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दो विश्वसनीय यादृच्छिक और असंभव घटनाएं। पाठ का विषय: "यादृच्छिक, विश्वसनीय और असंभव घटनाओं। प्रत्यक्ष संभावना गणना के कार्य

30.03.2021

1.1। संयोजक से कुछ जानकारी

1.1.1। निवास

वस्तुओं के एक निश्चित सेट की पसंद और स्थान से जुड़े सबसे सरल अवधारणाओं पर विचार करें।
संभावित कार्यों को हल करते समय इन कार्रवाइयों की संख्या की संख्या की गणना की जा सकती है।
परिभाषा। निभाव एन में तत्व क। (क। ≤ एन) किसी भी आदेशित सबसेट कहा जाता है क।सेट के तत्व शामिल हैं एन विभिन्न तत्व।
उदाहरण।संख्याओं के निम्नलिखित अनुक्रमों को सेट के 3 सेट के 2 तत्व रखा गया है (1; 2; 3): 12, 13, 23, 21, 31, 32।
ध्यान दें कि प्लेसमेंट उन तत्वों और उनकी संरचना में शामिल तत्वों की प्रक्रिया द्वारा विशेषता है। 12 और 21 रखने से समान संख्याएं होती हैं, लेकिन उनके स्थान का क्रम अलग होता है। इसलिए, इन आवासों को अलग माना जाता है।
से विभिन्न आवासों की संख्या एन में तत्व क। यह सूत्र द्वारा इंगित और गणना की जाती है:
,
कहा पे एन! = 1∙2∙...∙(एन - 1)∙ एन (पढ़ें " एन - फैक्टोरियल ")।
दो अंकों की संख्या की संख्या जो संख्या 1, 2, 3 से बनाई जा सकती है, बशर्ते कि कोई अंक दोहराया जाए :.

1.1.2। पुन: व्यवस्थित

परिभाषा। से अनुमति एन तत्वों को इस तरह के आवास कहा जाता है एन तत्व जो केवल तत्वों के स्थान पर भिन्न होते हैं।
परम्यूटेशन की संख्या है एन तत्वों पी एन सूत्र द्वारा गणना: पी एन=एन!
उदाहरण।एक कतार 5 लोग कितने तरीके हो सकते हैं? तरीकों की संख्या 5 तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है, यानी
पी 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
परिभाषा। अगर के बीच एन तत्वों क। वही, फिर इन का क्रमपरिवर्तन एनतत्वों को पुनरावृत्ति के साथ पुनर्गठन कहा जाता है।
उदाहरण।6 पुस्तकों के बीच 2 समान हैं। शेल्फ पर सभी पुस्तकों का कोई भी स्थान - पुनरावृत्ति के साथ पुनर्व्यरण।
पुनरावृत्ति के साथ विभिन्न पुनर्गठन की संख्या (से) एन जिनमें से तत्व क।वही) सूत्र द्वारा गणना की जाती है :.
हमारे उदाहरण में, शेल्फ पर रखे जाने वाले तरीकों की संख्या, साथ ही साथ :.

1.1.3। मेल

परिभाषा । से संयोजन एन में तत्व क। इस तरह के आवास कहा जाता है एन में तत्व क।जो अन्य में से एक कम से कम एक तत्व होता है।
से विभिन्न संयोजनों की संख्या एन में तत्व क। यह सूत्र द्वारा इंगित और गणना की जाती है :.
परिभाषा 0! \u003d 1।
संयोजनों के लिए, निम्नलिखित गुण मान्य हैं:
1.
2.
3.
4.
उदाहरण। विभिन्न रंगों के 5 फूल हैं। चयनित 3 फूल के गुलदस्ते के लिए। 5 में से 3 फूलों के विभिन्न गुलदस्ते की संख्या है :.

1.2। यादृच्छिक घटनाक्रम

1.2.1। आयोजन

प्राकृतिक विज्ञान में वास्तविकता का ज्ञान परीक्षण (प्रयोग, अवलोकन, अनुभव) के परिणामस्वरूप होता है।
परीक्षा या अनुभव को उन स्थितियों के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन कहा जाता है जिन्हें मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में पुन: उत्पन्न किया जा सकता है।
बिना सोचे समझे इसे एक घटना कहा जाता है जो एक निश्चित परीक्षण (अनुभव) के परिणामस्वरूप हो सकता है या नहीं होता है।
इस प्रकार, घटना को परीक्षा परिणाम माना जाता है।
उदाहरण। फेंकने सिक्के एक परीक्षण है। फेंकने पर एक ईगल की उपस्थिति - एक घटना।
हमारे द्वारा देखी गई घटनाएं उनकी उपस्थिति और उनके रिश्ते की प्रकृति की संभावना की डिग्री में भिन्न होती हैं।
घटना को बुलाया जाता है विश्वसनीय यदि यह आवश्यक रूप से इस परीक्षण के परिणामस्वरूप होता है।
उदाहरण। परीक्षा में सकारात्मक या नकारात्मक मूल्यांकन छात्र प्राप्त करना एक विश्वसनीय घटना है यदि परीक्षा सामान्य नियमों के अनुसार होती है।
घटना को बुलाया जाता है असंभव यदि यह इस परीक्षण के परिणामस्वरूप नहीं हो सकता है।
उदाहरण। सफेद गेंद को हटाकर पैदा हुआ, जिसमें केवल रंगीन (गैर-पनीर) गेंदें हैं, एक घटना असंभव है। ध्यान दें कि अन्य स्थितियों के तहत, एक सफेद गेंद की उपस्थिति का अनुभव बहिष्कृत नहीं किया गया है; इस प्रकार, यह घटना केवल हमारे अनुभव की स्थितियों में असंभव है।
इसके अलावा, यादृच्छिक घटनाओं को बड़े लैटिन अक्षरों ए, बी, सी द्वारा दर्शाया जाएगा ... एक विश्वसनीय घटना ω, असंभव - Ø द्वारा दर्शाया जाएगा।
दो या अधिक घटनाओं को बुलाया जाता है बराबर संभव इस परीक्षण में, यदि विश्वास करने का कारण है कि इनमें से कोई भी घटना दूसरों की तुलना में अधिक या कम संभव नहीं है।
उदाहरण।एक खेलने की हड्डी फेंकने के साथ, 1, 2, 3, 4, 5 और 6 अंक की उपस्थिति - ये सभी घटनाएं संतुलन हैं। बेशक, खेल की हड्डी सजातीय सामग्री से बना है और इसका सही रूप है।
दो घटनाओं को बुलाया जाता है नॉन-बेड इस परीक्षण में, यदि उनमें से एक दूसरे की उपस्थिति को समाप्त करता है, और संयुक्त अन्यथा।
उदाहरण। बॉक्स में मानक और गैर-मानक विवरण हैं। हम सौभाग्य के लिए एक विवरण लेते हैं। मानक भाग की उपस्थिति गैर-मानक भाग की उपस्थिति को समाप्त करती है। ये घटनाएं अपूर्ण हैं।
कई घटनाएँ घटनाओं का पूरा समूह इस परीक्षण में, यदि, इस परीक्षण के परिणामस्वरूप, उनमें से कम से कम एक आ जाएगा।
उदाहरण।उदाहरण से घटनाएं समान और जोड़ी अधूरी घटनाओं का एक पूर्ण समूह बनाती हैं।
इस परीक्षण में घटनाओं का एक पूर्ण समूह बनाने वाली दो अपूर्ण घटनाओं को बुलाया जाता है विपरीत घटनाक्रम.
यदि उनमें से एक के माध्यम से संकेत दिया जाता है ए।, फिर दूसरा (पढ़ा "के माध्यम से नामित करने के लिए प्रथागत है ए।»).
उदाहरण। एक बिंदु शॉट पर खुफिया और याद आती है - घटनाएं विपरीत हैं।

1.2.2। शास्त्रीय संभावना परिभाषा

एक घटना की संभावना - आक्रामक की संभावना का संख्यात्मक उपाय।
प्रतिस्पर्धा लेकिन अ बुला हुआ अनुकूल प्रतिस्पर्धा मेंयदि हर बार कोई घटना होती है लेकिन अघटना होती है में.
आयोजन लेकिन अ 1 , लेकिन अ 2 , ..., लेकिन अ एन प्रपत्र मामलों की योजना , यदि वे:
1) संतुलन;
2) जोड़े में असंगत हैं;
3) एक पूर्ण समूह बनाएं।
मामलों की योजना में (और केवल इस योजना में) एक क्लासिक संभाव्यता परिभाषा है पी(ए।) आयोजन लेकिन अ। यहां, मामला समकक्ष के आवंटित पूर्ण समूह और जोड़ी अधूरी घटनाओं के आवंटित पूर्ण समूह से संबंधित प्रत्येक कार्यक्रम कहा जाता है।
यदि एक एन - योजना में सभी मामलों की संख्या, और म। - घटनाओं के लिए अनुकूल मामलों की संख्या लेकिन अटी एक घटना की संभावना लेकिन अ समानता द्वारा निर्धारित:

संभावना की परिभाषा से, निम्नलिखित गुण प्रवाह:
1. एक विश्वसनीय घटना की संभावना एक के बराबर है।
दरअसल, यदि घटना विश्वसनीय रूप से है, तो मामले की योजना में प्रत्येक मामला घटना का पक्ष लेता है। इस मामले में म। = एन और इसलिए,

2. एक असंभव घटना की संभावना शून्य है।
दरअसल, यदि घटना असंभव है, तो मामले की योजना से कोई भी मामला किसी घटना का पक्ष नहीं लेता है। इसलिये म।\u003d 0 और इसलिए

एक यादृच्छिक घटना की संभावना शून्य और इकाई के बीच एक सकारात्मक संख्या समाप्त होती है।
दरअसल, मामलों की योजना में कुल घटनाओं का केवल एक हिस्सा यादृच्छिक घटना के लिए अनुकूल है। इसलिए 0।<म।<एन, तो, फिर 0<म।/एन<1 и, следовательно, 0 < पी (ए) < 1.
तो, किसी भी घटना की संभावना असमानताओं को संतुष्ट करती है
0 ≤ पी (ए) ≤ 1.
वर्तमान में, संभाव्यता गुण एएन द्वारा तैयार एक्सीओम के रूप में निर्धारित किए जाते हैं। Kolmogorov
क्लासिक संभाव्यता निर्धारण के मुख्य लाभों में से एक सीधे घटना की संभावना की गणना करने की क्षमता है, यानी। प्रयोगों का सहारा लेने के बिना जो तार्किक तर्क को प्रतिस्थापित करते हैं।

प्रत्यक्ष संभावना गणना के कार्य

कार्य 1.1।। एक खेल घन फेंकने के साथ अंक की संख्या (घटना ए) के उद्भव की संभावना क्या है?
फेसला। घटनाओं पर विचार करें लेकिन अ मैं। - गिर गया मैं। चश्मा मैं।\u003d 1, 2, ..., 6। जाहिर है, ये घटनाएं मामलों की योजना बनाती हैं। फिर सभी मामलों की संख्या एन \u003d 6. अंकों की एक संख्या का प्रयोग मामलों द्वारा अनुकूल है लेकिन अ 2 , लेकिन अ 4 , लेकिन अ 6, यानी म।\u003d 3. फिर .
कार्य 1.2।। 5 सफेद और 10 काले गेंदों के उर में। गेंदों को अच्छी तरह मिलाया जाता है और फिर बारिश 1 गेंद। संभावना क्या है कि प्रकट गेंद सफेद होगी?
फेसला। कुल मिलाकर 15 मामले हैं जो मामलों की योजना बनाते हैं। और अपेक्षित घटना लेकिन अ - एक सफेद कटोरे की उपस्थिति, उनमें से 5 पक्ष, इसलिए .
कार्य 1.3।। बच्चा वर्णमाला के छह अक्षरों के साथ खेलता है: ए, ए, ई, के, आर, टी। संभावना का पता लगाएं कि वह कैरिज (घटना ए) की चुनौती को फोल्ड करने में सक्षम होगा।
फेसला। निर्णय इस तथ्य से जटिल है कि अक्षरों में समान हैं - दो अक्षर "ए"। इसलिए, इस परीक्षण में सभी संभावित मामलों की संख्या 6 अक्षरों की पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है:
.
ये मामले बराबर हैं, जोड़े में असंगत हैं और घटनाओं का एक पूर्ण समूह बनाते हैं, यानी मामलों की योजना बनाएं। केवल एक मामला घटना का समर्थन करता है लेकिन अ। इसलिये
.
कार्य 1.4।। तान्या और वान्या ने 10 लोगों की कंपनी में नए साल का जश्न मनाने पर सहमति व्यक्त की। वे दोनों वास्तव में पास में बैठना चाहते थे। यदि उनके दोस्तों के बीच बहुत कुछ वितरित करने के लिए कोई जगह है, तो उनकी इच्छा की संभावना क्या है?
फेसला। द्वारा निरूपित करना लेकिन अ घटना "तान्या और वान्या की इच्छा का निष्पादन"। 10 लोग टेबल 10 पर दबा सकते हैं! विभिन्न तरीके। इनमें से कितने एन \u003d 10! तन्या और वान्या के लिए समान तरीके अनुकूल हैं? तान्या और वान्या पास में बैठे, 20 अलग-अलग पदों को ले सकते हैं। उसी समय, उनके आठ मित्र तालिका 8 पर बैठ सकते हैं! विभिन्न तरीकों से, इसलिए म। \u003d 20 ∙ 8! इसलिये,
.
कार्य 1.5।। 5 महिलाओं और 20 पुरुषों का एक समूह तीन प्रतिनिधियों को चुनता है। यह मानते हुए कि एक ही संभाव्यता के साथ मौजूद लोगों में से प्रत्येक का चयन किया जा सकता है, संभावना को ढूंढें कि वे दो महिलाओं और एक आदमी का चयन करेंगे।
फेसला। संतुलन परीक्षण परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों के बराबर है जो आप 25 लोगों से तीन प्रतिनिधियों को चुन सकते हैं, यानी । अब हम पसंदीदा मामलों की संख्या की गणना करते हैं, यानी। उन मामलों की संख्या जिसमें हम रुचि रखते हैं। प्रतिनिधि को बीस तरीके चुना जा सकता है। साथ ही, शेष दो प्रतिनिधियों को महिलाएं होनी चाहिए, और आप दो महिलाओं को पांच से चुन सकते हैं। इसलिये, । इसलिये
.
कार्य 1.6। चार गेंदें चार छेद पर बेतरतीब ढंग से तितरती हैं, प्रत्येक गेंद एक ही संभाव्यता के साथ और एक और अच्छी तरह से दूसरों के बावजूद प्रवेश करती है (उसी में एक ही और कई गेंदों के समान)। यह मौका पाएं कि तीन गेंदें कुएं में से एक में होंगी, दूसरे के लिए, और दूसरे बाएं छेद में कोई गेंद नहीं होगी।
फेसला। मामलों की कुल संख्या एन\u003d 4 4। एक छेद चुनने के तरीकों की संख्या जहां तीन गेंदें हैं ,. एक अच्छी तरह से चुनने के तरीकों की संख्या जहां एक गेंद होगी ,. चार गेंदों में से चुनने के तरीकों की संख्या तीन उन्हें पहले छेद में डालने के लिए ,. अनुकूल मामलों की कुल संख्या। घटना संभावना:
कार्य 1.7।संख्या 1, 2, ... के साथ चिह्नित एक ही गेंद के दराज 10 में, 10. छह गेंदों को अच्छी किस्मत के लिए निकाला जाता है। निकाली गई गेंदों में से एक संभावना का पता लगाएं: ए) गेंद संख्या 1; बी) गेंदों №1 और №2।
फेसला। ए) संभावित प्राथमिक परीक्षण परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिन्हें दस में से छह गेंदों को हटाया जा सकता है, यानी।
हमें आपकी रुचि रखने वाली घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या मिलेगी: चयनित छः गेंदों में गेंद संख्या 1 है और इसलिए, अन्य पांच गेंदों में अन्य कमरे हैं। ऐसे परिणामों की संख्या स्पष्ट रूप से शेष नौ से पांच गेंदों का चयन करने के तरीकों की संख्या के बराबर है, यानी
वांछित संभावना परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर है, इस घटना के लिए अनुकूल है, संभावित प्राथमिक परिणामों की कुल संख्या:
बी) आपके द्वारा रुचि रखने वाली घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या (चयनित गेंदों के बीच गेंदों संख्या 1 और संख्या 2 हैं, इसलिए चार गेंदों में अन्य संख्याएं हैं), उन तरीकों के बराबर हैं जिन्हें आप चार गेंदों को हटा सकते हैं शेष आठ, यानी संभावना कहना

