभिसरण के लिए श्रृंखला का अध्ययन करने के लिए तुलनात्मक संकेतों का उपयोग करने में सक्षम हो। इस प्रकार, यदि आपने अभी-अभी विषय का अध्ययन शुरू किया है या उच्च गणित में एक चायदानी हैं, ज़रूरीअनुक्रम में तीन पाठों के माध्यम से काम करें: डमी के लिए पंक्तियों, डी 'एलेम्बर्ट संकेत। कैची संकेत तथा वैकल्पिक पंक्तियों। लीबनिज का संकेत... तीनों की आवश्यकता है! यदि आपके पास संख्यात्मक श्रृंखला के साथ समस्याओं को हल करने में बुनियादी ज्ञान और कौशल है, तो यह कार्यात्मक श्रृंखला के साथ सामना करने के लिए काफी सरल होगा, क्योंकि बहुत नई सामग्री नहीं है।

इस पाठ में, हम एक कार्यात्मक श्रृंखला की अवधारणा पर विचार करेंगे (यह सामान्य रूप से क्या है), बिजली श्रृंखला से परिचित हों जो कि 90% व्यावहारिक कार्यों में पाए जाते हैं, और यह सीखते हैं कि अभिसरण की त्रिज्या, अभिसरण अंतराल और एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र को खोजने की एक सामान्य विशिष्ट समस्या को कैसे हल किया जाए। इसके बाद, मैं सामग्री के बारे में विचार करने की सलाह देता हूं बिजली श्रृंखला में कार्यों का विस्तार, और शुरुआती को एक एम्बुलेंस प्रदान की जाएगी। हमारी सांस पकड़ने के बाद, अगले स्तर पर जाएँ:

कार्यात्मक पंक्तियों के अनुभाग में भी उनमें से कई हैं अनुमानित कंप्यूटिंग के लिए आवेदन, और फूरियर श्रृंखला, जो, एक नियम के रूप में, शैक्षिक साहित्य में एक अलग अध्याय आवंटित किया जाता है, थोड़ा अलग हो जाता है। मेरे पास केवल एक लेख है, लेकिन एक लंबा और कई, कई अतिरिक्त उदाहरण हैं!

इसलिए, स्थल निर्धारित किए गए हैं, चलो चलते हैं:

एक कार्यात्मक श्रृंखला और एक शक्ति श्रृंखला की अवधारणा

यदि सीमा अनंत हो जाती है, तब समाधान एल्गोरिदम भी अपना काम समाप्त कर देता है, और हम कार्य को अंतिम उत्तर देते हैं: "श्रृंखला में अभिसरण होता है" (या तो)। पिछले पैराग्राफ का मामला # 3 देखें।

यदि सीमा शून्य नहीं है और अनंत नहीं है, तो हमारे पास अभ्यास केस नंबर 1 में सबसे आम है - श्रृंखला एक निश्चित अंतराल पर परिवर्तित होती है।

इस मामले में, सीमा है। किसी श्रृंखला के अभिसरण अंतराल को कैसे खोजें? हम असमानता की रचना करते हैं:

में इस प्रकार का कोई भी कार्य असमानता के बाईं ओर होना चाहिए सीमा गणना परिणाम, और असमानता के दाईं ओर - सख्ती से इकाई... मैं यह नहीं बताऊंगा कि इस तरह की असमानता क्यों है और दाईं ओर एक क्यों है। सबक एक व्यावहारिक अभिविन्यास के हैं, और यह पहले से ही बहुत अच्छा है कि शिक्षण स्टाफ ने मेरी कहानियों से खुद को लटका नहीं दिया, और कुछ प्रमेय स्पष्ट हो गए।

मॉड्यूल के साथ काम करने और दोहरी असमानताओं को हल करने की तकनीक पर लेख में पहले वर्ष में विस्तार से चर्चा की गई थी कार्यक्षेत्र गुंजाइश, लेकिन सुविधा के लिए, मैं सभी कार्यों को यथासंभव विस्तृत रूप से बताने का प्रयास करूंगा। स्कूल नियम मॉड्यूल के साथ असमानता का खुलासा करना ... इस मामले में:

आधा रास्ता पीछे।

दूसरे चरण में, पाया गया अंतराल के सिरों पर श्रृंखला के अभिसरण की जांच करना आवश्यक है।

सबसे पहले, हम अंतराल के बाएं छोर को लेते हैं और इसे हमारी शक्ति श्रृंखला में प्रतिस्थापित करते हैं:

कब

एक संख्या श्रृंखला प्राप्त होती है, और हमें अभिसरण के लिए इसकी जांच करने की आवश्यकता होती है (पिछले पाठों से पहले से परिचित एक समस्या)।

1) पंक्ति संकेतों के साथ बारी-बारी से है।
2) - श्रृंखला के सदस्य निरपेक्ष मूल्य में कमी करते हैं। इसके अलावा, श्रृंखला का प्रत्येक अगला शब्द पिछले एक की तुलना में पूर्ण मूल्य में कम है: इसलिए, कमी मोनोटोनिक है।
निष्कर्ष: श्रृंखला अभिसरण करती है।

मॉड्यूल की एक श्रृंखला की मदद से, हम यह पता लगाएंगे कि:
- अभिसरण ("संदर्भ" श्रृंखला सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला के परिवार से)।

इस प्रकार, परिणामी संख्या श्रृंखला पूरी तरह से परिवर्तित हो जाती है।

पर - जुटता है।

! ध्यान दिलाना किसी भी धनात्मक धर्मान्तरित श्रृंखला भी पूरी तरह से अभिसरण है

इस प्रकार, बिजली श्रृंखला अभिसरण, और बिल्कुल, अंतराल के दोनों सिरों पर मिली।

उत्तर: जांच की गई बिजली श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र:

जीवन का अधिकार है और जवाब का एक और डिजाइन: श्रृंखला में कनवर्ट करता है अगर

कभी-कभी समस्या बयान में अभिसरण की त्रिज्या को इंगित करना आवश्यक है। जाहिर है, माना उदाहरण में।

उदाहरण 2

एक बिजली श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं

फेसला: श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल पाया जाता है के जरिए डी'एल्बर्ट संकेत (लेकिन फीचर से नहीं! - कार्यात्मक श्रृंखला के लिए ऐसी सुविधा मौजूद नहीं है):

श्रृंखला में परिवर्तित होता है

बाएं हमें छोड़ने की जरूरत है केवल, इसलिए हम असमानता के दोनों पक्षों को 3 से गुणा करते हैं:

- पंक्ति बारी-बारी से है।
– - श्रृंखला के सदस्य निरपेक्ष मूल्य में कमी करते हैं। श्रृंखला का प्रत्येक अगला पद पिछले वाले की तुलना में पूर्ण मूल्य में कम है: इसलिए, कमी मोनोटोनिक है।

निष्कर्ष: श्रृंखला अभिसरण करती है।

आइए हम अभिसरण के चरित्र के लिए इसकी जाँच करें:

आइए इस पंक्ति की तुलना डायवर्जिंग पंक्ति से करें।
हम सीमित तुलना कसौटी का उपयोग करते हैं:

एक परिमित संख्या प्राप्त की जाती है जो कि नॉनज़ेरो है, जिसका अर्थ है कि श्रृंखला श्रृंखला के साथ-साथ विचलन करती है।

इस प्रकार, श्रृंखला सशर्त रूप से परिवर्तित होती है।

२) जब - विचलन (जैसा साबित हुआ)।

उत्तर: जांच शक्ति श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र:। पर, श्रृंखला सशर्त रूप से परिवर्तित होती है।

माना उदाहरण में, पावर श्रृंखला के अभिसरण का डोमेन एक आधा-अंतराल है, और अंतराल पावर श्रृंखला के सभी बिंदुओं पर पूर्ण रूप से परिवर्तित हो जाता है, और बिंदु पर, जैसा कि यह निकला - सशर्त.

