घनत्व प्लॉट और सामान्य वितरण कार्य। सामान्य (गाऊसी) वितरण कानून। यूनीवेरिएट सामान्य वितरण

परिभाषा 1

एक यादृच्छिक चर $ X $ का सामान्य वितरण (गॉसियन वितरण) होता है यदि इसका वितरण घनत्व सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

\ [\ varphi \ लेफ्ट (x \ राइट) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma) e ^ (\ frac (- ((xa)) ^ 2) (2 (\ sigma) ^ 2)) \]

यहां $ aϵR $ गणितीय अपेक्षा है, और $ \ sigma> 0 $ मानक विचलन है।

सामान्य वितरण घनत्व।

आइए हम दिखाते हैं कि यह फलन वास्तव में एक वितरण घनत्व है। ऐसा करने के लिए, निम्न स्थिति की जाँच करें:

अनुचित समाकलन पर विचार करें $ \ int \ limit ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (\ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma) e ^ (\ frac (- ((xa)) ^ 2) (2 (\ सिग्मा) ^ 2)) डीएक्स) $।

आइए प्रतिस्थापन करें: $ \ frac (x-a) (\ sigma) = t, \ x = \ sigma t + a, \ dx = \ sigma dt $।

चूँकि $ f \ बाएँ (t \ दाएँ) = e ^ (\ frac (-t ^ 2) (2)) $ एक सम फलन है, तो

समानता रखती है, इसलिए फलन $ \ varphi \ left (x \ right) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma) e ^ (\ frac (- ((xa)) ^ 2) (2 (\ सिग्मा) ^ 2)) $ वास्तव में कुछ का वितरण घनत्व है अनियमित चर.

सामान्य वितरण $ \ varphi \ बाएँ (x \ दाएँ) $ के संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के कुछ सरल गुणों पर विचार करें:

1. सामान्य वितरण के प्रायिकता घनत्व फलन का ग्राफ सीधी रेखा $ x = a $ के बारे में सममित है।
2. $ \ varphi \ बाएँ (x \ दाएँ) $ फ़ंक्शन अपने अधिकतम $ x = a $ पर पहुँचता है, जबकि $ \ varphi \ बाएँ (a \ दाएँ) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma ) ई ^ (\ फ्रैक (- ((एए)) ^ 2) (2 (\ सिग्मा) ^ 2)) = \ फ्रैक (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ सिग्मा) $
3. फ़ंक्शन $ \ varphi \ बाएँ (x \ दाएँ) $ घटता है, $ x> a $ के लिए, और बढ़ता है, $ x के लिए
4. $ \ varphi \ बाएँ (x \ दाएँ) $ फ़ंक्शन में $ x = a + \ sigma $ और $ x = a- \ sigma $ पर विभक्ति बिंदु हैं।
5. फ़ंक्शन $ \ varphi \ बाएँ (x \ दाएँ) $ अस्वाभाविक रूप से $ Ox $ अक्ष पर $ x \ से \ pm \ infty $ के रूप में पहुंचता है।
6. योजनाबद्ध ग्राफ इस तरह दिखता है (चित्र 1)।

चित्र 1. अंजीर। 1. सामान्य वितरण के घनत्व का ग्राफ

ध्यान दें कि यदि $ a = 0 $, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ $ Oy $ अक्ष के बारे में सममित है। इसलिए, फलन $ \ varphi \ बाएँ (x \ दाएँ) $ सम है।

सामान्य वितरण समारोह।

सामान्य वितरण के लिए संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन खोजने के लिए, हम निम्न सूत्र का उपयोग करते हैं:

अत,

परिभाषा 2

फ़ंक्शन $ F (x) $ को मानक सामान्य वितरण कहा जाता है यदि $ a = 0, \ \ sigma = 1 $, अर्थात्:

यहाँ $ \ बाएँ (x \ दाएँ) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ सीमा ^ x_0 (e ^ (\ frac (-t ^ 2) (2)) dt) $ लाप्लास फ़ंक्शन है।

परिभाषा 3

समारोह $ Ф \ बाएँ (x \ दाएँ) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ सीमा ^ x_0 (e ^ (\ frac (-t ^ 2) (2)) dt) $ प्रायिकता का समाकल कहा जाता है।