1.2.3। सांख्यिकीय संभावना

संभावना की सांख्यिकीय परिभाषा इस मामले में प्रयोग की जाती है जब अनुभव के परिणाम बराबर नहीं होते हैं।
सापेक्ष घटना आवृत्ति लेकिन अ समानता द्वारा निर्धारित:
,
कहा पे म। - घटनाओं की संख्या जिसमें घटना लेकिन अ आया एन - परीक्षणों की कुल संख्या।
हां बर्नौली ने साबित किया कि प्रयोगों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, घटना की सापेक्ष आवृत्ति लगभग एक निश्चित संख्या से अलग होगी। यह पता चला कि यह निरंतर संख्या एक घटना की संभावना है। इसलिए, स्वाभाविक रूप से, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों की सापेक्ष आवृत्ति को पहले पेश की गई संभावना के विपरीत सांख्यिकीय संभावना कहा जाता है।
उदाहरण 1.8।। लगभग झील में मछली की संख्या कैसे सेट करें?
झील में चलो एच मछली। नेटवर्क फेंक दें और आपको इसमें खोजने की अनुमति दें एन मछली। उनमें से प्रत्येक मेथिम है और वापस रिलीज है। कुछ दिनों बाद एक ही मौसम में और उसी स्थान पर हम एक ही नेटवर्क फेंकते हैं। मान लीजिए कि हमें इसमें एम मछली मिलती है, जिनमें से क। लेबल। घटना को छोड़ दें लेकिन अ - "पकड़ा मछली महिला।" फिर सापेक्ष आवृत्ति निर्धारित करने के लिए।
लेकिन अगर झील में एच मछली और हमने इसे जारी किया एन लेबल, फिर।
जैसा आर * (लेकिन अ) » आर(लेकिन अ), फिर।

1.2.4। घटनाओं पर संचालन। संभाव्यता जोड़ प्रमेय

योग, या एसोसिएशन, कई घटनाओं को एक घटना कहा जाता है जिसमें इन घटनाओं में से कम से कम एक घटना (उसी परीक्षण में) की घटना होती है।
योग लेकिन अ 1 + लेकिन अ 2 + … + लेकिन अ एन इस तरह नामित:
या .
उदाहरण। दो बज रहे हड्डियों की भीड़। घटना को छोड़ दें लेकिन अ इसमें 1 हड्डी, और एक घटना पर 4 अंक गिरने में शामिल हैं में - दूसरी हड्डी पर 5 अंक गिरने में। आयोजन लेकिन अ तथा में संयुक्त रूप से। इसलिए घटना लेकिन अ +में इसमें पहली हड्डी पर 4 अंक गिरने, या दूसरी हड्डी पर 5 अंक, या पहली हड्डी पर 4 अंक और दूसरे स्थान पर 5 अंक शामिल हैं।
उदाहरण। प्रतिस्पर्धा लेकिन अ - जीत 1 ऋण, घटना में - 2 ऋण जीतना। फिर घटना ए + बी। - कम से कम एक ऋण जीतना (शायद दो पर तुरंत)।
काम या कई घटनाओं का चौराहे घटना है जिसमें इन सभी घटनाओं की संयुक्त उपस्थिति (उसी परीक्षण में) शामिल है।
रचना में आयोजन लेकिन अ 1 , लेकिन अ 2 , …, लेकिन अ एन इस तरह नामित:
.
उदाहरण। आयोजन लेकिन अ तथा में संस्थान में प्रवेश करते समय क्रमशः I और II पर्यटन के सफल मार्ग में शामिल हैं। फिर घटना लेकिन अ× बी। इसमें दोनों पर्यटन के सफल मार्ग में शामिल हैं।
घटनाओं की राशि और कार्य की अवधारणाओं में एक दृश्य ज्यामितीय व्याख्या होती है। घटना को छोड़ दें लेकिन अ क्षेत्र में एक बिंदु है लेकिन अ, और घटना में - क्षेत्र को अंक प्राप्त करना में। फिर घटना ए + बी। इन क्षेत्रों (चित्र 2.1), और घटना के संयोजन में प्रवेश करने से एक बिंदु है लेकिन अमें इन क्षेत्रों के चौराहे में एक बिंदु है (चित्र 2.2)।

अंजीर। 2.1 अंजीर। 2.2।
प्रमेय। अगर घटनाएं एक I.(मैं। = 1, 2, …, एन) जोड़े में असंगत हैं, घटनाओं की मात्रा की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है:
.
रहने दो लेकिन अ तथा Ā - विपरीत घटनाएं, यानी A + ā। \u003d Ω, जहां ω एक विश्वसनीय घटना है। इसके अलावा प्रमेय, यह इस प्रकार है
पी (ω) \u003d आर(लेकिन अ) + आर(Ā ) \u003d 1, तो
आर(Ā ) = 1 – आर(लेकिन अ).
अगर घटनाएं लेकिन अ 1 I लेकिन अ 2 एक साथ हैं, दो संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना है:
आर(लेकिन अ 1 + लेकिन अ 2) = आर(लेकिन अ 1) + आर(लेकिन अ 2) - पी ( लेकिन अ 1 × लेकिन अ 2).
संभाव्यता जोड़ प्रमेय आपको जटिल घटनाओं की घटना की संभावना निर्धारित करने के लिए सीधे संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है।
कार्य 1.8।। शूटर एक लक्ष्य शॉट का उत्पादन करता है। संभावना 10 अंक (घटना) को खटखटाती है लेकिन अ), 9 अंक (घटना) में) और 8 अंक (घटना) से) क्रमशः बराबर हैं, 0.11; 0.23; 0.17। संभावना का पता लगाएं कि एक शूटर शूटर के साथ 8 अंक से कम (घटना) का चयन करेगा डी).
फेसला। आइए हम विपरीत घटना में जाएं - एक शॉट शूटर के साथ, कम से कम 8 अंक होंगे। घटना तब होती है जब होता है लेकिन अ या में, या से। । घटनाओं के बाद से ए, बी।, से जोड़े में असंगत हैं, फिर, इसके अलावा प्रमेय,
कहाँ से।
कार्य 1.9।। एक ब्रिगेड की टीम से, जिसमें 6 पुरुष और 4 महिलाएं होती हैं, दो लोगों को ट्रेड यूनियन सम्मेलन के लिए चुना जाता है। कम से कम एक महिला (घटना) के बीच की संभावना क्या है लेकिन अ).
फेसला। यदि कोई घटना होती है लेकिन अयह निश्चित रूप से निम्नलिखित अपूर्ण घटनाओं में से एक होगा: में - "पुरुष और महिला ने चुना"; से - "दो महिलाएं चुनी गईं।" इसलिए, आप लिख सकते हैं: ए \u003d बी + सी। घटनाओं की संभावना का पता लगाएं में तथा से। 10 के दो लोगों को तरीकों से चुना जा सकता है। 4 से दो महिलाओं को तरीकों से चुना जा सकता है। पुरुष और महिला 6 × 4 तरीके चुन सकते हैं। फिर। घटनाओं के बाद से में तथा से असंगत, फिर, के अलावा प्रमेय,
P (a) \u003d p (b + c) \u003d p (b) + p (के साथ)) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
कार्य 1.10। यादृच्छिक क्रम में लाइब्रेरी में रैक पर, 15 पाठ्यपुस्तकों को रखा गया है, और उनमें से पांच बाध्यकारी में हैं। लाइब्रेरियन पहली पाठ्यपुस्तक लेता है। संभावना का पता लगाएं कि कम से कम एक टैंटेड पाठ्यपुस्तकों में से एक बाध्यकारी (घटना) में होगा लेकिन अ).
फेसला। पहला तरीका। आवश्यकता कम से कम तीन बाध्यकारी पाठ्यपुस्तकों में से एक है - यदि निम्न में से कोई भी असंगत घटनाएं होती हैं तो लागू की जाएगी: में - एक बाध्यकारी ट्यूटोरियल से - दो बाध्यकारी पाठ्यपुस्तक, डी - तीन बाध्यकारी पाठ्यपुस्तकें।
जिस घटना में आप रुचि रखते हैं लेकिन अ आप घटनाओं की मात्रा के रूप में कल्पना कर सकते हैं: ए \u003d बी + सी + डी। इसके अलावा प्रमेय,
पी (ए) \u003d पी (बी) + पी (सी) + पी (डी)। (2.1)
घटनाओं की संभावना का पता लगाएं बी, सी। तथा डी (कॉम्बिनेटोरियल स्कीम देखें):

समानता (2.1) में इन संभावनाओं को प्रस्तुत करना, अंत में प्राप्त करें
पी (ए)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
दूसरा तरीका। प्रतिस्पर्धा लेकिन अ (कम से कम तीन पाठ्यपुस्तकों में से एक बाध्यकारी है) और Ā (किसी भी उलझन वाली पाठ्यपुस्तकों में से कोई भी बाध्यकारी नहीं है) - इसलिए, P (a) + p (ā)) \u003d 1 (दो विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 है)। यहां से पी (ए।) = 1 – पी (ā)। घटना उपस्थिति की संभावना Ā (टैंटेड पाठ्यपुस्तकों में से कोई भी बाध्यकारी नहीं है)
संभावना कहना
पी (ए।) = 1 - पी (ā)) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5। सशर्त संभाव्यता। संभाव्यता गुणात्मक प्रमेय