उदाहरण 3

बिजली श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल का पता लगाएं और पाए गए अंतराल के अंत में इसके अभिसरण की जांच करें

यह अपने-आप के समाधान के लिए एक उदाहरण है।

आइए ऐसे कुछ उदाहरणों को देखें जो दुर्लभ हैं लेकिन होते हैं।

उदाहरण 4

श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं:

फेसला: डीलेबर्ट परीक्षण का उपयोग करके, हम इस श्रृंखला के अभिसरण अंतराल को पाते हैं:

(1) हम श्रृंखला के अगले सदस्य के अनुपात को पिछले एक से जोड़ते हैं।

(२) चार मंजिला अंश से छुटकारा पाना।

(3) क्यूब्स और, डिग्री के साथ क्रियाओं के नियम के अनुसार, हम एक ही डिग्री के तहत लाते हैं। अंश में, हम चतुराई से डिग्री का विस्तार करते हैं, अर्थात्। अगले चरण में अंश को कम करने के लिए इस तरह से विस्तार करें। हम विस्तार से फैक्टरियों का वर्णन करते हैं।

(४) घन के अंतर्गत, अंश को शब्द से हर के शब्द से विभाजित करते हैं, जो दर्शाता है। एक अंश में, हम सब कुछ कम कर देते हैं जिसे कम किया जा सकता है। हम कारक को सीमा चिह्न के बाहर निकालते हैं, इसे बाहर निकाला जा सकता है, क्योंकि इसमें ऐसा कुछ भी नहीं है जो "गतिशील" चर "एन" पर निर्भर करता है। कृपया ध्यान दें कि मापांक चिह्न खींचा नहीं गया है - इस कारण से कि यह किसी भी "x" के लिए गैर-नकारात्मक मान लेता है।

सीमा में, शून्य प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि अंतिम उत्तर दिया जा सकता है:

उत्तर: श्रृंखला में परिवर्तित होता है

और पहले तो ऐसा लगा कि "भयानक भराव" वाली इस पंक्ति को हल करना मुश्किल होगा। सीमा पर शून्य या अनंत लगभग एक उपहार है, क्योंकि समाधान काफ़ी कम है!

उदाहरण 5

श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं

यह अपने-आप के समाधान के लिए एक उदाहरण है। ट्यूटोरियल के अंत में ;-) पूर्ण समाधान उत्तर दें।

आइए कुछ और उदाहरणों पर विचार करें जिनमें तकनीकों के उपयोग के संदर्भ में नवीनता का एक तत्व शामिल है।

उदाहरण 6

श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल का पता लगाएं और पाया अंतराल के अंत में इसके अभिसरण की जांच करें

फेसला: बिजली श्रृंखला के सामान्य शब्द में एक कारक शामिल है जो संकेतों का विकल्प प्रदान करता है। समाधान एल्गोरिथ्म पूरी तरह से संरक्षित है, लेकिन सीमा को संकलित करते समय, हम इस कारक को अनदेखा करते हैं (लिखते नहीं हैं), क्योंकि मॉड्यूल सभी "minuses" को समाप्त करता है।

हम डी 'एलेबर्ट परीक्षण का उपयोग करके श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल को पाते हैं:

हम मानक असमानता की रचना करते हैं:
श्रृंखला में परिवर्तित होता है
बाएं हमें छोड़ने की जरूरत है मॉड्यूल केवल, इसलिए हम असमानता के दोनों पक्षों को 5 से गुणा करते हैं:

अब हम एक परिचित तरीके से मॉड्यूल खोलते हैं:

दोहरी असमानता के बीच में, केवल "x" को छोड़ा जाना चाहिए, इस उद्देश्य के लिए हम असमानता के प्रत्येक भाग से 2 घटाते हैं:

- जांच शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल।

आइए हम श्रृंखला के अभिसरण की जाँच अंतराल के अंत में करते हैं:

1) हमारी शक्ति श्रृंखला में मूल्य को प्रतिस्थापित करें :

अत्यंत सावधान रहें, गुणक किसी भी प्राकृतिक "एन" के लिए वर्णों का विकल्प प्रदान नहीं करता है। हम श्रृंखला के बाहर परिणामी ऋण लेते हैं और इसके बारे में भूल जाते हैं, क्योंकि यह (किसी भी स्थिर कारक की तरह) किसी भी तरह से संख्या श्रृंखला के अभिसरण या विचलन को प्रभावित नहीं करता है।