सामान्य वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं।

उम्मीद: $ M \ बाएँ (X \ दाएँ) = a $।

भिन्नता: $ D \ बाएँ (X \ दाएँ) = (\ सिग्मा) ^ 2 $।

माध्य वर्ग वितरण: $ \ सिग्मा \ बाएँ (X \ दाएँ) = \ सिग्मा $।

उदाहरण 1

सामान्य वितरण की अवधारणा पर एक समस्या को हल करने का एक उदाहरण।

समस्या १: पथ की लंबाई $ X $ एक यादृच्छिक सतत चर है। $ X $ सामान्य वितरण कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, जिसका औसत मूल्य $ 4 $ किलोमीटर है, और मानक विचलन $ 100 $ मीटर है।

1. वितरण घनत्व फ़ंक्शन $ X $ खोजें।
2. वितरण घनत्व का एक आरेखीय आलेख खींचिए।
3. यादृच्छिक चर $ X $ का वितरण फलन ज्ञात कीजिए।
4. विचरण ज्ञात कीजिए।

1. आरंभ करने के लिए, आइए सभी मात्राओं को एक आयाम में प्रस्तुत करें: 100m = 0.1km

परिभाषा 1 से, हम प्राप्त करते हैं:

\ [\ varphi \ बाएँ (x \ दाएँ) = \ frac (1) (0,1 \ sqrt (2 \ pi)) e ^ (\ frac (- ((x-4)) ^ 2) (0,02 )) \]

(चूंकि $ a = 4 \ km, \ \ sigma = 0,1 \ km) $

1. वितरण घनत्व फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है कि $ \ varphi \ left (x \ right) $ फ़ंक्शन का ग्राफ सीधी रेखा $ x = 4 $ के संबंध में सममित है।

फ़ंक्शन अपने अधिकतम बिंदु $ \ बाएँ (a, \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma) \ दाएँ) = (4, \ \ frac (1) (0,1 \ sqrt ( 2 \ पीआई))) $

योजनाबद्ध ग्राफ इस तरह दिखता है:

चित्र 2।

1. वितरण फलन की परिभाषा के अनुसार $F \ बाएँ (x \ दाएँ) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma) \ int \ Limits ^ x _ (- \ infty) (e ^ (\ फ्रैक (- ( (टीए)) ^ 2) (2 (\ सिग्मा) ^ 2)) डीटी) $, हमारे पास है:

\

1. $ डी \ बाएं (एक्स \ दाएं) = (\ सिग्मा) ^ 2 = 0.01 $।

यादृच्छिक चर कहा जाता है मापदंडों के साथ सामान्य (गॉसियन) कानून के अनुसार वितरित ए तथा () , यदि संभाव्यता वितरण घनत्व का रूप है

सामान्य कानून के अनुसार वितरित मात्रा में हमेशा संभावित मूल्यों की अनंत संख्या होती है, इसलिए वितरण घनत्व ग्राफ का उपयोग करके इसे ग्राफिक रूप से प्रदर्शित करना सुविधाजनक होता है। सूत्र के अनुसार

संभावना है कि यादृच्छिक चर अंतराल से एक मान लेगा, इस अंतराल पर फ़ंक्शन के ग्राफ के तहत क्षेत्र के बराबर है (ज्यामितीय अर्थ समाकलन परिभाषित करें) विचाराधीन कार्य गैर-ऋणात्मक और सतत है। फ़ंक्शन के ग्राफ़ में घंटी का आकार होता है और इसे गाऊसी वक्र या सामान्य वक्र कहा जाता है।

यह आंकड़ा सामान्य कानून के अनुसार दिए गए यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व के कई वक्र दिखाता है।

सभी वक्रों में एक अधिकतम बिंदु होता है, जिससे दूरी के साथ दाएं और बाएं वक्र कम हो जाते हैं। अधिकतम पर पहुंच गया है और इसके बराबर है।

उच्चतम बिंदु के माध्यम से खींची गई लंबवत रेखा के बारे में वक्र सममित होते हैं। प्रत्येक वक्र का सबप्लॉट क्षेत्र 1 है।

व्यक्तिगत वितरण वक्रों के बीच का अंतर केवल इस तथ्य में निहित है कि सबग्राफ का कुल क्षेत्रफल, जो सभी वक्रों के लिए समान है, विभिन्न वर्गों के बीच अलग-अलग तरीकों से वितरित किया जाता है। किसी भी वक्र के सबप्लॉट के क्षेत्र का मुख्य भाग सबसे संभावित मूल्य के तत्काल आसपास के क्षेत्र में केंद्रित है, और यह मान तीनों वक्रों के लिए अलग है। पर विभिन्न अर्थतथा एवितरण फलन के घनत्व के विभिन्न सामान्य नियम और विभिन्न ग्राफ प्राप्त होते हैं।

