एक विश्वसनीय यादृच्छिक और असंभव घटना का निर्धारण। पाठ विषय: "विश्वसनीय, असंभव और आकस्मिक घटनाएं।" संभावनाओं की प्रत्यक्ष गणना की समस्याएं

ग्रेड 5। संभाव्यता का परिचय (4 घंटे)

(इस विषय पर 4 पाठों का विकास)

सीखने के मकसद : - एक यादृच्छिक, विश्वसनीय और असंभव घटना की परिभाषा का परिचय दें;

संयोजक समस्याओं को हल करने के बारे में पहले विचारों का नेतृत्व करें: विकल्पों के पेड़ का उपयोग करना और गुणन के नियम का उपयोग करना।

शैक्षिक उद्देश्य: छात्रों की विश्वदृष्टि का विकास।

विकास लक्ष्य : स्थानिक कल्पना का विकास, शासक के साथ काम करने के कौशल में सुधार।

भरोसेमंद, असंभव और यादृच्छिक घटनाएं(2 घंटे।)

संयुक्त कार्य (2 घंटे)

विश्वसनीय, असंभव और यादृच्छिक घटनाएं।

प्रथम पाठ

सबक उपकरण: पासा, सिक्का, चौसर।

हमारा जीवन काफी हद तक दुर्घटनाओं से बना है। ऐसा एक विज्ञान है "संभावनाओं का सिद्धांत"। उनकी भाषा का प्रयोग करते हुए अनेक घटनाओं और स्थितियों का वर्णन किया जा सकता है।

यहां तक ​​​​कि आदिम नेता भी समझते थे कि एक दर्जन शिकारियों में एक से अधिक भाले के साथ बाइसन को मारने की "संभावना" होती है। इसलिए, फिर उन्होंने सामूहिक रूप से शिकार किया।

सिकंदर महान या दिमित्री डोंस्कॉय जैसे प्राचीन जनरलों ने युद्ध की तैयारी करते हुए, न केवल योद्धाओं की वीरता और कौशल पर, बल्कि मौके पर भी भरोसा किया।

बहुत से लोग शाश्वत सत्य के लिए गणित से प्यार करते हैं दो बार हमेशा चार होते हैं, सम संख्याओं का योग सम होता है, एक आयत का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है, आदि। आपके द्वारा हल की गई किसी भी समस्या में, सभी को मिलता है वही उत्तर - आपको समाधान में गलती करने की आवश्यकता नहीं है।

वास्तविक जीवन इतना सरल और सीधा नहीं है। कई घटनाओं के परिणामों की पहले से भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यह निश्चित रूप से कहना असंभव है कि उछाला गया सिक्का किस तरफ गिरेगा, जब अगले साल पहली बर्फ गिरेगी, या शहर में कितने लोग अगले घंटे फोन पर कॉल करना चाहेंगे। ऐसी अप्रत्याशित घटनाओं को कहा जाता है यादृच्छिक रूप से .

हालाँकि, मामले के अपने कानून भी हैं, जो यादृच्छिक घटनाओं की बार-बार पुनरावृत्ति के साथ खुद को प्रकट करना शुरू करते हैं। यदि आप एक सिक्के को 1000 बार पलटते हैं, तो "हेड" लगभग आधे मामलों में गिर जाएगा, जिसे दो या दस टॉस के बारे में नहीं कहा जा सकता है। "लगभग" का मतलब आधा नहीं है। यह, एक नियम के रूप में, ऐसा हो भी सकता है और नहीं भी। कानून निश्चित रूप से कुछ भी नहीं बताता है, लेकिन एक निश्चित डिग्री देता है कि कुछ यादृच्छिक घटना घटित होगी। ऐसे पैटर्न का अध्ययन गणित के एक विशेष खंड द्वारा किया जाता है - सिद्धांत संभावना . इसकी मदद से आप कर सकते हैं अधिकपहली बर्फबारी की तारीख और फोन कॉल की संख्या दोनों की भविष्यवाणी करने के लिए आत्मविश्वास (लेकिन अभी भी निश्चित नहीं है)।

संभाव्यता सिद्धांत हमारे दैनिक जीवन से अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। यह हमें कई बार यादृच्छिक प्रयोगों को दोहराते हुए, अनुभवजन्य रूप से कई संभाव्य कानूनों को स्थापित करने का एक शानदार अवसर देता है। इन प्रयोगों के लिए सामग्री अक्सर एक साधारण सिक्का, एक पासा, डोमिनोज़ का एक सेट, बैकगैमौन, रूले, या यहां तक ​​​​कि ताश के पत्तों का एक डेक होगा। इनमें से प्रत्येक वस्तु किसी न किसी तरह खेल से संबंधित है। तथ्य यह है कि मामला यहां सबसे अधिक बार प्रकट होता है। और पहली संभाव्य समस्याएं खिलाड़ियों के जीतने की संभावना का आकलन करने से जुड़ी थीं।

आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत जुए से दूर हो गया है, लेकिन इसके सहारा अभी भी मौके का सबसे सरल और सबसे विश्वसनीय स्रोत हैं। रूले व्हील और पासा के साथ अभ्यास करने के बाद, आप सीखेंगे कि वास्तविक जीवन स्थितियों में यादृच्छिक घटनाओं की संभावना की गणना कैसे करें, जो आपको सफलता की संभावनाओं का आकलन करने, परिकल्पना का परीक्षण करने और न केवल खेल और लॉटरी में इष्टतम निर्णय लेने की अनुमति देगा। .

संभाव्य समस्याओं को हल करते समय, बहुत सावधान रहें, अपने हर कदम को सही ठहराने की कोशिश करें, क्योंकि गणित के किसी अन्य क्षेत्र में इतने विरोधाभास नहीं हैं। संभाव्यता के सिद्धांत की तरह। और शायद इसके लिए मुख्य स्पष्टीकरण वास्तविक दुनिया से उसका संबंध है जिसमें हम रहते हैं।

कई गेम 1 से 6 तक प्रत्येक चेहरे पर अलग-अलग बिंदुओं के साथ पासा का उपयोग करते हैं। खिलाड़ी एक पासा फेंकता है, देखता है कि कितने बिंदु गिर गए हैं (शीर्ष पर चेहरे पर), और इसी तरह की चालें बनाता है : 1,2,3, 4,5, या 6. पासे को फेंकना एक अनुभव, प्रयोग, परीक्षण माना जा सकता है और प्राप्त परिणाम एक घटना है। लोग आमतौर पर किसी घटना की शुरुआत का अनुमान लगाने, उसके परिणाम की भविष्यवाणी करने में बहुत रुचि रखते हैं। पासा पलटने पर वे क्या भविष्यवाणियाँ कर सकते हैं? पहली भविष्यवाणी: १, २, ३, ४, ५ में से कोई एक अंक छूट जाएगा, या ६. क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना आएगी या नहीं? अवश्य ही आयेगा। एक घटना जो इस अनुभव में अनिवार्य रूप से घटित होगी, कहलाती है विश्वसनीय घटना।

दूसरी भविष्यवाणी : नंबर 7 ड्रॉप आउट हो जाएगा। क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना आएगी या नहीं? बेशक ऐसा नहीं होगा, यह असंभव है। एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित नहीं हो सकती, कहलाती है असंभव घटना।

तीसरी भविष्यवाणी : नंबर 1 छोड़ देगा। आपको क्या लगता है, अनुमानित घटना आएगी या नहीं? हम इस प्रश्न का उत्तर पूरे विश्वास के साथ नहीं दे पा रहे हैं, क्योंकि अनुमानित घटना घट भी सकती है और नहीं भी। एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित हो भी सकती है और नहीं भी कहलाती है एक यादृच्छिक घटना।

व्यायाम : नीचे दिए गए कार्यों में संदर्भित घटनाओं का वर्णन करें। कितना विश्वसनीय, असंभव या आकस्मिक।

हम एक सिक्का उछालते हैं। हथियारों का कोट दिखाई दिया। (यादृच्छिक रूप से)

शिकारी ने भेड़िये को गोली मार दी और मारा। (यादृच्छिक रूप से)

स्कूली छात्र रोज शाम को टहलने जाता है। सोमवार को घूमने के दौरान उसकी मुलाकात तीन परिचितों से हुई। (यादृच्छिक रूप से)

आइए मानसिक रूप से निम्नलिखित प्रयोग करें: पानी के गिलास को उल्टा कर दें। यदि यह प्रयोग अंतरिक्ष में नहीं, बल्कि घर पर या कक्षा में किया जाए, तो पानी निकल जाएगा। (विश्वसनीय)

