बड़ी शक्तियों के साथ संख्याओं का विभाजन। पाठ "गुणा और डिग्री का विभाजन"। भिन्न मूलांक से अंशों को गुणा करने के नियम

पिछले लेख में, हमने बताया कि मोनोमियल क्या हैं। इस लेख में, हम विश्लेषण करेंगे कि उन उदाहरणों और समस्याओं को कैसे हल किया जाए जिनमें उन्हें लागू किया जाता है। यहां घटाव, जोड़, गुणा, एकपदी का विभाजन और उन्हें एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक शक्ति तक बढ़ाने जैसी क्रियाओं पर विचार किया जाएगा। हम दिखाएंगे कि इस तरह के संचालन को कैसे परिभाषित किया जाता है, उनके कार्यान्वयन के लिए बुनियादी नियमों की रूपरेखा तैयार की जाती है और परिणाम क्या होना चाहिए। सभी सैद्धांतिक स्थितियों को, हमेशा की तरह, समाधान के विवरण के साथ समस्याओं के उदाहरणों के साथ चित्रित किया जाएगा।

मोनोमियल के मानक अंकन के साथ काम करना सबसे सुविधाजनक है, इसलिए, लेख में उपयोग किए जाने वाले सभी भाव मानक रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। यदि शुरू में उन्हें अलग तरह से सेट किया जाता है, तो पहले उन्हें आम तौर पर स्वीकृत रूप में लाने की सिफारिश की जाती है।

मोनोमियल के लिए जोड़ और घटाव नियम

सबसे सरल ऑपरेशन जो मोनोमियल के साथ किए जा सकते हैं वे घटाव और जोड़ हैं। सामान्य स्थिति में, इन क्रियाओं का परिणाम एक बहुपद होगा (कुछ विशेष मामलों में एक एकपदी संभव है)।

जब हम एकपदी जोड़ते या घटाते हैं, तो हम पहले पारंपरिक रूप में संबंधित योग और अंतर को लिखते हैं, और फिर हम परिणामी व्यंजक को सरल बनाते हैं। यदि ऐसी शर्तें हैं, तो उन्हें देने की आवश्यकता है, कोष्ठक - खोलने के लिए। आइए एक उदाहरण के साथ समझाते हैं।

उदाहरण 1

शर्त:मोनोमियल - 3 · x और 2, 72 · x 3 · y 5 · z को जोड़ना।

समाधान

आइए मूल भावों का योग लिखें। कोष्ठक जोड़ें और उनके बीच एक प्लस लगाएं। हमें निम्नलिखित मिलता है:

(- 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)

जब हम कोष्ठकों का विस्तार करते हैं, तो हमें - 3 · x + 2, 72 · x 3 · y 5 · z मिलता है। यह मानक रूप में लिखा गया एक बहुपद है, जो इन एकपदी के योग का परिणाम होगा।

उत्तर:(- 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z) = - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z।

यदि हमने तीन, चार या अधिक पद दिए हैं, तो हम इस क्रिया को उसी तरह करते हैं।

उदाहरण 2

शर्त:बहुपदों के साथ संकेतित क्रियाओं को सही क्रम में करें

3 ए 2 - (- 4 ए सी) + ए 2 - 7 ए 2 + 4 9 - 2 2 3 ए सी

समाधान

आइए कोष्ठकों का विस्तार करके प्रारंभ करें।

3 ए 2 + 4 ए सी + ए 2 - 7 ए 2 + 4 9 - 2 2 3 ए सी

हम देखते हैं कि समान पदों को कम करके परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाया जा सकता है:

3 ए 2 + 4 एसी + ए 2 - 7 ए 2 + 4 9 - 2 2 3 ए सी = = (3 ए 2 + ए 2 - 7 ए 2) + 4 ए सी - 2 2 3 एसी + 4 9 = = - 3 ए 2 + 1 1 3 एसी + 4 9

