एक यादृच्छिक चर की संभावना घनत्व समारोह का पता लगाएं। संभावना वितरण का घनत्व। Poisson यादृच्छिक चर के उदाहरण

अपेक्षित मूल्य

फैलाव सतत यादृच्छिक चर X, जिसके संभावित मान पूरे ऑक्स अक्ष के होते हैं, समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

सेवा का उद्देश्य... ऑनलाइन कैलकुलेटर समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिसमें या तो वितरण घनत्व f (x), या वितरण फ़ंक्शन F (x) (उदाहरण देखें)। आमतौर पर ऐसे कार्यों में आपको खोजने की आवश्यकता होती है गणितीय अपेक्षा, मानक विचलन, कार्यों के ग्राफ का निर्माण f (x) और F (x).

निर्देश। स्रोत डेटा का प्रकार चुनें: घनत्व वितरण f (x) या वितरण फ़ंक्शन F (x)।

वितरण घनत्व f (x) दिया गया है:

वितरण समारोह F (x) दिया गया है:

संभाव्यता घनत्व द्वारा एक सतत यादृच्छिक चर दिया जाता है
(रेले वितरण कानून - रेडियो इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है)। एम (एक्स), डी (एक्स) का पता लगाएं।

यादृच्छिक चर X कहलाता है निरंतर यदि इसका वितरण कार्य F (X) \u003d P (X)< x) непрерывна и имеет производную.
एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण समारोह का उपयोग किसी दिए गए अंतराल में यादृच्छिक चर मारने की संभावनाओं की गणना करने के लिए किया जाता है:
P (α)< X < β)=F(β) - F(α)
और एक सतत यादृच्छिक चर के लिए यह मायने नहीं रखता है कि इसकी सीमाएं इस अंतराल में शामिल हैं या नहीं:
P (α)< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
वितरण घनत्व सतत यादृच्छिक चर को फंक्शन कहा जाता है
एफ (एक्स) \u003d एफ '(एक्स), वितरण समारोह के व्युत्पन्न।

वितरण घनत्व गुण

1. एक यादृच्छिक चर के वितरण का घनत्व x के सभी मानों के लिए गैर-नकारात्मक (f (x) for 0) है।
2. सामान्यीकरण की स्थिति:

सामान्यीकरण स्थिति का ज्यामितीय अर्थ: वितरण घनत्व वक्र के तहत क्षेत्र एक के बराबर है।
3. α से be के अंतराल में एक यादृच्छिक चर X को मारने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

ज्यामितीय रूप से, एक निरंतर यादृच्छिक चर X की अंतराल (α, β) में गिरने की संभावना इस अंतराल के आधार पर वितरण घनत्व वक्र के तहत एक वक्रता वाले ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के बराबर है।
4. वितरण समारोह घनत्व के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

बिंदु x पर वितरण घनत्व का मान इस मान को स्वीकार करने की संभावना के बराबर नहीं है, एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, हम केवल दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना के बारे में बात कर सकते हैं। चलो, अगर इसकी संभावना घनत्व के रूप में है:

गणितीय उम्मीद और एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का विचरण अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

3.8। यादृच्छिक मूल्य एक्स समान रूप से खंड पर वितरित। वितरण फ़ंक्शन का पता लगाएं एफ(एक्स), गणितीय अपेक्षा, भिन्नता और मूल्य का मानक विचलन।

फेसला... मात्रा के लिए संभावना घनत्व एक्स की तरह लगता है:

इसलिए, सूत्र द्वारा परिकलित वितरण फ़ंक्शन:

,

निम्नानुसार लिखा जाएगा:

गणितीय अपेक्षा होगी एम एक्स \u003d (1 + 6) / 2 \u003d 3.5। विचरण और मानक विचलन खोजें:

डी एक्स = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

सामान्य वितरण

यादृच्छिक मूल्य एक्स पर वितरित किया गया सामान्य कानून, अगर इसकी संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

कहाँ पे एम एक्स - अपेक्षित मूल्य;