निशाने पर तीन गोलियां लगीं।" पाँच हिट थे ”(असंभव)

हम पत्थर ऊपर फेंकते हैं। पत्थर हवा में लटका रहता है। (असंभव)

हम "प्रतिपक्षी" शब्द के अक्षरों को यादृच्छिक रूप से पुनर्व्यवस्थित करते हैं। शब्द "एनाक्रोइज़्म" निकलेगा। (असंभव)

№959. पेट्या ने गर्भ धारण किया प्राकृतिक संख्या... घटना इस प्रकार है:

ए) एक सम संख्या की कल्पना की जाती है; (यादृच्छिक) बी) एक विषम संख्या की कल्पना की जाती है; (यादृच्छिक रूप से)

ग) एक संख्या की कल्पना की जाती है जो न तो सम है और न ही विषम; (असंभव)

d) सम या विषम संख्या की कल्पना की जाती है। (विश्वसनीय)

№ 961. पेट्या और तोल्या अपने जन्मदिन की तुलना करते हैं। घटना इस प्रकार है:

क) उनके जन्मदिन मेल नहीं खाते; (यादृच्छिक) बी) उनके जन्मदिन समान हैं; (यादृच्छिक रूप से)

d) दोनों का जन्मदिन छुट्टियों पर पड़ता है - नया साल(1 जनवरी) और रूस का स्वतंत्रता दिवस (12 जून)। (यादृच्छिक रूप से)

№ 962. बैकगैमौन खेलते समय, दो पासों का उपयोग किया जाता है। खेल के प्रतिभागी द्वारा की जाने वाली चालों की संख्या पासे के दोनों किनारों पर संख्याओं को जोड़कर निर्धारित की जाती है, और यदि एक "डबल" गिर जाता है (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6), तो चालों की संख्या दोगुनी हो जाती है। आप पासे को घुमाते हैं और पता लगाते हैं कि आपको कितनी चालें चलनी हैं। घटना इस प्रकार है:

ए) आपको एक चाल चलनी चाहिए; बी) आपको 7 चालें बनानी होंगी;

ग) आपको २४ चालें बनानी होंगी; d) आपको 13 चालें चलनी चाहिए।

a) - असंभव (यदि संयोजन 1 + 0 गिर जाता है, तो 1 चाल चल सकती है, लेकिन पासे पर कोई संख्या 0 नहीं है)।

बी) - यादृच्छिक (यदि 1 + 6 या 2 + 5 गिर जाता है)।

ग) - यादृच्छिक (यदि संयोजन 6 +6 है)।

d) - असंभव (1 से 6 तक की संख्याओं का कोई संयोजन नहीं है, जिसका योग 13 है; यह संख्या "डबल" दिखाई देने पर भी प्राप्त नहीं की जा सकती, क्योंकि यह विषम है)।

खुद जांच करें # अपने आप को को। (गणित श्रुतलेख)

1) इंगित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएं असंभव हैं, जो विश्वसनीय हैं, जो यादृच्छिक हैं:

फुटबॉल मैच "स्पार्टक" - "डायनमो" ड्रॉ में समाप्त होगा। (यादृच्छिक रूप से)

आप जीत-जीत लॉटरी में भाग लेकर जीतेंगे (सत्यापित)

आधी रात को बर्फ गिरेगी और 24 घंटे में सूरज चमकेगा। (असंभव)

कल गणित की परीक्षा होगी। (यादृच्छिक रूप से)

आप संयुक्त राज्य अमेरिका के राष्ट्रपति चुने जाएंगे। (असंभव)

आप रूस के राष्ट्रपति चुने जाएंगे। (यादृच्छिक रूप से)

2) आपने एक स्टोर में एक टीवी सेट खरीदा है, जिसके लिए निर्माता दो साल की वारंटी देता है। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, जो यादृच्छिक है, जो विश्वसनीय है:

टीवी एक साल तक नहीं टूटेगा। (यादृच्छिक रूप से)

टीवी दो साल में नहीं टूटेगा। (यादृच्छिक रूप से)

दो साल के भीतर, आपको अपने टीवी की मरम्मत के लिए भुगतान नहीं करना होगा। (विश्वसनीय)

टीवी तीसरे साल में टूट जाएगा। (यादृच्छिक रूप से)

3) 15 यात्रियों वाली बस को 10 स्टॉप बनाने होंगे। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, जो यादृच्छिक है, जो विश्वसनीय है:

सभी यात्री अलग-अलग स्टॉप पर बस से उतरेंगे। (असंभव)

सभी यात्री एक स्टॉप पर उतरेंगे। (यादृच्छिक रूप से)

हर पड़ाव पर कम से कम कोई तो निकलेगा। (यादृच्छिक रूप से)

एक पड़ाव होगा जहां कोई नहीं उतरेगा। (यादृच्छिक रूप से)

सभी स्टॉप पर सम संख्या में यात्री रवाना होंगे। (असंभव)

सभी स्टॉप पर विषम संख्या में यात्री रवाना होंगे। (असंभव)

होम वर्क : पृष्ठ 53 960, 963, 965 (दो विश्वसनीय, यादृच्छिक और असंभव घटनाओं के बारे में स्वयं सोचें)।

दूसरा पाठ।

इंतिहान घर का पाठ... (मौखिक रूप से)

क) स्पष्ट करें कि एक निश्चित, यादृच्छिक और असंभव घटना क्या है।

बी) इंगित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटना विश्वसनीय है, जो असंभव है, जो आकस्मिक है:

गर्मी की छुट्टियां नहीं होंगी। (असंभव)

सैंडविच मक्खन नीचे गिर जाएगा। (यादृच्छिक रूप से)

किसी दिन स्कूल वर्ष समाप्त हो जाएगा। (विश्वसनीय)

वे मुझसे कल कक्षा में पूछेंगे। (यादृच्छिक रूप से)

मैं आज एक काली बिल्ली से मिलूंगा। (यादृच्छिक रूप से)

№ 960. आपने इस ट्यूटोरियल को किसी भी पेज पर खोला है और पहली संज्ञा का चयन किया है जो सामने आती है। घटना इस प्रकार है:

ए) चयनित शब्द की वर्तनी में एक स्वर है। ((विश्वसनीय)

बी) चयनित शब्द की वर्तनी में "ओ" अक्षर है। (यादृच्छिक रूप से)

ग) चयनित शब्द की वर्तनी में कोई स्वर नहीं हैं। (असंभव)

डी) चयनित शब्द की वर्तनी में है नरम संकेत... (यादृच्छिक रूप से)

№ 963. आप फिर से बैकगैमौन खेल रहे हैं। निम्नलिखित घटना का वर्णन करें:

ए) खिलाड़ी को दो से अधिक चालें नहीं चलनी चाहिए। (असंभव - सबसे छोटी संख्या 1 + 1 के संयोजन के साथ, खिलाड़ी 4 चालें बनाता है; संयोजन 1 + 2 3 चालें देता है; अन्य सभी संयोजन 3 से अधिक चालें देते हैं)

बी) खिलाड़ी को दो से अधिक चालें चलनी चाहिए। (विश्वसनीय - कोई भी संयोजन 3 या अधिक चाल देता है)

ग) खिलाड़ी को 24 से अधिक चालें नहीं चलनी चाहिए। (विश्वसनीय - उच्चतम संख्या 6 + 6 का संयोजन 24 चालें देता है, और बाकी सभी - 24 से कम चालें)

d) खिलाड़ी को दो अंकों की संख्या में चालें बनानी चाहिए। (यादृच्छिक - उदाहरण के लिए, संयोजन 2 + 3 एकल अंकों की चालों की संख्या देता है: 5, और दो चौकों की गिरावट - चालों की दो अंकों की संख्या)

2. समस्याओं का समाधान।

№ 964. बैग में 10 गेंदें हैं: 3 नीली, 3 सफेद और 4 लाल। निम्नलिखित घटना का वर्णन करें:

a) बैग से 4 गेंदें निकाली गईं, और वे सभी नीली हैं; (असंभव)

बी) बैग से 4 गेंदें निकाली गईं, और वे सभी लाल हैं; (यादृच्छिक रूप से)

ग) बैग से 4 गेंदें निकाली गईं, और वे सभी एक अलग रंग की निकलीं; (असंभव)

घ) थैले में से 4 गेंदें निकाली गईं, और उनमें कोई काली गेंद नहीं थी। (विश्वसनीय)

उद्देश्य १. बॉक्स में 10 लाल, 1 हरे और 2 नीले पेन हैं। दो वस्तुओं को यादृच्छया बॉक्स से बाहर निकाला जाता है। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, जो यादृच्छिक है, जो विश्वसनीय है:

ए) दो लाल हैंडल निकाले जाते हैं (यादृच्छिक)

बी) दो हरे रंग के हैंडल निकाले जाते हैं; (असंभव)

ग) दो नीले हैंडल निकाले जाते हैं; (यादृच्छिक रूप से)

डी) दो अलग-अलग रंगों के हैंडल निकाले जाते हैं; (यादृच्छिक रूप से)

ई) दो हैंडल हटा दिए जाते हैं; (विश्वसनीय)

च) दो पेंसिलें निकाली जाती हैं। (असंभव)

उद्देश्य २. विनी द पूह, पिगलेट और सभी - सभी - अपना जन्मदिन मनाने के लिए गोल मेज पर बैठते हैं। सभी में से कितने - सभी - सभी घटना "विनी द पूह और पिगलेट एक दूसरे के बगल में बैठे होंगे" विश्वसनीय है, और यह कितना यादृच्छिक है?