हमें एक बहुपद मिला है, जो इस क्रिया का परिणाम होगा।

उत्तर: 3 ए 2 - (- 4 ए सी) + ए 2 - 7 ए 2 + 4 9 - 2 2 3 ए सी = - 3 ए 2 + 1 1 3 ए सी + 4 9

सिद्धांत रूप में, हम कुछ प्रतिबंधों के साथ दो मोनोमियल जोड़ और घटा सकते हैं ताकि हम एक मोनोमियल के साथ समाप्त हो जाएं। ऐसा करने के लिए, आपको सारांश और घटाए गए मोनोमियल से संबंधित कुछ शर्तों का पालन करना होगा। हम वर्णन करेंगे कि यह एक अलग लेख में कैसे किया जाता है।

एकपदी गुणन नियम

गुणन क्रिया गुणकों पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाती है। एकपदी को गुणा करने के लिए एकपदी के परिणाम के लिए किसी अतिरिक्त शर्त को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है।

एकपदी का गुणन करने के लिए, आपको इन चरणों का पालन करना होगा:

1. टुकड़े को सही ढंग से रिकॉर्ड करें।
2. परिणामी व्यंजक में कोष्ठकों का विस्तार करें।
3. समूह, यदि संभव हो तो, समान चर और संख्यात्मक कारकों वाले कारक अलग-अलग।
4. संख्याओं के साथ आवश्यक क्रियाएं करें और समान आधारों से गुणा घातों के गुण को शेष गुणनखंडों पर लागू करें।

आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है।

उदाहरण 3

शर्त:एकपदी 2 x 4 y z और - 7 16 t 2 x 2 z 11 को गुणा करें।

समाधान

आइए एक काम को संकलित करके शुरू करें।

हम इसमें कोष्ठक खोलते हैं और निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 टी 2 एक्स 4 एक्स 2 वाई जेड 3 जेड 11

हमें केवल पहले कोष्ठक में संख्याओं को गुणा करना है और दूसरे पर घात गुण लागू करना है। परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित मिलता है:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

उत्तर: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14.

यदि हमारी स्थिति में तीन या अधिक बहुपद हैं, तो हम उन्हें ठीक उसी एल्गोरिथ्म का उपयोग करके गुणा करते हैं। हम एक अलग सामग्री के ढांचे के भीतर एकपदी के गुणन के प्रश्न पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे।

एक मोनोमियल को एक शक्ति में बढ़ाने के नियम

हम जानते हैं कि एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री समान कारकों की एक निश्चित संख्या का उत्पाद है। उनकी संख्या संकेतक में संख्या द्वारा इंगित की जाती है। इस परिभाषा के अनुसार, एकपदी को एक घात में बढ़ाना समरूप एकपदी की निर्दिष्ट संख्या को गुणा करने के बराबर है। आइए देखें कि यह कैसे किया जाता है।

उदाहरण 4

शर्त:एकपदी - २ · a · b ४ को ३ की घात तक ऊपर ले जाना।

समाधान

हम घातांक को 3 एकपदी - 2 · a · b 4 के गुणन से बदल सकते हैं। आइए नीचे लिखें और वांछित उत्तर प्राप्त करें:

(- 2 a b 4) 3 = (- 2 a b 4) (- 2 a b 4) (- 2 a b 4) = = ((- 2) (- 2) (- 2)) (aaa) (b 4 b 4 बी 4) = - 8 ए 3 बी 12

उत्तर:(- 2 ए बी 4) 3 = - 8 ए 3 बी 12.

लेकिन क्या होगा अगर डिग्री का एक बड़ा संकेतक है? बड़ी संख्या में गुणक लिखना असुविधाजनक है। फिर, ऐसी समस्या को हल करने के लिए, हमें डिग्री के गुणों को लागू करने की आवश्यकता है, अर्थात् उत्पाद की डिग्री की संपत्ति और डिग्री में डिग्री की संपत्ति।

आइए उस समस्या को हल करें जो हमने ऊपर बताए गए तरीके से दी थी।

उदाहरण 5

शर्त:इरेक्शन - 2 · ए · बी 4 को तीसरी शक्ति तक ले जाएं।

समाधान

डिग्री के गुण को डिग्री तक जानने के बाद, हम निम्नलिखित रूप की अभिव्यक्ति के लिए आगे बढ़ सकते हैं:

(- 2 ए बी 4) 3 = (- 2) 3 ए 3 (बी 4) 3.