मानक विचलन है।

एक यादृच्छिक चर अंतराल की संभावना ( तथा, ख) सूत्र द्वारा पाया जाता है

आर(तथा < एक्स < ख) \u003d Ф - Ф \u003d Ф ( z 2) - Ф ( z 1), (5)

कहाँ Ф ( z) \u003d लाप्लास फ़ंक्शन है।

के लिए लाप्लास फ़ंक्शन मान विभिन्न अर्थ z परिशिष्ट 2 में दिए गए हैं।

3.9। सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स समान रूप से एम एक्स \u003d 5, विचरण है डी एक्स \u003d 9. प्रायिकता घनत्व के लिए एक अभिव्यक्ति लिखिए।

3.10। गणितीय अपेक्षा और सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्स क्रमशः 12 और 2 के बराबर हैं। संभावना है कि खोजें यादृच्छिक मूल्य अंतराल में संलग्न मान लेगा (14; 16)।

फेसला... हम सूत्र (21.2) का उपयोग करते हैं, जिसे ध्यान में रखते हुए एम एक्स = 12, = 2:

आर(14 < एक्स < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

लाप्लास फ़ंक्शन के मानों की तालिका के अनुसार, हम 1 (1) \u003d 0.3413, Ф (2) \u003d 194772 पाते हैं। प्रतिस्थापन के बाद, हम वांछित संभावना का मूल्य प्राप्त करते हैं:

आर(14 <एक्स < 16) = 0,1359.

3.11। एक यादृच्छिक चर है एक्स, सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, जिसकी गणितीय अपेक्षा 20 के बराबर है, मानक विचलन 3 के बराबर है। गणितीय अपेक्षा के संबंध में एक अंतराल सममित खोजें, जिसमें संभावना के साथ आर \u003d 0.9972 को एक यादृच्छिक चर मिलेगा।

फेसला... चूंकि आर(एक्स 1 < एक्स < एक्स 2) = आर \u003d 2 \u003d ( एक्स 2 – एम एक्स) /), फिर Ф ( z) = आर/ 2 \u003d 0.4986। लाप्लास फ़ंक्शन तालिका का उपयोग करके, हम मान पाते हैं zफ़ंक्शन के प्राप्त मूल्य के अनुरूप Ф ( z) = 0,4986: z \u003d 2.98। तथ्य यह है कि z = (एक्स 2 – एम एक्स) /, हम परिभाषित करते हैं \u003d एक्स 2 – एम एक्स = z \u003d 3.98 \u003d 8.94। आवश्यक अंतराल जैसा लगेगा (11.06; 28.94)।

आइए उस पर ध्यान दें च(एक्स) = एफ "(एक्स)। फिर हमें मिलता है:

गणितीय अपेक्षा के लिए अभिव्यक्ति में स्थानापन्न

.

भागों द्वारा एकीकृत, हम प्राप्त करते हैं एम एक्स \u003d 1 /, या एम एक्स = 1/0,1.

विचरण को निर्धारित करने के लिए, हम पहले शब्द को भागों द्वारा एकीकृत करते हैं। नतीजतन, हम प्राप्त करते हैं:

.

आइए हम इसके लिए मिली अभिव्यक्ति को ध्यान में रखते हैं एम एक्स... कहाँ से

.

इस मामले में एम एक्स = 10, डी एक्स = 100.

रैंडम वैल्यू सिस्टम

किसी भी यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम को गुणात्मक और मात्रात्मक रूप से चित्रित किया जा सकता है। गुणवत्ता एक यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम - आकस्मिक प्रतिस्पर्धा... कोई भी मात्रात्मक विशेषता, जो एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणामस्वरूप, मानों के एक सेट को ले सकता है, - यादृच्छिक मूल्य।यादृच्छिक मूल्य संभाव्यता सिद्धांत की केंद्रीय अवधारणाओं में से एक है।

आज्ञा देना एक मनमाना संभावना स्थान है। एक यादृच्छिक मूल्यएक वास्तविक संख्यात्मक कार्य x \u003d x (w), w W, जैसे कि कोई वास्तविक है एक्स .