सशर्त संभाव्यता पी (बी)/लेकिन अ) इसे इस धारणा में गणना की गई घटना की संभावना कहा जाता है कि घटना पहले ही आ गई है।
प्रमेय। दो घटनाओं की संयुक्त उपस्थिति की संभावना अन्य की सशर्त संभावना पर उनमें से एक की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है, इस धारणा में गणना की गई है कि पहली घटना पहले ही आ गई है:
पी (ए।∙ग) \u003d पी (ए)) ∙ पी ( में/लेकिन अ). (2.2)
दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से किसी की उपस्थिति दूसरे की संभावना को नहीं बदलता है, यानी
पी (ए) \u003d पी (ए / इन) या पी (बी)) = पी (बी)/लेकिन अ). (2.3)
अगर घटनाएं लेकिन अ तथा में स्वतंत्र, फिर सूत्रों (2.2) और (2.3) से निम्नानुसार है
पी (ए।∙ग) \u003d पी (ए))∙पी (बी)). (2.4)
निष्पक्ष और रिवर्स स्टेटमेंट, यानी यदि समानता (2.4) दो घटनाओं के लिए किया जाता है, तो ये घटनाएं स्वतंत्र होती हैं। वास्तव में, सूत्रों (2.4) और (2.2) प्रवाह से
पी (ए।∙ग) \u003d पी (ए))∙पी (बी)) = पी (ए।) × पी (बी)/लेकिन अ), से पी (ए।) = पी (बी)/लेकिन अ).
फॉर्मूला (2.2) घटनाओं की सीमित संख्या के मामले में एक सामान्यीकरण स्वीकार करता है लेकिन अ 1 , लेकिन अ 2 ,…,एक एन।:
पी (ए। 1 ∙लेकिन अ 2 ∙…∙एक एन।)=पी (ए। 1)∙पी (ए। 2 /लेकिन अ 1)∙पी (ए। 3 /लेकिन अ 1 लेकिन अ 2)∙…∙पी (और एन/लेकिन अ 1 लेकिन अ 2 …एक एन। -1).
कार्य 1.11। Urn से, जिसमें 5 सफेद और 10 काले गेंदें, एक पंक्ति में दो गेंदों को बाहर निकालें। मौका खोजें कि दोनों सफेद गेंदें (घटना) लेकिन अ).
फेसला । घटनाओं पर विचार करें: में - पहली पता चला गेंद सफेद; से - दूसरे ने बॉल व्हाइट का खुलासा किया। फिर ए \u003d सूर्य।.
अनुभव दो तरीकों से आयोजित किया जा सकता है:
1) रिटर्न के साथ: कलर को रंग लौटने के बाद प्रकट गेंद। इस मामले में, घटनाक्रम में तथा सेस्वतंत्र:
P (a) \u003d p (में))∙पी (एस)) \u003d 5/15 × 5/15 \u003d 1/9;
2) वापसी के बिना: कटोरा पक्ष में जमा किया जाता है। इस मामले में, घटनाक्रम में तथा से आश्रित:
P (a) \u003d p (में))∙पी (एस)/में).
घटना के लिए में पूर्व शर्त, और के लिए से स्थिति बदल गई है। हुआ मेंइसलिए 14 गेंदें उर में बनी रहे, जिनमें से 4 गोरे हैं।
इसलिए, ।
कार्य 1.12।। 50 प्रकाश बल्ब 3 गैर मानक के बीच। एक ही समय में दो गैर-मानक प्रकाश बल्बों की संभावना को ढूंढें।
फेसला । घटनाओं पर विचार करें: लेकिन अ - पहला दीपक गैर मानक है, में - दूसरा दीपक गैर मानक है, से - दोनों हल्के बल्ब। यह स्पष्ट है कि सी \u003d ए।∙में। प्रतिस्पर्धा लेकिन अ 3 मामले 50 संभव से अनुकूल हैं, यानी पी (ए।) \u003d 3/50। अगर घटना लेकिन अ पहले ही आ गया है, फिर घटना में 49 संभवतः 49 संभवतः दो मामले, यानी पी (बी)/लेकिन अ) \u003d 2/49। इसलिये,
.
कार्य 1.13। । दो एथलीट स्वतंत्र रूप से एक लक्ष्य को शूट करते हैं। पहले एथलीट के लक्ष्य को मारने की संभावना 0.7 है, और दूसरा 0.8 है। लक्ष्य क्या है कि लक्ष्य आश्चर्यचकित होगा?
फेसला । लक्ष्य आश्चर्यचकित होगा यदि या तो पहले तीर इसमें गिर जाएंगे, या दूसरा, या दोनों एक साथ, यानी घटना हो जाएगी ए + बी।जहां घटना लेकिन अ लक्ष्य में पहले एथलीट में निहित है, और घटना में - दूसरा। फिर
पी (ए।+में)=पी (ए।)+पी (बी))–पी (ए।∙में)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
कार्य 1.14।रीडिंग रूम में संभावनाओं के सिद्धांत पर छह पाठ्यपुस्तक हैं, जिनमें से बाध्यकारी में तीन हैं। गड्डी के लाइब्रेरियन ने दो पाठ्यपुस्तकें लीं। संभावना का पता लगाएं कि दो पाठ्यपुस्तक बाध्यकारी में होंगी।
फेसला। हम घटनाओं के पदों का परिचय देते हैं : ए। - पहले ट्यूटोरियल में एक बाध्यकारी है, में - दूसरी पाठ्यपुस्तक में बाध्यकारी है। संभावना है कि पहली पाठ्यपुस्तक में बाध्यकारी है,
पी (ए।) = 3/6 = 1/2.
यह संभावना है कि दूसरी पाठ्यपुस्तक में बाध्यकारी है, बशर्ते पहला ट्यूटोरियल बाध्यकारी में था, यानी। एक घटना की सशर्त संभावना मेंऐसा है: पी (बी)/लेकिन अ) = 2/5.
वांछित संभावना है कि दोनों पाठ्यपुस्तकों का बाध्यकारी है, घटनाओं की घटनाओं के गुणात्मक प्रमेय के बराबर है
पी (एबी।) = पी (ए।) ∙ पी (बी)/लेकिन अ) \u003d 1/2 · ∙ 2/5 \u003d 0.2।
कार्य 1.15। कार्यशाला में 7 पुरुष और 3 महिलाएं हैं। टैबलेट संख्याओं पर तीन लोगों का चयन किया गया था। संभावना का पता लगाएं कि सभी चयनित व्यक्ति पुरुष होंगे।
फेसला। हम घटना नोटेशन शुरू करते हैं: ए। - पहला आदमी है, में - दूसरा एक आदमी का चयन किया जाता है, से - तीसरा चयनित आदमी। यह संभावना है कि आदमी का चयन करने वाला पहला व्यक्ति होगा, पी (ए।) = 7/10.
यह संभावना है कि दूसरा एक व्यक्ति द्वारा चुना गया है, बशर्ते कि आदमी पहले से ही चुना गया हो, यानी। एक घटना की सशर्त संभावना में अगला : पी (बी / ए) = 6/9 = 2/3.
संभावना है कि तीसरा एक आदमी द्वारा चुना जाएगा, बशर्ते कि दो लोगों को पहले ही चुना जा सके, यानी। एक घटना की सशर्त संभावना से ऐसा है: पी (सी।/ए.यू.) = 5/8.
वांछित संभावना है कि सभी तीन चयनित व्यक्ति पुरुष होंगे, पी (एबीसी) \u003d पी (ए) पी (बी)/लेकिन अ) पी (सी।/ए.यू.) \u003d 7/10 · 2/3 · 5/8 \u003d 7/24।

1.2.6। पूर्ण संभावना और बेयस फॉर्मूला का सूत्र

रहने दो बी 1 , बी 2 ,…, बी एन। - अपूर्ण घटनाओं (परिकल्पना) के जोड़े और लेकिन अ - एक घटना जो केवल उनमें से एक के साथ हो सकती है।
चलो, इसके अलावा, हम जानते हैं पी (बी मैं) मैं। पी (ए।/बी मैं) (मैं। = 1, 2, …, एन).
इन स्थितियों के तहत, सूत्र मान्य हैं:
(2.5)
(2.6)
फॉर्मूला (2.5) कहा जाता है फॉर्मूला पूर्ण संभावना । यह एक घटना की संभावना की गणना करता है। लेकिन अ (पूर्ण संभावना)।
फॉर्मूला (2.6) कहा जाता है बेयस फॉर्मूला । यह आपको एक घटना होने पर परिकल्पना की संभावनाओं को पुनर्स्थापित करने की अनुमति देता है लेकिन अ हुआ।
उदाहरणों की तैयारी में, यह मानना \u200b\u200bसुविधाजनक है कि परिकल्पना एक पूर्ण समूह बनाती है।
कार्य 1.16।। एक किस्म के चार पेड़ों के साथ टोकरी सेब में। सभी सेब के पहले - 15% से, दूसरे - 35% से, चौथे - 30% से तीसरे - 20% से। पके हुए सेब क्रमश: 99%, 9 7%, 98%, 9 5% हैं।
a) यादृच्छिक रूप से ऐप्पल की संभावना क्या है (घटना) लेकिन अ).
बी) बशर्ते यादृच्छिक रूप से, ऐप्पल परिपक्व था, जो कि पहले पेड़ से संभावना की गणना करता था।
फेसला। ए) हमारे पास 4 परिकल्पनाएं हैं:
बी 1 - पहले पेड़ से लिया गया रैग्ड ऐप्पल पर;
बी 2 - रैग्ड ऐप्पल पर दूसरे पेड़ से लिया गया;
बी 3 - रैग्ड ऐप्पल पर तीसरे पेड़ से लिया गया;
बी 4 - चौथे पेड़ से लिया गया रैग्ड ऐप्पल।
इस स्थिति के तहत उनकी संभावनाएं: पी (बी) 1) = 0,15; पी (बी) 2) = 0,35; पी (बी) 3) = 0,2; पी (बी) 4) = 0,3.
घटना की सशर्त संभावना लेकिन अ:
पी (ए।/बी 1) = 0,99; पी (ए।/बी 2) = 0,97; पी (ए।/बी 3) = 0,98; पी (ए।/बी 4) = 0,95.
संभावना है कि ऐप्पल ली \u200b\u200bगई सीमा परिपक्व होगी, पूर्ण संभाव्यता फॉर्मूला में है:
पी (ए।)=पी (बी) 1)∙पी (ए।/बी 1)+पी (बी) 2)∙पी (ए।/बी 2)+पी (बी) 3)∙पी (ए।/बी 3)+पी (बी) 4)∙पी (ए।/बी 4)=0,969.
बी) हमारे मामले के लिए बेयस फॉर्मूला फॉर्म है:
.
कार्य 1.17। यूआरएन में, दो गेंदों वाले, एक सफेद गेंद को कम किया, जिसके बाद एक गेंद को हटा दिया गया। संभावना को ढूंढना कि हटाए गए गेंद सफेद होंगे यदि गेंदों (रंग में) की मूल संरचना के बारे में सभी संभावित धारणाएं समान हैं।
फेसला। द्वारा निरूपित करना लेकिन अ घटना - सफेद गेंद निकाली गई। गेंदों की प्रारंभिक संरचना पर निम्नलिखित धारणाएं (परिकल्पनाएं) संभव हैं: बी 1। - कोई सफेद गेंद नहीं, दो पर - एक सफेद गेंद 3 में - दो सफेद गेंदें।
चूंकि सभी तीन परिकल्पनाएं हैं, और परिकल्पना की संभावना 1 है (जैसा कि वे घटनाओं का एक पूर्ण समूह बनाते हैं), तो प्रत्येक परिकल्पना की संभावना 1/3 है, यही है।
पी (बी) 1) = पी (बी) 2) \u003d पी (बी 3) = 1/3.
सफेद गेंद को निकाला जाएगा कि सशर्त संभावना प्रदान की जाएगी, बशर्ते कि यह मूल रूप से यूआरएन में सफेद गेंदें थीं, पी (ए।/बी 1) \u003d 1/3। सशर्त संभावना जो एक सफेद गेंद निकाली जाएगी, बशर्ते कि शुरुआत में उर में एक सफेद गेंद थी, पी (ए।/बी 2) \u003d 2/3। सशर्त संभावना जो सफेद गेंद निकाली जाएगी, बशर्ते मूल गेंदें शुरुआत में उर में थीं पी (ए।/बी 3)=3/ 3=1.
वांछित संभावना है कि एक सफेद गेंद को हटा दिया जाएगा, हम एक पूर्ण संभावना के लिए सूत्र पाते हैं:
आर(लेकिन अ)=पी (बी) 1)∙पी (ए।/बी 1)+पी (बी) 2)∙पी (ए।/बी 2)+पी (बी) 3)∙पी (ए।/बी 3) \u003d 1/3 · 1/3 + 1/3 · 2/3 + 1/3 · 1 \u003d 2/3 .
कार्य 1.18।। दो ऑटोमेटन उसी विवरण का उत्पादन करते हैं जो सामान्य कन्वेयर में आते हैं। पहली मशीन का प्रदर्शन दूसरे के प्रदर्शन से दोगुना है। पहली स्वचालित मशीन उत्कृष्ट गुणवत्ता के विवरण का औसत 60% उत्पादन करती है, और दूसरा 84% है। कन्वेयर से बढ़ते, विस्तार उत्कृष्ट गुणवत्ता साबित हुई। यह आइटम पहली मशीन द्वारा बनाई गई मौका पाएं।
फेसला। द्वारा निरूपित करना लेकिन अ घटना - उत्कृष्ट गुणवत्ता का विवरण। आप दो मान्यताओं को बना सकते हैं: बी 1। - हिस्सा पहले ऑटोमेटन द्वारा किया जाता है, और चूंकि पहली मशीन दूसरे की तुलना में दो बार विवरण देती है) पी (ए।/बी 1) = 2/3; बी 2 - भाग दूसरे ऑटोमेटन द्वारा किया जाता है, और पी (बी) 2) = 1/3.
सशक्त संभावना है कि आइटम उत्कृष्ट गुणवत्ता होगी यदि यह पहली मशीन द्वारा बनाई गई है, पी (ए।/बी 1)=0,6.
सशक्त संभावना है कि आइटम उत्कृष्ट गुणवत्ता होगी यदि यह दूसरे automatics द्वारा बनाया गया है, पी (ए।/बी 1)=0,84.
यह संभावना है कि सीमा को विस्तारित करने वाली सीमा उत्कृष्ट गुणवत्ता होगी, एक पूर्ण संभावना के सूत्र के बराबर है
पी (ए।)=पी (बी) 1) ∙पी (ए।/बी 1)+पी (बी) 2) ∙पी (ए।/बी 2) \u003d 2/3 · 0.6 + 1/3 · 0.84 \u003d 0.68।
वांछित संभावना है कि उत्कृष्ट आइटम पहले ऑटोमेटन द्वारा किया जाता है, बेयस फॉर्मूला बराबर है