उसके बाद हम घात -2 को बढ़ाते हैं और शक्ति के गुण को घात पर लागू करते हैं:

(- 2) 3 (ए) 3 (बी 4) 3 = - 8 ए 3 बी 4 3 = - 8 ए 3 बी 12.

उत्तर:- 2 ए बी 4 = - 8 ए 3 बी 12.

हमने एक मोनोमियल को एक शक्ति में बढ़ाने के लिए एक अलग लेख भी समर्पित किया।

मोनोमियल के लिए डिवीजन नियम

एकपदी के साथ अंतिम क्रिया, जिसका हम इस सामग्री में विश्लेषण करेंगे, एकपदी द्वारा एकपदी का विभाजन है। नतीजतन, हमें एक तर्कसंगत (बीजगणितीय) अंश प्राप्त करना चाहिए (कुछ मामलों में एक मोनोमियल प्राप्त करना संभव है)। आइए हम तुरंत स्पष्ट करें कि शून्य एकपदी से विभाजन परिभाषित नहीं है, क्योंकि 0 से विभाजन परिभाषित नहीं है।

विभाजन करने के लिए, हमें संकेतित मोनोमियल को भिन्न के रूप में लिखना होगा और यदि संभव हो तो इसे कम करना होगा।

उदाहरण 6

शर्त:एकपदी - 9 · x 4 · y 3 · z 7 को - 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 से विभाजित करें।

समाधान

आइए एकपदी को भिन्नात्मक रूप में लिखकर प्रारंभ करें।

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

इस अंश को संक्षिप्त किया जा सकता है। इस क्रिया को करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

उत्तर:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5.

जिन शर्तों के तहत, एकपदी को विभाजित करने के परिणामस्वरूप, हम एक एकपदी प्राप्त करते हैं, उन्हें एक अलग लेख में दिया गया है।

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यदि आपको किसी विशिष्ट संख्या को किसी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है, तो आप इसका उपयोग कर सकते हैं। और अब हम इसके बारे में अधिक विस्तार से बात करेंगे डिग्री के गुण.

घातीय संख्याबड़ी संभावनाएं खोलते हैं, वे हमें गुणन को जोड़ में बदलने की अनुमति देते हैं, और जोड़ना गुणा करने की तुलना में बहुत आसान है।

उदाहरण के लिए, हमें 16 को 64 से गुणा करना है। इन दो संख्याओं के गुणन का गुणनफल 1024 है। लेकिन 16 4x4 है, और 64 4x4x4 है। यानी 16 बटा 64 = 4x4x4x4x4, जो कि 1024 भी है.

संख्या 16 को 2x2x2x2 और 64 को 2x2x2x2x2x2 के रूप में भी दर्शाया जा सकता है, और यदि हम गुणा करते हैं, तो हमें फिर से 1024 मिलता है।

अब नियम का प्रयोग करते हैं। १६ = ४ २, या २ ४, ६४ = ४ ३, या २ ६, एक ही समय में १०२४ = ६ ४ = ४ ५, या २ १०।

इसलिए, हमारी समस्या को अलग तरह से लिखा जा सकता है: 4 2 x4 3 = 4 5 या 2 4 x2 6 = 2 10, और हर बार हमें 1024 मिलता है।

हम कई समान उदाहरणों को हल कर सकते हैं और देख सकते हैं कि संख्याओं को घातांक से गुणा करने पर घातांक जोड़ना, या घातांक, निश्चित रूप से, बशर्ते कि कारकों के आधार समान हों।

इस प्रकार, बिना गुणा किए हम तुरंत कह सकते हैं कि 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