प्रतिस्पर्धा यह एक्स के रूप में लिखने के लिए प्रथागत है< एक्स... निम्न में से, यादृच्छिक चर को लोअरकेस ग्रीक अक्षरों x, h, z, ... से दर्शाया जाएगा।

यादृच्छिक मान एक पासा फेंकते समय गिराए गए अंकों की संख्या, या अध्ययन समूह से यादृच्छिक रूप से चुने गए छात्र की ऊंचाई है। पहले मामले में, हम निपट रहे हैं अलग अनियमित चर (यह एक असतत संख्या सेट से मान लेता है म \u003d(1, 2, 3, 4, 5, 6); दूसरे मामले में - के साथ निरंतर अनियमित चर (यह एक सतत संख्या सेट से मान लेता है - संख्या रेखा के अंतराल से मैं=).

प्रत्येक यादृच्छिक चर पूरी तरह से अपने आप से निर्धारित होता है वितरण समारोह.

यदि x। एक यादृच्छिक चर है, तो फ़ंक्शन एफ(एक्स) = एफ एक्स(एक्स) = पी(एक्स< एक्स) कहा जाता है वितरण समारोहयादृच्छिक चर x। यहाँ पी(एक्स< एक्स) संभावना है कि यादृच्छिक चर x मान से कम पर लेता है एक्स.

यह समझना महत्वपूर्ण है कि वितरण फ़ंक्शन यादृच्छिक चर का "पासपोर्ट" है: इसमें यादृच्छिक चर के बारे में सभी जानकारी होती है और इसलिए एक यादृच्छिक चर का अध्ययन इसके अध्ययन में शामिल है वितरण कार्य,अक्सर बस के लिए भेजा वितरण.

किसी भी यादृच्छिक चर के वितरण समारोह में निम्नलिखित गुण हैं:

यदि x असतत यादृच्छिक चर मान ले रहा है एक्स 1 < एक्स 2 < … < x i < … с вероятностями पी 1 < पी 2 < … < p i < …, то таблица вида

एक्स 1	एक्स 2	…	x i	…
पी 1	पी 2	…	p i	…

बुलाया एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण.

इस तरह के वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के वितरण समारोह का रूप है

असतत रैंडम वेरिएबल में स्टेप डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन होता है। उदाहरण के लिए, एक पासा के एक रोल द्वारा गिराए गए अंकों की एक यादृच्छिक संख्या के लिए, वितरण, वितरण फ़ंक्शन और वितरण फ़ंक्शन ग्राफ़ निम्नानुसार हैं:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

यदि वितरण कार्य करता है एफ एक्स(एक्स) निरंतर है, फिर यादृच्छिक चर x कहा जाता है सतत यादृच्छिक चर।

यदि एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य विभेदक, तब यादृच्छिक चर का एक स्पष्ट विचार द्वारा दिया जाता है यादृच्छिक चर p x की प्रायिकता घनत्व(एक्स), जो वितरण समारोह से संबंधित है एफ एक्स(एक्स) सूत्रों द्वारा

तथा .

इसलिए, विशेष रूप से, यह किसी भी यादृच्छिक चर के लिए निम्नानुसार है।

व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, अक्सर मूल्य खोजने की आवश्यकता होती है एक्सजिसके लिए वितरण समारोह एफ एक्स(एक्स) एक यादृच्छिक चर x किसी दिए गए मान को लेता है पी, अर्थात। आपको समीकरण हल करने की आवश्यकता है एफ एक्स(एक्स) = पी... इस समीकरण के समाधान (संबंधित मूल्य) एक्स) प्रायिकता सिद्धांत में कहा जाता है quantiles।

क्वांटाइल x p ( पी-क्वेंटाइल, स्तर मात्रात्मक पी) वितरण समारोह वाले एक यादृच्छिक चर एफ एक्स(एक्स), समाधान को बुलाओ एक्स पीसमीकरण एफ एक्स(एक्स) = पी, पी(0, 1)। कुछ के लिए पी समीकरण एफ एक्स(एक्स) = पी कई समाधान हो सकते हैं, कुछ के लिए - कोई नहीं। इसका मतलब यह है कि इसी यादृच्छिक चर के लिए, कुछ मात्राओं को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, और कुछ मात्राएं मौजूद नहीं हैं।

एक यादृच्छिक चर के वितरण समारोह की परिभाषाएं और एक सतत यादृच्छिक चर की संभावना घनत्व दिया जाता है। इन अवधारणाओं को साइट सांख्यिकी के बारे में लेखों में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। MS EXCEL फ़ंक्शन का उपयोग करके वितरण फ़ंक्शन और प्रायिकता घनत्व की गणना के उदाहरणों पर विचार किया.