फिर से ध्यान देंबिजली श्रृंखला के सामान्य शब्द में मूल्य के प्रतिस्थापन के दौरान, कारक कम हो गया है। यदि ऐसा नहीं हुआ था, तो इसका मतलब यह होगा कि हमने या तो सीमा की गणना गलत तरीके से की, या गलत तरीके से मॉड्यूल का विस्तार किया।

तो, एक संख्या श्रृंखला के अभिसरण की जांच करना आवश्यक है। यहां सीमित तुलना कसौटी का उपयोग करना आसान है और इस श्रृंखला की तुलना डायवर्जन हार्मोनिक श्रृंखला से करना आसान है। लेकिन, ईमानदार होने के लिए, मैं तुलना के अंतिम संकेत से बहुत ऊब गया हूं, इसलिए मैं समाधान में कुछ विविधता जोड़ूंगा।

तो, श्रृंखला के लिए अभिसरण

असमानता के दोनों पक्षों को 9 से गुणा करें:

हम पुराने स्कूल के मजाक को याद करते हुए, दोनों हिस्सों से जड़ निकालते हैं:


मॉड्यूल का विस्तार करें:

और सभी भागों में एक जोड़ें:

- जांच शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल।

आइए, हमने पाया कि अंतराल के अंत में बिजली श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें:

1) यदि, तो निम्नलिखित संख्यात्मक श्रृंखला प्राप्त की जाती है:

गुणक एक ट्रेस के बिना गायब हो गया, क्योंकि किसी भी प्राकृतिक मूल्य "एन" पर।

4.1। कार्यात्मक श्रृंखला: मूल अवधारणाएं, अभिसरण का क्षेत्र

परिभाषा 1... एक श्रृंखला जिसके सदस्य एक या एक के कार्य हैं
कुछ सेट पर परिभाषित कई स्वतंत्र चर कहलाते हैं कार्यात्मक सीमा.

एक फ़ंक्शन श्रृंखला पर विचार करें जिसके सदस्य एक स्वतंत्र चर के कार्य हैं एक्स... पहले का योग n एक श्रृंखला के सदस्य किसी दिए गए कार्यात्मक श्रृंखला का एक आंशिक योग है। आम सदस्य वहाँ से एक समारोह है एक्सएक निश्चित क्षेत्र में परिभाषित किया गया। बिंदु पर एक कार्यात्मक श्रृंखला पर विचार करें ... यदि संगत संख्या श्रृंखला अभिसरण, अर्थात्। इस श्रृंखला की आंशिक रकम की एक सीमा है
(कहाँ पे एक संख्या श्रृंखला का योग है), फिर बिंदु को कहा जाता है अभिसरण बिंदु कार्यात्मक सीमा ... यदि संख्या श्रृंखला विचलन करता है, फिर बिंदु कहा जाता है विचलन बिंदु कार्यात्मक सीमा।

परिभाषा २. अभिसरण क्षेत्र कार्यात्मक सीमा ऐसे सभी मूल्यों का समुच्चय है एक्सजिसके लिए कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरण करती है। अभिसरण के सभी बिंदुओं से मिलकर अभिसरण का क्षेत्र निरूपित होता है ... ध्यान दें कि आर

कार्यात्मक सीमा क्षेत्र में परिवर्तित होती है अगर किसी के लिए यह एक संख्यात्मक श्रृंखला के रूप में परिवर्तित होता है, और इसका योग कुछ कार्य करेगा ... यह तथाकथित है सीमा समारोह दृश्यों : .