संख्याओं को घातों से विभाजित करते समय यह नियम भी सत्य है, लेकिन इस मामले में, e भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाया जाता है... इस प्रकार 2 5: 2 3 = 2 2, जो सामान्य संख्या में 32: 8 = 4 है, अर्थात् 2 2 है। आइए संक्षेप करें:

a m a n = a m + n, a m: a n = a m-n, जहाँ m और n पूर्णांक हैं।

पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि क्या है शक्तियों के साथ संख्याओं का गुणा और भागबहुत सुविधाजनक नहीं है, क्योंकि पहले आपको संख्या को घातीय रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। इस रूप में संख्या 8 और 16 का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल नहीं है, यानी 2 3 और 2 4, लेकिन यह संख्या 7 और 17 के साथ कैसे करें? या क्या करना है जब संख्या को घातीय रूप में दर्शाया जा सकता है, लेकिन संख्याओं के घातीय अभिव्यक्तियों के आधार बहुत भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, 8 × 9 2 3 × 3 2 है, इस स्थिति में हम घातांकों का योग नहीं कर सकते। न तो २ ५ और न ही ३ ५ उत्तर है, न ही उत्तर इन दो संख्याओं के बीच के अंतराल में है।

तो क्या यह इस पद्धति से परेशान होने लायक है? निश्चित रूप से इसके लायक। यह विशेष रूप से जटिल और समय लेने वाली संगणनाओं के लिए जबरदस्त लाभ प्रदान करता है।

आठवीं डिग्री के अलावा, हम यहां क्या देखते हैं? हम 7 वीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करते हैं। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन का सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

आइए भाजक पर करीब से नज़र डालें। यह बहुत कुछ अंश में एक गुणक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उन्हें उलट दिया जाना था, तो नियम लागू किया जा सकता था।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह बहुत आसान हो जाता है: यहां हर की एक डिग्री भी हमारी मदद करती है।

शर्तें जादुई रूप से उलट हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

पूरा का पूराहम उनके विपरीत प्राकृतिक संख्याओं को कहते हैं (अर्थात, "" चिह्न के साथ लिया जाता है) और संख्या।

सकारात्मक पूर्णांक, लेकिन यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले खंड जैसा दिखता है।

अब कुछ नए मामलों पर नजर डालते हैं। आइए एक संकेतक के साथ शुरू करें।

शून्य अंश में कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, आइए हम खुद से सवाल पूछें: ऐसा क्यों है?

आधार के साथ कुछ डिग्री पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

इसलिए, हमने संख्या को इससे गुणा किया, और हमें वही मिला जो - था। और आपको किस संख्या को गुणा करना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू। माध्यम।

हम मनमाना संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य अंश में कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद हैं। और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक तरफ, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - आप अपने आप से कितना भी गुणा करें, फिर भी आपको शून्य मिलेगा, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, शून्य डिग्री में किसी भी संख्या की तरह, यह बराबर होना चाहिए। तो इनमें से कौन सा सच है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल नहीं होने का फैसला किया और शून्य से शून्य तक बढ़ाने से इनकार कर दिया। यानी अब हम न केवल शून्य से विभाजित कर सकते हैं, बल्कि इसे शून्य शक्ति तक बढ़ा भी सकते हैं।

चलिए और आगे बढ़ते हैं। प्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं के अतिरिक्त, ऋणात्मक संख्याएँ पूर्णांकों से संबंधित होती हैं। यह समझने के लिए कि एक नकारात्मक शक्ति क्या है, आइए पिछली बार की तरह ही करें: किसी सामान्य संख्या को उसी नकारात्मक शक्ति से गुणा करें:

यहां से आप जो खोज रहे हैं उसे व्यक्त करना पहले से ही आसान है:

अब हम परिणामी नियम को एक मनमाना डिग्री तक बढ़ाते हैं:

तो, चलिए एक नियम बनाते हैं:

ऋणात्मक घात में एक संख्या धनात्मक घात में समान संख्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि आप से विभाजित नहीं कर सकते)।

आइए संक्षेप करें:

I. अभिव्यक्ति मामले में निर्दिष्ट नहीं है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य डिग्री के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर है:।

III. एक संख्या जो शून्य के बराबर नहीं है वह सकारात्मक शक्ति में समान संख्या के विपरीत नकारात्मक शक्ति में है:।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ भयानक हैं, लेकिन परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! इन उदाहरणों को हल करें या यदि आप हल नहीं कर पाए तो उनके समाधान का विश्लेषण करें और आप सीखेंगे कि परीक्षा में आसानी से उनका सामना कैसे करें!