आइए आंकड़ों की बुनियादी अवधारणाओं को पेश करें, जिसके बिना अधिक जटिल अवधारणाओं की व्याख्या करना असंभव है।

सामान्य जनसंख्या और यादृच्छिक चर

चलो हम हासिल करें सामान्य जनसंख्या (वस्तुओं) की एन ऑब्जेक्ट्स, जिनमें से प्रत्येक में कुछ संख्यात्मक विशेषता एक्स का एक निश्चित मूल्य है।

एक सामान्य आबादी (एचएस) का उदाहरण उसी प्रकार के भागों के वजन का एक सेट हो सकता है जो एक मशीन द्वारा उत्पादित होते हैं।

चूंकि गणितीय आंकड़ों में, किसी भी निष्कर्ष को केवल विशेषता एक्स (स्वयं वस्तुओं से सार) के आधार पर किया जाता है, फिर पहले से सामान्य जनसंख्या एन संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है, जिसके बीच, सामान्य स्थिति में भी वही हो सकता है।

हमारे उदाहरण में, जीएस केवल भाग भार का एक संख्यात्मक सरणी है। X एक हिस्से का वजन है।

यदि किसी दिए गए HS से हम विशेषता X के साथ एक वस्तु को यादृच्छिक रूप से चुनते हैं, तो मान X है अनियमित चर... परिभाषा के अनुसार, किसी भी यादृच्छिक मूल्य यह है वितरण समारोह, जिसे आमतौर पर F (x) दर्शाया जाता है।

वितरण समारोह

वितरण समारोह संभावनाओं अनियमित चर X को फ़ंक्शन F (x) कहा जाता है, जिसका मान बिंदु X पर घटना X की संभावना के बराबर है

एफ (एक्स) \u003d पी (एक्स)

हमें अपने मशीन के उदाहरण के साथ समझाते हैं। हालांकि यह माना जाता है कि हमारी मशीन केवल एक प्रकार के भागों का उत्पादन करेगी, लेकिन यह स्पष्ट है कि उत्पादित भागों का वजन एक दूसरे से थोड़ा अलग होगा। यह इस तथ्य के कारण संभव है कि निर्माण में विभिन्न सामग्रियों का उपयोग किया जा सकता है, और प्रसंस्करण की स्थिति भी थोड़ा भिन्न हो सकती है, आदि। मशीन द्वारा उत्पादित सबसे भारी भाग का वजन 200 ग्राम, और सबसे हल्का एक - 190 ग्राम। संभावना है कि दुर्घटना से। चयनित भाग X का वजन 200 ग्राम से कम होगा। 1. यह संभावना है कि इसका वजन 190 ग्राम से कम होगा। मध्यवर्ती मान वितरण फ़ंक्शन के रूप द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई प्रक्रिया 195 ग्राम भागों को बनाने के लिए निर्धारित की जाती है, तो यह मान लेना उचित है कि 195 ग्राम की तुलना में एक भाग लाइटर चुनने की संभावना 0.5 है।

विशिष्ट ग्राफ वितरण कार्य निरंतर यादृच्छिक चर के लिए नीचे दी गई तस्वीर में दिखाया गया है (बैंगनी वक्र, उदाहरण फ़ाइल देखें):

MS EXCEL मदद में वितरण समारोह बुलाया अविभाज्य वितरण समारोह (संचयीवितरणसमारोह, CDF).