(यदि सभी - सभी - सभी केवल 1 हैं, तो घटना विश्वसनीय है, यदि 1 से अधिक है, तो यह यादृच्छिक है)।

उद्देश्य 3. 100 चैरिटी लॉटरी टिकटों में से, 20 विजेता "आप कुछ भी नहीं जीतते" घटना को असंभव बनाने के लिए आपको कितने टिकट खरीदने की आवश्यकता है?

कार्य 4. कक्षा में 10 लड़के और 20 लड़कियां हैं। ऐसे वर्ग के लिए निम्नलिखित में से कौन-सी घटना असंभव है, जो आकस्मिक हो, जो विश्वसनीय हो

कक्षा में दो लोग हैं जिनका जन्म अलग-अलग महीनों में हुआ है। (यादृच्छिक रूप से)

कक्षा में दो व्यक्ति ऐसे हैं जिनका जन्म एक ही महीने में हुआ है। (विश्वसनीय)

कक्षा में दो लड़के हैं जिनका जन्म एक ही महीने में हुआ था। (यादृच्छिक रूप से)

कक्षा में दो लड़कियां हैं जिनका जन्म एक ही महीने में हुआ था। (विश्वसनीय)

सभी लड़कों का जन्म अलग-अलग महीनों में हुआ था। (विश्वसनीय)

सभी लड़कियों का जन्म अलग-अलग महीनों में हुआ था। (यादृच्छिक रूप से)

एक ही महीने में एक लड़का और एक लड़की का जन्म हुआ है। (यादृच्छिक रूप से)

एक लड़का और एक लड़की है जो अलग-अलग महीनों में पैदा हुए थे। (यादृच्छिक रूप से)

कार्य 5. बॉक्स में 3 लाल, 3 पीली, 3 हरी गेंदें हैं। हम यादृच्छिक रूप से 4 गेंदें निकालते हैं। घटना पर विचार करें "निकली गई गेंदों में बिल्कुल M रंगों की गेंदें होंगी"। 1 से 4 तक प्रत्येक M के लिए, निर्धारित करें कि कौन सी घटना असंभव, विश्वसनीय या आकस्मिक है, और तालिका भरें:

स्वतंत्र काम।

मैंविकल्प

a) आपके मित्र के जन्मदिन की संख्या 32 से कम है;

ग) कल गणित की परीक्षा होगी;

d) अगले साल मॉस्को में रविवार को पहली बर्फ गिरेगी।

पासा फेंकें। घटना का वर्णन करें:

ए) घन, गिरने पर, किनारे पर खड़ा होगा;

बी) संख्याओं में से एक को हटा दिया जाएगा: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

ग) संख्या ६ गिरा दी जाएगी;

d) 7 का गुणज हटा दिया जाएगा।

बॉक्स में 3 लाल, 3 पीली और 3 हरी गेंदें हैं। घटना का वर्णन करें:

ए) एक ही रंग की सभी हटाई गई गेंदें;

बी) विभिन्न रंगों की सभी हटाई गई गेंदें;

ग) निकाली गई गेंदों में विभिन्न रंगों की गेंदें हैं;

ग) निकाली गई गेंदों में एक लाल, पीली और हरी गेंद है।

द्वितीयविकल्प

घटना को निश्चित, असंभव या आकस्मिक के रूप में वर्णित करें:

ए) एक सैंडविच जो टेबल से गिर गया है, मक्खन नीचे फर्श पर गिर जाएगा;

बी) मास्को में आधी रात को बर्फ गिरेगी, और 24 घंटों में सूरज चमक जाएगा;

ग) आप जीत-जीत लॉटरी में भाग लेकर जीतते हैं;

d) अगले साल, मई में, पहली वसंत गड़गड़ाहट सुनाई देगी।

सभी दो अंकों की संख्या कार्ड पर लिखी जाती है। एक कार्ड यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। घटना का वर्णन करें:

ए) कार्ड पर शून्य था;

बी) कार्ड में एक संख्या है जो 5 का गुणज है;

ग) कार्ड पर एक संख्या थी जो १०० का गुणज है;

d) कार्ड की संख्या ९ से अधिक और १०० से कम है।

बॉक्स में 10 लाल, 1 हरे और 2 नीले पेन हैं। दो वस्तुओं को यादृच्छया बॉक्स से बाहर निकाला जाता है। घटना का वर्णन करें:

ए) दो नीले हैंडल निकाले जाते हैं;

बी) दो लाल हैंडल निकाले जाते हैं;

ग) दो हरे हैंडल निकाले जाते हैं;

d) हरे और काले रंग के हैंडल निकाले जाते हैं।

होम वर्क: 1). दो विश्वसनीय, यादृच्छिक और असंभव घटनाओं के साथ आओ।

2))। टास्क . बॉक्स में 3 लाल, 3 पीली, 3 हरी गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से N गेंदें निकालें। घटना पर विचार करें "निकालने वाली गेंदों में से ठीक तीन रंगों की गेंदें होंगी"। 1 से 9 तक प्रत्येक N के लिए, निर्धारित करें कि कौन सी घटना असंभव, विश्वसनीय या आकस्मिक है, और तालिका भरें:

संयोजन संबंधी समस्याएं।

प्रथम पाठ

होमवर्क की जाँच। (मौखिक रूप से)

ए) हम उन समस्याओं की जांच करते हैं जिनके साथ छात्र आए थे।

बी) एक अतिरिक्त कार्य।

मैं वी. लेव्शिन की पुस्तक "थ्री डेज़ इन ड्वार्फ" का एक अंश पढ़ रहा हूँ।

"सबसे पहले, एक चिकनी वाल्ट्ज की आवाज़ के लिए, संख्याओं ने एक समूह बनाया: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. फिर युवा स्केटर्स ने अधिक से अधिक नए समूह बनाते हुए, स्थानों की अदला-बदली शुरू की: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10, आदि।

यह तब तक जारी रहा जब तक स्केटर्स अपनी मूल स्थिति में वापस नहीं आ गए।"

उन्होंने कितनी बार स्थानों की अदला-बदली की है?

आज के पाठ में हम सीखेंगे कि ऐसी समस्याओं को कैसे हल किया जाए। उन्हें कहा जाता है जुझारू

3. नई सामग्री सीखना।

उद्देश्य १. 1, 2, 3 अंकों से दो अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

समाधान: 11, 12, 13

31, 32, 33. कुल 9 अंक हैं।

इस समस्या को हल करते समय, हमने सभी संभावित विकल्पों की गणना की, या, जैसा कि वे आमतौर पर इन मामलों में कहते हैं। सभी संभव संयोजन। इसलिए, ऐसे कार्यों को कहा जाता है जुझारू आपको जीवन में संभावित (या असंभव) विकल्पों की गणना अक्सर करनी होती है, इसलिए संयोजन समस्याओं से परिचित होना उपयोगी होता है।

№ 967. कई देशों ने अपने राष्ट्रीय ध्वज के लिए अलग-अलग रंगों में समान चौड़ाई की तीन क्षैतिज पट्टियों के रूप में प्रतीकों का उपयोग करने का निर्णय लिया - सफेद, नीला, लाल। कितने देश ऐसे प्रतीकों का उपयोग कर सकते हैं, बशर्ते कि प्रत्येक देश का अपना ध्वज हो?