आइए एक घातांक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं के वृत्त का विस्तार करना जारी रखें।

अब विचार करें परिमेय संख्या. किन संख्याओं को परिमेय कहा जाता है?

उत्तर: वह सब जिसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं, इसके अलावा।

क्या है समझने के लिए भिन्नात्मक डिग्री, अंश पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को घात में बढ़ाएं:

आइए अब इसके बारे में नियम याद करते हैं "डिग्री से डिग्री":

किसी घात को प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या बढ़ानी चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें मूल की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या () की वें घात का मूल वह संख्या है, जिसे जब घात तक बढ़ाया जाता है, तो वह बराबर होता है।

अर्थात्, -वें शक्ति का मूल घातांक का व्युत्क्रम संक्रिया है:।

परिणाम यह निकला। जाहिर है, इस विशेष मामले को बढ़ाया जा सकता है:।

अब हम अंश जोड़ते हैं: यह क्या है? डिग्री-टू-डिग्री नियम का उपयोग करके उत्तर आसानी से प्राप्त किया जाता है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आखिरकार, सभी नंबरों से रूट नहीं निकाला जा सकता है।

कोई नहीं!

नियम याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाए जाने पर एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात्, आप ऋणात्मक संख्याओं से सम अंश की जड़ें नहीं निकाल सकते हैं!

और इसका अर्थ यह है कि ऐसी संख्याओं को एक सम भाजक के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, अर्थात व्यंजक का कोई अर्थ नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहीं से समस्या उत्पन्न होती है।

संख्या को अन्य, रद्द करने योग्य अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह मौजूद है, लेकिन मौजूद नहीं है, लेकिन ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या कोई अन्य उदाहरण: एक बार, फिर आप लिख सकते हैं। लेकिन अगर हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, और फिर से हमें एक उपद्रव मिलता है: (अर्थात, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए, हम विचार करते हैं भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल धनात्मक मूलांक.

तो अगर:

• — प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

परिमेय घातांक मूल भावों को परिवर्तित करने के लिए बहुत उपयोगी होते हैं, उदाहरण के लिए:

प्रशिक्षित करने के लिए 5 उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

1. डिग्री के सामान्य गुणों के बारे में मत भूलना:

2... यहाँ हमें याद है कि हम डिग्री की तालिका सीखना भूल गए:

आखिर - यह या है। समाधान स्वतः मिल जाता है:।

और अब सबसे कठिन हिस्सा। अब हम विश्लेषण करेंगे तर्कहीन ग्रेड.

यहाँ डिग्री के सभी नियम और गुण ठीक उसी तरह हैं जैसे एक परिमेय घातांक के साथ डिग्री के लिए, अपवाद के साथ

वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्ण संख्याएँ होती हैं (अर्थात अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं)।

एक प्राकृतिक, संपूर्ण और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक प्रकार की "छवि", "सादृश्य", या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है;

...शून्य-डिग्री संख्या- यह, जैसा कि था, एक संख्या को अपने आप से एक बार गुणा किया जाता है, अर्थात, यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं भी प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल "रिक्त संख्या" का एक प्रकार है ", अर्थात् संख्या;

...पूर्णांक ऋणात्मक घातांक- ऐसा लगता है जैसे एक निश्चित " रिवर्स प्रक्रिया”, यानी संख्या को अपने आप से गुणा नहीं किया गया था, बल्कि विभाजित किया गया था।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल संकेतक के साथ एक डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, संकेतक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है।

लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

हमें यकीन है कि आप कहां जाएं! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीखते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधानों का विश्लेषण:

1. आइए एक शक्ति को एक शक्ति बढ़ाने के लिए पहले से ही सामान्य नियम से शुरू करें:

अब संकेतक को देखें। क्या वह आपको कुछ याद दिलाता है? हम संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करते हैं, वर्गों का अंतर:

इस मामले में,

परिणाम यह निकला:

उत्तर: .