यहाँ कुछ गुण हैं वितरण कार्य:

• वितरण समारोह एफ (एक्स) अंतराल में बदलता है, क्योंकि इसके मूल्य संबंधित घटनाओं की संभावनाओं के बराबर हैं (परिभाषा के अनुसार, संभावना 0 से 1 तक की सीमा में हो सकती है);
• वितरण समारोह- गैर-घटता कार्य;
• संभावना है कि एक यादृच्छिक चर ने एक निश्चित सीमा से एक मूल्य लिया संभावित गहराई 1 / (0.5-0) \u003d 2 के बराबर है। और पैरामीटर के साथ लैम्ब्डा\u003d 5, मान संभावित गहराईबिंदु x \u003d 0.05 पर 3.894 है। लेकिन, एक ही समय में, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि किसी भी अंतराल पर संभावना, हमेशा की तरह, 0 से 1 तक होगी।

  याद करें कि वितरण घनत्वसे लिया गया है वितरण कार्य, अर्थात। अपने परिवर्तन की "गति" के द्वारा: p (x) \u003d (F (x2) -F (X1)) / Dx जब Dx 0 पर जाता है, जहाँ Dx \u003d x2-X1 होता है। उन। यह तथ्य कि वितरण घनत्व \u003e 1 का मतलब केवल यह है कि वितरण फ़ंक्शन पर्याप्त तेजी से बढ़ता है (यह एक उदाहरण से स्पष्ट है)।

  ध्यान दें: पूरे वक्र का प्रतिनिधित्व करते हुए पूरी तरह से संलग्न क्षेत्र वितरण घनत्व, 1 के बराबर है।

  ध्यान दें: याद रखें कि वितरण फ़ंक्शन F (x) को MS EXCEL फ़ंक्शन में कहा जाता है संचयी वितरण फलन... यह शब्द फ़ंक्शन मापदंडों में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए NORM.DIST (x; औसत; standard_dev; अविभाज्य)। यदि MS EXCEL फ़ंक्शन वापस आ जाना चाहिए वितरण समारोह,फिर पैरामीटर अविभाज्य, डी। बी। TRUE पर सेट करें। यदि आप गणना करना चाहते हैं संभावित गहराई, फिर पैरामीटर अविभाज्य, डी। बी। झूठ बोलना।

  ध्यान दें: के लिये असतत वितरण एक निश्चित मान लेने के लिए एक यादृच्छिक चर की संभावना को अक्सर प्रायिकता मास फ़ंक्शन (pmf) भी कहा जाता है। MS EXCEL मदद में संभावित गहराई यहां तक \u200b\u200bकि "संभाव्यता माप फ़ंक्शन" भी कह सकते हैं (फ़ंक्शन BINOM.DIST () देखें)।

  MS EXCEL फ़ंक्शन का उपयोग करके संभाव्यता घनत्व की गणना

  यह स्पष्ट है कि गणना करना है संभावित गहराई एक यादृच्छिक चर के एक निश्चित मूल्य के लिए, आपको इसके वितरण को जानना होगा।

  खोज संभावित गहराई x \u003d 2 पर N (0; 1) के लिए। ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र लिखने की आवश्यकता है \u003d NORM.ST.DIST (2, FALSE)\u003d 0.054 या \u003d NORM.DIST (2, 0, 1, FALSE).

  याद करें कि संभावना क्या सतत यादृच्छिक चर एक विशिष्ट मान लेगा x बराबर 0 के लिए सतत यादृच्छिक चर एक्स केवल एक घटना की संभावना की गणना कर सकता है कि एक्स अंतराल में संलग्न मान लेता है (ए; बी)।

  एमएस एक्सेल कार्यों का उपयोग कर संभावनाओं की गणना

  1) इस संभावना का पता लगाएं कि यादृच्छिक चर को ऊपर वितरित किया गया है (ऊपर चित्र देखें) ने सकारात्मक मान लिया है। गुण के अनुसार वितरण कार्य संभावना एफ (+ ∞) -F (0) \u003d 1-0.5 \u003d 0.5 है।

  मानक ST.DIST (9.999E + 307; TRUE) -स्टेट ST.DIST (0; TRUE) =1-0,5.
  + E के बजाय, सूत्र ने मूल्य 9.999E + 307 \u003d 9.999 * 10 ^ 307 दर्ज किया, जो कि अधिकतम संख्या है जिसे MS EXCEL सेल में दर्ज किया जा सकता है (इसलिए बोलने के लिए, + ∞ के निकटतम)।

  2) हमें संभावना है कि यादृच्छिक चर पर वितरित की खोज करते हैं , एक नकारात्मक मूल्य लिया। परिभाषा के अनुसार वितरण कार्य, संभाव्यता F (0) \u003d 0.5 है।

  MS EXCEL में, इस संभावना को खोजने के लिए, सूत्र का उपयोग करें \u003d NORM.ST.DIST (0, सही) =0,5.