कार्य 1.19।। 20 भागों के लिए भागों की तीन पार्टियां हैं। पहले, दूसरे और तीसरे पक्षों में मानक भागों की संख्या 20, 15, 10 के बराबर है। चयनित बैच से, विवरण जो मानक साबित हुआ है उसे हटा दिया गया है। विवरण पार्टी में वापस आ जाते हैं और दूसरी बार एक ही बैच से, विस्तार से पुनर्प्राप्त किया जाता है, जो मानक के रूप में भी निकलता है। संभावना है कि विवरण तीसरे पक्ष से निकाला गया था।
फेसला। द्वारा निरूपित करना लेकिन अ घटना - प्रत्येक दो परीक्षणों में से प्रत्येक में (वापसी के साथ), एक मानक भाग को पुनः प्राप्त किया गया था। आप तीन मान्यताओं (परिकल्पना) कर सकते हैं: बी 1 - विवरण पहले बैच से निकाले जाते हैं, में 2 - विवरण दूसरे गेम से निकाले जाते हैं, में 3 - तीसरे पक्ष से विवरण निकाले जाते हैं।
बैच से सीमा से विवरण हटा दिए गए थे, इसलिए परिकल्पना की संभावनाएं समान होती हैं: पी (बी) 1) = पी (बी) 2) = पी (बी) 3) = 1/3.
एक सशर्त संभावना का पता लगाएं पी (ए।/बी 1), यानी संभावना है कि दो मानक भागों को पहले बैच से लगातार पुनर्प्राप्त किया जाएगा। यह घटना विश्वसनीय है, क्योंकि पहले बैच में, सभी विवरण मानक हैं, इसलिए पी (ए।/बी 1) = 1.
एक सशर्त संभावना का पता लगाएं पी (ए।/बी 2), यानी यह संभावना है कि दूसरे बैच से लगातार निकाला जाएगा (वापसी के साथ) दो मानक विवरण: पी (ए।/बी 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
एक सशर्त संभावना का पता लगाएं पी (ए।/बी 3), यानी संभावना है कि तीसरे पक्ष से लगातार निकाला जाएगा (वापसी के साथ) दो मानक विवरण: पी (ए।/बी 3) \u003d 10/20 · 10/20 \u003d 1/4।
वांछित संभावना है कि दोनों निर्धारित मानक विवरण तीसरे पक्ष से लिया जाता है, बेयस फॉर्मूला के बराबर होता है

1.2.7। बार-बार परीक्षण

यदि कई परीक्षण हैं, तो किसी घटना की संभावना लेकिन अप्रत्येक परीक्षण में, यह अन्य परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है, तो ऐसे परीक्षणों को बुलाया जाता है घटना ए पर स्वतंत्र ए। विभिन्न स्वतंत्र परीक्षण घटनाओं में लेकिन अअलग-अलग संभावनाएं या समान संभावना हो सकती हैं। आगे केवल ऐसे स्वतंत्र परीक्षणों पर विचार करेगा जिसमें घटना लेकिन अइसकी एक समान संभावना है।
इसे उत्पादित होने दें पीजिनमें से प्रत्येक में स्वतंत्र परीक्षण एक घटना है लेकिन अप्रकट हो सकता है या तो दिखाई नहीं देते हैं। इस बात पर विश्वास करने के लिए सहमत हैं कि एक घटना की संभावना लेकिन अप्रत्येक परीक्षण में, समान, अर्थात्, बराबर है आरनतीजतन, एक घटना को बेचने की संभावना लेकिन अप्रत्येक परीक्षण में भी स्थिर और 1- के बराबर होता है आर इस तरह की एक संभाव्यता योजना कहा जाता है बर्नौली योजना। हम अपने आप को उस संभावना की गणना करने के लिए कार्य निर्धारित करते हैं पीबर्नौली योजना कार्यक्रम पर परीक्षण लेकिन अ सटीक रिवेन क। एक बार क। - सफलता की संख्या) और, इसलिए, नहीं होगा पी समय। यह ज़रूरी है कि यह कभी भी आवश्यक न हो लेकिन अबिल्कुल बार-बार क। एक बार एक निश्चित अनुक्रम में। वांछित संभावना को दर्शाया गया है पी पी (के). उदाहरण के लिए, प्रतीक आर 5 (3) का अर्थ है कि पांच परीक्षणों में यह घटना 3 गुना दिखाई देगी और इसलिए, 2 गुना नहीं होगी।
कार्य को तथाकथित का उपयोग करके हल किया जा सकता है बर्नौली सूत्र जिसमें फॉर्म है:
.
कार्य 1.20।संभावना है कि एक दिन की निरंतरता में बिजली की खपत स्थापित मानदंड से अधिक नहीं होगी, बराबर है आर\u003d 0.75। यह मौका पाएं कि अगले 6 दिनों में, 4 दिनों के लिए बिजली की खपत मानदंड से अधिक नहीं होगी।
फेसला। 6 दिनों में से प्रत्येक की निरंतरता में बिजली की सामान्य खपत की संभावना निरंतर और समान है आर\u003d 0.75। नतीजतन, हर दिन बिजली पुनर्मूल्यांकन की संभावना भी स्थिर और बराबर है q \u003d।1–आर=1–0,75=0,25.
बर्नौली फॉर्मूला द्वारा वांछित संभावना बराबर है
.
कार्य 1.21। दो समकक्ष शतरंज के खिलाड़ी शतरंज खेलते हैं। अधिक संभावना है: छह में से चार या तीन पार्टियों के दो बैचों को जीतने के लिए (खाते में नहीं लिया गया)?
फेसला। समतुल्य शतरंज के खिलाड़ियों को खेलते हैं, इसलिए जीतने की संभावना आर \u003d 1/2, इसलिए, हारने की संभावना प्र 1/2 के बराबर भी। चूंकि सभी पार्टियों में, जीतने की संभावना निरंतर और उदासीन है, पार्टी को किस अनुक्रम में जीता जाएगा, बर्नौली का सूत्र लागू किया जाएगा।
हमें संभावना है कि चार से दो पार्टियां जीती जाएंगी:

हमें संभावना है कि छह से तीन पार्टियां जीती जाएंगी:

चूंकि पी 4 (2) > पी 6 (3), यह छह में से तीन के दो पक्षों को जीतने की संभावना है।
बड़े मूल्यों के लिए बर्नौली फॉर्मूला का उपयोग करने के लिए एक-जैसे एन यह काफी मुश्किल है, क्योंकि सूत्र को भारी संख्याओं पर कार्यों की आवश्यकता होती है और इसलिए गणना की प्रक्रिया में त्रुटियों को जमा करना; नतीजतन, अंतिम परिणाम सही से काफी भिन्न हो सकता है।
इस समस्या को हल करने के लिए, कई सीमित प्रमेय हैं जो बड़ी संख्या में परीक्षणों के मामले के लिए उपयोग किए जाते हैं।
1. पोइसन प्रमेय
बर्नौली योजना के अनुसार बड़ी संख्या में परीक्षण करने के दौरान (जब एन \u003d\u003e ∞) और अनुकूल परिणामों की एक छोटी संख्या के साथ क। (यह माना जाता है कि सफलता की संभावना पी माला), बर्नौली फॉर्मूला पोइसन के सूत्र के पास आ रहा है
.
उदाहरण 1.22। उत्पादों की एक उद्यम इकाई का उत्पादन करते समय शादी की संभावना बराबर होती है पी\u003d 0.001। संभावना है कि 5,000 इकाइयों के उत्पादों का उत्पादन 4 दोषपूर्ण (घटना) से कम होगा लेकिन अ फेसला। चूंकि एन बढ़िया, हम स्थानीय लैपलेस प्रमेय का उपयोग करते हैं:

गणना एक्स।:
समारोह - यहां तक \u200b\u200bकि, (-1.67) \u003d φ (1.67)।
परिशिष्ट की तालिका के अनुसार, अनुच्छेद 1, हमें φ (1.67) \u003d 0.0 9 8 9 मिलते हैं।
संभावना कहना पी 2400 (1400) = 0,0989.
3. अभिन्न लैपलेस प्रमेय
अगर संभावना आर घटना उपस्थिति ए। प्रत्येक परीक्षण में बर्नौली योजना के अनुसार निरंतर और शून्य और इकाइयों से अलग, फिर बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ एन संभावना पी पी (के 1 क। 2) घटनाक्रम ए। से इन परीक्षणों में क। 1 होना क। 2 बार लगभग बराबर
पी पी।(क। 1 क। 2) \u003d φ ( एक्स "") – Φ ( एक्स "), कहां है
- लैपलेस समारोह,

लैपलेस फ़ंक्शन में एक विशिष्ट अभिन्न विश्लेषणात्मक कार्यों की कक्षा पर गणना नहीं की जाती है, इसलिए इसका उपयोग इसकी गणना करने के लिए किया जाता है। आवेदन में दिखाए गए पृष्ठ 2।
उदाहरण 1.24।सौ स्वतंत्र परीक्षणों में से प्रत्येक में एक घटना की संभावना स्थिर और बराबर है पी \u003d 0.8। यह संभावना है कि घटना दिखाई देगी: ए) कम से कम 75 गुना और 90 से अधिक बार नहीं; बी) कम से कम 75 गुना; ग) 74 गुना से अधिक नहीं।
फेसला। हम लैपलेस इंटीग्रल प्रमेय का उपयोग करते हैं:
पी पी।(क। 1 क। 2) \u003d φ ( एक्स "") – Φ( एक्स "), जहां एफ ( एक्स।) - लैपलेस समारोह,

a) स्थिति के तहत एन = 100, पी = 0,8, प्र = 0,2, क। 1 = 75, क। 2 \u003d 90. गणना करें एक्स "" तथा एक्स " :

यह मानते हुए कि लैपलेस फ़ंक्शन विषम है, यानी। च (- एक्स।) \u003d - च ( एक्स।), हम पाते हैं
पी 100 (75; 90) \u003d एफ (2.5) - एफ (-1.25) \u003d φ (2.5) + एफ (1.25)।
तालिका। पी आवेदन मिलेगा:
F (2.5) \u003d 0.4938; एफ (1.25) \u003d 0.3944।
संभावना कहना
पी 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
बी) घटना जो कम से कम 75 गुना दिखाई देती है, यह इंगित करती है कि घटनाओं की संख्या 75, या 76, ..., या 100 हो सकती है। इसलिए, इस मामले में विचार किया जाना चाहिए क। 1 = 75क। 2 \u003d 100. फिर

.
तालिका। पी आवेदन एफ (1.25) \u003d 0.3944 मिलेगा; F (5) \u003d 0.5।
संभावना कहना
पी 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
ग) घटना - " लेकिन अ कम से कम 75 बार "और" लेकिन अ 74 गुना से अधिक दिखाई नहीं दिया "विपरीत, इसलिए इन घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 है। नतीजतन, वांछित संभावना
पी 100 (0;74) = 1 – पी 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

हमारे द्वारा देखी गई घटनाओं (फेनोमेना) को निम्नलिखित तीन प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है: विश्वसनीय, असंभव और यादृच्छिक।

विश्वसनीय यह घटना निश्चित रूप से तब होगी जब परिस्थितियों का एक निश्चित सेट कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि जहाज में सामान्य वायुमंडलीय दबाव और 20 डिग्री का तापमान होता है, तो घटना "एक बर्तन में पानी तरल अवस्था में होती है "विश्वसनीय है। इस उदाहरण में, पूर्व निर्धारित वायुमंडलीय दबाव और पानी का तापमान एस के सेट का निर्माण करता है।

असंभव एक घटना को कॉल करें जो नहीं जानता कि एस की शर्तों को किया जाएगा या नहीं। उदाहरण के लिए, घटना "एक पोत में पानी एक ठोस स्थिति में है" तब नहीं होगा जब पिछले उदाहरण की स्थितियों का एक सेट किया जाएगा ।

बिना सोचे समझे एक घटना को कॉल करें कि, शर्तों का एक सेट ले जाने पर, या तो हो सकता है या नहीं। उदाहरण के लिए, यदि सिक्का फेंक दिया जाता है, तो यह गिर सकता है ताकि शीर्ष पर हथियारों का कोट होगा, या शिलालेख। इसलिए, घटना "एक सिक्का फेंकते समय," हथियारों का कोट "गिर गया - यादृच्छिक। प्रत्येक यादृच्छिक घटना, विशेष रूप से "हथियारों का कोट" हानि, एक बहुत ही यादृच्छिक कारणों का एक परिणाम है (हमारे उदाहरण में: जिसके साथ सिक्का फेंक दिया जाता है, सिक्का का आकार और कई अन्य)। इन सभी कारणों के परिणामस्वरूप प्रभाव को ध्यान में रखना असंभव है, क्योंकि उनमें से संख्या बहुत बड़ी है और उनकी कार्रवाई के कानून अज्ञात हैं। इसलिए, संभाव्यता सिद्धांत भविष्यवाणी करने का कार्य नहीं रखता है, एक भी घटना होती है या नहीं, - यह बस इसे करने में असमर्थ है।

यह अलग है, अगर यादृच्छिक घटनाओं पर विचार किया जाता है, जिसे एक ही परिस्थितियों के कार्यान्वयन में बार-बार देखा जा सकता है, यानी, अगर हम सामूहिक सजातीय यादृच्छिक घटनाओं के बारे में बात कर रहे हैं। यह पता चला है कि उनकी विशेष प्रकृति के बावजूद सजातीय यादृच्छिक घटनाओं की एक पर्याप्त बड़ी संख्या कुछ पैटर्न, अर्थात् संभाव्य कानूनों के अधीन है। इन पैटर्न की स्थापना और संभाव्यता सिद्धांत में लगी हुई है।

इसलिए, संभाव्यता सिद्धांत का विषय सामूहिक सजातीय यादृच्छिक घटनाओं के संभाव्य पैटर्न का अध्ययन है।

संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का व्यापक रूप से प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न उद्योगों में उपयोग किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत भी गणितीय और लागू आंकड़ों को साबित करने के लिए कार्य करता है।

यादृच्छिक घटनाओं के प्रकार। घटनाक्रम नॉन-बेडयदि उनमें से एक की उपस्थिति एक ही परीक्षण में अन्य घटनाओं के उद्भव को समाप्त करती है।

उदाहरण। Ombreated सिक्का। "हथियारों के कोट" की उपस्थिति शिलालेख की उपस्थिति को शामिल करती है। घटनाओं "हथियारों का कोट दिखाई दिया" और "शिलालेख" दिखाई दिया "- अपूर्ण।

कई घटनाएँ पूर्ण समूहयदि उनमें से कम से कम परीक्षण के परिणामस्वरूप दिखाई देता है। विशेष रूप से, यदि पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाएं असंगत हैं, तो परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक और इन घटनाओं में से केवल एक ही दिखाई देगा। यह विशेष मामला हमारे लिए सबसे बड़ी हित है क्योंकि इसका उपयोग आगे किया जाता है।

उदाहरण 2. मौद्रिक लॉटरी के दो टिकट खरीदे जाते हैं। यह निश्चित रूप से निम्नलिखित घटनाओं में से एक होगा: "जीत पहली टिकट पर गिर गई और दूसरे पर नहीं गिर गई," "जीत पहली टिकट में नहीं हुई और दूसरी बार गिर गई," "जीतने वाला जीत दोनों टिकटों पर, "" दोनों टिकटों पर नहीं गिर गया। " ये घटनाएं अपूर्ण घटनाओं के जोड़े में एक पूर्ण समूह बनाती हैं।

उदाहरण 3. तीरों ने लक्ष्य का एक शॉट बनाया। एक निश्चित रूप से निम्नलिखित दो घटनाओं से होगा: हिट, मिस। ये दो अपूर्ण घटनाएं एक पूर्ण समूह बनाती हैं।

घटनाक्रम बराबर संभवअगर यह विश्वास करने का कारण है कि उनमें से कोई भी दूसरे से अधिक संभव नहीं है।

उदाहरण 4. एक सिक्का स्वामित्व वाली घटनाओं को फेंकते समय "हथियारों के कोट" की उपस्थिति और शिलालेख की उपस्थिति। दरअसल, यह माना जाता है कि सिक्का सजातीय सामग्री से बना है, सही बेलनाकार आकार है और पीछा करने की उपस्थिति सिक्का के एक या दूसरे पक्ष के नुकसान को प्रभावित नहीं करती है।

सोब - मुझे लेट के कैपिटल लेटर्स कहा जाता है। आलफाविता: ए, इन, एस, .. और 1, और 2 ..

