एक यादृच्छिक चर की विषमता और कुर्तोसिस। एक्सेल में अनुभवजन्य वितरण के तिरछापन और कर्टोसिस की गणना करना। स्वतंत्र प्रयोगों में किसी घटना के घटने की संख्या की गणितीय अपेक्षा और परिवर्तन

58. विषमता और कुर्तोसिस के गुणांक।

वितरण केंद्रीय क्षण

भिन्नता की प्रकृति के आगे के अध्ययन के लिए, इसके अंकगणितीय माध्य से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के विभिन्न डिग्री के औसत मूल्यों का उपयोग किया जाता है। इन संकेतकों को कहा जाता है केंद्र बिंदु विचलन के आधार पर, या केवल क्षणों के लिए इसी क्रम के वितरण।

वितरण प्रपत्र संकेतक

वितरण विषमता

Pearson घातांक वितरण श्रृंखला के मध्य भाग में विषमता की डिग्री और सुविधा के चरम मूल्यों पर तीसरे क्रम के क्षण के आधार पर विषमता सूचकांक पर निर्भर करता है।

विषमता की भौतिकता का आकलन

विषमता के महत्व का आकलन करने के लिए, विषमता गुणांक के औसत वर्ग त्रुटि की गणना की जाती है

अगर रवैया का मान 2 से अधिक है, यह विषमता की एक महत्वपूर्ण प्रकृति को इंगित करता है

वितरण कर्टोसिस

कर्टोसिस सूचक
वक्र के ऊपर से अनुभवजन्य वितरण के ऊपर या नीचे ("शीतलता") के विचलन का प्रतिनिधित्व करता है सामान्य वितरण, परंतु! डिस्ट्रीब्यूशन ग्राफ, भिन्नता की भिन्नता के आधार पर आपकी पसंद के अनुसार स्थिर हो सकता है: कमजोर रूपांतर, स्टेटर किसी दिए गए पैमाने पर वितरण वक्र। इस तथ्य का उल्लेख नहीं करने के लिए कि फरसीसा और ऑर्डिनेट कुल्हाड़ियों के साथ तराजू को बदलकर, किसी भी वितरण को कृत्रिम रूप से "खड़ी" और "सपाट" बनाया जा सकता है। यह दिखाने के लिए कि वितरण कुर्टोसिस में क्या है और इसे सही ढंग से व्याख्या करने के लिए, श्रृंखला की तुलना भिन्नता (समान the मूल्य) और विभिन्न कुर्तोसिस सूचकांकों की समान शक्ति के साथ करना आवश्यक है। असममितता के साथ कर्टोसिस को भ्रमित न करने के लिए, सभी तुलनात्मक पंक्तियों को सममित होना चाहिए। यह तुलना अंजीर में दिखाई गई है।

चूँकि सामान्य वितरण का कुर्तोसिस 3 के बराबर होता है, इसलिए कर्टोसिस सूचकांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

कर्टोसिस की भौतिकता का आकलन

कुर्तोसिस के महत्व का आकलन करने के लिए, इसके मूल माध्य वर्ग त्रुटि के सूचक की गणना करें

अगर रवैया 3 से अधिक का मान है, तो यह अतिरिक्त की एक महत्वपूर्ण प्रकृति को इंगित करता है

परिभाषा। फैशनम ० असत अनियमित चर इसका सबसे संभावित मूल्य कहा जाता है। एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, मोड यादृच्छिक चर का मूल्य है जिस पर वितरण घनत्व अधिकतम है।

यदि असतत यादृच्छिक चर के लिए वितरण बहुभुज या निरंतर यादृच्छिक चर के लिए वितरण वक्र में दो या अधिक मैक्सिमा हैं, तो इस तरह के वितरण को कहा जाता है bimodal या बहुविध.

यदि किसी वितरण में न्यूनतम है लेकिन अधिकतम नहीं है, तो इसे कहा जाता है विरोधी मोडल.

परिभाषा। मंझला रैंडम वेरिएबल X के M D को उसके मूल्य के सापेक्ष कहा जाता है, जिससे रैंडम वेरिएबल का बड़ा या छोटा मान प्राप्त करना भी उतना ही संभव है।

ज्यामितीय रूप से, मध्य बिंदु उस बिंदु का फरसा है जिस पर वितरण वक्र द्वारा घिरा क्षेत्र आधा किया जाता है।

ध्यान दें कि यदि वितरण असमान है, तो मोड और मंझला गणितीय अपेक्षा के साथ मेल खाता है।

परिभाषा। प्रारंभिक बिंदुगण क एक यादृच्छिक चर X को मात्रा X की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है क .