  3) संभावना है कि एक यादृच्छिक चर पर वितरित संभावना खोजें मानक सामान्य वितरण, अंतराल में संलग्न मान (0; 1) ले जाएगा। संभाव्यता F (1) -F (0) है, अर्थात अंतराल (-1; 1) से एक्स को चुनने की संभावना से, आपको अंतराल को एक्स चुनने की संभावना को घटाना होगा (-∞; 0)। MS EXCEL में सूत्र का उपयोग करें \u003d STANDARD ST.DIST (1, सही) - STANDARD ST.DIST (0, TRUE).

  ऊपर दी गई सभी गणनाएं एक यादृच्छिक चर के संदर्भ में वितरित की जाती हैं मानक सामान्य कानून एन (0; 1)। यह स्पष्ट है कि संभावनाओं के मूल्य विशिष्ट वितरण पर निर्भर करते हैं। लेख में, वितरण फ़ंक्शन उस बिंदु को ढूंढता है जिसके लिए F (x) \u003d 0.5 है, और फिर इस बिंदु के अनुपस्थिति को ढूंढें। पॉइंट एब्सिस्सा \u003d 0, अर्थात संभावना है कि यादृच्छिक चर X मान लेगा<0, равна 0,5.

  MS EXCEL में सूत्र \u003d STANDARD.ST.OBR (0.5) \u003d 0 का उपयोग करें।

  

  गणना मूल्य विशिष्ट अनियमित चर एकाधिकार संपत्ति की अनुमति देता है वितरण कार्य।

  उलटा वितरण समारोहगणना करता है कि किसका उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, कब। उन। हमारे मामले में, संख्या 0 0.5-मात्रात्मक है सामान्य वितरण... उदाहरण फ़ाइल में, आप दूसरे की गणना कर सकते हैं quantile यह वितरण। उदाहरण के लिए, 0.8-क्वांटाइल 0.84 है।

  

  अंग्रेजी भाषा के साहित्य में उलटा वितरण समारोह अक्सर प्रतिशत बिंदु समारोह (PPF) के रूप में जाना जाता है।

  ध्यान दें: गणना करते समय quantiles MS EXCEL में निम्नलिखित कार्यों का उपयोग किया जाता है: NORM.ST.INV (), LOGNORM.INV (), CHI2.INV (), GAMMA.INV (), आदि। MS EXCEL में प्रस्तुत वितरण के बारे में अधिक जानकारी लेख में पाई जा सकती है।

  परिभाषा। निरंतरएक यादृच्छिक चर है जो एक निश्चित परिमित या अनंत अंतराल से सभी मान ले सकता है।

  एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण फ़ंक्शन की अवधारणा पेश की जाती है।

  परिभाषा। वितरण समारोह एक यादृच्छिक चर X की संभावना को फ़ंक्शन F (x) कहा जाता है, जो प्रत्येक मान x के लिए निर्धारित करता है संभावना है कि यादृच्छिक चर X x से कम मान लेगा, अर्थात:

  एफ (एक्स) \u003d पी (एक्स)< x)

  शब्द "संचयी वितरण फ़ंक्शन" का उपयोग अक्सर "वितरण फ़ंक्शन" शब्द के बजाय किया जाता है।

  वितरण समारोह गुण:

  1. वितरण समारोह के मूल्य खंड के हैं:

  0 0 एफ (एक्स) x 1।

  2. वितरण समारोह एक घटता हुआ कार्य है, जो है:

  यदि x\u003e x,

  फिर एफ (एक्स) (एफ (एक्स)।

  3. संभावना है कि यादृच्छिक चर अंतराल में संलग्न मूल्य ले जाएगा)