सैद्धांतिक अध्ययनों से पता चला है कि व्यवहार में आने वाले अधिकांश यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण होता है। इस कानून के अनुसार, गैस के अणुओं की गति, नवजात शिशुओं का वजन, देश की आबादी के कपड़े और जूते के आकार और कई अन्य वितरित किए जाते हैं। यादृच्छिक घटनाएंभौतिक और जैविक प्रकृति। इस पैटर्न को पहली बार देखा गया था और सैद्धांतिक रूप से ए। मोइवर ने इसकी पुष्टि की थी।

के लिए, फ़ंक्शन उस फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है जो पहले से ही Moivre - Laplace के स्थानीय सीमा प्रमेय में चर्चा की गई थी। सामान्य वितरण की संभावना घनत्व आसान है के संदर्भ में व्यक्त किया गया है:

मापदंडों के ऐसे मूल्यों के लिए, सामान्य कानून कहा जाता है मुख्य .

सामान्यीकृत घनत्व के वितरण फलन को कहा जाता है लाप्लास समारोह और निरूपित (एक्स)... हम इस फीचर को पहले भी देख चुके हैं।

लैपलेस फ़ंक्शन विशिष्ट मापदंडों से स्वतंत्र है एऔर . लैपलेस फ़ंक्शन के लिए, अनुमानित एकीकरण विधियों का उपयोग करते हुए, अंतराल में मूल्यों की तालिकाएँ संकलित की गईं बदलती डिग्रीशुद्धता। जाहिर है, लाप्लास फ़ंक्शन विषम है, इसलिए इसके मूल्यों को नकारात्मक मूल्यों के लिए तालिका में रखने की आवश्यकता नहीं है।

मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर के लिए एऔर, गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:, माध्य वर्ग विचलन के बराबर है।

संभावना है कि सामान्य रूप से वितरित मात्रा एक अंतराल से एक मान लेगी के बराबर है

इंटीग्रल लिमिट थ्योरम में लाप्लास फंक्शन को कहां पेश किया गया है।

अक्सर समस्याओं में सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के विचलन की संभावना की गणना करना आवश्यक होता है एक्सनिरपेक्ष मान में इसकी गणितीय अपेक्षा का एक निश्चित मान से अधिक नहीं है, अर्थात। संभावना की गणना करें। सूत्र लागू करना (19.2), हमारे पास है:

निष्कर्ष में, हम सूत्र (19.3) का एक महत्वपूर्ण परिणाम प्रस्तुत करते हैं। आइए इस सूत्र में डालते हैं। फिर, यानी। प्रायिकता कि विचलन का निरपेक्ष मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा से अधिक नहीं है, के बराबर ९९.७३%। व्यवहार में, ऐसी घटना को विश्वसनीय माना जा सकता है। यह थ्री सिग्मा नियम का सार है।

थ्री सिग्मा नियम। यदि एक यादृच्छिक चर सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो गणितीय अपेक्षा से इसके विचलन का निरपेक्ष मान व्यावहारिक रूप से मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं होता है।

परिभाषा। साधारणएक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण कहा जाता है, जिसे संभाव्यता घनत्व द्वारा वर्णित किया जाता है

सामान्य वितरण नियम को भी कहा जाता है गॉस का नियम.

संभाव्यता सिद्धांत के लिए सामान्य वितरण कानून केंद्रीय है। यह इस तथ्य के कारण है कि यह कानून सभी मामलों में प्रकट होता है जब एक यादृच्छिक चर बड़ी संख्या में विभिन्न कारकों का परिणाम होता है। अन्य सभी वितरण कानून सामान्य कानून के करीब आते हैं।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि पैरामीटर तथा , वितरण घनत्व में शामिल हैं, क्रमशः, गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर के मानक विचलन एन एस.

वितरण समारोह खोजें एफ(एक्स) .

सामान्य वितरण घनत्व प्लॉट को कहा जाता है सामान्य वक्रया गाऊसी वक्र.