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र को कैसे ढूंढें ? आप डी 'एलेम्बर्ट विशेषता के समान विशेषता का उपयोग कर सकते हैं। एक नंबर के लिए शृंगार और तय सीमा पर विचार करें एक्स:
... फिर असमानता का समाधान है और समीकरण को हल करना (हम समीकरण के केवल उन समाधानों को लेते हैं
जो संबंधित संख्यात्मक श्रृंखला में परिवर्तित होता है)।

उदाहरण 1... श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं।

फेसला... हम निरूपित करते हैं , ... आइए हम सीमा की रचना और गणना करते हैं, फिर श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र असमानता से निर्धारित होता है और समीकरण ... आइए हम मूल श्रृंखला के समीकरण की जड़ों के आधार पर आगे की जाँच करें:

क्या हो अगर , , तो हम एक विचलन श्रृंखला प्राप्त करते हैं ;

बी) यदि , , फिर श्रृंखला सशर्त रूप से (द्वारा)

लिबनीज का संकेत, उदाहरण 1, व्याख्यान 3, सेकंड। 3.1)।

इस प्रकार, अभिसरण का क्षेत्र पंक्ति ऐसी लगती है: .

4.2। पावर सीरीज़: बुनियादी अवधारणाएँ, हाबिल की प्रमेय

एक कार्यात्मक श्रृंखला के एक विशेष मामले पर विचार करें, तथाकथित बिजली की श्रृंखला कहाँ पे
.

परिभाषा ३. बिजली की श्रृंखला फार्म की एक कार्यात्मक श्रृंखला कहा जाता है,

कहाँ पे - निरंतर संख्या कहा जाता है श्रृंखला के गुणांक.

बिजली श्रृंखला एक "अनंत बहुपद" है जो बढ़ती डिग्री में स्थित है ... कोई भी संख्या श्रृंखला है एक
के लिए एक शक्ति श्रृंखला का एक विशेष मामला .

के लिए बिजली श्रृंखला के एक विशेष मामले पर विचार करें :
... आइए जानें कि इसका क्या रूप है
दी गई श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र .

प्रमेय 1 (हाबिल प्रमेय)... 1) यदि बिजली श्रृंखला बिंदु पर परिवर्तित होता है , तो यह बिल्कुल किसी पर भी धर्मान्तरित एक्सजिसके लिए असमानता .

2) यदि पावर श्रृंखला में परिवर्तन होता है , तो यह हर में बदल जाता है एक्स, जिसके लिए .

सबूत... 1) परिकल्पना द्वारा, पावर श्रृंखला बिंदु पर परिवर्तित होती है ,

यानी नंबर सीरीज़ कंवर्ट होती है

(1)

और अभिसरण की आवश्यक कसौटी से, इसका सामान्य शब्द 0 तक जाता है, अर्थात्। ... इसलिए, ऐसी संख्या है श्रृंखला के सभी सदस्य इस संख्या तक सीमित हैं:
.

अब किसी पर विचार करें एक्स, जिसके लिए , और निरपेक्ष मूल्यों की एक श्रृंखला की रचना:।
आइए इस श्रृंखला को एक अलग रूप में लिखें: चूंकि , फिर (2)।

असमानता से
हमें मिलता है, अर्थात् पंक्ति

ऐसे सदस्य शामिल हैं जो श्रृंखला के संबंधित सदस्यों (2) से बड़े हैं। पंक्ति भाजक के साथ एक अभिसरण ज्यामितीय श्रृंखला है , तथा , जैसा ... नतीजतन, श्रृंखला (2) के लिए अभिसरण होता है ... इस प्रकार, बिजली श्रृंखला पूरी तरह से एकाग्र।

2) श्रृंखला दें में बदल जाता है , दूसरे शब्दों में,

संख्या श्रृंखला विचलन करती है ... हमें यह साबित करना है कि किसी के लिए भी एक्स () श्रृंखला विचलन करती है। विरोधाभास ही सबूत है। कुछ के लिए दें

नियत ( ) श्रृंखला परिवर्तित होती है, फिर यह सभी के लिए परिवर्तित होती है (इस प्रमेय के पहले भाग को देखें), विशेष रूप से, जिसके लिए, प्रमेय की दशा 2 है) प्रमेय 1. प्रमेय सिद्ध है।