समाधान। आइए मान लें कि पहली पट्टी सफेद है। फिर दूसरी पट्टी नीली या लाल हो सकती है, और तीसरी पट्टी क्रमशः लाल या नीली हो सकती है। यह दो विकल्प निकला: सफेद, नीला, लाल या सफेद, लाल, नीला।

अब पहली पट्टी को नीला होने दें, फिर हमें दो विकल्प मिलते हैं: सफेद, लाल, नीला या नीला, लाल, सफेद।

पहली पट्टी को लाल होने दें, फिर दो और विकल्प हैं: लाल, सफेद, नीला या लाल, नीला, सफेद।

कुल 6 संभावित विकल्प हैं। इस झंडे का इस्तेमाल 6 देश कर सकते हैं।

इसलिए, इस समस्या को हल करने में, हम संभावित विकल्पों की गणना करने का एक तरीका ढूंढ रहे थे। कई मामलों में, एक चित्र बनाना उपयोगी होता है - एक गणना योजना। यह, सबसे पहले, स्पष्ट रूप से, दूसरे, हमें सब कुछ ध्यान में रखने की अनुमति देता है, कुछ भी याद नहीं करने के लिए।

इस योजना को संभावित विकल्पों का वृक्ष भी कहा जाता है।

मुखपृष्ठ

दूसरी लेन

तीसरी लेन

परिणामी संयोजन

№ 968. 1, 2, 4, 6, 8 अंकों से दो अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

समाधान। हमारे लिए ब्याज की दो अंकों की संख्या के लिए, दिए गए अंकों में से कोई भी 0 को छोड़कर पहले स्थान पर हो सकता है। यदि हम संख्या 2 को पहले स्थान पर रखते हैं, तो दिए गए अंकों में से कोई भी दूसरे स्थान पर हो सकता है। दो अंकों की पाँच संख्याएँ होंगी: २., २२, २४, २६, २८. पहले अंक 8 के साथ -अंकीय संख्याएं।

उत्तर: कुल 20 अंक हैं।

आइए इस समस्या को हल करने के लिए संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाएं।

दोहरे आंकड़े

पहला अंक

दूसरा अंक

प्राप्त संख्या

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

संभावित विकल्पों का एक वृक्ष बनाकर निम्नलिखित समस्याओं को हल करें।

№ 971. एक देश के नेतृत्व ने अपना राष्ट्रीय ध्वज इस तरह बनाने का फैसला किया: एक कोने में एक रंग की आयताकार पृष्ठभूमि पर एक अलग रंग का एक चक्र रखा गया है। तीन रंगों में से चुनने का निर्णय लिया गया: लाल, पीला, हरा। इस तरह के झंडे के कितने प्रकार हैं

मौजूद? आंकड़ा कुछ संभावित विकल्पों को दिखाता है।

उत्तर: 24 विकल्प।

№ 973. a) 1,3, 5, अंकों से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? (27 नंबर)

b) 1,3, 5 अंकों से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्याओं की पुनरावृत्ति न हो? (6 अंक)

№ 979. दो दिनों के लिए आधुनिक पेंटाथलेट्स पांच खेलों में प्रतियोगिताओं में भाग लेते हैं: कूदना, तलवारबाजी, तैराकी, शूटिंग और दौड़ना।

क) प्रतियोगिता के प्रकारों के क्रम के लिए कितने विकल्प हैं? (120 विकल्प)

ख) प्रतियोगिता के प्रकारों को पास करने के क्रम के लिए कितने विकल्प हैं, यदि यह ज्ञात है कि अंतिम प्रकार चल रहा होना चाहिए? (24 विकल्प)

ग) प्रतियोगिता के प्रकारों को पास करने के क्रम के लिए कितने विकल्प हैं, यदि यह ज्ञात है कि अंतिम प्रकार चलना चाहिए, और पहला - शो जंपिंग? (6 विकल्प)

№ 981. दो कलशों में पाँच अलग-अलग रंगों में पाँच गेंदें होती हैं: सफेद, नीला, लाल, पीला, हरा। एक ही समय में प्रत्येक कलश से एक गेंद निकाली जाती है।

a) निकाली गई गेंदों के कितने अलग-अलग संयोजन हैं ("सफेद - लाल" और "लाल - सफेद" जैसे संयोजन समान माने जाते हैं)?

(15 संयोजन)

ख) ऐसे कितने संयोजन हैं जिनमें हटाई गई गेंदें एक ही रंग की हैं?

(5 संयोजन)

ग) ऐसे कितने संयोजन हैं जिनमें हटाई गई गेंदें अलग-अलग रंगों की हैं?

(१५ - ५ = १० संयोजन)

होम वर्क: पृष्ठ ५४, संख्या ९६९, ९७२, स्वयं एक संयोजक समस्या के साथ आने के लिए।

№ 969. कई देशों ने अपने राष्ट्रीय ध्वज के लिए अलग-अलग रंगों में समान चौड़ाई की तीन ऊर्ध्वाधर धारियों के रूप में प्रतीकों का उपयोग करने का निर्णय लिया है: हरा, काला, पीला। कितने देश ऐसे प्रतीकों का उपयोग कर सकते हैं, बशर्ते कि प्रत्येक देश का अपना ध्वज हो?

№ 972. a) संख्या 1, 3, 5, 7, 9 से दो अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

b) संख्या 1, 3, 5, 7, 9 से कितनी दो अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्याओं की पुनरावृत्ति न हो?

दूसरा पाठ

होमवर्क की जाँच। ए) नंबर 969 और नंबर 972 ए) और नंबर 972 बी) - बोर्ड पर संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाएं।

बी) संकलित कार्यों की मौखिक रूप से जांच करें।

समस्याओं को सुलझा रहा.

तो, इससे पहले, आपने और मैंने विकल्पों के ट्री का उपयोग करके कॉम्बीनेटरियल समस्याओं को हल करना सीखा। क्या यह एक अच्छा तरीका है? शायद हाँ, लेकिन बहुत बोझिल। आइए एक अलग तरीके से घरेलू समस्या संख्या 972 को हल करने का प्रयास करें। कौन अनुमान लगा सकता है कि यह कैसे किया जा सकता है?

उत्तर: टी-शर्ट के पांच रंगों में से प्रत्येक के लिए, पैंटी के 4 रंग हैं। कुल: 4 * 5 = 20 विकल्प।

№ 980. कलश में पांच अलग-अलग रंगों में पांच गेंदें होती हैं: सफेद, नीला, लाल, पीला, हरा। एक ही समय में प्रत्येक कलश से एक गेंद निकाली जाती है। निम्नलिखित घटना को निश्चित, आकस्मिक या असंभव के रूप में वर्णित करें:

ए) विभिन्न रंगों की गेंदों को हटा दिया; (यादृच्छिक रूप से)

बी) एक ही रंग की गेंदों को निकाला; (यादृच्छिक रूप से)

ग) काली और सफेद गेंदें निकाली जाती हैं; (असंभव)

d) दो गेंदें निकाली गईं, दोनों को निम्नलिखित रंगों में से एक में रंगा गया: सफेद, नीला, लाल, पीला, हरा। (विश्वसनीय)

№ 982. पर्यटकों का एक समूह एंटोनोवो - बोरिसोवो - व्लासोवो - ग्रिबोवो मार्ग के साथ बढ़ोतरी करने की योजना बना रहा है। एंटोनोवो से बोरिसोवो तक आप नदी को पार कर सकते हैं या चल सकते हैं। बोरिसोवो से व्लासोवो तक आप पैदल चल सकते हैं या साइकिल चला सकते हैं। व्लासोवो से ग्रिबोवो तक आप नदी के किनारे तैर सकते हैं, साइकिल की सवारी कर सकते हैं या चल सकते हैं। पर्यटक कितने लंबी पैदल यात्रा के विकल्प चुन सकते हैं? पर्यटक कितने लंबी पैदल यात्रा के विकल्प चुन सकते हैं, बशर्ते कि उन्हें मार्ग के कम से कम एक खंड पर साइकिल का उपयोग करना चाहिए?

(12 मार्ग विकल्प, उनमें से 8 साइकिल का उपयोग कर रहे हैं)

स्वतंत्र काम।

विकल्प 1

a) 0, 1, 3, 5, 7 अंकों से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

b) 0, 1, 3, 5, 7 अंकों से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्याओं की पुनरावृत्ति न हो?

एथोस, पोर्थोस और अरामिस के पास केवल एक तलवार, एक खंजर और एक पिस्तौल है।

क) बंदूकधारियों को कितने तरीकों से सशस्त्र किया जा सकता है?

ख) यदि अरामिस को तलवार चलानी चाहिए तो कितने हथियार विकल्प हैं?

सी) हथियारों के लिए कितने विकल्प हैं, अगर अरामिस के पास तलवार होनी चाहिए, और पोर्थोस के पास पिस्तौल होनी चाहिए?

कौवे को कहीं भगवान ने पनीर का एक टुकड़ा भेजा, साथ ही फेटा चीज, सॉसेज, सफेद और काली रोटी। स्प्रूस पर बैठा एक कौआ नाश्ते के लिए तैयार हो गया, लेकिन उसने सोचा: आप इन उत्पादों से कितने तरीके से सैंडविच बना सकते हैं?