सामान्य वक्र में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1) फ़ंक्शन को संपूर्ण संख्या अक्ष पर परिभाषित किया गया है।

२) सभी के लिए एन एसवितरण फ़ंक्शन केवल सकारात्मक मान लेता है।

3) OX अक्ष प्रायिकता घनत्व ग्राफ का क्षैतिज अनंतस्पर्शी है, क्योंकि तर्क के निरपेक्ष मूल्य में असीमित वृद्धि के साथ एन एस, फ़ंक्शन का मान शून्य हो जाता है।

4) फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं।

चूंकि पर आप’ > 0 पर एक्स < एमतथा आप’ < 0 पर एक्स > एम, फिर बिंदु पर एक्स = टीफ़ंक्शन का अधिकतम बराबर है
.

5) फ़ंक्शन एक सीधी रेखा के बारे में सममित है एक्स = एजबसे अंतर

(एक्स - ए) चुकता घनत्व फलन में शामिल है।

६) ग्राफ के विभक्ति बिंदुओं को खोजने के लिए, हम घनत्व फलन का दूसरा अवकलज पाते हैं।

पर एक्स = एम+ और एक्स = एम- दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, और इन बिंदुओं से गुजरने पर यह संकेत बदल देता है, अर्थात। फ़ंक्शन में इन बिंदुओं पर एक विभक्ति है।

इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन का मान है
.

आइए वितरण घनत्व फलन का एक ग्राफ बनाएं (चित्र 5)।

के लिए रेखांकन टी= 0 और मानक विचलन के तीन संभावित मान  = 1, = 2 और = 7. जैसा कि आप देख सकते हैं, मानक विचलन के मूल्य में वृद्धि के साथ, ग्राफ चापलूसी हो जाता है, और अधिकतम मूल्य घट जाता है .

अगर ए> 0, तो ग्राफ धनात्मक दिशा में शिफ्ट होगा यदि ए < 0 – в отрицательном.

पर ए= 0 और = 1, वक्र कहलाता है सामान्यीकृत... सामान्यीकृत वक्र समीकरण:

लाप्लास समारोह

आइए हम एक दिए गए अंतराल में गिरने वाले सामान्य नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की संभावना का पता लगाएं।

हम निरूपित करते हैं

चूंकि अभिन्न
प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है, तो फ़ंक्शन को विचार में पेश किया जाता है

,

इससे कहते है लाप्लास समारोहया संभावनाओं का अभिन्न अंग.

विभिन्न मूल्यों पर इस फ़ंक्शन के मान एन एसगणना और विशेष तालिकाओं में दिया गया।

अंजीर में। 6 लैपलेस फ़ंक्शन का एक ग्राफ दिखाता है।

लैपलेस फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण हैं:

1) एफ (0) = 0;

2) एफ (-एक्स) = - एफ (एक्स);

3) एफ ( ) = 1.

लैपलेस फ़ंक्शन को भी कहा जाता है त्रुटि समारोहऔर erf . को निरूपित करें एक्स.

अभी भी प्रयोग में है सामान्यीकृतलैपलेस फ़ंक्शन, जो संबंध द्वारा लैपलेस फ़ंक्शन से संबंधित है:

अंजीर में। 7 सामान्यीकृत लैपलेस फ़ंक्शन का एक ग्राफ दिखाता है।

एन एस थ्री सिग्मा रूल

सामान्य वितरण कानून पर विचार करते समय, एक महत्वपूर्ण विशेष मामले को हाइलाइट किया जाता है, जिसे के रूप में जाना जाता है थ्री सिग्मा नियम.

आइए हम इस प्रायिकता को लिखें कि गणितीय अपेक्षा से सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का विचलन किसी दिए गए मान से कम है:

यदि हम = 3 लेते हैं, तो हम लाप्लास फ़ंक्शन के मानों की तालिका का उपयोग करके प्राप्त करते हैं:

वे। संभावना है कि एक यादृच्छिक चर अपनी गणितीय अपेक्षा से तीन गुना से अधिक मानक विचलन से विचलित हो जाएगा व्यावहारिक रूप से शून्य है।

इस नियम को कहा जाता है थ्री सिग्मा नियम.