एक असतत यादृच्छिक चर के लिए:।

.

पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण गणितीय अपेक्षा के बराबर है।

परिभाषा। केन्द्र बिन्दुगण क यादृच्छिक चर X को मूल्य की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है

असतत यादृच्छिक चर के लिए: .

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए: .

पहला क्रम केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य होता है और दूसरा क्रम केंद्रीय क्षण विचरण के बराबर होता है। तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण वितरण विषमता की विशेषता है।

परिभाषा। तीसरे क्रम के केंद्रीय क्षण का अनुपात तीसरी डिग्री के मानक विचलन को कहा जाता है विषमता गुणांक.

परिभाषा। वितरण की चरमता और सपाटता को चिह्नित करने के लिए, एक मात्रा जिसे कहा जाता है अधिक।

विचार किए गए मूल्यों के अतिरिक्त, तथाकथित निरपेक्ष क्षणों का भी उपयोग किया जाता है:

पूर्ण आरंभ बिंदु:।

पूर्ण केंद्र बिंदु: .

quantile संभावना के दिए गए स्तर के अनुरूप आर, ऐसे मूल्य को कहा जाता है जिस पर वितरण फ़ंक्शन के बराबर मूल्य लेता है आर, अर्थात। कहाँ पे आर- दी गई संभावना का स्तर।

दूसरे शब्दों में quantile वहाँ एक यादृच्छिक चर का मूल्य है जिसके लिए

संभावना आर प्रतिशत के रूप में दिया जाता है, इसी मात्रा को एक नाम देता है, उदाहरण के लिए, इसे 40% मात्रात्मक कहा जाता है।

20. स्वतंत्र प्रयोगों में किसी घटना के घटने की गणितीय अपेक्षा और परिवर्तन।

परिभाषा। गणितीय अपेक्षा एक सतत यादृच्छिक चर X, जिसमें से संभव मान एक अंतराल के हैं, एक निश्चित अभिन्न कहा जाता है

यदि पूरे संख्यात्मक अक्ष पर एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों पर विचार किया जाता है, तो गणितीय अपेक्षा सूत्र द्वारा पाई जाती है:

इस मामले में, निश्चित रूप से, यह माना जाता है कि अनुचित अभिन्न अभिसरण करता है।

गणितीय अपेक्षाअसतत रैंडम वैरिएबल संगत संभावनाओं द्वारा अपने संभावित मूल्यों के उत्पादों का योग है:

म(एक्स) =एक्स 1 आर 1 +एक्स 2 आर 2 + … +एक्स पी आर पी . (7.1)

यदि एक यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अनंत है, तो
यदि परिणामी श्रृंखला पूरी तरह से परिवर्तित होती है।

टिप्पणी 1।अपेक्षित मूल्य को कभी-कभी कहा जाता है भारित औसत, क्योंकि यह लगभग बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए यादृच्छिक चर के देखे गए मान के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

टिप्पणी 2।गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि इसका मान किसी यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभव मान से कम नहीं है और सबसे बड़ा से अधिक नहीं है।

टिप्पणी 3।एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है कोई संयोग नहीं(लगातार। इस प्रकार, हम देखेंगे कि निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी यही सच है।

गणितीय अपेक्षा के गुण।

किसी स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा सबसे अधिक स्थिर होती है:

म(से) =से।(7.2)

साक्ष्य। मानते हुए सेअसतत यादृच्छिक चर के रूप में केवल एक मूल्य ले रहा है सेसंभाव्यता के साथ आर\u003d 1, फिर म(से) =से1 \u003d से.