विपरीत कॉल 2 एकमात्र संभावित एसओबी, एक पूर्ण समूह बना रहा है। यदि दो विपक्ष में से एक। घटनाओं को एक, तो डॉ। ओबाव-ज़िया द्वारा इंगित किया जाता है।

उदाहरण 5. जब लक्ष्य लक्ष्य है तो फिट और पर्ची। सोब-मी।

श्रेणी 5। संभावना का परिचय (4 घंटे)

(इस विषय पर 4x पाठों का विकास)

प्रशिक्षण लक्ष्य : - एक यादृच्छिक, विश्वसनीय और असंभव घटना की परिभाषा दर्ज करें;

कॉम्बिनेटोरियल कार्यों को हल करने के बारे में पहला विचार होगा: वर्सा ट्री का उपयोग करके और गुणा नियम का उपयोग करना।

शैक्षिक लक्ष्य: छात्रों के विश्वव्यापी विकास।

विकास लक्ष्य : स्थानिक कल्पना का विकास, एक शासक के साथ काम करने के कौशल में सुधार।

विश्वसनीय, असंभव और यादृच्छिक घटनाएं (2h।)

कॉम्बिनेटोरियल कार्य (2H।)

विश्वसनीय, असंभव और यादृच्छिक घटनाएं।

पहला पाठ

उपकरण सबक: घन, सिक्का, बैकगैमौन बजाना।

हमारे जीवन में काफी हद तक दुर्घटनाएं होती हैं। ऐसा विज्ञान "संभावना का सिद्धांत" है। उसकी जीभ का उपयोग करके, आप कई घटनाओं और परिस्थितियों का वर्णन कर सकते हैं।

एक और आदिम नेता समझ गए कि शीर्ष दस शिकारी "संभावना" बाइसन स्पीयर को एक से अधिक हिट करने के लिए। इसलिए, यह सामूहिक रूप से शिकार किया गया था।

इस तरह के प्राचीन कमांडर, जैसे अलेक्जेंडर मैसेडोनियन या दिमित्री डोनस्काय की तरह, युद्ध की तैयारी, न केवल वैलोर और योद्धाओं की कला पर थे, बल्कि मामले में।

गणित को शाश्वत सत्य के लिए हमेशा चार दो बार पसंद किया जाता है, यहां तक \u200b\u200bकि संख्याओं की संख्या भी होती है, आयताकार का क्षेत्र अपने आसन्न पक्षों के उत्पाद के बराबर होता है। आपके द्वारा हल किए गए किसी भी कार्य में, सभी को एक ही उत्तर मिलता है - आपको बस हल करने में गलतियों को करने की आवश्यकता नहीं है।

वास्तविक जीवन इतना आसान और स्पष्ट नहीं है। कई घटनाओं के exodes अग्रिम की भविष्यवाणी करना असंभव है। यह असंभव है, उदाहरण के लिए, यह सुनिश्चित करने के लिए कि कौन सा पक्ष सिक्का ऊपर गिरने वाला सिक्का गिर जाएगा, जब पहली बर्फ गिरती है या शहर में कितने लोग फोन को निकट भविष्य में कॉल करना चाहते हैं। ऐसी अप्रत्याशित घटना को बुलाया जाता है बिना सोचे समझे .

हालांकि, मामले में अपने स्वयं के कानून भी हैं जो यादृच्छिक घटनाओं को दोहराने में खुद को प्रकट करना शुरू करते हैं। यदि आप 1000 बार सिक्का फेंकते हैं, तो "ईगल" मामलों में से आधे मामलों में गिर जाएगा, जो दो या दस फेंकने के बारे में नहीं कहा जा सकता है। "लगभग" का मतलब आधा नहीं है। यह, एक नियम के रूप में, ऐसा हो सकता है, और शायद नहीं होना चाहिए। कानून कुछ भी स्वीकार नहीं करता है, लेकिन आत्मविश्वास की एक निश्चित डिग्री देता है कि कुछ यादृच्छिक घटना होगी। इस तरह की नियमितता गणित के एक विशेष खंड का अध्ययन करती है - सिद्धांत संभावना . इसकी मदद से, आप पहले बर्फ गिरने की तारीख और फोन कॉल की संख्या की भविष्यवाणी करने के लिए आत्मविश्वास की अधिक डिग्री (लेकिन अभी भी निश्चित रूप से नहीं) के साथ कर सकते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत हमारे दैनिक जीवन से अनजाने में जुड़ा हुआ है। यह हमें अनियमित रूप से यादृच्छिक प्रयोगों को दोहराने के द्वारा कई संभावित कानून स्थापित करने का एक शानदार अवसर प्रदान करता है। इन प्रयोगों के लिए सामग्री अक्सर एक सामान्य सिक्का, एक खेल घन, डोमिनोज़ का एक सेट, बैकगैमौन, रूले या यहां तक \u200b\u200bकि कार्ड का एक डेक भी होगा। इनमें से प्रत्येक आइटम किसी भी तरह से खेल से जुड़ा हुआ है। तथ्य यह है कि यहां मामला सबसे लगातार रूप में दिखाई देता है। और पहला संभाव्य कार्य जीतने के लिए खिलाड़ियों की संभावनाओं के मूल्यांकन से जुड़े थे।

आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत जुआ छोड़ दिया, लेकिन उनके प्रोप अभी भी मामले का सबसे आसान और सबसे विश्वसनीय स्रोत बना हुआ है। एक टेप माप और एक घन के साथ, आप सीखेंगे कि वास्तविक जीवन स्थितियों में यादृच्छिक घटनाओं की संभावना की गणना कैसे करें, जो आपको न केवल खेलों और लॉटरी में न केवल इष्टतम समाधान बनाने के लिए, परिकल्पनाओं की जांच करने, परिकल्पना की जांच करने की अनुमति देगा।

संभाव्य कार्यों को हल करना, बहुत सावधान रहें, अपने प्रत्येक चरण को औचित्य दें, क्योंकि गणित के किसी अन्य क्षेत्र में ऐसे कई विरोधाभास शामिल हैं। संभावना के सिद्धांत के रूप में। और शायद इसका मुख्य स्पष्टीकरण वास्तविक दुनिया के साथ इसका रिश्ता है जिसमें हम रहते हैं।

कई गेम एक घन का उपयोग करते हैं, जिसमें 1 से 6 तक अंक की एक अलग संख्या होती है। खेल एक घन डालता है, यह देखता है कि कितने अंक गिर गए (उस चेहरे पर जो शीर्ष पर स्थित है), और इसी संख्या की चाल को बनाता है: 1 , 2,3, 4.5, या 6. 6 घन फेंकने को एक अनुभव, प्रयोग, परीक्षण माना जा सकता है, और परिणाम एक घटना है। अपने परिणाम की भविष्यवाणी करने के लिए लोग आमतौर पर एक या किसी अन्य घटना की शुरुआत का अनुमान लगाने के लिए बहुत ही रोचक होते हैं। जब वे एक खेल घन फेंकते हैं तो वे क्या भविष्यवाणी कर सकते हैं? पहली भविष्यवाणी: संख्याओं में से एक 1,2,3,4,5, या 6. आपको लगता है कि भविष्यवाणी की घटना कब आती है या नहीं? बेशक, यह निश्चित रूप से आ जाएगा। इस अनुभव में एक घटना को मजबूर किया जाएगा, जिसे बुलाया जाएगा एक विश्वसनीय घटना।

दूसरी भविष्यवाणी : डिजिटल 7 गिर जाएगी। आपको क्या लगता है कि अनुमानित घटना आती है या नहीं? बेशक यह नहीं आएगा, यह बस असंभव है। एक घटना जिसका उपयोग इस अनुभव में नहीं किया जा सकता है असंभव घटना।

तीसरी भविष्यवाणी : डिजिटल बूंदें 1. आपको क्या लगता है कि अनुमानित घटना खा रही है या नहीं? पूर्ण आत्मविश्वास पर, हम पूर्ण आत्मविश्वास के साथ जवाब देने में सक्षम नहीं हैं, क्योंकि अनुमानित घटना हो सकती है, और नहीं आ सकती है। एक घटना जो इस अनुभव में हो सकती है, और नहीं आ सकती है, कहा जाता है यादृच्छिक घटना।

कार्य : नीचे दिए गए कार्यों में प्रश्नों में घटनाओं का वर्णन करें। विश्वसनीय, असंभव या यादृच्छिक की तरह।

एक सिक्का फेंक दो। हथियारों का कोट दिखाई दिया। (यादृच्छिक)

शिकारी ने एक भेड़िया को गोली मार दी और मिल गया। (यादृच्छिक)

स्कूलबॉय हर शाम चलने के लिए जाता है। टहलने के दौरान, सोमवार को, उन्होंने तीन परिचितों से मुलाकात की। (यादृच्छिक)

चलो अगले प्रयोग की वर्तनी: पानी के साथ एक गिलास उल्टा हो जाता है। यदि यह प्रयोग अंतरिक्ष में नहीं किया जाता है, लेकिन घर या कक्षा में, तो पानी निकल जाएगा। (विश्वसनीय)

लक्ष्यों के तीन शॉट का उत्पादन किया गया था। " पांच हिट हुईं "(असंभव)

पत्थर फेंकना। पत्थर हवा में लटका रहता है। (असंभव)

यादृच्छिक पुनर्विचार पर "विरोधी" शब्द के पत्र। यह शब्द "एनैक्रिज्म" निकलता है। (असंभव)

№959. पेटिया ने एक प्राकृतिक संख्या की कल्पना की। घटना इस प्रकार है:

ए) यहां तक \u200b\u200bकि संख्या भी कल्पना की जाती है; (यादृच्छिक) बी) अजीब संख्या का इरादा; (यादृच्छिक)

ग) संख्या का इरादा है जो न तो यहां तक \u200b\u200bकि न ही विषम है; (असंभव)

d) उस संख्या का इरादा है जो या विषम है। (विश्वसनीय)

№ 961. पेटिया और टोलिया उनके जन्मदिन की तुलना करें। घटना इस प्रकार है:

क) उनके जन्मदिन मेल नहीं खाते हैं; (यादृच्छिक) बी) उनके जन्मदिन मेल खाते हैं; (यादृच्छिक)

डी) दोनों के जन्मदिन छुट्टियों पर पड़ते हैं - नया साल (1 जनवरी) और रूस की स्वतंत्रता दिवस (12 जून)। (यादृच्छिक)

№ 962. बैक्स खेलते समय, दो बजाने वाले क्यूब्स का उपयोग किया जाता है। प्रतिभागी की संख्या जो खेल को घन के दो कटौती पर संख्याओं के अतिरिक्त द्वारा निर्धारित किया जाता है, और यदि "डबल" बूंदों (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5,6 + 6), तो चाल की संख्या युगल। आप क्यूब्स फेंकते हैं और गणना करते हैं कि आपको कितने कदम करना है। घटना इस प्रकार है:

ए) आपको एक कदम उठाना चाहिए; बी) आपको 7 चालें बनाना चाहिए;

ग) आपको 24 स्ट्रोक करना होगा; D) आपको 13 चालें बनाना चाहिए।

ए) - असंभव (1 चाल हो सकती है यदि 1 + 0 का संयोजन गिर रहा है, लेकिन क्यूब्स में कोई संख्या 0 नहीं है)।

बी) - यादृच्छिक (यदि 1 + 6 या 2 + 5 गिरता है)।

सी) - यादृच्छिक (यदि 6 +6 का संयोजन गिरा दिया गया है)।

डी) - असंभव (1 से 6 तक संख्याओं का कोई संयोजन नहीं है, जिसका योग 13 के बराबर है; यह संख्या "डबल" गिरा दी जाती है, क्योंकि यह विषम है)।

अपने आप को जांचो। (गणितीय श्रुतलेख)

1) निर्दिष्ट करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएं असंभव हैं, जो विश्वसनीय हैं, जो यादृच्छिक हैं:

फुटबॉल मैच "स्पार्टक" - "डायनेमो" एक ड्रॉ में समाप्त हो जाएगा। (यादृच्छिक)

आप जीतेंगे, एक विन-विन लॉटरी (विश्वसनीय) में भाग लेंगे

मध्यरात्रि बर्फ गिरता है, और 24 घंटों के बाद सूरज चमक जाएगा। (असंभव)

कल गणित में नियंत्रण होगा। (यादृच्छिक)

आपको संयुक्त राज्य अमेरिका के राष्ट्रपति द्वारा संकलित किया जाएगा। (असंभव)

आप रूस के राष्ट्रपति से बच जाएंगे। (यादृच्छिक)

2) आपने उस स्टोर में एक टीवी खरीदा जिस पर निर्माता दो साल की वारंटी देता है। निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएं असंभव हैं, जो यादृच्छिक हैं, जो विश्वसनीय हैं:

टीवी एक वर्ष के लिए नहीं टूटेगा। (यादृच्छिक)

टीवी दो साल तक नहीं टूटेगा। (यादृच्छिक)

दो साल के भीतर आपको टीवी की मरम्मत के लिए भुगतान नहीं करना पड़ेगा। (विश्वसनीय)

टीवी तीसरे वर्ष में टूट जाता है। (यादृच्छिक)

3) एक बस जिसमें 15 यात्री ड्राइव 10 स्टॉप बनाना है। निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएं असंभव हैं, जो यादृच्छिक हैं, जो विश्वसनीय हैं:

सभी यात्री विभिन्न स्टॉप पर बस से बाहर आ जाएंगे। (असंभव)

सभी यात्री एक स्टॉप पर बाहर आ जाएंगे। (यादृच्छिक)

प्रत्येक स्टॉप पर कम से कम कोई बाहर आ जाएगा। (यादृच्छिक)

एक स्टॉप है जिस पर कोई बाहर नहीं आएगा। (यादृच्छिक)

सभी स्टॉप पर यात्रियों की संख्या भी होगी। (असंभव)

सभी स्टॉप पर यात्रियों की एक विषम संख्या होगी। (असंभव)

होम वर्क : § 53 №960, 963, 965 (दो विश्वसनीय, यादृच्छिक और असंभव घटनाओं के साथ आते हैं)।

दूसरा सबक

अपने होमवर्क की जाँच करें। (मौखिक रूप से)

ए) इस तरह के एक विश्वसनीय, यादृच्छिक और असंभव घटना की व्याख्या करें।

बी) निर्दिष्ट करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटना एक विश्वसनीय है, असंभव क्या है, जो न्यूनतम है:

गर्मी की छुट्टियां नहीं होगी। (असंभव)

सैंडविच तेल नीचे गिरता है। (यादृच्छिक)

अकादमिक वर्ष कभी खत्म हो जाएगा। (विश्वसनीय)

कल मुझसे पाठ में पूछेगा। (यादृच्छिक)

आज मैं एक काली बिल्ली से मिलूंगा। (यादृच्छिक)

№ 960. आपने किसी भी पेज पर इस ट्यूटोरियल को खोला और पहले संज्ञा का चयन किया। घटना इस प्रकार है:

ए) चुने गए शब्द को लिखने में एक स्वर पत्र है। ((विश्वसनीय)

बी) चुने हुए शब्द को लिखने में एक पत्र "ओ" है। (यादृच्छिक)

सी) चुने हुए शब्द को लिखने में कोई स्वर नहीं हैं। (असंभव)

डी) चुने गए शब्द को लिखने में एक नरम संकेत है। (यादृच्छिक)

№ 963. आप बैकगैमौन वापस खेलते हैं। निम्नलिखित घटना का वर्णन करें:

ए) खिलाड़ी को दो चाल से अधिक नहीं करना चाहिए। (असंभव - जब सबसे छोटी संख्या 1 + 1 का संयोजन, खिलाड़ी 4 स्ट्रोक बनाता है; संयोजन 1 + 2 3 स्ट्रोक देता है; अन्य सभी संयोजन 3 से अधिक चालें देते हैं)

बी) खिलाड़ी को दो से अधिक चालें बनाना चाहिए। (विश्वसनीय - कोई भी संयोजन 3 या अधिक चाल देता है)

सी) खिलाड़ी को 24 चाल से अधिक नहीं बनाना चाहिए। (विश्वसनीय - उच्चतम संख्या 6 + 6 का संयोजन 24 स्ट्रोक देता है, और अन्य सभी 24 चाल से कम हैं)

डी) खिलाड़ी को दो अंकों की संख्या में बदलाव करना चाहिए। (यादृच्छिक-उदाहरण के लिए, 2 + 3 का संयोजन चाल की एक अस्पष्ट संख्या देता है: 5, और दो चौकों का पतन - दो अंकों की संख्या की संख्या)

2. कार्यों को हल करना।

№ 964. बैग 10 गेंदों पर स्थित है: 3 नीला, 3 सफेद और 4 लाल। निम्नलिखित घटना का वर्णन करें:

ए) 4 गेंदों के लिए बैग से, और उनमें से सभी नीले हैं; (असंभव)

बी) बैग से बाहर 4 गेंदों को उलट दिया गया था, और उनमें से सभी लाल हैं; (यादृच्छिक)

ग) बैग से 4 गेंदों के लिए, और वे सभी अलग-अलग रंग बन गए; (असंभव)

डी) 4 गेंदों को बैग से बाहर ले जाया गया, और उनमें से कोई काला कटोरा नहीं था। (विश्वसनीय)

कार्य 1। बॉक्स 10 लाल, 1 हरा और 2 नीले पेन है। यादृच्छिक रूप से बॉक्स से, दो आइटम बाहर ले जाते हैं। निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएं असंभव हैं, जो यादृच्छिक हैं, निम्नलिखित क्या हैं:

a) दो लाल हैंडल हटा दिए जाते हैं (यादृच्छिक)

बी) दो हरे रंग के हैंडल हटा दिए जाते हैं; (असंभव)

सी) दो नीले हैंडल हटा दिए जाते हैं; (यादृच्छिक)

डी) दो अलग-अलग रंगों के हैंडल को हटा दिया; (यादृच्छिक)

डी) दो हैंडल हटा दिए जाते हैं; (विश्वसनीय)

ई) दो पेंसिल हटा दिए जाते हैं। (असंभव)

कार्य 2। विनी-पुच, पिगलेट और सब - एक गोल मेज के लिए सभी बैठे एक जन्मदिन मनाते हैं। सभी में से कितने - सभी घटनाएं "विनी द पूह और पिगलेट पास बैठेगी" विश्वसनीय है, और क्या यादृच्छिक है?

(यदि सभी - सभी केवल 1 है, तो घटना विश्वसनीय है, यदि 1 से अधिक, तो यादृच्छिक)।

कार्य 3। चैरिटेबल लॉटरी के 100 टिकटों में से 20 जीतने के लिए 20 जीतने के लिए आपको कितने टिकट खरीदने की ज़रूरत है, ताकि घटना "आप कुछ भी जीत नहीं पाएंगे" असंभव थी?

कार्य 4। 10 लड़के और 20 लड़कियां कक्षा में अध्ययन करती हैं। निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएं इस वर्ग के लिए असंभव हैं, जो यादृच्छिक हैं, जो विश्वसनीय हैं

वर्ग में दो लोग अलग-अलग महीनों में पैदा हुए हैं। (यादृच्छिक)

वर्ग में दो लोग एक महीने में पैदा हुए हैं। (विश्वसनीय)

वर्ग में एक महीने में पैदा हुए दो लड़के हैं। (यादृच्छिक)

कक्षा में एक महीने में पैदा हुए दो लड़कियां हैं। (विश्वसनीय)

सभी लड़के विभिन्न महीनों में पैदा हुए थे। (विश्वसनीय)

सभी लड़कियां अलग-अलग महीनों में पैदा हुईं। (यादृच्छिक)

एक लड़का और एक लड़की है जो एक महीने में पैदा हुई है। (यादृच्छिक)

एक लड़का और एक लड़की है जो विभिन्न महीनों में पैदा हुई है। (यादृच्छिक)

कार्य 5। 3 लाल, 3 पीले, 3 हरी कटोरे के एक बॉक्स में। मैं यादृच्छिक 4 गेंदों पर बाहर निकलता हूं। घटना पर विचार करें "गेंदों के कटौती के बीच वास्तव में एम गुब्बारे हैं।" प्रत्येक एम के लिए 1 से 4 तक, यह निर्धारित करें कि कौन सा घटना असंभव, विश्वसनीय या यादृच्छिक है, और तालिका में भरें:

स्वतंत्र काम।

मैं। विकल्प

क) 32 से कम आपके दोस्त की जन्मदिन की संख्या;

सी) कल गणित में नियंत्रण होगा;

डी) अगले साल, मॉस्को में पहली बर्फ रविवार को गिर जाएगी।

एक बजाना घन फेंक दो। एक घटना का वर्णन करें:

ए) एक घन, गिरना, किनारे पर खड़ा;

बी) संख्याओं में से एक गिर जाएगी: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

ग) संख्या 6 बाहर गिर जाएगी;

डी) संख्या 7 गिर जाएगी।

बॉक्स 3 लाल, 3 पीला और 3 हरी कटोरे झूठ बोलता है। एक घटना का वर्णन करें:

ए) एक ही रंग की सभी गेंदें;

बी) विभिन्न रंगों से सभी गेंदें;

सी) गेंदों के कटौती के बीच विभिन्न रंगों की गेंदें हैं;

सी) कट गेंदों में लाल, पीला और हरा गेंद है।

द्वितीय। विकल्प

एक विश्वसनीय, असंभव या आकस्मिक के रूप में, प्रश्न में एक घटना का वर्णन करें:

ए) सैंडविच मेज से गिर जाता है तेल के साथ फर्श पर गिरता है;

बी) मध्यरात्रि बर्फ गिरने वाले मास्को में, और 24 घंटों के बाद सूरज चमक जाएगा;

सी) आप जीत-जीत लॉटरी में भाग लेकर जीतेंगे;

डी) अगले साल, वसंत थंडर मई में सुना जाएगा।

सभी दो अंकों की संख्या कार्ड पर दर्ज की जाती है। रैग में एक कार्ड चुनें। एक घटना का वर्णन करें:

ए) कार्ड शून्य हो गया;

बी) कार्ड संख्या हो गई, एकाधिक 5;

सी) कार्ड संख्या, एकाधिक 100 हो गया;

डी) कार्ड 9 से अधिक और छोटे 100 से अधिक संख्या के रूप में बाहर निकला।

बॉक्स में 10 लाल, 1 हरा और 2 नीले पेन झूठ बोलते हैं। यादृच्छिक रूप से बॉक्स से, दो आइटम बाहर ले जाते हैं। एक घटना का वर्णन करें:

ए) दो नीले हैंडल हटा दिए जाते हैं;

बी) दो लाल हैंडल हटा दिए जाते हैं;

सी) दो हरे रंग के हैंडल हटा दिए जाते हैं;

d) हरा और काले हैंडल हटा दिया।

होम वर्क: 1). दो विश्वसनीय, यादृच्छिक और असंभव घटनाओं के साथ आते हैं।

2)। एक कार्य . 3 लाल, 3 पीले, 3 हरी कटोरे के एक बॉक्स में। मैं यादृच्छिक नॉटर्स पर बाहर निकलता हूं। घटना पर विचार करें "गेंदों से कटौती के बीच बिल्कुल तीन रंग होंगे।" प्रत्येक एन के लिए 1 से 9 तक, यह निर्धारित करें कि कौन सा घटना असंभव, विश्वसनीय या यादृच्छिक है, और तालिका में भरें:

कॉम्बिनेटोरियल कार्य।

पहला पाठ

अपने होमवर्क की जाँच करें। (मौखिक रूप से)

ए) हम उन कार्यों की जांच करते हैं जिन्हें छात्रों का आविष्कार किया गया था।

b) एक अतिरिक्त कार्य।

मैंने पुस्तक वी। लेवशिना से एक अंश पढ़ा "बौने में तीन दिन"।

"सबसे पहले, एक चिकनी वॉल्ट्ज नंबर की आवाज़ के तहत, एक समूह का गठन किया गया था: 1+ 3 + 4 + 2 \u003d 10. फिर युवा स्केटिंगर्स ने स्थानों को बदलने, नए और नए समूह बनाने की शुरुआत की: 2 + 3 + 4 + 1 \u003d 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 \u003d 10, आदि

तो यह तब तक चला जब तक कि स्केटिंगर्स मूल स्थिति में वापस नहीं आए। "

उन्होंने कितनी बार स्थानों को बदल दिया है?

आज, सबक में, हम ऐसे कार्यों को हल करना सीखेंगे। उन्हें बुलाया जाता है कॉम्बिनेटोरियल।

3. एक नई सामग्री का अध्ययन।

कार्य 1। संख्या 1, 2, 3 से कितने डबल-डिजिट संख्याएं बनाई जा सकती हैं?

फेसला: 11, 12, 13

31, 32, 33. कुल 9 नंबर।

इस कार्य को हल करते समय, हमने सभी संभावित विकल्पों को बढ़ाया है, या, जैसा कि वे आमतौर पर इन मामलों में बोलते हैं। सभी संभावित संयोजन। इसलिए, ऐसे कार्यों को बुलाया जाता है कॉम्बिनेटोरियल। जीवन में संभव (या असंभव) विकल्पों को साफ करें, इसलिए संयोजक कार्यों से परिचित होना उपयोगी है।

№ 967. कई देशों ने विभिन्न रंगों की एक ही चौड़ाई के तीन क्षैतिज स्ट्रिप्स के रूप में अपने राज्य ध्वज के लिए प्रतीकवाद का उपयोग करने का फैसला किया - सफेद, नीला, लाल। यह प्रतीकात्मक किस देश का उपयोग कर सकता है, बशर्ते कि प्रत्येक देश का अपना ध्वज है?