व्यवहार में, यह माना जाता है कि यदि किसी यादृच्छिक चर के लिए संतुष्ट है तीन का नियमसिग्मा, तो इस यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण होता है।

व्याख्यान पर निष्कर्ष:

व्याख्यान में, हमने निरंतर मात्रा के वितरण के नियमों की जांच की। बाद के व्याख्यान और व्यावहारिक अभ्यास की तैयारी में, आपको स्वतंत्र रूप से अनुशंसित साहित्य के गहन अध्ययन और प्रस्तावित समस्याओं को हल करने के साथ अपने व्याख्यान नोट्स को पूरक करना होगा।

सामान्य वितरण वितरण का सबसे सामान्य प्रकार है। माप त्रुटियों के विश्लेषण, तकनीकी प्रक्रियाओं और विधियों के नियंत्रण के साथ-साथ जीव विज्ञान, चिकित्सा और ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में विभिन्न घटनाओं के विश्लेषण और पूर्वानुमान में उनसे मिलना होता है।

शब्द "सामान्य वितरण" का प्रयोग पारंपरिक अर्थों में किया जाता है जैसा कि साहित्य में आम तौर पर स्वीकार किया जाता है, हालांकि पूरी तरह से सफल नहीं होता है। इसलिए, यह कथन कि कुछ विशेषता सामान्य वितरण कानून का पालन करती है, इसका मतलब किसी भी अस्थिर मानदंडों की उपस्थिति का बिल्कुल भी मतलब नहीं है, जो कि कथित रूप से घटना का आधार है, जिसका प्रतिबिंब प्रश्न में विशेषता है, और अन्य वितरण कानूनों का पालन करने का मतलब कोई असामान्यता नहीं है। इस घटना का।

सामान्य वितरण की मुख्य विशेषता यह है कि यह सीमित है, जो अन्य वितरणों द्वारा संपर्क किया जाता है। सामान्य वितरण की खोज सबसे पहले Moivre ने 1733 में की थी। केवल सतत यादृच्छिक चर ही सामान्य नियम का पालन करते हैं। सामान्य वितरण कानून के घनत्व का रूप है।

सामान्य वितरण के लिए गणितीय अपेक्षा के बराबर है। भिन्नता समान है।

सामान्य वितरण के मूल गुण।

1. वितरण घनत्व फ़ंक्शन को संपूर्ण संख्या अक्ष पर परिभाषित किया गया है ओह , अर्थात्, प्रत्येक मान एन एस फ़ंक्शन के एक अच्छी तरह से परिभाषित मान से मेल खाती है।

2. सभी मूल्यों के लिए एन एस (सकारात्मक और नकारात्मक दोनों) घनत्व फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है, अर्थात सामान्य वक्र अक्ष के ऊपर स्थित होता है ओह .

3. असीमित वृद्धि के साथ घनत्व समारोह की सीमा एन एस शून्य है,.

4. एक बिंदु पर सामान्य वितरण घनत्व फलन अधिकतम होता है।

5. घनत्व फलन का आलेख एक सीधी रेखा के परितः सममित होता है।

6. वितरण वक्र में निर्देशांक के साथ दो विभक्ति बिंदु होते हैं और।

7. सामान्य वितरण का बहुलक और माध्यिका गणितीय अपेक्षा के साथ मेल खाता है ए .

8. पैरामीटर बदलने पर सामान्य वक्र का आकार नहीं बदलता है ए .

9. सामान्य वितरण के विषमता और कुर्टोसिस के गुणांक शून्य के बराबर हैं।

अनुभवजन्य वितरण श्रृंखला के लिए इन गुणांकों की गणना का महत्व स्पष्ट है, क्योंकि वे सामान्य श्रृंखला की तुलना में दी गई श्रृंखला की ढलान और ढलान की विशेषता रखते हैं।

अंतराल को हिट करने की संभावना सूत्र द्वारा पाई जाती है, जहां एक विषम सारणीबद्ध कार्य है।

आइए हम इस संभावना को निर्धारित करें कि एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर अपनी गणितीय अपेक्षा से कम मूल्य से विचलित होता है, अर्थात, हम असमानता की संभावना या दोहरी असमानता की संभावना पाते हैं। सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

एक यादृच्छिक चर के विचलन को व्यक्त करना एन एस मानक विचलन के भिन्नों में, अर्थात्, अंतिम समानता रखने पर, हम प्राप्त करते हैं।