विकल्प 2

a) 0, 2, 4, 6, 8 अंकों से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

ख) 0, 2, 4, 6, 8 अंकों से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि अंकों की पुनरावृत्ति न हो?

काउंट मोंटे क्रिस्टो ने प्रिंसेस गेइड को झुमके, एक हार और एक ब्रेसलेट के साथ पेश करने का फैसला किया। गहनों के प्रत्येक टुकड़े में एक प्रकार का रत्न होना चाहिए: हीरे, माणिक या गारनेट।

क) रत्नों के गहनों के संयोजन के लिए कितने विकल्प हैं?

ख) यदि झुमके को हीरा माना जाए तो गहने के कितने विकल्प हैं?

ग) ज्वेलरी के कितने विकल्प हैं, यदि झुमके हीरा हों और ब्रेसलेट गार्नेट हो?

नाश्ते के लिए, आप कॉफी या केफिर के साथ बन, सैंडविच या जिंजरब्रेड चुन सकते हैं। आप कितने नाश्ते के विकल्प बना सकते हैं?

होम वर्क : सं. ९७४, ९७५. (विविधताओं के एक वृक्ष को संकलित करके और गुणन के नियम का उपयोग करके)

№ 974 . a) 0, 2, 4 अंकों से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

b) 0, 2, 4 अंकों से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्याओं की पुनरावृत्ति न हो?

№ 975 . a) 1.3, 5.7 अंकों से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

b) 1.3, 5.7 अंकों से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते। उन नंबरों को दोहराया नहीं जाना चाहिए?

समस्या संख्याएं ट्यूटोरियल से ली गई हैं

"गणित-5", आई.आई. जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच, 2004।

कृपया पाठ का शाब्दिक अनुवाद करें।

ऑनलाइन अनुवादक में नहीं।

गोल्डन गेट कीव का प्रतीक है, जो वास्तुकला के सबसे पुराने उदाहरणों में से एक है जो हमारे समय तक जीवित रहा है। कीव का गोल्डन गेट 1164 में प्रसिद्ध कीव राजकुमार यारोस्लाव द वाइज़ के शासनकाल के दौरान बनाया गया था। प्रारंभ में, उन्हें दक्षिणी कहा जाता था और वे शहर के रक्षात्मक किलेबंदी का हिस्सा थे, व्यावहारिक रूप से शहर के अन्य गार्ड फाटकों से अलग नहीं थे। यह दक्षिण गेट था जिसे पहले रूसी मेट्रोपॉलिटन हिलारियन ने अपने "वर्ड ऑफ लॉ एंड ग्रेस" में "महान" कहा था। राजसी हागिया सोफिया के निर्माण के बाद, "महान" द्वार दक्षिण-पश्चिम की ओर से कीव का मुख्य भूमि प्रवेश द्वार बन गया। उनके महत्व को समझते हुए, यारोस्लाव द वाइज़ ने शहर और रूस में प्रमुख ईसाई धर्म को श्रद्धांजलि देने के लिए फाटकों के ऊपर एक छोटे से चर्च ऑफ द एनाउंसमेंट का निर्माण करने का आदेश दिया। उस समय से, सभी रूसी क्रॉनिकल स्रोतकीव के दक्षिणी द्वार को गोल्डन गेट कहा जाने लगा। गेट की चौड़ाई ७.५ मीटर, मार्ग की ऊंचाई १२ मीटर और लंबाई लगभग २५ मीटर थी।

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ले स्पोर्ट सीई एन "एस्ट पास सीलेमेंट डेस कोर्ट्स डी जिम। सी" इस्ट ऑस्ट्रेलियाई सौटर टूजोर्स प्लस हाउत नगर जौर या बैलन डांसर। ले स्पोर्ट डेवलपमेंट टन कॉर्प्स और ऑस्ट्रेलियाई टन सर्वो। Quand tu prends l "escalier et non pas l" ascenseur tu fais du sport. कुंद तू फैस उन कबाने दन्स उन अर्ब्रे तू फैस डू स्पोर्ट। कुंद तू ते चमगादड़ एवेक टन फ्री तू फैस डू स्पोर्ट। क्वांड तू कोर्स, पार्स क्यू तू एस एन रिटार्ड ए एल "इकोले, तू फैस डू स्पोर्ट।

एक घटना एक परीक्षण का परिणाम है। एक घटना क्या है? एक गेंद कलश से यादृच्छया ली जाती है। कलश से गेंद निकालना एक परीक्षा है। एक निश्चित रंग की गेंद का दिखना एक घटना है। संभाव्यता के सिद्धांत में, एक घटना को कुछ ऐसा समझा जाता है, जिसके बारे में एक निश्चित समय के बाद, दोनों में से एक और केवल एक ही कहा जा सकता है। हाँ, हुआ। नहीं, ऐसा नहीं हुआ। किसी प्रयोग के संभावित परिणाम को एक प्रारंभिक घटना कहा जाता है, और ऐसे कई परिणामों को केवल एक घटना कहा जाता है।

अप्रत्याशित घटनाएँ यादृच्छिक घटनाएँ कहलाती हैं। एक घटना को यादृच्छिक कहा जाता है यदि, समान परिस्थितियों में, ऐसा हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। जब पासा लुढ़काया जाता है, तो एक छक्का गिराया जाएगा। मेरे पास लॉटरी टिकट है। लॉटरी ड्रा के परिणाम प्रकाशित होने के बाद, मेरे लिए रुचि की घटना - एक हजार रूबल जीतना, या तो होता है या नहीं होता है। उदाहरण।

इन परिस्थितियों में एक साथ घटित होने वाली दो घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है, और जो एक साथ नहीं हो सकती उन्हें असंगत कहा जाता है। एक सिक्का फेंका जाता है। "हथियारों का कोट" की उपस्थिति शिलालेख की उपस्थिति को बाहर करती है। घटनाएँ "हथियारों का एक कोट दिखाई दिया" और "एक शिलालेख दिखाई दिया" असंगत हैं। उदाहरण।

एक घटना जो हमेशा घटित होती है उसे विश्वसनीय कहा जाता है। एक घटना जो घटित नहीं हो सकती उसे असंभव कहा जाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि केवल काली गेंदों वाले कलश में से एक गेंद निकाली जाती है। तब काली गेंद का दिखना एक निश्चित घटना है; सफेद गेंद का दिखना एक असंभव घटना है। उदाहरण। अगले साल बर्फ नहीं गिरेगी। जब पासा लुढ़काया जाता है, तो एक सात गिरा दिया जाएगा। ये असंभव घटनाएं हैं। अगले साल बर्फ गिरेगी। जब पासे को घुमाया जाता है, तो सात से कम की संख्या लुढ़क जाती है। हर दिन सूर्योदय। ये विश्वसनीय घटनाएँ हैं।

समस्या का समाधान वर्णित प्रत्येक घटना के लिए, यह निर्धारित करें कि यह क्या है: असंभव, विश्वसनीय या आकस्मिक। 1. कक्षा में 25 विद्यार्थियों में से दो अपना जन्मदिन मनाते हैं a) 30 जनवरी; बी) 30 फरवरी। 2. एक साहित्य पाठ्यपुस्तक यादृच्छिक रूप से खुलती है और दूसरा शब्द बाएं पृष्ठ पर पाया जाता है। यह शब्द शुरू होता है: ए) "के" अक्षर के साथ; बी) अक्षर "बी" के साथ।

3. आज सोची में बैरोमीटर सामान्य दिखाता है वायुमंडलीय दबाव... इस मामले में: क) पैन में पानी 80º के तापमान पर उबाला जाता है; बी) जब तापमान -5 डिग्री सेल्सियस तक गिर गया, तो पोखर में पानी जम गया। 4. दो पासे फेंकें: क) पहले पासे में 3 अंक हैं, और दूसरे में - 5 अंक हैं; बी) दो पासों पर गिराए गए अंकों का योग 1 के बराबर है; ग) दो पासों पर गिराए गए अंकों का योग 13 है; डी) दोनों हड्डियों पर 3 अंक बनाए गए; ई) दो पासों पर अंकों का योग 15 से कम है। समस्याओं को हल करना

5. आपने किसी भी पृष्ठ पर एक किताब खोली है और पहली संज्ञा पढ़ी है जो सामने आती है। यह पता चला कि: क) चयनित शब्द की वर्तनी में एक स्वर है; बी) चयनित शब्द की वर्तनी में "ओ" अक्षर होता है; ग) चयनित शब्द की वर्तनी में कोई स्वर नहीं हैं; डी) चयनित शब्द की वर्तनी में एक नरम संकेत है। समस्याओं को सुलझा रहा