फेसला। मान लीजिए कि पहली पट्टी सफेद है। फिर दूसरी पट्टी नीली या लाल हो सकती है, और तीसरी पट्टी, क्रमशः लाल या नीला हो सकती है। यह दो विकल्प निकला: सफेद, नीला, लाल या सफेद, लाल, नीला।

अब नीले रंग की पहली पट्टी को दो, फिर हमें दो विकल्प मिलते हैं: सफेद, लाल, नीला या नीला, लाल, सफेद।

लाल की पहली पट्टी, फिर दो और विकल्प: लाल, सफेद, नीला या लाल, नीला, सफेद।

कुल 6 संभावित विकल्प। ऐसा झंडा 6 देशों का उपयोग कर सकता है।

इसलिए, इस कार्य को हल करते समय, हम संभावित विकल्पों को बुझाने का एक तरीका ढूंढ रहे थे। कई मामलों में, यह छवि की एक तस्वीर प्राप्त करने के लिए उपयोगी है - विकल्पों की अखंडता योजनाएं। यह, सबसे पहले, स्पष्ट रूप से, दूसरी बात, हमें कुछ भी याद करने के लिए सबकुछ लेने की अनुमति देता है।

इस योजना को संभावित विकल्पों का पेड़ भी कहा जाता है।

मुखपृष्ठ

दूसरी पट्टी

तीसरा बैंड

परिणामी संयोजन

№ 968. संख्या 1, 2, 4, 6, 8 से कितने दो अंकों की संख्या बनाई जा सकती है?

फेसला। पहले स्थान पर हमारे लिए ब्याज की दो अंकों की संख्या के लिए, निर्दिष्ट संख्या में से कोई भी हो सकता है, 0. को छोड़कर 0. यदि हम पहले स्थान के लिए नंबर 2 सेट करते हैं, तो निर्दिष्ट संख्या में से कोई भी हो सकता है दूसरे स्थान पर। यह पांच दो अंकों की संख्याओं को बदल देगा: 2., 22, 24, 26, 28. इसी तरह पहले अंक 4 के साथ पांच दो अंकों की संख्या होगी, पहले अंक 6 के साथ पांच दो अंकों की संख्या और पहले अंक 8 के साथ पांच दो अंकों की संख्या।

उत्तर: कुल 20 नंबर मिलेगा।

हम इस कार्य को हल करने के लिए संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाते हैं।

दोहरे आंकड़े

पहले अंक

दूसरा अंक

प्राप्त संख्या

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

संभावित विकल्पों के पेड़ के निर्माण की मदद से, निम्नलिखित कार्यों को हल करें।

№ 971. कुछ देश के नेतृत्व ने इस तरह के राज्य ध्वज को इस तरह बनाने का फैसला किया: कोनों में से एक में एकल-रंग आयताकार पृष्ठभूमि पर एक और रंग का एक चक्र है। रंगों को तीन संभव से चुनने का फैसला किया जाता है: लाल, पीला, हरा। इस तरह के ध्वज के लिए कितने विकल्प हैं

मौजूद? यह आंकड़ा कुछ संभावित विकल्प दिखाता है।

उत्तर: 24 विकल्प।

№ 973. ए) 1,3, 5, से कितने तीन अंकों की संख्या बनाई जा सकती है? (27 नंबर)

बी) 1.3, 5 की संख्या से कितने तीन अंकों की संख्या की जा सकती है, बशर्ते कि संख्याओं को दोहराना नहीं चाहिए? (6 नंबर)

№ 979. आधुनिक पेंटाबर्स दो दिनों के लिए पांच खेलों में प्रतिस्पर्धा में शामिल रहे हैं: कूदते, बाड़ लगाना, तैराकी, शूटिंग, चल रही है।

ए) प्रतिस्पर्धा के प्रकारों को पारित करने की प्रक्रिया के लिए कितने विकल्प हैं? (120 विकल्प)

ख) प्रतियोगिताओं को पारित करने के कितने विकल्प हैं, यदि यह ज्ञात है कि अंतिम दृश्य चलना चाहिए? (24 विकल्प)

सी) प्रतिस्पर्धा के प्रकारों को पार करने के लिए प्रक्रिया के कितने विकल्प, यदि यह ज्ञात है कि अंतिम दृश्य चलाना चाहिए, और पहला कूद है? (6 विकल्प)

№ 981. दो कलनों में हर पांच अलग-अलग रंगों में पांच गेंदें होती हैं: सफेद, नीला, लाल, पीला, हरा। प्रत्येक urn से एक साथ एक कदम हटा देता है।

ए) हटाए गए गेंदों के कितने अलग-अलग संयोजन (प्रकार के "सफेद - लाल" और "लाल - सफेद" के संयोजन समान माना जाता है)?

(15 संयोजन)

बी) कितने संयोजन हैं, जिसमें एक रंग की गेंदों में कटौती की जाती है?

(5 संयोजन)

सी) विभिन्न रंगों से गेंदों में कितने संयोजन मौजूद हैं?

(15 - 5 \u003d 10 संयोजन)

होम वर्क: § 54, № 9 6 9, 9 72, एक कॉम्बिनेटोरियल कार्य के साथ आओ।

№ 969. कई देशों ने विभिन्न रंगों की एक ही चौड़ाई की तीन ऊर्ध्वाधर पट्टियों के रूप में अपने राज्य ध्वज के लिए प्रतीकवाद का उपयोग करने का फैसला किया: हरा, काला, पीला। यह प्रतीकात्मक किस देश का उपयोग कर सकता है, बशर्ते कि प्रत्येक देश का अपना ध्वज है?

№ 972. ए) संख्या 1, 3, 5, 7, 9 से कितने दो अंकों की संख्या बनाई जा सकती है?

बी) संख्या 1, 3, 5, 7, 9 से कितने डबल-डिजिट संख्याएं बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्याओं को दोहराया नहीं जाना चाहिए?

दूसरा सबक

अपने होमवर्क की जाँच करें। ए) संख्या 9 6 9 और संख्या 9 72 ए) और संख्या 9 72 बी) - बोर्ड पर संभावित विकल्पों का पेड़ बनाने के लिए।

बी) मौखिक रूप से संकलन कार्यों की जांच करें।

सुलझाना कार्य.

तो, इससे पहले, हमने पेड़ के विकल्पों का उपयोग करके संयोजक कार्यों को हल करना सीखा। क्या यह एक अच्छा तरीका है? शायद, हाँ, लेकिन बहुत बोझिल। आइए मूत्र को हल करने के लिए मेरे होमवर्क नंबर 9 72 का प्रयास करें। कौन अनुमान लगा सकता है कि यह कैसे किया जा सकता है?

उत्तर: प्रत्येक पांच रंगों में से प्रत्येक के लिए, टी-शर्ट पैंटी के 4 रंगों के लिए खाते हैं। कुल: 4 * 5 \u003d 20 विकल्प।

№ 980. पेशाब में हर पांच अलग-अलग रंगों में पांच गेंदें होती हैं: सफेद, नीला, लाल, पीला, हरा। प्रत्येक urn से एक साथ एक कदम हटा देता है। निम्नलिखित घटना का वर्णन विश्वसनीय, यादृच्छिक या असंभव के रूप में करें:

ए) विभिन्न रंगों की नक्काशीदार गेंदें; (यादृच्छिक)

बी) एक ही रंग की गेंदों को हटा दिया; (यादृच्छिक)

सी) काले और सफेद गेंदों को हटा दिया जाता है; (असंभव)

डी) दो गेंदों को हटा दिया गया था, और दोनों को निम्नलिखित रंगों में से एक में चित्रित किया गया था: सफ़ेद, नीला, लाल, पीला, हरा। (विश्वसनीय)

№ 982. पर्यटकों का एक समूह मार्ग एंटोनोवो - बोरिसोवो - व्लाजोवो - श्रीबोवो के साथ एक यात्रा करने की योजना बना रहा है। बोरिसोवो में एंटोनोवो से, आप नदी के किनारे पिघल सकते हैं या चल सकते हैं। Vlasovo में Borisovo पैर या बाइक पर आयोजित किया जा सकता है। Mushroomovo में Vlasovo से नदी के साथ सहेजा जा सकता है, साइकिलों से ड्राइव या पैर पर चल सकता है। अभियान के कितने विकल्प पर्यटकों का चयन कर सकते हैं? अभियान के लिए कितने विकल्प पर्यटकों का चयन कर सकते हैं, बशर्ते कम से कम मार्ग क्षेत्रों में से एक में, उन्हें साइकिलों का उपयोग करना चाहिए?

(12 मार्ग विकल्प, जिनमें से 8 - साइकिलों का उपयोग करके)

स्वतंत्र काम।

1 विकल्प

ए) संख्याओं से कितने तीन अंकों की संख्या बनाई जा सकती है: 0, 1, 3, 5, 7?

बी) संख्याओं से कितने तीन अंकों की संख्याएं बनाई जा सकती हैं: 0, 1, 3, 5, 7, बशर्ते कि संख्याओं को दोहराया नहीं जाना चाहिए?

एटोस, पोर्टोस और अरामिस में केवल एक तलवार, डैगर और बंदूक है।

ए) आप मस्किटियर को कितने तरीकों का बांट सकते हैं?

बी) अगर तलवार को अरामिस होना चाहिए, तो कितने हथियार हैं?

सी) अगर तलवार अरामिस के मालिक होनी चाहिए, और पिस्तौल एक पोर्टोस है?

वरोनी कहीं भगवान ने पनीर का एक टुकड़ा, साथ ही पनीर, सॉसेज, सफेद और काले रोटी भी भेजी। कौवा झुंड के स्पूस पर, अभी नाश्ते में है, हाँ, यह विचारशील था: इन उत्पादों से सैंडविच से कितने तरीके बने हो सकते हैं?

विकल्प 2

ए) संख्याओं से कितने तीन अंकों की संख्या बनाई जा सकती है: 0, 2, 4, 6, 8?

ख) संख्याओं से कितने तीन अंकों की संख्या बनाई जा सकती है: 0, 2, 4, 6, 8, बशर्ते कि संख्याओं को दोहराना नहीं चाहिए?

गिनती मोंटे - क्रिस्टो ने राजकुमारी गाइड बालियां, हार और कंगन देने का फैसला किया। प्रत्येक सजावट में एक प्रकार के कीमती पत्थरों में होना चाहिए: हीरे, रूबी या ग्रेनेड।

ए) रत्नों से सजावट के संयोजन कितने विकल्प हैं?

बी) यदि बालियां हीरे होना चाहिए तो कितने सजावट मौजूद हैं?

सी) जब बालियां हीरा होनी चाहिए, और एक अनार का कंगन हो तो कितने सजावट मौजूद हैं?

नाश्ते के लिए, आप कॉफी या केफिर के साथ एक बुन, सैंडविच या जिंजरब्रेड चुन सकते हैं। कितने नाश्ते के विकल्प बनाए जा सकते हैं?

होम वर्क : № 974, 9 75. (पेड़ के विकल्प की तैयारी और गुणा नियम का उपयोग करके)

№ 974 . ए) संख्या 0, 2, 4 से कितने तीन अंकों की संख्या बनाई जा सकती है?

बी) संख्या 0, 2, 4 से कितने तीन अंकों की संख्या बनाई जा सकती है, बशर्ते कि संख्याओं को दोहराया नहीं जाना चाहिए?

№ 975 . ए) 1,3, 5.7 आंकड़ों से कितने तीन अंकों की संख्या बनाई जा सकती है?

बी) प्रदान की गई संख्या 1.3, 5.7 से कितने तीन अंकों की संख्या बनाई जा सकती है। क्या आंकड़े दोहराना नहीं चाहिए?

पाठ्यपुस्तक से कार्य किए जाते हैं

"गणित -5", I.I. जुबरेवा, एजी मोर्दकोविच, 2004।

पाठ का विषय: "यादृच्छिक, विश्वसनीय और असंभव घटनाएं"

पाठ्यचर्या में सबक: "संयोजक। यादृच्छिक घटनाएं »5/8 सबक

पाठ का प्रकार: नए ज्ञान के गठन के लिए सबक

उद्देश्य सबक:

शैक्षिक:

o एक यादृच्छिक, विश्वसनीय और असंभव घटना की परिभाषा दर्ज करें;

o संभावना के सिद्धांत की शर्तों को निर्धारित करने की प्रक्रिया में वास्तविक स्थिति में सिखाएं: विश्वसनीय, असंभव, समान रूप से सटीक घटनाएं;

विकसित होना:

o तार्किक सोच के विकास को बढ़ावा देना

o छात्रों के संज्ञानात्मक हित

o तुलना करने और विश्लेषण करने के लिए कौशल

शैक्षिक:

o गणित सीखने में रुचि की शिक्षा,

o छात्रों के विश्वदृश्य का विकास।

o बौद्धिक कौशल और मानसिक संचालन के कब्जे;

शिक्षण विधियों: व्याख्यात्मक, चित्रकारी, प्रजनन, गणितीय श्रुतलेख।

यूएमसी: गणित: 6 सीएल के लिए ट्यूटोरियल। संपादित, एट अल।, प्रकाशन हाउस "एनलाइटनमेंट", 2008, गणित, 5-6: सीएन। शिक्षक / [, [ ]। - एम।: Enlightenment, 2006।

व्यावहारिक सामग्री: बोर्ड पर पोस्टर।

साहित्य:

1. गणित: अध्ययन। 6 सीएल के लिए। सामान्य शिक्षा। संस्थान /, एट अल।]; ईडी। ; रोस। अकाद। विज्ञान, रोस। अकाद। शिक्षा, प्रकाशन घर "ज्ञान"। - 10 वीं एड। - एम।: Enlightenment, 2008. -302 सी।: IL। - (अकादमिक स्कूल पाठ्यपुस्तक)।