तब हमें मिलता है,

हम कब पाएंगे

हम कब पाएंगे।

अंतिम असमानता से यह निम्नानुसार है कि व्यावहारिक रूप से सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का प्रकीर्णन खंड में निहित है। इस क्षेत्र पर एक यादृच्छिक चर नहीं गिरने की संभावना बहुत कम है, अर्थात् 0.0027, यानी यह घटना 1000 में से केवल तीन मामलों में हो सकती है। ऐसी घटनाओं को व्यावहारिक रूप से असंभव माना जा सकता है। उपरोक्त तर्क पर आधारित है थ्री सिग्मा नियम, जो इस प्रकार तैयार किया गया है: यदि किसी यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण है, तो निरपेक्ष मान में गणितीय अपेक्षा से इस मान का विचलन मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं है.

उदाहरण 28. एक स्वचालित मशीन द्वारा बनाया गया एक हिस्सा उपयुक्त माना जाता है यदि डिजाइन आकार से इसके नियंत्रित आकार का विचलन 10 मिमी से अधिक न हो। डिजाइन एक से नियंत्रित आकार के यादृच्छिक विचलन मानक विचलन मिमी और गणितीय अपेक्षा के साथ सामान्य वितरण कानून के अधीन हैं। मशीन कितने प्रतिशत प्रयोग करने योग्य भागों का उत्पादन करती है?

समाधान। एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एन एस - डिजाइन से आकार का विचलन। यदि यादृच्छिक मान अंतराल से संबंधित है तो भाग को अच्छा माना जाएगा। हम सूत्र द्वारा एक उपयुक्त भाग के निर्माण की प्रायिकता ज्ञात करेंगे। नतीजतन, स्वचालित मशीन द्वारा उत्पादित अच्छे पुर्जों का प्रतिशत ९५.४४% है।

द्विपद वितरण

द्विपद घटना का प्रायिकता बंटन है एम घटनाओं की संख्या एन एस स्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता स्थिर और बराबर होती है आर ... किसी घटना के घटित होने की संभावित संख्या की प्रायिकता की गणना बर्नौली सूत्र द्वारा की जाती है:

कहां । स्थायी एन एस तथा आर इस व्यंजक में द्विपद नियम के पैरामीटर हैं। द्विपद वितरण एक असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का वर्णन करता है।

द्विपद वितरण की बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएं। गणितीय अपेक्षा बराबर है। भिन्नता समान है। तिरछापन और कुर्टोसिस गुणांक और के बराबर हैं। परीक्षणों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ ए तथा इ शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, इसलिए, हम यह मान सकते हैं कि द्विपद बंटन परीक्षणों की बढ़ती संख्या के साथ अभिसारी हो जाता है।

उदाहरण 29. घटना के घटित होने की समान संभावना के साथ स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं ए हर परीक्षण में। किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए एक परीक्षण में यदि तीन परीक्षणों में होने वाली घटनाओं की संख्या में विचरण ०.६३ है।

समाधान। द्विपद वितरण के लिए। मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, यहां से प्राप्त करें या फिर और।

पॉसों वितरण

दुर्लभ घटना का वितरण कानून

पॉसों वितरण घटनाओं की संख्या का वर्णन करता है एम समय के समान अंतराल पर घटित होना, बशर्ते कि घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से निरंतर औसत तीव्रता के साथ घटित हों। इसके अलावा, परीक्षणों की संख्या एन एस उच्च है, और प्रत्येक परीक्षण में एक घटना के घटित होने की प्रायिकता आर छोटा। इसलिए, पॉइसन वितरण को दुर्लभ घटना या सबसे सरल प्रवाह का नियम कहा जाता है। पॉइसन वितरण का पैरामीटर एक मात्रा है जो घटनाओं की घटना की तीव्रता को दर्शाती है एन एस परीक्षण। पॉइज़न वितरण सूत्र।

पॉइसन वितरण प्रति वर्ष बीमा राशि के भुगतान के लिए दावों की संख्या, एक निश्चित समय के लिए टेलीफोन एक्सचेंज पर प्राप्त कॉलों की संख्या, विश्वसनीयता परीक्षण के दौरान तत्वों की विफलताओं की संख्या, दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या, और जल्द ही।

पॉइसन वितरण के लिए बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएं। गणितीय अपेक्षा विचरण के बराबर है और बराबर है ए ... अर्थात् । यही इस वितरण की विशेषता है। तिरछापन और कुर्टोसिस के गुणांक क्रमशः समान हैं।