परिणाम... हाबिल का प्रमेय एक को विद्युत श्रृंखला के अभिसरण बिंदु के स्थान का न्याय करने की अनुमति देता है। अगर बिंदु बिजली श्रृंखला का अभिसरण बिंदु है, तो अंतराल अभिसरण के बिंदुओं से भरा; यदि विचलन का बिंदु वह बिंदु है फिर
अनंत अंतराल विचलन के बिंदुओं से भरा (चित्र 1)।

चित्र: 1. श्रृंखला के अभिसरण और विचलन के अंतराल

यह दिखाया जा सकता है कि ऐसी कोई संख्या है वह सब के लिए
बिजली की श्रृंखला पूरी तरह से, और के लिए अभिसरण करता है - विचलन। हम मान लेंगे कि यदि श्रृंखला केवल एक बिंदु 0 पर परिवर्तित होती है, तो , और यदि श्रृंखला सभी के लिए अभिसरण करती है फिर .

परिभाषा ४. अभिसरण अंतराल बिजली की श्रृंखला इस अंतराल को कहा जाता है वह सब के लिए यह श्रृंखला अभिसरण करती है और, इसके अलावा, बिल्कुल, और सभी के लिए एक्सइस अंतराल के बाहर, श्रृंखला विचलन करती है। संख्या आर बुलाया अभिसरण त्रिज्या बिजली की श्रृंखला।

टिप्पणी... अंतराल के अंत में बिजली श्रृंखला के अभिसरण या विचलन का प्रश्न प्रत्येक विशिष्ट श्रृंखला के लिए अलग से हल किया जाता है।

आइए हम एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल और त्रिज्या को निर्धारित करने के तरीकों में से एक दिखाते हैं।

बिजली श्रृंखला पर विचार करें और निरूपित करें .

आइए इसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों की एक श्रृंखला की रचना करें:

और उस पर डी 'एलेम्बर्ट साइन लागू करें।

उसे वही रहने दो

.

डी 'एंबेल्ट फ़ीचर के अनुसार, यदि श्रृंखला परिवर्तित होती है , और डायवर्ज यदि ... इसलिए श्रृंखला में अभिसरण होता है, फिर अभिसरण अंतराल: ... के बाद से, श्रृंखला का विचलन होता है .
संकेतन का उपयोग करना , हम एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या निर्धारित करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं:

,

कहाँ पे बिजली श्रृंखला के गुणांक हैं।

अगर यह पता चला कि सीमा , तो हम मान लेते हैं .

एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल और त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए, आप कट्टरपंथी कॉची परीक्षण का उपयोग भी कर सकते हैं, श्रृंखला का अभिसरण त्रिज्या संबंध से निर्धारित होता है .

परिभाषा ५. सामान्यीकृत बिजली श्रृंखला फार्म की एक श्रृंखला कहा जाता है

... इसे डिग्रियों से भी पुकारा जाता है .
ऐसी श्रृंखला के लिए, अभिसरण अंतराल का रूप है: कहाँ पे अभिसरण की त्रिज्या है।

आइए हम बताते हैं कि सामान्यीकृत बिजली श्रृंखला के लिए अभिसरण की त्रिज्या कैसे पाई जाती है।

उन। कहाँ पे .

अगर फिर , और अभिसरण का क्षेत्र आर; अगर फिर और अभिसरण क्षेत्र .

उदाहरण 2... श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं .

फेसला... हम निरूपित करते हैं ... चलो एक सीमा बनाते हैं

हम असमानता को हल करते हैं: , इसलिए, अंतराल

अभिसरण का रूप है: , तथा आर \u003d 5. इसके अतिरिक्त, हम अभिसरण अंतराल के सिरों की जांच करते हैं:
ए) , , हम श्रृंखला प्राप्त करते हैं वह विचलन करता है;
ख) , , हम श्रृंखला प्राप्त करते हैं जो जुटता है
सशर्त। इस प्रकार, अभिसरण का क्षेत्र है: , .

उत्तर: अभिसरण क्षेत्र .

उदाहरण 3। पंक्ति सभी के लिए विचलन , जैसा पर , अभिसरण की त्रिज्या .

उदाहरण 4। श्रृंखला सभी आर के लिए अभिसरण करती है, अभिसरण की त्रिज्या .