2. गणित, 5-बी: केएन। शिक्षक / [] के लिए। - एम।: Enlightenment, 2006. - 1 9 1 पी। : इल।

4. आंकड़ों, संयोजक और संभाव्यता सिद्धांत के अनुसार कार्यों को हल करना। 7-9 कक्षाएं। / Avt.- लागत। । ईडी। दूसरा, प्रतिलिपि। - वोल्गोग्राड: शिक्षक, 2006. -428 पी।

5. सूचना प्रौद्योगिकी का उपयोग कर गणित सबक। 5-10 कक्षाएं। विधिवत - इलेक्ट्रॉनिक आवेदन / आदि के साथ मैनुअल 2 डी एड।, स्टीरियोटाइप। - एम।: प्रकाशन हाउस "ग्लोबस", 2010. - 266 पी। (समकालीन स्कूल)।

6. आधुनिक स्कूल में गणित शिक्षण। दिशानिर्देश। व्लादिवोस्तोक: पिप्क्रो प्रकाशक, 2003।

पाठ योजना

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय। मौखिक काम।

तृतीय। एक नई सामग्री का अध्ययन।

Iv। कौशल और कौशल का गठन।

वी। पाठ के परिणाम।

वी होमवर्क।

कक्षाओं के दौरान

1. orgmoment

2. ज्ञान का वास्तविककरण

15*(-100)

मौखिक कार्य:

3. नई सामग्री का स्पष्टीकरण

शिक्षक: हमारे जीवन में काफी हद तक दुर्घटनाएं होती हैं। ऐसा विज्ञान "संभावना का सिद्धांत" है। उसकी जीभ का उपयोग करके, आप कई घटनाओं और परिस्थितियों का वर्णन कर सकते हैं।

गणित गणित को अनन्त सत्यों के लिए हमेशा चार दो बार प्यार करता था, यहां तक \u200b\u200bकि संख्याओं की संख्या भी होती है, आयत का क्षेत्र अपने आसन्न पार्टियों के उत्पाद के बराबर होता है। आपके द्वारा हल किए गए किसी भी कार्य में, हर कोई समान हो जाता है उत्तर - आपको बस सुलझाने में गलतियों की आवश्यकता नहीं है।

इस तरह की नियमितता गणित के एक विशेष खंड का अध्ययन करती है - सिद्धांत संभावना . इसकी मदद से, आप पहले बर्फ गिरने की तारीख और फोन कॉल की संख्या की भविष्यवाणी करने के लिए आत्मविश्वास की अधिक डिग्री (लेकिन अभी भी निश्चित रूप से नहीं) के साथ कर सकते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत हमारे दैनिक जीवन से अनजाने में जुड़ा हुआ है। यह हमें अनियमित रूप से यादृच्छिक प्रयोगों को दोहराने के द्वारा कई संभावित कानून स्थापित करने का एक शानदार अवसर प्रदान करता है। इन प्रयोगों के लिए सामग्री अक्सर एक सामान्य सिक्का, एक खेल घन, डोमिनोज़ का एक सेट, बैकगैमौन, रूले या यहां तक \u200b\u200bकि कार्ड का एक डेक भी होगा। इनमें से प्रत्येक आइटम, एक या दूसरा, गेम से जुड़ा हुआ है। तथ्य यह है कि यहां मामला सबसे लगातार रूप में दिखाई देता है। और पहला संभाव्य कार्य जीतने के लिए खिलाड़ियों की संभावनाओं के मूल्यांकन से जुड़े थे।

संभाव्य कार्यों को हल करना, बहुत सावधान रहें, अपने प्रत्येक चरण को औचित्य दें, क्योंकि गणित के किसी अन्य क्षेत्र में ऐसे कई विरोधाभास शामिल हैं। संभावना के सिद्धांत के रूप में। और शायद इसके लिए मुख्य स्पष्टीकरण वास्तविक दुनिया के साथ इसका संबंध है जिसमें हम रहते हैं।

पहली भविष्यवाणी: संख्याओं में से एक 1,2,3,4,5, या 6. आपको लगता है कि भविष्यवाणी की घटना कब आती है या नहीं? बेशक, यह निश्चित रूप से आ जाएगा।

इस अनुभव में एक घटना को मजबूर किया जाएगा, जिसे बुलाया जाएगा विश्वसनीयप्रतिस्पर्धा।

दूसरी भविष्यवाणी : डिजिटल 7 गिर जाएगी। आपको क्या लगता है कि अनुमानित घटना आती है या नहीं? बेशक यह नहीं आएगा, यह बस असंभव है।

एक घटना जिसका उपयोग इस अनुभव में नहीं किया जा सकता है असंभव प्रतिस्पर्धा।

तीसरी भविष्यवाणी : डिजिटल बूंदें 1. आपको क्या लगता है कि अनुमानित घटना आती है या नहीं? पूर्ण आत्मविश्वास पर, हम पूर्ण आत्मविश्वास के साथ जवाब देने में सक्षम नहीं हैं, क्योंकि अनुमानित घटना हो सकती है, और नहीं आ सकती है।

घटनाएं जो एक ही परिस्थितियों में हो सकती हैं, और नहीं हो सकती हैं, कहा जाता है बिना सोचे समझे.

उदाहरण। बॉक्स एक नीले रैपर में 5 कैंडीज और सफेद में एक है। बॉक्स में देखे बिना, यादृच्छिक रूप से एक कैंडी हटा दें। क्या पहले से ही यह कहना संभव है कि यह किस रंग का होगा?

1. एक सिक्का लें। हथियारों का कोट दिखाई दिया। (यादृच्छिक)

2. शिकारी ने एक भेड़िया को गोली मार दी और मिल गया। (यादृच्छिक)

3. हर शाम स्कूलबॉय टहलने के लिए चला जाता है। टहलने के दौरान, सोमवार को, उन्होंने तीन परिचितों से मुलाकात की। (यादृच्छिक)

4. चलो अगले प्रयोग की वर्तनी: पानी के साथ एक गिलास उल्टा हो जाता है। यदि यह प्रयोग अंतरिक्ष में नहीं किया जाता है, लेकिन घर या कक्षा में, तो पानी निकल जाएगा। (विश्वसनीय)

5. उत्पादित लक्ष्यों का तीन शॉट। " पांच हिट हैं " (असंभव)

6. एक पत्थर फेंको। पत्थर हवा में लटका रहता है। (असंभव)

उदाहरणपेटिया ने एक प्राकृतिक संख्या की कल्पना की। घटना इस प्रकार है:

ए) यहां तक \u200b\u200bकि संख्या भी कल्पना की जाती है; (यादृच्छिक)

बी) विषम संख्या कल्पना की गई है; (यादृच्छिक)

ग) संख्या का इरादा है जो न तो यहां तक \u200b\u200bकि न ही विषम है; (असंभव)

d) उस संख्या का इरादा है जो या विषम है। (विश्वसनीय)

घटनाक्रम जो इन शर्तों के तहत समान संभावनाओं को बुलाया जाता है समान.

यादृच्छिक घटनाएं जिनकी समान संभावनाएं होती हैं बराबर संभव या समान .

बोर्ड पर एक पोस्टर रखें।

मौखिक परीक्षा में, छात्र प्रकट टिकटों में से एक लेता है। किसी भी परीक्षा टिकट लेने की संभावना बराबर है। यह 1 से 6 तक किसी भी अंक के नुकसान के बराबर है जब एक खेल घन फेंकते हैं, साथ ही साथ "ईगल" या "रश" करते समय सिक्कों को फेंकते हैं।

लेकिन सभी घटनाएं नहीं हैं बराबर संभव। अलार्म घड़ी को रेखांकित नहीं कर सकता है, प्रकाश बल्ब को चालू करें, बस को तोड़ें, लेकिन सामान्य परिस्थितियों में ऐसी घटनाएं संभावना नहीं है। यह अधिक संभावना है कि अलार्म घड़ी रिंग करेगी, प्रकाश रोशनी होगी, बस जाएगी।

कुछ घटनाओं में मोकाऔर भी, इसका मतलब है कि वे अधिक संभावना है - विश्वसनीय के करीब। और अन्य मौके कम हैं, वे कम संभावना है - असंभव के करीब।

असंभव घटनाओं के पास होने का कोई मौका नहीं है, और विश्वसनीय घटनाओं में कुछ स्थितियों के तहत होने का हर मौका होता है, वे होंगे।

उदाहरणपेटिया और कोल्या उनकी जन्मदिन की तुलना करें। घटना इस प्रकार है:

क) उनके जन्मदिन मेल नहीं खाते हैं; (यादृच्छिक)

बी) उनके जन्मदिन का सामना करना पड़ता है; (यादृच्छिक)

डी) दोनों के जन्मदिन छुट्टियों पर पड़ते हैं - नया साल (1 जनवरी) और रूस की स्वतंत्रता दिवस (12 जून)। (यादृच्छिक)

3. कौशल और कौशल का गठन

पाठ्यपुस्तक संख्या 000 का कार्य। नीचे सूचीबद्ध यादृच्छिक घटनाओं में से कौन सा विश्वसनीय, संभव है:

ए) कछुए बोलना सीखता है;

बी) केतली में पानी, स्टोव पर खड़ा, फोड़े;

डी) आप लॉटरी में भाग लेंगे, भाग लेंगे;

ई) आप जीत-जीत लॉटरी में भाग लेने से जीत नहीं पाएंगे;

ई) आप शतरंज में खेल खो देंगे;

जी) आप कल एलियंस से मिलेंगे;

एच) अगले सप्ताह मौसम खराब हो जाएगा; और) आपने कॉल पर क्लिक किया, और उसने फोन नहीं किया; k) आज गुरुवार है;

l) गुरुवार के बाद शुक्रवार होगा; एम) शुक्रवार के बाद गुरुवार होगा?

बक्से में 2 लाल, मैं पीला और 4 हरी कटोरे। यादृच्छिक रूप से बॉक्स से, तीन गेंदों को ले लो। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव, यादृच्छिक, विश्वसनीय है:

ए: तीन हरी गेंदों को फैलाया जाएगा;

प्रश्न: तीन लाल गेंदों को फैलाया जाएगा;

सी: दो रंगों की गेंदों को लम्बा दिया जाएगा;

डी: एक ही रंग की गेंदों को लम्बा दिया जाएगा;

ई: लम्बी गेंदों में नीले हैं;

एफ: लम्बी के बीच तीन रंगों की गेंदें हैं;

जी: लम्बी के बीच दो पीले रंग की गेंदें हैं?

अपने आप को जांचो। (गणितीय श्रुतलेख)

स्पार्टक फुटबॉल मैच - डायनेमो ड्रॉ में समाप्त हो जाएगा (यादृच्छिक)

आप जीत-जीत लॉटरी में भाग लेकर जीतेंगे ( विश्वसनीय)

· आधी रात की बर्फ गिरती है, और 24 घंटे के बाद सूरज चमक जाएगा (असंभव)

· कल गणित में नियंत्रण होगा। (यादृच्छिक)

· आप अमेरिकी राष्ट्रपति से बचा जाएगा। (असंभव)

· आपको रूस के राष्ट्रपति से बचा जाएगा। (यादृच्छिक)

2) आपने एक टीवी खरीदा जिस पर निर्माता दो साल की वारंटी देता है। निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएं असंभव हैं, जो यादृच्छिक हैं, जो विश्वसनीय हैं:

· टीवी पूरे साल नहीं टूटेगा। (यादृच्छिक)

· टीवी दो साल तक नहीं टूटेगा । (यादृच्छिक)

· दो साल के लिए आपको टीवी की मरम्मत के लिए भुगतान नहीं करना पड़ेगा। (विश्वसनीय)

· तीसरे वर्ष टीवी टूट जाता है। (यादृच्छिक)

· सभी यात्री विभिन्न स्टॉप पर बस से बाहर आ जाएंगे। (असंभव)

· सभी यात्री एक स्टॉप पर बाहर आ जाएंगे। (यादृच्छिक)

· कम से कम कोई बाहर आ जाएगा। (यादृच्छिक)

· एक स्टॉप है जिस पर कोई बाहर नहीं आएगा। (यादृच्छिक)

· सभी स्टॉप पर यात्रियों की संख्या भी है। (असंभव)

· सभी स्टॉप पर यात्रियों की विषम संख्या होगी। (असंभव)

पाठ के परिणाम

प्रश्न छात्र:

क्या घटनाओं को यादृच्छिक कहा जाता है?

किन घटनाओं को समतुल्य कहा जाता है?

क्या घटनाओं को विश्वसनीय कहा जाता है? असंभव?

क्या घटनाओं को अधिक संभावना है? संभावना कम?

होम वर्क : § 9.3।

№ 000. विश्वसनीय, असंभव घटनाओं के तीन उदाहरणों के साथ-साथ घटनाओं के साथ आओ जो आप नहीं कह सकते कि वे निश्चित रूप से होंगे।

902. बॉक्स में 10 लाल, 1 हरा और 2 नीले हैंडल झूठ बोलते हैं। रैंडम पर बॉक्स से दो हैंडल लेता है। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, विश्वसनीय:

ए: दो लाल हैंडल हटा दिए जाएंगे; प्रश्न: दो हरे रंग के हैंडल हटा दिए जाएंगे; सी: दो नीले हैंडल हटा दिए जाएंगे; डी: विभिन्न रंगों के दो हैंडल हटा दिए जाएंगे;

ई: दो पेंसिल बाहर ले जाया जाएगा? 03. ईगोर और डैनिल सहमत हुए: यदि क्लिफ तीर (चित्र 205) एक सफेद क्षेत्र पर रुक जाएगा, तो बाड़ ईगोर को पेंट करेगा, और यदि नीले क्षेत्र पर - डैनिल। लड़कों से कौन बाड़ को पेंट करने की अधिक संभावना है?

विषय पर सामग्री:

साइट का नक्शा