उदाहरण 30. प्रति दिन बीमा भुगतान की औसत संख्या दो है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको पांच दिनों में भुगतान करना होगा: १) ६ बीमित राशि; 2) छह मात्रा से कम; 3) कम से कम छह वितरण।

दो क्रमिक दुर्लभ घटनाओं की घटना के बीच यादृच्छिक समय अंतराल पर विचार करते समय, यह वितरण अक्सर विभिन्न उपकरणों के जीवनकाल, व्यक्तिगत तत्वों के अपटाइम, सिस्टम के कुछ हिस्सों और पूरे सिस्टम का अध्ययन करते समय देखा जाता है।

घातांक वितरण घनत्व एक पैरामीटर द्वारा निर्धारित किया जाता है जिसे कहा जाता है विफलता दर... यह शब्द आवेदन के एक विशिष्ट क्षेत्र - विश्वसनीयता सिद्धांत से जुड़ा है।

घातीय वितरण के अभिन्न कार्य के लिए अभिव्यक्ति अंतर फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके पाई जा सकती है:

घातीय वितरण, विचरण, मानक विचलन की गणितीय अपेक्षा। इस प्रकार, यह वितरण इस तथ्य की विशेषता है कि मानक विचलन संख्यात्मक रूप से बराबर है गणितीय अपेक्षा... पैरामीटर के किसी भी मान के लिए, विषमता और कुर्टोसिस के गुणांक स्थिर मान हैं।

उदाहरण 31. पहली विफलता से पहले औसत टीवी संचालन समय 500 घंटे है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक रूप से लिया गया टीवी बिना ब्रेकडाउन के 1000 घंटे से अधिक कार्य करेगा।

समाधान। चूंकि पहली विफलता के लिए औसत परिचालन समय 500 है, तब। हम सूत्र द्वारा अभीष्ट प्रायिकता ज्ञात करते हैं।

संभाव्यता के सिद्धांत में, काफी बड़ी संख्या में विभिन्न वितरण कानूनों पर विचार किया जाता है। नियंत्रण चार्ट के निर्माण से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए, उनमें से कुछ ही रुचि के हैं। इनमें से सबसे महत्वपूर्ण है सामान्य वितरण, जिसका उपयोग नियंत्रण चार्ट बनाने के लिए किया जाता है मात्रात्मक नियंत्रण, अर्थात। जब हम एक सतत यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं। सामान्य वितरण कानून अन्य वितरण कानूनों के बीच एक विशेष स्थान रखता है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि, सबसे पहले, यह व्यवहार में सबसे अधिक बार सामना किया जाता है, और दूसरी बात, यह एक सीमित कानून है, जिसे अन्य वितरण कानूनों द्वारा अक्सर सामना की जाने वाली विशिष्ट परिस्थितियों में संपर्क किया जाता है। दूसरी परिस्थिति के लिए, संभाव्यता के सिद्धांत में यह साबित होता है कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में स्वतंत्र (या कमजोर रूप से निर्भर) यादृच्छिक चर का योग, किसी भी वितरण कानूनों के अधीन (कुछ बहुत ही ढीले प्रतिबंधों के अधीन), लगभग सामान्य का पालन करता है कानून, और यह सभी अधिक सटीक रूप से किया जाता है, अधिक यादृच्छिक चर जोड़े जाते हैं। व्यवहार में आने वाले अधिकांश यादृच्छिक चर, जैसे माप त्रुटियां, अपेक्षाकृत छोटी शर्तों की एक बहुत बड़ी संख्या के योग के रूप में दर्शायी जा सकती हैं - प्राथमिक त्रुटियां, जिनमें से प्रत्येक एक अलग कारण की कार्रवाई के कारण होती है, दूसरों से स्वतंत्र . सामान्य कानून उन मामलों में प्रकट होता है जहां यादृच्छिक चर एन एसविभिन्न कारकों की एक बड़ी संख्या का परिणाम है। प्रत्येक कारक अलग से मूल्य एन एसमहत्वहीन रूप से प्रभावित करता है, और यह इंगित करना असंभव है कि कौन दूसरों की तुलना में अधिक प्रभावित करता है।

सामान्य वितरण(लाप्लास - गॉस वितरण) क्या एक सतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन है एन एसऐसा है कि प्रायिकता वितरण घनत्व -<х< + ¥ принимает действительное значение:

ऍक्स्प (3)

अर्थात्, सामान्य वितरण को दो मापदंडों m और s की विशेषता है, जहाँ m गणितीय अपेक्षा है; s सामान्य वितरण का मानक विचलन है।

मात्रा 2 सामान्य वितरण का विचरण है।

गणितीय अपेक्षा m वितरण केंद्र की स्थिति की विशेषता है, और मानक विचलन s (RMS) फैलाव की एक विशेषता है (चित्र 3)।

एफ (एक्स) एफ (एक्स)

चित्रा 3 - सामान्य वितरण के घनत्व कार्यों के साथ:

ए) विभिन्न गणितीय अपेक्षाएं एम; बी) विभिन्न मानक विचलन एस।

इस प्रकार, मान μ भुज अक्ष पर वितरण वक्र की स्थिति से निर्धारित होता है। आयाम μ - यादृच्छिक चर के आयाम के समान एक्स... गणितीय अपेक्षा में वृद्धि के साथ, दोनों कार्यों को समानांतर में दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। घटते विचरण के साथ 2 घनत्व अधिक से अधिक m के आसपास केंद्रित होता है, जबकि वितरण फलन स्थिर हो जाता है।

का मान वितरण वक्र के आकार को निर्धारित करता है। चूंकि वितरण वक्र के नीचे का क्षेत्र हमेशा एक के बराबर रहना चाहिए, वितरण वक्र σ के बढ़ने के साथ चपटा हो जाता है। अंजीर में। ३.१ विभिन्न के लिए तीन वक्र दिखाता है: 1 = ०.५; σ2 = 1.0; 3 = 2.0।

चित्र 3.1 - सामान्य वितरण के घनत्व फलन के साथविभिन्न मानक विचलन एस।

वितरण फलन (अभिन्न फलन) का रूप है (चित्र 4):

(4)

चित्र 4 - अभिन्न (ए) और अंतर (बी) सामान्य वितरण कार्य

विशेष रूप से महत्वपूर्ण एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का रैखिक परिवर्तन है एन एस, जिसके बाद एक यादृच्छिक चर प्राप्त होता है जेड 0 की गणितीय अपेक्षा और 1 के विचरण के साथ। इस तरह के परिवर्तन को सामान्यीकरण कहा जाता है:

यह प्रत्येक यादृच्छिक चर के लिए किया जा सकता है। सामान्यीकरण सामान्य वितरण के सभी संभावित रूपों को एक मामले में कम करने की अनुमति देता है: एम = 0, एस = 1।

एम = 0, एस = 1 के साथ एक सामान्य वितरण कहा जाता है सामान्यीकृत सामान्य वितरण (मानकीकृत).

मानक सामान्य वितरण(मानक लाप्लास - गॉस वितरण या सामान्यीकृत सामान्य वितरण) मानकीकृत सामान्य यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है जेड, जिसका वितरण घनत्व बराबर है:

पर -<जेड< + ¥

फ़ंक्शन मान (जेड)सूत्र द्वारा निर्धारित:

(7)

फ़ंक्शन मान (जेड)और घनत्व च (जेड)सामान्यीकृत सामान्य वितरण की गणना और सारणीबद्ध (सारणीबद्ध)। तालिका केवल सकारात्मक मूल्यों के लिए संकलित की गई है। जेडइसलिए:

एफ (–जेड) = 1–(जेड) (8)

इन तालिकाओं का उपयोग करके, न केवल फ़ंक्शन के मूल्यों और किसी दिए गए सामान्यीकृत सामान्य वितरण के घनत्व को निर्धारित करना संभव है जेड, लेकिन सामान्य सामान्य वितरण के कार्य के मूल्य भी, क्योंकि:

; (9)

. 10)

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर से संबंधित कई समस्याओं में, यादृच्छिक चर के टकराने की संभावना निर्धारित करना आवश्यक है एन एस, एक निश्चित खंड के लिए पैरामीटर एम और एस के साथ सामान्य कानून के अधीन। ऐसा खंड हो सकता है, उदाहरण के लिए, ऊपरी मान से एक पैरामीटर के लिए सहिष्णुता क्षेत्र यूनीचे ली.

अंतराल से टकराने की प्रायिकता एन एस 1 से एन एस 2 सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर (पैरामीटर मान) से टकराने की संभावना एन एससहिष्णुता क्षेत्र में सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है