पाठ विषय: "आकस्मिक, विश्वसनीय और असंभव घटनाएँ"

पाठ्यचर्या में पाठ का स्थान: "कॉम्बिनेटरिक्स। यादृच्छिक घटनाएँ "पाठ 5/8"

पाठ प्रकार: नए ज्ञान के निर्माण में सबक

पाठ मकसद:

शैक्षिक:

o एक यादृच्छिक, विश्वसनीय और असंभव घटना की परिभाषा का परिचय दें;

o संभाव्यता के सिद्धांत की शर्तों को परिभाषित करने के लिए एक वास्तविक स्थिति की प्रक्रिया में सिखाना: विश्वसनीय, असंभव, समरूप घटनाएँ;

विकसित होना:

o तार्किक सोच के विकास को बढ़ावा देना,

o छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि,

o तुलना और विश्लेषण करने की क्षमता,

शैक्षिक:

o गणित के अध्ययन में रुचि को बढ़ावा देना,

o छात्रों के दृष्टिकोण का विकास।

o बौद्धिक कौशल और मानसिक संचालन का अधिकार;

शिक्षण विधियों:व्याख्यात्मक और दृष्टांत, प्रजनन, गणितीय श्रुतलेख।

यूएमके:गणित: छठी कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। संपादकीय के तहत, और अन्य, प्रकाशन गृह "शिक्षा", 2008, गणित, 5-6: पुस्तक। शिक्षक के लिए / [, [ ,]. - एम .: शिक्षा, 2006।

उपदेशात्मक सामग्री: बोर्ड पर पोस्टर।

साहित्य:

1. गणित: पाठ्यपुस्तक। 6 सीएल के लिए सामान्य शिक्षा। संस्थान /, आदि]; ईडी। ,; बड़ा हुआ। अकाद विज्ञान, रोस। अकाद शिक्षा, प्रकाशन गृह "शिक्षा"। - 10 वां संस्करण। - एम .: शिक्षा, 2008.-302 पी।: बीमार। - (अकादमिक स्कूल पाठ्यपुस्तक)।

2. गणित, 5-बी: किताब। शिक्षक के लिए / [,]। - एम।: शिक्षा, 2006।-- 191 पी। : बीमार।

4. सांख्यिकी, संयोजन और संभाव्यता सिद्धांत में समस्याओं को हल करना। 7-9 ग्रेड। / लेखक - COMP। ... ईडी। २, रेव. - वोल्गोग्राड: शिक्षक, 2006.-428 पी।

5. सूचना प्रौद्योगिकी के उपयोग के साथ गणित में पाठ। 5-10 ग्रेड। मेथडिकल - एक इलेक्ट्रॉनिक एप्लिकेशन / आदि के साथ एक मैनुअल। दूसरा संस्करण। स्टीरियोटाइप। - एम।: पब्लिशिंग हाउस "ग्लोबस", 2010. - 266 पी। (आधुनिक विद्यालय)।

6. आधुनिक स्कूलों में गणित पढ़ाना। दिशा-निर्देश... व्लादिवोस्तोक: PIPPKRO पब्लिशिंग हाउस, 2003।

पाठ योजना

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय. मौखिक कार्य।

III. नई सामग्री सीखना।

चतुर्थ। कौशल और क्षमताओं का गठन।

वी. पाठ सारांश।

वी. गृहकार्य।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

2. ज्ञान को अद्यतन करना

15*(-100)

मौखिक कार्य:

3. नई सामग्री की व्याख्या

शिक्षक: हमारा जीवन बहुत अवसर है। ऐसा एक विज्ञान है "संभावनाओं का सिद्धांत"। उनकी भाषा का प्रयोग करते हुए अनेक घटनाओं और स्थितियों का वर्णन किया जा सकता है।

सिकंदर महान या दिमित्री डोंस्कॉय जैसे प्राचीन जनरलों ने युद्ध की तैयारी करते हुए, न केवल योद्धाओं की वीरता और कौशल पर, बल्कि मौके पर भी भरोसा किया।

बहुत से लोग शाश्वत सत्य के लिए गणित से प्यार करते हैं दो बार हमेशा चार होते हैं, सम संख्याओं का योग सम होता है, एक आयत का क्षेत्रफल उसके आसन्न पक्षों के गुणनफल के बराबर होता है, आदि। आपके द्वारा हल की गई किसी भी समस्या में, सभी को मिलता है वही उत्तर - आपको समाधान में गलती करने की आवश्यकता नहीं है।

वास्तविक जीवन इतना सरल और सीधा नहीं है। कई घटनाओं के परिणामों की पहले से भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यह निश्चित रूप से कहना असंभव है कि उछाला गया सिक्का किस तरफ गिरेगा, जब अगले साल पहली बर्फ गिरेगी, या शहर में कितने लोग अगले घंटे फोन पर कॉल करना चाहेंगे। ऐसी अप्रत्याशित घटनाओं को कहा जाता है यादृच्छिक रूप से .

हालाँकि, मामले के अपने कानून भी हैं, जो यादृच्छिक घटनाओं की बार-बार पुनरावृत्ति के साथ खुद को प्रकट करना शुरू करते हैं। यदि आप एक सिक्के को 1000 बार पलटते हैं, तो "हेड" लगभग आधे मामलों में गिर जाएगा, जिसे दो या दस टॉस के बारे में नहीं कहा जा सकता है। "लगभग" का मतलब आधा नहीं है। यह, एक नियम के रूप में, ऐसा हो भी सकता है और नहीं भी। कानून निश्चित रूप से कुछ भी नहीं बताता है, लेकिन एक निश्चित डिग्री देता है कि कुछ यादृच्छिक घटना घटित होगी।

ऐसे पैटर्न का अध्ययन गणित के एक विशेष खंड द्वारा किया जाता है - सिद्धांत संभावना . इसकी मदद से, पहले हिमपात की तारीख और फोन कॉलों की संख्या दोनों की भविष्यवाणी करना अधिक आत्मविश्वास (लेकिन अभी भी निश्चित नहीं) के साथ संभव है।

संभाव्यता सिद्धांत हमारे साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगी... यह हमें कई बार यादृच्छिक प्रयोगों को दोहराते हुए, अनुभवजन्य रूप से कई संभाव्य कानूनों को स्थापित करने का एक शानदार अवसर देता है। इन प्रयोगों के लिए सामग्री अक्सर एक साधारण सिक्का, एक पासा, डोमिनोज़ का एक सेट, बैकगैमौन, रूले, या यहां तक ​​​​कि ताश के पत्तों का एक डेक होगा। इनमें से प्रत्येक आइटम, एक तरह से या किसी अन्य, खेलों से जुड़ा हुआ है। तथ्य यह है कि मामला यहां सबसे अधिक बार प्रकट होता है। और पहली संभाव्य समस्याएं खिलाड़ियों के जीतने की संभावना का आकलन करने से जुड़ी थीं।

आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत जुए से दूर हो गया है, लेकिन इसके सहारा अभी भी मौके का सबसे सरल और सबसे विश्वसनीय स्रोत हैं। एक टेप माप और एक पासा के साथ अभ्यास करके, आप सीखेंगे कि वास्तविक जीवन में यादृच्छिक घटनाओं की संभावना की गणना कैसे करें। जीवन स्थितियां, जो आपको अपनी सफलता की संभावनाओं का आकलन करने, परिकल्पनाओं का परीक्षण करने, इष्टतम निर्णय लेने की अनुमति देगा, न कि केवल खेल और लॉटरी में।

संभाव्य समस्याओं को हल करते समय, बहुत सावधान रहें, अपने हर कदम को सही ठहराने की कोशिश करें, क्योंकि गणित के किसी अन्य क्षेत्र में इतने विरोधाभास नहीं हैं। संभाव्यता के सिद्धांत की तरह। और, शायद, इसके लिए मुख्य स्पष्टीकरण वास्तविक दुनिया से उसका संबंध है जिसमें हम रहते हैं।

कई गेम 1 से 6 तक प्रत्येक चेहरे पर अलग-अलग बिंदुओं के साथ पासा का उपयोग करते हैं। खिलाड़ी एक पासा फेंकता है, देखता है कि कितने बिंदु गिर गए हैं (शीर्ष पर चेहरे पर), और इसी तरह की चालें बनाता है : 1,2,3, 4,5, या 6. पासे को फेंकना एक अनुभव, प्रयोग, परीक्षण माना जा सकता है और प्राप्त परिणाम एक घटना है। लोग आमतौर पर किसी घटना की शुरुआत का अनुमान लगाने, उसके परिणाम की भविष्यवाणी करने में बहुत रुचि रखते हैं। पासा पलटने पर वे क्या भविष्यवाणियाँ कर सकते हैं?