2. हम घातांक में भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दशमलव, या दोनों साधारण। आइए, उदाहरण के लिए:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

उन्नत स्तर, उच्च स्तर

डिग्री का निर्धारण

एक डिग्री फॉर्म की अभिव्यक्ति है :, जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक।

प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री (n = 1, 2, 3, ...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है संख्या को अपने आप से गुणा करना:

पूर्णांक डिग्री (0, ± 1, ± 2, ...)

यदि घातांक है संपूर्ण सकारात्मकसंख्या:

निर्माण शून्य करने के लिए:

अभिव्यक्ति अनिश्चित है, क्योंकि, एक तरफ, किसी भी हद तक - यह, और दूसरी तरफ - किसी भी संख्या से वें डिग्री तक - यह।

यदि घातांक है पूर्ण नकारात्मकसंख्या:

(क्योंकि आप से विभाजित नहीं कर सकते)।

एक बार फिर शून्य के बारे में: मामले में अभिव्यक्ति अपरिभाषित है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत ग्रेड

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

शक्ति गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें।

आइए देखें: क्या है और?

ए-प्राथमिकता:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर, हमें निम्नलिखित उत्पाद मिलता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात्:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान : .

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान : यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे नियम में आवश्यक रूप सेएक ही आधार होना चाहिए। इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बना रहता है:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम है - केवल डिग्री के उत्पाद के लिए!

मुझे यह किसी भी तरह से नहीं लिखना चाहिए।

पिछली संपत्ति की तरह, आइए हम डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इस टुकड़े को इस तरह पुनर्व्यवस्थित करें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को ब्रैकेट करना" कहा जा सकता है। लेकिन आपको इसे कुल मिलाकर कभी नहीं करना चाहिए:!

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन यह सच नहीं है, आखिर।

एक नकारात्मक आधार के साथ एक डिग्री।

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि यह कैसा होना चाहिए अनुक्रमणिकाडिग्री। लेकिन नींव क्या होनी चाहिए? डिग्री के साथ प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम। आइए विचार करें कि किन चिन्हों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की शक्तियाँ होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? ए? ?

पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक थोड़ा और दिलचस्प है। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस बाय माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम () से गुणा करते हैं, तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह अनंत तक: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ, चिन्ह बदल जाएगा। ऐसा बनाना संभव है सरल नियम:

1. यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी डिग्री के लिए एक सकारात्मक संख्या एक सकारात्मक संख्या है।
4. किसी भी घात के लिए शून्य शून्य के बराबर होता है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में, सब कुछ भी उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। खैर, जब तक आधार शून्य न हो। नींव समान नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण ६) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि कौन सा कम है: या? यदि आप इसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, जिसका अर्थ है कि आधार शून्य से कम है। यानी हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे में विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंतिम नियम की जांच करने से पहले, आइए कुछ उदाहरणों को हल करें।

भावों के मूल्यों की गणना करें:

समाधान :

आठवीं डिग्री के अलावा, हम यहां क्या देखते हैं? हम 7 वीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करते हैं। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन का सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

आइए भाजक पर करीब से नज़र डालें। यह बहुत कुछ अंश में एक गुणक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उनकी अदला-बदली की जाती तो नियम 3 लागू किया जा सकता था, लेकिन यह कैसे किया जा सकता है? यह बहुत आसान हो जाता है: यहां हर की एक डिग्री भी हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे इससे गुणा करते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलता है, है ना? लेकिन अब यह निम्नलिखित निकला:

शर्तें जादुई रूप से उलट हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!इसे केवल एक नुकसान को बदलकर नहीं बदला जा सकता है जो हमें पसंद नहीं है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करने जा रहे हैं? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा का विस्तार करें और सरल करें:

अब कोष्ठक खोलते हैं। कितने अक्षर होंगे? गुणक द्वारा बार - यह कैसा दिखता है? यह एक ऑपरेशन की परिभाषा से ज्यादा कुछ नहीं है गुणा: केवल गुणक थे। अर्थात्, यह परिभाषा के अनुसार, एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

तर्कहीन ग्रेड

इंटरमीडिएट स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, यहां एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री है। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे एक परिमेय घातांक के साथ डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्ण संख्याएं हैं (कि है, अपरिमेय संख्याएँ परिमेय को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, संपूर्ण और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक प्रकार की "छवि", "सादृश्य", या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है; शून्य डिग्री के लिए एक संख्या है, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक है "रिक्त संख्या" का प्रकार, अर्थात् संख्या; एक पूर्णांक ऋणात्मक घातांक के साथ एक डिग्री ऐसा है जैसे कि किसी प्रकार की "रिवर्स प्रक्रिया" हुई हो, अर्थात संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की कल्पना करना बेहद मुश्किल है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना मुश्किल है)। बल्कि, यह एक विशुद्ध रूप से गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने एक डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के पूरे स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल संकेतक के साथ एक डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, संकेतक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है। लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

तो जब हम एक अपरिमेय घातांक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. हम वर्गों के अंतर के सूत्र को याद करते हैं। उत्तर: ।
2. हम भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दोनों दशमलव स्थान, या दोनों सामान्य। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए:।
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

अनुभाग और बुनियादी सूत्रों का सारांश

डिग्रीफॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है:, जहां:

पूर्णांक डिग्री

डिग्री, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (अर्थात एक पूर्णांक और धनात्मक)।

तर्कसंगत ग्रेड

डिग्री, जिसका घातांक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

तर्कहीन ग्रेड

डिग्री जिसका घातांक अनंत है दशमलवया जड़।

शक्ति गुण

डिग्री की विशेषताएं।

• ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी डिग्री के लिए एक सकारात्मक संख्या एक सकारात्मक संख्या है।
• शून्य किसी भी डिग्री के बराबर है।
• कोई भी संख्या शून्य डिग्री के बराबर होती है।

अब आपकी बात...

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और आपकी परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ!

हम आपको याद दिलाते हैं कि यह पाठ समझता है शक्ति गुणप्राकृतिक संकेतकों और शून्य के साथ। 8 वीं कक्षा के पाठों में तर्कसंगत डिग्री और उनके गुणों को शामिल किया जाएगा।

एक प्राकृतिक घातांक में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो घातांक उदाहरणों में गणना करना आसान बनाते हैं।

संपत्ति संख्या १
डिग्री का उत्पाद

याद रखना!

समान आधारों के साथ अंशों को गुणा करने पर, आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक जोड़े जाते हैं।

a m · a n = a m + n, जहाँ "a" कोई भी संख्या है, और "m", "n" कोई भी प्राकृत संख्या है।

डिग्री का यह गुण तीन या अधिक डिग्री के उत्पाद को भी प्रभावित करता है।

• अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
  बी बी 2 बी 3 बी 4 बी 5 = बी 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = बी 15
• उपाधि के रूप में प्रस्तुत करें।
  ६ १५ ३६ = ६ १५ ६ २ = ६ १५ ६ २ = ६ १७
• उपाधि के रूप में प्रस्तुत करें।
  (०.८) ३ (०.८) १२ = (०.८) ३ + १२ = (०.८) १५

जरूरी!

कृपया ध्यान दें कि निर्दिष्ट संपत्ति में यह केवल शक्तियों के गुणन के बारे में था इसी आधार पर ... यह उनके जोड़ पर लागू नहीं होता है।

आप राशि (3 3 + 3 2) को 3 5 से प्रतिस्थापित नहीं कर सकते। यह समझ में आता है अगर
गिनती (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, और 3 5 = 243

संपत्ति संख्या 2
निजी डिग्री

याद रखना!