निरंतर कारक को गणितीय अपेक्षा के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है:

म(एसएच) =से। मी(एक्स). (7.3)

साक्ष्य। यदि एक यादृच्छिक चर एक्सएक वितरण श्रृंखला द्वारा दिया गया

एक्स मैं				एक्स n
पी मैं				पी n

तब के लिए वितरण श्रृंखला एसएचकी तरह लगता है:

सेएक्स मैं	सेएक्स 1	सेएक्स 2		सेएक्स n
पी मैं				पी n

फिर म(एसएच) =Cx 1 आर 1 +Cx 2 आर 2 + … +Cx पी आर पी =से( एक्स 1 आर 1 +एक्स 2 आर 2 + … +एक्स पी आर पी) =से। मी(एक्स).

गणितीय अपेक्षासतत यादृच्छिक चर कहा जाता है

(7.13)

टिप्पणी 1।एक सतत यादृच्छिक चर के लिए विचरण की सामान्य परिभाषा असतत एक (डीईएफ 7.5) के लिए समान है, और इसकी गणना के लिए सूत्र है:

(7.14)

मानक विचलन सूत्र (7.12) द्वारा गणना की जाती है।

टिप्पणी 2।यदि एक सतत यादृच्छिक चर के सभी संभव मान अंतराल से परे नहीं जाते हैं [ ए, ख], फिर इन सीमाओं के भीतर सूत्र (7.13) और (7.14) में अभिन्न गणना की जाती है।

प्रमेय। स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटने की संख्या का प्रसरण एक परीक्षण में किसी घटना की संभावना और गैर-घटना की संभावना द्वारा परीक्षणों की संख्या के उत्पाद के बराबर होता है:।

साक्ष्य। आज्ञा देना स्वतंत्र घटनाओं में एक घटना की संख्या है। यह प्रत्येक परीक्षण में घटना के घटने के योग के बराबर है:। चूंकि परीक्षण स्वतंत्र हैं, फिर यादृच्छिक चर - इसलिए स्वतंत्र हैं।

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, और।

तब, जबकि .

इस मामले में, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, मानक विचलन।

जब बहुतायत के वितरण का विश्लेषण करते हैं, तो सममित से वितरण के विचलन का आकलन करना, या, दूसरे शब्दों में, इसके तिरछेपन के लिए काफी रुचि है। तिरछा की डिग्री (विषमता) जनसंख्या वितरण के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक है। तिरछा गणना के लिए कई आँकड़े उपलब्ध हैं। सभी किसी भी तिरछे संकेतक के लिए कम से कम दो आवश्यकताओं को पूरा करते हैं: यह आयाम रहित होना चाहिए और शून्य के बराबर होना चाहिए यदि वितरण सममित है।

अंजीर में। 2 ए, बी संख्याओं के दो असममित वितरणों के घटता दिखाता है, जिनमें से एक बाईं ओर तिरछा है, और दूसरा दाईं ओर। मोड, माध्य और माध्य की सापेक्ष स्थिति गुणात्मक रूप से दर्शाई गई है। यह देखा जाता है कि संभव तिरछा संकेतक में से एक का निर्माण उस दूरी को ध्यान में रखते हुए किया जा सकता है जिस पर एक दूसरे से औसत और मोड स्थित हैं। लेकिन अनुभवजन्य डेटा से मोड का निर्धारण करने की जटिलता को ध्यान में रखते हुए, और दूसरी ओर, मोड, माध्य और माध्य के बीच सुप्रसिद्ध संबंध (3), निम्न सूत्र में विषमता सूचकांक की गणना करने का प्रस्ताव था:

यह इस सूत्र से अनुसरण करता है कि बाईं ओर तिरछे वितरण में सकारात्मक विषमता है, और दाईं ओर तिरछी - नकारात्मक। स्वाभाविक रूप से, सममित वितरण के लिए जिसके लिए माध्य और माध्य संयोग करते हैं, तिरछा शून्य है।

आइए तालिका में दिए गए आंकड़ों के लिए विषमता के सूचकांकों की गणना करें। 1 और 2. हृदय चक्र की अवधि को वितरित करने के लिए, हमारे पास:

इस प्रकार, यह वितरण बाईं ओर थोड़ा तिरछा है। विषमता के लिए प्राप्त मूल्य अनुमानित है, और सटीक नहीं है, क्योंकि इसकी गणना के लिए मूल्यों और उपयोग किया गया था, सरल तरीके से गणना की जाती है।

रक्त सीरम के सल्फहाइड्रील समूहों के वितरण के लिए, हमारे पास:

इस प्रकार, इस वितरण में नकारात्मक तिरछापन है, अर्थात। सही करने के लिए beveled।

यह सैद्धांतिक रूप से दिखाया गया है कि सूत्र 13 द्वारा निर्धारित मूल्य 3 के भीतर निहित है। लेकिन व्यवहार में यह मूल्य बहुत ही कम अपने सीमित मूल्यों तक पहुंचता है, और मध्यम रूप से असममित एक-शीर्ष वितरण के लिए यह आमतौर पर पूर्ण मूल्य में एक से कम है।

विषमता सूचक का उपयोग न केवल संख्या के वितरण के औपचारिक विवरण के लिए किया जा सकता है, बल्कि प्राप्त आंकड़ों की सार्थक व्याख्या के लिए भी किया जा सकता है।

वास्तव में, यदि हम जिस सुविधा का निरीक्षण करते हैं, वह बड़ी संख्या में स्वतंत्र कारणों के प्रभाव में बनती है, जिनमें से प्रत्येक इस सुविधा के मूल्य में अपेक्षाकृत छोटा योगदान देता है, तो, संभाव्यता सिद्धांत पर खंड में चर्चा किए गए कुछ सैद्धांतिक परिसरों के अनुसार, हम इसकी अपेक्षा नहीं कर सकते हैं प्रयोग के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्याओं का वितरण सममित होगा। हालाँकि, यदि प्रायोगिक डेटा (कुछ दसियों के भीतर As modulo का संख्यात्मक मान) के लिए विषमता का एक महत्वपूर्ण मूल्य प्राप्त किया गया था, तो यह माना जा सकता है कि ऊपर उल्लिखित शर्तों को पूरा नहीं किया गया है।

इस मामले में, यह या तो एक या दो कारकों के अस्तित्व को ग्रहण करने के लिए समझ में आता है, जिनमें से प्रयोग में मनाया मूल्य के गठन का योगदान दूसरों की तुलना में काफी अधिक है, या एक विशेष तंत्र की उपस्थिति को पोस्ट करने के लिए है जो अवलोकनित विशेषता के मूल्य पर कई कारणों के स्वतंत्र प्रभाव के तंत्र से अलग है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हमारे लिए ब्याज की मात्रा में परिवर्तन, एक निश्चित कारक की कार्रवाई के अनुसार, इस मात्रा के लिए आनुपातिक हैं और कारण की कार्रवाई की तीव्रता है, तो इस मामले में प्राप्त वितरण हमेशा बाईं ओर तिरछा हो जाएगा, अर्थात्। सकारात्मक विषमता है। उदाहरण के लिए, जीवविज्ञानी ऐसे तंत्र के साथ सामना करते हैं जब पौधों और जानवरों के विकास से जुड़ी मात्रा का मूल्यांकन करते हैं।

तिरछापन का अनुमान लगाने का एक और तरीका क्षणों की विधि पर आधारित है, जिस पर अध्याय 44 में चर्चा की जाएगी। इस पद्धति के अनुसार, तिरछापन की गणना करने के लिए, तीसरी शक्ति के लिए उठाए गए माध्य के सापेक्ष डेटा श्रृंखला के सभी मूल्यों के विचलन का उपयोग किया जाता है, अर्थात्:

तीसरी डिग्री यह सुनिश्चित करती है कि सममित वितरण के लिए इस अभिव्यक्ति का अंश शून्य है, क्योंकि इस मामले में तीसरी डिग्री में औसत से ऊपर और नीचे विचलन के योग समान होंगे और विपरीत संकेत होंगे। विषमता घटक के लिए आयाम द्वारा विभाजन प्रदान करता है।

सूत्र (14) को निम्नानुसार रूपांतरित किया जा सकता है। पिछले पैराग्राफ में, मानकीकृत मूल्यों को पेश किया गया था:

इस प्रकार, तिरछा माप मानकीकृत डेटा का अर्थ है, जो घना हुआ है।

उसी डेटा के लिए जिसके लिए सूत्र (13) का उपयोग करके विषमता की गणना की गई थी, हम सूत्र (15) का उपयोग करके संकेतक पाते हैं। हमारे पास है:

स्वाभाविक रूप से, विषमता सूचकांकों द्वारा गणना की जाती है विभिन्न सूत्र, आकार में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, लेकिन ढलान की प्रकृति को समान रूप से इंगित करते हैं। सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए लागू कार्यक्रमों के पैकेज में, जब विषमता की गणना करते हैं, तो सूत्र (15) का उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह बहुत सटीक मान देता है। प्रारंभिक कैलकुलेटर का उपयोग करके प्रारंभिक गणना के लिए, आप सूत्र (13) का उपयोग कर सकते हैं।

अधिक।इसलिए, हमने संकेतकों के चार चार समूहों में से तीन को देखा जो संख्याओं के वितरण का वर्णन करते हैं। उनमें से अंतिम शिखर, या कर्टोसिस (ग्रीक से - हम्पबैक) के संकेतकों का एक समूह है। कुर्टोसिस के संभावित संकेतकों में से एक की गणना करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

उसी दृष्टिकोण का उपयोग करना जिसका उपयोग विषमता सूत्र (14) को बदलने के लिए किया गया था, यह दिखाना आसान है:

सैद्धांतिक रूप से, यह दिखाया गया था कि सामान्य (गॉसियन) वितरण वक्र के लिए कर्टोसिस मूल्य, जो आंकड़ों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, साथ ही संभाव्यता सिद्धांत में संख्यात्मक रूप से 3 के बराबर है। कई कारणों से, इस वक्र के तेज को एक मानक के रूप में लिया जाता है, और इसलिए, कर्टोसिस के संकेतक के रूप में। मूल्य का उपयोग करें:

आइए तालिका में दिए गए डेटा के लिए चोटी के मूल्य का पता लगाएं। 1. हम हैं:

इस प्रकार, कार्डियक चक्र की अवधि के वितरण वक्र को सामान्य वक्र की तुलना में चपटा किया जाता है, जिसके लिए।

तालिका 3 गुलदाउदी प्रजातियों में से एक में सीमांत फूलों की संख्या के वितरण को दर्शाता है। इस वितरण के लिए

अतिरिक्त बहुत बड़े मूल्यों पर ले जा सकता है, जैसा कि दिए गए उदाहरण से देखा जा सकता है, लेकिन इसकी निचली सीमा एक से कम नहीं हो सकती। यह पता चला है कि यदि वितरण बिमोडल (बिमोडल) है, तो कुर्तोसिस मूल्य अपनी निचली सीमा तक पहुंचता है, इसलिए यह -2 तक पहुंच जाता है। इस प्रकार, यदि गणनाओं के परिणामस्वरूप यह पता चलता है कि मूल्य -1-1.4 से कम है, तो हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि हमारे निपटान में संख्याओं का वितरण कम से कम बिमोडल है। यह विशेष रूप से ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है जब प्रायोगिक डेटा, प्रीप्रोसेसिंग के चरण को दरकिनार कर, एक डिजिटल कंप्यूटर का उपयोग करके विश्लेषण किया जाता है और शोधकर्ता की आंखों के सामने जनसंख्या वितरण का कोई प्रत्यक्ष चित्रमय प्रतिनिधित्व नहीं है।

प्रायोगिक डेटा का द्विविध वितरण वक्र कई कारणों से उत्पन्न हो सकता है। विशेष रूप से, इस तरह के वितरण को एक सेट में दो सेट डिसमिलर डेटा के संयोजन के कारण दिखाई दे सकता है। इसे स्पष्ट करने के लिए, हमने कृत्रिम रूप से जीवाश्म मोलस्क की दो प्रजातियों के गोले की चौड़ाई पर डेटा को एक आबादी (तालिका 4, छवि 3) में संयोजित किया।

आंकड़ा स्पष्ट रूप से दो मोड की उपस्थिति को दर्शाता है, क्योंकि विभिन्न आबादी से दो डेटा सेट मिश्रित होते हैं। गणना कुर्तोसिस मूल्य 1.74 के लिए देती है, और इसलिए, \u003d -1.26। इस प्रकार, शिखर अनुक्रम की गणना मूल्य पूर्व में बताए गए स्थान के अनुसार इंगित करता है, कि वितरण में दो शिखर हैं।