पहली भविष्यवाणी: १, २, ३, ४, ५ में से कोई एक अंक छूट जाएगा, या ६. क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना आएगी या नहीं? अवश्य ही आयेगा।

एक घटना जो इस अनुभव में अनिवार्य रूप से घटित होगी, कहलाती है विश्वसनीयप्रतिस्पर्धा।

दूसरी भविष्यवाणी : नंबर 7 ड्रॉप आउट हो जाएगा। क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना आएगी या नहीं? बेशक ऐसा नहीं होगा, यह असंभव है।

एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित नहीं हो सकती, कहलाती है असंभवप्रतिस्पर्धा।

तीसरी भविष्यवाणी : नंबर 1 छोड़ देगा। क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना आएगी या नहीं? हम इस प्रश्न का उत्तर पूरे विश्वास के साथ नहीं दे पा रहे हैं, क्योंकि अनुमानित घटना घट भी सकती है और नहीं भी।

वे घटनाएँ जो समान परिस्थितियों में घटित हो सकती हैं या नहीं हो सकती हैं, कहलाती हैं यादृच्छिक रूप से.

उदाहरण। बॉक्स में नीले रैपर में 5 कैंडी और सफेद में एक कैंडी है। बॉक्स में देखे बिना, वे यादृच्छिक रूप से एक कैंडी निकालते हैं। क्या आप पहले से बता सकते हैं कि यह किस रंग का होगा?

व्यायाम : नीचे दिए गए कार्यों में संदर्भित घटनाओं का वर्णन करें। कितना विश्वसनीय, असंभव या आकस्मिक।

1. एक सिक्का पलटें। हथियारों का कोट दिखाई दिया। (यादृच्छिक रूप से)

2. शिकारी ने भेड़िये को गोली मार दी और मारा। (यादृच्छिक रूप से)

3. विद्यार्थी प्रतिदिन शाम को टहलने जाता है। सोमवार को घूमने के दौरान उसकी मुलाकात तीन परिचितों से हुई। (यादृच्छिक रूप से)

4. आइए मानसिक रूप से निम्नलिखित प्रयोग करें: पानी के गिलास को उल्टा कर दें। यदि यह प्रयोग अंतरिक्ष में नहीं, बल्कि घर पर या कक्षा में किया जाए, तो पानी निकल जाएगा। (विश्वसनीय)

5. निशाने पर तीन गोलियां दागी गईं।" पांच हिट थे।" (असंभव)

6. पत्थर ऊपर फेंको। पत्थर हवा में लटका रहता है। (असंभव)

उदाहरणपेट्या ने एक प्राकृतिक संख्या की कल्पना की। घटना इस प्रकार है:

ए) एक सम संख्या की कल्पना की जाती है; (यादृच्छिक रूप से)

बी) एक विषम संख्या की कल्पना की जाती है; (यादृच्छिक रूप से)

ग) एक संख्या की कल्पना की जाती है जो न तो सम है और न ही विषम; (असंभव)

d) सम या विषम संख्या की कल्पना की जाती है। (विश्वसनीय)

ऐसी घटनाएँ जिनमें इन परिस्थितियों में समान संभावनाएँ होती हैं, कहलाती हैं सुसज्जित करने योग्य.

यादृच्छिक घटनाएँ जिनके समान अवसर होते हैं, कहलाती हैं समान रूप से संभव या सुसज्जित करने योग्य .

बोर्ड पर एक पोस्टर लगाएं।

मौखिक परीक्षा में, छात्र अपने सामने रखे गए टिकटों में से एक लेता है। किसी भी परीक्षा के टिकट लेने की संभावना समान है। एक पासा फेंकते समय 1 से 6 तक किसी भी संख्या में अंक प्राप्त करने की समान रूप से संभावना है, साथ ही एक सिक्का फेंकते समय "सिर" या "पूंछ"।

लेकिन सभी घटनाएं नहीं हैं समान रूप से संभव... अलार्म नहीं बज सकता है, प्रकाश बल्ब जल सकता है, बस टूट सकती है, लेकिन सामान्य परिस्थितियों में ऐसी घटनाएं होती हैं संभावना नहीं है। इस बात की अधिक संभावना है कि अलार्म बजेगा, बत्ती जलेगी और बस चल देगी।

कुछ घटनाएं संभावनाअधिक, इसका मतलब है कि वे अधिक संभावना रखते हैं - विश्वसनीय के करीब। दूसरों के पास कम संभावनाएं हैं, उनकी संभावना कम है - असंभव के करीब।

असंभव घटनाओं के घटित होने की कोई संभावना नहीं होती है, और विश्वसनीय घटनाओं के घटित होने का पूरा मौका होता है, यदि कुछ शर्तेंवे बिना असफलता के घटित होंगे।

उदाहरणपेट्या और कोल्या अपने जन्मदिन की तुलना करते हैं। घटना इस प्रकार है:

क) उनके जन्मदिन मेल नहीं खाते; (यादृच्छिक रूप से)

बी) उनके जन्मदिन समान हैं; (यादृच्छिक रूप से)

d) दोनों का जन्मदिन छुट्टियों पर पड़ता है - नया साल (1 जनवरी) और रूस का स्वतंत्रता दिवस (12 जून)। (यादृच्छिक रूप से)

3. कौशल और क्षमताओं का निर्माण

पाठ्यपुस्तक संख्या 000 से समस्या। निम्नलिखित में से कौन सी यादृच्छिक घटनाएँ विश्वसनीय, संभव हैं:

क) कछुआ बोलना सीखेगा;

बी) स्टोव पर केतली में पानी उबल जाएगा;

घ) आप लॉटरी में भाग लेकर जीतते हैं;

ई) आप जीत-जीत लॉटरी में भाग लेकर नहीं जीतेंगे;

च) आप शतरंज का खेल हार जाएंगे;

छ) आप कल एक एलियन से मिलेंगे;

ज) अगले सप्ताह मौसम खराब होगा; i) आपने कॉल को दबाया, लेकिन वह नहीं लगी; जे) आज गुरुवार है;

k) गुरुवार के बाद शुक्रवार होगा; l) क्या शुक्रवार के बाद गुरुवार होगा?

बक्सों में 2 लाल, 1 पीली और 4 हरी गेंदें हैं। तीन गेंदों को यादृच्छया बॉक्स से बाहर निकाला जाता है। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव, यादृच्छिक, विश्वसनीय है:

ए: तीन हरी गेंदें खींची जाएंगी;

प्रश्न: तीन लाल गेंदें निकाली जाएंगी;

सी: दो रंगों की गेंदें खींची जाएंगी;

डी: एक ही रंग की गेंदें खींची जाएंगी;

ई: लम्बी गेंदों के बीच नीला है;

एफ: लम्बी के बीच तीन रंगों की गेंदें हैं;

G: क्या फैली हुई गेंदों में से दो पीली गेंदें हैं?

खुद जांच करें # अपने आप को को। (गणित श्रुतलेख)

1) इंगित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएं असंभव हैं, जो विश्वसनीय हैं, जो यादृच्छिक हैं:

· फुटबॉल मैच "स्पार्टक" - "डायनमो" ड्रॉ में समाप्त होगा (यादृच्छिक रूप से)

आप जीत-जीत लॉटरी में भाग लेकर जीतेंगे ( विश्वसनीय)

आधी रात को गिरेगी बर्फ़ और 24 घंटे में चमकेगा सूरज (असंभव)

· कल गणित की परीक्षा होगी। (यादृच्छिक रूप से)

· आप संयुक्त राज्य अमेरिका के राष्ट्रपति चुने जाएंगे। (असंभव)

· आप रूस के राष्ट्रपति चुने जाएंगे। (यादृच्छिक रूप से)

2) आपने एक स्टोर में एक टीवी सेट खरीदा है, जिसके लिए निर्माता दो साल की वारंटी देता है। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, जो यादृच्छिक है, जो विश्वसनीय है:

· टीवी एक साल के भीतर खराब नहीं होगा। (यादृच्छिक रूप से)

दो साल तक नहीं टूटेगा टीवी ... (यादृच्छिक रूप से)

· दो साल के भीतर, आपको टीवी की मरम्मत के लिए भुगतान नहीं करना होगा। (विश्वसनीय)

· टीवी तीसरे वर्ष में टूट जाएगा। (यादृच्छिक रूप से)

3) 15 यात्रियों वाली बस को 10 स्टॉप बनाने होंगे। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, जो यादृच्छिक है, जो विश्वसनीय है:

· सभी यात्री अलग-अलग स्टॉप पर बस से उतरेंगे। (असंभव)

· सभी यात्री एक स्टॉप पर उतरेंगे। (यादृच्छिक रूप से)

· हर पड़ाव पर कम से कम कोई न कोई उतरता है। (यादृच्छिक रूप से)

· एक पड़ाव होगा जहां कोई नहीं उतरेगा। (यादृच्छिक रूप से)

· सम संख्या में यात्री सभी स्टॉप पर प्रस्थान करेंगे। (असंभव)

· विषम संख्या में यात्री सभी स्टॉप पर प्रस्थान करेंगे। (असंभव)

पाठ सारांश

छात्रों से प्रश्न:

यादृच्छिक घटनाओं को क्या कहा जाता है?