समान आधारों के साथ अंशों को विभाजित करने पर, आधार अपरिवर्तित रहता है, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाया जाता है।

= ११ ३ - २ ४ २ - १ = ११ ४ = ४४

उदाहरण। प्रश्न हल करें। हम निजी डिग्री की संपत्ति का उपयोग करते हैं।
3 8: टी = 3 4

टी = 3 8 - 4

उत्तर: टी = 3 4 = 81

गुण # 1 और # 2 का उपयोग करके, आप आसानी से भावों को सरल बना सकते हैं और गणना कर सकते हैं।

• उदाहरण। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
  4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5
• उदाहरण। डिग्री के गुणों का उपयोग करके व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  जरूरी!

  ध्यान दें कि गुण 2 केवल समान आधारों के साथ अंशों को विभाजित करने के बारे में था।

  आप अंतर (4 3 −4 2) को 4 1 से नहीं बदल सकते। यदि आप गिनें तो यह समझ में आता है (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , और 4 1 = 4

  सावधान रहे!

  संपत्ति संख्या 3
  घातांक

  याद रखना!

  डिग्री को घात तक बढ़ाते समय, डिग्री का आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक गुणा किया जाता है।

  (ए एन) एम = ए एन · एम, जहां "ए" कोई संख्या है, और "एम", "एन" कोई भी प्राकृतिक संख्या है।

  
  

  गुण 4
  काम की डिग्री

  याद रखना!

  किसी उत्पाद की शक्ति को बढ़ाते समय, प्रत्येक कारक को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है। फिर परिणाम गुणा किया जाता है।

  (ए · बी) एन = ए एन · बी एन, जहां "ए", "बी" कोई तर्कसंगत संख्या है; "एन" कोई भी प्राकृतिक संख्या है।

  • उदाहरण 1।
    (6 ए 2 बी 3 एस) 2 = 6 2 ए 2 2 बी 3 2 एस 1 2 = 36 ए 4 बी 6 एस 2
    
  • उदाहरण २।
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  जरूरी!

  ध्यान दें कि गुण # 4, अन्य डिग्री गुणों की तरह, उल्टे क्रम में लागू किया जाता है।

  (ए एन बी एन) = (ए बी) एन

  यही है, समान संकेतकों के साथ डिग्री गुणा करने के लिए, आप आधारों को गुणा कर सकते हैं, और घातांक को अपरिवर्तित छोड़ा जा सकता है।

  • उदाहरण। गणना करें।
    २ ४ ५ ४ = (२ ५) ४ = १० ४ = १०,०००
  • उदाहरण। गणना करें।
    0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

  अधिक जटिल उदाहरणों में, ऐसे मामले हो सकते हैं जब गुणन और विभाजन को अलग-अलग आधारों और विभिन्न घातांक के साथ डिग्री पर किया जाना चाहिए। इस मामले में, हम आपको निम्नानुसार आगे बढ़ने की सलाह देते हैं।

  उदाहरण के लिए, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  दशमलव घात को बढ़ाने का एक उदाहरण।

  4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (-0.25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

  गुण 5
  भागफल की डिग्री (अंश)

  याद रखना!

  भागफल को घात में बढ़ाने के लिए, आप इस घात का एक अलग लाभांश और भाजक बढ़ा सकते हैं, और पहले परिणाम को दूसरे से विभाजित कर सकते हैं।

  (ए: बी) एन = ए एन: बी एन, जहां "ए", "बी" कोई तर्कसंगत संख्या है, बी 0, एन कोई प्राकृतिक संख्या है।

  • उदाहरण। अभिव्यक्ति को निजी डिग्री के रूप में प्रस्तुत करें।
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  हम आपको याद दिलाते हैं कि भागफल को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, विषय पर एक अंश को एक शक्ति में बढ़ानाहम अगले पृष्ठ पर और अधिक विस्तार में जाएंगे।