यहां एक कैविएट बनाया जाना है। दरअसल, सभी मामलों में जब बहुतायत वितरण में दो मैक्सिमा होती हैं, तो कुर्तोसिस मूल्य एकता के करीब होगा। हालाँकि, यह तथ्य स्वचालित रूप से यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकता है कि विश्लेषण किया गया डेटा सेट दो असमान नमूनों का मिश्रण है। सबसे पहले, इस तरह के मिश्रण, इसके घटक समुच्चय की संख्या के आधार पर, दो चोटियां नहीं हो सकती हैं, और कर्टोसिस संकेतक एक से अधिक होगा। दूसरा, एक सजातीय नमूने के भी दो तरीके हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रयोगात्मक डेटा के चयन की आवश्यकताओं का उल्लंघन किया जाता है। इस प्रकार, इसमें, जैसा कि, वास्तव में, अन्य मामलों में, विभिन्न आंकड़ों की औपचारिक गणना के बाद, एक गहन पेशेवर विश्लेषण किया जाना चाहिए, जो प्राप्त आंकड़ों को एक सार्थक व्याख्या देने की अनुमति देगा।

एक यादृच्छिक चर के वितरण के आकार का एक अनुमानित विचार प्राप्त करने के लिए, इसके वितरण श्रृंखला (बहुभुज और हिस्टोग्राम) का एक ग्राफ, फ़ंक्शन या वितरण घनत्व प्लॉट किया जाता है। सांख्यिकीय अनुसंधान के अभ्यास में, व्यक्ति को बहुत भिन्न वितरणों के साथ मिलना होता है। सजातीय आबादी को एक नियम के रूप में, असमान वितरण द्वारा विशेषता दी जाती है। मल्टी-वर्टेक्सिटी अध्ययन की गई जनसंख्या की विविधता को इंगित करती है। इस मामले में, अधिक सजातीय समूहों का चयन करने के लिए डेटा को फिर से इकट्ठा करना आवश्यक है।

एक यादृच्छिक चर के वितरण की सामान्य प्रकृति के निरसन में इसकी समरूपता की डिग्री का मूल्यांकन शामिल है, साथ ही विषमता और कुर्तोसिस के संकेतकों की गणना भी शामिल है। एक सममित वितरण में, जिसमें गणितीय अपेक्षा माध्यिका के बराबर होती है, अर्थात्। , हम मान सकते हैं कि कोई विषमता नहीं है। लेकिन अधिक ध्यान देने योग्य विषमता, वितरण केंद्र की विशेषताओं के बीच अधिक विचलन - गणितीय अपेक्षा और मंझला।

एक यादृच्छिक चर के वितरण की विषमता का सबसे सरल गुणांक माना जा सकता है, जहां गणितीय अपेक्षा है, मध्यिका है, और यादृच्छिक चर का मानक विचलन है।

दाएं तरफा विषमता के मामले में, बाएं तरफा -। यदि, यह माना जाता है कि विषमता कम है, अगर - मध्यम, और उच्च पर। दाएं तरफा और बाएं तरफा विषमता का ज्यामितीय चित्रण नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यह इसी प्रकार के निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व के ग्राफ को दर्शाता है।

चित्र। निरंतर यादृच्छिक चर के घनत्व वितरण के ग्राफ पर दाएं तरफा और बाएं तरफा विषमता का चित्रण।

यादृच्छिक चर के वितरण की विषमता का एक और गुणांक भी है। यह दिखाया जा सकता है कि एक विषम क्रम के केंद्रीय क्षण के शून्य से अंतर यादृच्छिक चर के वितरण की विषमता को इंगित करता है। पिछले संकेतक में, हमने पहले क्रम के क्षण के समान एक अभिव्यक्ति का उपयोग किया। लेकिन आमतौर पर इस अन्य विषमता गुणांक में, तीसरे क्रम के केंद्रीय क्षण का उपयोग किया जाता है , और इस गुणांक के आयाम रहित होने के लिए, इसे मानक विचलन घन द्वारा विभाजित किया गया है। यह निम्न विषमता गुणांक को बताता है: ... इस विषमता गुणांक के लिए, दाएं तरफा विषमता के मामले में पहली बार, बाएं तरफा -।