किन घटनाओं को समसंभाव्य कहा जाता है?

किन घटनाओं को विश्वसनीय कहा जाता है? असंभव?

किन घटनाओं को अधिक संभावना कहा जाता है? संभावना कम?

होम वर्क : पृष्ठ 9.3

000. विश्वसनीय, असंभव घटनाओं के साथ-साथ ऐसी घटनाओं के तीन उदाहरणों के बारे में सोचें जिनके बारे में यह नहीं कहा जा सकता है कि वे निश्चित रूप से घटित होंगी।

902. बॉक्स में 10 लाल, 1 हरे और 2 नीले पेन हैं। यादृच्छिक रूप से बॉक्स से दो हैंडल निकाले जाते हैं। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव, विश्वसनीय है:

ए: दो लाल हैंडल निकाले जाएंगे; प्रश्न: दो हरे हैंडल निकाले जाएंगे; सी: दो नीले हैंडल निकाले जाएंगे; डी: अलग-अलग रंगों के दो हैंडल निकाले जाएंगे;

E: क्या दो पेंसिलें निकाली जाएंगी? 03. ईगोर और दानिला सहमत हुए: यदि टर्नटेबल का तीर (अंजीर। 205) सफेद क्षेत्र पर रुक जाता है, तो येगोर बाड़ को पेंट करेगा, और यदि नीले क्षेत्र पर - दानिला। कौन सा लड़का बाड़ को पेंट करने की अधिक संभावना रखता है?

जिन घटनाओं (घटनाओं) का हम अवलोकन करते हैं, उन्हें निम्नलिखित तीन प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है: विश्वसनीय, असंभव और यादृच्छिक।

विश्वसनीयएक घटना कहा जाता है जो आवश्यक रूप से घटित होगी यदि शर्तों का एक निश्चित सेट एस लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी बर्तन में सामान्य वायुमंडलीय दबाव और 20 डिग्री के तापमान पर पानी होता है, तो घटना "पोत में पानी तरल अवस्था में है "विश्वसनीय है। इस उदाहरण में, सेट वायुमंडलीय दबाव और पानी का तापमान शर्तों का सेट एस है।

असंभवएक घटना है जो तब नहीं होगी जब शर्तों का सेट एस पूरा हो गया है। उदाहरण के लिए, घटना "पोत में पानी एक ठोस अवस्था में है" निश्चित रूप से नहीं होगा यदि पिछले उदाहरण की शर्तों का सेट पूरा हो गया है।

यादृच्छिक रूप सेएक घटना है कि, जब शर्तों का सेट एस पूरा हो जाता है, या तो हो सकता है या नहीं। उदाहरण के लिए, यदि कोई सिक्का फेंका जाता है, तो वह गिर सकता है ताकि या तो हथियारों का एक कोट या एक शिलालेख शीर्ष पर हो। इसलिए, घटना "जब सिक्का फेंका गया था," हथियारों का कोट "बाहर गिर गया - यादृच्छिक। प्रत्येक यादृच्छिक घटना, विशेष रूप से "हथियारों के कोट" का गिरना, बहुत सारे यादृच्छिक कारणों की कार्रवाई का परिणाम है (हमारे उदाहरण में: वह बल जिसके साथ सिक्का फेंका जाता है, सिक्के का आकार, और कई अन्य) ) इन सभी कारणों के परिणाम पर प्रभाव को ध्यान में रखना असंभव है, क्योंकि उनकी संख्या बहुत बड़ी है और उनकी कार्रवाई के नियम अज्ञात हैं। इसलिए, संभाव्यता सिद्धांत खुद को भविष्यवाणी करने का कार्य निर्धारित नहीं करता है कि कोई घटना घटित होगी या नहीं - यह बस ऐसा नहीं कर सकता है।

स्थिति अलग है यदि यादृच्छिक घटनाओं पर विचार किया जाता है जो समान परिस्थितियों में कई बार देखी जा सकती हैं एस, यानी, अगर हम बड़े पैमाने पर सजातीय यादृच्छिक घटनाओं के बारे में बात कर रहे हैं। यह पता चला है कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में सजातीय यादृच्छिक घटनाएं, उनकी विशिष्ट प्रकृति की परवाह किए बिना, कुछ कानूनों का पालन करती हैं, अर्थात् संभाव्य कानून। इन नियमितताओं की स्थापना संभाव्यता के सिद्धांत द्वारा की जाती है।

इस प्रकार, संभाव्यता सिद्धांत का विषय बड़े पैमाने पर सजातीय यादृच्छिक घटनाओं के संभाव्य कानूनों का अध्ययन है।

प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी की विभिन्न शाखाओं में संभाव्यता सिद्धांत विधियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत गणितीय और अनुप्रयुक्त आँकड़ों को प्रमाणित करने का कार्य भी करता है।

यादृच्छिक घटनाओं के प्रकार... घटनाओं को कहा जाता है असंगतयदि उनमें से एक की घटना उसी परीक्षण में अन्य घटनाओं की घटना को शामिल नहीं करती है।

उदाहरण। एक सिक्का फेंका जाता है। "हथियारों का कोट" की उपस्थिति शिलालेख की उपस्थिति को बाहर करती है। घटनाएँ "हथियारों का एक कोट दिखाई दिया" और "एक शिलालेख दिखाई दिया" असंगत हैं।

कई आयोजन फॉर्म पूरा समूहयदि उनमें से कम से कम एक परीक्षण के परिणामस्वरूप प्रकट होता है। विशेष रूप से, यदि एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाएँ परस्पर असंगत हैं, तो परीक्षण के परिणामस्वरूप इनमें से एक और केवल एक घटना दिखाई देगी। यह विशेष मामला हमारे लिए सबसे बड़ी दिलचस्पी का है, क्योंकि इसका उपयोग नीचे किया गया है।

उदाहरण 2. दो नकद लॉटरी टिकट खरीदे जाते हैं। निम्नलिखित में से एक और केवल एक घटना निश्चित रूप से होगी: "जीत पहले टिकट पर गिर गई और दूसरे पर नहीं गिरी", "जीत पहले टिकट पर नहीं गिरी और दूसरे पर गिर गई", " जीत दोनों टिकटों पर गिर गई", "दोनों टिकटों पर, जीत बाहर नहीं हुई।" ये घटनाएँ जोड़ीदार असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।

उदाहरण 3. शूटर ने निशाने पर एक गोली चलाई। निम्नलिखित दो घटनाओं में से एक निश्चित रूप से घटित होगी: हिट, मिस। ये दो असंगत घटनाएँ एक पूर्ण समूह बनाती हैं।

घटनाओं को कहा जाता है समान रूप से संभवअगर यह मानने का कारण है कि उनमें से कोई भी दूसरे से ज्यादा संभव नहीं है।

उदाहरण 4. एक सिक्के को उछालने पर "हथियारों का कोट" और एक शिलालेख की उपस्थिति समान रूप से संभव घटनाएँ हैं। वास्तव में, यह माना जाता है कि सिक्का एक सजातीय सामग्री से बना है, एक नियमित बेलनाकार आकार है, और ढलाई की उपस्थिति सिक्के के एक या दूसरे पक्ष के नतीजे को प्रभावित नहीं करती है।

खुद का पदनाम बड़े अक्षरलैटिन वर्णमाला: ए, बी, सी, .. ए 1, ए 2 ..

केवल दो संभावित निकाय जो एक पूर्ण समूह बनाते हैं, विपरीत कहलाते हैं। यदि दोनों में से एक विरोधी। घटनाओं को ए द्वारा दर्शाया जाता है, फिर अन्य को ए द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण 5. लक्ष्य - विपरीत क्षेत्र पर फायरिंग करते समय मारना और गायब होना। इसलिए मैं।