एक यादृच्छिक चर के कर्टोसिस

एक यादृच्छिक चर के वितरण का कर्टोसिस वितरण के केंद्र के पास अपने मूल्यों की एकाग्रता की डिग्री को चिह्नित करता है: इस तरह के उच्च एकाग्रता, उच्च और संकीर्ण इसके वितरण घनत्व का ग्राफ होगा। कर्टोसिस (चरमता) सूचकांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है :, जहां 4 वें क्रम का केंद्रीय क्षण है, और 4 वीं शक्ति के लिए उठाया गया मानक विचलन है। चूंकि अंश और हर की डिग्री समान होती है, कुर्तोसिस एक आयाम रहित मात्रा है। इस मामले में, यह सामान्य वितरण लेने के लिए, कर्टोसिस, शून्य कुर्टोसिस की अनुपस्थिति के मानक के रूप में लिया जाता है। लेकिन आप इसे सामान्य वितरण के लिए साबित कर सकते हैं। इसलिए, इस अंश से कुर्तोसिस की गणना करने के सूत्र में, संख्या 3 को घटाया जाता है।

इस प्रकार, एक सामान्य वितरण के लिए, कर्टोसिस शून्य है:। यदि कुर्तोसिस शून्य से अधिक है, अर्थात। , फिर वितरण सामान्य से अधिक चरम पर है। यदि कुर्तोसिस शून्य से कम है, अर्थात। , फिर वितरण सामान्य से कम चरम पर है। नकारात्मक कुर्तोसिस का सीमित मूल्य मूल्य है; सकारात्मक कुर्तोसिस का परिमाण असीम रूप से बड़ा हो सकता है। सामान्य वितरण की तुलना में यादृच्छिक चर के चरम और फ्लैट-टॉप वितरण वाले घनत्व कैसे दिखते हैं, इसका ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

चित्र। सामान्य वितरण की तुलना में यादृच्छिक चर के शिखर और फ्लैट टॉप टॉप वितरण घनत्व का चित्रण।

एक यादृच्छिक चर के वितरण की विषमता और कर्टोसिस यह दर्शाता है कि यह सामान्य कानून से कितना विचलित होता है। बड़े स्क्यूज़ और अधिकता के लिए, आपको सामान्य वितरण के लिए गणना फ़ार्मुलों का उपयोग नहीं करना चाहिए। एक विशेष यादृच्छिक चर के डेटा के विश्लेषण में सामान्य वितरण फ़ार्मुलों के उपयोग के लिए विषमता और कुर्तोसिस की स्वीकार्यता का स्तर क्या है, यह शोधकर्ता द्वारा अपने ज्ञान और अनुभव के आधार पर निर्धारित किया जाना चाहिए।

एसिमोस फ़ंक्शन द्वारा विषमता की गणना की जाती है। इसका तर्क डेटा के साथ कोशिकाओं की श्रेणी है, उदाहरण के लिए, \u003d RMS (A1: A100) यदि डेटा A1 से A100 तक की कोशिकाओं में समाहित है।

कर्टोसिस की गणना EXCESS फ़ंक्शन द्वारा की जाती है, जिसका तर्क संख्यात्मक डेटा है, निर्दिष्ट, एक नियम के रूप में, कोशिकाओं के अंतराल के रूप में, उदाहरण के लिए: \u003d EXCESS (A1: A100)।

§2.3। विश्लेषण उपकरण वर्णनात्मक आँकड़े

में एक्सेल विश्लेषण उपकरण का उपयोग करते समय सभी नमूना बिंदु विशेषताओं की गणना करना संभव है वर्णनात्मक आँकड़ेजिसमें निहित है विश्लेषण पैकेज.

वर्णनात्मक आँकड़े डेटासेट के लिए बुनियादी आंकड़ों की एक तालिका बनाता है। इस तालिका में निम्नलिखित विशेषताएं होंगी: मतलब, मानक त्रुटि, विचरण, मानक विचलन, मोड, माध्यिका, अंतराल भिन्नता की सीमा, अधिकतम और न्यूनतम मान, तिरछापन, कुर्तोसिस, जनसंख्या का आकार, सभी जनसंख्या तत्वों का योग, विश्वास अंतराल (विश्वसनीयता स्तर)। साधन वर्णनात्मक आँकड़े सांख्यिकीय विशेषताओं को अलग-अलग गणना करने के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन को कॉल करने की आवश्यकता को समाप्त करके सांख्यिकीय विश्लेषण को बहुत सरल करता है।

बुलाने के लिए वर्णनात्मक आँकड़े, इस प्रकार है:

1) मेनू में सेवा टीम का चयन डेटा विश्लेषण;

2) सूची में विश्लेषण उपकरण संवाद बॉक्स डेटा विश्लेषणउपकरण चुनें वर्णनात्मक आँकड़े और दबाएँ ठीक है।

खिड़की में वर्णनात्मक आँकड़े यह आवश्यक है:

· समूह में इनपुट डेटा खेत मेँ इनपुट अंतराल डेटा युक्त कोशिकाओं के अंतराल को निर्दिष्ट करें;

यदि इनपुट रेंज में पहली पंक्ति में एक कॉलम हैडर है, तो अंदर पहली पंक्ति में लेबल फ़ील्डबॉक्स को चेक करें;

· समूह में आउटपुट विकल्प स्विच को सक्रिय करें (बॉक्स को चेक करें) सारांश आँकड़ेअगर जरुरत हो पूरी सूची विशेषताएँ;

स्विच को सक्रिय करें विश्वसनीयता स्तर और% में विश्वसनीयता को इंगित करें यदि विश्वास अंतराल की गणना करना आवश्यक है (डिफ़ॉल्ट रूप से, विश्वसनीयता 95% है)। दबाएँ ठीक है।

परिणामस्वरूप, उपरोक्त सांख्यिकीय विशेषताओं के परिकलित मूल्यों के साथ एक तालिका दिखाई देती है। तुरंत, इस तालिका के चयन को साफ किए बिना, कमांड चलाएं स्वरूप® स्तंभ® AutoFit चौड़ाई.

संवाद बॉक्स दृश्य वर्णनात्मक आँकड़े:

व्यावहारिक कार्य

2.1। मानक कार्यों का उपयोग करके मूल बिंदु आँकड़ों की गणना एक्सेल

उसी वाल्टमीटर ने 25 बार पूरे सर्किट में वोल्टेज को मापा। प्रयोगों के परिणामस्वरूप, वोल्ट में निम्नलिखित वोल्टेज मान प्राप्त किए गए:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

माध्य, नमूना और सुधारा गया विचरण, मानक विचलन, श्रेणी, मोड, माध्यिका ज्ञात करें। तिरछापन और कुर्तोसिस की गणना करके सामान्य वितरण से विचलन की जांच करें।

इस कार्य को पूरा करने के लिए निम्न चरणों को पूरा करें।

1. कॉलम A में अपने प्रयोग के परिणाम टाइप करें।

2. सेल बी 1 में, बी 2 में, बी 3 में - "औसत विचरण", "चयनित विचरण", "मानक विचलन", बी 4 में - "सुधारा हुआ विचरण", बी 5 में - "सही मानक विचलन", बी 6 में - "अधिकतम", बी 7 में - "न्यूनतम", बी 8 में - "भिन्नता की सीमा", बी 9 में - "मोड", बी 10 में - "मेडियन", बी 11 में - "एसिमेट्री", बी 12 में - "अतिरिक्त"।

3. इस कॉलम की चौड़ाई के साथ संरेखित करें ऑटोफ़िट चौड़ाई।

4. सेल C1 का चयन करें और सूत्र पट्टी में "\u003d" चिह्न के साथ बटन पर क्लिक करें। के माध्यम से फंक्शन विजार्ड्स श्रेणी में सांख्यिकीय AVERAGE फ़ंक्शन ढूंढें, फिर डेटा कोशिकाओं की सीमा को हाइलाइट करें और दबाएं ठीक है।

5. सेल C2 का चयन करें और सूत्र पट्टी में \u003d चिह्न पर क्लिक करें। के माध्यम से फंक्शन विजार्ड्स श्रेणी में सांख्यिकीय VARP फ़ंक्शन को ढूंढें, फिर डेटा कोशिकाओं की सीमा को हाइलाइट करें और दबाएं ठीक है।

6. शेष विशेषताओं की गणना करने के लिए अपने लिए भी ऐसा ही करें।

7. सेल C8 में भिन्नता की सीमा की गणना करने के लिए, सूत्र दर्ज करें: \u003d C6-C7।

8. अपनी तालिका के सामने एक पंक्ति जोड़ें, जिसमें संबंधित कॉलम के शीर्षक टाइप करें: "विशेषताओं का नाम" और "संख्यात्मक मान"।